Metoda Simpson de integrare numerică. Cum se calculează integrala definită folosind formula lui Simpson? Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite folosind metoda parabolelor

Esența metodei lui Simpson este de a aproxima integrandul pe un segment printr-un polinom de interpolare de gradul doi p2(x), adică. aproximarea graficului unei funcții pe un segment printr-o parabolă. Trei puncte sunt folosite pentru a interpola integrandul.

Să considerăm o integrală arbitrară. Să folosim o schimbare de variabilă astfel încât limitele segmentului de integrare să devină [-1,1] în schimb. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila z:

Să luăm în considerare problema interpolării integrandului folosind trei puncte nod echidistante z = -1, z = 0, z = +1 ca noduri (pasul este 1, lungimea segmentului de integrare este 2). Să notăm valorile corespunzătoare ale integrandului la nodurile de interpolare:

Sistemul de ecuații pentru aflarea coeficienților unui polinom care trece prin trei puncte (-1, f-1), (0, f0) și (1, f-+1) va lua forma:

Coeficienții pot fi obținuți cu ușurință:

Să calculăm acum valoarea integralei polinomului de interpolare:

Schimbând invers variabila, revenim la integrala inițială. Să luăm în considerare că:

corespunde

corespunde

corespunde

Obținem formula lui Simpson pentru un interval de integrare arbitrar:

Valoarea rezultată coincide cu zona trapez curbat, mărginit de axa x, drepte x = x0, x = x2 și o parabolă care trece prin puncte

Dacă este necesar, segmentul de integrare original poate fi împărțit în N segmente duble, fiecăruia dintre care se aplică formula Simpson. Etapa de interpolare va fi:

Pentru primul segment de integrare, nodurile de interpolare vor fi punctele a, a+h, a+2h, pentru al doilea a+2h, a+3h, a+4h, pentru al treilea a+4h, a+5h, a +6h etc. Valoarea aproximativă a integralei se obține prin însumarea N arii:

integrare metoda numerică simpson

Această sumă include termeni identici (pentru nodurile interne cu o valoare a indicelui par - 2i). Prin urmare, putem rearanja termenii din această sumă după cum urmează:

Ținând cont de ceea ce obținem:

Să estimăm acum eroarea de integrare folosind formula lui Simpson. Vom presupune că o funcție pe un interval are derivate continue. Să facem diferența:

Aplicând succesiv teorema valorii medii la această diferență și diferențiind R(h), obținem eroarea metodei Simpson:

Eroarea metodei scade proporțional cu lungimea pasului de integrare la a patra putere, adică. Când numărul de intervale este dublat, eroarea scade de 16 ori.

Avantaje și dezavantaje

Formulele Simpson și Newton-Cotes sunt un instrument bun pentru calcularea integralei definite de un număr suficient de ori pentru o funcție diferențiabilă continuu. Astfel, cu condiția ca derivata a patra să nu fie prea mare, metoda lui Simpson permite să se obțină o precizie destul de mare. În același timp, ordinea sa algebrică de precizie este 3, iar formula lui Simpson este exactă pentru polinoamele de grad nu mai mare de trei.

De asemenea, metodele Newton-Cotes și în special metoda Simpson vor fi cele mai eficiente în cazurile în care nu există informații a priori despre netezimea integrandului, i.e. când integrandul este dat într-un tabel.

Textul lucrării este postat fără imagini și formule.
Versiunea completa munca este disponibilă în fila „Fișiere de lucru” în format PDF

Introducere

Deja în clasa a X-a am început să mă gândesc dacă ar trebui să iau profil Examen de stat unificat matematică. Hotărând Teme de examen de stat unificat, am dat peste sarcini privind găsirea volumului poliedrelor și corpurilor de rotație, deși acestea sunt sarcini din programul de clasa a XI-a. Devenind interesat de această problemă, am învățat asta datorită diversității forme geometrice Există un număr mare de formule pentru găsirea zonelor și volumelor corpurilor (fiecare figură și fiecare corp are propria formulă). Privind formulele din geometrie, m-am convins că un număr foarte mare de formule sunt legate de zonele și volumele figurilor. Există mai mult de douăsprezece astfel de formule pentru zonele figurilor plate și mai mult de zece pentru volumele corpurilor spațiale.

Și m-am întrebat întrebare: Există o formulă atât de universală pentru găsirea ariei și volumului formelor și corpurilor geometrice?

Cred că tema acestui proiect relevante nu numai în rândul elevilor, ci și în rândul adulților, pentru că Curriculum-ul școlar este uitat de-a lungul timpului și puțini oameni știu că există o astfel de formulă care combină toate celelalte formule numeroase și greu de reținut pentru găsirea volumului.

