Ogólne równanie płaszczyzny w przestrzeni. Równanie płaszczyzny. Jak napisać równanie płaszczyzny? Wzajemne ustawienie płaszczyzn. Zadania Zrównywanie płaszczyzny za pomocą wektora kierunku i punktu
Równanie płaszczyzny. Jak napisać równanie płaszczyzny?
Wzajemne ustawienie płaszczyzn. Zadania
Geometria przestrzenna nie jest dużo bardziej skomplikowana niż geometria „płaska”, a nasze loty w kosmos rozpoczynamy od tego artykułu. Aby opanować temat, trzeba go dobrze rozumieć wektory dodatkowo wskazane jest zapoznanie się z geometrią samolotu - będzie wiele podobieństw, wiele analogii, dzięki czemu informacje zostaną znacznie lepiej przyswojone. W serii moich lekcji świat 2D rozpoczyna się od artykułu Równanie prostej na płaszczyźnie. Ale teraz Batman opuścił płaski ekran telewizora i wystartował z kosmodromu Bajkonur.
Zacznijmy od rysunków i symboli. Schematycznie płaszczyznę można narysować w formie równoległoboku, co stwarza wrażenie przestrzeni: 
Płaszczyzna jest nieskończona, ale mamy możliwość zobrazowania tylko jej fragmentu. W praktyce oprócz równoległoboku rysowany jest również owal, a nawet chmura. Ze względów technicznych wygodniej jest mi przedstawić samolot dokładnie w ten sposób i dokładnie w tej pozycji. Prawdziwe samoloty, które rozważymy w praktycznych przykładach, można zlokalizować w dowolny sposób - mentalnie weź rysunek w dłonie i obracaj go w przestrzeni, nadając płaszczyźnie dowolne nachylenie, dowolny kąt.
Oznaczenia: samoloty są zwykle oznaczane małymi greckimi literami, najwyraźniej po to, aby ich nie pomylić linia prosta na płaszczyźnie lub z linia prosta w przestrzeni. Przyzwyczaiłem się do używania litery . Na rysunku jest to litera „sigma”, a nie dziura. Chociaż dziurawy samolot jest z pewnością całkiem zabawny.
W niektórych przypadkach wygodnie jest używać tych samych greckich liter z dolnymi indeksami do oznaczania samolotów, na przykład .
Jest oczywiste, że płaszczyzna jest jednoznacznie zdefiniowana przez trzy różne punkty, które nie leżą na tej samej linii. Dlatego dość popularne są trzyliterowe oznaczenia samolotów - na przykład przez należące do nich punkty itp. Często litery są ujęte w nawiasy: 
, aby nie pomylić płaszczyzny z inną figurą geometryczną.
Dla doświadczonych czytelników podam menu szybkiego dostępu:
- Jak utworzyć równanie płaszczyzny za pomocą punktu i dwóch wektorów?
- Jak utworzyć równanie płaszczyzny za pomocą punktu i wektora normalnego?
i nie będziemy marnować długiego oczekiwania:
Ogólne równanie płaszczyzny
Ogólne równanie płaszczyzny ma postać , gdzie współczynniki nie są jednocześnie równe zeru.
Szereg obliczeń teoretycznych i problemów praktycznych jest ważnych zarówno dla zwykłej podstawy ortonormalnej, jak i dla podstawa afiniczna spacja (jeśli olej jest olejem, wróć do lekcji Liniowa (nie)zależność wektorów. Baza wektorów). Dla uproszczenia założymy, że wszystkie zdarzenia zachodzą w bazie ortonormalnej i kartezjańskiej układ prostokątny współrzędne
Poćwiczmy teraz trochę naszą wyobraźnię przestrzenną. Nie ma problemu, jeśli Twoje jest złe, teraz trochę to rozwiniemy. Nawet gra na nerwach wymaga treningu.
W najbardziej ogólnym przypadku, gdy liczby nie są równe zero, płaszczyzna przecina wszystkie trzy osie współrzędnych. Na przykład tak:
Powtarzam jeszcze raz, że samolot leci w nieskończoność we wszystkich kierunkach, a my mamy możliwość zobrazowania tylko jego części.
Rozważmy najprostsze równania płaszczyzn:
Jak rozumieć to równanie? Pomyśl o tym: „Z” jest ZAWSZE równe zero, dla dowolnych wartości „X” i „Y”. To jest równanie „natywnej” płaszczyzny współrzędnych. Rzeczywiście, formalnie równanie można przepisać w następujący sposób: 
, skąd wyraźnie widać, że nie zależy nam na tym, jakie wartości przyjmują „x” i „y”, ważne jest, aby „z” było równe zero.
Podobnie:
– równanie płaszczyzny współrzędnych;
– równanie płaszczyzny współrzędnych.
