Calculatorul calculează derivatele tuturor functii elementare, oferind o soluție detaliată. Variabila de diferentiere determinată automat.

Derivata unei functii- unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Probleme precum, de exemplu, calcularea viteza instantanee punct la un moment dat, dacă se cunoaște calea în funcție de timp, problema este să găsești tangenta la funcție în punct.

Cel mai adesea, derivata unei funcții este definită ca limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului, dacă acesta există.

Definiție. Fie definită funcția într-o anumită vecinătate a punctului. Atunci derivata funcției într-un punct se numește limită, dacă există

Cum se calculează derivata unei funcții?

Pentru a învăța să diferențiezi funcții, trebuie să înveți și să înțelegi reguli de diferențiere si invata sa folosesti tabelul derivatelor.

Reguli de diferențiere

Fie și să fie funcții diferențiabile arbitrare ale unei variabile reale și să fie o constantă reală. Apoi

— regula de diferențiere a produsului de funcții

— regula de diferențiere a funcțiilor de coeficient

0" height="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — diferențierea unei funcții cu exponent variabil

— regula de diferențiere a unei funcții complexe

— regula de diferențiere a unei funcții de putere

Derivată a unei funcții online

Calculatorul nostru va calcula rapid și precis derivata oricărei funcții online. Programul nu va face greșeli la calcularea derivatei și vă va ajuta să evitați calculele lungi și plictisitoare. Un calculator online va fi util și în cazurile în care este nevoie să verificați dacă soluția dvs. este corectă și, dacă este incorectă, găsiți rapid o eroare.

În această lecție ne vom familiariza cu conceptul de funcție a două variabile și, de asemenea, vom lua în considerare în detaliu sarcina cea mai comună - găsirea derivate parțiale diferența completă a unei funcții de ordinul întâi și al doilea.

Pentru a studia eficient materialul de mai jos, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivate „obișnuite” ale funcțiilor unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul? și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, vom avea nevoie de un tabel cu derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, cel mai convenabil este dacă este la îndemână în formă tipărită.

Să începem cu însuși conceptul de funcție a două variabile, vom încerca să ne limităm la minim de teorie, întrucât site-ul are o orientare practică. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: - funcţia a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Este util să cunoaștem semnificația geometrică a funcțiilor. O funcție a unei variabile corespunde unei anumite drepte pe un plan, de exemplu, parabola școlară familiară. Orice funcție a două variabile din punct de vedere geometric reprezintă o suprafață în spațiu tridimensional (plane, cilindri, bile, paraboloizi etc.). Dar, de fapt, aceasta este deja geometrie analitică, iar analiza matematică este pe agenda noastră.

Să trecem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și se găsesc la un material incredibil de dificil: derivatele parțiale sunt aproape la fel cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe, la care vom ajunge într-un moment.

Exemplul 1

Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției

Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Denumiri:

Sau – derivată parțială în raport cu „x”

Sau – derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu .

Important! Când găsim derivata parțială față de „x”, atunci variabila este considerată o constantă (număr constant).

Să decidem. În această lecție, vom oferi imediat soluția completă și vom oferi comentarii mai jos.

Comentarii asupra acțiunilor efectuate:

(1) Primul lucru pe care îl facem când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub prim cu indice.

Atentie, important! NU PIERDERM abonamente în timpul procesului de soluționare. În acest caz, dacă desenați o „trăsătură” undeva fără , atunci profesorul, cel puțin, o poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din punct pentru neatenție).

(2) Folosim regulile de diferențiere ; . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate cu ușurință într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatului, apoi l-am scos din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate „X”-urile din tabel cu „I”. Adică acest tabel este la fel de valabil pentru (și pentru orice scrisoare în general).În acest caz, formulele pe care le folosim sunt: ​​și .

Deci, se găsesc derivate parțiale de ordinul întâi

Continuăm cu subiectul preferat al analizei matematice – derivatele. În acest articol vom învăța cum să găsim derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile: derivate primare și derivate secunde. Ce trebuie să știi și să poți face pentru a stăpâni materialul? Credeți sau nu, în primul rând, trebuie să puteți găsi derivate „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile - la un nivel ridicat sau cel puțin mediu. Dacă este cu adevărat dificil cu ei, atunci începe cu o lecție Cum să găsesc derivatul?În al doilea rând, este foarte important să citiți articolul și să înțelegeți și să rezolvați, dacă nu toate, atunci majoritatea exemplelor. Dacă acest lucru a fost deja făcut, atunci mergeți cu mine cu un mers încrezător, va fi interesant, chiar vă veți bucura!

Metode și principii de găsire derivate parțiale ale unei funcții a trei variabile sunt de fapt foarte asemănătoare cu derivatele parțiale ale funcțiilor a două variabile. O funcție a două variabile, permiteți-mi să vă reamintesc, are forma , unde „x” și „y” sunt variabile independente. Geometric, o funcție a două variabile reprezintă o anumită suprafață în spațiul nostru tridimensional.