Problemă

Este necesară introducerea unei formule universale în predarea geometriei care să permită înlocuirea unui număr mare de formule pentru zonele figurilor plane și volumele corpurilor spațiale.

Ipoteză

În secolul al XVIII-lea, matematicianul englez Thomas Simpson a derivat o formulă pentru găsirea anumitor zone de figuri plane și volume de corpuri spațiale prin calcularea ariilor bazelor inferioare, superioare și mijlocii.

Presupun că această formulă universală va înlocui toate formulele numite și le va face ușor de reținut.

Scopul lucrării: să demonstreze că formula universală a lui Simpson poate înlocui toate formulele de suprafață și volum studiate la un curs de geometrie școlară și poate fi folosită nu numai în practică, ci și la examene, inclusiv la examenul de stat unificat.

Obiectivele postului:

Studiază principalele caracteristici ale solidelor geometrice: prismă, piramidă, con, cilindru, bilă;

Studiați literatura disponibilă pe această temă.

Folosind o formulă universală, obțineți formule pentru suprafețe și volume pentru toate figurile și corpurile.

Comparați formulele rezultate cu formulele propuse în manual.

Familiarizați elevii de liceu cu această formulă și aflați printr-un chestionar dacă este convenabil să o folosiți atunci când vă pregătiți pentru examene.

Semnificația practică a muncii mele: Rezultatele acestei lucrări pot fi folosite în practica școlară, și anume folosite la orele de geometrie și algebră , la pregătirea și promovarea Examenului de stat unificat.

Capitolul 1 Scurte caracteristici proprietățile corpurilor geometrice

Cursul de geometrie școlară este împărțit în planimetrie și stereometrie. Din clasele a 7-a până la a 9-a, am studiat proprietățile figurilor pe un plan, inclusiv formule pentru găsirea ariilor lor (Anexa 1-2).

La cursul de clasa a X-a, am început să studiez secțiunea de geometrie-stereometrie, care studiază proprietățile figurilor din spațiu. Când am scris lucrarea, am luat în considerare corpurile geometrice și suprafețele lor. Corpurile geometrice volumetrice sunt împărțite în poliedre și corpuri de revoluție.

Poliedru- o suprafață compusă din poligoane și care mărginește un anumit corp geometric.

Corpurile revoluției- corpuri geometrice obţinute prin rotaţie în jurul axei lor. Corpuri de revoluție: cilindru, con, bilă.

Poliedrele pot fi convexe sau neconvexe. Poliedre convexe - situate pe o parte a planului fiecărei fețe. Poliedre neconvexe - situate pe ambele părți ale planului a cel puțin unei fețe.

Piramidă

Paralelipiped

Capitolul 2. Formula lui Simpson

Thomas Simpson(20 august 1710 - 14 mai 1761) - matematician englez. În 1746, Simpson a fost ales membru al Societății Regale din Londra, iar mai devreme - membru al Societății de Matematică, fondată în 1717 la Londra. În 1758 a fost ales membru străin al Academiei Regale de Științe Suedeze. Numit profesor la Academia Militară Regală din Woolwich, Simpson a compilat manuale de matematică elementară. În departamentele speciale de geometrie se iau în considerare problemele despre cele mai mari și mai mici cantități, rezolvate folosind geometria elementară, poliedre regulate, măsurarea suprafețelor, volumelor corpurilor și, în final, probleme mixte.

O formulă minunată există; Mai mult: este potrivit nu numai pentru calcularea volumului unui cilindru, a unui con plin și a unui trunchi de con, ci și pentru toate tipurile de prisme, piramide pline și trunchiate și chiar și pentru o sferă, precum și pentru calcularea ariilor de figuri de avion. Iată această formulă, cunoscută în matematică ca formula lui Simpson:

unde b 1 este aria (lungimea) bazei inferioare

b 2 - zona (lungimea) bazei mijlocii

b 3 - zona (lungimea) bazei superioare

2.1 Aplicarea formulei lui Simpson pentru a deriva formule pentru ariile figurilor plane.

Formula noastră universală este b 1 = b 2 = b 3, atunci obținem:

Răspuns: S= hb 1

Concluzie. Într-adevăr, aria unui paralelogram este egală cu produsul dintre bază și înălțime.

Formula universală.

Deoarece ABCD este un trapez, atunci b 2 este linia sa mediană, ceea ce înseamnă

Atunci obținem:

Concluzie. Într-adevăr, aria unui trapez este egală cu jumătate din produsul celor două baze și înălțimea.

