Secvență de numere.
Cum ?

În această lecție vom învăța o mulțime de lucruri interesante din viața membrilor unei comunități mari numite Vkontakte secvențe de numere. Subiectul luat în considerare se referă nu numai la cursul analizei matematice, ci atinge și elementele de bază matematică discretă. În plus, materialul va fi necesar pentru stăpânirea altor secțiuni ale turnului, în special, în timpul studiului serie de numereȘi serie functionala. Poti spune banal ca acest lucru este important, poti spune incurajator ca e simplu, poti spune mult mai multe fraze de rutina, dar astazi este prima saptamana de scoala, neobisnuit de lenesa, asa ca ma rupe teribil sa scriu primul paragraf =) Eu Am salvat deja dosarul în inimile mele și m-am pregătit să adorm, când deodată... capul mi s-a luminat de ideea unei mărturisiri sincere, care mi-a luminat incredibil de suflet și m-a împins să continui să bat cu degetele pe tastatură. .

Să luăm o pauză de la amintirile de vară și să ne uităm în această lume fascinantă și pozitivă a noului rețea socială:

Conceptul de succesiune de numere

În primul rând, să ne gândim la cuvântul în sine: ce este secvența? Secvența este atunci când ceva urmează ceva. De exemplu, o succesiune de acțiuni, o secvență de anotimpuri. Sau când cineva se află în spatele cuiva. De exemplu, o secvență de oameni într-o coadă, o secvență de elefanți pe calea către o groapă de apă.

Să clarificăm imediat trăsăturile caracteristice ale secvenței. In primul rand, membrii secvenței sunt situate strict într-o anumită ordine. Deci, dacă două persoane din coadă sunt schimbate, atunci aceasta va fi deja alte ulterior. În al doilea rând, toată lumea membru al secvenței Puteți atribui un număr de serie:

Este la fel cu numerele. Lăsa Pentru fiecare valoare naturală după o anumită regulă conformă numar real. Apoi ei spun că este dată o succesiune numerică.

Da, în probleme de matematică, spre deosebire situatii de viata secvența conține aproape întotdeauna infinit de multe numere.

în care:
numit primul membru secvențe;
– al doilea membru secvențe;
– al treilea membru secvențe;
…
– al n-lea sau membru comun secvențe;
…

În practică, secvența este de obicei dată formula termenului comun, De exemplu:
– succesiune de numere pare pozitive:

Astfel, înregistrarea determină în mod unic toți membrii secvenței - aceasta este regula (formula) conform căreia valorile naturale numerele sunt potrivite. Prin urmare, secvența este adesea desemnată pe scurt printr-un termen comun și în loc de „x” pot fi folosite alte litere latine, de exemplu:

Secvența de numere impare pozitive:

O altă secvență comună:

După cum probabil mulți au observat, variabila „en” joacă rolul unui fel de contor.

De fapt, ne-am ocupat de secvențe de numere în gimnaziu. Să ne amintim progresie aritmetică. Nu voi rescrie definiția, să atingem esența la exemplu concret. Să fie primul termen și – Etapa progresie aritmetică. Apoi:
– al doilea termen al acestei progresii;
– al treilea termen al acestei progresii;
- Al patrulea;
- a cincea;
…
Și, evident, este dat al n-lea termen recurent formulă

Notă : într-o formulă recurentă, fiecare termen ulterior este exprimat în termenii termenului anterior sau chiar în termenii unui întreg set de termeni anteriori.

Formula rezultată este de puțin folos în practică - pentru a ajunge, să zicem, la , trebuie să parcurgeți toți termenii anteriori. Și în matematică, a fost derivată o expresie mai convenabilă pentru al n-lea termen al unei progresii aritmetice: . În cazul nostru:

Înlocuiți numerele naturale în formulă și verificați corectitudinea celei construite mai sus succesiune de numere.

Se pot face calcule similare pentru progresie geometrică, al cărui termen al n-lea este dat de formula , unde este primul termen și – numitor progresie. În sarcinile de matematică, primul termen este adesea egal cu unul.

progresia stabilește succesiunea ;
progresie stabilește succesiunea;
progresie stabilește succesiunea ;
progresie stabilește succesiunea .

Sper că toată lumea știe că –1 la o putere impară este egal cu –1, iar la o putere pară – unu.

Se numește progresie în scădere infinit, dacă (ultimele două cazuri).

Să adăugăm doi prieteni noi pe lista noastră, dintre care unul tocmai a bătut pe matricea monitorului:

Secvența în jargonul matematic se numește „bliter”:

Prin urmare, membrii secvenței se pot repeta. Deci, în exemplul luat în considerare, șirul constă din două numere alternante infinit.

Se întâmplă ca o succesiune să fie formată din numere identice? Cu siguranță. De exemplu, stabilește un număr infinit de „trei”. Pentru esteți, există un caz în care „en” apare încă oficial în formula:

Să invităm un prieten simplu să danseze:

Ce se întâmplă când „en” crește la infinit? Evident, membrii secvenței vor fi infinit de aproape se apropie de zero. Aceasta este limita acestei secvențe, care este scrisă după cum urmează:

Dacă limita unei secvențe este zero, atunci se numește infinitezimal.

În teoria analizei matematice este dat definirea strictă a limitei secvenței prin așa-numitul cartier epsilon. Următorul articol va fi dedicat acestei definiții, dar deocamdată să ne uităm la semnificația acesteia:

Să descriem pe linia numerică termenii șirului și vecinătatea simetrică față de zero (limită):


Acum prindeți zona albastră cu marginile palmelor și începeți să o reduceți, trăgând-o spre limită (punctul roșu). Un număr este limita unei secvențe dacă PENTRU ORICE cartier preselectat (oricât de mic vrei) va fi înăuntru infinit de multe membrii secvenței și numai în EXTERIOAREA acesteia final numărul de membri (sau deloc). Adică, vecinătatea epsilonului poate fi microscopică și chiar mai mică, dar „coada infinită” a secvenței trebuie mai devreme sau mai târziu complet intra in zona.