O funcție de trei variabile are forma , iar variabilele sunt numite independentvariabile sau argumente, variabila este numită variabilă dependentă sau funcţie. De exemplu: – funcţia a trei variabile

Și acum puțin despre filme științifico-fantastice și extratereștri. Puteți auzi adesea despre patru-dimensionale, cinci-dimensionale, zece-dimensionale etc. spatii. Prostii sau nu?
La urma urmei, funcția a trei variabile implică faptul că toate lucrurile au loc într-un spațiu cu patru dimensiuni (într-adevăr, există patru variabile). Graficul unei funcții de trei variabile este așa-numitul hipersuprafață. Este imposibil de imaginat, deoarece trăim în spațiu tridimensional (lungime/lățime/înălțime). Ca să nu te plictisești de mine, îți propun un test. Voi pune câteva întrebări și oricine este interesat poate încerca să răspundă la ele:

– Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii filistei a spațiului (lungime/lățime/înălțime)?

– Este posibil să se construiască un patru-dimensional, cinci-dimensional etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică, dați un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră.

– Este posibil să călătorești în trecut?

– Este posibil să călătorești în viitor?

– Extratereștrii există?

Pentru orice întrebare puteți alege unul dintre cele patru răspunsuri:
Da / Nu (știința interzice acest lucru) / Știința nu interzice acest lucru / Nu știu

Cine răspunde corect la toate întrebările este cel mai probabil să aibă un articol ;-)

Voi da treptat răspunsuri la întrebări pe măsură ce lecția progresează, nu ratați exemplele!

De fapt, au zburat. Și imediat vestea bună: pentru o functie de trei variabile sunt valabile regulile de diferentiere si tabelul derivatelor. De aceea trebuie să fii bun la a face față cu „obișnuitul” derivate ale funcţiilor o variabilă. Sunt foarte putine diferente!

Exemplul 1

Soluţie: Nu este greu de ghicit - pentru o funcție de trei variabile există Trei derivate parțiale de ordinul întâi, care sunt notate după cum urmează:

Sau – derivată parțială față de „x”;
sau – derivată parțială în raport cu „y”;
sau – derivată parțială în raport cu „zet”.

Simbolul cu un prim este mai comun, dar compilatorilor de colecții și manuale de instruire le place foarte mult să folosească simboluri greoaie pentru probleme - așa că nu vă pierdeți! Poate că nu toată lumea știe să citească corect aceste „fracții de temut” cu voce tare. Exemplu: ar trebui citit după cum urmează: „de u po de x”.

Să începem cu derivata față de „X”: . Când găsim derivata parțială în raport cu , apoi variabilele Și sunt considerate constante (numerele constante).Și derivata oricărei constante, oh, grație, este egală cu zero:

Acordați atenție imediată indicelui - nimeni nu vă interzice să marcați că sunt constante. Este și mai convenabil, recomand ca începătorii să folosească o astfel de notație, există mai puțin risc de a se confunda.

(1) Folosim proprietățile de liniaritate ale derivatei, în special, luăm toate constantele în afara semnului derivatei. Vă rugăm să rețineți că în al doilea termen nu este nevoie să eliminați constanta: deoarece „Y” este o constantă, atunci este și o constantă. În termen, constanta „obișnuită” 8 și constanta „zet” sunt scoase din semnul derivat.

(2) Găsim cele mai simple derivate, fără a uita că sunt constante. Apoi pieptănăm răspunsul.

Derivată parțială. Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilele Și sunt considerate constante:

(1) Folosim proprietățile liniarității. Și din nou, rețineți că termenii , sunt constante, ceea ce înseamnă că nimic nu trebuie să fie scos din semnul derivat.

(2) Găsiți derivate, fără a uita că sunt constante. În continuare simplificăm răspunsul.

Și în sfârșit, derivata parțială. Când găsim derivata parțială față de „zet”, atunci variabilele Și sunt considerate constante:

Regula generala evident și fără pretenții: Când găsim derivata parțialăPentru orice motiv variabilă independentă, atunciîncă doi variabilele independente sunt considerate constante.

Când îndepliniți aceste sarcini, ar trebui să fiți extrem de atenți, în special, Nu puteți pierde abonamente(care indică ce variabilă este folosită pentru diferențiere). Pierderea indicelui ar fi o CONDIȚIE GROSĂ. Hmmm…. E amuzant dacă după o asemenea intimidare îi las să treacă undeva)

Exemplul 2

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Cele două exemple luate în considerare sunt destul de simple și, după ce au rezolvat mai multe probleme similare, chiar și un ceainic se va obișnui să le rezolve pe cale orală.

Pentru a scăpa de stres, să revenim la prima întrebare a testului: Există un al patrulea, al cincilea etc. în lume? măsurători în sensul înțelegerii comune a spațiului (lungime/lățime/înălțime)?