După ce am efectuat dovezi similare (Anexa 3-4) pentru formulele pentru ariile unui triunghi, dreptunghi, pătrat și romb, am ajuns la concluzia că formula universală a lui Simpson era potrivită pentru calcularea ariilor unor astfel de figuri plate precum: paralelogram, trapez, triunghi, pătrat, romb, dreptunghi.

2.2. Aplicarea formulei lui Simpson pentru a deriva formule pentru volumele corpurilor spațiale.

Deoarece b 1 =b 2 =b 3, atunci obținem:

Răspuns: V=b 1 h

Dovada propusă în manualul de geometrie de către autor. L.S. Atanasyan în Anexa 6.

Concluzie. Într-adevăr, volumul unei prisme este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea. Dovada derivării formulei pentru volumul unui cilindru se realizează în mod similar (Anexa 5)

Soluție: Deoarece b 1 =0, a, atunci obținem:

Dovada propusă în manualul de geometrie de către autor. L.S. Atanasyan în Anexa 9.

Concluzie. Într-adevăr, volumul unui con este egal cu o treime din produsul dintre suprafața bazei și înălțimea Dovada obținerii formulei pentru volumul unei piramide se realizează în mod similar (Anexa 5).

Atunci obținem:

Concluzie. Formula derivată coincide complet cu formula propusă în manual

Problema 6. Volumul mingii.

Dat: minge

b 3 - zona bazei superioare

Găsiți: Vball.

(Fig. 11. Minge)

Deoareceb 1 =b 3 =0, h=2R

Atunci obținem:

Dovada propusă în manualul de geometrie de către autor. L.S.Atanasyan în Anexa 10

Concluzie: Formulele pentru volumele tuturor corpurilor spațiale studiate în clasa a XI-a sunt de asemenea ușor derivate folosind formula universală a lui Simpson.

2.3 Aplicarea practică a formulei

Următoarea etapă a cercetării mele este uz practic(vezi Anexa 11-12)

Concluzie. Volumele pentru fiecare model de corpuri geometrice, găsite în două moduri, s-au dovedit a fi egale. Formula lui Simpson este universală pentru corpuri precum piramidă, cilindru, sferă, cub și con.

Am o formulă prin care poți calcula aproximativ volumul unui trunchi de copac fără să te întrebi ce fel de corp geometric arată: un cilindru, un con plin sau un trunchi de con. Cunoscând densitățile diferitelor tipuri de lemn, puteți calcula greutatea în picioare a copacului. Am rezolvat această problemă calculând volumul trunchiului ca volum al unui cilindru, al cărui diametru al bazei este egal cu diametrul trunchiului la mijlocul lungimii sale: în acest caz, rezultatul este, totuși, subestimat, uneori cu 12%. Fără o mare greșeală, puteți considera că volumul unui copac în picioare este jumătate din volumul unui cilindru de aceeași înălțime cu un diametru egal cu diametrul copacului la înălțimea pieptului.

După ce am făcut calcule folosind formule cunoscute anterior, am calculat volumul trunchiului de copac în picioare (vezi Anexa 13)

Concluzie. Din întregul studiu, putem concluziona că am o formulă prin care puteți calcula aproximativ volumul unui trunchi de copac și, cunoscând densitatea diferitelor tipuri de lemn, puteți determina greutatea în picioare a copacului.

Capitolul 3. Chestionarea elevilor

3.1 Cercetare și anchetă

Am realizat un studiu în rândul elevilor de clasa a XI-a (vezi Anexa 13).

Scopul studiului: determinarea numărului de formule pe care elevii le pot reproduce fără repetare în 10 minute, i.e. volumul de formule „reziduale”.

Rezultatele au fost următoarele (vezi Anexa 14):

Cel mai mare număr de formule reproduse este 41, cel mai mic este 5. Având în vedere că numărul de formule ar putea ajunge la 500 într-un timp nelimitat, am ajuns la concluzia că elevii nu-și amintesc un număr foarte mare de formule studiate la școală. Formulele reproduse reprezintă doar 8,2% din numărul total de formule studiate. Cel mai adesea, elevii au reprodus formule în algebră (formule de trigonometrie, formule logaritmice, formule de înmulțire abreviate, formule pentru rădăcinile unei ecuații patratice, derivate); în geometrie (formule pentru zonele figurilor plate, unele volume de corpuri spațiale); mai multe formule din fizică (formula energiei cinetice, gravitației, forței de frecare și MKT); în informatică () Era firesc, pentru că Există mai multe formule în matematică decât în ​​orice altă știință.