Skomplikujmy trochę problem, rozważmy płaszczyznę (w tym i dalszym akapicie zakładamy, że współczynniki liczbowe nie są równe zero). Przepiszmy równanie do postaci: . Jak to zrozumieć? „X” oznacza ZAWSZE, dla dowolnych wartości „Y” i „Z”, równych określonej liczbie. Płaszczyzna ta jest równoległa do płaszczyzny współrzędnych. Na przykład płaszczyzna jest równoległa do płaszczyzny i przechodzi przez punkt.
Podobnie:
– równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny współrzędnych;
– równanie płaszczyzny równoległej do płaszczyzny współrzędnych.
Dodajmy członków: . Równanie można przepisać w następujący sposób: , czyli „zet” może oznaczać wszystko. Co to znaczy? „X” i „Y” łączy relacja, która rysuje na płaszczyźnie pewną linię prostą (dowiesz się równanie prostej w płaszczyźnie?). Ponieważ „z” może oznaczać cokolwiek, ta linia prosta jest „replikowana” na dowolnej wysokości. Zatem równanie definiuje płaszczyznę równoległą do osi współrzędnych
Podobnie:
– równanie płaszczyzny równoległej do osi współrzędnych;
– równanie płaszczyzny równoległej do osi współrzędnych.
Jeśli wolne terminy wynoszą zero, wówczas płaszczyzny przejdą bezpośrednio przez odpowiednie osie. Na przykład klasyczna „bezpośrednia proporcjonalność”: . Narysuj linię prostą na płaszczyźnie i pomnóż ją w myślach w górę i w dół (ponieważ „Z” jest dowolne). Wniosek: płaszczyzna określona równaniem przechodzi przez oś współrzędnych.
Kończymy recenzję: równanie płaszczyzny 
przechodzi przez początek. Cóż, tutaj jest całkiem oczywiste, że punkt spełnia to równanie.
I wreszcie przypadek pokazany na rysunku: – płaszczyzna jest przyjazna wszystkim osiom współrzędnych, natomiast zawsze „odcina” trójkąt, który może znajdować się w którymkolwiek z ośmiu oktanów.
Nierówności liniowe w przestrzeni
Aby zrozumieć informacje, musisz się dobrze uczyć nierówności liniowe w płaszczyźnie, ponieważ wiele rzeczy będzie podobnych. Akapit będzie miał charakter krótkiego przeglądu i kilku przykładów, ponieważ materiał ten jest dość rzadki w praktyce.
Jeśli równanie definiuje płaszczyznę, to nierówności
zapytać półspacje. Jeżeli nierówność nie jest ścisła (dwie ostatnie na liście), to rozwiązanie nierówności oprócz półprzestrzeni uwzględnia także samą płaszczyznę.
Przykład 5
Znajdź jednostkowy wektor normalny płaszczyzny 
.
Rozwiązanie: Wektor jednostkowy to wektor, którego długość wynosi jeden. Oznaczmy dany wektor Poprzez . Jest całkowicie jasne, że wektory są współliniowe: 
Najpierw usuwamy wektor normalny z równania płaszczyzny: .
Jak znaleźć wektor jednostkowy? Aby znaleźć wektor jednostkowy, potrzebujesz każdy podziel współrzędną wektora przez długość wektora.
Przepiszmy wektor normalny do postaci i znajdźmy jego długość:
Zgodnie z powyższym:
Odpowiedź: 
Weryfikacja: co należało zweryfikować.
Czytelnicy, którzy uważnie przestudiowali ostatni akapit lekcji, prawdopodobnie to zauważyli współrzędne wektora jednostkowego są dokładnie cosinusami kierunku wektora:
Oderwijmy się od problemu: gdy otrzymasz dowolny niezerowy wektor, i zgodnie z warunkiem wymagane jest znalezienie cosinusów kierunku (patrz ostatnie problemy lekcji Iloczyn skalarny wektorów), to w rzeczywistości znajdziesz wektor jednostkowy współliniowy z tym. Właściwie dwa zadania w jednej butelce.
Konieczność znalezienia jednostkowego wektora normalnego pojawia się w niektórych problemach analizy matematycznej.
Z wędkarstwem wektor normalny Rozpracowaliśmy to, teraz odpowiedzmy na przeciwne pytanie:
Jak utworzyć równanie płaszczyzny za pomocą punktu i wektora normalnego?
Ta sztywna konstrukcja wektora normalnego i punktu jest dobrze znana tarczy. Proszę wyciągnąć rękę do przodu i w myślach wybrać dowolny punkt w przestrzeni, na przykład małego kota na kredensie. Oczywiście przez ten punkt można narysować pojedynczą płaszczyznę prostopadłą do dłoni.
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadły do wektora wyraża się wzorem:
Równanie płaszczyzny normalnej.
Nazywa się ogólne równanie płaskie postaci równanie płaszczyzny normalnej, jeśli długość wektora 
równy jeden, tzn. 
, I .
Często można zobaczyć, że równanie normalne płaszczyzny jest zapisane jako . Oto cosinusy kierunkowe wektora normalnego danej płaszczyzny o długości jednostkowej, to znaczy i P– liczba nieujemna równa odległości początku układu współrzędnych od płaszczyzny.
Równanie normalne płaszczyzny w prostokątnym układzie współrzędnych Oksyz definiuje płaszczyznę oddaloną od początku o pewną odległość P w kierunku dodatnim wektora normalnego tej płaszczyzny 
. Jeśli p=0, wówczas płaszczyzna przechodzi przez początek układu współrzędnych.
Podajmy przykład równania płaszczyzny normalnej.
Niech płaszczyzna będzie określona w prostokątnym układzie współrzędnych Oksyz ogólne równanie płaszczyzny postaci 
. To ogólne równanie płaszczyzny jest równaniem normalnym płaszczyzny. Rzeczywiście, wektor normalny tej płaszczyzny to 
ma długość równą jedności, ponieważ 
.
Równanie płaszczyzny w postaci normalnej pozwala znaleźć odległość punktu od płaszczyzny.
Odległość punktu od płaszczyzny.
Odległość punktu od płaszczyzny jest najmniejszą z odległości między tym punktem a punktami płaszczyzny. Wiadomo, że dystans od punktu do płaszczyzny jest równa długości prostopadłej poprowadzonej z tego punktu do płaszczyzny.
Jeśli i początek współrzędnych leży po różnych stronach płaszczyzny, w odwrotnym przypadku. Odległość punktu od płaszczyzny wynosi
Wzajemne ustawienie płaszczyzn. Warunki równoległości i prostopadłości płaszczyzn.
Odległość między równoległymi płaszczyznami
Powiązane pojęcia
Płaszczyzny są równoległe , Jeśli
Lub 
(Produkt wektorowy)
Płaszczyzny są prostopadłe, Jeśli
Lub 
.
(Produkt skalarny)
Prosto w kosmos. Różne rodzaje równania prostej.
Równania prostej w przestrzeni - informacje wstępne.
Równanie prostej na płaszczyźnie Oksy jest równaniem liniowym dwóch zmiennych X I y, który jest spełniony przez współrzędne dowolnego punktu na linii i nie jest spełniony przez współrzędne żadnego innego punktu. W przypadku linii prostej w przestrzeni trójwymiarowej sytuacja jest nieco inna – nie ma równania liniowego z trzema zmiennymi X, y I z, które spełniałyby jedynie współrzędne punktów na prostej określone w prostokątnym układzie współrzędnych Oksyz. Rzeczywiście, równanie postaci , gdzie X, y I z są zmiennymi, oraz A, B, C I D– niektóre liczby rzeczywiste i A, W I Z nie są jednocześnie równe zeru, reprezentuje ogólne równanie płaszczyzny. Powstaje zatem pytanie: „Jak opisać linię prostą w prostokątnym układzie współrzędnych? Oksyz»?
Odpowiedź na to pytanie zawarta jest w kolejnych akapitach artykułu.
Równania prostej w przestrzeni są równaniami dwóch przecinających się płaszczyzn.
Przypomnijmy jeden aksjomat: jeśli dwie płaszczyzny w przestrzeni mają wspólny punkt, to mają wspólną prostą, na której wszystkie punkty wspólne te samoloty. Zatem linię prostą w przestrzeni można zdefiniować poprzez określenie dwóch płaszczyzn przecinających się wzdłuż tej prostej.
Przetłumaczmy ostatnie stwierdzenie na język algebry.
Niech prostokątny układ współrzędnych zostanie ustalony w przestrzeni trójwymiarowej Oksyz i wiadomo, że linia prosta A jest linią przecięcia dwóch płaszczyzn i, które odpowiadają ogólnym równaniom płaszczyzny formy i, odpowiednio. Ponieważ jest prosto A jest zbiorem wszystkich wspólnych punktów płaszczyzn i wówczas współrzędne dowolnego punktu na prostej a będą jednocześnie spełniać zarówno równanie, jak i równanie, przy czym współrzędne żadnego innego punktu nie będą jednocześnie spełniać obu równań płaszczyzn. Dlatego współrzędne dowolnego punktu na linii A w prostokątnym układzie współrzędnych Oksyz przedstawiać szczególne rozwiązanie układu równań liniowych Uprzejmy 
i ogólne rozwiązanie układu równań 
określa współrzędne każdego punktu na linii A, czyli definiuje linię prostą A.
A więc linia prosta w przestrzeni w prostokątnym układzie współrzędnych Oksyz można wyrazić za pomocą układu równań dwóch przecinających się płaszczyzn 
.
Oto przykład zdefiniowania linii prostej w przestrzeni za pomocą układu dwóch równań - 
.
Opisywanie prostej za pomocą równań dwóch przecinających się płaszczyzn świetnie się sprawdza znalezienie współrzędnych punktu przecięcia prostej i płaszczyzny, a także kiedy znajdowanie współrzędnych punktu przecięcia dwóch prostych w przestrzeni.
Zalecamy dalsze zapoznanie się z tym tematem poprzez odniesienie się do artykułu równania prostej w przestrzeni - równania dwóch przecinających się płaszczyzn. Dostarcza bardziej szczegółowych informacji, szczegółowo omawia rozwiązania typowych przykładów i problemów, a także pokazuje sposób przejścia do równań prostej w przestrzeni innego typu.
Warto zauważyć, że są różne sposoby definiowania linii w przestrzeni, a w praktyce linię prostą często definiują nie dwie przecinające się płaszczyzny, ale wektor kierunkowy linii prostej i punkt leżący na tej prostej. W takich przypadkach łatwiej jest otrzymać równania kanoniczne i parametryczne linii w przestrzeni. Porozmawiamy o nich w poniższych akapitach.
Równania parametryczne prostej w przestrzeni.
Równania parametryczne prostej w przestrzeni wygląda jak 
,
Gdzie X 1 ,y 1 I z 1 – współrzędne jakiegoś punktu na linii, A X , A y I A z (A X , A y I A z nie są jednocześnie równe zeru) - odpowiadające współrzędne wektora kierującego linii prostej, a jest pewnym parametrem, który może przyjąć dowolną wartość rzeczywistą.
Dla dowolnej wartości parametru, korzystając z równań parametrycznych prostej w przestrzeni, możemy obliczyć trójkę liczb,
będzie odpowiadać pewnemu punktowi na prostej (stąd nazwa tego typu równania liniowego). Na przykład kiedy
z równań parametrycznych linii prostej w przestrzeni otrzymujemy współrzędne X 1
, y 1
I z 1
: 
.
Jako przykład rozważmy linię prostą zdefiniowaną przez równania parametryczne postaci 
. Linia ta przechodzi przez punkt, a wektor kierunkowy tej linii ma współrzędne.
Zalecamy kontynuację studiowania tematu poprzez odniesienie się do artykułu Równania parametryczne prostej w przestrzeni. Pokazuje wyprowadzenie równań parametrycznych linii w przestrzeni, bada szczególne przypadki równań parametrycznych linii w przestrzeni, dostarcza ilustracji graficznych, podaje szczegółowe rozwiązania charakterystycznych problemów oraz wskazuje związek pomiędzy równaniami parametrycznymi linii a innymi typami równania prostej.
Równania kanoniczne prostej w przestrzeni.
Po rozwiązaniu każdego z parametrycznych równań prostych postaci 
jeśli chodzi o parametr, łatwo jest do niego przejść równania kanoniczne prostej w przestrzeni Uprzejmy 
.
Równania kanoniczne linii w przestrzeni wyznaczają linię przechodzącą przez punkt 
, a wektor kierunkowy linii prostej jest wektorem 
. Na przykład równania linii prostej w formie kanonicznej 
odpowiadają linii przechodzącej przez punkt w przestrzeni o współrzędnych, wektor kierunkowy tej linii ma współrzędne.
Należy zauważyć, że jedna lub dwie liczby w równaniach kanonicznych linii mogą być równe zeru (wszystkie trzy liczby nie mogą być jednocześnie równe zeru, ponieważ wektor kierunkowy linii nie może wynosić zero). Następnie zapis formy 
jest uważane za formalne (ponieważ mianowniki jednego lub dwóch ułamków będą miały zera) i należy je rozumieć jako 
, Gdzie.
Jeżeli jedna z liczb w równaniach kanonicznych prostej jest równa zeru, to prosta leży w jednej z płaszczyzn współrzędnych lub w płaszczyźnie do niej równoległej. Jeśli dwie z tych liczb wynoszą zero, wówczas linia albo pokrywa się z jedną z osi współrzędnych, albo jest do niej równoległa. Na przykład linia odpowiadająca równaniom kanonicznym linii w przestrzeni postaci 
, leży w samolocie z=-2, która jest równoległa do płaszczyzny współrzędnych Oksy, A oś współrzędnych Oj wyznacza się za pomocą równań kanonicznych.
Graficzne ilustracje tych przypadków, wyprowadzenie równań kanonicznych prostej w przestrzeni, szczegółowe rozwiązania typowych przykładów i problemów, a także przejście od równań kanonicznych prostej do innych równań prostej w przestrzeni, zob. artykuł równania kanoniczne prostej w przestrzeni.
Ogólne równanie prostej. Przejście od równania ogólnego do równania kanonicznego.
| " |
– ogólne równanie płaszczyzny w przestrzeni
Normalny wektor płaszczyzny
Wektor normalny płaszczyzny jest niezerowym wektorem prostopadłym do każdego wektora leżącego na płaszczyźnie.
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt o zadanym wektorze normalnym
– równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt M0 z zadanym wektorem normalnym
Wektory kierunku płaszczyzny
Dwa niewspółliniowe wektory równoległe do płaszczyzny nazywamy wektorami kierunkowymi płaszczyzny
Równania płaszczyzny parametrycznej
– równanie parametryczne samoloty w formie wektorowej
– równanie parametryczne płaszczyzny we współrzędnych
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt i dwa wektory kierunkowe
–punkt stały
-tylko uwaga, lol
-coplanar, co oznacza, że ich iloczyn mieszany wynosi 0.
Równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy dane punkty
– równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty
Równanie płaszczyzny w odcinkach
– równanie płaszczyzny w odcinkach
Dowód
Aby to udowodnić, używamy faktu, że nasza płaszczyzna przechodzi przez A, B, C i wektor normalny
Podstawmy współrzędne punktu i wektora n do równania płaszczyzny wektorem normalnym
Podzielmy wszystko przez i otrzymajmy
Tak to idzie.
Równanie płaszczyzny normalnej
– kąt pomiędzy wółem a wektorem normalnym do płaszczyzny wychodzącej z O.
– kąt pomiędzy oy a wektorem normalnym do płaszczyzny wychodzącej z O.
– kąt pomiędzy oz a wektorem normalnym do płaszczyzny wychodzącej z O.
– odległość od początku do płaszczyzny.
Dowód czy coś w tym stylu
Znak jest przeciwny do D.
Podobnie dla pozostałych cosinusów. Koniec.
Odległość punktu od płaszczyzny
Punkt S, płaszczyzna
– zorientowana odległość od punktu S do płaszczyzny
Jeśli , to S i O leżą po przeciwnych stronach płaszczyzny
Jeśli , to S i O leżą po tej samej stronie
Pomnóż przez n 
Względne położenie dwóch linii w przestrzeni
Kąt między płaszczyznami
Podczas przecięcia powstają dwie pary pionowych kątów dwuściennych, najmniejszy nazywany jest kątem między płaszczyznami
Linia prosta w przestrzeni
Linię prostą w przestrzeni można określić jako
Przecięcie dwóch płaszczyzn:
Równania parametryczne prostej
– równanie parametryczne prostej w postaci wektorowej
– równanie parametryczne prostej we współrzędnych
Równanie kanoniczne
– równanie kanoniczne prostej.
Równanie prostej przechodzącej przez dwa dane punkty
– równanie kanoniczne prostej w postaci wektorowej;
Względne położenie dwóch linii w przestrzeni
Względne położenie prostej i płaszczyzny w przestrzeni
Kąt między linią prostą a płaszczyzną
Odległość punktu od linii w przestrzeni
a jest wektorem kierunkowym naszej linii prostej.
– dowolny punkt należący do danej prostej
– punkt, do którego szukamy odległości.
Odległość między dwiema przecinającymi się liniami
Odległość między dwiema równoległymi liniami
M1 – punkt należący do pierwszej linii
M2 – punkt należący do drugiej linii
Krzywe i powierzchnie drugiego rzędu
Elipsa to zbiór punktów na płaszczyźnie, suma odległości, z których do dwóch danych punktów (ognisk) jest wartością stałą.
Kanoniczne równanie elipsy
Zamienić
Dzielić przez
Właściwości elipsy
Przecięcie z osiami współrzędnych
Początki
Symetria względna
Elipsa to krzywa leżąca w ograniczonej części płaszczyzny
Elipsę można uzyskać z koła poprzez jego rozciąganie lub ściskanie
Równanie parametryczne elipsy:
– dyrektorki
Hiperbola
Hiperbola to zbiór punktów na płaszczyźnie, dla których moduł różnicy odległości do 2 danych punktów (ognisk) jest wartością stałą (2a)
Robimy to samo, co z elipsą, otrzymujemy
Zamienić
Dzielić przez
Właściwości hiperboli
;
– dyrektorki
Asymptota
Asymptota to prosta, do której krzywa zbliża się bez ograniczeń, oddalając się w nieskończoność.
Parabola
Właściwości paraworku
Zależność między elipsą, hiperbolą i parabolą.
Zależność między tymi krzywymi ma wyjaśnienie algebraiczne: wszystkie są dane równaniami drugiego stopnia. W dowolnym układzie współrzędnych równania tych krzywych mają postać: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, gdzie a, b, c, d, e, f są liczbami
Konwersja prostokątnych kartezjańskich układów współrzędnych
Równoległy transfer układu współrzędnych
–O’ w starym układzie współrzędnych
– współrzędne punktu w starym układzie współrzędnych
– współrzędne punktu w nowym układzie współrzędnych
Współrzędne punktu w nowym układzie współrzędnych.
Obrót w prostokątnym kartezjańskim układzie współrzędnych
–nowy układ współrzędnych
Macierz przejścia ze starej podstawy na nową
– (pod pierwszą kolumną I’
, pod drugim – J’
) macierz przejścia z podstawy I,J do bazy I’
,J’
Sprawa ogólna
Obracanie układu współrzędnych
Obracanie układu współrzędnych
Tłumaczenie pochodzenia równoległego
1 opcja
Opcja 2
Równanie ogólne prostych drugiego rzędu i jego redukcja do postaci kanonicznej
– ogólna postać równań krzywych drugiego rzędu
Klasyfikacja krzywych drugiego rzędu
Elipsoida
Przekroje elipsoidalne
– elipsa
– elipsa
Elipsoidy rewolucji
Elipsoidy obrotowe są albo spłaszczonymi, albo wydłużonymi sferoidami, w zależności od tego, wokół czego się obracamy.
Hiperboloid jednopasmowy
Przekroje hiperboloidy jednopasmowej
– hiperbola z osią rzeczywistą
– hiperbola z rzeczywistą osią x
Rezultatem jest elipsa dla dowolnego h. Tak to idzie.
Jednopasmowe hiperboloidy rewolucji
Jednoarkuszowy hiperboloid obrotowy można uzyskać, obracając hiperbolę wokół jej wyimaginowanej osi.
Hiperboloida dwuarkuszowa
Przekroje hiperboloidy dwuarkuszowej 
- hiperbola z działaniem. ośoz
– hiperbola z osią rzeczywistąoz
Stożek 
– para przecinających się linii
– para przecinających się linii
Paraboloida eliptyczna 
- parabola
– parabola
Obroty
Jeśli , to paraboloida eliptyczna jest powierzchnią obrotową utworzoną przez obrót paraboli wokół jej osi symetrii.
Paraboloida hiperboliczna
Parabola
– parabola
h>0 hiperbola z osią rzeczywistą równoległą do x
H<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
Przez walec rozumiemy powierzchnię, która zostanie uzyskana, gdy linia prosta porusza się w przestrzeni, nie zmieniając swojego kierunku; jeśli linia prosta porusza się względem oz, to równanie walca jest równaniem przekroju przez płaszczyznę xoy.
Cylinder eliptyczny
Cylinder hiperboliczny
Cylinder paraboliczny
Generatory prostoliniowe powierzchni drugiego rzędu
Linie proste leżące całkowicie na powierzchni nazywane są prostoliniowymi generatorami powierzchni.
Powierzchnie obrotowe
Pieprz się, frajerze
Wyświetlacz
Wyświetlacz nazwijmy regułę, zgodnie z którą każdy element zbioru A jest powiązany z jednym lub większą liczbą elementów zbioru B. Jeśli każdemu przypisany jest pojedynczy element zbioru B, wywoływane jest mapowanie niedwuznaczny, W przeciwnym razie dwuznaczny.
Transformacja zestawu to odwzorowanie zestawu jeden do jednego na siebie
Zastrzyk
Wstrzyknięcie lub mapowanie jeden do jednego zestawu A na zestaw B
(różne elementy a odpowiadają różnym elementom B) na przykład y=x^2
Surjekcja
Surjekcja lub mapowanie zbioru A na zbiór B
Na każde B przypada co najmniej jedno A (na przykład sinus)
Każdy element zbioru B odpowiada tylko jednemu elementowi zbioru A. (na przykład y=x)
Rozważmy w przestrzeni płaszczyznę Q. Jej położenie jest całkowicie określone przez podanie wektora N prostopadłego do tej płaszczyzny i jakiegoś stałego punktu leżącego na płaszczyźnie Q. Wektor N prostopadły do płaszczyzny Q nazywany jest wektorem normalnym tej płaszczyzny. Jeśli oznaczymy przez A, B i C rzuty wektora normalnego N, to
Wyprowadźmy równanie płaszczyzny Q przechodzącej przez dany punkt i mającej dany wektor normalny. Aby to zrobić, rozważ wektor łączący punkt z dowolnym punktem na płaszczyźnie Q (ryc. 81).
Dla dowolnego położenia punktu M na płaszczyźnie Q wektor MHM jest prostopadły do wektora normalnego N płaszczyzny Q. Dlatego iloczyn skalarny Zapiszmy iloczyn skalarny w postaci rzutów. Ponieważ , i jest wektorem, zatem
i dlatego
Pokazaliśmy, że współrzędne dowolnego punktu płaszczyzny Q spełniają równanie (4). Łatwo zauważyć, że współrzędne punktów nie leżących na płaszczyźnie Q nie spełniają tego równania (w tym drugim przypadku). W rezultacie otrzymaliśmy wymagane równanie dla płaszczyzny Q. Równanie (4) nazywane jest równaniem płaszczyzny przechodzącej przez dany punkt. Jest to stopień pierwszego względem aktualnych współrzędnych
Pokazaliśmy więc, że każda płaszczyzna odpowiada równaniu pierwszego stopnia w odniesieniu do bieżących współrzędnych.
Przykład 1. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkt prostopadły do wektora.
Rozwiązanie. Tutaj . Na podstawie wzoru (4) otrzymujemy
lub, po uproszczeniu,
Nadając współczynnikom A, B i C równania (4) różne wartości, możemy otrzymać równanie dowolnej płaszczyzny przechodzącej przez punkt . Zbiór płaszczyzn przechodzących przez dany punkt nazywa się wiązką płaszczyzn. Równanie (4), w którym współczynniki A, B i C mogą przyjmować dowolne wartości, nazywa się równaniem wiązki płaszczyzn.
Przykład 2. Utwórz równanie płaszczyzny przechodzącej przez trzy punkty (ryc. 82).
Rozwiązanie. Napiszmy równanie dla grupy płaszczyzn przechodzących przez punkt
W tej lekcji przyjrzymy się, jak używać wyznacznika do tworzenia równanie płaszczyzny. Jeśli nie wiesz, czym jest wyznacznik, przejdź do pierwszej części lekcji - „Macierze i wyznaczniki”. W przeciwnym razie ryzykujesz, że nie zrozumiesz niczego z dzisiejszego materiału.
Równanie płaszczyzny za pomocą trzech punktów
Po co nam w ogóle równanie płaszczyzny? To proste: wiedząc o tym, możemy łatwo obliczyć kąty, odległości i inne bzdury w zadaniu C2. Ogólnie rzecz biorąc, nie można obejść się bez tego równania. Dlatego formułujemy problem:
Zadanie. W przestrzeni dane są trzy punkty, które nie leżą na tej samej prostej. Ich współrzędne:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);Musisz utworzyć równanie dla płaszczyzny przechodzącej przez te trzy punkty. Ponadto równanie powinno wyglądać następująco:
Topór + By + Cz + D = 0
gdzie liczby A, B, C i D są współczynnikami, które w rzeczywistości należy znaleźć.
No bo jak otrzymać równanie płaszczyzny, jeśli znane są tylko współrzędne punktów? Najłatwiej jest podstawić współrzędne do równania Ax + By + Cz + D = 0. Otrzymujesz układ trzech równań, który można łatwo rozwiązać.
Wielu studentów uważa to rozwiązanie za wyjątkowo nudne i zawodne. Ubiegłoroczny egzamin Unified State Examination z matematyki pokazał, że prawdopodobieństwo popełnienia błędu w obliczeniach jest naprawdę wysokie.
Dlatego najbardziej zaawansowani nauczyciele zaczęli szukać prostszych i bardziej eleganckich rozwiązań. I znaleźli! To prawda, że osiągnięta technika odnosi się raczej do wyższej matematyki. Osobiście musiałem przeszukać całą Federalną Listę Podręczników, aby upewnić się, że mamy prawo używać tej techniki bez żadnego uzasadnienia i dowodu.
Równanie płaszczyzny poprzez wyznacznik
Dość tych tekstów, przejdźmy do rzeczy. Na początek twierdzenie o związku wyznacznika macierzy i równania płaszczyzny.
Twierdzenie. Niech zostaną podane współrzędne trzech punktów, przez które należy poprowadzić płaszczyznę: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Następnie równanie tej płaszczyzny można zapisać poprzez wyznacznik:
Jako przykład spróbujmy znaleźć parę płaszczyzn, które faktycznie występują w zadaniu C2. Zobacz, jak szybko wszystko się oblicza:
ZA 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);
Tworzymy wyznacznik i przyrównujemy go do zera:
Rozwijamy wyznacznik:
za = 1 1 (z - 1) + 0 0 x + (-1) 1 y = z - 1 - y;
b = (-1) 1 x + 0 1 (z - 1) + 1 0 y = -x;
re = za - b = z - 1 - y - (-x ) = z - 1 - y + x = x - y + z - 1;
re = 0 ⇒ x - y + z - 1 = 0;
Jak widać, obliczając liczbę d, „przeczesałem” trochę równanie, aby zmienne x, y i z były w odpowiedniej kolejności. To wszystko! Równanie płaszczyzny jest gotowe!
Zadanie. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:
ZA = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
Re 1 = (0, 1, 1);
Natychmiast podstawiamy współrzędne punktów do wyznacznika:
Ponownie rozszerzamy wyznacznik:
za = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
re = za - b = z - (x + y ) = z - x - y;
re = 0 ⇒ z - x - y = 0 ⇒ x + y - z = 0;
Zatem równanie płaszczyzny uzyskuje się ponownie! Ponownie na ostatnim etapie musieliśmy zmienić znajdujące się w nim znaki, aby uzyskać piękniejszą formułę. W tym rozwiązaniu wcale nie jest to konieczne, ale nadal jest to zalecane - aby uprościć dalsze rozwiązanie problemu.
Jak widać, ułożenie równania płaszczyzny jest teraz znacznie łatwiejsze. Podstawiamy punkty do macierzy, obliczamy wyznacznik – i gotowe, równanie jest gotowe.
To mogłoby zakończyć lekcję. Jednak wielu uczniów ciągle zapomina, co kryje się wewnątrz wyznacznika. Na przykład, który wiersz zawiera x 2 lub x 3, a który wiersz zawiera tylko x. Aby naprawdę mieć to na uwadze, spójrzmy, skąd pochodzi każda liczba.
Skąd wziął się wzór z wyznacznikiem?
Zastanówmy się więc, skąd bierze się tak ostre równanie z wyznacznikiem. Pomoże Ci to zapamiętać i skutecznie zastosować.
Wszystkie płaszczyzny występujące w Zadaniu C2 są zdefiniowane przez trzy punkty. Punkty te są zawsze zaznaczane na rysunku lub wręcz wskazane bezpośrednio w tekście zadania. W każdym razie, aby utworzyć równanie, będziemy musieli zapisać ich współrzędne:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).
Rozważmy inny punkt na naszej płaszczyźnie o dowolnych współrzędnych:
T = (x, y, z)
Weź dowolny punkt z pierwszych trzech (na przykład punkt M) i narysuj z niego wektory do każdego z trzech pozostałych punktów. Otrzymujemy trzy wektory:
MN = (x 2 - x 1 , y 2 - y 1 , z 2 - z 1 );
MK = (x 3 - x 1 , y 3 - y 1 , z 3 - z 1 );
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1 ).
Zbudujmy teraz macierz kwadratową z tych wektorów i przyrównajmy jej wyznacznik do zera. Współrzędne wektorów staną się wierszami macierzy - i otrzymamy sam wyznacznik wskazany w twierdzeniu:
Wzór ten oznacza, że objętość równoległościanu zbudowanego na wektorach MN, MK i MT jest równa zeru. Dlatego wszystkie trzy wektory leżą w tej samej płaszczyźnie. W szczególności dowolny punkt T = (x, y, z) jest dokładnie tym, czego szukaliśmy.
Zastępowanie punktów i prostych wyznacznika
Wyznaczniki mają kilka świetnych właściwości, dzięki którym jest to jeszcze łatwiejsze rozwiązanie problemu C2. Na przykład nie ma dla nas znaczenia, z którego punktu rysujemy wektory. Dlatego poniższe wyznaczniki dają to samo równanie płaszczyzny, co powyższe:
Można także zamienić linie wyznacznika. Równanie pozostanie niezmienione. Na przykład wiele osób lubi pisać linię ze współrzędnymi punktu T = (x; y; z) na samej górze. Proszę, jeśli jest to dla Ciebie wygodne:
Niektórych dezorientuje fakt, że jedna z prostych zawiera zmienne x, y i z, które nie znikają przy podstawieniu punktów. Ale nie powinny znikać! Podstawiając liczby do wyznacznika, powinieneś otrzymać następującą konstrukcję:
Następnie wyznacznik rozwijamy zgodnie ze schematem podanym na początku lekcji i otrzymujemy równanie standardowe płaszczyzny:
Topór + By + Cz + D = 0
Spójrz na przykład. To już ostatnia lekcja na dzisiejszej lekcji. Celowo zamienię linie, aby mieć pewność, że odpowiedź da to samo równanie płaszczyzny.
Zadanie. Napisz równanie płaszczyzny przechodzącej przez punkty:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
re 1 = (0, 1, 1).
Rozważamy więc 4 punkty:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
Re 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Najpierw utwórzmy wyznacznik standardowy i przyrównajmy go do zera:
Rozwijamy wyznacznik:
za = 0 1 (z - 1) + 1 0 (x - 1) + (-1) (-1) y = 0 + 0 + y;
b = (-1) 1 (x - 1) + 1 (-1) (z - 1) + 0 0 y = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
re = za - b = y - (2 - x - z ) = y - 2 + x + z = x + y + z - 2;
re = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;
To wszystko, mamy odpowiedź: x + y + z − 2 = 0.
Zmieńmy teraz układ kilku linii w wyznaczniku i zobaczmy, co się stanie. Na przykład napiszmy linię ze zmiennymi x, y, z nie na dole, ale na górze:
Ponownie rozszerzamy wynikowy wyznacznik:
za = (x - 1) 1 (-1) + (z - 1) (-1) 1 + y 0 0 = 1 - x + 1 - z = 2 - x - z;
b = (z - 1) 1 0 + y (-1) (-1) + (x - 1) 1 0 = y;
re = za - b = 2 - x - z - y;
re = 0 ⇒ 2 - x - y - z = 0 ⇒ x + y + z - 2 = 0;
Otrzymaliśmy dokładnie to samo równanie płaskie: x + y + z − 2 = 0. Oznacza to, że tak naprawdę nie zależy to od kolejności wierszy. Pozostaje tylko zapisać odpowiedź.
Jesteśmy zatem przekonani, że równanie płaszczyzny nie zależy od kolejności linii. Możemy przeprowadzić podobne obliczenia i wykazać, że równanie płaszczyzny nie zależy od punktu, którego współrzędne odejmiemy od innych punktów.
W rozważanym powyżej problemie użyliśmy punktu B 1 = (1, 0, 1), ale całkiem możliwe było przyjęcie C = (1, 1, 0) lub D 1 = (0, 1, 1). Ogólnie rzecz biorąc, dowolny punkt o znanych współrzędnych leżący na żądanej płaszczyźnie.
Okna plastikowe i aluminiowe od producenta
Sukienka wykonana z plastikowych butelek DIY plastikowe ubrania
Rękodzieło DIY z improwizowanych materiałów w domu