Secvența este și ea infinitezimală: cu diferența că membrii săi nu sar înainte și înapoi, ci se apropie de limită exclusiv din dreapta.

Desigur, limita poate fi egală cu orice alt număr finit, un exemplu elementar:

Aici fracția tinde spre zero și, în consecință, limita este egală cu „doi”.

Dacă succesiunea există o limită finită, atunci se numește convergent(în special, infinitezimal la ). In caz contrar - divergente, în acest caz, sunt posibile două variante: fie limita nu există deloc, fie este infinită. În acest din urmă caz, secvența este numită infinit de mare. Să galopăm prin exemplele din primul paragraf:

Secvențe sunt infinit de mare, pe măsură ce membrii lor se îndreaptă cu încredere către „plus infinit”:

O progresie aritmetică cu primul termen și pas este, de asemenea, infinit de mare:

Apropo, orice progresie aritmetică diverge, cu excepția cazului cu un pas zero - când . Limita unei astfel de secvențe există și coincide cu primul termen.

Secvențele au o soartă similară:

Orice progresie geometrică în scădere infinită, după cum reiese din nume, infinit de mici:

Dacă numitorul progresiei geometrice este , atunci șirul este infinit de mare:

Dacă, de exemplu, atunci limita nu există deloc, deoarece membrii sar neobosit fie la „plus infinit”, fie la „minus infinit”. Și bunul simț și teoremele lui Matan sugerează că, dacă ceva se străduiește undeva, atunci acesta este singurul loc prețuit.

După o mică revelație devine clar că „lumina intermitentă” este de vină pentru aruncarea incontrolabilă, care, de altfel, diverge de la sine.
Într-adevăr, pentru o secvență este ușor să alegeți un -cartier care, să zicem, limitează doar numărul –1. Ca rezultat, un număr infinit de membri ai secvenței („plus unu”) vor rămâne în afara acestui cartier. Dar, prin definiție, „coada infinită” a secvenței dintr-un anumit moment (număr natural) ar trebui complet intră în ORICE vecinătate a limitei tale. Concluzie: cerul este limita.

Factorial este infinit de mare secvenţă:

Mai mult decât atât, este în creștere cu salturi și limite, deci este un număr care are mai mult de 100 de cifre (cifre)! De ce exact 70? Pe el, microcalculatorul meu de inginerie imploră milă.

Cu o lovitură de control, totul este puțin mai complicat și tocmai am ajuns la partea practică a prelegerii, în care vom analiza exemple de luptă:

Dar acum trebuie să poți rezolva limitele funcțiilor, cel puțin la nivelul a două lecții de bază: Limite. Exemple de soluțiiȘi Limite minunate. Pentru că multe metode de rezolvare vor fi similare. Dar, în primul rând, să analizăm diferențele fundamentale dintre limita unei secvențe și limita unei funcții:

În limita secvenței, variabila „dinamică” „en” poate tinde doar la „plus infinit”– spre creșterea numărului natural .
În limita funcției, „x” poate fi direcționat oriunde – spre „plus/minus infinit” sau către un număr real arbitrar.

Urmare discret(discontinuu), adică este format din membri individuali izolați. Unu, doi, trei, patru, cinci, iepurașul a ieșit la plimbare. Argumentul unei funcții este caracterizat de continuitate, adică „X” lin, fără incidente, tinde către una sau alta valoare. Și, în consecință, și valorile funcției se vor apropia continuu de limita lor.

Din cauza discretieîn cadrul secvențelor există propriile lor semnături, cum ar fi factoriale, „lumini intermitente”, progresii etc. Și acum voi încerca să analizez limitele care sunt specifice secvențelor.

Să începem cu progresiile:

Exemplul 1

Găsiți limita secvenței

Soluţie: ceva asemănător cu o progresie geometrică în scădere infinită, dar este ceea ce este? Pentru claritate, să scriem primii termeni:

De atunci, vorbim despre Cantitate termenii unei progresii geometrice infinit descrescătoare, care se calculează prin formula.

Luam o decizie:

Folosim formula pentru suma unei progresii geometrice infinit descrescătoare: . În acest caz: – primul termen, – numitorul progresiei.

Exemplul 2

Scrieți primii patru termeni ai șirului și găsiți-i limita

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă. Pentru a elimina incertitudinea numărătorului, va trebui să aplicați formula pentru suma primilor termeni ai unei progresii aritmetice:
, unde este primul și a este al n-lea termen al progresiei.

Deoarece în cadrul secvențelor „en” tinde întotdeauna spre „plus infinit”, nu este surprinzător faptul că incertitudinea este una dintre cele mai populare.
Și multe exemple sunt rezolvate exact în același mod ca și limitele funcției!

Sau poate ceva mai complicat de genul ? Consultați Exemplul nr. 3 al articolului Metode de rezolvare a limitelor.

Din punct de vedere formal, diferența va fi doar într-o singură literă - „x” aici și „en” aici.
Tehnica este aceeași - numărătorul și numitorul trebuie împărțite cu „en” la cel mai înalt grad.

De asemenea, incertitudinea în secvențe este destul de comună. Puteți afla cum să rezolvați limitele din Exemplele nr. 11-13 ale aceluiași articol.

Pentru a înțelege limita, consultați Exemplul nr. 7 al lecției Limite minunate(a doua limită remarcabilă este valabilă și pentru cazul discret). Soluția va fi din nou ca o copie carbon cu o singură diferență de literă.

Următoarele patru exemple (nr. 3-6) sunt, de asemenea, „cu două fețe”, dar, din anumite motive, în practică sunt mai caracteristice limitelor secvenței decât limitelor funcției:

Exemplul 3

Găsiți limita secvenței

Soluţie: mai întâi soluția completă, apoi comentarii pas cu pas:

(1) La numărător folosim formula de două ori.

(2) Prezentăm termeni similari la numărător.

(3) Pentru a elimina incertitudinea, împărțiți numărătorul și numitorul la („en” la cel mai înalt grad).

După cum puteți vedea, nimic complicat.

Exemplul 4

Găsiți limita secvenței

Acesta este un exemplu pe care să-l rezolvi singur, formule de înmulțire prescurtate a ajuta.