După ce am văzut rezultatele obținute, am decis să determin motivele unui rezultat atât de scăzut. Am realizat un sondaj (vezi Anexa 14-15) elevilor de clasa a XI-a, care le-a cerut să răspundă la următoarele întrebări:

Întrebări de sondaj.

Câte formule crezi că ar trebui să știe un absolvent de școală?

a) memorare

B) înțelegere

B) metoda asocierii

D) altele

Rezultatele au fost următoarele (vezi Anexa 15).

Intrebarea 1. De la 60 la 250 de formule

intrebarea 2. Din răspunsurile primite, putem concluziona că elevii de clasa a XI-a, atunci când memorează formule, încearcă să le înțeleagă sau să folosească învățarea prin memorare.

Întrebarea 3. Opiniile elevilor despre această problemă nu au fost de acord, deși diagrama arată că au răspuns în mare parte „da”, adică. elevii consideră că numărul de formule de memorat corespunde nivelului de memorie al elevului mediu.

Întrebarea 4.Aproape toți elevii de clasa a XI-a ar dori să folosească doar una – una universală – în loc de multe formule.

3.2 Testare

Acum știu că formula lui Simpson este cu adevărat universală și poate fi aplicată în viață. Dar este chiar necesar? Pentru a răspunde la această întrebare, am prezentat formula în clasă la clasa a XI-a, după care am efectuat teste (vezi Anexa 16-17) și am primit următoarele rezultate:

Testul nr. 1

23% au recunoscut că le este greu să-și amintească toate formulele.

17% au spus că nu le-a fost dificil să învețe toate formulele, inclusiv formula lui Simpson.

60% dintre elevi au aplicat formula lui Simpson unor corpuri geometrice și i-a ajutat în rezolvarea problemelor.

Testul nr. 2

100% susțin că formula Simpson este ușor de reținut pentru ei.

0% au recunoscut că au dificultăți în a-și aminti.

Testul nr. 3

76% vor folosi această formulă în viitor.

24% au recunoscut că este puțin probabil să aibă nevoie de el.

Testul nr. 4

82% cred că formula lui Simpson ar trebui inclusă în programa școlară.

0% consideră că formula nu ar trebui inclusă în programa școlară.

18% spun că formula ar trebui inclusă în programa școlară, dar numai la clasele de specialitate.

Testul nr. 5

35% cred că amintirea unei formule pentru determinarea volumului mai multor corpuri geometrice simultan este mult mai ușoară.

59% cred că ar trebui să vă amintiți toate formulele, inclusiv formula lui Simpson, pentru că nu știți niciodată ce condiții vor fi date.

6% consideră că este suficient să reținem doar formulele incluse în programa școlară.

Această formulă poate fi folosită și în rezolvarea problemelor, inclusiv la examenul de stat unificat. . Voi da exemple de probleme care au fost date în clasa a XI-a și care au fost rezolvate de elevi fără dificultate:

Problema 1 O prismă hexagonală regulată cu o înălțime de 18 cm este înscrisă într-un cilindru cu raza bazei de 4 cm. Aflați volumul prismei.

Problema 2Într-un cilindru este înscrisă o piramidă patruunghiulară regulată, cu o înălțime de 24 cm și o latură de bază de 5 cm. Aflați volumul cilindrului.

Concluzie:

Concluzie

În timpul petrecut la școală, elevii trebuie să cunoască un număr mare de formule la diferite materii. Sondajul pe care l-am realizat a arătat că nu toți elevii își pot aminti toate aceste formule. M-am confruntat cu o problemă: este necesar să introducem o formulă universală în predarea geometriei care să ne permită înlocuirea unui număr mare de formule pentru zonele de figuri plate și volume de corpuri spațiale, adică o formulă potrivită pentru mulți. scopuri și îndeplinind diverse funcții.

Am sugerat că formula matematicianului englez Thomas Simpson

vă va permite să înlocuiți formulele pentru zonele figurilor și volumele corpurilor cu o singură formulă.

Mi-am propus un obiectiv: să demonstrez că formula universală a lui Simpson poate înlocui toate formulele studiate pentru arii și volume într-un curs de geometrie școlară. Am dezvăluit acest obiectiv în mai multe sarcini.

Ca rezultat al muncii mele, m-am convins că formula lui Simpson îmi permite să demonstrez ușor și rapid teoreme despre volumele corpurilor fără a folosi o integrală definită.

