Funcția de rotație. Subiectul ii. forțe de inerție. Momentul de forță care acționează asupra i-lea punct material

Noțiuni de bază.

Moment de putere relativ la axa de rotație - acesta este produsul vectorial dintre vectorul rază și forța.

(1.14)

Momentul forței este un vector , a cărei direcţie este determinată de regula vrîlului (şurubul din dreapta) în funcţie de direcţia forţei care acţionează asupra corpului. Momentul de forță este direcționat de-a lungul axei de rotație și nu are un punct de aplicare anume.

Valoarea numerică a acestui vector este determinată de formula:

M=r F păcat (1.15),

unde  - unghiul dintre vectorul rază și direcția forței.

Dacă =0 sau  , moment de putere M=0, adică o forță care trece prin axa de rotație sau care coincide cu aceasta nu provoacă rotație.

Cel mai mare modul de cuplu este creat dacă forța acționează la un unghi  =  /2 (M 0) sau  =3  /2 (M 0).

Folosind conceptul de pârghie d- aceasta este o perpendiculară coborâtă de la centrul de rotație la linia de acțiune a forței), formula pentru momentul forței ia forma:

, Unde
(1.16)

Regula momentelor de forță(starea de echilibru a unui corp având o axă fixă de rotație):

Pentru ca un corp cu axa fixa de rotatie sa fie in echilibru, este necesar ca suma algebrica a momentelor fortelor care actioneaza asupra acestui corp sa fie egala cu zero.

 M i =0 (1.17)

Unitatea SI pentru momentul forței este [Nm]

În timpul mișcării de rotație, inerția unui corp depinde nu numai de masa sa, ci și de distribuția sa în spațiu față de axa de rotație.

Inerția în timpul rotației este caracterizată de momentul de inerție al corpului față de axa de rotație J.

Moment de inerție a unui punct material în raport cu axa de rotație este o valoare egală cu produsul dintre masa punctului cu pătratul distanței acestuia față de axa de rotație:

J  =m   r  2 (1.18)

Momentul de inerție al unui corp față de o axă este suma momentelor de inerție ale punctelor materiale care alcătuiesc corpul:

J= m   r  2 (1.19)

Momentul de inerție al unui corp depinde de masa și forma acestuia, precum și de alegerea axei de rotație. Pentru a determina momentul de inerție al unui corp față de o anumită axă, se folosește teorema Steiner-Huygens:

J=J 0 +m d 2 (1.20),

Unde J 0 – moment de inerție în jurul unei axe paralele care trece prin centrul de masă al corpului, d – distanța dintre două axe paralele . Momentul de inerție în SI se măsoară în [kgm 2 ]

Momentul de inerție în timpul mișcării de rotație a corpului uman este determinat experimental și calculat aproximativ folosind formule pentru un cilindru, tijă rotundă sau bilă.

Momentul de inerție al unei persoane față de axa verticală de rotație, care trece prin centrul de masă (centrul de masă al corpului uman este situat în planul sagital ușor în fața celei de-a doua vertebre sacrale), în funcție de poziţia persoanei, are următoarele valori: când stă în atenţie - 1,2 kg m 2; cu ipostaza „arabesc” – 8 kgm 2; în poziție orizontală – 17 kg  m 2.

Lucrați în mișcare de rotație apare atunci când un corp se rotește sub influența forțelor externe.

Lucrul elementar al forței în mișcarea de rotație este egal cu produsul dintre momentul forței și unghiul elementar de rotație al corpului:

dA  =M   d (1.21)

Dacă asupra unui corp acționează mai multe forțe, atunci munca elementară a rezultantei tuturor forțelor aplicate este determinată de formula:

dA=M d (1.22),

Unde M– momentul total al tuturor forțelor externe care acționează asupra corpului.

Energia cinetică a unui corp în rotațieW La depinde de momentul de inerție al corpului și de viteza unghiulară de rotație a acestuia:

(1.23)

Unghiul de impuls (momentul unghiular) – o cantitate egală numeric cu produsul dintre impulsul corpului și raza de rotație.

L=p r=m V r (1.24).

După transformările corespunzătoare, puteți scrie formula pentru determinarea momentului unghiular sub forma:

(1.25).