În cadrul s indicativ Secvențele folosesc o metodă similară de împărțire a numărătorului și numitorului:

Exemplul 5

Găsiți limita secvenței

Soluţie Să o aranjam după aceeași schemă:

O teoremă similară este adevărată, de altfel, pentru funcții: produsul funcție limitată la o funcție infinitezimală - există o funcție infinitezimală.

Exemplul 9

Găsiți limita secvenței

Astăzi în clasă ne vom uita la secvențiere strictăȘi definirea strictă a limitei unei funcții, și, de asemenea, să învețe să rezolve probleme relevante de natură teoretică. Articolul este destinat în primul rând studenților din anul I de științe naturale și specialități de inginerie care au început să studieze teoria analizei matematice și au întâmpinat dificultăți în înțelegerea acestei secțiuni a matematicii superioare. În plus, materialul este destul de accesibil elevilor de liceu.

De-a lungul anilor de existență a site-ului, am primit o duzină de scrisori cu aproximativ următorul conținut: „Nu înțeleg bine analiza matematică, ce să fac?”, „Nu înțeleg deloc matematica, sunt mă gândesc să renunț la studii” etc. Și într-adevăr, matanul este cel care deseori subțiază grupul de studenți după prima sesiune. De ce este acesta cazul? Pentru că subiectul este inimaginabil de complex? Deloc! Teoria analizei matematice nu este atât de dificilă pe cât este deosebită. Și trebuie să o accepți și să o iubești pentru cine este =)

Să începem cu cel mai dificil caz. Primul și cel mai important lucru este că nu trebuie să renunți la studii. Înțelege corect, renunțând, se va face mereu la timp;-) Desigur, dacă într-un an sau doi ți se face rău de specialitatea aleasă, atunci da, ar trebui să te gândești la asta (și nu te supăra!) despre o schimbare de activitate. Dar deocamdată merită să continui. Și vă rugăm să uitați expresia „Nu înțeleg nimic” - nu se întâmplă să nu înțelegeți absolut nimic.

Ce să faci dacă teoria este proastă? Acest lucru, apropo, se aplică nu numai analizei matematice. Dacă teoria este proastă, atunci mai întâi trebuie să te concentrezi SERIOS pe practică. În acest caz, două sarcini strategice sunt rezolvate simultan:

– În primul rând, o parte semnificativă a cunoștințelor teoretice a apărut prin practică. Și de aceea mulți oameni înțeleg teoria prin... – așa este! Nu, nu, nu te gândești la asta =)

– Și, în al doilea rând, abilitățile practice te vor „trage” cel mai probabil prin examen, chiar dacă... dar să nu ne entuziasmăm atât de mult! Totul este real și totul poate fi „ridicat” într-un timp destul de scurt. Analiza matematică este secțiunea mea preferată de matematică superioară și, prin urmare, pur și simplu nu m-am putut abține să nu vă dau o mână de ajutor:

La începutul semestrului I, limitele secvenței și limitele funcției sunt de obicei acoperite. Nu înțelegi ce sunt acestea și nu știi cum să le rezolvi? Începeți cu articolul Limitele funcției, în care conceptul în sine este examinat „pe degete” și sunt analizate cele mai simple exemple. Apoi, lucrați prin alte lecții pe acest subiect, inclusiv o lecție despre în cadrul secvenţelor, asupra căruia de fapt am formulat deja o definiție strictă.

Ce simboluri, în afară de semnele de inegalitate și modul, cunoașteți?

– un baston vertical lung citește astfel: „astfel care”, „astfel care”, „astfel că” sau „astfel că”, în cazul nostru, evident, vorbim despre un număr - deci „astfel care”;

– pentru toate „en” mai mari decât ;

– semnul modulului înseamnă distanță, adică această intrare ne spune că distanța dintre valori este mai mică decât epsilon.

Ei bine, este greu de moarte? =)

După ce stăpânesc practica, aștept cu nerăbdare să ne vedem în următorul paragraf:

Și, de fapt, să ne gândim puțin - cum să formulăm o definiție strictă a secvenței? ...Primul lucru care-mi vine în minte în lume lectie practica: „limita unei secvențe este numărul de care membrii secvenței se apropie infinit.”

Bine, hai să o scriem ulterior :

Nu este greu de înțeles asta ulterior se apropie infinit de numărul –1 și de termeni pari - catre unul".

Sau poate sunt două limite? Dar atunci de ce nicio secvență nu poate avea zece sau douăzeci dintre ele? Poți merge departe în acest fel. În acest sens, este logic să presupunem că dacă o secvență are o limită, atunci este singura.

Notă : secvența nu are limită, dar de ea se pot distinge două subsecvențe (vezi mai sus), fiecare având propria sa limită.

Astfel, definiția de mai sus se dovedește a fi insuportabilă. Da, funcționează pentru cazuri precum (pe care nu l-am folosit destul de corect în explicațiile simplificate ale exemplelor practice), dar acum trebuie să găsim o definiție strictă.

Încercarea a doua: „limita unei secvențe este numărul la care se apropie TOȚI membrii secvenței, cu excepția, poate, a acestora. final cantități.” Acest lucru este mai aproape de adevăr, dar încă nu este complet exact. Deci, de exemplu, secvența jumătate dintre termeni nu se apropie deloc de zero - sunt pur și simplu egali cu acesta =) Apropo, „lumina intermitentă” ia în general două valori fixe.

Formularea nu este greu de clarificat, dar apoi apare o altă întrebare: cum se scrie definiția în simboluri matematice? Lumea științifică s-a luptat mult timp cu această problemă până când situația a fost rezolvată celebru maestru, care, în esență, a oficializat analiza matematică clasică în toată rigoarea ei. Cauchy a sugerat o intervenție chirurgicală împrejurimi , care a avansat semnificativ teoria.