Pentru a facilita munca de memorare și derivare a formulelor, sugerez ca înainte de a studia subiectul „Zona figurilor”, profesorul să prezinte elevilor formula lui Simpson și să îi invite să obțină în mod independent formulele studiate. Dovada propusă în manual poate fi folosită de profesor ca material suplimentar pentru o lecție sau ca temă.

Acum, mergând prin pădure, probabil că veți fi interesat să determinați volumul oricărui copac. Calculați cât este în el metri cubi lemn și, în același timp, cântăriți-l - aflați dacă ar fi posibil, de exemplu, să transportați un astfel de portbagaj pe un singur cărucior.

Am o formulă prin care poți calcula aproximativ volumul unui trunchi de copac fără să te întrebi ce fel de corp geometric arată: un cilindru, un con plin sau un trunchi de con.

Consider munca mea utilă, pentru că... Am derivat toate formulele pentru zone și volume studiate la școală.

Din rezultatele sondajului, am fost convins că formula Simpson este destul de simplu de reținut și ar trebui inclusă în programa școlară.

Această formulă poate fi folosită și la examene, inclusiv la examenul de stat unificat.

Lista literaturii folosite:

Ya.I.Perelman. Algebră distractivă. Interesanta geometrie. - M., „AST”, 1999.

CD ROM. Mare enciclopedie Chiril și Metodiu, 2002.

L.S. Atanasyan și colab. Geometrie 10-11. Manual pentru instituțiile de învățământ general, - M., „Iluminismul”, 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

Anexa 1

Scurte caracteristici ale proprietăților corpurilor geometrice

Triunghi

Anexa 2

Dreptunghi

Anexa 3

b 3 =0, deoarece baza superioară este un punct.

Deoarece b 2 este linia de mijloc în triunghi, atunci obținem:

Concluzie. Într-adevăr, aria unui triunghi este egală cu jumătate din produsul bazei și înălțimii.

Rezolvare: - formula universala.

Deoarece ABCD este un pătrat, atunci b 1 =b 2 =b 3 =h, atunci obținem

Anexa 4

Concluzie. Într-adevăr, aria unui pătrat este egală cu pătratul laturii sale.

Rezolvare: - formula universala.

Deoarece ABCD este un dreptunghi, atunci b 1 =b 2 =b 3, atunci obținem:

Răspuns: S=hb 1.

Concluzie. Într-adevăr, aria unui dreptunghi este egală cu două laturi adiacente.

Rezolvare: - formula universala.

b 1 =b 2 =b 3, atunci obținem:

Anexa 5

Problema 2. Volumul cilindrului.

Dat: cilindru

b 1 - zona bazei inferioare:

b 2 - zona secțiunii din mijloc:

b 3 - zona bazei superioare.

Găsiți: Vcilindru

(Fig. 22. Cilindru)

Deoarece b 1 =b 2 =b 3, atunci obținem:

Răspuns: V=b 1 h

Dovada propusă în manualul de geometrie de către autor. L.S. Atanasyan în Anexa 7.

Concluzie. Într-adevăr, volumul unui cilindru este egal cu produsul dintre suprafața bazei și înălțimea.

Soluție: Deoarece b 3 =0, a, atunci obținem:

Răspuns: Dovada propusă în manualul de geometrie de către autor. L.S. Atanasyan în Anexa 8.

Anexa 6

Anexa 7.

Anexa 8

Anexa 9.

Anexa 10

Anexa 11

Sarcina nr. 1. Calculăm volumul modelului cub folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm muchia modelului cub: a = 10,5 cm V = a 3 = 1157,625 cm 3

Sarcina nr. 2. Calculăm volumul modelului unei piramide hexagonale obișnuite folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm înălțimea modelului h = 17,2 cm și latura bazei a = 6,5 cm.

Sarcina nr. 3. Calculăm volumul modelului de cilindru folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm înălțimea modelului h = 20,4 cm și raza bazei R = 14 cm.

Anexa 12

	Se calculează S = π *R 2 = 3,14* 14 2 cm 2, V =S*h = 3,14*196*20,4 = 12554,976 cm 3 Calculam volumul modelului folosind formula lui Simpson V = h/6(S baza inferioară + S baza superioară + 4S secțiunea mijlocie):
Zonele bazei superioare, inferioare și ale secțiunii mijlocii sunt egale între ele S = π *R 2 = 3,14 * 14 2 = 615,44 cm 2, h = 20,4 cm. V =20,4/6*(20,4+20,4)=12554,976 cm 3
Sarcina nr. 4. Calculăm volumul modelului de con folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm înălțimea modelului h = 21 cm și raza bazei R = 6 cm.
Sarcina nr. 5. Calculăm volumul modelului mingii folosind formula obișnuită. Pentru a face acest lucru, măsurăm raza bilei R = 7 cm.

