Găsiți baza acestui sistem de vectori. Cum să găsiți baza unui sistem dat de vectori. Dependența liniară și independența liniară a vectorilor. Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

Definiţia basis. Un sistem de vectori formează o bază dacă:

1) este liniar independent,

2) orice vector de spațiu poate fi exprimat liniar prin el.

Exemplul 1. Baza spatiala: .

2. În sistemul vectorial baza sunt vectorii: , deoarece exprimată liniar în termeni de vectori.

Cometariu. Pentru a găsi baza unui sistem dat de vectori trebuie să:

1) scrieți coordonatele vectorilor în matrice,

2) folosind transformări elementare, aduceți matricea într-o formă triunghiulară,

3) rândurile diferite de zero ale matricei vor fi baza sistemului,

4) numărul de vectori din bază este egal cu rangul matricei.

Teorema Kronecker-Capelli

Teorema Kronecker-Capelli oferă un răspuns cuprinzător la întrebarea privind compatibilitatea unui sistem arbitrar de ecuații liniare cu necunoscute

Teorema Kronecker–Capelli. Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse a sistemului este egal cu rangul matricei principale, .

Algoritm pentru găsirea tuturor soluțiilor sistem articular ecuațiile liniare decurg din teorema Kronecker–Capelli și din următoarele teoreme.

Teorema. Dacă rangul sistemului comun egală cu numărul necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema. Dacă rangul unui sistem comun este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

Algoritm pentru rezolvarea unui sistem arbitrar de ecuații liniare:

1. Găsiți rangurile matricelor principale și extinse ale sistemului. Dacă nu sunt egale (), atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții). Dacă rangurile sunt egale ( , atunci sistemul este consistent.

2. Pentru un sistem comun, găsim unele minore, a căror ordine determină rangul matricei (un astfel de minor se numește de bază). Hai să compunem sistem nou Dintre ecuațiile în care coeficienții necunoscutelor sunt incluși în minorul de bază (aceste necunoscute se numesc necunoscute principale), renunțăm la ecuațiile rămase. Vom lăsa principalele necunoscute cu coeficienți în stânga și vom muta necunoscutele rămase (se numesc necunoscute libere) în partea dreaptă a ecuațiilor.

3. Să găsim expresii ale principalelor necunoscute în ceea ce privește cele libere. Obținem soluția generală a sistemului.

4. Dând valori arbitrare necunoscutelor libere, obținem valorile corespunzătoare ale principalelor necunoscute. În acest fel găsim soluții parțiale ale sistemului original de ecuații.

Programare liniară. Noțiuni de bază

Programare liniară este o ramură a programării matematice care studiază metode de rezolvare a problemelor extreme care se caracterizează printr-o relație liniară între variabile și un criteriu liniar.

O condiție necesară pentru a pune o problemă de programare liniară sunt restricțiile privind disponibilitatea resurselor, cantitatea cererii, capacitatea de producție a întreprinderii și alți factori de producție.

Esența programării liniare este de a găsi punctele de cel mai mare sau cea mai mică valoare unele funcţionează sub un anumit set de restricţii impuse argumentelor şi formării sistem de restricții , care, de regulă, are un număr infinit de soluții. Fiecare set de valori variabile (argumente ale funcției F ) care satisfac sistemul de constrângeri se numește plan valabil probleme de programare liniară. Funcţie F , al cărui maxim sau minim este determinat se numește funcția țintă sarcini. Un plan fezabil la care se atinge maximul sau minimul unei funcții F , numit plan optim sarcini.

Sistemul de restricții care determină multe planuri este dictat de condițiile de producție. Problemă de programare liniară ( ZLP ) este alegerea celui mai profitabil (optim) dintr-un set de planuri fezabile.

În formularea sa generală, problema de programare liniară arată astfel:

Există variabile? x = (x 1, x 2, ... x n) și funcția acestor variabile f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , Care e numit ţintă funcții. Sarcina este stabilită: să găsească extremul (maxim sau minim) al funcției obiectiv f(x) cu condiţia ca variabilele X aparțin unei anumite zone G :

În funcție de tipul funcției f(x) si regiuni G și distingeți între secțiuni ale programării matematice: programare pătratică, programare convexă, programare cu numere întregi etc. Programarea liniară se caracterizează prin faptul că
o functie f(x) este o funcție liniară a variabilelor x 1, x 2, … x n
b) regiune G determinat de sistem liniar egalități sau inegalități.

În geometrie, un vector este înțeles ca un segment direcționat, cu vectori obținuți unul de la altul transfer paralel, sunt considerate egale. Toți vectorii egali sunt tratați ca același vector. Originea vectorului poate fi plasată în orice punct din spațiu sau plan.

Dacă coordonatele capetelor vectorului sunt date în spațiu: A(X 1 , y 1 , z 1), B(X 2 , y 2 , z 2), atunci

= (X 2 – X 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

O formulă similară este valabilă în avion. Aceasta înseamnă că vectorul poate fi scris ca o linie de coordonate. Operațiile pe vectori, cum ar fi adunarea și înmulțirea cu un număr, pe șiruri sunt efectuate pe componente. Acest lucru face posibilă extinderea conceptului de vector, înțelegând un vector ca orice șir de numere. De exemplu, rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, precum și a oricărui set de valori variabile de sistem, poate fi considerat ca un vector.

Pe șiruri de aceeași lungime, operația de adunare se realizează conform regulii

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Înmulțirea unui șir cu un număr urmează regula

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Un set de vectori rând de o lungime dată n cu operaţiile indicate de adunare a vectorilor şi înmulţire cu un număr formează o structură algebrică numită spațiu liniar n-dimensional.

O combinație liniară de vectori este un vector , unde λ 1 , ... , λ m– coeficienți arbitrari.

Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există o combinație liniară a acestuia egală cu , în care există cel puțin un coeficient diferit de zero.

Un sistem de vectori se numește liniar independent dacă în orice combinație liniară egală cu , toți coeficienții sunt zero.

Astfel, rezolvarea problemei dependenței liniare a unui sistem de vectori se reduce la rezolvarea ecuației

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Dacă această ecuație are soluții diferite de zero, atunci sistemul de vectori este dependent liniar. Dacă soluția zero este unică, atunci sistemul de vectori este liniar independent.

Pentru a rezolva sistemul (4), pentru claritate, vectorii pot fi scriși nu ca rânduri, ci ca coloane.

Apoi, după ce au efectuat transformări în partea stângă, ajungem la un sistem de ecuații liniare echivalent cu ecuația (4). Matricea principală a acestui sistem este formată din coordonatele vectorilor originali aranjați în coloane. O coloană de membri liberi nu este necesară aici, deoarece sistemul este omogen.

Bază sistemul de vectori (finit sau infinit, în special, întregul spațiu liniar) este subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 1.5.2. Aflați baza sistemului de vectori = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) și exprimă vectorii rămași prin bază.

Soluţie. Construim o matrice în care coordonatele acestor vectori sunt aranjate în coloane. Aceasta este matricea sistemului X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Reducem matricea la forma treptat:

~ ~ ~

Baza acestui sistem de vectori o formează vectorii , , , cărora le corespund elementele conducătoare ale rândurilor, evidențiate în cercuri. Pentru a exprima vectorul, rezolvăm ecuația X 1 + X 2 + X 4 = . Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice se obține din original prin rearanjarea coloanei corespunzătoare lui , în locul coloanei de termeni liberi. Prin urmare, la reducerea la o formă în trepte, pe matrice se vor face aceleași transformări ca mai sus. Aceasta înseamnă că puteți utiliza matricea rezultată într-o formă în pas, făcând rearanjamentele necesare ale coloanelor din ea: plasăm coloanele cu cercuri în stânga barei verticale, iar coloana corespunzătoare vectorului este plasată în dreapta a barului.

Găsim în mod constant:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

cometariu. Dacă este necesar să se exprimă mai mulți vectori prin bază, atunci pentru fiecare dintre ei se construiește un sistem corespunzător de ecuații liniare. Aceste sisteme vor diferi doar în coloanele de membri liberi. Mai mult, fiecare sistem este rezolvat independent de celelalte.

Exercițiul 1.4. Găsiți baza sistemului de vectori și exprimați vectorii rămași prin baza:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).

Într-un sistem dat de vectori, baza poate fi de obicei identificată căi diferite, dar toate bazele vor avea același număr de vectori. Numărul de vectori din baza unui spațiu liniar se numește dimensiunea spațiului. Pentru n-spaţiu liniar dimensional n– aceasta este dimensiunea spațiului, deoarece acest spațiu are o bază standard = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0), , ... , 1). Prin această bază orice vector = (a 1 , a 2 , … , a n) se exprimă după cum urmează:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .

Astfel, componentele din rândul vectorului = (a 1 , a 2 , … , a n) sunt coeficienții săi în expansiunea prin baza standard.

Linii drepte pe un plan

Sarcina geometriei analitice este aplicarea metodei coordonatelor la probleme geometrice. Astfel, problema este tradusă în formă algebrică și rezolvată cu ajutorul algebrei.

Exprimarea formei numit combinație liniară de vectori A 1 , A 2 ,...,A n cu cote λ 1, λ 2 ,...,λ n.

Determinarea dependenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit dependent liniar, dacă există un set de numere diferit de zero λ 1, λ 2 ,...,λ n, în care combinaţia liniară de vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero, adică sistemul de ecuații: are o soluție diferită de zero.
Set de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n este diferit de zero dacă cel puțin unul dintre numere λ 1, λ 2 ,...,λ n diferit de zero.

Determinarea independenței liniare a unui sistem de vectori

Sistem vectorial A 1 , A 2 ,...,A n numit liniar independent, dacă combinația liniară a acestor vectori λ 1 *A 1 +λ 2 *A 2 +...+λ n *A n egal cu vectorul zero numai pentru un set zero de numere λ 1, λ 2 ,...,λ n , adică sistemul de ecuații: A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ are o soluție unică zero.

Exemplul 29.1

Verificați dacă un sistem de vectori este dependent liniar

Soluţie:

1. Compunem un sistem de ecuații:

2. O rezolvăm folosind metoda Gauss. Transformările Jordanano ale sistemului sunt date în Tabelul 29.1. La calcul, părțile din dreapta ale sistemului nu sunt notate, deoarece sunt egale cu zero și nu se modifică în timpul transformărilor Jordan.

3. Din ultimele trei rânduri ale tabelului notează un sistem rezolvat echivalent cu cel original sistem:

4. Obținem soluția generală a sistemului:

5. După ce ați stabilit valoarea variabilei libere x 3 =1 la discreția dvs., obținem o anumită soluție diferită de zero X=(-3,2,1).

Răspuns: Astfel, pentru o mulțime de numere nenule (-3,2,1), combinația liniară de vectori este egală cu vectorul zero -3A 1 +2A 2 +1A 3 =Θ. Prin urmare, sistem vectorial dependent liniar.

Proprietățile sistemelor vectoriale

Proprietate (1)
Dacă un sistem de vectori este dependent liniar, atunci cel puțin unul dintre vectori este extins în ceea ce privește ceilalți și, invers, dacă cel puțin unul dintre vectorii sistemului este extins în ceea ce privește ceilalți, atunci sistemul de vectori este dependent liniar.

Proprietate (2)
Dacă orice subsistem de vectori este dependent liniar, atunci întregul sistem este dependent liniar.

Proprietate (3)
Dacă un sistem de vectori este liniar independent, atunci oricare dintre subsistemele sale este liniar independent.

Proprietate (4)
Orice sistem de vectori care conține un vector zero este dependent liniar.

Proprietate (5)
Un sistem de vectori m-dimensionali este întotdeauna dependent liniar dacă numărul de vectori n este mai mare decât dimensiunea lor (n>m)

Baza sistemului vectorial

Baza sistemului vectorial A 1 , A 2 ,..., A n un astfel de subsistem B 1 , B 2 ,...,B r se numește(fiecare dintre vectorii B 1,B 2,...,B r este unul dintre vectorii A 1, A 2,..., A n), care îndeplinește următoarele condiții:
1. B 1 ,B 2 ,...,B r sistem liniar independent de vectori;
2. orice vector A j sistemul A 1 , A 2 ,..., A n este exprimat liniar prin vectorii B 1 , B 2 ,..., B r

r— numărul de vectori incluși în bază.

Teorema 29.1 Pe baza unitară a unui sistem de vectori.

Dacă un sistem de vectori m-dimensionali conține m vectori unitari diferiți E 1 E 2 ,..., E m , atunci ei formează baza sistemului.

Algoritm pentru găsirea bazei unui sistem de vectori

Pentru a afla baza sistemului de vectori A 1 ,A 2 ,...,A n este necesar:

• Creați un sistem omogen de ecuații corespunzător sistemului de vectori A 1 x 1 +A 2 x 2 +...+A n x n =Θ
• Adu acest sistem

Prelegeri de algebră și geometrie. Semestrul 1.