Luați în considerare un punct și acesta arbitrar-împrejurimi:

Valoarea lui „epsilon” este întotdeauna pozitivă și, în plus, avem dreptul să o alegem noi înșine. Să presupunem că în acest cartier sunt mulți membri (nu neaparat toate) oarecare succesiune. Cum să notez faptul că, de exemplu, al zecelea termen este în cartier? Lasă-l pe partea dreaptă a ei. Apoi, distanța dintre puncte și ar trebui să fie mai mică decât „epsilon”: . Cu toate acestea, dacă „x zecime” este situat în stânga punctului „a”, atunci diferența va fi negativă și, prin urmare, semnul trebuie adăugat la acesta. modul: .

Definiție: un număr se numește limita unei secvențe dacă pentru oriceîmprejurimile sale (preselectat) există un număr natural astfel încât TOATE membrii secvenței cu numere mai mari se vor afla în cartier:

Sau pe scurt: dacă

Cu alte cuvinte, oricât de mică ar fi valoarea „epsilon” pe care o luăm, mai devreme sau mai târziu „coada infinită” a secvenței va fi COMPLET în acest cartier.

De exemplu, „coada infinită” a secvenței va intra COMPLET în orice vecinătate arbitrar mică a punctului. Deci această valoare este limita secvenței prin definiție. Permiteți-mi să vă reamintesc că se numește o secvență a cărei limită este zero infinitezimal.

Trebuie remarcat faptul că pentru o secvență nu se mai poate spune „coada fără sfârșit” va intra„- membrii cu numere impare sunt de fapt egali cu zero și „nu merge nicăieri” =) De aceea în definiție se folosește verbul „va apărea”. Și, desigur, membrii unei secvențe ca aceasta, de asemenea, „duc nicăieri”. Apropo, verificați dacă numărul este limita.

Acum vom arăta că succesiunea nu are limită. Luați în considerare, de exemplu, o vecinătate a punctului . Este absolut clar că nu există un astfel de număr după care TOȚI termenii vor ajunge într-un anumit cartier - termenii impari vor „sări” întotdeauna la „minus unu”. Dintr-un motiv similar, nu există nicio limită la punct.

Să consolidăm materialul cu practică:

Exemplul 1

Demonstrați că limita șirului este zero. Specificați numărul după care se garantează că toți membrii secvenței se află în orice vecinătate arbitrar mică a punctului.

Notă : Pentru multe secvențe, numărul natural necesar depinde de valoare - de unde notația .

Soluţie: considera arbitrar există vreunul număr – astfel încât TOȚI membrii cu numere mai mari se vor afla în acest cartier:

Pentru a arăta existența numărului necesar, îl exprimăm prin .

Deoarece pentru orice valoare a lui „en”, semnul modulului poate fi eliminat:

Folosim acțiuni „școlare” cu inegalități pe care le-am repetat în clasă Inegalități liniareȘi Domeniul funcției. În acest caz, o circumstanță importantă este că „epsilon” și „en” sunt pozitive:

Deoarece vorbim despre numere naturale din stânga, iar partea dreaptă este în general fracțională, trebuie rotunjită:

Notă : uneori o unitate este adăugată la dreapta pentru a fi în siguranță, dar în realitate acest lucru este exagerat. Relativ vorbind, dacă slăbim rezultatul prin rotunjirea în jos, atunci cel mai apropiat număr potrivit („trei”) va satisface în continuare inegalitatea inițială.

Acum ne uităm la inegalitate și ne amintim ce am considerat inițial arbitrar-cartier, i.e. „epsilon” poate fi egal cu oricine un număr pozitiv.

Concluzie: pentru orice vecinătate arbitrar mică a unui punct, valoarea a fost găsită . Astfel, un număr este limita unei secvențe prin definiție. Q.E.D.

Apropo, din rezultatul obținut un model natural este clar vizibil: cu cât vecinătatea este mai mică, cu atât numărul este mai mare, după care TOȚI membrii secvenței vor fi în acest cartier. Dar oricât de mic este „epsilonul”, va exista întotdeauna o „coadă infinită” în interior și în exterior – chiar dacă este mare, totuși final numarul de membri.

Cum sunt impresiile tale? =) Sunt de acord că este puțin ciudat. Dar strict! Vă rugăm să recitiți și să vă gândiți din nou la toate.

Să ne uităm la un exemplu similar și să ne familiarizăm cu alte tehnici tehnice:

Exemplul 2

Soluţie: prin definiţia unei secvenţe este necesar să se demonstreze că (spune cu voce tare!!!).

Sa luam in considerare arbitrar-vecinatatea punctului si verifica, există oare număr natural – astfel încât pentru toate numerele mai mari să fie valabilă următoarea inegalitate:

Pentru a arăta existența unui astfel de , trebuie să exprimați „en” prin „epsilon”. Simplificam expresia sub semnul modulului:

Modulul distruge semnul minus:

Numitorul este pozitiv pentru orice „en”, prin urmare, bastoanele pot fi îndepărtate:

Amesteca:

Acum trebuie să extragem Rădăcină pătrată, dar problema este că pentru un „epsilon” partea dreaptă va fi negativă. Pentru a evita acest necaz hai sa intarim inegalitatea prin modul:

De ce se poate face asta? Dacă, relativ vorbind, se dovedește că , atunci și condiția va fi îndeplinită. Modulul poate doar crește numarul dorit si asta ne va potrivi si noua! În linii mari, dacă al sutelea este potrivit, atunci este potrivit și al două sute! Conform definiției, trebuie să arăți însuşi faptul existenţei numărului(cel puțin unii), după care toți membrii secvenței vor fi în vecinătatea -. Apropo, de aceea nu ne este frică de rotunjirea finală a părții drepte în sus.

Extragerea rădăcinii:

Și rotunjește rezultatul:

Concluzie: deoarece valoarea „epsilon” a fost aleasă în mod arbitrar, apoi pentru orice vecinătate arbitrar mică a punctului, valoarea a fost găsită , astfel încât pentru toate numerele mai mari inegalitatea este valabilă . Prin urmare, a-prioriu. Q.E.D.

recomand in mod deosebitînțelegerea întăririi și slăbirii inegalităților este o tehnică tipică și foarte comună în analiza matematică. Singurul lucru pe care trebuie să îl monitorizați este corectitudinea acestei sau acelei acțiuni. Deci, de exemplu, inegalitatea sub nicio formă nu este posibil slăbiți, scăzând, să spunem, unul:

Din nou, condiționat: dacă numărul se potrivește exact, atunci s-ar putea ca cel precedent să nu se mai potrivească.