Anexa 13

Calcul pentru mesteacăn:

Calcul pentru aspen.

Calcul pentru pin.

Anexa 14

Rezultatele studiului „Determinarea volumului de formule „reziduale””

Diagrama 1. Determinarea numărului de formule „reziduale”.

Diagrama 2. Subiecte pentru care sunt indicate formule.

Anexa 15

Ce metodă folosești pentru a memora formulele?

a) memorare

B) înțelegere

B) metoda asocierii

D) altele

Diagrama 3. Metode de memorare a formulelor

Crezi că numărul de formule de memorat corespunde nivelului de memorie al elevului mediu?

Diagrama 4. Corespondența numărului de formule cu nivelul de memorie al elevului mediu

Crezi că pentru a memora mai bine multe formule, trebuie să folosești o singură formulă universală?

Diagrama 5. Necesitatea folosirii unei formule universale

Anexa 16

Anexa 17

Problema se pune cca calcul numeric integrală definită, rezolvată folosind formule numite cuadratura.

Să ne amintim cele mai simple formule de integrare numerică.

Să calculăm valoarea numerică aproximativă. Împărțim intervalul de integrare [a, b] în n părți egale prin împărțirea punctelor
, numite noduri ale formulei de cuadratura. Să fie cunoscute valorile de la noduri
:

Magnitudinea

numit interval sau pas de integrare. Rețineți că în practică - calcule, numărul i este ales mic, de obicei nu este mai mare de 10-20 pe un interval parțial

integrandul este înlocuit cu un polinom de interpolare

care reprezintă aproximativ funcţia f (x) pe intervalul luat în considerare.

a) Să păstrăm un singur prim termen în polinomul de interpolare, atunci

Formula pătratică rezultată

numită formula dreptunghiului.

b) Să păstrăm primii doi termeni în polinomul de interpolare, atunci

(2)

Formula (2) se numește formulă trapezoidală.

c) Interval de integrare
îl vom împărți într-un număr par de 2n părți egale, iar pasul de integrare h va fi egal cu . Pe interval
de lungime 2h, înlocuim integrandul cu un polinom de interpolare de gradul doi, adică reținem primii trei termeni din polinom:

Formula de cuadratura rezultată se numește formula lui Simpson

(3)

Formulele (1), (2) și (3) au o semnificație geometrică simplă. În formula dreptunghiurilor, funcția integrand f(x) pe interval
se înlocuiește cu un segment de linie dreaptă y = yk, paralel cu axa absciselor, iar în formula trapezoidală - cu un segment de dreaptă
și se calculează aria dreptunghiului și, respectiv, a trapezului rectiliniu, care sunt apoi însumate. În formula lui Simpson, funcția f(x) pe interval
lungimea 2h este înlocuită cu un trinom pătrat - o parabolă
Se calculează aria unui trapez parabolic curbiliniu, apoi se însumează ariile.

CONCLUZIE

La sfârșitul lucrării, aș dori să notez o serie de caracteristici ale aplicării metodelor discutate mai sus. Fiecare metodă de rezolvare aproximativă a unei integrale definite are propriile avantaje și dezavantaje, în funcție de sarcina în cauză, ar trebui utilizate metode specifice.

Metoda de înlocuire a variabilei este una dintre principalele metode de calcul nu integrale definite. Chiar și în cazurile în care integrăm printr-o altă metodă, de multe ori trebuie să apelăm la modificarea variabilelor în calculele intermediare. Succesul integrării depinde în mare măsură de posibilitatea de a selecta o astfel de modificare reușită a variabilelor care ar simplifica integrala dată.

În esență, studiul metodelor de integrare se rezumă la a afla ce fel de înlocuire a variabilei trebuie făcută pentru acest sau acel tip de integrand.

Prin urmare, integrarea oricărei fracții raționale se reduce la integrarea unui polinom și a mai multor fracții simple.

Integrala oricărei funcții raționale poate fi exprimată prin funcții elementare în formă finală și anume:

prin logaritmi – în cazurile fracțiilor simple de tip 1;

prin funcţii raţionale – în cazul fracţiilor simple de tip 2

prin logaritmi și arctangente – în cazul fracțiilor simple de tip 3

prin funcții raționale și arctangente – în cazul fracțiilor simple de tip 4. Substituția trigonometrică universală raționalizează întotdeauna integrandul, dar duce adesea la fracții raționale foarte greoaie, pentru care, în special, este aproape imposibil de găsit rădăcinile numitorului. Prin urmare, ori de câte ori este posibil, se folosesc substituții parțiale, care raționalizează și integrandul și conduc la fracții mai puțin complexe.

Formula Newton-Leibniz este o abordare generală a găsirii integralelor definite.

În ceea ce privește tehnicile de calculare a integralelor definite, acestea nu sunt practic diferite de toate acele tehnici și metode.

Aplicați exact în același mod metode de substituție(schimbarea variabilei), metoda de integrare pe părți, aceleași tehnici de găsire a antiderivatelor pentru funcții trigonometrice, iraționale și transcendentale. Singura particularitate este că atunci când se utilizează aceste tehnici este necesar să se extindă transformarea nu numai la funcția integrand, ci și la limitele integrării. Când înlocuiți variabila de integrare, nu uitați să modificați limitele integrării în consecință.

În mod corespunzător din teoremă, condiția pentru continuitatea funcției este o condiție suficientă pentru integrabilitatea unei funcții. Dar asta nu înseamnă că integrala definită există doar pentru funcții continue. Clasa de funcții integrabile este mult mai largă. De exemplu, există o integrală definită de funcții care au un număr finit de puncte de discontinuitate.

Calcularea unei integrale definite a unei funcții continue folosind formula Newton-Leibniz se rezumă la găsirea antiderivatei, care există întotdeauna, dar nu este întotdeauna o funcție elementară sau o funcție pentru care au fost întocmite tabele care fac posibilă obținerea valorii lui integrala. În numeroase aplicații, funcția integrabilă este specificată într-un tabel și formula Newton-Leibniz nu este direct aplicabilă.

Dacă trebuie să obțineți cel mai precis rezultat, este ideal Metoda Simpson.

Din cele studiate mai sus, putem trage următoarea concluzie că integrala este folosită în științe precum fizica, geometria, matematica și alte științe. Folosind integrala, se calculează munca forței, se găsesc coordonatele centrului de masă și traseul parcurs de punctul material. În geometrie este folosit pentru a calcula volumul unui corp, a găsi lungimea arcului unei curbe etc.

Catedra de Matematică Superioară

Completat de: Matveev F.I.

Verificat de: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Metode numerice de integrare

2. Derivarea formulei lui Simpson

3.Ilustrație geometrică

4.Selectarea etapei de integrare

5.Exemple

1. Metode numerice de integrare

Problema integrării numerice este de a calcula integrala

printr-o serie de valori ale integrandului.

Problemele de integrare numerică trebuie rezolvate pentru funcțiile specificate în tabele, funcții ale căror integrale nu sunt luate în functii elementare, etc. Să luăm în considerare doar funcțiile unei variabile.

În loc de funcția care trebuie integrată, integrăm polinomul de interpolare. Metodele bazate pe înlocuirea integrandului cu un polinom de interpolare fac posibilă estimarea preciziei rezultatului utilizând parametrii polinomului sau selectarea acestor parametri în funcție de precizia dată.

Metodele numerice pot fi grupate condiționat în funcție de metoda de aproximare a integrandului.

Metodele Newton-Cotes se bazează pe aproximarea funcției

polinom de grad. Algoritmul acestei clase diferă doar în gradul polinomului. De regulă, nodurile polinomului de aproximare sunt egal legate.

Metodele de integrare spline se bazează pe aproximarea funcției

polinom spline-pe bucăți.

Metodele cu cea mai mare acuratețe algebrică (metoda Gauss) folosesc noduri inegale special selectate care oferă o eroare minimă de integrare pentru un număr dat (selectat) de noduri.

Metodele Monte Carlo sunt utilizate cel mai des atunci când se calculează integrale multiple, nodurile sunt selectate aleatoriu, iar răspunsul este probabilist.

eroare totală eroare de trunchiere

eroare de rotunjire

Indiferent de metoda aleasă, în procesul de integrare numerică este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a integralei și să se estimeze eroarea. Eroarea scade pe măsură ce numărul n crește

partiții de segmente

. Cu toate acestea, acest lucru crește eroarea de rotunjire

prin însumarea valorilor integralelor calculate pe segmente parțiale.

Eroarea de trunchiere depinde de proprietățile integrandului și de lungime

segment parțial.

2. Derivarea formulei lui Simpson

Dacă pentru fiecare pereche de segmente

construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, obținem formula lui Simpson. Să luăm în considerare integrantul pe segment. Să înlocuim acest integrand cu un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi, care coincide cu punctele:

Să ne integrăm

:

și se numește formula lui Simpson.

Rezultatul obţinut pentru integrală

valoarea coincide cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de axă, linii drepte și o parabolă care trece prin puncte

Să estimăm acum eroarea de integrare folosind formula lui Simpson. Vom presupune că

există derivate continue pe segment. Să facem diferența

Teorema valorii medii poate fi deja aplicată la fiecare dintre aceste două integrale, deoarece

este continuă activată și funcția este nenegativă pe primul interval de integrare și nepozitivă pe al doilea (adică nu schimbă semnul pe fiecare dintre aceste intervale). De aceea:

(am folosit teorema valorii medii deoarece

- functionare continua; ).

Diferențierea

de două ori și apoi aplicând teorema valorii medii, obținem o altă expresie pentru: , unde

Din ambele estimări pentru

rezultă că formula lui Simpson este exactă pentru polinoamele de grad nu mai mare de trei. Să scriem formula lui Simpson, de exemplu, sub forma: , .

Dacă segmentul

integrarea este prea mare, apoi este împărțită în părți egale (presupunând ), după care formula lui Simpson se aplică fiecărei perechi de segmente adiacente , ,... și anume:

Să scriem formula lui Simpson în formă generală.

Această metodă propune aproximarea integralandului pe un segment parțial printr-o parabolă care trece prin puncte
(x j, f(x j)), Unde j = i-1; i-0.5; i, adică aproximăm funcția integrand printr-un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi:

După realizarea integrării, obținem:

Asta e Formula lui Simpson sau formula parabolica. Pe segment
[a, b] Formula lui Simpson ia forma

O reprezentare grafică a metodei Simpson este prezentată în Fig. 2.4.

Orez. 10.4. Metoda Simpson

Să scăpăm de indicii fracționari din expresia (2.16) prin redesemnarea variabilelor:

Apoi formula lui Simpson va lua forma

Eroarea formulei (2.18) este estimată prin următoarea expresie:

Unde h·n = b-a, . Astfel, eroarea formulei Simpson este proporțională O(h 4).

Cometariu. Trebuie remarcat faptul că în formula lui Simpson segmentul de integrare este în mod necesar împărțit în chiar numărul de intervale.

10.5. Calculul integralelor definite prin metode
Monte Carlo

Metodele discutate mai devreme sunt numite determinat , adică lipsit de elementul întâmplării.

Metode Monte Carlo(MMK) sunt metode numerice de rezolvare a problemelor matematice folosind modelare variabile aleatoare. MMC-urile permit rezolvarea cu succes a problemelor matematice cauzate de procese probabilistice. Mai mult, atunci când rezolvați probleme care nu sunt asociate cu nicio probabilitate, puteți veni în mod artificial cu un model probabilistic (și chiar mai mult de unul) care vă permite să rezolvați aceste probleme. Luați în considerare calculul integralei definite

Când se calculează această integrală folosind formula dreptunghiului, intervalul [ a, b] împărțit în N intervale identice, în mijlocul cărora s-au calculat valorile integrandului. Prin calcularea valorilor funcției la noduri aleatorii, puteți obține un rezultat mai precis:

Aici γ i este un număr aleator distribuit uniform pe interval
. Eroarea în calcularea integralei MMC este ~ , care este semnificativ mai mare decât cea a metodelor deterministe studiate anterior.

În fig. Figura 2.5 prezintă o implementare grafică a metodei Monte Carlo pentru calcularea unei integrale unice cu noduri aleatoare (2.21) și (2.22).

(2.23)

Orez. 10.6. Integrare prin metoda Monte Carlo (al doilea caz)

După cum se poate observa în Fig. 2.6, curba integrală se află în pătratul unității, iar dacă suntem capabili să obținem perechi de numere aleatoare distribuite uniform pe interval, atunci valorile rezultate (γ 1, γ 2) pot fi interpretate ca coordonatele unui punct în pătratul unității. Apoi, dacă se obțin destul de multe dintre aceste perechi de numere, putem presupune aproximativ că
. Aici S este numărul de perechi de puncte care se încadrează sub curbă și N– numărul total de perechi de numere.

Exemplul 2.1. Calculați următoarea integrală:

Problema a fost rezolvată folosind diverse metode. Rezultatele obţinute sunt rezumate în tabel. 2.1.

Tabelul 2.1

Cometariu. Alegerea unei integrale de tabel ne-a permis să comparăm eroarea fiecărei metode și să aflăm efectul numărului de partiții asupra preciziei calculelor.

11 SOLUȚIA APROXIMATĂ A NELINEARĂ
SI ECUATII TRANSCENDENTE