Impuls – un vector a cărui direcție este determinată de regula șurubului drept. Unitatea SI a momentului unghiular este kgm 2 /s

Legile de bază ale dinamicii mișcării de rotație.

Ecuația de bază pentru dinamica mișcării de rotație:

Accelerația unghiulară a unui corp aflat în mișcare de rotație este direct proporțională cu momentul total al tuturor forțelor externe și invers proporțională cu momentul de inerție al corpului.

(1.26).

Această ecuație joacă același rol în descrierea mișcării de rotație ca și a doua lege a lui Newton pentru mișcarea de translație. Din ecuație este clar că sub acțiunea forțelor externe, cu cât accelerația unghiulară este mai mare, cu atât este mai mic momentul de inerție al corpului.

A doua lege a lui Newton pentru dinamica mișcării de rotație poate fi scrisă sub altă formă:

(1.27),

acestea. prima derivată a momentului unghiular al unui corp în raport cu timpul este egală cu momentul total al tuturor forțelor externe care acționează asupra unui corp dat.

Legea conservării momentului unghiular al unui corp:

Dacă momentul total al tuturor forțelor externe care acționează asupra corpului este egal cu zero, i.e.

 M  =0 , Apoi dL/dt=0 (1.28).

Prin urmare
sau
(1.29).

Această afirmație constituie esența legii conservării momentului unghiular al unui corp, care este formulată după cum urmează:

Momentul unghiular al unui corp rămâne constant dacă momentul total al forțelor externe care acționează asupra unui corp în rotație este zero.

Această lege este valabilă nu numai pentru un corp absolut rigid. Un exemplu este un patinator artistic care efectuează o rotație în jurul unei axe verticale. Prin apăsarea mâinilor, patinatorul reduce momentul de inerție și crește viteza unghiulară. Pentru a încetini rotația, el, dimpotrivă, întinde brațele larg; Ca urmare, momentul de inerție crește și viteza unghiulară de rotație scade.

În concluzie, prezentăm un tabel comparativ al principalelor mărimi și legi care caracterizează dinamica mișcărilor de translație și rotație.

Tabelul 1.4.

Mișcare înainte		Mișcare de rotație
Cantitate fizica	Formulă	Cantitate fizica	Formulă
		Moment de inerție	J=m r 2
		Moment de putere	M=F r, dacă
Impulsul corpului (cantitatea de mișcare)	p=m V	Momentul unui corp	L=m V r; L=J
Energie kinetică		Energie kinetică
Munca mecanica		Munca mecanica	dA=Md
Ecuația de bază a dinamicii translaționale		Ecuația de bază pentru dinamica mișcării de rotație	,
Legea conservării impulsului corpului	sau Dacă	Legea conservării momentului unghiular al unui corp	sau  J    =const, Dacă

Fie ca un anumit corp, sub influența forței F aplicată în punctul A, să intre în rotație în jurul axei OO" (Fig. 1.14).

Forța acționează într-un plan perpendicular pe axă. Se numește perpendiculara p coborâtă din punctul O (care se află pe axă) pe direcția forței umărul puterii. Produsul forței exercitate de braț determină modulul momentului de forță față de punctul O:

M = Fp=Frsina.

Moment de putere este un vector determinat de produsul vectorial dintre vectorul rază al punctului de aplicare a forței și vectorul forță:

(3.1) Unitatea de măsură a momentului de forță este newtonmetrul (N m).

Direcția lui M poate fi găsită folosind regula cu șurub potrivită.

moment de impuls particula este produsul vectorial dintre vectorul razei particulei și impulsul acesteia:

sau în formă scalară L = rPsinα

Această mărime este vectorială și coincide în direcția cu vectorii ω.

§ 3.2 Momentul de inerție. teorema lui Steiner

Măsura inerției corpurilor în timpul mișcării de translație este masa. Inerția corpurilor în timpul mișcării de rotație depinde nu numai de masă, ci și de distribuția acesteia în spațiu față de axa de rotație. Măsura inerției în timpul mișcării de rotație este o mărime numitămomentul de inerție al corpului faţă de axa de rotaţie.

Momentul de inerție al unui punct material raportat la axa de rotație, produsul dintre masa acestui punct și pătratul distanței sale față de axă se numește:

I i =m i r i 2 (3.2)

Momentul de inerție al corpului față de axa de rotație Numiți suma momentelor de inerție ale punctelor materiale care alcătuiesc acest corp:

(3.3)

În cazul general, dacă corpul este solid și reprezintă o colecție de puncte cu mase mici dm, momentul de inerție este determinat prin integrare:

(3.4)

Dacă corpul este omogen şi densitatea lui
, apoi momentul de inerție al corpului

(3.5)

Momentul de inerție al unui corp depinde de axa în jurul căruia se rotește și de modul în care masa corpului este distribuită în volum.

Momentul de inerție al corpurilor care au o formă geometrică regulată și o distribuție uniformă a masei pe volum este cel mai ușor de determinat.

Momentul de inerție al unei tije omogene faţă de o axă care trece prin centrul de inerţie şi perpendicular pe tijă

(3.6)

Momentul de inerție al unui cilindru omogen față de o axă perpendiculară pe baza acesteia și care trece prin centrul de inerție,

(3.7)

Momentul de inerție al unui cilindru cu pereți subțiri sau cerc față de o axă perpendiculară pe planul bazei sale și care trece prin centrul său,

(3.8)

Moment de inerție bila raportat la diametru

(3.9)

Să ne uităm la un exemplu . Să determinăm momentul de inerție al discului în raport cu axa care trece prin centrul de inerție și perpendicular pe planul de rotație. Masa discului - m, raza - R.

Zona inelului (Fig. 3.2) închisă între

r și r + dr, este egal cu dS = 2πr·dr. Aria discului S = πR 2.

Prin urmare,
. Apoi

Conform

Formulele date pentru momentele de inerție ale corpurilor sunt date cu condiția ca axa de rotație să treacă prin centrul de inerție. Pentru a determina momentele de inerție ale unui corp în raport cu o axă arbitrară, ar trebui să utilizați teorema lui Steiner : momentul de inerție al unui corp față de o axă arbitrară de rotație este egal cu suma momentului de inerție al corpului față de o axă paralelă cu cea dată și care trece prin centrul de masă al corpului, iar produsul masei corporale cu pătratul distanței dintre axe:

(3.11)

Unitatea de măsură a momentului de inerție este kilogramul metru pătrat (kg m 2).

Astfel, momentul de inerție al unei tije omogene față de axa care trece prin capătul ei, conform teoremei lui Steiner, este egal cu

(3.12)

« Fizica - clasa a X-a"

Accelerația unghiulară.

Anterior, am obținut o formulă care conectează viteza liniară υ, viteza unghiulară ω și raza R a cercului de-a lungul căruia se mișcă elementul selectat (punctul material) al unui corp absolut rigid, care se rotește în jurul unei axe fixe:

Noi stim aia liniar vitezele și accelerațiile punctelor unui corp rigid sunt diferite. În același timp viteză unghiulară este aceeași pentru toate punctele unui corp rigid.

Viteza unghiulară este o mărime vectorială. Direcția vitezei unghiulare este determinată de regula gimletului. În cazul în care sensul de rotație al mânerului brațului coincide cu direcția de rotație a corpului, atunci mișcarea de translație a mânerului indică direcția vectorului viteză unghiulară (Fig. 6.1).

Cu toate acestea, mișcarea uniformă de rotație este destul de rară. Mult mai des avem de-a face cu o mișcare în care viteza unghiulară se modifică, evident că aceasta se întâmplă la începutul și la sfârșitul mișcării.

Motivul modificării vitezei unghiulare de rotație este acțiunea forțelor asupra corpului. Modificarea vitezei unghiulare în timp determină accelerație unghiulară.

Vectorul viteză unghiulară este un vector de alunecare. Indiferent de punctul de aplicare, direcția acestuia indică direcția de rotație a corpului, iar modulul determină viteza de rotație,

Accelerația unghiulară medie este egală cu raportul dintre modificarea vitezei unghiulare și perioada de timp în care a avut loc această modificare:

Cu mișcarea accelerată uniform, accelerația unghiulară este constantă și cu o axă de rotație staționară caracterizează modificarea vitezei unghiulare în valoare absolută. Când viteza unghiulară de rotație a unui corp crește, accelerația unghiulară este direcționată în aceeași direcție cu viteza unghiulară (Fig. 6.2, a), iar când aceasta scade, în sens invers (Fig. 6.2, b).

Deoarece viteza unghiulară este legată de viteza liniară prin relația υ = ωR, modificarea vitezei liniare într-o anumită perioadă de timp Δt este egală cu Δυ =ΔωR. Împărțind părțile stânga și dreaptă ale ecuației la Δt, avem fie a = εR, unde a - tangentă(liniar) accelerare, îndreptată tangențial la traiectoria de mișcare (cerc).

Dacă timpul este măsurat în secunde și viteza unghiulară este măsurată în radiani pe secundă, atunci o unitate de accelerație unghiulară este egală cu 1 rad/s 2 , adică accelerația unghiulară este exprimată în radiani pe secundă pătrat.

Orice corp rotativ, de exemplu, un rotor într-un motor electric, un disc de strung, o roată de mașină în timpul accelerației, etc., se mișcă neuniform la pornire și oprire.

Moment de putere.

Pentru a crea o mișcare de rotație, nu numai mărimea forței este importantă, ci și punctul de aplicare a acesteia. Este foarte greu să deschideți ușa aplicând presiune în apropierea balamalelor, dar în același timp o puteți deschide cu ușurință apăsând pe ușă cât mai departe de axa de rotație, de exemplu pe mâner. În consecință, pentru mișcarea de rotație este importantă nu numai valoarea forței, ci și distanța de la axa de rotație până la punctul de aplicare al forței. În plus, este importantă și direcția forței aplicate. Puteți trage roata cu o forță foarte mare, dar tot nu o faceți să se rotească.

Momentul forței este o mărime fizică egală cu produsul forței pe braț:

M = Fd,
unde d este brațul de forță egal cu distanța cea mai scurtă de la axa de rotație la linia de acțiune a forței (fig. 6.3).

În mod evident, momentul forței este maxim dacă forța este perpendiculară pe vectorul rază tras de la axa de rotație până la punctul de aplicare a acestei forțe.

Dacă asupra unui corp acţionează mai multe forţe, atunci momentul total este egal cu suma algebrică a momentelor fiecărei forţe în raport cu o axă de rotaţie dată.

In acest caz se vor lua in considerare momentele fortelor care determina rotirea corpului in sens invers acelor de ceasornic pozitiv(forța 2), iar momentele forțelor care provoacă rotația în sensul acelor de ceasornic sunt negativ(forțele 1 și 3) (Fig. 6.4).

Ecuația de bază pentru dinamica mișcării de rotație. Așa cum s-a demonstrat experimental că accelerația unui corp este direct proporțională cu forța care acționează asupra acestuia, s-a descoperit că accelerația unghiulară este direct proporțională cu momentul forței:

Fie ca o forță să acționeze asupra unui punct material care se mișcă într-un cerc (Fig. 6.5). Conform celei de-a doua legi a lui Newton, în proiecția pe direcția tangentei avem ma k = F k Înmulțind laturile stânga și dreapta ale ecuației cu r, obținem ma k r = F k r, sau

mr 2 ε = M. (6.1)

Rețineți că, în acest caz, r este distanța cea mai scurtă de la axa de rotație până la punctul material și, în consecință, punctul de aplicare al forței.

Se numește produsul dintre masa unui punct material cu pătratul distanței până la axa de rotație momentul de inerție al unui punct materialși este desemnat prin litera I.

Astfel, ecuația (6.1) se poate scrie sub forma I ε = M, de unde

Ecuația (6.2) se numește ecuația de bază a dinamicii mișcării de rotație.

Ecuația (6.2) este valabilă și pentru mișcarea de rotație solid, având o axă de rotație fixă, unde I este momentul de inerție al corpului solid, iar M este momentul total al forțelor care acționează asupra corpului. În acest capitol, la calcularea momentului total al forțelor, avem în vedere doar forțele sau proiecțiile acestora aparținând unui plan perpendicular pe axa de rotație.

Accelerația unghiulară cu care se rotește un corp este direct proporțională cu suma momentelor forțelor care acționează asupra acestuia și invers proporțională cu momentul de inerție al corpului față de o axă de rotație dată.

Dacă sistemul constă dintr-un set de puncte materiale (Fig. 6.6), atunci momentul de inerție al acestui sistem față de o axă de rotație dată OO" este egal cu suma momentelor de inerție ale fiecărui punct material față de acesta. axa de rotație: I = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + ... .

Momentul de inerție al unui corp rigid poate fi calculat prin împărțirea corpului în volume mici, care pot fi considerate puncte materiale, și însumând momentele de inerție ale acestora în raport cu axa de rotație. Evident, momentul de inerție depinde de poziția axei de rotație.

Din definiția momentului de inerție rezultă că momentul de inerție caracterizează distribuția masei în raport cu axa de rotație.

Să prezentăm valorile momentelor de inerție pentru unele corpuri omogene absolut rigide de masă m.

1. Moment de inerție de subțire tijă dreaptă lungimea l față de axa perpendiculară pe tijă și care trece prin mijlocul acesteia (fig. 6.7) este egală cu:

2. Moment de inerție cilindru drept(Fig. 6.8), sau discul relativ la axa OO”, care coincide cu axa geometrică a cilindrului sau discului:

3. Moment de inerție minge

4. Moment de inerție cerc subțire raza R în raport cu axa care trece prin centrul acesteia:

În sensul său fizic, momentul de inerție în mișcarea de rotație joacă rolul de masă, adică caracterizează inerția corpului în raport cu mișcarea de rotație. Cu cât este mai mare momentul de inerție, cu atât este mai dificil să faci un corp să se rotească sau, dimpotrivă, să oprești un corp în rotație.

Forța de frecare este întotdeauna direcționată de-a lungul suprafeței de contact în direcția opusă mișcării. Este întotdeauna mai mică decât forța presiunii normale.

Aici:
F- forța gravitațională cu care două corpuri se atrag reciproc (Newton),
m 1- masa primului corp (kg),
m 2- masa celui de-al doilea corp (kg),
r- distanța dintre centrele de masă ale corpurilor (metru),
γ - constantă gravitațională 6,67 10 -11 (m 3 /(kg sec 2)),

Intensitatea câmpului gravitațional- o mărime vectorială care caracterizează câmpul gravitațional într-un punct dat și egală numeric cu raportul dintre forța gravitațională care acționează asupra unui corp plasat într-un punct dat al câmpului și masa gravitațională a acestui corp:

12. În timp ce studiam mecanica corpului rigid, am folosit conceptul de corp absolut rigid. Dar în natură nu există corpuri absolut solide, pentru că... toate corpurile reale, sub influența forțelor, își schimbă forma și dimensiunea, adică. deformat.
Deformare numit elastic, dacă, după ce forțele externe au încetat să acționeze asupra corpului, corpul își restabilește dimensiunea și forma inițială. Se numesc deformații care rămân în organism după încetarea forțelor externe plastic(sau rezidual)

FUNCȚIONARE ȘI PUTERE

Munca de forta.
Lucru efectuat de o forță constantă care acționează asupra unui corp în mișcare rectiliniu
, unde este deplasarea corpului, este forța care acționează asupra corpului.

În general, munca efectuată de o forță variabilă care acționează asupra unui corp care se deplasează de-a lungul unui traseu curbat . Munca se măsoară în Jouli [J].

Lucrul unui moment de forță care acționează asupra unui corp care se rotește în jurul unei axe fixe, unde este momentul forței și este unghiul de rotație.
În general .
Munca efectuată de organism se transformă în energia lui cinetică.
Putere- aceasta este munca pe unitatea de timp (1 s): . Puterea este măsurată în wați [W].

14.Energie kinetică- energia unui sistem mecanic, în funcție de viteza de mișcare a punctelor sale. Energia cinetică a mișcării de translație și rotație este adesea eliberată.

Să considerăm un sistem format dintr-o particulă și să scriem a doua lege a lui Newton:

Există o rezultantă a tuturor forțelor care acționează asupra unui corp. Să înmulțim scalar ecuația cu deplasarea particulei. Având în vedere că, obținem:

Dacă sistemul este închis, adică , și valoarea

ramane constant. Această cantitate se numește energie kinetică particule. Dacă sistemul este izolat, atunci energia cinetică este integrala mișcării.

Pentru un corp absolut rigid, energia cinetică totală poate fi scrisă ca suma energiei cinetice a mișcării de translație și rotație:

Masa corpului

Viteza centrului de masă al corpului

Momentul de inerție al corpului

Viteza unghiulară a corpului.

15.Energie potențială- o mărime fizică scalară care caracterizează capacitatea unui anumit corp (sau punct material) de a lucra datorită prezenței sale în câmpul de acțiune al forțelor.

16. Întinderea sau comprimarea unui arc duce la stocarea energiei sale potențiale de deformare elastică. Revenirea arcului în poziția sa de echilibru are ca rezultat eliberarea energiei de deformare elastică stocată. Mărimea acestei energii este:

Energia potentiala de deformare elastica..

- lucrul forţei elastice şi modificarea energiei potenţiale de deformare elastică.

17.forțe conservatoare(forțe potențiale) - forțe a căror activitate nu depinde de forma traiectoriei (depinde doar de punctele de început și de sfârșit de aplicare a forțelor). Aceasta implică definiția: forțele conservatoare sunt acele forțe a căror activitate de-a lungul oricărei traiectorii închise este egală cu 0

Forțe disipative- forțe, sub acțiunea cărora asupra unui sistem mecanic, energia sa mecanică totală scade (adică se disipează), transformându-se în alte forme de energie, nemecanice, de exemplu, în căldură.

18. Rotire în jurul unei axe fixe Aceasta este mișcarea unui corp rigid în care două dintre punctele sale rămân nemișcate pe parcursul întregii mișcări. Linia dreaptă care trece prin aceste puncte se numește axă de rotație. Toate celelalte puncte ale corpului se deplasează în planuri perpendiculare pe axa de rotație, de-a lungul unor cercuri ale căror centre se află pe axa de rotație.

Moment de inerție- o mărime fizică scalară, o măsură a inerției în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație. Se caracterizează prin distribuția maselor în corp: momentul de inerție este egal cu suma produselor maselor elementare prin pătratul distanțelor acestora față de mulțimea de bază (punct, linie sau plan).

Momentul de inerție al unui sistem mecanic relativ la o axă fixă („momentul axial de inerție”) este mărimea J a, egal cu suma produselor maselor tuturor n punctele materiale ale sistemului prin pătratele distanțelor lor față de axă:

§ m i- greutate i al-lea punct,

§ r i- distanta de la i al-lea punct către axă.

Axial moment de inerție corp J a este o măsură a inerției unui corp în mișcare de rotație în jurul unei axe, la fel cum masa unui corp este o măsură a inerției sale în mișcare de translație.

§ - masa unui element mic al volumului corpului,

Să presupunem că corpul rigid A (Fig. 1.19, a) se poate roti în jurul unei axe fixe. Pentru a provoca rotația unui corp (pentru a-și schimba viteza unghiulară), este necesară o influență externă. Cu toate acestea, o forță a cărei direcție trece prin axa de rotație sau o forță paralelă cu axa nu poate modifica viteza unghiulară a corpurilor.

Prin urmare, din forța externă aplicată corpului, este necesară izolarea componentelor care nu provoacă rotație. Rotația poate fi cauzată doar de o forță (forța de rotație) situată într-un plan perpendicular pe axa de rotație și direcționată tangențial la cercul descris de punctul de aplicare a acestuia.

Rețineți că atunci când corpul se rotește, componentele nu efectuează lucru, deoarece punctul de aplicare al acestor forțe se mișcă perpendicular pe direcțiile lor. Lucrul este efectuat numai de forța de rotație este proiecția forței care acționează asupra corpului pe direcția de mișcare a punctului de aplicare a acestei forțe.

Să determinăm cantitatea de lucru efectuată de forța de rotație dacă punctul său de aplicare se mișcă de-a lungul unui cerc de rază cu (Fig. 1.19, b). Să presupunem că mărimea forței rămâne constantă. Apoi

Produsul unei forțe de rotație și o rază este momentul forței de rotație sau cuplul care acționează asupra unui corp dat și este notat cu (amintim că momentul unei forțe date relativ la orice axă este produsul acestei forțe prin brațul său, adică de lungimea perpendicularei, efectuată de la specificat

axa faţă de direcţia forţei). Astfel, în formula (2.8)

prin urmare, munca efectuată de cuplul este egal cu produsul acestui moment și unghiul de rotație al corpului:

Dacă cuplul (forța sau brațul său) se modifică în timp, atunci munca efectuată este determinată ca sumă:

Cuplul forței de rotație este reprezentat ca un vector care coincide cu axa de rotație; orientarea pozitivă a acestui vector se alege în direcția în care s-ar deplasa șurubul drept rotit de acest moment.

Cuplul aplicat corpului îi conferă o oarecare accelerație unghiulară în funcție de direcțiile vectorilor pe care i-am ales, aceștia sunt orientați de-a lungul axei de rotație în aceeași direcție. Relația dintre mărimea cuplului și mărimea accelerației unghiulare transmise de acesta poate fi stabilită în două moduri:

a) puteți folosi faptul că munca forței motrice este egală cu modificarea energiei cinetice a corpului căruia i se aplică această forță: Pentru un corp în rotație, conform formulelor (2.9) și (2.4), avem avea

Aici presupunem că momentul de inerție al corpului nu se modifică în timpul rotației. Împărțind această ecuație și reducând cu obținem

b) se poate profita de faptul ca momentul fortei de rotatie este egal cu suma momentelor fortelor care dau acceleratii tangentiale componentelor individuale ale corpului aceste forte sunt egale si momentele lor sunt

Să înlocuim accelerațiile tangențiale cu accelerația unghiulară, care este aceeași pentru toate particulele unui corp în rotație (dacă corpul nu este deformat în timpul rotației): Atunci

Formula (2.12) exprimă legea de bază a dinamicii mișcării de rotație a corpurilor solide (nedeformabile), pentru care

accelerația unghiulară dobândită de un corp sub influența unui cuplu dat este direct proporțională cu mărimea acestui moment și invers proporțională cu momentul de inerție al corpului față de axa de rotație:

În formă vectorială, această lege este scrisă ca

Dacă un corp este deformat în timpul rotației, atunci momentul său de inerție față de axa de rotație se va modifica. Să ne imaginăm mental un corp rotativ format din mai multe părți elementare (punctuale); atunci deformarea întregului corp va însemna o modificare a distanțelor de la aceste părți ale corpului până la axa de rotație. Cu toate acestea, o modificare a distanței unei anumite viteze unghiulare de rotație co va fi însoțită de o modificare a vitezei liniare de mișcare a acestei particule și, prin urmare, a energiei sale cinetice. Astfel, la o viteză unghiulară constantă de rotație a corpului, o modificare a distanțelor (deci, o modificare a momentului de inerție al corpului) va fi însoțită de o modificare a energiei cinetice de rotație a întregului corp.

Din formula (2.4), dacă presupunem variabile, putem obține

Primul termen arată modificarea energiei cinetice a unui corp în rotație, care s-a produs numai datorită unei modificări a vitezei unghiulare de rotație (la un moment dat de inerție a corpului), iar al doilea termen arată modificarea energiei cinetice. , care s-a produs numai din cauza unei modificări a momentului de inerție a corpului (la o viteză unghiulară dată de rotație).

Cu toate acestea, atunci când distanța de la un corp punctual la axa de rotație se modifică, forțele interne care leagă acest corp de axa de rotație vor funcționa: negative dacă corpul se îndepărtează și pozitive dacă corpul se apropie de axa de rotație; acest lucru poate fi calculat dacă presupunem că forța care leagă particulele de axa de rotație este numeric egală cu forța centripetă:

Pentru întregul corp, format din multe particule cu mase, obținem

În cazul general, atunci când un cuplu extern acționează asupra unui corp, modificarea energiei cinetice trebuie echivalată cu suma a două lucrări: cuplul extern și forțele interne Cu rotație accelerată, valorile vor avea semne pozitive, - negative

semn (deoarece particulele corpului se îndepărtează de axa de rotație); Apoi

Înlocuind aici valoarea din expresia (2.15) și înlocuind cu se obține

sau după reducere

Aceasta este o formă generală a legii de bază a mecanicii pentru corpurile care se rotesc în jurul unei axe fixe, este aplicabilă și pentru corpurile deformate. Când formula (2.16) se transformă în formula (2.14).

Rețineți că pentru corpurile deformate, o modificare a vitezei unghiulare de rotație este posibilă chiar și în absența unui cuplu extern. Într-adevăr, când - din formula (2.16) obținem:

În acest caz, viteza unghiulară de rotație se modifică numai datorită unei modificări a momentului de inerție a corpului cauzată de forțele interne.