Următorul exemplu pentru o soluție independentă:

Exemplul 3

Folosind definiția unei secvențe, demonstrați că

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

Dacă succesiunea infinit de mare, atunci definiția unei limite este formulată într-un mod similar: un punct se numește limită a unei secvențe dacă pentru oricare, cât de mare vrei număr, există un număr astfel încât pentru toate numerele mai mari, inegalitatea va fi satisfăcută. Numărul este sunat apropierea punctului „plus infinit”:

Cu alte cuvinte, orice mare importanță Indiferent de ce, „coada infinită” a secvenței va intra cu siguranță în vecinătatea punctului, lăsând doar un număr finit de termeni în stânga.

Exemplu standard:

Și stenografie: , dacă

Pentru acest caz, notați singur definiția. Versiunea corectă este la sfârșitul lecției.

Odată ce v-ați gândit la exemple practice și ați dat seama de definiția limitei unei secvențe, puteți apela la literatura de calcul și/sau caietul de curs. Recomand să descărcați volumul 1 din Bohan (mai simplu - pentru studenții prin corespondență)și Fichtenholtz (mai detaliat si mai detaliat). Printre alți autori, recomand și Piskunov, al cărui curs se adresează universităților tehnice.

Încercați să studiați cu conștiință teoremele care privesc limita șirului, demonstrațiile lor, consecințele. La început, teoria poate părea „înnoră”, dar acest lucru este normal - trebuie doar să vă obișnuiți. Și mulți chiar vor avea un gust pentru el!

Definirea riguroasă a limitei unei funcții

Să începem cu același lucru - cum să formulăm acest concept? Definiția verbală a limitei unei funcții este formulată mult mai simplu: „un număr este limita unei funcții dacă „x” tinde să (atat la stanga cat si la dreapta), valorile funcției corespunzătoare tind să » (vezi desen). Totul pare a fi normal, dar cuvintele sunt cuvinte, sensul este sens, o icoană este o icoană și nu există suficiente notații matematice stricte. Și în al doilea paragraf ne vom familiariza cu două abordări pentru rezolvarea acestei probleme.

Fie definită funcția pe un anumit interval, cu posibila excepție a punctului. În literatura educațională este general acceptat că funcția acolo Nu definit:

Această alegere subliniază esenţa limitei unei funcţii: "X" infinit de aproape abordări, iar valorile corespunzătoare ale funcției sunt infinit de aproape La . Cu alte cuvinte, conceptul de limită nu implică „abordare exactă” a punctelor, ci anume aproximare infinit de apropiată, nu contează dacă funcția este definită la punct sau nu.

Prima definiție a limitei unei funcții, nu este surprinzător, este formulată folosind două secvențe. În primul rând, conceptele sunt legate și, în al doilea rând, limitele funcțiilor sunt de obicei studiate după limitele secvențelor.

Luați în considerare succesiunea puncte (nu pe desen), aparținând intervalului și diferit de, care converge La . Apoi, valorile funcției corespunzătoare formează, de asemenea, o secvență numerică, ai cărei membri sunt localizați pe axa ordonatelor.

Limita unei funcții după Heine pentru orice succesiuni de puncte (aparținând și diferit de), care converge către punctul , secvența corespunzătoare de valori ale funcției converge către .

Eduard Heine este un matematician german. ...Si nu e nevoie sa gandesti asa ceva, exista un singur gay in Europa - Gay-Lussac =)

A fost creată a doua definiție a limitei... da, da, ai dreptate. Dar mai întâi, să înțelegem designul său. Luați în considerare o vecinătate arbitrară a punctului cartier („negru”). Pe baza paragrafului anterior, intrarea înseamnă că ceva valoare funcția este situată în cartierul „epsilon”.

Acum găsim -vecinația care corespunde cartierului - dat (desenați mental linii punctate negre de la stânga la dreapta și apoi de sus în jos). Rețineți că valoarea este selectată de-a lungul lungimii segmentului mai mic, în acest caz - de-a lungul segmentului mai scurt din stânga. Mai mult decât atât, vecinătatea „zmeurului” a unui punct poate fi chiar redusă, deoarece în următoarea definiție însuși faptul existenței este important acest cartier. Și, în mod similar, notația înseamnă că o anumită valoare se află în cartierul „deltă”.

Limita funcției Cauchy: un număr se numește limita unei funcții într-un punct dacă pentru orice preselectate Cartier (oricât de mic vrei), există- vecinătatea punctului, ASTFEL DE, că: CA NUMAI valori (aparținând) incluse în acest domeniu: (săgeți roșii)– DECI IMMEDIAT, valorile funcției corespunzătoare sunt garantate să intre în vecinătatea -: (săgeți albastre).

Trebuie să vă avertizez că, de dragul clarității, am improvizat puțin, așa că nu exagerați =)

Intrare scurtă: , dacă

Care este esența definiției? Figurat vorbind, prin scăderea infinită a vecinătății, „însoțem” valorile funcției până la limita lor, lăsându-le nicio alternativă la abordarea altundeva. Destul de neobișnuit, dar din nou strict! Pentru a înțelege pe deplin ideea, recitiți din nou formularea.

! Atenţie: dacă trebuie doar să formulezi Definiția lui Heine sau doar Definiție Cauchy te rog nu uita semnificativ comentarii preliminare: „Luați în considerare o funcție care este definită pe un anumit interval, cu posibila excepție a unui punct”. Am spus asta o dată la început și nu am repetat-o ​​de fiecare dată.

Conform teoremei corespunzătoare de analiză matematică, definițiile Heine și Cauchy sunt echivalente, dar a doua opțiune este cea mai faimoasă (încă ar fi!), care se mai numește și „limită de limbă”:

Exemplul 4

Folosind definiția limitei, demonstrați că

Soluţie: funcția este definită pe întreaga linie numerică, cu excepția punctului. Folosind definiția, demonstrăm existența unei limite la un punct dat.