Cursul 9. Bazele spațiului vectorial.

Rezumat: sistem de vectori, combinație liniară a unui sistem de vectori, coeficienți ai unei combinații liniare a unui sistem de vectori, baza pe o dreaptă, plan și în spațiu, dimensiunile spațiilor vectoriale pe o dreaptă, plan și în spațiu, descompunerea un vector de-a lungul unei baze, coordonatele unui vector relativ la bază, teorema egalității doi vectori, operații liniare cu vectori în notație de coordonate, triplu ortonormal al vectorilor, triplu dreapta și stânga al vectorilor, bază ortonormală, teorema fundamentală a algebrei vectoriale.

Capitolul 9. Baza unui spațiu vectorial și descompunerea unui vector față de bază.

clauza 1. Bazat pe o linie dreaptă, pe un plan și în spațiu.

Definiție. Orice set finit de vectori se numește sistem de vectori.

Definiție. Expresia unde
se numește combinație liniară a unui sistem de vectori
, și numerele
se numesc coeficienții acestei combinații liniare.

Fie L, P și S o dreaptă, un plan și, respectiv, un spațiu de puncte și
. Apoi
– spații vectoriale ale vectorilor ca segmente direcționate pe dreapta L, pe planul P și, respectiv, în spațiul S.

orice vector diferit de zero este numit
, adică orice vector diferit de zero coliniar cu linia L:
Și
.

Desemnarea de bază
:
– baza
.

Definiție. Baza spațiului vectorial
este orice pereche ordonată de vectori necoliniari în spațiu
.

, Unde
,
– baza
.

Definiție. Baza spațiului vectorial
este orice triplu ordonat al vectorilor necoplanari (adică nu se află în același plan) ai spațiului
.

– baza
.

Cometariu. Baza unui spațiu vectorial nu poate conține un vector zero: în spațiu
prin definiție, în spațiu
doi vectori vor fi coliniari dacă cel puțin unul dintre ei este zero, în spațiu
trei vectori vor fi coplanari, adică se vor afla în același plan, dacă cel puțin unul dintre cei trei vectori este zero.

clauza 2. Descompunerea unui vector pe bază.

Definiție. Lăsa - vector arbitrar,
– sistem arbitrar de vectori. Dacă egalitatea este valabilă

apoi spun că vectorul prezentată ca o combinație liniară a unui sistem dat de vectori. Dacă un sistem dat de vectori
este o bază a unui spațiu vectorial, atunci egalitatea (1) se numește descompunerea vectorului pe bază
. Coeficienți de combinație liniară
se numesc în acest caz coordonatele vectorului raportat la bază
.

Teorema. (Despre descompunerea unui vector în raport cu o bază.)

Orice vector al unui spațiu vectorial poate fi extins în baza sa și, în plus, într-un mod unic.

Dovada. 1) Fie L o dreaptă arbitrară (sau axă) și
– baza
. Să luăm un vector arbitrar
. Deoarece ambii vectori Și coliniar pe aceeași linie L, atunci
. Să folosim teorema privind coliniaritatea a doi vectori. Deoarece
, atunci există (există) un astfel de număr
, Ce
si astfel am obtinut descompunerea vectorului pe bază
spațiu vectorial
.

Acum să demonstrăm unicitatea unei astfel de descompunere. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului pe bază
spațiu vectorial
:

Și
, Unde
. Apoi
și folosind legea distributivității obținem:

Deoarece
, apoi din ultima egalitate rezultă că
, etc.

2) Fie acum P un plan arbitrar și
– baza
. Lăsa
un vector arbitrar al acestui plan. Să tragem toți cei trei vectori din orice punct al acestui plan. Să construim 4 linii drepte. Să facem o directă , pe care se află vectorul , Drept
, pe care se află vectorul . Până la sfârșitul vectorului trageți o dreaptă paralelă cu vectorul și o dreaptă paralelă cu vectorul . Aceste 4 linii drepte sculptează un paralelogram. Vezi mai jos fig. 3. După regula paralelogramului
, Și
,
,
– baza ,
– baza
.

Acum, conform celor dovedite deja în prima parte a acestei dovezi, există astfel de numere
, Ce

Și
. De aici obținem:

iar posibilitatea extinderii în bază este dovedită.

Acum dovedim unicitatea expansiunii din punct de vedere al bazei. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului pe bază
spațiu vectorial
:
Și
. Obținem egalitate

De unde vine?
. Dacă
, Acea
, și pentru că
, Acea
iar coeficienții de expansiune sunt egali:
,
. Lasă-l acum
. Apoi
, Unde
. Din teorema privind coliniaritatea a doi vectori rezultă că
. Am obținut o contradicție cu condițiile teoremei. Prin urmare,
Și
, etc.

3) Lasă
– baza
lăsați-l să plece
vector arbitrar. Să realizăm următoarele construcții.

Să lăsăm deoparte toți cei trei vectori de bază
și vector dintr-un punct și construiți 6 plane: planul în care se află vectorii de bază
, avion
si avionul
; mai departe până la sfârșitul vectorului Să desenăm trei plane paralele cu cele trei plane tocmai construite. Aceste 6 avioane sculptează un paralelipiped:

Folosind regula de adunare a vectorilor, obținem egalitatea:

. (1)

Prin constructie
. De aici, prin teorema privind coliniaritatea a doi vectori, rezultă că există un număr
, astfel încât
. De asemenea,
Și
, Unde
. Acum, înlocuind aceste egalități în (1), obținem:

iar posibilitatea extinderii în bază este dovedită.

Să demonstrăm unicitatea unei astfel de descompunere. Să presupunem contrariul. Să fie două descompuneri ale vectorului pe bază
:

ȘI . Apoi

Rețineți că prin condiție vectorii
non-coplanare, prin urmare, ele sunt necoliniare perechi.

Există două cazuri posibile:
sau
.

a) Fie
, apoi din egalitatea (3) rezultă:

. (4)

Din egalitatea (4) rezultă că vectorul se extinde în funcție de bază
, adică vector se află în planul vectorial
şi deci vectorii
coplanar, ceea ce contrazice condiția.

b) Rămâne un caz
, adică
. Apoi din egalitatea (3) obținem sau

Deoarece
este baza spațiului vectorilor aflați în plan și am demonstrat deja unicitatea expansiunii în baza vectorilor planului, apoi din egalitatea (5) rezultă că
Și
, etc.

Teorema a fost demonstrată.

Consecinţă.

1) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori dintr-un spațiu vectorial
și mulțimea numerelor reale R.

2) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori dintr-un spațiu vectorial
și un pătrat cartezian

3) Există o corespondență unu-la-unu între mulțimea de vectori dintr-un spațiu vectorial
și cub cartezian
multime de numere reale R.

Dovada. Să demonstrăm a treia afirmație. Primele două sunt dovedite într-un mod similar.

Selectați și fixați în spațiu
vreo bază
și aranjați un afișaj
conform următoarei reguli:

acestea. Să asociem fiecare vector cu o mulțime ordonată de coordonate.

Deoarece, cu o bază fixă, fiecare vector are un singur set de coordonate, corespondența specificată de regula (6) este într-adevăr o mapare.

Din demonstrarea teoremei rezultă că diferiți vectori au coordonate diferite în raport cu aceeași bază, i.e. cartografierea (6) este o injecție.

Lăsa
un set arbitrar ordonat de numere reale.

Luați în considerare un vector
. Prin construcție, acest vector are coordonate
. În consecință, maparea (6) este o suprajecție.

O mapare care este atât injectivă, cât și surjectivă este bijectivă, adică. unu la unu, etc.

Ancheta a fost dovedită.

Teorema. (Despre egalitatea a doi vectori.)

Doi vectori sunt egali dacă și numai dacă coordonatele lor relativ la aceeași bază sunt egale.

Dovada decurge imediat din corolarul anterior.

clauza 3. Dimensiunea spațiului vectorial.

Definiție. Numărul de vectori din baza unui spațiu vectorial se numește dimensiunea acestuia.

Desemnare:
– dimensiunea spațiului vectorial V.

Astfel, în conformitate cu aceasta și definițiile anterioare, avem:

1)
– spațiu vectorial al vectorilor dreptei L.

– baza
,
,
,
– descompunerea vectorială
pe bază
,
– coordonata vectoriala raportat la bază
.

2)
– spațiu vectorial al vectorilor planului R.

– baza
,
,
,
– descompunerea vectorială
pe bază
,
– coordonate vectoriale raportat la bază
.

3)
– spațiu vectorial al vectorilor în spațiul punctelor S.

– baza
,
,
– descompunerea vectorială
pe bază
,
– coordonate vectoriale raportat la bază
.

Cometariu. Dacă
, Acea
și poți alege o bază
spaţiu
Asa de
– baza
Și
– baza
. Apoi
, Și
, .

Astfel, orice vector al dreptei L, planului P și spațiului S poate fi extins în funcție de bază
:

Desemnare. În virtutea teoremei privind egalitatea vectorilor, putem identifica orice vector cu un triplu ordonat al numerelor reale și să scriem:

Acest lucru este posibil numai dacă baza
fixat și nu există pericolul de a se încurca.

Definiție. Scrierea unui vector sub forma unui triplu ordonat de numere reale se numește forma de coordonate de scriere a unui vector:
.

clauza 4. Operații liniare cu vectori în notație de coordonate.

Lăsa
– baza spatiului
Și
sunt doi dintre vectorii săi arbitrari. Lăsa
Și
– înregistrarea acestor vectori sub formă de coordonate. Să, mai departe,
– arbitrar numar real. Folosind această notație, este valabilă următoarea teoremă.

Teorema. (Despre operațiile liniare cu vectori sub formă de coordonate.)

2)
.

Cu alte cuvinte, pentru a adăuga doi vectori, trebuie să adăugați coordonatele corespunzătoare ale acestora, iar pentru a înmulți un vector cu un număr, trebuie să înmulțiți fiecare coordonată a unui vector dat cu un număr dat.

Dovada. Deoarece, conform condițiilor teoremei, , folosind apoi axiomele spațiului vectorial, care guvernează operațiile de adunare a vectorilor și de înmulțire a unui vector cu un număr, obținem:

Asta implică .

A doua egalitate este dovedită în mod similar.

Teorema a fost demonstrată.

clauza 5. Vectori ortogonali. Baza ortonormala.

Definiție. Doi vectori sunt numiți ortogonali dacă unghiul dintre ei este egal cu un unghi drept, adică.
.

Desemnare:
– vectori Și ortogonală.

Definiție. Trei de vectori
se numește ortogonală dacă acești vectori sunt perechi ortogonali unul față de celălalt, adică.
,
.

Definiție. Trei de vectori
se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimile tuturor vectorilor sunt egale cu unu:
.

Cometariu. Din definiție rezultă că un triplu de vectori ortogonal și, prin urmare, ortonormal este necoplanar.

Definiție. Triplul necoplanar ordonat al vectorilor
trasat dintr-un punct se numește dreapta (orientat la dreapta) dacă, atunci când este observat de la sfârșitul celui de-al treilea vector la planul în care se află primii doi vectori Și , cea mai scurtă rotație a primului vector la al doilea are loc în sens invers acelor de ceasornic. În caz contrar, triplul vectorilor se numește stânga (orientat la stânga).

Aici, în Fig. 6, cei trei din dreapta sunt prezentati
. Următoarea figură 7 prezintă trei din stânga vectorilor
:

Definiție. Bază
spațiu vectorial
se numeste ortonormal daca
triplul ortonormal al vectorilor.

Desemnare. În cele ce urmează vom folosi baza ortonormală potrivită
, vezi figura următoare.

În articolul despre vectorii n-dimensionali, am ajuns la conceptul de spațiu liniar generat de un set de vectori n-dimensionali. Acum trebuie să luăm în considerare concepte la fel de importante, cum ar fi dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Ele sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, deci este recomandat suplimentar să vă amintiți elementele de bază ale acestui subiect.

Să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Dimensiunea spațiului vectorial– numărul corespunzător număr maxim vectori liniar independenți în acest spațiu.

Definiția 2

Baza spațiului vectorial– o mulțime de vectori liniar independenți, ordonați și egali ca număr cu dimensiunea spațiului.

Să considerăm un anumit spațiu de n -vectori. Dimensiunea sa este în mod corespunzător egală cu n. Să luăm un sistem de vectori de n unități:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Folosim acești vectori ca componente ale matricei A: va fi o matrice unitară cu dimensiunea n cu n. Rangul acestei matrice este n. Prin urmare, sistem vectorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) este liniar independent. În acest caz, este imposibil să adăugați un singur vector la sistem fără a-i încălca independența liniară.

Deoarece numărul de vectori din sistem este n, atunci dimensiunea spațiului vectorilor n-dimensionali este n, iar vectorii unitari sunt e (1), e (2), . . . , e(n) sunt baza spațiului specificat.

Din definiția rezultată putem concluziona: orice sistem de vectori n-dimensionali în care numărul de vectori este mai mic decât n nu este o bază de spațiu.

Dacă schimbăm primul și al doilea vector, obținem un sistem de vectori e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Va fi, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să creăm o matrice luând ca rânduri vectorii sistemului rezultat. Matricea poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primele două rânduri, rangul său va fi n. Sistemul e (2) , e (1) , . . . , e(n) este liniar independent și este baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Prin rearanjarea altor vectori în sistemul original, obținem o altă bază.

Putem lua un sistem liniar independent de vectori non-unitari și va reprezenta, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Definiția 3

Un spațiu vectorial cu dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de vectori n-dimensionali ai numărului n.

Planul este un spațiu bidimensional - baza sa va fi oricare doi vectori necoliniari. Baza spațiului tridimensional va fi oricare trei vectori necoplanari.

Să luăm în considerare aplicarea acestei teorii folosind exemple specifice.

Exemplul 1

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Este necesar să se determine dacă vectorii specificați sunt baza unui spațiu vectorial tridimensional.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, studiem sistemul dat de vectori pentru dependența liniară. Să creăm o matrice, în care rândurile sunt coordonatele vectorilor. Să determinăm rangul matricei.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

În consecință, vectorii specificați de condiția problemei sunt independenți liniar, iar numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei stau la baza spațiului vectorial.

Răspuns: vectorii indicați stau la baza spațiului vectorial.

Exemplul 2

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Este necesar să se determine dacă sistemul specificat de vectori poate fi baza spațiului tridimensional.

Soluţie

Sistemul de vectori specificat în formularea problemei este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori liniar independenți este 3. Astfel, sistemul de vectori indicat nu poate servi ca bază pentru un spațiu vectorial tridimensional. Dar este de remarcat faptul că subsistemul sistemului original a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) este o bază.

Răspuns: sistemul indicat de vectori nu este o bază.

Exemplul 3

Date inițiale: vectori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Pot fi ele baza spațiului cu patru dimensiuni?

Soluţie

Să creăm o matrice folosind coordonatele vectorilor dați ca șiruri

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Folosind metoda Gauss, determinăm rangul matricei:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

În consecință, sistemul de vectori dați este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei sunt baza unui spațiu vectorial cu patru dimensiuni.

Răspuns: vectorii dați sunt baza spațiului cu patru dimensiuni.

Exemplul 4

Date inițiale: vectori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Formează ele baza unui spațiu de dimensiunea 4?

Soluţie

Sistemul original de vectori este liniar independent, dar numărul de vectori din el nu este suficient pentru a deveni baza unui spațiu cu patru dimensiuni.

Răspuns: nu, ei nu.

Descompunerea unui vector într-o bază

Să presupunem că vectorii arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să le adăugăm un anumit vector n-dimensional x →: sistemul de vectori rezultat va deveni liniar dependent. Proprietățile dependenței liniare afirmă că cel puțin unul dintre vectorii unui astfel de sistem poate fi exprimat liniar prin ceilalți. Reformulând această afirmație, putem spune că cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar poate fi extins în vectorii rămași.

Astfel, am ajuns la formularea celei mai importante teoreme:

Definiția 4

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional poate fi descompus în mod unic într-o bază.

Dovada 1

Să demonstrăm această teoremă:

să stabilim baza spațiului vectorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Să facem sistemul dependent liniar prin adăugarea unui vector n-dimensional x → la el. Acest vector poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor originali e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , unde x 1 , x 2 , . . . , x n - unele numere.

Acum demonstrăm că o astfel de descompunere este unică. Să presupunem că nu este cazul și că există o altă descompunere similară:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , unde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - unele numere.

Să scădem din stânga și din dreapta acestei egalități, respectiv, din stânga și din dreapta egalității x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Primim:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem de vectori de bază e (1) , e (2) , . . . , e(n) este liniar independent; prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea de mai sus este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) va fi egal cu zero. Din care va fi corect: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Și aceasta dovedește singura opțiune pentru descompunerea unui vector într-o bază.

În acest caz, coeficienții x 1, x 2, . . . , x n se numesc coordonatele vectorului x → în baza e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teoria dovedită face clară expresia „ dat un vector n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: se consideră un vector x → spațiu vectorial n-dimensional, iar coordonatele sale sunt specificate într-un anumită bază. De asemenea, este clar că același vector într-o altă bază a spațiului n-dimensional va avea coordonate diferite.

Luați în considerare următorul exemplu: să presupunem că într-o anumită bază a spațiului vectorial n-dimensional este dat un sistem de n vectori liniar independenți

și, de asemenea, este dat vectorul x = (x 1 , x 2 ,..., x n).

Vectorii e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) în acest caz sunt, de asemenea, baza acestui spațiu vectorial.

Să presupunem că este necesar să se determine coordonatele vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , notat cu x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vector x → va fi reprezentat astfel:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Să scriem această expresie sub formă de coordonate:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n) , .

Egalitatea rezultată este echivalentă cu un sistem de n expresii algebrice liniare cu n variabile liniare necunoscute x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matricea acestui sistem va avea următoarea formă:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Fie aceasta o matrice A, iar coloanele sale sunt vectori ai unui sistem liniar independent de vectori e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rangul matricei este n, iar determinantul său este diferit de zero. Aceasta indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică, determinată de orice metodă convenabilă: de exemplu, metoda Cramer sau metoda matricei. Astfel putem determina coordonatele x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vector x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Să aplicăm teoria luată în considerare la un exemplu specific.

Exemplul 6

Date inițiale: vectorii sunt specificați pe baza spațiului tridimensional

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Este necesar să se confirme faptul că sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) servește și ca bază a unui spațiu dat și, de asemenea, să se determine coordonatele vectorului x într-o bază dată.

Soluţie

Sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) va sta la baza spațiului tridimensional dacă este liniar independent. Să aflăm această posibilitate determinând rangul matricei A, ale cărei rânduri sunt vectorii dați e (1), e (2), e (3).

Folosim metoda Gauss:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Astfel, sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) este liniar independent și este o bază.

Fie vectorul x → să aibă coordonatele x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 în bază. Relația dintre aceste coordonate este determinată de ecuația:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Să aplicăm valorile în funcție de condițiile problemei:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Să rezolvăm sistemul de ecuații folosind metoda lui Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Astfel, vectorul x → în baza e (1), e (2), e (3) are coordonatele x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Răspuns: x = (1, 1, 1)

Relația dintre baze

Să presupunem că într-o anumită bază a spațiului vectorial n-dimensional sunt date două sisteme de vectori liniar independente:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Aceste sisteme sunt, de asemenea, bazele unui spațiu dat.

Fie c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordonatele vectorului c (1) în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atunci relația de coordonate va fi dată de un sistem de ecuații liniare:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistemul poate fi reprezentat ca o matrice după cum urmează:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să facem aceeași intrare pentru vectorul c (2) prin analogie:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să combinăm egalitățile matriceale într-o singură expresie:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Acesta va determina legătura dintre vectorii a două baze diferite.

Folosind același principiu, se pot exprima toți vectorii de bază e(1), e(2), . . . , e (3) prin baza c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Să dăm următoarele definiții:

Definiția 5

Matricea c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3)

la baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definiția 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza c (1) , c (2) , . . . , c(n)

la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Din aceste egalităţi este evident că

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

acestea. matricele de tranziție sunt reciproce.

Să ne uităm la teorie folosind un exemplu specific.

Exemplul 7

Date inițiale: este necesar să se găsească matricea de tranziție de la bază

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

De asemenea, trebuie să indicați relația dintre coordonatele unui vector arbitrar x → în bazele date.

Soluţie

1. Fie T matricea de tranziție, atunci egalitatea va fi adevărată:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Înmulțiți ambele părți ale egalității cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

și obținem:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definiți matricea de tranziție:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Să definim relația dintre coordonatele vectorului x → :

Să presupunem că în baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → are coordonatele x 1 , x 2 , x 3 , atunci:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

iar în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) are coordonatele x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, atunci:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Deoarece Dacă părțile din stânga acestor egalități sunt egale, putem echivala și părțile din dreapta:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Înmulțiți ambele părți din dreapta cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

și obținem:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Pe cealaltă parte

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ultimele egalități arată relația dintre coordonatele vectorului x → în ambele baze.

Răspuns: matricea de tranziție

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Coordonatele vectorului x → în bazele date sunt legate prin relația:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter