2019. Estimarea orientării spațiale sau Cum să nu-ți fie frică de filtrele Mahoney și Majwick02/04/2019 Sistemul de vectori este ortogonal

44. Sistemul organelor guvernamentale din Franța, votul și sistemul electoral Franța este o republică mixtă (semi-prezidențială), al cărei sistem de organe guvernamentale se bazează pe principiul separației puterilor Franța de astăzi este o republică puternică

Capitolul IV. Sistem de potrivire cu dublu cap. Sistemul „insecte”. Minisistem

Capitolul IV. Sistem de potrivire cu dublu cap. Sistemul „insecte”. Minisistem Sistem dublu de corespondență cu capul Pe degetele de la mâini și de la picioare există două sisteme de corespondență cu capul: sistemul „tip uman” și sistemul „tip uman”.

Primul centru emoțional - sistemul osos, articulațiile, circulația sângelui, sistemul imunitar, pielea

Primul centru emoțional este sistemul osos, articulațiile, circulația sângelui, sistemul imunitar, piele Starea sănătoasă a organelor asociate cu primul centru emoțional depinde de sentimentul de siguranță din această lume. Dacă sunteți lipsit de sprijinul familiei și al prietenilor pe care îl aveți

Dacă alegem oricare doi vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară pe un plan (Fig. 7), atunci un vector arbitrar din același plan poate fi extins în direcțiile acestor doi vectori, adică reprezentat sub forma

unde sunt numere egale cu proiecțiile vectorului pe direcțiile axelor Deoarece proiecția pe axă este egală cu produsul lungimii și cosinusul unghiului cu axa, atunci, amintind definiția produsului scalar. , putem scrie

În mod similar, dacă în spațiul tridimensional alegem oricare trei vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară, atunci un vector arbitrar din acest spațiu poate fi reprezentat ca

Într-un spațiu Hilbert putem considera și sisteme în perechi vectori ortogonali acest spațiu, adică funcțiile

Astfel de sisteme de funcții sunt numite sisteme ortogonale de funcții și joacă un rol important în analiză. Ele se regăsesc într-o mare varietate de întrebări de fizică matematică, ecuații integrale, calcule aproximative, teoria funcțiilor unei variabile reale etc. Ordonarea și unificarea conceptelor legate de astfel de sisteme a fost unul dintre stimulentele care au condus la începutul secolul al XX-lea. la creație concept general Spațiul Hilbert.

Să dăm definiții precise. Sistem de funcții

se numește ortogonală dacă oricare două funcții ale acestui sistem sunt ortogonale una față de cealaltă, adică dacă

În spațiul tridimensional, am cerut ca lungimile vectorilor sistemului să fie egale cu unu. Reamintind definiția lungimii vectorului, vedem că în cazul unui spațiu Hilbert această cerință este scrisă după cum urmează:

Un sistem de funcții care îndeplinește cerințele (13) și (14) se numește ortogonal și normalizat.

Să dăm exemple de astfel de sisteme de funcții.

1. Pe interval, luați în considerare șirul de funcții

Fiecare două funcții din această secvență sunt ortogonale una față de cealaltă. Acest lucru poate fi verificat prin simpla calculare a integralelor corespunzătoare. Pătratul lungimii unui vector într-un spațiu Hilbert este integrala pătratului funcției. Astfel, lungimile pătrate ale vectorilor de secvență

esența integralelor

adică secvența vectorilor noștri este ortogonală, dar nu normalizată. Lungimea primului vector al secvenței este egală cu

restul au lungime. Împărțind fiecare vector la lungimea lui, obținem un sistem ortogonal și normalizat funcții trigonometrice

Acest sistem este din punct de vedere istoric unul dintre primele și cele mai importante exemple de sisteme ortogonale. A apărut în lucrările lui Euler, D. Bernoulli și d'Alembert în legătură cu problema vibrațiilor corzilor. Studiul ei a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea întregii analize.

Apariția unui sistem ortogonal de funcții trigonometrice în legătură cu problema vibrațiilor corzilor nu este întâmplătoare. Fiecare problemă despre oscilațiile mici ale unui mediu duce la un anumit sistem de funcții ortogonale care descriu așa-numitele oscilații naturale ale unui sistem dat (vezi § 4). De exemplu, în legătură cu problema oscilațiilor unei sfere apar așa-numitele funcții sferice, în legătură cu problema oscilațiilor unei membrane rotunde sau a unui cilindru apar așa-numitele funcții cilindrice etc.

2. Puteți da un exemplu de sistem ortogonal de funcții, fiecare funcție fiind un polinom. Un astfel de exemplu este șirul de polinoame Legendre

adică există (până la un factor constant) derivata de ordin a lui . Să scriem primele câteva polinoame ale acestei secvențe:

Este evident că în general există un polinom de grad. Lăsăm cititorului să vadă singur că aceste polinoame reprezintă o secvență ortogonală pe interval

Teoria generală polinoamele ortogonale (așa-numitele polinoame ortogonale cu greutate) au fost dezvoltate de remarcabilul matematician rus P. L. Cebyshev în a doua jumătate a secolului al XIX-lea.

Extinderea în sistemele ortogonale de funcții. La fel ca în spațiul tridimensional, fiecare vector poate fi reprezentat

ca o combinație liniară a trei vectori ortogonali pe perechi de lungime unitară

în spațiul funcțiilor, se pune problema extinderii unei funcții arbitrare într-o serie într-un sistem de funcții ortogonal și normalizat, adică reprezentând funcția sub forma

În acest caz, convergența seriei (15) la o funcție este înțeleasă în sensul distanței dintre elemente din spațiul Hilbert. Aceasta înseamnă că abaterea pătratică medie a sumei parțiale a seriei de la funcție tinde spre zero ca , i.e.

Această convergență este de obicei numită „convergență în medie”.

Expansiunile în ceea ce privește anumite sisteme de funcții ortogonale se găsesc adesea în analiză și reprezintă o metodă importantă pentru rezolvarea problemelor de fizică matematică. Deci, de exemplu, dacă un sistem ortogonal este un sistem de funcții trigonometrice pe interval

atunci o astfel de expansiune este expansiunea clasică a unei funcții dintr-o serie trigonometrică

Să presupunem că expansiunea (15) este posibilă pentru orice funcție din spațiul Hilbert și să găsim coeficienții unei astfel de expansiuni. Pentru a face acest lucru, să înmulțim scalar ambele părți ale egalității cu aceeași funcție a sistemului nostru. Vom obține egalitate

din care, datorită faptului că atunci când se determină valoarea coeficientului

Vedem că, ca și în spațiul tridimensional obișnuit (vezi începutul acestei secțiuni), coeficienții sunt egali cu proiecțiile vectorului pe direcțiile vectorilor.

Reamintind definiția produsului scalar, constatăm că coeficienții expansiunii unei funcții într-un sistem ortogonal și normalizat de funcții

determinate prin formule

Ca exemplu, luați în considerare sistemul trigonometric normalizat ortogonal de funcții prezentat mai sus:

Am obținut o formulă pentru calcularea coeficienților de expansiune a unei funcții într-o serie trigonometrică, presupunând, desigur, că această expansiune este posibilă.

Am stabilit forma coeficienților de expansiune (18) ai unei funcții într-un sistem ortogonal de funcții în ipoteza că o astfel de expansiune are loc. Cu toate acestea, un sistem ortogonal infinit de funcții poate să nu fie suficient pentru a fi posibilă extinderea oricărei funcții dintr-un spațiu Hilbert. Pentru ca o astfel de extindere să fie posibilă, sistemul de funcții ortogonale trebuie să satisfacă condiție suplimentară- așa-numita condiție de completitudine.

Un sistem ortogonal de funcții se numește complet dacă este imposibil să se adauge la el o singură funcție non-identică, ortogonală cu toate funcțiile sistemului.

Este ușor să dați un exemplu de sistem ortogonal incomplet. Pentru a face acest lucru, să luăm un sistem ortogonal, de exemplu același

sistem de funcții trigonometrice și eliminați una dintre funcțiile acestui sistem, de exemplu, sistemul infinit de funcții rămas

va fi în continuare ortogonal, desigur, nu va fi complet, deoarece funcția pe care am exclus-o este ortogonală cu toate funcțiile sistemului.

Dacă un sistem de funcții nu este complet, atunci nu orice funcție dintr-un spațiu Hilbert poate fi extinsă peste el. Într-adevăr, dacă încercăm să extindem într-un astfel de sistem o funcție zero ortogonală cu toate funcțiile sistemului, atunci, în virtutea formulelor (18), toți coeficienții vor fi egali cu zero, în timp ce funcția nu este egală cu zero.

Următoarea teoremă este valabilă: dacă este dat un sistem complet ortogonal și normalizat de funcții într-un spațiu Hilbert, atunci orice funcție poate fi extinsă într-o serie în ceea ce privește funcțiile acestui sistem

În acest caz, coeficienții de expansiune sunt egali cu proiecțiile vectorilor pe elementele sistemului normalizat ortogonal.

Teorema lui Pitagora din § 2 în spațiul Hilbert ne permite să găsim o relație interesantă între coeficienți și funcție Să notăm prin diferența dintre și suma primilor termeni ai seriei sale, i.e.

Un astfel de subset de vectori $\backslash left\backslash (\; \backslash varphi\_i\; \backslash right\backslash )\backslash subset\; H$ că oricare două dintre ele sunt ortogonale, adică produsul lor scalar este egal cu zero:

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. Mai mult, descompunerea oricărui element $\backslash vec\; a$ poate fi calculat folosind formulele: $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, Unde $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac((\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i))((\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i))$.

Cazul în care norma tuturor elementelor $||\backslash varphi\_i||=1$, se numește sistem ortonormal.

Ortogonalizarea

Orice sistem complet independent liniar într-un spațiu finit-dimensional este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunerea ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial conform unei baze ortonormale, calculul produsului scalar este simplificat: $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, Unde $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$Și $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Sistem ortogonal”

Un fragment care caracterizează sistemul ortogonal

Definiție. VectoriA Șib se numesc ortogonale (perpendiculare) între ele dacă acestea produs scalar este egal cu zero, adicăA × b = 0.

Pentru vectori nenuli A Și b egalitatea produsului scalar la zero înseamnă că cos j= 0, adică . Vectorul zero este ortogonal cu orice vector, deoarece A × 0 = 0.

Exercițiu. Fie și să fie vectori ortogonali. Atunci este firesc să luăm în considerare diagonala unui dreptunghi cu laturile și . Demonstrează asta

acestea. pătratul lungimii diagonalei unui dreptunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celor două laturi neparalele ale sale(Teorema lui Pitagora).

Definiție. Sistem vectorialA 1 ,…, A m se numește ortogonal dacă oricare doi vectori ai acestui sistem sunt ortogonali.

Astfel, pentru un sistem ortogonal de vectori A 1 ,…,A m egalitatea este adevarata: A i × A j= 0 la i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorema 1.5. Un sistem ortogonal format din vectori nenuli este liniar independent. .

□ Efectuăm proba prin contradicţie. Să presupunem că sistemul ortogonal de vectori nenuli A 1 , …, A m dependent liniar. Apoi

l 1 A 1 + …+ l mA m= 0 , în care . (1,15)

Fie, de exemplu, l 1 ¹ 0. Înmulțiți cu A 1 ambele părți ale egalității (1.15):

l 1 A 1× A 1 + …+ l m A m × A 1 = 0.

Toți termenii, cu excepția primului, sunt egali cu zero datorită ortogonalității sistemului A 1 , …, A m. Apoi l 1 A 1× A 1 =0, care urmează A 1 = 0 , ceea ce contrazice condiția. Presupunerea noastră s-a dovedit a fi greșită. Aceasta înseamnă că sistemul ortogonal de vectori nenuli este liniar independent. ■

Următoarea teoremă este valabilă.

Teorema 1.6. În spațiul R n există întotdeauna o bază formată din vectori ortogonali (bază ortogonală)
(Nicio dovadă).

Bazele ortogonale sunt convenabile în primul rând deoarece coeficienții de expansiune ai unui vector arbitrar peste astfel de baze sunt pur și simplu determinați.

Să presupunem că trebuie să găsim descompunerea unui vector arbitrar b pe bază ortogonală e 1 ,…,e n. Să compunem o expansiune a acestui vector cu coeficienți de expansiune încă necunoscuți pentru această bază:

Să înmulțim scalar ambele părți ale acestei egalități cu vectorul e 1 . În virtutea axiomelor 2° și 3° ale produsului scalar al vectorilor, obținem

Deoarece vectorii de bază e 1 ,…,e n sunt reciproc ortogonale, atunci toate produsele scalare ale vectorilor de bază, cu excepția primului, sunt egale cu zero, i.e. coeficientul este determinat de formula

Înmulțind egalitatea (1.16) la rândul său cu alți vectori de bază, obținem formule simple pentru calcularea coeficienților de expansiune vectorială b :

Formulele (1.17) au sens deoarece .

Definiție. VectorA se numește normalizat (sau unitate) dacă lungimea sa este egală cu 1, adică (A , A )= 1.

Orice vector diferit de zero poate fi normalizat. Lăsa A ¹ 0 . Atunci , iar vectorul este un vector normalizat.

Definiție. Sistem vectorial e 1 ,…,e n se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimea fiecărui vector al sistemului este egală cu 1, adică

Deoarece există întotdeauna o bază ortogonală în spațiul Rn și vectorii acestei baze pot fi normalizați, atunci există întotdeauna o bază ortonormală în Rn.

Un exemplu de bază ortonormală a spațiului R n este sistemul de vectori e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) cu produsul scalar definit prin egalitate (1.9). Pe o bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) pentru a determina coordonatele descompunerii vectoriale b au cea mai simplă formă:

Lăsa A Și b – doi vectori arbitrari ai spațiului R n cu bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Să notăm coordonatele vectorilor A Și b în bază e 1 ,…,e nîn consecinţă prin A 1 ,…,A nȘi b 1 ,…, b nși găsiți expresia produsului scalar al acestor vectori prin coordonatele lor în pe aceasta baza, adică Să ne prefacem că

Din ultima egalitate, în virtutea axiomelor și relațiilor produsului scalar (1.18), obținem

În sfârșit avem

Prin urmare, pe o bază ortonormală, produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori.

Să considerăm acum o bază complet arbitrară (în general vorbind, nu ortonormală) în spațiul euclidian n-dimensional R n și să găsim o expresie pentru produsul scalar a doi vectori arbitrari A Și b prin coordonatele acestor vectori în baza specificată. f 1 ,…,f n Spațiul euclidian R n, produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare acestor vectori, este necesar și suficient ca baza f 1 ,…,f n era ortonormal.

De fapt, expresia (1.20) intră în (1.19) dacă și numai dacă sunt îndeplinite relațiile care stabilesc ortonormalitatea bazei. f 1 ,…,f n.

Despre ce vorbim?

Apariția unei postări pe Habré despre filtrul Majvik a fost în felul său un eveniment simbolic. Aparent, fascinația generală pentru drone a reînviat interesul pentru problema estimării orientării corpului din măsurători inerțiale. În același timp, metodele tradiționale bazate pe filtrul Kalman au încetat să satisfacă publicul, fie din cauza cerințelor de calcul ridicate care sunt inacceptabile pentru drone, fie din cauza setărilor complexe și neintuitive ale parametrilor.

Postarea a fost însoțită de o implementare foarte compactă și eficientă a filtrului în C. Cu toate acestea, judecând după comentarii, semnificația fizică a acestui cod, precum și întregul articol, au rămas vagi pentru unii. Ei bine, să recunoaștem: filtrul Majwick este cel mai complicat dintr-un grup de filtre bazate pe principii în general foarte simple și elegante. Voi discuta aceste principii în postarea mea. Nu va exista niciun cod aici. Postarea mea nu este o poveste despre vreo implementare specifică a unui algoritm de estimare a orientării, ci mai degrabă o invitație de a-ți inventa propriile variații pe o anumită temă, dintre care pot fi multe.

Vedere de orientare

Să ne amintim elementele de bază. Pentru a evalua orientarea unui corp în spațiu, trebuie mai întâi să selectați câțiva parametri care împreună determină în mod unic această orientare, adică. în esență, orientarea sistemului de coordonate asociat față de un sistem fix condiționat - de exemplu, sistemul geografic NED (North, East, Down). Apoi trebuie să creați ecuații cinematice, de exemplu. exprima viteza de modificare a acestor parametri prin viteza unghiulara de la giroscoape. În cele din urmă, măsurătorile vectoriale de la accelerometre, magnetometre etc. trebuie luate în considerare în calcul. Iată cele mai comune moduri de a reprezenta orientarea:

Unghiurile lui Euler- rostogolire (rulare, ), pitch (pitch, ), heading (direct, ). Acesta este cel mai vizual și mai concis set de parametri de orientare: numărul de parametri este exact egal cu numărul de grade de libertate de rotație. Pentru aceste unghiuri putem scrie Ecuațiile cinematice ale lui Euler. Sunt foarte populare în mecanica teoretică, dar sunt de puțin folos în problemele de navigație. În primul rând, cunoașterea unghiurilor nu vă permite să convertiți direct componentele oricărui vector dintr-unul înrudit într-un sistem de coordonate geografice sau invers. În al doilea rând, la un pas de ±90 de grade, ecuațiile cinematice degenerează, ruliu și direcția devin incerte.

Matrice de rotație- o matrice 3x3 prin care orice vector din sistemul de coordonate asociat trebuie înmulțit pentru a obține același vector în sistemul geografic: . Matricea este întotdeauna ortogonală, adică . Ecuația cinematică a acesteia are forma .
Iată o matrice a componentelor vitezei unghiulare măsurate de giroscoape într-un sistem de coordonate cuplat:

Matricea de rotație este puțin mai puțin vizuală decât unghiurile Euler, dar, spre deosebire de acestea, vă permite să transformați direct vectori și nu devine lipsită de sens în orice poziție unghiulară. Din punct de vedere computațional, principalul său dezavantaj este redundanța: de dragul a trei grade de libertate, nouă parametri sunt introduși simultan și toți trebuie actualizați conform ecuației cinematice. Problema poate fi ușor simplificată profitând de ortogonalitatea matricei.

Cuaternion de rotație- un remediu radical, dar foarte neintuitiv împotriva redundanței și degenerării. Este un obiect cu patru componente - nu un număr, nu un vector, nu o matrice. Puteți privi un cuaternion din două unghiuri. În primul rând, ca sumă formală a unui scalar și a unui vector, unde sunt vectorii unitari ai axelor (ceea ce, desigur, sună absurd). În al doilea rând, ca o generalizare numere complexe, unde acum se folosesc nu unul, ci trei diferit unități imaginare (ceea ce sună nu mai puțin absurd). Cum este legat un cuaternion cu rotația? Prin teorema lui Euler: un corp poate fi întotdeauna transferat de la o orientare dată la alta printr-o rotație finală printr-un anumit unghi în jurul unei anumite axe cu un vector de direcție. Aceste unghiuri și axe pot fi combinate într-un cuaternion: . Ca o matrice, un cuaternion poate fi folosit pentru a transforma direct orice vector dintr-un sistem de coordonate în altul: . După cum puteți vedea, reprezentarea cuaterniilor a orientării suferă și ea de redundanță, dar mult mai puțin decât reprezentarea matriceală: există un singur parametru suplimentar. O revizuire detaliată a cuaterniilor a fost deja publicată pe Habré. S-a vorbit despre geometrie și grafică 3D. Ne interesează și cinematica, deoarece viteza de schimbare a cuaternionului trebuie să fie legată de viteza unghiulară măsurată. Ecuația cinematică corespunzătoare are forma , unde vectorul este considerat și un cuaternion cu o parte scalară zero.

Circuite de filtrare

Cea mai naivă abordare a calculării orientării este să ne înarmam cu o ecuație cinematică și să actualizăm orice set de parametri care ne place în conformitate cu aceasta. De exemplu, dacă alegem o matrice de rotație, am putea scrie o buclă cu ceva de genul C += C * Omega * dt . Rezultatul va fi dezamăgitor. Giroscoapele, în special MEMS, au decalaje de zero mari și instabile - ca urmare, chiar și în repaus complet, orientarea calculată va avea o eroare care se acumulează la nesfârșit (deriva). Toate trucurile inventate de Mahoney, Majwick și mulți alții, inclusiv eu, aveau ca scop compensarea acestei derive prin implicarea măsurătorilor de la accelerometre, magnetometre, receptoare GNSS, loguri etc. Așa s-a născut o întreagă familie de filtre de orientare, bazate pe un principiu de bază simplu.

Principiu de bază. Pentru a compensa deviația de orientare, este necesar să adăugați la viteza unghiulară măsurată de giroscoape o viteză unghiulară de control suplimentară, construită pe baza măsurătorilor vectoriale ale altor senzori. Vectorul viteză unghiulară de control trebuie să se străduiască să combine direcțiile vectorilor măsurați cu direcțiile reale cunoscute ale acestora.

Aceasta implică o abordare complet diferită de construcția termenului de corecție al filtrului Kalman. Principala diferență este că viteza unghiulară de control este nu un termen, ci un multiplicator la valoarea estimată (matrice sau cuaternion). Acest lucru duce la avantaje importante:

• Filtrul de estimare poate fi construit pentru orientarea propriu-zisă, și nu pentru mici abateri ale orientării față de cea dată de giroscoape. În acest caz, cantitățile estimate vor satisface automat toate cerințele impuse de problemă: matricea va fi ortogonală, cuaternionul va fi normalizat.
• Semnificația fizică a vitezei unghiulare de control este mult mai clară decât termenul de corecție din filtrul Kalman. Toate manipulările se fac cu vectori și matrice în spațiul fizic tridimensional obișnuit și nu în spațiul de stare multidimensional abstract. Acest lucru simplifică semnificativ rafinarea și configurarea filtrului și, ca bonus, vă permite să scăpați de matricele cu dimensiuni mari și bibliotecile de matrice grele.

Acum să vedem cum este implementată această idee în anumite opțiuni de filtrare.

filtru mahoney. Toată matematica uluitoare din lucrarea originală a lui Mahoney a fost scrisă pentru a justifica ecuații simple (32). Să le rescriem în notația noastră. Dacă facem abstracție de la estimarea deplasărilor zero ale giroscopului, atunci rămân două ecuații cheie - ecuația cinematică reală pentru matricea de rotație (cu viteza unghiulară de control sub forma unei matrice) și legea de formare a acestei viteze în forma unui vector. Să presupunem, pentru simplitate, că nu există accelerații sau interferențe magnetice și, datorită acestui lucru, măsurătorile de accelerație ne sunt disponibile cădere liberă de la accelerometre și puterea câmpului magnetic al Pământului de la magnetometre. Ambii vectori sunt măsurați de senzori într-un sistem de coordonate înrudit, iar în sistemul geografic este cunoscută poziția lor: îndreptată în sus, spre nordul magnetic. Apoi, ecuațiile filtrului Mahoney vor arăta astfel:

Să ne uităm îndeaproape la a doua ecuație. Primul termen din partea dreaptă este produsul încrucișat. Primul factor este accelerația măsurată a gravitației, al doilea este cel adevărat. Deoarece multiplicatorii trebuie să fie în același sistem de coordonate, al doilea multiplicator este convertit într-un sistem înrudit prin înmulțirea cu . Viteza unghiulară, construită ca produs încrucișat, este perpendiculară pe planul vectorilor factori. Vă permite să rotiți poziția calculată a sistemului de coordonate asociat până când vectorii multiplicatori coincid în direcție - apoi produsul vectorial va fi resetat la zero și rotația se va opri. Coeficientul specifică severitatea unui astfel de feedback. Al doilea termen efectuează o operație similară cu vectorul magnetic. În esență, filtrul Mahoney întruchipează o teză binecunoscută: cunoașterea a doi vectori necoliniari în două sisteme de coordonate diferite permite restabilirea fără ambiguitate a orientării reciproce a acestor sisteme. Dacă există mai mult de doi vectori, aceasta va oferi o redundanță utilă de măsurare. Dacă există un singur vector, atunci un grad de libertate de rotație (mișcarea în jurul acestui vector) nu poate fi fixat. De exemplu, dacă este dat doar vectorul, atunci se poate corecta deriva de ruliu și de tanare, dar nu și derama de direcție.

Desigur, nu este necesar să folosiți o matrice de rotație în filtrul Mahoney. Există și variante de cuaternioane non-canonice.

Platforma giroscopică virtuală.În filtrul Mahoney, am aplicat o viteză unghiulară de control sistemului de coordonate asociat. Dar îl puteți aplica și la poziția calculată a sistemului de coordonate geografice. Ecuația cinematică va lua apoi forma

Se pare că această abordare deschide calea către analogii fizice foarte fructuoase. Este suficient să ne amintim de unde a început tehnologia giroscopică - sisteme de navigație cu direcție și inerție bazate pe o platformă girostabilizată într-un cardan.

www.theairlinepilots.com

Sarcina platformei de acolo era să materializeze sistemul de coordonate geografice. Orientarea suportului a fost măsurată în raport cu această platformă prin senzori de unghi de pe cadrele cardanelor. Dacă giroscoapele s-au deplasat, atunci platforma s-a deplasat împreună cu ele, iar erorile s-au acumulat în citirile senzorilor de unghi. Pentru a elimina aceste erori, am introdus Părere de la accelerometrele instalate pe platformă. De exemplu, abaterea platformei de la orizont în jurul axei de nord a fost percepută de accelerometrul axei de est. Acest semnal a făcut posibilă setarea vitezei unghiulare de control, returnând platforma la orizont.

Putem folosi aceleași concepte vizuale în sarcina noastră. Ecuația cinematică scrisă ar trebui apoi citită după cum urmează: rata de schimbare a orientării este diferența dintre două mișcări de rotație- mișcarea absolută a purtătorului (primul termen) și mișcarea absolută a platformei giroscopice virtuale (termenul doi). Analogia poate fi extinsă la legea de formare a vitezei unghiulare de control. Vectorul reprezintă citirile accelerometrelor care se presupune că sunt situate pe platforma giroscopică. Apoi din considerente fizice putem scrie:

S-ar putea ajunge la exact același rezultat într-un mod formal făcând multiplicarea vectorială în spiritul filtrului Mahony, dar acum nu într-un sistem de coordonate conectat, ci într-un sistem de coordonate geografice. Este chiar necesar acest lucru?

Primul indiciu al unei analogii utile între platformă și navigația inerțială strapdown pare să apară într-un vechi brevet Boeing. Apoi această idee a fost dezvoltată în mod activ de către Salychev, și mai recent și de mine. Avantajele evidente ale acestei abordări:

• Viteza unghiulară de control poate fi formată pe baza unor principii fizice ușor de înțeles.
• Desigur, canalele orizontale și de direcție sunt separate, foarte diferite în proprietăți și metode de corecție. În filtrul Mahoney se amestecă.
• Este convenabil să se compenseze impactul accelerațiilor prin utilizarea datelor GNSS, care sunt furnizate precis în axele geografice, mai degrabă decât înrudite.
• Este ușor de generalizat algoritmul în cazul navigației inerțiale de înaltă precizie, unde trebuie luate în considerare forma și rotația Pământului. Nu am idee cum să fac asta în schema lui Mahoney.

filtru Majwick. Majwick a ales calea dificilă. Dacă Mahoney, aparent, a ajuns intuitiv la decizia sa și apoi a justificat-o matematic, atunci Majwick s-a arătat a fi un formalist de la bun început. El a preluat problema de optimizare. El a raționat așa. Să setăm orientarea după cuaternionul de rotație. Într-un caz ideal, direcția calculată a unui vector măsurat (să-l avem) coincide cu cea adevărată. Atunci va fi. În realitate, acest lucru nu este întotdeauna realizabil (mai ales dacă există mai mult de doi vectori), dar puteți încerca să minimizați abaterea de la egalitatea exactă. Pentru a face acest lucru, introducem un criteriu de minimizare

Minimizarea necesită coborârea gradientului - mișcarea în pași mici în direcția opusă gradientului, de exemplu. opus creșterii celei mai rapide a funcției. Apropo, Majvik face o greșeală: în toate lucrările sale nu intră deloc și scrie cu insistență în loc de , deși de fapt calculează exact .

Coborârea gradientului duce în cele din urmă la următoarea condiție: pentru a compensa deviația de orientare, trebuie să adăugați un nou termen negativ proporțional cu rata de schimbare a cuaternionului din ecuația cinematică:

Aici Majvik se abate puțin de la „ principiu de bază„: adaugă un termen de corecție nu vitezei unghiulare, ci vitezei de schimbare a cuaternionului, iar acesta nu este exact același lucru. Ca urmare, se poate dovedi că cuaternionul actualizat nu va mai fi o unitate și, în consecință, își va pierde capacitatea de a reprezenta orientarea. Prin urmare, pentru filtrul Majwick, normalizarea artificială a cuaternionului este o operație vitală, în timp ce pentru alte filtre este de dorit, nu opțional.

Impactul accelerațiilor

Până acum, se presupunea că nu există accelerații adevărate, iar accelerometrele măsoară doar accelerația datorată gravitației. Acest lucru a făcut posibilă obținerea unei referințe verticale și utilizarea acesteia pentru a compensa deviația de rulare și de tanare. Cu toate acestea, în general, accelerometrele, indiferent de principiul lor de funcționare, măsoară accelerație aparentă- diferența vectorială între accelerația adevărată și accelerația în cădere liberă. Direcția accelerației aparente nu coincide cu verticala, iar erorile cauzate de accelerații apar în estimările de ruliu și de tanare.

Acest lucru poate fi ușor ilustrat folosind analogia unui giroscop virtual. Sistemul său de corecție este conceput astfel încât platforma să se oprească în poziția unghiulară în care sunt resetate semnalele accelerometrelor presupus instalate pe ea, adică. când vectorul măsurat devine perpendicular pe axele de sensibilitate ale accelerometrelor. Dacă nu există accelerații, această poziție coincide cu orizontul. Când au loc accelerații orizontale, platforma giroscopică se deviază. Putem spune că platforma giroscopică este similară cu un pendul sau cu plumb puternic amortizat.

În comentariile postării despre filtrul Majwick, s-a pus întrebarea dacă putem spera că acest filtru este mai puțin susceptibil la accelerații decât, de exemplu, filtrul Mahoney. Din păcate, toate filtrele descrise aici exploatează aceleași principii fizice și, prin urmare, suferă de aceleași probleme. Nu poți păcăli fizica cu matematica. Ce să faci atunci?

Cea mai simplă și mai crudă metodă a fost inventată la mijlocul secolului trecut pentru girometrele de aviație: pentru a reduce sau reseta complet viteza unghiulară de control în prezența accelerațiilor sau a vitezei unghiulare a cursului (ceea ce indică intrarea într-o viraj). Aceeași metodă poate fi transferată în sistemele actuale fără platformă. În acest caz, accelerațiile trebuie judecate după valorile lui , și nu , care sunt ele însele zero în viraj. Cu toate acestea, în mărime, nu este întotdeauna posibil să se distingă adevăratele accelerații de proiecțiile accelerației gravitaționale, cauzate de însăși înclinarea platformei giroscopice care trebuie eliminată. Prin urmare, metoda nu funcționează în mod fiabil, dar nu necesită senzori suplimentari.

O metodă mai precisă se bazează pe utilizarea măsurătorilor externe de viteză de la un receptor GNSS. Dacă viteza este cunoscută, atunci aceasta poate fi diferențiată numeric și se poate obține accelerația adevărată. Atunci diferența va fi exact egală indiferent de mișcarea transportatorului. Poate fi folosit ca standard vertical. De exemplu, puteți seta vitezele unghiulare de control ale platformei giroscopice în formular

Decalajele de zero ale senzorului

O caracteristică tristă a giroscoapelor și accelerometrelor de calitate pentru consumatori este instabilitatea mare a decalajelor zero în timp și temperatură. Pentru a le elimina, calibrarea din fabrică sau de laborator nu este suficientă - este necesară o evaluare suplimentară în timpul funcționării.

Giroscoape. Să ne ocupăm de decalajele zero ale giroscoapelor. Poziția calculată a sistemului de coordonate asociat se îndepărtează de poziția sa adevărată cu o viteză unghiulară determinată de doi factori opusi - deplasările zero ale giroscoapelor și viteza unghiulară de control: . Dacă sistemul de corecție (de exemplu, în filtrul Mahoney) a reușit să oprească deriva, atunci starea de echilibru va fi . Cu alte cuvinte, viteza unghiulară de control conține informații despre perturbația de acțiune necunoscută. Prin urmare, puteți aplica evaluare compensatorie: nu cunoaștem în mod direct magnitudinea perturbării, dar știm ce acțiune corectivă este necesară pentru a o echilibra. Aceasta este baza pentru estimarea decalajelor zero ale giroscoapelor. De exemplu, scorul lui Mahoney este actualizat prin lege

Cu toate acestea, rezultatele sale sunt ciudate: estimările ajung la 0,04 rad/s. O astfel de instabilitate a decalajelor zero nu apare nici măcar cu cele mai proaste giroscoape. Bănuiesc că problema se datorează faptului că Mahoney nu folosește GNSS sau alți senzori externi – și suferă pe deplin de efectele accelerațiilor. Numai pe axa verticală, unde accelerațiile nu dăunează, estimarea pare mai mult sau mai puțin rezonabilă:

Mahony și colab., 2008

Accelerometre. Estimarea decalajelor zero ale accelerometrului este mult mai dificilă. Informațiile despre ele trebuie extrase din aceeași viteză unghiulară de control. Cu toate acestea, în mișcare dreaptă efectul deplasării la zero a accelerometrului nu se distinge de înclinarea suportului sau de instalarea înclinată a unității senzorului pe acesta. Nu sunt creați aditivi pentru accelerometre. Aditivul apare numai la întoarcere, ceea ce face posibilă separarea și evaluarea independentă a erorilor giroscoapelor și accelerometrelor. Un exemplu despre cum se poate face acest lucru este în articolul meu. Iata pozele de acolo:

În loc de o concluzie: cum rămâne cu filtrul Kalman?

Nu am nicio îndoială că filtrele descrise aici vor avea aproape întotdeauna un avantaj față de filtrul tradițional Kalman în ceea ce privește viteza, compactitatea codului și ușurința de configurare - pentru asta au fost create. În ceea ce privește acuratețea evaluării, totul nu este atât de clar aici. Am întâlnit filtre Kalman prost proiectate, care erau vizibil inferioare ca precizie față de un filtru cu o platformă giroscopică virtuală. Majvik a dovedit, de asemenea, beneficiile filtrului său în raport cu niste Kalman estimează. Cu toate acestea, pentru aceeași problemă de estimare a orientării, este posibil să se construiască cel puțin o duzină de circuite de filtrare Kalman diferite și fiecare va avea un număr infinit de opțiuni de configurare. Nu am niciun motiv să cred că filtrul Mahoney sau Majwick va fi mai precis cel mai bun posibil filtre Kalman. Și, desigur, abordarea Kalman va avea întotdeauna avantajul universalității: nu impune restricții stricte asupra proprietăților dinamice specifice ale sistemului evaluat.