Notă : valoarea cartierului „delta” depinde de „epsilon”, de unde denumirea

Sa luam in considerare arbitrar-împrejurimi. Sarcina este să folosiți această valoare pentru a verifica dacă există oare-împrejurimi, ASTFEL DE, care din inegalitate urmează inegalitatea .

Presupunând că , transformăm ultima inegalitate:
(a extins trinomul pătratic)

Limită de secvență de numere este limita succesiunii elementelor unui spațiu numeric. Spațiul numeric este un spațiu metric în care distanța este definită ca modulul diferenței dintre elemente. Prin urmare, numărul este numit limita secvenței, dacă pentru oricare există un număr care depinde de astfel încât pentru oricare inegalitatea .

Conceptul de limită a unei secvențe de numere reale este formulat destul de simplu, și în caz numere complexe existența unei limite a unei secvențe este echivalentă cu existența limitelor șirurilor corespunzătoare de părți reale și imaginare ale numerelor complexe.

Limita (a unei secvențe numerice) este unul dintre conceptele de bază ale analizei matematice. Fiecare număr real poate fi reprezentat ca limita unei succesiuni de aproximări la valoarea dorită. Sistemul de numere oferă o astfel de secvență de rafinare. Numerele întregi iraționale sunt descrise prin secvențe periodice de aproximări, în timp ce numerele iraționale sunt descrise prin secvențe neperiodice de aproximări.

ÎN metode numerice, unde se folosește reprezentarea numerelor cu un număr finit de semne, alegerea sistemului de aproximare joacă un rol deosebit. Criteriul pentru calitatea unui sistem de aproximare este viteza de convergență. În acest sens, reprezentarea numerelor sub formă de fracții continuate se dovedește a fi eficientă.

Definiție

Numărul este sunat limita succesiunii de numere, dacă șirul este infinitezimal, adică toate elementele sale, începând de la unul anume, sunt mai puțin în valoare absolută decât orice număr pozitiv predeterminat.

Dacă o secvență de numere are o limită sub forma unui număr real, se numește convergent la acest număr. În caz contrar, secvența este numită divergente . Dacă, în plus, este nelimitat, atunci limita sa se presupune a fi egală cu infinitul.

În plus, dacă toate elementele unei secvențe nemărginite, începând de la un anumit număr, au un semn pozitiv, atunci limita unei astfel de secvențe se spune că este plus infinit .

Dacă elementele unei secvențe nemărginite, începând de la un anumit număr, au semn negativ, atunci se spune că limita unei astfel de șiruri este egală cu minus infinitul .

Această definiție are un defect fatal: explică ce este o limită, dar nu oferă nici o metodă de calcul, nici informații despre existența ei. Toate acestea se deduc din proprietățile limitei dovedite mai jos.

Sunt date formulări ale principalelor teoreme și proprietăți ale șirurilor numerice care au o limită. Conține o definiție a secvenței și a limitei acesteia. Se consideră operații aritmetice cu secvențe, proprietăți legate de inegalități, criterii de convergență, proprietăți ale secvențelor infinitezimale și infinit de mari.

Conţinut

Proprietăţi ale limitelor finite ale secvenţelor

Proprietăți de bază

Un punct a este o limită a unei secvențe dacă și numai dacă în afara oricărei vecinătăți a acestui punct există număr finit de elemente secvențe sau setul gol.

Dacă numărul a nu este limita secvenței, atunci există o vecinătate a punctului a dincolo de care există număr infinit de elemente de secvență.

Teorema unicității pentru limita unei secvențe de numere. Dacă o secvență are o limită, atunci este unică.

Dacă o secvență are o limită finită, atunci aceasta limitat.

Dacă fiecare element al secvenţei egală cu același număr C: atunci această secvență are o limită, egală cu numărul C.

Dacă succesiunea adăugați, aruncați sau modificați primele m elemente, atunci acest lucru nu va afecta convergența acestuia.

Dovezi ale proprietăților de bază sunt date pe pagină
Proprietăţile de bază ale limitelor finite ale secvenţelor >>>.

Operatii aritmetice cu limite

Să existe limite finite ale ambelor secvențe și . Și să fie C o constantă, adică un număr dat. Apoi
;
;
;
, Dacă .
În cazul unui coeficient, se presupune că pentru toți n.

Daca atunci.

Demonstrațiile proprietăților aritmetice sunt date pe pagină
Proprietăţi aritmetice ale limitelor finite ale secvenţelor >>>.

Proprietăți legate de inegalități

Dacă elementele unei secvențe, pornind de la un anumit număr, satisfac inegalitatea , atunci limita a a acestei secvențe satisface și inegalitatea .

Dacă elementele șirului, începând de la un anumit număr, aparțin unui interval (segment) închis, atunci și limita a aparține acestui interval: .

Dacă și și elementele secvențelor, începând de la un anumit număr, satisfac inegalitatea , atunci .

Dacă și, începând de la un număr, , atunci .
În special, dacă, pornind de la un număr, , atunci
daca atunci ;
daca atunci .

Dacă și, atunci.

Lăsați-l să fie. < b În cazul în care o , atunci există așa ceva numar natural N, care pentru toate n> N

inegalitatea este valabilă. sunt date pe pagină
Dovezi de proprietăți legate de inegalități

Proprietăți ale limitelor secvenței asociate cu inegalitățile >>>.

Secvențe infinit de mari și infinitezimale

Secvență infinitezimală
.

O secvență infinitezimală este o secvență a cărei limită este zero: Suma si diferenta

a unui număr finit de secvențe infinitezimale este o secvență infinitezimală. Produsul unei secvențe mărginite

la infinitezimal este o succesiune infinitezimală. Produsul unui număr finit

Pentru ca o secvență să aibă o limită a, este necesar și suficient ca , unde este o secvență infinitezimală.

Demonstrații de proprietăți ale secvențelor infinitezimale sunt date pe pagină
Secvențe infinitezimale - definiție și proprietăți >>>.

Secvență infinit de mare

O secvență infinit de mare este o secvență care are o limită infinit de mare. Adică, dacă pentru orice număr pozitiv există un număr natural N care depinde de astfel încât pentru toate numerele naturale inegalitatea să fie valabilă
.
În acest caz ei scriu
.
Sau la .
Se spune că tinde spre infinit.

Dacă, pornind de la un număr N, atunci
.
Daca atunci
.

Dacă șirul este infinit de mare, atunci, pornind de la un număr N, se definește o secvență care este infinitezimală. Dacă este o secvență infinitezimală cu elemente diferite de zero, atunci șirul este infinit de mare.

Dacă secvența este infinit de mare și succesiunea este limitată, atunci
.

Dacă valorile absolute ale elementelor secvenței sunt limitate de jos de un număr pozitiv () și este un infinitezimal cu elemente inegale cu zero, atunci
.

In detalii definirea unei secvențe infinit de mari cu exemple este dat pe pagină
Definiția unei secvențe infinit de mari >>>.
Demonstrațiile proprietăților unor secvențe infinit de mari sunt date pe pagină
Proprietăţi ale unor secvenţe infinit de mari >>> .

Criterii de convergență a secvenței

Secvențe monotone

O secvență strict crescătoare este o secvență pentru care toate elementele satisfac următoarele inegalități:
.

Inegalități similare definesc alte secvențe monotone.

Secvență strict descendentă:
.
Secvență nedescrescătoare:
.
Secvență care nu crește:
.

Rezultă că o secvență strict crescătoare este, de asemenea, nedescrescătoare. O secvență strict descrescătoare este, de asemenea, necrescătoare.

O secvență monotonă este o secvență care nu descrește sau nu crește.

O secvență monotonă este limitată pe cel puțin o parte de valoarea . O succesiune nedescrescătoare este mărginită mai jos: . O succesiune necrescătoare este mărginită de sus: .

teorema lui Weierstrass. Pentru ca o secvență nedescrescătoare (necrescătoare) să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să fie mărginită de sus (de jos). Aici M este un număr.

Deoarece orice succesiune nedescrescătoare (necrescătoare) este mărginită de jos (de sus), teorema lui Weierstrass poate fi reformulată după cum urmează:

Pentru ca o succesiune monotonă să aibă o limită finită este necesar și suficient ca aceasta să fie mărginită: .

Secvență nemărginită monotonă are o limită infinită, egală pentru o succesiune nedescrescătoare și necrescătoare.

Dovada teoremei lui Weierstrass dat pe pagină
Teorema lui Weierstrass asupra limitei unei secvențe monotone >>>.

Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței

Starea Cauchy
Consecvența satisface Starea Cauchy, dacă pentru oricare există un număr natural astfel încât pentru toate numerele naturale n și m care îndeplinesc condiția, inegalitatea este valabilă
.

O secvență fundamentală este o secvență care satisface Starea Cauchy.

Criteriul Cauchy pentru convergența secvenței. Pentru ca o secvență să aibă o limită finită, este necesar și suficient ca aceasta să satisfacă condiția Cauchy.

Dovada criteriului de convergență al lui Cauchy dat pe pagină
Criteriul Cauchy pentru convergența șirului >>>.

Subsecvente

Teorema Bolzano-Weierstrass. Din orice succesiune mărginită se poate extrage o subsecvență convergentă. Și din orice succesiune nemărginită - o subsecvență infinit de mare care converge către sau către .

Demonstrarea teoremei Bolzano-Weierstrass dat pe pagină
Teorema Bolzano–Weierstrass >>> .

Definițiile, teoremele și proprietățile subsecvențelor și limitelor parțiale sunt discutate pe pagină
Subsecvențe și limite parțiale ale secvențelor >>>.

Referinte:
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
V.A. Zorich. Analiza matematică. Partea 1. Moscova, 1997.
V.A. Ilyin, E.G. Poznyak. Fundamentele analizei matematice. Partea 1. Moscova, 2005.

Vezi si:

Este dată definiția limitei finite a unei secvențe. Sunt luate în considerare proprietățile înrudite și definiția echivalentă. Se dă o definiție că punctul a nu este limita secvenței. Sunt luate în considerare exemple în care existența unei limite este dovedită folosind definiția.

Conţinut

Vezi si: Limita secvenței – teoreme și proprietăți de bază
Principalele tipuri de inegalități și proprietățile lor

Aici ne vom uita la definiția limitei finite a unei secvențe. Cazul unei secvențe care converge către infinit este discutat la pagina „Definiția unei secvențe infinit de mare”.

Limita unei secvențe este un număr a dacă, pentru orice număr pozitiv ε > 0 există un număr natural N ε care depinde de ε astfel încât pentru toate numerele naturale n > N ε inegalitatea
| x n - a|< ε .
Aici x n este elementul șirului cu numărul n. Limită de secvență notată după cum urmează:
.
Sau la .

Să transformăm inegalitatea:
;
;
.

ε - o vecinătate a unui punct a - este un interval deschis (a - ε, a + ε). O secvență convergentă este o secvență care are o limită. Se mai spune că succesiunea converge la a. O secvență divergentă este o secvență care nu are limită.

Din definiție rezultă că, dacă o secvență are o limită a, atunci indiferent ce vecinătate ε a punctului a alegem, dincolo de limitele sale poate exista doar un număr finit de elemente ale șirului, sau deloc deloc (un gol a stabilit). Și orice vecinătate ε conține un număr infinit de elemente. De fapt, având dat un anumit număr ε, avem astfel numărul . Deci toate elementele șirului cu numere , prin definiție, sunt situate în vecinătatea ε a punctului a . Primele elemente pot fi localizate oriunde. Adică, în afara vecinătății ε nu pot exista mai mult decât elemente - adică un număr finit.

De asemenea, observăm că diferența nu trebuie să tindă monoton spre zero, adică să scadă tot timpul. Poate tinde spre zero nemonoton: poate fie să crească, fie să scadă, având maxime locale. Cu toate acestea, aceste maxime, pe măsură ce n crește, ar trebui să tindă spre zero (posibil și nu în mod monoton).

Folosind simbolurile logice ale existenței și universalității, definiția unei limite poate fi scrisă după cum urmează:
(1) .

Determinarea faptului că a nu este o limită

Acum luați în considerare afirmația inversă că numărul a nu este limita șirului.

Numărul a nu este limita secvenței, dacă există astfel încât pentru orice număr natural n există un astfel de m natural > n, Ce
.

Să scriem această afirmație folosind simboluri logice.
(2) .

Afirmați că numărul a nu este limita secvenței, înseamnă că
puteți alege un astfel de ε - vecinătate a punctului a, în afara căruia va exista un număr infinit de elemente ale șirului.

Să ne uităm la un exemplu. Să fie dată o succesiune cu un element comun
(3)
Orice vecinătate a unui punct conține un număr infinit de elemente. Totuși, acest punct nu este limita secvenței, deoarece orice vecinătate a punctului conține și un număr infinit de elemente. Să luăm ε - o vecinătate a unui punct cu ε = 1 . Acesta va fi intervalul (-1, +1) . Toate elementele cu excepția primului cu n par aparțin acestui interval. Dar toate elementele cu n impar sunt în afara acestui interval, deoarece satisfac inegalitatea x n > 2 . Deoarece numărul de elemente impare este infinit, va exista un număr infinit de elemente în afara vecinătății alese. Prin urmare, punctul nu este limita secvenței.

Acum vom arăta acest lucru, respectând cu strictețe declarația (2). Punctul nu este o limită a șirului (3), deoarece există astfel încât, pentru orice n natural, există unul impar pentru care inegalitatea este valabilă.
.

De asemenea, se poate demonstra că orice punct a nu poate fi o limită a acestei secvențe. Putem alege întotdeauna o ε - vecinătate a punctului a care nu conține nici punctul 0, nici punctul 2. Și apoi în afara vecinătății alese va exista un număr infinit de elemente ale șirului.

Definiție echivalentă a limitei secvenței

Putem da o definiție echivalentă a limitei unei secvențe dacă extindem conceptul de ε - vecinătate. Vom obține o definiție echivalentă dacă, în loc de o vecinătate ε, conține orice vecinătate a punctului a. O vecinătate a unui punct este orice interval deschis care conține acel punct. Din punct de vedere matematic vecinătatea unui punct este definită astfel: , unde ε 1 și ε 2 - numere pozitive arbitrare.

Atunci definiția echivalentă a limitei este următoarea.

Limita unei secvențe este un număr a dacă pentru orice vecinătate a acesteia există un număr natural N astfel încât toate elementele șirului cu numere aparțin acestei vecinătăți.

Această definiție poate fi prezentată și în formă extinsă.

Limita unei secvențe este un număr a dacă pentru orice numere pozitive și există un număr natural N care depinde de și astfel încât inegalitățile să fie valabile pentru toate numerele naturale
.

Dovada echivalenței definițiilor

Să demonstrăm că cele două definiții ale limitei unei secvențe prezentate mai sus sunt echivalente.

Fie numărul a limita secvenței conform primei definiții. Aceasta înseamnă că există o funcție, astfel încât pentru orice număr pozitiv ε sunt valabile următoarele inegalități:
(4) la .

Să arătăm că numărul a este limita secvenței după a doua definiție. Adică, trebuie să arătăm că există o astfel de funcție încât pentru orice numere pozitive ε 1 și ε 2 sunt satisfăcute următoarele inegalități:
(5) la .

Să avem două numere pozitive: ε 1 și ε 2 . Și să fie ε cel mai mic dintre ei: . Apoi ; ; . Să folosim asta în (5):
.
Dar inegalitățile sunt satisfăcute pentru . Atunci inegalitățile (5) sunt satisfăcute și pentru .

Adică, am găsit o funcție pentru care inegalitățile (5) sunt satisfăcute pentru orice numere pozitive ε 1 și ε 2 .
Prima parte a fost dovedită.

Acum să fie numărul a limita secvenței conform celei de-a doua definiții. Aceasta înseamnă că există o funcție astfel încât pentru orice numere pozitive ε 1 și ε 2 sunt satisfăcute următoarele inegalități:
(5) la .

Să arătăm că numărul a este limita secvenței după prima definiție. Pentru a face acest lucru trebuie să puneți . Atunci când sunt valabile următoarele inegalități:
.
Aceasta corespunde primei definiții cu .
Echivalența definițiilor a fost dovedită.

Exemple

Exemplul 1

Demonstrează că.

(1) .
În cazul nostru ;
.

.
Să folosim proprietățile inegalităților. Atunci dacă și , atunci
.

.
Apoi
la .
Aceasta înseamnă că numărul este limita secvenței date:
.

Exemplul 2

Folosind definiția limitei unei secvențe, demonstrați că
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe:
(1) .
În cazul nostru , ;
.

Introduceți numere pozitive și:
.
Să folosim proprietățile inegalităților. Atunci dacă și , atunci
.

Adică, pentru orice pozitiv, putem lua orice număr natural mai mare sau egal cu:
.
Apoi
la .
.

Exemplul 3

.

Introducem notația , .
Să transformăm diferența:
.
Pentru naturala n = 1, 2, 3, ... avem:
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe:
(1) .
Introduceți numere pozitive și:
.
Atunci dacă și , atunci
.

Adică, pentru orice pozitiv, putem lua orice număr natural mai mare sau egal cu:
.
în care
la .
Aceasta înseamnă că numărul este limita secvenței:
.

Exemplul 4

Folosind definiția limitei unei secvențe, demonstrați că
.

Să notăm definiția limitei unei secvențe:
(1) .
În cazul nostru , ;
.

Introduceți numere pozitive și:
.
Atunci dacă și , atunci
.

Adică, pentru orice pozitiv, putem lua orice număr natural mai mare sau egal cu:
.
Apoi
la .
Aceasta înseamnă că numărul este limita secvenței:
.

Referinte:
L.D. Kudryavtsev. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 2003.
CM. Nikolsky. Curs de analiză matematică. Volumul 1. Moscova, 1983.

Vezi si: