Sistem vectorial ortogonal. Vezi paginile în care este menționat termenul de sistem ortogonal Sistem ortogonal

Dacă alegem oricare doi vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară pe un plan (Fig. 7), atunci un vector arbitrar din același plan poate fi extins în direcțiile acestor doi vectori, adică reprezentat sub forma

unde sunt numere egale cu proiecțiile vectorului pe direcțiile axelor Deoarece proiecția pe axă este egală cu produsul lungimii și cosinusul unghiului cu axa, atunci, amintind definiția produsului scalar. , putem scrie

În mod similar, dacă în spațiul tridimensional alegem oricare trei vectori reciproc perpendiculari de lungime unitară, atunci un vector arbitrar din acest spațiu poate fi reprezentat ca

Într-un spațiu Hilbert, se pot lua în considerare și sisteme de vectori ortogonali perechi ai acestui spațiu, adică funcții

Astfel de sisteme de funcții sunt numite sisteme ortogonale de funcții și joacă un rol important în analiză. Ele se regăsesc într-o mare varietate de întrebări de fizică matematică, ecuații integrale, calcule aproximative, teoria funcțiilor unei variabile reale etc. Ordonarea și unificarea conceptelor legate de astfel de sisteme a fost unul dintre stimulentele care au condus la începutul secolul al XX-lea. la creație concept general Spațiul Hilbert.

Să dăm definiții precise. Sistem de funcții

se numește ortogonală dacă oricare două funcții ale acestui sistem sunt ortogonale una față de cealaltă, adică dacă

În spațiul tridimensional, am cerut ca lungimile vectorilor sistemului să fie egale cu unu. Reamintind definiția lungimii vectorului, vedem că în cazul unui spațiu Hilbert această cerință este scrisă după cum urmează:

Un sistem de funcții care îndeplinește cerințele (13) și (14) se numește ortogonal și normalizat.

Să dăm exemple de astfel de sisteme de funcții.

1. Pe interval, luați în considerare șirul de funcții

Fiecare două funcții din această secvență sunt ortogonale una față de cealaltă. Acest lucru poate fi verificat prin simpla calculare a integralelor corespunzătoare. Pătratul lungimii unui vector într-un spațiu Hilbert este integrala pătratului funcției. Astfel, lungimile pătrate ale vectorilor de secvență

esența integralelor

adică secvența vectorilor noștri este ortogonală, dar nu normalizată. Lungimea primului vector al secvenței este egală cu

restul au lungime. Împărțind fiecare vector la lungimea lui, obținem un sistem ortogonal și normalizat funcții trigonometrice

Acest sistem este din punct de vedere istoric unul dintre primele și cele mai importante exemple de sisteme ortogonale. A apărut în lucrările lui Euler, D. Bernoulli și d'Alembert în legătură cu problema vibrațiilor corzilor. Studiul ei a jucat un rol semnificativ în dezvoltarea întregii analize.

Apariția unui sistem ortogonal de funcții trigonometrice în legătură cu problema vibrațiilor corzilor nu este întâmplătoare. Fiecare problemă despre oscilațiile mici ale unui mediu duce la un anumit sistem de funcții ortogonale care descriu așa-numitele oscilații naturale ale unui sistem dat (vezi § 4). De exemplu, în legătură cu problema oscilațiilor unei sfere apar așa-numitele funcții sferice, în legătură cu problema oscilațiilor unei membrane rotunde sau a unui cilindru apar așa-numitele funcții cilindrice etc.

2. Puteți da un exemplu de sistem ortogonal de funcții, fiecare funcție fiind un polinom. Un astfel de exemplu este șirul de polinoame Legendre

adică există (până la un factor constant) derivata de ordin a lui . Să scriem primele câteva polinoame ale acestei secvențe:

Este evident că în general există un polinom de grad. Lăsăm cititorului să vadă singur că aceste polinoame reprezintă o secvență ortogonală pe interval

Teoria generală polinoamele ortogonale (așa-numitele polinoame ortogonale cu greutate) au fost dezvoltate de remarcabilul matematician rus P. L. Cebyshev în a doua jumătate a secolului al XIX-lea.

Extinderea în sistemele ortogonale de funcții. La fel ca în spațiul tridimensional, fiecare vector poate fi reprezentat

ca o combinație liniară a trei vectori ortogonali pe perechi de lungime unitară

în spațiul funcțiilor, se pune problema extinderii unei funcții arbitrare într-o serie într-un sistem ortogonal și normalizat de funcții, adică reprezentând funcția sub forma

În acest caz, convergența seriei (15) la o funcție este înțeleasă în sensul distanței dintre elemente din spațiul Hilbert. Aceasta înseamnă că abaterea pătratică medie a sumei parțiale a seriei de la funcție tinde spre zero ca , i.e.

Această convergență este de obicei numită „convergență în medie”.

Expansiunile în ceea ce privește anumite sisteme de funcții ortogonale se găsesc adesea în analiză și reprezintă o metodă importantă pentru rezolvarea problemelor de fizică matematică. Deci, de exemplu, dacă un sistem ortogonal este un sistem de funcții trigonometrice pe interval

atunci o astfel de expansiune este expansiunea clasică a unei funcții dintr-o serie trigonometrică

Să presupunem că expansiunea (15) este posibilă pentru orice funcție din spațiul Hilbert și să găsim coeficienții unei astfel de expansiuni. Pentru a face acest lucru, să înmulțim scalar ambele părți ale egalității cu aceeași funcție a sistemului nostru. Vom obține egalitate

din care, datorită faptului că atunci când se determină valoarea coeficientului

Vedem că, ca și în spațiul tridimensional obișnuit (vezi începutul acestei secțiuni), coeficienții sunt egali cu proiecțiile vectorului pe direcțiile vectorilor.

Reamintind definiția produsului scalar, constatăm că coeficienții expansiunii unei funcții într-un sistem ortogonal și normalizat de funcții

determinate prin formule

Ca exemplu, luați în considerare sistemul trigonometric normalizat ortogonal de funcții prezentat mai sus:

Am obținut o formulă pentru calcularea coeficienților de expansiune a unei funcții într-o serie trigonometrică, presupunând, desigur, că această expansiune este posibilă.

Am stabilit forma coeficienților de expansiune (18) ai unei funcții într-un sistem ortogonal de funcții în ipoteza că o astfel de expansiune are loc. Cu toate acestea, un sistem ortogonal infinit de funcții poate să nu fie suficient pentru a fi posibilă extinderea oricărei funcții dintr-un spațiu Hilbert. Pentru ca o astfel de extindere să fie posibilă, sistemul de funcții ortogonale trebuie să satisfacă condiție suplimentară- așa-numita condiție de completitudine.

Sistem ortogonal a unei funcții se numește completă dacă este imposibil să se adauge la ea o singură funcție nulă, neidentică, ortogonală cu toate funcțiile sistemului.

Este ușor să dați un exemplu de sistem ortogonal incomplet. Pentru a face acest lucru, să luăm un sistem ortogonal, de exemplu același

sistem de funcții trigonometrice și eliminați una dintre funcțiile acestui sistem, de exemplu, sistemul infinit de funcții rămas

va fi în continuare ortogonal, desigur, nu va fi complet, deoarece funcția pe care am exclus-o este ortogonală cu toate funcțiile sistemului.

Dacă un sistem de funcții nu este complet, atunci nu orice funcție dintr-un spațiu Hilbert poate fi extins peste el. Într-adevăr, dacă încercăm să extindem într-un astfel de sistem o funcție zero ortogonală cu toate funcțiile sistemului, atunci, în virtutea formulelor (18), toți coeficienții vor fi egali cu zero, în timp ce funcția nu este egală cu zero.

Următoarea teoremă este valabilă: dacă este dat un sistem complet ortogonal și normalizat de funcții într-un spațiu Hilbert, atunci orice funcție poate fi extinsă într-o serie în ceea ce privește funcțiile acestui sistem

În acest caz, coeficienții de expansiune sunt egali cu proiecțiile vectorilor pe elementele sistemului normalizat ortogonal.

Teorema lui Pitagora din § 2 în spațiul Hilbert ne permite să găsim o relație interesantă între coeficienți și funcție Să notăm prin diferența dintre și suma primilor termeni ai seriei sale, i.e.

Proiectarea PLM-urilor este un LSI, realizat sub forma unui sistem de magistrale ortogonale, în nodurile cărora se află elemente semiconductoare de bază - tranzistoare sau diode. Configurarea PLM pentru transformarea logica ceruta (programare PLM) consta in organizarea corespunzatoare a legaturilor intre elementele logice de baza. Programarea PLM este efectuată fie în timpul fabricării acestuia, fie de către utilizator folosind un dispozitiv programator. Datorită proprietăților PLM precum simplitatea organizării structurale și de mare viteză efectuând transformări logice, precum și costuri relativ scăzute, determinate de fabricabilitatea și producția de masă, PLM-urile sunt utilizate pe scară largă ca bază elementară în proiectarea sistemelor informatice și a sistemelor de automatizare a producției.  

Nu există „sisteme mecanice” bune de urmat nici măcar la acest nivel. În opinia mea, nu a existat niciodată un sistem „mecanic” de succes care ar putea fi descris printr-un model liniar. Nu există acum și, după toate probabilitățile, nu va exista niciodată, chiar și cu utilizarea inteligenței artificiale, a procesoarelor analogice, a algoritmilor genetici, a regresiilor ortogonale și a rețelelor neuronale.  

Să explicăm semnificația normei - G. Într-un spațiu (n+1)-dimensional este introdus un sistem de coordonate oblic, dintre care o axă este dreapta Xe, iar a doua axă este hiperplanul n-dimensional G. , ortogonală la g. Orice vector x poate fi reprezentat sub forma  

Regresia parabolică și sistemul ortogonal  

Pentru certitudine, să ne limităm la cazul m = 2 (trecerea la cazul general m > 2 se realizează într-un mod evident fără dificultăți) și să reprezentăm funcția de regresie în sistemul de funcții de bază dacă>0 (n ), (x), ip2 to) care sunt ortogonale (pe totalitatea observate  

Ortogonalitatea reciprocă a polinoamelor (7- (JK) (pe sistemul de observație xlt k..., xn) înseamnă că  

Cu o astfel de planificare, numită ortogonală, matricea X X va deveni diagonală, adică. sistemul de ecuații normale se împarte în k+l ecuații independente  

Sistem de puncte care satisfac condiția de ortogonalitate (plan de ordinul I)  

Este evident că tensorul de deformare în mișcare rigidă dispare. Se poate arăta că și invers este adevărat: dacă în toate punctele mediului tensorul deformației este egal cu zero, atunci legea mișcării într-un sistem de coordonate dreptunghiular al observatorului are forma (3.31) cu matricea ortogonală a A. Prin urmare, mișcare solidă poate fi definită ca mișcarea unui mediu continuu în care distanța dintre oricare două puncte ale mediului nu se modifică în timpul mișcării.  

Se spune că doi vectori sunt ortogonali dacă produsul lor scalar este zero. Un sistem de vectori se numește ortogonal dacă vectorii acestui sistem sunt ortogonali pe perechi.  

O Exemplu. Sistem de vectori = (, O,..., 0), e% = = (O, 1,..., 0), . .., e = (0, 0,..., 1) este ortogonal.  

Operatorul Fredholm cu nucleul k (la - TI, 4 - 12) are un sistem ortogonal complet de vectori proprii în spațiul Hilbert (conform teoremei lui Hilbert). Aceasta înseamnă că φg(t) formează o bază completă în Lz(to, T). De aceea sunt cu mine.  

Un sistem ortogonal de n-zero vectori este liniar independent.  

Metoda dată pentru construirea unui sistem ortogonal de vectori t/i, yb,. ..> ym+t pentru un dat liniar independent  

Pentru un sistem de forare de sondă biotehnică, în care volumul de muncă fizică rămâne semnificativ, sunt de interes deosebit studiile zonelor de activitate biomecanice și de rezistență motorie. Compoziția și structura mișcărilor muncii, cantitatea, sarcinile dinamice și statice și forțele dezvoltate au fost studiate de noi pe instalațiile de foraj Uralmash-ZD folosind filmare stereoscopică (cu două camere care funcționează sincron folosind o tehnică specială la o frecvență de 24 de cadre pe 1 s) iar metoda ganiografică folosind un osciloscop medical cu trei canale. Fixarea rigidă a axelor optice, paralele între ele și perpendiculare pe linia de bază (obiectul filmării), a făcut posibilă studierea cantitativă (pe baza proiecțiilor conjugate perspectivă-ortogonale pe cadrele filmului, așa cum se arată în Fig. 48) a pozițiilor de lucru, traiectoriile de deplasare a centrelor de greutate ale lucrătorilor la efectuarea de operațiuni, tehnici, acțiuni individuale și determină eforturi, costuri energetice etc.  

O abordare promițătoare pentru identificarea alternativelor independente trebuie să fie identificarea unor indicatori de factori sintetici independenți. Sistemul original de indicatori factori Xi este transformat într-un sistem de noi indicatori factori sintetici independenți FJ, care sunt componente ortogonale ale sistemului de indicatori Xg. Transformarea se realizează folosind metode de analiză componente 1. Matematică  

Unul dintre componente ADAD este un modul pentru design 3D sisteme complexe conducte. Baza de date grafică a modulului conține elemente volumetrice ale conductelor (conexiuni, robinete, flanșe, conducte). Elementul selectat din bibliotecă este ajustat automat la caracteristicile sistemului de conducte al modelului proiectat. Modulul prelucrează desene și creează imagini bi- și tridimensionale, inclusiv construirea de modele izometrice și proiecții ortogonale ale obiectelor. Există o gamă de piese pentru conducte, tipuri de acoperiri și tipuri de izolație în conformitate cu o specificație dată.  

Din relațiile (2.49) este clar cum trebuie construită soluția ecuațiilor (2.47). În primul rând, se construiește descompunerea polară a tensorului lui și se determină tensorii p"b. Deoarece tensorii a"b și pI sunt egali, matricea s are forma (2.44), (2.45) în sistemul principal de coordonate al lui tensorul p. Fixăm matricea Su. Apoi aad = lp labsd. Conform aad, au se calculează din ecuația aad = = biljд x ad. „Partea ortogonală” a distorsiunii se găsește din (2.49) id = nib sd.  

Ramurile rămase nu îndeplinesc condiția (2.5 1). Să demonstrăm această afirmație. Matricea x = A 5, f = X Mfs este ortogonală. Să notăm cu X j matricea corespunzătoare primei matrice s" (2.44), iar cu X j matricea corespunzătoare oricărei alte alegeri a matricei sa (2.44). Suma "a + Aza prin construcția s" este egală cu fie valoarea dublă a uneia din diagonală

Definiție. VectoriA Șib sunt numite ortogonale (perpendiculare) între ele dacă acestea produs scalar este egal cu zero, adicăA × b = 0.

Pentru vectori nenuli A Și b egalitatea produsului scalar la zero înseamnă că cos j= 0, adică . Vectorul zero este ortogonal cu orice vector, deoarece A × 0 = 0.

Exercițiu. Fie și să fie vectori ortogonali. Atunci este firesc să luăm în considerare diagonala unui dreptunghi cu laturile și . Demonstrează asta

acestea. pătratul lungimii diagonalei unui dreptunghi este egal cu suma pătratelor lungimilor celor două laturi neparalele ale sale(Teorema lui Pitagora).

Definiție. Sistem vectorialA 1 ,…, A m se numește ortogonal dacă oricare doi vectori ai acestui sistem sunt ortogonali.

Astfel, pentru un sistem ortogonal de vectori A 1 ,…,A m egalitatea este adevarata: A i × A j= 0 la i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorema 1.5. Un sistem ortogonal format din vectori nenuli este liniar independent. .

□ Efectuăm proba prin contradicţie. Să presupunem că sistemul ortogonal de vectori nenuli A 1 , …, A m dependent liniar. Apoi

l 1 A 1 + …+ l mA m= 0 , în care . (1,15)

Fie, de exemplu, l 1 ¹ 0. Înmulțiți cu A 1 ambele părți ale egalității (1.15):

l 1 A 1× A 1 + …+ l m A m × A 1 = 0.

Toți termenii, cu excepția primului, sunt egali cu zero datorită ortogonalității sistemului A 1 , …, A m. Apoi l 1 A 1× A 1 =0, care urmează A 1 = 0 , ceea ce contrazice condiția. Presupunerea noastră s-a dovedit a fi greșită. Aceasta înseamnă că sistemul ortogonal de vectori nenuli este liniar independent. ■

Următoarea teoremă este valabilă.

Teorema 1.6. În spațiul R n există întotdeauna o bază formată din vectori ortogonali (bază ortogonală)
(Nicio dovadă).

Bazele ortogonale sunt convenabile în primul rând deoarece coeficienții de expansiune ai unui vector arbitrar peste astfel de baze sunt pur și simplu determinați.

Să presupunem că trebuie să găsim descompunerea unui vector arbitrar b pe bază ortogonală e 1 ,…,e n. Să compunem o expansiune a acestui vector cu coeficienți de expansiune încă necunoscuți pentru această bază:

Să înmulțim scalar ambele părți ale acestei egalități cu vectorul e 1 . În virtutea axiomelor 2° și 3° ale produsului scalar al vectorilor, obținem

Deoarece vectorii de bază e 1 ,…,e n sunt reciproc ortogonale, atunci toate produsele scalare ale vectorilor de bază, cu excepția primului, sunt egale cu zero, i.e. coeficientul este determinat de formula

Înmulțind egalitatea (1.16) unul câte unul cu alți vectori de bază, obținem formule simple pentru calcularea coeficienților de expansiune vectorială b :

Formulele (1.17) au sens deoarece .

Definiție. VectorA se numește normalizat (sau unitate) dacă lungimea sa este egală cu 1, adică (A , A )= 1.

Orice vector diferit de zero poate fi normalizat. Lăsa A ¹ 0 . Atunci , iar vectorul este un vector normalizat.

Definiție. Sistem vectorial e 1 ,…,e n se numește ortonormal dacă este ortogonal și lungimea fiecărui vector al sistemului este egală cu 1, adică

Deoarece există întotdeauna o bază ortogonală în spațiul Rn și vectorii acestei baze pot fi normalizați, atunci există întotdeauna o bază ortonormală în Rn.

Un exemplu de bază ortonormală a spațiului R n este sistemul de vectori e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) cu produsul scalar definit prin egalitate (1.9). Pe o bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) pentru a determina coordonatele descompunerii vectoriale b au cea mai simplă formă:

Lăsa A Și b – doi vectori arbitrari ai spațiului R n cu bază ortonormală e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Să notăm coordonatele vectorilor A Și b în bază e 1 ,…,e n in consecinta prin A 1 ,…,A nȘi b 1 ,…, b nși găsiți expresia produsului scalar al acestor vectori prin coordonatele lor în pe aceasta baza, adică Să ne prefacem că

Din ultima egalitate, în virtutea axiomelor și relațiilor produsului scalar (1.18), obținem

În sfârșit avem

Prin urmare, pe o bază ortonormală, produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare ale acestor vectori.

Să considerăm acum o bază complet arbitrară (în general vorbind, nu ortonormală) în spațiul euclidian n-dimensional R n și să găsim o expresie pentru produsul scalar a doi vectori arbitrari A Și b prin coordonatele acestor vectori în baza specificată. f 1 ,…,f n Spațiul euclidian R n produsul scalar al oricăror doi vectori este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare acestor vectori, este necesar și suficient ca baza f 1 ,…,f n era ortonormal.

De fapt, expresia (1.20) intră în (1.19) dacă și numai dacă sunt îndeplinite relațiile care stabilesc ortonormalitatea bazei. f 1 ,…,f n.

Egal cu zero:

.

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. În acest caz, descompunerea oricărui element poate fi calculată folosind formulele: , unde .

Cazul în care norma tuturor elementelor se numește sistem ortonormal.

Ortogonalizarea

Orice sistem complet independent liniar într-un spațiu finit-dimensional este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunerea ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial conform unei baze ortonormale, calculul produsului scalar este simplificat: , unde și .

Vezi si

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „sistem ortogonal” în alte dicționare:

1) Oh... Enciclopedie matematică

- (greacă orthogonios dreptunghiulară) un sistem finit sau numărabil de funcții aparținând spațiului Hilbert (separabil) L2(a,b) (funcții integrabile pătratic) și care îndeplinește condițiile F țiune g(x) numite. cântărind O. s. f.,* înseamnă... ... Enciclopedie fizică

Sistem de funcții??n(x)?, n=1, 2,..., specificate pe segmentul TRANSFORMARE ORTAGONALĂ transformare liniară euclidiană spațiu vectorial, păstrând lungimile sau (echivalent) produsele scalare ale vectorilor neschimbate... Dicţionar enciclopedic mare

Un sistem de funcții (φn(x)), n = 1, 2, ..., definit pe intervalul [a, b] și care satisface următoarea condiție de ortogonalitate: pentru k≠l, unde ρ(x) este o funcție numită greutate. De exemplu, sistemul trigonometric este 1, sin x, cos x, sin 2x,... ... Dicţionar enciclopedic

Un sistem de funcții ((фn(х)), n=1, 2, ..., definit pe intervalul [a, b] și care satisface condiția de ortogonalitate pentru k nu este egal cu l, unde p(x ) este o anumită funcție , numită greutate De exemplu, sistemul trigonometric 1, cosх, sin 2x,... O.s.f. Istoria naturala. Dicţionar enciclopedic

Sistem de funcții ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonal cu greutatea ρ (x) pe segmentul [a, b], adică astfel încât Exemple. Sistem trigonometric 1, cos nx , sin nx n = 1, 2,..., O. f cu greutatea 1 pe segmentul [π, π]. Marea Enciclopedie Sovietică

Coordonatele ortogonale sunt acelea în care tensorul metric are o formă diagonală. unde d În sistemele de coordonate ortogonale q = (q1, q², …, qd) suprafețele de coordonate sunt ortogonale între ele. În special, în Sistemul cartezian coordonatele... ...Wikipedia

sistem multicanal ortogonal- - [L.G. Sumenko. Dicționar englez-rus de tehnologia informației. M.: Întreprinderea de Stat TsNIIS, 2003.] Subiecte tehnologia de informațieîn general multiplexul ortogonal EN...

sistemul de coordonate al unei imagini (fotogrammetrice).- Sistem de coordonate spațiale ortogonale drepte, fixat pe o imagine fotogrametrică prin imagini de repere de referință. [GOST R 51833 2001] Subiecte: fotogrammetrie ... Ghidul tehnic al traducătorului

sistem- 4.48 sistem: O combinație de elemente care interacționează organizate pentru a atinge unul sau mai multe obiective specificate. Nota 1 Un sistem poate fi considerat un produs sau serviciile pe care le furnizează. Nota 2 În practică...... Dicționar-carte de referință de termeni ai documentației normative și tehnice

Un astfel de subset de vectori $\backslash left\backslash (\; \backslash varphi\_i\; \backslash right\backslash )\backslash subset\; H$ că oricare două dintre ele sunt ortogonale, adică produsul lor scalar este egal cu zero:

$(\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_j)\; =\; 0$.

Un sistem ortogonal, dacă este complet, poate fi folosit ca bază pentru spațiu. Mai mult, descompunerea oricărui element $\backslash vec\; a$ poate fi calculat folosind formulele: $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_i\; \backslash varphi\_i$, Unde $\backslash alpha\_i\; =\; \backslash frac((\backslash vec\; a,\; \backslash varphi\_i))((\backslash varphi\_i,\; \backslash varphi\_i))$.

Cazul în care norma tuturor elementelor $||\backslash varphi\_i||=1$, se numește sistem ortonormal.

Ortogonalizarea

Orice sistem complet independent liniar într-un spațiu finit-dimensional este o bază. De la o bază simplă, așadar, se poate trece la o bază ortonormală.

Descompunerea ortogonală

La descompunerea vectorilor unui spațiu vectorial conform unei baze ortonormale, calculul produsului scalar este simplificat: $(\backslash vec\; a,\; \backslash vec\; b)\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\backslash beta\_k$, Unde $\backslash vec\; a\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash alpha\_k\; \backslash varphi\_k$Și $\backslash vec\; b\; =\; \backslash sum\_(k)\; \backslash beta\_k\; \backslash varphi\_k$.

Vezi si

Scrieți o recenzie despre articolul „Sistem ortogonal”

Un fragment care caracterizează sistemul ortogonal

- Ei bine, ce vrei? Sunteți cu toții îndrăgostiți în aceste zile. Ei bine, ești îndrăgostit, așa că căsătorește-te cu el! – spuse contesa râzând supărată. - Cu Dumnezeu binecuvântare!
- Nu, mamă, nu sunt îndrăgostit de el, nu trebuie să fiu îndrăgostit de el.
- Ei bine, spune-i așa.
- Mamă, ești supărată? Nu ești supărată, draga mea, ce vină am?
- Nu, ce zici, prietene? Dacă vrei, mă duc să-i spun”, a spus contesa zâmbind.
- Nu, o voi face eu, doar învață-mă. Totul este ușor pentru tine”, a adăugat ea, răspunzând zâmbetului ei. - Dacă ai putea vedea cum mi-a spus asta! La urma urmei, știu că nu a vrut să spună asta, dar a spus-o întâmplător.
- Ei bine, tot trebuie să refuzi.
- Nu, nu. Îmi pare atât de rău pentru el! El este atât de drăguț.
- Ei bine, atunci acceptă oferta. „Și atunci este timpul să ne căsătorim”, a spus mama furioasă și batjocoritoare.
- Nu, mamă, îmi pare atât de rău pentru el. Nu știu cum o voi spune.
„Nu ai nimic de spus, o spun eu însumi”, a spus contesa, indignată că au îndrăznit să se uite la această micuță Natasha de parcă ar fi fost mare.
„Nu, în niciun caz, eu însumi și tu asculți la ușă”, iar Natașa a alergat prin sufragerie în hol, unde Denisov stătea pe același scaun, lângă clavicord, acoperindu-și fața cu mâinile. El sări în sus la sunetul pașilor ei ușori.
— Natalie, spuse el, apropiindu-se de ea cu pași repezi, hotărăște-mi soarta. Este în mâinile tale!
- Vasily Dmitrich, îmi pare atât de rău pentru tine!... Nu, dar ești atât de drăguț... dar nu... asta... altfel te voi iubi mereu.