Zasada możliwych ruchów obowiązuje dla systemów. Obliczanie reakcji podporowej w oparciu o zasadę możliwych przemieszczeń. Pytania testowe

Jak wiadomo z przebiegu mechaniki teoretycznej, stan równowagi obiektu może mieć postać siły lub energii. Pierwsza opcja przedstawia warunek, że wektor główny i moment główny wszystkich sił i reakcji działających na ciało są równe zeru. Drugie podejście (wariacyjne), zwane zasadą możliwych przemieszczeń, okazało się bardzo przydatne do rozwiązywania szeregu problemów mechaniki konstrukcji.

Dla układu ciał absolutnie sztywnych zasadę możliwych przemieszczeń formułuje się następująco: jeżeli układ ciał absolutnie sztywnych znajduje się w równowadze, to suma pracy wszystkich sił zewnętrznych na dowolne możliwe nieskończenie małe przemieszczenie wynosi zero. Możliwy (lub wirtualny) to ruch, który nie narusza połączeń kinematycznych i ciągłości ciał. Dla układu z rys. 3.1 możliwy jest jedynie obrót pręta względem podpory. Podczas obracania się o dowolny mały kąt siły i działają Zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń, jeśli układ jest w równowadze, to musi tak być . Podstawiając tutaj zależności geometryczne otrzymujemy warunek równowagi w sformułowaniu siły

Zasadę możliwych przemieszczeń ciał sprężystych formułuje się następująco: jeżeli układ ciał sprężystych znajduje się w równowadze, to suma pracy wszystkich sił zewnętrznych i wewnętrznych na dowolne możliwe nieskończenie małe przemieszczenie wynosi zero. Zasada ta opiera się na koncepcji całkowitej energii odkształconego sprężyście układu P. Jeżeli obciążenie konstrukcji następuje statycznie, to energia ta jest równa pracy wykonanej przez siły zewnętrzne U i wewnętrzne W podczas przenoszenia układu z odkształconego stan do stanu pierwotnego:

Przy określonym przesunięciu siły zewnętrzne nie zmieniają swojej wartości i wykonują ujemną pracę U= -F. W tym przypadku siły wewnętrzne są zredukowane do zera i wykonują pracę dodatnią, ponieważ są to siły przyczepności cząstek materiału i są skierowane w kierunku przeciwnym do obciążenia zewnętrznego:

Gdzie - konkretna energia potencjalna odkształcenia sprężystego; V to objętość ciała. Dla układ liniowy, Gdzie . Zgodnie z twierdzeniem Lagrange'a-Dirichleta stan równowagi stabilnej odpowiada minimum całkowitej energii potencjalnej układu sprężystego, tj.

Ostatnia równość w pełni odpowiada sformułowaniu zasady możliwych ruchów. Przyrosty energii dU i dW można obliczyć dla dowolnych możliwych przemieszczeń (odchyłek) układu sprężystego od stanu równowagi. Aby obliczyć konstrukcje spełniające wymagania liniowości, nieskończenie małe możliwe przemieszczenie d można zastąpić bardzo małym przemieszczeniem końcowym, którym może być dowolny stan odkształcenia konstrukcji wywołany dowolnie wybranym układem sił. Biorąc to pod uwagę, wynikowy warunek równowagi należy zapisać jako

Praca sił zewnętrznych

Rozważmy metodologię obliczania pracy sił zewnętrznych na rzeczywiste i możliwe przemieszczenie. Układ prętów jest obciążony siłami i (ryc. 3.2, a), które działają jednocześnie i w dowolnym momencie stosunek pozostaje stały. Jeśli uznamy to za siłę uogólnioną, to z wartości w dowolnym momencie możemy obliczyć wszystkie inne obciążenia (w tym przypadku). Linia przerywana pokazuje rzeczywiste przemieszczenie sprężyste wynikające z tych sił. Stan ten oznaczamy indeksem 1. Ruch punktów przyłożenia sił i w kierunku tych sił w stanie 1 oznaczamy przez i .

W procesie obciążania układu liniowego siłami siły rosną, a przemieszczenia i rosną proporcjonalnie do nich (ryc. 3.2, c). Rzeczywista praca sił i powodowanych przez nie przemieszczeń jest równa sumie pól wykresów, tj. . Zapisując to wyrażenie jako , otrzymujemy iloczyn uogólnionej siły i uogólnionego przemieszczenia. W tym formularzu możesz przesłać

praca sił pod dowolnym obciążeniem, jeśli wszystkie obciążenia zmieniają się synchronicznie, tj. stosunek ich wartości pozostaje stały.

Następnie rozważymy działanie sił zewnętrznych na możliwe przemieszczenie. Jako możliwe przemieszczenie przyjmijmy na przykład stan odkształcenia układu wynikający z przyłożenia w pewnym punkcie siły (rys. 3.2, b). Stan ten, odpowiadający dodatkowemu przesunięciu punktów przyłożenia sił i na odległość i , zostanie oznaczony przez 2. Siły i , nie zmieniając swojej wartości, wykonują wirtualną pracę nad przemieszczeniami i (ryc. 3.2, c) :

Jak widać, w oznaczeniu ruchu pierwszy indeks pokazuje stan, w jakim określone są punkty i kierunki tych ruchów. Drugi indeks pokazuje stan, w jakim działają siły powodujące ten ruch.

Praca siły jednostkowej F 2 na przemieszczenie rzeczywiste

Jeśli rozważymy stan 1 jako możliwe przemieszczenie siły F 2, to jego wirtualna praca na przemieszczenie

Praca sił wewnętrznych

Znajdźmy pracę sił wewnętrznych stanu 1, czyli od sił i , na wirtualne przemieszczenia stanu 2, czyli wynikające z przyłożenia obciążenia F 2 . Aby to zrobić, wybierz element prętowy o długości dx (ryc. 3.2 i 3.3, a). Ponieważ rozważany układ jest płaski, w przekrojach elementu działają tylko dwie siły S i Q z oraz moment zginający Mu. Siły te dla wycinanego elementu są zewnętrzne. Siły wewnętrzne to siły przyczepności, które zapewniają wytrzymałość materiału. Są one równe wartościom zewnętrznym, ale są skierowane w kierunku przeciwnym do odkształcenia, dlatego ich praca pod obciążeniem jest ujemna (ryc. 3.3, b-d, pokazane na szaro). Obliczmy sekwencyjnie pracę wykonaną przez każdy czynnik siły.

Praca sił wzdłużnych na przemieszczenie, którą tworzą siły S 2 wynikające z przyłożenia obciążenia F 2 (ryc. 3.2, b, 3.3, b),

Wydłużenie pręta o długości dx wyznaczamy ze znanego wzoru

gdzie A jest polem przekroju poprzecznego pręta. Podstawiając to wyrażenie do poprzedniego wzoru, znajdujemy

W podobny sposób określamy pracę, jaką moment zginający wykonuje na przemieszczenie kątowe utworzone przez ten moment (ryc. 3.3, c):

Znajdujemy kąt obrotu jako

gdzie J jest momentem bezwładności przekroju pręta względem osi y. Po podstawieniu otrzymujemy

Znajdźmy pracę wykonaną przez siłę poprzeczną podczas przemieszczenia (ryc. 3.3, d). Naprężenia styczne i ścinanie od siły ścinającej Q z nie rozkładają się liniowo na przekroju poprzecznym pręta (w przeciwieństwie do normalnych naprężeń i wydłużeń w poprzednich przypadkach obciążenia). Dlatego też do określenia pracy ścinającej należy uwzględnić pracę wykonaną przez naprężenia styczne w warstwach pręta.