Răspuns corect: Știința nu interzice acest lucru. Toate axiomaticile matematice fundamentale, teoremele, aparatele matematice sunt frumoase și consistent lucrează în spațiu de orice dimensiune. Este posibil ca undeva în Univers să existe hipersuprafețe dincolo de controlul minții noastre, de exemplu, o hipersuprafață cu patru dimensiuni, care este definită de o funcție a trei variabile. Sau poate că hipersuprafețele sunt lângă noi sau chiar suntem chiar în ele, doar că viziunea, celelalte simțuri și conștiința noastră sunt capabile să perceapă și să înțeleagă doar trei dimensiuni.

Să revenim la exemple. Da, dacă cineva este foarte încărcat cu testul, este mai bine să citiți răspunsurile la următoarele întrebări după ce ați învățat cum să găsiți derivatele parțiale ale unei funcții de trei variabile, altfel vă voi uimi mintea pe parcursul articolului =)

Pe lângă cele mai simple Exemple 1 și 2, în practică există sarcini care pot fi numite un mic puzzle. Spre supărarea mea, astfel de exemple au dispărut din vedere când am creat lecția Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile. Sa prindem din urma:

Exemplul 3

Soluţie: Se pare că „totul este simplu” aici, dar prima impresie este înșelătoare. Când găsesc derivate parțiale, mulți vor ghici frunzele de ceai și vor face greșeli.

Să privim exemplul în mod consecvent, clar și înțeles.

Să începem cu derivata parțială față de „x”. Când găsim derivata parțială față de „x”, variabilele sunt considerate constante. Prin urmare, exponentul funcției noastre este, de asemenea, o constantă. Pentru manechine, recomand următoarea soluție: în schiță, schimbați constanta cu un anumit întreg pozitiv, de exemplu, „cinci”. Rezultatul este o funcție a unei variabile:
sau poți scrie și așa:

Acest putere funcţia cu o bază complexă (sinus). De :

Acum ne amintim că, astfel:

În etapa finală, desigur, soluția ar trebui să fie scrisă astfel:

Găsim derivata parțială față de „y”, acestea sunt considerate constante. Dacă „x” este o constantă, atunci este și o constantă. Pe schiță facem același truc: înlocuiți, de exemplu, cu 3, „Z” - înlocuiți cu același „cinci”. Rezultatul este din nou o funcție a unei variabile:

Acest indicativ funcție cu un exponent complex. De regula de diferentiere a functiilor complexe:

Acum să ne amintim înlocuitorul nostru:

Prin urmare:

Pe pagina finală, desigur, designul ar trebui să arate frumos:

Și cazul în oglindă cu derivata parțială față de „zet” (– constante):

Cu ceva experiență, analiza poate fi efectuată mental.

Să finalizăm a doua parte a sarcinii - alcătuiți un diferențial de ordinul întâi. Este foarte simplu, prin analogie cu o funcție a două variabile, se scrie o diferență de ordinul întâi folosind formula:

În acest caz:

Și asta e afacere. Observ că în problemele practice, un diferențial complet de ordinul I pentru o funcție de trei variabile este necesar să fie construit mult mai rar decât pentru o funcție de două variabile.

Un exemplu amuzant pentru a o rezolva singur:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile și construiți o diferenţială completă de ordinul întâi

Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției. Dacă întâmpinați dificultăți, utilizați algoritmul „Chaynikovsky” discutat, vă va ajuta garantat. Și mai departe sfaturi utile – nu te grabi. Nici măcar eu nu pot rezolva rapid astfel de exemple.

Să ne divagăm și să ne uităm la a doua întrebare: Este posibil să construim un patru-dimensional, cinci-dimensional etc. spațiu în sensul larg al cuvântului? Adică, dați un exemplu de astfel de spațiu din viața noastră.

Răspuns corect: da. În plus, este foarte ușor. De exemplu, adăugăm o a patra dimensiune la lungime/lățime/înălțime - timp. Popularul spațiu-timp cu patru dimensiuni și binecunoscuta teorie a relativității, furate cu grijă de Einstein lui Lobachevsky, Poincaré, Lorentz și Minkowski. Nici toată lumea nu știe. De ce a câștigat Einstein Premiul Nobel? A existat un scandal teribil în lumea științifică, iar Comitetul Nobel a formulat meritul plagiatorului aproximativ astfel: „Pentru contribuția sa generală la dezvoltarea fizicii”. Deci asta este. Brandul studentului C Einstein este pură promovare și PR.

Este ușor să adăugați o a cincea dimensiune spațiului cu patru dimensiuni considerat, de exemplu: presiunea atmosferică. Și așa mai departe, așa mai departe, câte dimensiuni specificați în modelul dvs. - atâtea vor fi. În sensul larg al cuvântului, trăim într-un spațiu multidimensional.

Să ne uităm la câteva sarcini obișnuite:

Exemplul 5

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi într-un punct

Soluţie: O sarcină din această formulare se găsește adesea în practică și implică următoarele două acțiuni:
– trebuie să găsiți derivate parțiale de ordinul întâi;
– trebuie să calculați valorile derivatelor parțiale de ordinul 1 la punctul respectiv.

Noi decidem:

(1) În fața noastră este o funcție complexă, iar în primul pas ar trebui să luăm derivata arctangentei. În acest caz, folosim, de fapt, cu calm formula tabulară pentru derivata arctangentei. De regula de diferentiere a functiilor complexe rezultatul trebuie înmulțit cu derivata funcției interne (înglobare): .

(2) Folosim proprietățile liniarității.

(3) Și luăm derivatele rămase, fără a uita că sunt constante.

Conform condițiilor de atribuire, este necesar să se găsească valoarea derivatei parțiale găsite la punctul. Să înlocuim coordonatele punctului în derivata găsită:

Avantajul acestei sarcini este faptul că alte derivate parțiale sunt găsite conform unei scheme foarte asemănătoare:

După cum puteți vedea, șablonul de soluție este aproape același.

Să calculăm valoarea derivatei parțiale găsite în punctul:

Și, în sfârșit, derivata cu privire la „zet”:

Gata. Soluția ar fi putut fi formulată într-un alt mod: mai întâi găsiți toate cele trei derivate parțiale și apoi calculați valorile lor la punctul respectiv. Dar, mi se pare, metoda de mai sus este mai convenabilă - doar găsiți derivata parțială și imediat, fără a părăsi casa de marcat, calculați valoarea acesteia la punctul respectiv.

Este interesant de observat că, din punct de vedere geometric, un punct este un punct foarte real în spațiul nostru tridimensional. Valorile funcției și derivatelor sunt deja a patra dimensiune și nimeni nu știe unde este localizată geometric. După cum se spune, nimeni nu s-a târât în ​​jurul Universului cu o bandă de măsurare sau a verificat.

Întrucât subiectul filozofic este din nou în creștere, să luăm în considerare a treia întrebare: Este posibil să călătorești în trecut?

Răspuns corect: Nu. Călătoria în trecut contrazice a doua lege a termodinamicii privind ireversibilitatea proceselor fizice (entropia). Deci, vă rugăm să nu vă scufundați într-o piscină fără apă, evenimentul poate fi reluat doar într-un videoclip =) Nu degeaba înțelepciunea populară a venit cu legea opusă de zi cu zi: „Măsoară de două ori, tăie o dată”. Deși, de fapt, tristul este că timpul este unidirecțional și ireversibil, niciunul dintre noi nu va fi mai tânăr mâine. Și diverse filme științifico-fantastice precum „Terminatorul” sunt o prostie completă din punct de vedere științific. Este absurd și din punct de vedere filozofic când Efectul, revenind în trecut, își poate distruge propria Cauză. .

Este mai interesant cu derivatul „zet”, deși este aproape același:

(1) Scoatem constantele din semnul derivatei.

(2) Iată din nou produsul a două funcții, fiecare dintre ele depinde din variabila „live” „zet”. În principiu, puteți utiliza formula pentru derivata unui cot, dar este mai ușor să mergeți în altă direcție - găsiți derivata produsului.

(3) Derivata este o derivată tabelară. Al doilea termen conține derivata deja familiară a unei funcții complexe.

Exemplul 9

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții de trei variabile

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Gândiți-vă cum să găsiți mai rațional această sau acea derivată parțială. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Înainte de a trece la exemplele finale ale lecției și de a privi derivate parțiale de ordinul doi funcții a trei variabile, îi voi înveseli pe toată lumea din nou cu a patra întrebare:

Este posibil să călătorești în viitor?

Răspuns corect: Știința nu interzice acest lucru. Paradoxal, nu există nicio lege matematică, fizică, chimică sau de altă natură care să interzică călătoriile în viitor! Pare o prostie? Dar aproape toată lumea în viață a avut o premoniție (și nu susținută de niciun argument logic) că se va întâmpla cutare sau cutare eveniment. Și s-a întâmplat! De unde au venit informatia? Din viitor? Astfel, filmele științifico-fantastice despre călătoriile în viitor și, apropo, predicțiile tuturor tipurilor de ghicitori și psihici nu pot fi numite astfel de prostii. Cel puțin știința nu a respins acest lucru. Totul este posibil! Așa că, când eram la școală, CD-urile și monitoarele cu ecran plat din filme mi s-au părut incredibile.

Celebra comedie „Ivan Vasilyevich își schimbă profesia” este jumătate ficțiune (cel mult). Nicio lege științifică nu a interzis lui Ivan cel Groaznic să existe în viitor, dar este imposibil ca doi ardei să ajungă în trecut și să îndeplinească îndatoririle unui rege.

Derivate parțiale ale unei funcții a două variabile.
Concept și exemple de soluții

În această lecție vom continua cunoașterea funcției a două variabile și vom lua în considerare, probabil, cea mai comună sarcină tematică - găsirea derivate parțiale de ordinul întâi și al doilea, precum și diferența totală a funcției. Studenții cu fracțiune de normă, de regulă, întâlnesc derivate parțiale în anul I în semestrul II. Mai mult decât atât, conform observațiilor mele, sarcina de a găsi derivate parțiale apare aproape întotdeauna la examen.