Naprężenia styczne od siły Q z, które działają w warstwie leżącej w odległości z od osi neutralnej (ryc. 3.3, e), oblicza się za pomocą wzoru Żurawskiego

gdzie Su jest momentem statycznym części pola przekroju poprzecznego leżącej nad tą warstwą, wziętym względem osi y; b jest szerokością przekroju na poziomie rozważanej warstwy. Naprężenia te powodują przesunięcie warstwy o kąt, który zgodnie z prawem Hooke’a definiuje się jako - moduł ścinania. W rezultacie koniec warstwy zostaje przesunięty o

Całkowitą pracę wykonaną przez naprężenia styczne pierwszego stanu działające na końcu tej warstwy na przemieszczenia drugiego stanu oblicza się całkując iloczyn pola przekroju poprzecznego

Po podstawieniu tutaj wyrażeń dla i otrzymujemy

Odejmijmy od wielkości całkowitych niezależnych od z, pomnóżmy i podzielmy to wyrażenie przez A, otrzymamy

Tutaj wprowadza się bezwymiarowy współczynnik,

w zależności tylko od konfiguracji i stosunku rozmiarów sekcji. Dla prostokąta = 1,2, dla dwuteowników i przekrojów skrzynkowych (A c to pole przekroju ściany lub w przekroju skrzynkowym - dwie ściany).

Ponieważ praca każdej z rozpatrywanych składowych obciążenia (S, Q, M) na przemieszczenia wywołane przez inne składowe jest równa zeru, to sumaryczna praca wszystkich sił wewnętrznych dla rozpatrywanego elementu prętowego o długości dx

(3.3)

Całkowitą pracę sił wewnętrznych stanu 1 na przemieszczenia stanu 2 dla układu płaskowników oblicza się całkując otrzymane wyrażenie po odcinkach o długości 1 C, w obrębie których wykresy są funkcjami całkowalnymi, i sumując po wszystkich przekrojach:

W przekroju elementu przestrzennego układu prętowego występuje sześć sił wewnętrznych (S, Q, Q z, M x, Mu, M 2), dlatego dla niego wyrażenie na całkowitą pracę sił wewnętrznych będzie miało postać ,

Tutaj M x jest momentem obrotowym w pręcie; J T jest momentem bezwładności pręta podczas swobodnego skręcania (geometryczna sztywność skrętna). W całce indeksy dolne „i” są pominięte.

We wzorach (3.3) i (3.4) S v Q yV Q zl , M x1 , M y1 , M g1 oznaczają wyrażenia analityczne dla wykresów sił wewnętrznych z działania sił F(i F(,aS 2 , Q y 2 , Q z 2 , M x2, M y2, M g2 - opisy wykresów sił wewnętrznych od siły F 2.

Twierdzenia o układach sprężystych

Z konstrukcji wzorów (3.3) i (3.4) wynika, że ​​są one „symetryczne” względem stanów 1 i 2, tj. praca sił wewnętrznych stanu 1 na przemieszczenia stanu 2 jest równa pracy sił wewnętrznych stanu 2 siły stanu 2 na przemieszczenia stanu 1 Ale zgodnie z (3.2)

W konsekwencji, jeśli praca sił wewnętrznych jest równa, to praca sił zewnętrznych jest równa. Twierdzenie to nazywa się twierdzeniem o wzajemności pracy (twierdzenie Bettiego, 1872).

W przypadku układu prętów obciążonego siłą F 1 (ryc. 3.4, a) jako możliwe przemieszczenie przyjmujemy stan odkształcenia, który powstał, gdy został obciążony siłą F 2 (ryc. 3.4, b). Dla tego układu, zgodnie z twierdzeniem Bettiego 1. Jeśli wstawimy , otrzymamy

(3.5)

Wzór ten wyraża twierdzenie Maxwella (1864) o wzajemności przemieszczeń: przemieszczenie punktu przyłożenia pierwszej jednostkowej siły w jej kierunku, spowodowane działaniem drugiej jednostkowej siły, jest równe przemieszczeniu punktu przyłożenia drugiej jednostki siły w jej kierunku, spowodowanej działaniem pierwszej jednostki siły. Twierdzenie to można również zastosować do układu z rys. 3.2. Jeśli ustalimy = 1 N (rozdział 3.1.2), otrzymamy równość uogólnionych przemieszczeń .

Rozważmy układ statycznie niewyznaczalny z podporami, za pomocą których można ustawić wymagany ruch, który jest akceptowany jako możliwy (ryc. 3.4, c, d). W pierwszym stanie przesuniemy podporę o 1, w drugim - ustalimy obrót osadzania o kąt - w tym przypadku wystąpią reakcje w pierwszym stanie i , a w drugim - i . Zgodnie z twierdzeniem o wzajemności pracy piszemy Jeśli ustalimy (tutaj wymiar = m, a ilość jest bezwymiarowa), wtedy otrzymujemy

Ta równość jest numeryczna, ponieważ wymiar reakcji = N, a = N-m. Zatem reakcja R 12 w stałym wiązaniu 1, która zachodzi, gdy wiązanie 2 przesuwa się o jeden, jest liczbowo równa reakcji zachodzącej w wiązaniu 2 przy jednostkowym przemieszczeniu wiązania 1. To stwierdzenie nazywa się twierdzeniem o wzajemności reakcji.

Twierdzenia przedstawione w tej sekcji służą do obliczeń analitycznych układów statycznie niewyznaczalnych.

Definicja ruchów

Ogólny wzór na przemieszczenie

Aby obliczyć przemieszczenia, jakie zachodzą w układzie prętowym pod działaniem danego obciążenia (stan 1), należy stworzyć stan pomocniczy układu, w którym działa jedna jednostka siły, wykonująca pracę nad żądanym przemieszczeniem (stan 2). Oznacza to, że przy wyznaczaniu przemieszczenia liniowego należy podać siłę jednostkową F 2 = 1 N, przyłożoną w tym samym punkcie i w tym samym kierunku, w którym należy wyznaczyć przemieszczenie. Jeśli konieczne jest określenie kąta obrotu dowolnej sekcji, wówczas do tej sekcji stosuje się pojedynczy moment F 2 = 1 N m. Następnie sporządza się równanie energii (3.2), w którym przyjmuje się stan 2 główny i stan zdeformowany

stan 1 jest uważany za ruch wirtualny. Z tego równania obliczane jest wymagane przemieszczenie.

Znajdźmy przemieszczenie poziome punktu B dla układu z rys. 3.5, A. Aby wymagane przemieszczenie D 21 zostało uwzględnione w równaniu pracy (3.2), za stan podstawowy przyjmujemy przemieszczenie układu pod działaniem siły jednostkowej F 2 - 1 N (stan 2, ryc. 3.5 , B). Za możliwe przemieszczenie uznamy rzeczywisty stan zdeformowany konstrukcji (ryc. 3.5, a).

Działanie sił zewnętrznych stanu 2 na przemieszczenia stanu 1 znajdujemy następująco: Zgodnie z (3.2),

dlatego wymagane przemieszczenie

Ponieważ (podrozdział 3.1.4) pracę sił wewnętrznych stanu 2 na przemieszczenia stanu 1 oblicza się ze wzorów (3.3) lub (3.4). Podstawiając wyrażenie (3.3) do (3.7) dla pracy sił wewnętrznych układu prętów płaskich, znajdujemy

Dla dalszego wykorzystania tego wyrażenia wskazane jest wprowadzenie pojęcia pojedynczych wykresów współczynników sił wewnętrznych, tj. z czego dwa pierwsze są bezwymiarowe, oraz wymiar . Wynik będzie

Wyrażenia na wykresy rozkładu odpowiednich sił wewnętrznych od działającego obciążenia należy podstawić do tych całek I i od siła F 2 = 1. Wynikowe wyrażenie nazywa się wzorem Mohra (1881).

Przy obliczaniu przestrzennych układów prętowych należy zastosować wzór (3.4) do obliczenia całkowitej pracy sił wewnętrznych, wówczas będzie to

Jest całkiem oczywiste, że wyrażenia na wykresy sił wewnętrznych S, Q y, Q z, M x, M y, M g oraz wartości cech geometrycznych sekcji A, J t, Jу, J, dla odpowiednich n-ta sekcja jest podstawiona do całek. Aby skrócić zapis w zapisie tych wielkości, pomija się indeks „i”.

3.2.2. Szczególne przypadki wyznaczania przemieszczeń

Wzór (3.8) stosuje się w ogólnym przypadku układu prętów płaskich, ale w wielu przypadkach można go znacznie uprościć. Rozważmy szczególne przypadki jego realizacji.

1. Jeżeli można pominąć odkształcenia od sił wzdłużnych, co jest typowe dla układów belek, wówczas wzór (3.8) zapiszemy jako

2. Jeżeli układ płaski składa się wyłącznie z gięcia belek cienkościennych przy stosunku l/h > 5 dla konsol lub l/h > 10 dla przęseł (I i h to długość belki i wysokość przekroju), wówczas z reguły energia odkształcenia zginającego znacznie przewyższa energię odkształceń od sił podłużnych i poprzecznych, dlatego nie można ich uwzględniać w obliczeniach przemieszczeń. Wtedy formuła (3.8) przyjmie postać

3. Dla kratownic, których pręty pod obciążeniem węzłowym działają głównie siły wzdłużne, możemy przyjąć M = 0 i Q = 0. Następnie przemieszczenie węzła oblicza się ze wzoru

Całkowanie odbywa się na długości każdego pręta, a sumowanie na wszystkich prętach. Mając na uwadze, że siła Su w i-tym pręcie oraz pole przekroju poprzecznego nie zmieniają się na długości, możemy uprościć to wyrażenie:

Pomimo pozornej prostoty tego wzoru, analityczne obliczenie przemieszczeń w kratownicach jest bardzo pracochłonne, gdyż wymaga wyznaczenia sił we wszystkich prętach kratownicy z obciążenia efektywnego () i siły jednostkowej () przyłożonej w miejscu punkt, którego przemieszczenie należy znaleźć.

3.2.3. Metody i przykłady wyznaczania przemieszczeń

Rozważmy obliczenie całki Mohra metodą A. N. Vereshchagina (1925). Całka Mohra ma postać (3.8), gdzie wykresy momentów zginających, sił wzdłużnych lub poprzecznych mogą występować jako D 1, D 2. Co najmniej jeden z diagramów () w wyrażeniu całkowym jest liniowy lub liniowy fragmentarycznie, ponieważ jest zbudowany z obciążenia jednostkowego. Dlatego dla

aby rozwiązać całkę, można zastosować następującą technikę. Załóżmy, że na rozpatrywanym przekroju o długości I pierwszy diagram D 1 ma kształt dowolny, a drugi liniowy: (ryc. 3.6). Podstawiając to do całki Mohra, znajdujemy

Pierwsza jestcałkowa jest liczbowo równa powierzchni podgrafu (zacieniowana na ryc. 3.6), a druga jest równa momentowi statycznemu tego obszaru względem osi. Moment statyczny można zapisać jako , gdzie jest współrzędną położenia środka ciężkości powierzchni (punkt A). Biorąc pod uwagę to, co zostało powiedziane, otrzymujemy

(3.13)

Reguła Wierieszczagina jest sformułowana w następujący sposób: jeśli przynajmniej jeden z diagramów na przekroju jest liniowy, wówczas całkę Mohra oblicza się jako iloczyn pola w sposób arbitralny

wykresu liniowego do rzędnej wykresu liniowego znajdującej się pod środkiem ciężkości tego obszaru. Jeżeli oba diagramy znajdują się po tej samej stronie osi, to iloczyn jest dodatni, jeśli po różnych stronach, to jest ujemny. Metodę tę można zastosować do obliczenia dowolnej całki zawartej w wyrażeniach (3.8) i (3.9).

Przy obliczaniu struktur w środowisku Mathcad nie ma potrzeby stosowania reguły Vereshchagina, ponieważ całkę można obliczyć poprzez całkowanie numeryczne.

Przykład 3.1(ryc. 3.7, a). Belka jest obciążona dwiema symetrycznie rozmieszczonymi siłami. Znajdź przemieszczenie punktów przyłożenia sił.

1. Skonstruujmy wykres momentów zginających M 1 z sił F 1 . Reakcje wspierające Maksymalny moment zginający pod wpływem siły

2. Ponieważ układ jest symetryczny, ugięcie pod wpływem sił będzie takie samo. Jako stan pomocniczy przyjmujemy obciążenie belki dwoma siłami jednostkowymi F 2 = 1 N, przyłożonymi w tych samych punktach, co siły F 1

(ryc. 3.7, b). Wykres momentów zginających dla tego obciążenia jest podobny do poprzedniego, a maksymalny moment zginający M 2max = 0,5 (L-b).

3. Obciążenie układu dwiema siłami drugiego stanu charakteryzuje się uogólnioną siłą F 2 i uogólnionym przemieszczeniem, które tworzą pracę sił zewnętrznych na przemieszczenie stanu 1, równą . Obliczmy przemieszczenie korzystając ze wzoru (3.11). Mnożąc diagramy przez sekcje zgodnie z regułą Vereshchagina, znajdujemy

Po podstawieniu wartości dostajemy

Przykład 3.2. Znajdź poziome przemieszczenie ruchomej podpory ramy w kształcie litery U obciążonej siłą F x (ryc. 3.8, a).

1. Skonstruujmy wykres momentów zginających z siły F 1 Reakcje podporowe . Maksymalny moment zginający pod wpływem siły F 1

2. Jako stan pomocniczy przyjmijmy obciążenie belki jednostkową siłą poziomą F 2 przyłożoną w punkcie B (ryc. 3.8, b). Konstruujemy wykres momentów zginających dla tego przypadku obciążenia. Reakcje podporowe A 2y = B 2y = 0, A 2x = 1. Maksymalny moment zginający.

3. Obliczamy przemieszczenie korzystając ze wzoru (3.11). W przekrojach pionowych iloczyn wynosi zero. Na przekroju poziomym wykres M 1 nie jest liniowy, ale wykres jest liniowy. Mnożąc diagramy metodą Vereshchagina, otrzymujemy

Iloczyn jest ujemny, ponieważ diagramy leżą po przeciwnych stronach. Wynikowa ujemna wartość przemieszczenia wskazuje, że jego rzeczywisty kierunek jest przeciwny do kierunku siły jednostkowej.

Przykład 3.3(ryc. 3.9). Znajdź kąt obrotu przekroju belki dwupodporowej pod działaniem siły i znajdź położenie siły, przy którym kąt ten będzie największy.

1. Skonstruujmy wykres momentów zginających M 1 z siły F 1. Aby to zrobić, znajdziemy reakcję podporową A 1. Z równania równowagi układu jako całości znajdźmy maksymalny moment zginający pod wpływem siły Fj

2. Jako stan pomocniczy przyjmujemy obciążenie belki momentem jednostkowym F 2 = 1 Nm w przekroju, którego obrót należy określić (ryc. 3.9, b). Konstruujemy wykres momentów zginających dla tego przypadku obciążenia. Reakcje podporowe A 2 = -B 2 = 1/L, momenty zginające

Oba momenty są ujemne, ponieważ są skierowane zgodnie z ruchem wskazówek zegara. Diagramy zbudowane są na rozciągniętym włóknie.

3. Kąt obrotu obliczamy ze wzoru (3.11), mnożąc przez dwie sekcje,

Oznaczając , możemy otrzymać to wyrażenie w wygodniejszej formie:

Zależność kąta obrotu od położenia siły F 1 pokazano na ryc. 3.9, ok. Po odróżnieniu tego wyrażenia od warunku znajdujemy położenie siły, przy którym kąt nachylenia belki pod nim będzie największy w wartości bezwzględnej. Stanie się to przy wartościach równych 0,21 i 0,79.

1. Uogólnione współrzędne i liczba stopni swobody.

Kiedy jedziemy układ mechaniczny, wszystkie jego punkty nie mogą poruszać się dowolnie, ponieważ są ograniczone połączeniami. Oznacza to, że nie wszystkie współrzędne punktu są niezależne. Położenie punktów określa się poprzez podanie wyłącznie niezależnych współrzędnych.

uogólnione współrzędne. W przypadku układów holonomicznych (tj. takich, których połączenia wyrażają równania zależne tylko od współrzędnych), liczba niezależnych uogólnionych współrzędnych układu mechanicznego równa liczbie stopni swobody ten system.

Przykłady:

Położenie wszystkich punktów jest jednoznacznie określone przez kąt obrotu

korba.

Jeden stopień swobody.

2. Położenie wolnego punktu w przestrzeni wyznaczają trzy niezależne od siebie współrzędne. Dlatego trzy stopnie swobody.

3. Sztywny korpus obrotowy, położenie określone przez kąt obrotu J . Jeden stopień swobody.

4. Swobodne ciało sztywne, którego ruch jest określony przez sześć równań - sześć stopni swobody.

2. Możliwe ruchy układu mechanicznego.

Idealne połączenia.

Możliwy przemieszczenia to wyimaginowane, nieskończenie małe ruchy, na które pozwalają w danym momencie połączenia narzucone układowi. Możliwe ruchy punktów układu mechanicznego rozpatrywane są jako wielkości pierwszego rzędu małości, dlatego też krzywoliniowe ruchy punktów zastępuje się odcinkami prostymi wykreślonymi stycznie do trajektorii ruchu punktów i oznacza się je dS.

dS A = dj. O.A.

Wszystkie siły działające na punkt materialny dzielą się na siły określone i siły reakcji.

Jeżeli suma pracy wykonanej przez reakcje wiązań przy dowolnym możliwym przemieszczeniu układu jest równa zeru, wówczas takie wiązania nazywa się ideał.

3. Zasada możliwych ruchów.

Dla równowagi układu mechanicznego o połączeniach idealnych konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych działających na niego przy każdym możliwym ruchu układu była równa zeru.

Oznaczający zasada możliwych ruchów:

1. Uwzględniane są tylko siły czynne.

2. Podaje ogólnie stan równowagi dowolnego układu mechanicznego, natomiast w statyce należy rozpatrywać równowagę każdego ciała układu osobno.

Zadanie.

Znajdź zależność pomiędzy momentem i siłą jeżeli dla danego położenia mechanizmu korbowo-suwakowego w równowadze OA = ℓ.

Ogólne równanie dynamiki.

Daje zasadę możliwych ruchów metoda ogólna rozwiązywanie problemów statycznych. Z drugiej strony zasada d'Alemberta pozwala na wykorzystanie metod statycznych do rozwiązywania problemów dynamicznych. Dlatego stosując jednocześnie te dwie zasady, można uzyskać ogólną metodę rozwiązywania problemów dynamiki.

Rozważmy układ mechaniczny, na który nałożone są idealne więzy. Jeśli do wszystkich punktów układu, z wyjątkiem działających na nie sił czynnych i reakcji sprzęgających, dodamy odpowiednie siły bezwładności, to zgodnie z zasadą d'Alemberta powstały układ sił będzie w równowadze. Stosując zasadę możliwych ruchów otrzymujemy:

Ponieważ połączenia są idealne, to:

Ta równość reprezentuje równanie ogólne głośniki.

Z tego wynika zasada d'Alemberta-Lagrange'a– gdy układ porusza się w każdym momencie połączeniami idealnymi, suma prac elementarnych wszystkich przyłożonych sił czynnych i wszystkich sił bezwładności przy każdym możliwym ruchu układu będzie równa zeru.

Zadanie.

W windzie do biegu 2 waga 2G z promieniem R2 =R przyłożony moment obrotowy M=4GR.

Wyznacz przyspieszenie podniesionego ładunku A waga G, pomijając ciężar liny i tarcie w osiach. Bęben, na który nawinięta jest lina, i sztywno do niego przymocowana przekładnia 1 , mają całkowitą wagę 4G i promień bezwładności r = R. Promień bębna RA = R i przekładnie 1

R1 = 0,5R.

Przedstawmy wszystko siły aktywne, kierunek przyspieszeń i możliwe ruchy.

________________

Podstawmy do ogólnego równania dynamiki

Wyraźmy przemieszczenie w postaci kąta obrotu δφ 1

Zastąpmy wartości

δφ 1 ≠0

Wyraźmy wszystkie przyspieszenia poprzez wymagane A i zrównaj wyrażenie w nawiasach z zerem

Zastąpmy wartości

Zasada możliwych ruchów.

a = 0,15 m

b = 2a = 0,3 m

m = 1,2 Nm _________________

xB; w B; NIE ; Poseł

Rozwiązanie: Znajdźmy reakcję ruchomej podpory A dlaczego odrzućmy w myślach to połączenie, zastępując jego działanie reakcją NIE

Możliwy ruch pręta AC jest jego obrót wokół zawiasu Z pod kątem DJ. Jądro Słońce pozostaje bez ruchu.

Stwórzmy równanie pracy, biorąc pod uwagę, że praca sił podczas obracania ciała jest równa iloczynowi momentu siły względem środka obrotu i kąta obrotu ciała.

Wyznaczanie reakcji sztywnego mocowania w podporze W najpierw znajdź moment reakcji Pan. Aby to zrobić, odrzućmy połączenie uniemożliwiające obrót pręta Słońce, zastępując sztywne mocowanie wspornikiem zawiasowym i przykładając moment Pan .

Powiedzmy prętowi możliwy obrót o kąt DJ 1.

Stwórzmy równanie pracy pręta Słońce:

Zdefiniujmy przemieszczenia:

Aby wyznaczyć pionową składową reakcji sztywnego mocowania, odrzucamy połączenie uniemożliwiające pionowy ruch punktu W, zastąpienie mocowania sztywnego mocowaniem przesuwnym (nie ma możliwości obrotu) i zastosowanie reakcji:

Powiedzmy lewą część (pręt) Słońce z suwakiem W) możliwa prędkość V B ruch do przodu w dół. Jądro AC będzie obracać się wokół punktu A .

Utwórzmy równanie pracy:

Aby wyznaczyć składową poziomą reakcji sztywnego mocowania, odrzucamy połączenie uniemożliwiające poziomy ruch punktu W wymianę uszczelki sztywnej na przesuwną i zastosowanie reakcji:

Powiedzmy lewej stronie (suwak) W razem z drążkiem Słońce) możliwa prędkość V B ruch do przodu w lewo. Od wsparcia A na rolkach, wówczas prawa strona będzie poruszać się do przodu z tą samą prędkością. Stąd .

Utwórzmy równanie pracy dla całej konstrukcji.

Aby sprawdzić poprawność rozwiązania, ułóżmy równania równowagi dla całego układu:

Warunek jest spełniony.

Odpowiedź: y B = -14,2 H; X B = -28,4 H; N A = 14,2 H; VP =3,33 Nm.

Uogólnione prędkości. Siły uogólnione.

Nazywa się wielkości niezależne, które jednoznacznie określają położenie wszystkich punktów układu mechanicznego uogólnione współrzędne. – Q

Jeśli system ma S stopni swobody, wówczas zostanie określone jego położenie S uogólnione współrzędne:

q 1; q2; ...; pytanie

Ponieważ uogólnione współrzędne są od siebie niezależne, elementarne przyrosty tych współrzędnych również będą niezależne:

dq 1; dq2; ...; dq S .

Ponadto każda z ilości dq 1; dq2; ...; dq S określa odpowiedni możliwy ruch układu, niezależny od innych.

Kiedy układ się porusza, jego uogólnione współrzędne będą się zmieniać w sposób ciągły w czasie, prawo tego ruchu określają równania:

, …. ,

Są to równania ruchu układu we współrzędnych uogólnionych.

Pochodne uogólnionych współrzędnych względem czasu nazywane są uogólnionymi prędkościami układu:

Rozmiar zależy od rozmiaru Q.

Rozważmy układ mechaniczny składający się z n punktów materialnych, na które działają siły F 1, F 2, F n. Niech system ma S stopni swobody, a jego położenie wyznaczają współrzędne uogólnione q 1; q2; q 3. Poinformujmy system o możliwym ruchu, w którym współrzędna q 1 dostaje podwyżkę dq 1, a pozostałe współrzędne nie ulegają zmianie. Następnie wektor promienia punktu otrzymuje elementarny przyrost (dr k) 1. Jest to przyrost, jaki otrzymuje wektor promienia, gdy zmienia się tylko współrzędna q 1 według kwoty dq 1. Pozostałe współrzędne pozostają niezmienione. Dlatego (dr k) 1 obliczony jako częściowa różnica:

Obliczmy elementarną pracę wszystkich przyłożonych sił:

Wyjmijmy to z nawiasów dq 1, otrzymujemy:

Gdzie - uogólniona władza.

Więc, siła uogólniona – jest to współczynnik przyrostu uogólnionej współrzędnej.

Obliczenie sił uogólnionych sprowadza się do obliczenia możliwej pracy elementarnej.

Jeśli wszyscy się zmienią Q, To:

Zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń, aby układ był w równowadze, konieczne i wystarczające jest to SdA a к = 0. We współrzędnych uogólnionych Pytanie 1. dq 1 + Q 2 . dq 2 + … + Q s . dqs = 0 stąd, Dla równowaga systemu konieczne i wystarczające jest, aby uogólnione siły odpowiadające możliwym przemieszczeniom wybranym dla układu, a co za tym idzie, uogólnione współrzędne, były równe zero.

Q1 = 0; Q2 = 0; … Qs = 0.

Równania Lagrange'a.

Korzystając z ogólnego równania dynamiki układu mechanicznego, można znaleźć równania ruchu układu mechanicznego.

4) wyznaczyć energię kinetyczną układu, wyrazić tę energię poprzez uogólnione prędkości i uogólnione współrzędne;

5) znaleźć odpowiednie pochodne cząstkowe T przez i podstaw wszystkie wartości do równania.

Teoria uderzenia.

Ruch ciała pod działaniem sił zwyczajnych charakteryzuje się ciągłą zmianą modułów i kierunków prędkości tego ciała. Zdarzają się jednak przypadki, gdy prędkości punktów ciała, a co za tym idzie pęd ciała sztywnego, ulegają skończonym zmianom w bardzo krótkim czasie.

Zjawisko, w którym w zaniedbywalnie krótkim czasie prędkości punktów na ciele zmieniają się o skończoną wielkość, nazywa się cios.

Wytrzymałość, pod działaniem którego następuje cios, nazywane są bębny.

Krótki okres czasu T, podczas którego następuje uderzenie nazywa się czas uderzenia.

Ponieważ siły uderzenia są bardzo duże i zmieniają się w znaczących granicach podczas uderzenia, w teorii uderzenia za miarę wzajemnego oddziaływania ciał uważa się nie same siły uderzenia, ale ich impulsy.

Impulsy sił nieudarowych w czasie T będą to bardzo małe wartości i można je pominąć.

Twierdzenie o zmianie pędu punktu po uderzeniu:

Gdzie w– prędkość punktu na początku uderzenia,

ty– prędkość punktu na końcu uderzenia.

Podstawowe równanie teorii uderzenia.

Przemieszczenie punktów w bardzo krótkim czasie, czyli w czasie uderzenia, również będzie niewielkie, dlatego będziemy uważać ciało za nieruchome.

Możemy zatem wyciągnąć następujące wnioski na temat działania sił uderzeniowych:

1) można pominąć działanie sił niezwiązanych z uderzeniem podczas uderzenia;

2) przemieszczenia punktów ciała podczas uderzenia można pominąć i uznać, że ciało w czasie uderzenia jest nieruchome;

zasada prędkości wirtualnej - mechanizm różnicowy zasada wariacyjna mechaniki klasycznej, wyrażający najbardziej ogólne warunki równowagi układów mechanicznych ograniczonych idealnymi połączeniami.

Według V. p. mecha. układ znajduje się w równowadze w pewnym położeniu wtedy i tylko wtedy, gdy suma prac elementarnych danych sił czynnych na dowolnym możliwym przemieszczeniu wyprowadzającym układ z rozpatrywanego położenia jest równa zeru lub mniejsza od zera:

W każdej chwili.

Wywoływane są możliwe (wirtualne) ruchy systemu. elementarne (nieskończenie małe) ruchy punktów układu, na jakie pozwalają w danym momencie połączenia narzucone układowi. Jeżeli obligacje trzymają się (dwukierunkowo), wówczas możliwe ruchy są odwracalne, a pod warunkiem (*) należy przyjąć znak równości; jeśli połączenia są nietrwałe (jednostronne), wówczas wśród możliwych ruchów znajdują się ruchy nieodwracalne. Gdy układ porusza się pod wpływem sił czynnych, na punkty układu działają połączenia z określonymi siłami reakcji (siłami pasywnymi), przy których definicji zakłada się, że w pełni uwzględniane są siły mechaniczne. wpływ połączeń na system (w tym sensie, że połączenia można zastąpić reakcjami przez nie wywołanymi) (aksjomat wyzwolenia). Połączenia nazywane są idealny, jeśli jest sumą elementarnych prac ich reakcji, przy czym znak równości występuje w przypadku możliwych przemieszczeń odwracalnych i znakach równych lub większych od zera w przypadku przemieszczeń nieodwracalnych. Takimi pozycjami są pozycje równowagi układu w którym układ będzie cały czas przebywał, jeżeli zostanie umieszczony w tych położeniach przy zerowych prędkościach początkowych, przy czym zakłada się, że równania więzów są spełnione dla dowolnych wartości t. W ogólnym przypadku przyjmuje się, że siły czynne mają dane funkcje i in należy wziąć pod uwagę warunek (*).

Warunek (*) zawiera wszystkie równania i prawa równowagi układów o połączeniach idealnych, dzięki czemu możemy powiedzieć, że cała statyka sprowadza się do jednego ogólnego wzoru (*).

Prawo równowagi, wyrażone przez V.p.p., zostało po raz pierwszy ustanowione przez Guido Ubaldiego na dźwigni i ruchomych klockach lub kołach pasowych. G. Galilei ustalił je dla płaszczyzn pochyłych i uznał to prawo za ogólną właściwość równowagi prostych maszyn. J. Wallis oparł ją na podstawach statyki i wyprowadził z niej teorię równowagi maszyn. R. Kartezjusz sprowadził całą statykę do jednej zasady, która w zasadzie pokrywa się z zasadą Galileusza. J. Bernoulli jako pierwszy zrozumiał dużą ogólność V. p.p. i jego użyteczność w rozwiązywaniu problemów statyki. J. Lagrange wyraził V. p. w formie ogólnej i tym samym sprowadził całą statykę do jednego ogólnego wzoru; podał dowód (nie do końca rygorystyczny) V. str. dla systemów ograniczonych połączeniami dwukierunkowymi (ograniczającymi). Ogólny wzór statyki na równowagę dowolnego układu sił oraz opracowany przez J. Lagrange'a sposób stosowania tego wzoru były przez niego systematycznie wykorzystywane do wyprowadzania ogólnych własności równowagi układu ciał oraz do rozwiązywania różnych problemów statyki , w tym zagadnienia równowagi płynów nieściśliwych, ściśliwych i sprężystych. J. Lagrange uważał V. s. za podstawową zasadę całej mechaniki. Rygorystyczny dowód V. p.p., a także jego rozszerzenie na połączenia jednokierunkowe (nie zawierające) przedstawili J. Fourier i M. V. Ostrogradsky.

Oświetlony.: Lagrange J., Mecanique analytiquc, P., 1788 (tłumaczenie rosyjskie: Lagrange J., Mechanika analityczna, M.-L., 1950); Fourier J., „J. de 1” Ecole Polytechnique”, 1798, t. II, s. 20, Ostrogradsky M. V., Wykłady z mechaniki analitycznej, Dzieła zebrane, t. 1 , Część 2, M.-L., 1946.

• - zasada prędkości wirtualnej, - różniczkowa zasada wariacyjna mechaniki klasycznej, wyrażająca najogólniejsze warunki równowagi układów mechanicznych ograniczonych połączeniami idealnymi...

  Encyklopedia matematyczna

• - Przekonanie, że teraźniejszość może mieć nie jeden, ale kilka kierunków rozwoju w przyszłości, tkwiło chyba w kulturze od zawsze...

  Encyklopedia kulturoznawstwa

• - zestaw mierników do oceny stanu zbiorników, rurociągów produktowych, zawory odcinające oraz urządzenia, elementy i zespoły w produkcji niebezpiecznej, środki do przechowywania i transportu towarów niebezpiecznych,...

  Obrona Cywilna. Słownik pojęciowy i terminologiczny

• - graficzna konstrukcja ruchu węzłów układu prętowego zgodnie z zadanymi odkształceniami podłużnymi jego prętów - schemat lokalizacji - translokační obrazec - Verschiebungsplan - elmozdulásábra - wykresy šilzhiltiyn - wykresy przesunięć -...

  Słownik konstrukcyjny

• - metoda mechaniki konstrukcji do wyznaczania sił i przemieszczeń w układach statycznie niewyznaczalnych, w których jako główne niewiadome wybierane są przemieszczenia liniowe i kątowe - metoda...

  Słownik konstrukcyjny

• - prognozowanie wielkości i struktury strat sanitarnych w ewentualnych sytuacjach awaryjnych, pozwalające określić wielkość nadchodzących prac związanych z zapewnieniem opieki medycznej, ewakuacją rannych,...

  Słowniczek terminów awaryjnych

• - - metoda logicznej analizy pojęć modalnych i intensjonalnych, której podstawą jest uwzględnienie możliwych do wyobrażenia stanów rzeczy...

  Encyklopedia filozoficzna

• - SEMANTYKA ŚWIATÓW MOŻLIWYCH - zbiór konstrukcji semantycznych służących do opartej na prawdzie interpretacji nieklasycznych spójników logicznych, których główną cechą jest wprowadzenie pod uwagę takich...

  Encyklopedia epistemologii i filozofii nauki

• - czujnik przetwarzający ruchy mechaniczne na zmiany siły lub napięcia prąd elektryczny, przeznaczony do rejestracji procesów fizjologicznych...

  Duży słownik medyczny

• - Twierdzenie Maxwella - jest takie, że dla ciała odkształcalnego liniowo sigma przemieszczenia punktu przyłożenia siły jednostkowej Pk pierwszego stanu w kierunku jej działania, wywołanego dowolną inną siłą jednostkową...
• - diagram Villota, - geometryczny. konstrukcja określająca ruchy wszystkich węzłów płaskiej kratownicy na podstawie znanych zmian długości jej prętów. Zobacz rys. Do sztuki. Wykres przemieszczeń: a - schemat gospodarstwa...

  Wielki encyklopedyczny słownik politechniczny

• - twierdzenie Maxwella, że ​​dla ciała odkształcalnego liniowo przemieszczenie δki punktu przyłożenia siły jednostkowej Pk pierwszego stanu w kierunku jej działania, spowodowane dowolną inną siłą jednostkową Pi...
• - jedna z wariacyjnych zasad mechaniki, ustalająca ogólny warunek równowagi układu mechanicznego...

  Wielka encyklopedia radziecka

• - zasada RUCHÓW MOŻLIWYCH - dla równowagi układu mechanicznego konieczne i wystarczające jest, aby suma pracy wszystkich sił działających na układ dla każdego możliwego ruchu układu była równa zeru. Możliwy...

  Duży słownik encyklopedyczny

• - przym., liczba synonimów: 1 brak...

  Słownik synonimów

• - przym., liczba synonimów: 2 zazdrosny, gorliwy...

  Słownik synonimów

„ZASADA MOŻLIWYCH RUCHÓW” w książkach

Typologia ruchów społecznych

Z książki Filozofia społeczna autor Krapivenskij Salomon Eliazarowicz

Typologia ruchów społecznych Przede wszystkim P. Sorokin wyróżnił dwa główne typy mobilności społecznej – poziomą i wertykalną. Przykłady mobilności poziomej obejmują przejście jednostki od baptysty do zakonnika metodystów

12. (NP5) Piąta zasada NP to zasada poprawy lub zasada wszechświata

Z książki Podróż do siebie (0,73) autor Artamonow Denis

12. (NP5) Piąta zasada NP to zasada doskonalenia, czyli zasada wszechświata. Piąta zasada jest logiczną kontynuacją – dodaniem czwartej zasady. Za jego pomocą chciałbym narysować pewną paralelę pomiędzy celem, znaczeniem samego Wszechświata a naszym działaniem

Technika ruchu

Z książki Mała księga Capoeiry autor Capoeira Nestora

Technika ruchu Teraz, zostawiając czystą teorię, dotarliśmy do punktu, w którym początkujący zaczyna uczyć się prawdziwego jogo, gry capoeira. Metodologia opisana poniżej różni się nieco od tej stosowanej przez ostatnie pięćdziesiąt lat (od Bimba

Zasada możliwych ruchów

Z książki Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej (VO) autora TSB

Zasada wzajemności ruchów

Z książki Wielkiej Encyklopedii Radzieckiej (VZ) autora TSB

Jak zapewnić anonimowość ruchów w Internecie w walce z czarnym PR

Z książki Przeciwdziałanie czarnemu PR w Internecie autor Kuzin Aleksander Władimirowicz

Jak zapewnić anonimowość ruchów w Internecie w walce z czarnym PR Ponieważ wróg, który zaatakował Cię w Internecie, może stanowić zagrożenie dla Twojego życia i zdrowia, uważamy za konieczne szczegółowe omówienie kwestii zapewnienia

Z książki AutoCAD 2009 dla studentów. Instrukcja samodzielnej obsługi autor Sokołowa Tatiana Juriewna

Animacja ruchów podczas chodzenia i latania

Z książki AutoCAD 2008 dla studentów: popularny samouczek autor Sokołowa Tatiana Juriewna

Animowanie ruchów chodzenia i latania Animowanie ruchów zapewnia podgląd dowolnego ruchu, w tym chodzenia i latania wokół rysunku. Zanim utworzysz animację ścieżki, musisz utworzyć podgląd. Zespół

Animacja ruchów podczas chodzenia i latania

Z książki AutoCAD 2009. Szkolenie autor Sokołowa Tatiana Juriewna

Animowanie ruchów chodzenia i latania Animowanie ruchów zapewnia podgląd dowolnego ruchu, w tym chodzenia i latania wokół rysunku. Zanim utworzysz animację ścieżki, musisz utworzyć podgląd. Zespół

Animacja ruchów podczas chodzenia i latania

Z książki AutoCAD 2009. Zaczynajmy! autor Sokołowa Tatiana Juriewna

Animowanie ruchów chodzenia i latania Animowanie ruchów zapewnia podgląd dowolnego ruchu, w tym chodzenia i latania wokół rysunku. Zanim utworzysz animację ścieżki, musisz utworzyć podgląd. Zespół

DOVECOTE: Dialektyka jako odzwierciedlenie ruchów sezonowych

Z książki Computerra Magazine nr 20 z 29 maja 2007 r autor Magazyn Computerra

DOVECOTE: Dialektyka jako odzwierciedlenie ruchów sezonowych Autor: Siergiej Golubitski „Prawie nic nie rozumiałem. A co najważniejsze, nie rozumiałem, co mają z tym wspólnego komputery. Myślę, że gdyby nie było tego artykułu, świat wiele by nie stracił.” Adresowany użytkownik „Ramses” na forum Computerra

„Od potencjalnych przyjaciół, od możliwych obelg…”

Z książki Niewidzialny ptak autor Czerwińska Lidia Davydovna

„Od możliwych przyjaciół, od możliwych obelg…” Od możliwych przyjaciół, od możliwych obelg, Od możliwej przecież półspowiedzi, Od możliwego szczęścia, tak bardzo boli mnie serce… - Do widzenia. Minęliśmy most z zabawkami na rzece i skąd, skąd się wziął w tym mieście?

10.6 Planowanie podróży

Z książki Zarządzanie zasobami ludzkimi: instruktaż autor

10.6 Planowanie ruchów Zaspokajanie wielu potrzeb i spełnianie oczekiwań wiąże się bezpośrednio z treścią pracy, gdyż praca zajmuje najważniejsze miejsce w życiu człowieka, a człowiek nie przejmuje się tym, czemu poświęca większą część swojego życia.

Planowanie podróży

Z książki Zarządzanie zasobami ludzkimi dla menedżerów: przewodnik po studiach autor Spiwak Władimir Aleksandrowicz

Planowanie podróży Zaspokojenie wielu potrzeb i spełnienie oczekiwań wiąże się bezpośrednio z treścią pracy, gdyż człowiek nie dba o to, czemu poświęca większość swojego życia. Zaspokajanie potrzeb często wiąże się z zrobieniem czegoś

Zasada 4: Leki należy przyjmować tylko wtedy, gdy ryzyko ich nieprzyjęcia przewyższa ryzyko możliwych skutków ubocznych.

Z książki 10 kroków do zarządzania swoim życiem emocjonalnym. Pokonanie lęku, strachu i depresji poprzez osobiste uzdrowienie przez Wood Evę A.

Zasada 4: Leki należy przyjmować tylko wtedy, gdy ryzyko ich nieprzyjęcia przewyższa ryzyko ich zażycia. skutki uboczne Innymi słowy, należy rozważyć równowagę pomiędzy ryzykiem i korzyściami. Każdy lek może być przydatny nie tylko dla Ciebie i

Elementy mechaniki analitycznej

W moich próbach zrozumienia otaczającego mnie świata ludzka natura Istnieje tendencja do ograniczania systemu wiedzy w danym obszarze do jak najmniejszej liczby punktów wyjścia. Dotyczy to przede wszystkim dziedzin nauki. W mechanice dążenie to doprowadziło do stworzenia podstawowych zasad, z których wynikają podstawowe równania różniczkowe ruchu dla różnych układów mechanicznych. Celem tej części podręcznika jest zapoznanie czytelnika z niektórymi z tych zasad.

Naukę o elementach mechaniki analitycznej zacznijmy od rozważenia zagadnienia klasyfikacji połączeń występujących nie tylko w statyce, ale także w dynamice.

Klasyfikacja połączeń

Połączenie – wszelkiego rodzaju ograniczenia nałożone na położenie i prędkość punktów w układzie mechanicznym.

Połączenia są klasyfikowane:

· Według zmian w czasie:

- łączność niestacjonarna, te. zmieniać się w czasie. Przykładem połączenia niestacjonarnego jest podpora poruszająca się w przestrzeni.

- łączność stacjonarna, te. nie zmienia się w czasie. Połączenia stacjonarne obejmują wszystkie połączenia omówione w rozdziale „Statyka”.

· W zależności od rodzaju nałożonych ograniczeń kinematycznych:

- połączenia geometryczne nakładać ograniczenia na położenie punktów systemu;

- kinematyczny, Lub połączenia różnicowe nakładać ograniczenia na prędkość punktów w systemie. Jeśli to możliwe, zredukuj jeden typ połączenia do innego:

- zintegrowane, Lub holonomia(prosty) połączenie, jeśli połączenie kinematyczne (różnicowe) można przedstawić jako geometryczne. W takich połączeniach zależności pomiędzy prędkościami można sprowadzić do zależności pomiędzy współrzędnymi. Cylinder toczący się bez poślizgu jest przykładem całkowalnej zależności różniczkowej: prędkość osi cylindra odnoszona jest do jego prędkości kątowej według znanego wzoru , lub , a po całkowaniu sprowadza się do geometrycznej zależności pomiędzy przemieszczeniem oś i kąt obrotu cylindra w postaci .

- nieintegrowalne, Lub połączenie nieholonomiczne– jeżeli połączenia kinematycznego (różnicowego) nie można przedstawić jako geometrycznego. Przykładem jest toczenie się piłki bez poślizgu podczas jej ruchu nieliniowego.

· Jeśli to możliwe, „zwolnij” z komunikacji:

- trzymanie więzi, zgodnie z którymi nałożone przez nich ograniczenia zawsze pozostają, na przykład wahadło zawieszone na sztywnym pręcie;

- połączenia nieograniczone - ograniczenia mogą zostać naruszone przez określony rodzaj ruchu systemu na przykład wahadło zawieszone na łamliwej nitce.

Wprowadźmy kilka definicji.

· Możliwy(Lub wirtualny) poruszający(oznaczony przez ) jest elementarny (nieskończenie mały) i taki, że nie narusza powiązań narzuconych systemowi.

Przykład: punkt znajdujący się na powierzchni ma wiele możliwych elementarnych ruchów w dowolnym kierunku wzdłuż powierzchni nośnej, bez odrywania się od niej. Ruch punktu, prowadzący do jego oderwania od powierzchni, przerywa połączenie i zgodnie z definicją nie jest ruchem możliwym.

W przypadku układów stacjonarnych zwykłe rzeczywiste (rzeczywiste) przemieszczenie elementarne jest uwzględniane w zbiorze możliwych przemieszczeń.

· Liczba stopni swobody układu mechanicznego – jest to liczba jego możliwych ruchów niezależnych od siebie.

Zatem, gdy punkt porusza się po płaszczyźnie, każdy możliwy jego ruch wyraża się poprzez jego dwie ortogonalne (a zatem niezależne) składowe.

W przypadku układu mechanicznego z połączeniami geometrycznymi liczba niezależnych współrzędnych określających położenie układu pokrywa się z liczbą jego stopni swobody.

Zatem punkt na płaszczyźnie ma dwa stopnie swobody. Swobodny punkt materialny ma trzy stopnie swobody. U Wolne ciało– sześć (dodawane są obroty pod kątami Eulera) itd.

· Możliwa praca – jest to elementarna praca siły na możliwe przemieszczenie.

Zasada możliwych ruchów

Jeśli układ jest w równowadze, to dla dowolnego punktu spełniona jest równość, gdzie są wypadkowe sił czynnych i sił reakcji działających na ten punkt. Wtedy suma pracy wykonanej przez te siły dla dowolnego ruchu również wynosi zero . Sumując wszystkie punkty otrzymujemy: . Drugi wyraz idealnych połączeń jest równy zeru, co daje następujący wzór: zasada możliwych ruchów :

.

(3.82)

W warunkach równowagi układu mechanicznego o połączeniach idealnych suma prac elementarnych wszystkich sił czynnych działających na niego przy każdym możliwym ruchu układu jest równa zeru.

Wartość zasady możliwych przemieszczeń polega na sformułowaniu warunków równowagi układu mechanicznego (3.81), w którym nie występują nieznane reakcje wiązań.

PYTANIA DO SAMOKONTROLI

1. Jaki ruch punktu nazywa się możliwym?

2. Co nazywa się możliwą pracą siły?

3. Sformułuj i zapisz zasadę możliwych ruchów.

zasada d'Alemberta

Przepiszmy równanie dynamiki Do punkt układu mechanicznego (3.27), przesuwając lewą stronę w prawo. Weźmy pod uwagę ilość

Siły w równaniu (3.83) tworzą zrównoważony układ sił.

Rozszerzając ten wniosek na wszystkie punkty układu mechanicznego, dochodzimy do sformułowania zasada d'Alemberta, nazwany na cześć francuskiego matematyka i mechanika Jeana Lerona d'Alemberta (1717–1783), ryc. 3.13:

Ryc.3.13

Jeśli do wszystkich sił działających w danym układzie mechanicznym dodamy wszystkie siły bezwładności, otrzymany układ sił zostanie zrównoważony i będzie można do niego zastosować wszystkie równania statyki.

W rzeczywistości oznacza to, że z układu dynamicznego, dodając siły bezwładności (siły D'Alemberta), przechodzi się do układu pseudostatycznego (prawie statycznego).

Korzystając z zasady d'Alemberta, możemy uzyskać oszacowanie główny wektor sił bezwładności I główny moment sił bezwładności względem środka Jak:

Reakcje dynamiczne działające na oś obracającego się ciała

Rozważmy solidny, obracający się równomiernie z prędkością kątową ω wokół osi umocowanej w łożyskach A i B (ryc. 3.14). Skojarzmy obracające się z nim osie Axy z ciałem; zaletą takich osi jest to, że w stosunku do nich współrzędne środka masy i momenty bezwładności ciała będą miały wartości stałe. Niech dane siły działają na ciało. Oznaczmy rzuty wektora głównego wszystkich tych sił na oś Axy przez ( itp.), a ich główne momenty względem tych samych osi - poprzez ( itp.); jednocześnie od ω =stała, zatem = 0.

Ryc.3.14

Wyznaczanie reakcji dynamicznych X A, U A, Z A, XB, YBłożyska, tj. reakcje powstające podczas obrotu ciała, do wszystkich podanych sił i reakcji działających na ciało dodamy siły bezwładności wszystkich cząstek ciała, doprowadzając je do środka A. Wtedy siły bezwładności będą reprezentowane przez jeden siła równa i zastosowany w punkcie A , i parę sił o momencie równym . Rzuty tego momentu na oś Do I Na będzie: , ; tu ponownie , ponieważ ω =stała.

Teraz, zgodnie z zasadą D'Alemberta, układając równania (3.86) w rzutach na oś Axyz i zakładając AB =b, dostajemy

.

(3.87)

Ostatnie równanie jest spełniony identycznie, ponieważ .

Główny wektor sił bezwładności , Gdzie T - masa ciała (3,85). Na ω = stały środek masy C ma tylko normalne przyspieszenie , gdzie jest odległość punktu C od osi obrotu. Dlatego kierunek wektora pokrywają się z kierunkiem systemu operacyjnego . Obliczanie prognoz NA osie współrzędnych i biorąc pod uwagę to, gdzie - współrzędne środka masy znajdujemy:

Aby wyznaczyć i , rozważmy cząstkę ciała posiadającą masę M k, oddalone od osi w pewnej odległości hk. Dla niej o godz ω =const siła bezwładności również ma tylko składową odśrodkową , których rzuty, podobnie jak wektor R", są równe.

Przejdźmy dalej do rozważenia innej zasady mechaniki, która ustala ogólny warunek równowagi układu mechanicznego. Przez równowagę (patrz § 1) rozumiemy stan układu, w którym wszystkie jego punkty pod działaniem przyłożonych sił pozostają w spoczynku względem inercjalnego układu odniesienia (rozważamy tzw. równowagę „absolutną”) . Jednocześnie całą komunikację nałożoną na system będziemy uważać za stacjonarną i nie będziemy tego każdorazowo określać w przyszłości.

Wprowadźmy pojęcie pracy możliwej, jako elementarnej pracy, jaką może wykonać siła działająca na punkt materialny przy przemieszczeniu zgodnym z możliwym przemieszczeniem tego punktu. Możliwą pracę siły czynnej oznaczymy symbolem, a możliwą pracę reakcji wiązania N symbolem

Podajmy teraz ogólną definicję pojęcia połączeń idealnych, z której już korzystaliśmy (patrz § 123): idealne połączenia to takie, dla których suma prac elementarnych ich reakcji na ewentualne przemieszczenie układu jest równa zero, tj.

Warunek idealności połączeń podany w § 123 i wyrażony równością (52), gdy są one jednocześnie stacjonarne, odpowiada definicji (98), gdyż przy połączeniach stacjonarnych każdy rzeczywisty ruch pokrywa się z jednym z możliwych. Dlatego wszystkie przykłady podane w § 123 będą przykładami idealnych połączeń.

Aby wyznaczyć niezbędny warunek równowagi, udowadniamy, że jeśli układ mechaniczny o idealnych połączeniach znajduje się w równowadze pod działaniem przyłożonych sił, to dla każdego możliwego ruchu układu musi być spełniona równość

gdzie jest kątem pomiędzy siłą a możliwym przemieszczeniem.

Oznaczmy wypadkowe wszystkich (zarówno zewnętrznych, jak i wewnętrznych) sił czynnych i reakcji sprzęgających działających odpowiednio na jakiś punkt układu poprzez . Wtedy, ponieważ każdy z punktów układu jest w równowadze, a zatem suma pracy tych sił przy dowolnym ruchu punktu będzie również równa zeru, tj. Dokonując takich równości dla wszystkich punktów układu i dodając je wyraz po wyrazie, otrzymujemy

Ponieważ jednak połączenia są idealne i reprezentują możliwe ruchy punktów układu, druga suma zgodnie z warunkiem (98) będzie równa zeru. Wtedy pierwsza suma również wynosi zero, czyli spełniona jest równość (99). Udowodniono zatem, że równość (99) wyraża warunek konieczny równowagi układu.

Pokażmy, że ten warunek jest również wystarczający, tzn. jeśli do punktów układu mechanicznego będącego w spoczynku przyłożymy siły czynne spełniające równość (99), to układ ten pozostanie w spoczynku. Załóżmy odwrotnie, czyli że układ zacznie się poruszać i niektóre jego punkty wykonają rzeczywiste ruchy. Wtedy siły wykonają pracę nad tymi ruchami i zgodnie z twierdzeniem o zmianie energii kinetycznej będzie to:

gdzie oczywiście, ponieważ na początku układ był w spoczynku; dlatego i . Ale w przypadku połączeń stacjonarnych rzeczywiste przemieszczenia pokrywają się z niektórymi możliwymi przemieszczeniami, a przemieszczenia te muszą również zawierać coś, co jest sprzeczne z warunkiem (99). Zatem, gdy przyłożone siły spełniają warunek (99), układ nie może wyjść ze stanu spoczynku i warunek ten jest warunkiem wystarczającym do osiągnięcia równowagi.

Z tego, co zostało udowodnione, wynika następująca zasada możliwych przemieszczeń: dla równowagi układu mechanicznego o idealnych połączeniach konieczne i wystarczające jest, aby suma prac elementarnych wszystkich działających na niego sił czynnych przy dowolnym możliwym przemieszczeniu układu mechanicznego układ jest równy zeru. Matematycznie sformułowany warunek równowagi wyraża się równością (99), zwaną także równaniem pracy możliwej. Równość tę można również przedstawić w formie analitycznej (patrz § 87):

Zasada możliwych przemieszczeń ustanawia ogólny warunek równowagi układu mechanicznego, który nie wymaga uwzględniania równowagi poszczególnych części (ciał) tego układu i pozwala przy idealnych połączeniach wykluczyć z rozważań wszystkie nieznane wcześniej reakcje układu znajomości.