Pentru a studia eficient materialul de mai jos, tu necesar să poată găsi mai mult sau mai puțin cu încredere derivate „obișnuite” ale funcțiilor unei variabile. Puteți învăța cum să gestionați corect derivatele în lecții Cum să găsesc derivatul?Și Derivată a unei funcții complexe. De asemenea, vom avea nevoie de un tabel cu derivate ale funcțiilor elementare și reguli de diferențiere, cel mai convenabil este dacă este la îndemână în formă tipărită. Puteți obține material de referință pe pagină Formule și tabele matematice.

Să repetăm ​​rapid conceptul de funcție a două variabile, voi încerca să mă limitez la minim. O funcție a două variabile este de obicei scrisă ca , variabilele fiind numite variabile independente sau argumente.

Exemplu: – funcţia a două variabile.

Uneori se folosește notația. Există, de asemenea, sarcini în care litera este folosită în loc de scrisoare.

Din punct de vedere geometric, o funcție a două variabile reprezintă cel mai adesea o suprafață în spațiu tridimensional (plan, cilindru, sferă, paraboloid, hiperboloid etc.). Dar, de fapt, aceasta este mai mult geometrie analitică, iar pe agenda noastră se află analiza matematică, pe care profesorul meu universitar nu mi-a lăsat-o niciodată să o opresc și este „punctul meu forte”.

Să trecem la problema găsirii derivatelor parțiale de ordinul întâi și al doilea. Am niște vești bune pentru cei care au băut câteva cești de cafea și se găsesc la un material incredibil de dificil: derivatele parțiale sunt aproape la fel cu derivatele „obișnuite” ale unei funcții a unei variabile.

Pentru derivatele parțiale sunt valabile toate regulile de diferențiere și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare. Există doar câteva mici diferențe, pe care le vom cunoaște chiar acum:

...da, apropo, pentru acest subiect pe care l-am creat carte mica pdf, care vă va permite să vă „prindeți dinții” în doar câteva ore. Dar utilizând site-ul, veți obține cu siguranță același rezultat - poate puțin mai lent:

Exemplul 1

Găsiți derivatele parțiale de ordinul I și II ale funcției

Mai întâi, să găsim derivatele parțiale de ordinul întâi. Sunt doi dintre ei.

Denumiri:
sau – derivată parțială în raport cu „x”
sau – derivată parțială în raport cu „y”

Sa incepem cu . Când găsim derivata parțială față de „x”, variabila este considerată o constantă (număr constant).

Comentarii asupra acțiunilor efectuate:

(1) Primul lucru pe care îl facem când găsim derivata parțială este să concluzionam toate funcţionează între paranteze sub prim cu indice.

Atentie, important! NU PIERDERM abonamente în timpul procesului de soluționare. În acest caz, dacă desenați o „loc” undeva fără , atunci profesorul, cel puțin, îl poate pune lângă sarcină (mușcă imediat o parte din punct pentru neatenție).

(2) Folosim regulile de diferențiere , . Pentru un exemplu simplu ca acesta, ambele reguli pot fi aplicate cu ușurință într-un singur pas. Atenție la primul termen: de când este considerată o constantă și orice constantă poate fi scoasă din semnul derivatului, apoi l-am scos din paranteze. Adică, în această situație, nu este mai bun decât un număr obișnuit. Acum să ne uităm la al treilea termen: aici, dimpotrivă, nu este nimic de scos. Deoarece este o constantă, este și o constantă și, în acest sens, nu este mai bună decât ultimul termen - „șapte”.

(3) Folosim derivate tabulare și .

(4) Să simplificăm sau, după cum îmi place să spun, să „ajustăm” răspunsul.

Acum . Când găsim derivata parțială față de „y”, atunci variabilaconsiderată o constantă (număr constant).

(1) Folosim aceleași reguli de diferențiere , . În primul termen scoatem constanta din semnul derivatei, în al doilea termen nu putem scoate nimic deoarece este deja o constantă.

(2) Folosim tabelul derivatelor funcțiilor elementare. Să schimbăm mental toate „X”-urile din tabel cu „I”. Adică, acest tabel este la fel de valabil pentru (și într-adevăr pentru aproape orice literă). În special, formulele pe care le folosim arată astfel: și .

Care este sensul derivatelor parțiale?

În esență, derivatele parțiale de ordinul 1 se aseamănă derivat „obișnuit”.:

- Acest funcții, care caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia axelor şi, respectiv. Deci, de exemplu, funcția caracterizează abruptul „creșterilor” și „pantelor” suprafeteîn direcția axei absciselor, iar funcția ne vorbește despre „relieful” aceleiași suprafețe în direcția axei ordonatelor.

! Notă : aici ne referim la direcții care paralel axele de coordonate.

Pentru o mai bună înțelegere, să luăm în considerare un punct specific din plan și să calculăm valoarea funcției („înălțimea”) la acesta:
– și acum imaginează-ți că ești aici (LA suprafață).

Să calculăm derivata parțială față de „x” la un punct dat:

Semnul negativ al derivatului „X” ne vorbește despre in scadere funcţionează într-un punct în direcţia axei absciselor. Cu alte cuvinte, dacă facem un mic, mic (infinitezimal) pas spre vârful axei (paralel cu această axă), apoi vom coborî pe panta suprafeței.

Acum aflăm natura „terenului” în direcția axei ordonatelor:

Derivata față de „y” este pozitivă, prin urmare, într-un punct din direcția axei funcția crește. Pentru a spune simplu, aici așteptăm o urcare în urcare.

În plus, derivata parțială la un punct caracterizează rata de schimbare funcţionează în direcţia corespunzătoare. Cu cât valoarea rezultată este mai mare modulo– cu cât suprafața este mai abruptă și invers, cu cât este mai aproape de zero, cu atât suprafața este mai plată. Deci, în exemplul nostru, „panta” în direcția axei absciselor este mai abruptă decât „muntele” în direcția axei ordonatelor.

Dar acelea erau două căi private. Este destul de clar că din punctul în care ne aflăm, (și în general din orice punct de pe o suprafață dată) ne putem deplasa într-o altă direcție. Astfel, există interesul de a realiza o „hartă de navigație” generală care să ne informeze despre „peisajul” suprafeței. dacă este posibilîn fiecare punct domeniul de definire a acestei funcţii pe toate căile disponibile. Voi vorbi despre acest lucru și despre alte lucruri interesante într-una dintre lecțiile următoare, dar deocamdată să revenim la partea tehnică a problemei.

Să sistematizăm regulile elementare aplicate:

1) Când facem diferență față de , variabila este considerată o constantă.

2) Când diferenţierea se realizează conform, atunci este considerată o constantă.

3) Regulile și tabelul de derivate ale funcțiilor elementare sunt valabile și aplicabile pentru orice variabilă (sau oricare alta) prin care se realizează diferențierea.

Pasul doi. Găsim derivate parțiale de ordinul doi. Sunt patru.

Denumiri:
sau – derivata a doua în raport cu „x”
sau – derivata a doua în raport cu „Y”
sau - amestecat derivată a lui „x prin igr”
sau - amestecat derivata lui "Y"

Nu există probleme cu derivata a doua. Vorbitor într-un limbaj simplu, a doua derivată este derivata primei derivate.

Pentru comoditate, voi rescrie derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite:

Mai întâi, să găsim derivate mixte:

După cum puteți vedea, totul este simplu: luăm derivata parțială și o diferențiam din nou, dar în acest caz - de data aceasta în funcție de „Y”.

De asemenea:

În exemple practice, vă puteți concentra pe următoarea egalitate:

Astfel, prin derivate mixte de ordinul doi este foarte convenabil să verificăm dacă am găsit corect derivatele parțiale de ordinul întâi.

Aflați derivata a doua în raport cu „x”.
Fără invenții, să o luăm și diferențiază-l prin „x” din nou:

De asemenea:

Trebuie remarcat faptul că atunci când găsiți, trebuie să arătați atenție sporită, întrucât nu există egalități miraculoase care să le verifice.

Derivatele secunde găsesc, de asemenea, largi uz practic, în special, sunt folosite în sarcina de a găsi extremele unei funcţii a două variabile. Dar totul are timpul lui:

Exemplul 2

Calculați derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției în punctul. Găsiți derivate de ordinul doi.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsuri la sfârșitul lecției). Dacă aveți dificultăți în diferențierea rădăcinilor, reveniți la lecție Cum să găsesc derivatul?În general, destul de curând veți învăța să găsiți astfel de derivate „din mers”.

Să punem mâna pe mai multe exemple complexe:

Exemplul 3

Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.

Soluție: Aflați derivatele parțiale de ordinul întâi:

Atenție la indice: , lângă „X” nu este interzis să scrieți între paranteze că este o constantă. Această notă poate fi foarte utilă pentru începători pentru a facilita navigarea prin soluție.

Comentarii suplimentare:

(1) Deplasăm toate constantele dincolo de semnul derivatei. În acest caz, și , și, prin urmare, produsul lor este considerat un număr constant.

(2) Nu uitați cum să diferențiați corect rădăcinile.

(1) Luăm toate constantele din semnul derivatei în acest caz, constanta este .

(2) Sub prim avem produsul a două funcții rămase, prin urmare, trebuie să folosim regula pentru diferențierea produsului .

(3) Nu uitați că aceasta este o funcție complexă (deși cea mai simplă dintre cele complexe). Folosim regula corespunzătoare: .

Acum găsim derivate mixte de ordinul doi:

Aceasta înseamnă că toate calculele au fost efectuate corect.

Să notăm diferența totală. În contextul sarcinii luate în considerare, nu are sens să spunem care este diferența totală a unei funcții a două variabile. Este important ca această diferență să fie scrisă foarte des în probleme practice.

Diferenţial total de ordinul întâi funcția a două variabile are forma:

În acest caz:

Adică, trebuie doar să înlocuiți prostesc derivatele parțiale de ordinul întâi deja găsite în formulă. În această situație și în situații similare, cel mai bine este să scrieți semnele diferențiale în numărător:

Și conform solicitărilor repetate ale cititorilor, diferenţial complet de ordinul doi.

Arata cam asa:

Să găsim cu ATENȚIE derivatele „cu o literă” de ordinul 2:

și notează „monstrul”, „atașând” cu grijă pătratele, produsul și fără a uita să dublezi derivatul mixt:

Este în regulă dacă ceva pare dificil, poți reveni oricând la derivate mai târziu, după ce ai stăpânit tehnica de diferențiere:

Exemplul 4

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții . Verifică asta . Notați diferența totală de ordinul întâi.

Să ne uităm la o serie de exemple cu funcții complexe:

Exemplul 5

Găsiți derivatele parțiale de ordinul întâi ale funcției.

Soluţie:

Exemplul 6

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .
Notați diferența totală.

Acesta este un exemplu pe care îl puteți rezolva singur (răspunsul la sfârșitul lecției). Nu vă voi da o soluție completă pentru că este destul de simplă.

Destul de des, toate regulile de mai sus sunt aplicate în combinație.

Exemplul 7

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

(1) Folosim regula de diferențiere a sumei

(2) Primul termen în acest caz este considerat o constantă, deoarece nu există nimic în expresie care să depindă de „x” - doar „y”. Știi, este întotdeauna frumos când o fracție poate fi transformată în zero). Pentru al doilea termen aplicăm regula de diferențiere a produsului. Apropo, în acest sens, nimic nu s-ar fi schimbat dacă s-ar fi dat în schimb o funcție - important este că aici produs a doua functii, Fiecare dintre ele depinde de "X", și, prin urmare, trebuie să utilizați regula de diferențiere a produsului. Pentru al treilea termen, aplicăm regula de diferențiere a unei funcții complexe.

(1) Primul termen atât la numărător, cât și la numitor conține un „Y”, prin urmare, trebuie să utilizați regula pentru diferențierea coeficientilor: . Al doilea termen depinde NUMAI de „x”, ceea ce înseamnă că este considerat o constantă și se transformă în zero. Pentru al treilea termen folosim regula de diferențiere a unei funcții complexe.

Pentru acei cititori care au ajuns cu curaj aproape până la sfârșitul lecției, vă voi spune o glumă veche cu Mehmatov pentru ușurare:

Într-o zi, un derivat malefic a apărut în spațiul funcțiilor și a început să diferențieze pe toți. Toate funcțiile sunt împrăștiate în toate direcțiile, nimeni nu vrea să se transforme! Și o singură funcție nu fuge. Derivatul se apropie de ea și o întreabă:

- De ce nu fugi de mine?

- Ha. Dar nu-mi pasă, pentru că sunt „e la puterea lui X”, iar tu nu-mi vei face nimic!

La care derivatul malefic cu un zâmbet insidios îi răspunde:

- Aici te înșeli, te voi diferenția prin „Y”, așa că ar trebui să fii zero.

Cine a înțeles gluma a stăpânit derivatele, cel puțin la nivelul „C”).

Exemplul 8

Găsiți derivate parțiale de ordinul întâi ale unei funcții .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluția completă și exemplul problemei sunt la sfârșitul lecției.

Ei bine, asta e aproape tot. În cele din urmă, nu pot să nu le rog iubitorilor de matematică încă un exemplu. Nici măcar nu e vorba de amatori, fiecare are un alt nivel de pregătire matematică – sunt oameni (și nu atât de rari) cărora le place să concureze cu sarcini mai dificile. Deși, ultimul exemplu din această lecție nu este atât de complex, cât este greoi din punct de vedere computațional.

Exemplu. Găsiți derivate parțiale ale funcției y x yxz

Soluţie. Presupunând y =const, găsim xy x z

Presupunând x =const, găsim 2 2) 1 (1 y x x y xx y z

Exemplu. Aflați valorile derivatelor parțiale ale funcției în punctul M (1, – 1, 0). xyzyxu)ln(

Soluţie. Presupunând y = const , z = const , găsim 10 11 22 1)02(1 22 22 , М czy yz yx x yzx yxx u

În mod similar găsim 10 11 22 1)20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z ​​​​u

Sensul geometric al derivatei parțiale (de exemplu) este tangenta unghiului de înclinare a tangentei trasate în punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0) la secțiunea suprafeței de către planul y = y 0. xz

Să presupunem că funcția z = f (x , y) are derivate parțiale continue), (yxf x z x), (yxf y z y

Aceste derivate sunt la rândul lor funcții ale variabilelor independente x și y. Vom numi și derivate parțiale de ordinul I.), (yxf x), (yxf y

Derivatele parțiale de ordinul 2 se numesc derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul 1. Pentru o funcție z = f (x, y) a două variabile, puteți găsi patru derivate parțiale de ordinul 2, care sunt notate după cum urmează:

În cazul general, derivatele parțiale mixte pot să nu coincidă, dar teorema este valabilă pentru ele: Teorema. Dacă derivatele parțiale mixte sunt continue într-un punct M (x, y), atunci ele sunt egale, adică xyfyxf), (yxfyxf yxxy

Derivatele parțiale de ordinul n se numesc derivate parțiale ale derivatelor parțiale de ordinul (n – 1). Sunt desemnate etc. 221, yx z x z n n n

Exemplu. Aflați derivatele parțiale de ordinul 2 ale funcției)1 sin(23 xyyxz

Soluţie. Îl găsim secvenţial); 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx

); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx

)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx

Se consideră funcția z = f (x, y). Să dăm argumentului x un increment Δ x și argumentului y un increment Δ y. Atunci z va primi un increment care se numește increment total al funcției z.), (yxfyyxxfz

Să presupunem că f(x, y) în punctul M(x, y) are derivate parțiale continue.

Definiție. Diferenţiala de ordinul I a funcţiei z = f (x, y) este partea principală a incrementului total Δ z a acestei funcţii, liniară în raport cu Δ x şi Δ y, notată cu simbolul dz sau df şi calculată prin formula y y z x x z zd

Deoarece diferențele variabilelor independente coincid cu incrementele lor, adică dx = Δ x, dy = Δ y, această formulă poate fi scrisă ca: dy y z dx x z zd

Sensul geometric al diferenţialului total al unei funcţii a două variabile f (x, y) în punctul (x 0, y 0) este incrementul aplicatei (coordonatele z) ale planului tangent la suprafaţă la deplasarea de la punct (x 0, y 0) până la punctul (x 0 + x, y 0 + y).

Sensul geometric al diferenţialului total al unei funcţii a două variabile este analogul spaţial al sensului geometric al diferenţialului unei funcţii a unei variabile.

Diferenţiala de ordinul 2 a unei funcţii z = f (x, y) este diferenţa de ordinul 1 a unei funcţii şi se notează cu (zzddd

Dacă toate derivatele parțiale de ordinul 2 ale funcției z = f (x, y) sunt continue, atunci formula este valabilă: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zddddd

Exemplu. Aflați diferențele de ordinul 1 și 2 ale funcției y x yz 2 x

Soluţie. Să găsim derivatele parțiale de ordinul 1 și 2: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z

; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy

În consecință, diferențialele de ordinul 1 și 2 se vor scrie sub forma: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd

Fie funcția f (x, y) diferențiabilă în punctul (x, y). Să găsim incrementul total al acestei funcții:), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (

Dacă substituim expresia în această formulă, obținem o formulă aproximativă: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (

Exemplu. Calculați aproximativ valoarea pe baza valorii funcției la x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y ln

Soluţie. Din expresia dată determinăm x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02 Aflați valoarea funcției u (x, y, z) = 11 ln

Aflați derivatele parțiale: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y

Diferenţialul total al funcţiei u este egal cu: 2 1 ln 2 1 zx z z u y

05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu

Sensul exact al acestei expresii este: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu

Un plan tangent la o suprafață în punctul ei M 0 este un plan care conține toate tangentele la curbele trasate pe suprafață prin acest punct.

Normala la suprafață în punctul M 0 este o dreaptă care trece prin acest punct și perpendiculară pe planul tangent trasat în acest punct.

Dacă suprafața este dată de ecuația F (x, y, z) = 0 atunci ecuația planului tangent în punctul M 0 (x 0, y 0, z 0) are forma: 0))((00) 0000 MF yy MF z yx

Ecuațiile normalei trasate la suprafață în punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0) se vor scrie astfel:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx

Dacă suprafața este dată de ecuația z = f (x, y), atunci ecuația planului tangent în punctul M 0 (x 0, y 0, z 0) are forma:))(, (000 0000) yyyxf xxxyxfzz y x

iar ecuațiile normale se vor scrie astfel: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx

Exemplu. Creați ecuații pentru planul tangent și normala la suprafață în punctul M 0 (x 0 , y 0 , z 0) dacă 01332 22 yzxzxyyx. 1, 2 00 yx

Soluţie. Substituind x 0 și y 0 în ecuația de suprafață, găsim valoarea z 0: de unde găsim z 0 = 1. Prin urmare, M 0 (2, – 1, 1) este punctul de tangență. 01)1(32)1(23)1(2400 2 zz

In functie de conditiile problemei, suprafata este specificata implicit. Să notăm și să găsim derivatele parțiale în punctul M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx.

, 32 zyx. F x 21)1(322)(0 MF x , 334 zxy. F y 51323)1(4)(0 MF y , 3 yx. F z 1)1(32)(0 MF z

Înlocuim valorile găsite ale derivatelor parțiale în ecuația planului tangent 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

Ecuațiile normale au forma 1 1 5 1 2 2 zyx

Definiție. Funcția z = f (x, y) are un maxim în punctul M 0 (x 0, y 0) dacă există o vecinătate a acestui punct astfel încât pentru orice puncte M (x, y) din această vecinătate următoarea inegalitate deține, (00 yxfyxf