Aria unui trapez curbat y e x. Găsirea ariei unui sector curbat. Lungimea arcului unei curbe plane

În secțiunea 4.3 s-a remarcat deja că integrală definită () a

funcția nenegativă este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu delimitată de graficul funcției = (), linii drepte = , = și = 0.

Exemplul 4.24. Calculați aria figurii cuprinse între axă și sinusoida = sin (Figura 4.6).

		sin = − cos 0		= −(cos − cos 0) = 2.

Dacă figura nu este un trapez curbiliniu, atunci ei încearcă să reprezinte aria sa ca suma sau diferența ariilor figurilor care sunt trapeze curbilinie. În special, teorema este adevărată.

Teorema 4.13. Dacă o figură este mărginită dedesubt și deasupra de grafice de funcții continue = 1 (), = 2 () (nu neapărat nenegativ, ( Figura 4.7 ), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula

2 () − 1 () .

Exemplul 4.25. Calculați aria figurii delimitată de curba = 4 și liniile = și = 4.

				y = f2(x)
				y = f2(x)


				y = f1(x)
				y = f1(x)



	Figura 4.6			Figura 4.7
Soluţie. Să construim			avion	(Figura 4.8). Evident,
1 () = 4 , 2 () = ,
= ∫		2 − 4 ln	2 = 8 − 4 ln 4 − (2 − 4 ln 2) = 2(3 − 2 ln 2).
= ∫		2 − 4 ln	2 = 8 − 4 ln 4 − (2 − 4 ln 2) = 2(3 − 2 ln 2).

Partea I. Teorie

Capitolul 4. Teoria integrării 4.4. Aplicații integrale. Integrale improprii











	Figura 4.8

4.4.2. Lungimea arcului de curbă

Calcularea lungimilor curbelor duce și la integrale. Fie funcția = () continuă pe intervalul [ ; ] și este diferențiabilă pe intervalul (;). Graficul său reprezintă o anumită curbă, (; ()), (; ()) (Figura 4.9). Împărțim curba cu punctele 0 = , 1 , 2 , . . . , = părți arbitrare. Să conectăm două puncte adiacente −1 și coarde = 1, 2, . . . , . Obținem o linie întreruptă -link înscrisă în curbă. Lăsa

este lungimea coardei −1, = 1, 2, . . . , = max16 6 . Lungimea liniei întrerupte va fi exprimată prin formula

Este firesc să definim lungimea unei curbe ca valoare limită a lungimilor liniilor întrerupte atunci când → 0, i.e.





Să fie abscise de puncte, = 1, 2, . . . ,
						< < . . . < = .

Atunci coordonatele punctelor sunt (; ()), și, folosind formula pentru distanța dintre două puncte, vom găsi


			Cn−1
		C k 1C k
		C k 1C k

În consecință, există o sumă integrală pentru funcția √ 1 + (′ ())2 pe intervalul [ ; ]. Apoi, pe baza egalităților (4.31), avem:


= ∫
= ∫	1 + (′ ())2

Exemplul 4.26. Aflați lungimea graficului = 2		între = 0 și = 3.
Exemplul 4.26. Aflați lungimea graficului = 2		între = 0 și = 3.

Soluţie. Să construim un grafic al funcției specificate (Figura 4.10).



	y=2	√x 3

Figura 4.10

Folosind formula (4.33) găsim:

= ∫ 3

= ∫ 3 √

1 + (2 1 )2

1 + (′ ())2

(+ 1)2

3 (+ 1)2 0 = 3 (8 − 1) = 3 .

Problema 1(despre calcularea ariei unui trapez curbat).

În sistemul de coordonate dreptunghiular cartezian xOy, o figură este dată (a se vedea figura) delimitată de axa x, drepte x = a, x = b (a de un trapez curbiliniu. Este necesar să se calculeze aria unui curbiliniu trapez.
Soluţie. Geometria ne oferă rețete pentru calcularea ariilor poligoanelor și a unor părți ale unui cerc (sector, segment). Folosind considerații geometrice, putem găsi doar o valoare aproximativă a ariei necesare, raționând după cum urmează.

Să împărțim segmentul [a; b] (baza unui trapez curbat) în n părți egale; această partiție se realizează folosind punctele x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Să tragem linii drepte prin aceste puncte paralele cu axa y. Apoi, trapezul curbiliniu dat va fi împărțit în n părți, în coloane înguste. Aria întregului trapez este egală cu suma ariilor coloanelor.

Să luăm în considerare coloana k-a separat, adică. un trapez curbat a cărui bază este un segment. Să-l înlocuim cu un dreptunghi cu aceeași bază și înălțime egală cu f(x k) (vezi figura). Aria dreptunghiului este egală cu $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, unde $\Delta x_k $ este lungimea segmentului; Este firesc să luăm în considerare produsul rezultat ca o valoare aproximativă a ariei coloanei k-a.

Dacă procedăm acum la fel cu toate celelalte coloane, vom ajunge la următorul rezultat: aria S a unui trapez curbiliniu dat este aproximativ egală cu aria S n a unei figuri în trepte formată din n dreptunghiuri (vezi figura):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Aici, de dragul uniformității notației, presupunem că a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - lungimea segmentului, $\Delta x_1 $ - lungimea segmentului etc.; în acest caz, așa cum am convenit mai sus, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Deci, $S \approx S_n $, iar această egalitate aproximativă este mai precisă, cu cât n este mai mare.
Prin definiție, se crede că aria necesară a unui trapez curbiliniu este egală cu limita secvenței (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problema 2(despre mutarea unui punct)
Un punct material se deplasează în linie dreaptă. Dependența vitezei de timp este exprimată prin formula v = v(t). Aflați mișcarea unui punct într-o perioadă de timp [a; b].
Soluţie. Daca miscarea ar fi uniforma, atunci problema s-ar rezolva foarte simplu: s = vt, i.e. s = v(b-a). Pentru mișcarea neuniformă, trebuie să utilizați aceleași idei pe care s-a bazat soluția la problema anterioară.
1) Împărțiți intervalul de timp [a; b] în n părți egale.
2) Considerați o perioadă de timp și presupuneți că în această perioadă de timp viteza a fost constantă, la fel ca la momentul t k. Deci presupunem că v = v(t k).
3) Să găsim valoarea aproximativă a mișcării punctului pe o perioadă de timp, vom desemna această valoare aproximativă s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Aflați valoarea aproximativă a deplasării s:
$s \aprox S_n $ unde
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Deplasarea necesară este egală cu limita secvenței (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Să rezumam. Soluțiile la diferite probleme au fost reduse la același model matematic. Multe probleme din diverse domenii ale științei și tehnologiei duc la același model în procesul de soluționare. Aceasta înseamnă că acest model matematic trebuie studiat special.

Conceptul de integrală definită

Să dăm o descriere matematică a modelului care a fost construit în cele trei probleme luate în considerare pentru funcția y = f(x), continuă (dar nu neapărat nenegativă, așa cum sa presupus în problemele luate în considerare) pe intervalul [a; b]:
1) împărțiți segmentul [a; b] în n părți egale;
2) alcătuiți suma $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) calculați $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

În cursul analizei matematice s-a dovedit că această limită există în cazul unei funcții continue (sau continuă pe bucăți). El este numit o anumită integrală a funcției y = f(x) peste segmentul [a; b]și notată după cum urmează:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Numerele a și b se numesc limite de integrare (inferioară și respectiv superioară).

Să revenim la sarcinile discutate mai sus. Definiția ariei dată în problema 1 poate fi acum rescrisă după cum urmează:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
aici S este aria trapezului curbiliniu prezentat în figura de mai sus. Aceasta este semnificația geometrică a unei integrale definite.

Definiția deplasării s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) în perioada de timp de la t = a la t = b, dată în problema 2, poate fi rescrisă după cum urmează:

formula Newton-Leibniz

Mai întâi, să răspundem la întrebarea: care este legătura dintre integrala definită și antiderivată?

Răspunsul poate fi găsit în problema 2. Pe de o parte, deplasarea s a unui punct care se deplasează în linie dreaptă cu o viteză v = v(t) pe perioada de timp de la t = a la t = b se calculează prin formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

Pe de altă parte, coordonatele unui punct în mișcare este o antiderivată pentru viteză - să o notăm s(t); Aceasta înseamnă că deplasarea s este exprimată prin formula s = s(b) - s(a). Ca rezultat obținem:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
unde s(t) este antiderivata lui v(t).

Următoarea teoremă a fost demonstrată în cursul analizei matematice.
Teorema. Dacă funcția y = f(x) este continuă pe intervalul [a; b], atunci formula este valabilă
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
unde F(x) este antiderivata lui f(x).

Formula dată este de obicei numită formula Newton-Leibnizîn onoarea fizicianului englez Isaac Newton (1643-1727) și a filozofului german Gottfried Leibniz (1646-1716), care l-au primit independent unul de celălalt și aproape simultan.

În practică, în loc să scrie F(b) - F(a), ei folosesc notația $\left. F(x)\right|_a^b $ (uneori se numește dubla substitutie) și, în consecință, rescrieți formula Newton-Leibniz în această formă:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \left. F(x)\right|_a^b $

Când calculați o integrală definită, găsiți mai întâi antiderivată și apoi efectuați o dublă substituție.

Pe baza formulei Newton-Leibniz, putem obține două proprietăți ale integralei definite.

Proprietatea 1. Integrala sumei funcțiilor este egală cu suma integralelor:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Proprietatea 2. Factorul constant poate fi scos din semnul integral:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Calcularea ariilor figurilor plane folosind o integrală definită

Folosind integrala, puteți calcula zonele nu numai ale trapezelor curbate, ci și ale figurilor plane de tip mai complex, de exemplu, cea prezentată în figură. Figura P este limitată de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor continue y = f(x), y = g(x), iar pe segmentul [a; b] inegalitatea $g(x) \leq f(x) $ este valabilă. Pentru a calcula aria S a unei astfel de figuri, vom proceda după cum urmează:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Deci, aria S a unei figuri mărginite de drepte x = a, x = b și grafice ale funcțiilor y = f(x), y = g(x), continuă pe segment și astfel încât pentru orice x din segment [A; b] inegalitatea $g(x) \leq f(x) $ este satisfăcută, calculată prin formula
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tabel de integrale nedefinite (antiderivate) ale unor funcții

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2 ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch) ) x +C $$

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Cuvinte cheie: trapez integral, curbiliniu, zonă de figuri delimitată de crini

Echipamente: panou de marcat, calculator, proiector multimedia

Tipul de lecție: lecție-prelecție

Obiectivele lecției:

educational: să creeze o cultură a muncii mentale, să creeze o situație de succes pentru fiecare elev și să creeze o motivație pozitivă pentru învățare; dezvolta capacitatea de a vorbi și de a asculta pe ceilalți.
în curs de dezvoltare: formarea gândirii independente a elevului în aplicarea cunoștințelor în diverse situații, capacitatea de a analiza și de a trage concluzii, dezvoltarea logicii, dezvoltarea capacității de a pune corect întrebări și de a găsi răspunsuri la acestea. Îmbunătățirea formării abilităților de calcul, dezvoltarea gândirii elevilor în cursul îndeplinirii sarcinilor propuse, dezvoltarea unei culturi algoritmice.
educational: să formeze concepte despre un trapez curbiliniu, despre o integrală, să stăpânească abilitățile de calcul a ariilor figurilor plane

Metoda de predare: explicative și ilustrative.

În timpul orelor

În clasele anterioare am învățat să calculăm ariile figurilor ale căror limite sunt linii întrerupte. În matematică, există metode care vă permit să calculați ariile figurilor delimitate de curbe. Astfel de cifre sunt numite trapeze curbilinii, iar aria lor este calculată folosind antiderivate.

trapez curbiliniu ( slide 1)

Un trapez curbat este o figură delimitată de graficul unei funcții, ( sh.m.), Drept x = aȘi x = bși axa x

Diferite tipuri de trapeze curbate ( slide 2)

Luăm în considerare diverse tipuri de trapeze curbilinii și observăm: una dintre drepte este degenerată într-un punct, rolul funcției de limitare îl joacă linia dreaptă.

Aria unui trapez curbat (diapozitivul 3)

Să reparăm capătul din stânga al intervalului A, si cel potrivit X ne vom schimba, adică deplasăm peretele drept al trapezului curbiliniu și obținem o figură în schimbare. Aria unui trapez curbiliniu variabil delimitat de graficul funcției este o antiderivată F pentru functie f

Iar pe segmentul [ A; b] aria unui trapez curbiliniu format din funcție f, este egal cu incrementul antiderivatei acestei funcții:

Exercitiul 1:

Găsiți aria unui trapez curbiliniu mărginit de graficul funcției: f(x) = x 2 si drept y = 0, x = 1, x = 2.

Soluție: ( conform algoritmului slide 3)

Să desenăm un grafic al funcției și al liniilor

Să găsim una dintre antiderivatele funcției f(x) = x 2 :

Autotest cu slide

Integral

Se consideră un trapez curbiliniu definit de funcție f pe segmentul [ A; b]. Să împărțim acest segment în mai multe părți. Aria întregului trapez va fi împărțită în suma ariilor trapezelor mai mici curbate. ( slide 5). Fiecare astfel de trapez poate fi considerat aproximativ dreptunghi. Suma ariilor acestor dreptunghiuri oferă o idee aproximativă a întregii zone a trapezului curbat. Cu cât împărțim segmentul mai mic [ A; b], cu atât calculăm mai precis aria.

Să scriem aceste argumente sub formă de formule.

Împărțiți segmentul [ A; b] în n părți prin puncte x 0 = a, x1,…, xn = b. Lungime k- th notează prin xk = xk – xk-1. Să facem o sumă

Geometric, această sumă reprezintă aria figurii umbrite în figură ( sh.m.)

Sumele formei sunt numite sume integrale pentru funcție f. (sh.m.)

Sumele integrale dau o valoare aproximativă a ariei. Valoarea exactă se obține prin trecerea la limită. Să ne imaginăm că rafinăm partiția segmentului [ A; b] astfel încât lungimile tuturor segmentelor mici tind spre zero. Apoi, zona figurii compuse se va apropia de zona trapezului curbat. Putem spune că aria unui trapez curbat este egală cu limita sumelor integrale, Sc.t. (sh.m.) sau integral, adică

Definiție:

Integrala unei funcții f(x) din A inainte de b numită limita sumelor integrale

= (sh.m.)

Formula Newton-Leibniz.

Ne amintim că limita sumelor integrale este egală cu aria unui trapez curbiliniu, ceea ce înseamnă că putem scrie:

Sc.t. = (sh.m.)

Pe de altă parte, aria unui trapez curbat este calculată prin formula

S k.t. (sh.m.)

Comparând aceste formule, obținem:

= (sh.m.)

Această egalitate se numește formula Newton-Leibniz.

Pentru ușurință de calcul, formula este scrisă astfel:

= = (sh.m.)

Sarcini: (sh.m.)

1. Calculați integrala folosind formula Newton-Leibniz: ( verificați diapozitivul 5)

2. Compune integrale conform desenului ( verificați diapozitivul 6)

3. Aflați aria figurii mărginită de liniile: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slide 7)

Găsirea ariilor figurilor plane ( slide 8)

Cum să găsiți aria figurilor care nu sunt trapeze curbate?

Să fie date două funcții, ale căror grafice le vedeți pe diapozitiv . (sh.m.) Găsiți aria figurii umbrite . (sh.m.). Figura în cauză este un trapez curbat? Cum puteți găsi zona sa folosind proprietatea de aditivitate a zonei? Luați în considerare două trapeze curbate și scădeți aria celuilalt din aria unuia dintre ele ( sh.m.)

Să creăm un algoritm pentru găsirea zonei folosind animația pe un diapozitiv:

Funcții grafice
Proiectați punctele de intersecție ale graficelor pe axa x
Umbriți figura obținută atunci când graficele se intersectează
Găsiți trapeze curbilinie a căror intersecție sau unire este figura dată.
Calculați aria fiecăruia dintre ele
Găsiți diferența sau suma suprafețelor

Sarcină orală: Cum să obțineți zona unei figuri umbrite (spuneți folosind animație, slide 8 și 9)

Teme pentru acasă: Lucrați prin note, nr. 353 (a), nr. 364 (a).

Bibliografie

Algebra și începuturile analizei: un manual pentru clasele 9-11 ale școlii de seară (în schimburi) / ed. G.D. Glaser. - M: Iluminismul, 1983.
Bashmakov M.I. Algebra și începuturile analizei: un manual pentru clasele 10-11 de liceu / Bashmakov M.I. - M: Iluminismul, 1991.
Bashmakov M.I. Matematică: manual pentru instituțiile de început. si miercuri prof. educație / M.I. Bashmakov. - M: Academia, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebră și începuturi de analiză: manual pentru clasele 10-11. instituţii de învăţământ / A.N. Kolmogorov. - M: Educație, 2010.
Ostrovsky S.L. Cum se face o prezentare pentru o lecție?/ S.L. Ostrovsky. – M.: Primul septembrie 2010.

Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. În clasă am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o anumită curbă pe plan (poate fi întotdeauna desenată dacă se dorește), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Primul și cel mai important punct în decizie este construcția unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi umbri trapezul curbat aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.

După ce sarcina este finalizată, este întotdeauna util să priviți desenul și să vă dați seama dacă răspunsul este real. În acest caz, numărăm numărul de celule din desen „cu ochi” - ei bine, vor fi aproximativ 9, se pare că este adevărat. Este absolut clar că dacă am primit, să zicem, răspunsul: 20 de unități pătrate, atunci este evident că s-a făcut o greșeală undeva - 20 de celule evident nu se încadrează în figura în cauză, cel mult o duzină. Dacă răspunsul este negativ, atunci și sarcina a fost rezolvată incorect.

Exemplul 2

Calculați aria unei figuri delimitate de linii , și axă

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluție: Să facem un desen:

Dacă un trapez curbat complet situat sub ax, atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

În practică, cel mai adesea figura este situată atât în semiplanul superior, cât și în cel inferior și, prin urmare, de la cele mai simple probleme școlare trecem la exemple mai semnificative.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .

Soluție: Mai întâi trebuie să faci un desen. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Este mai bine să nu folosiți această metodă, dacă este posibil.

Este mult mai profitabil și mai rapid să construiești linii punct cu punct, iar limitele integrării devin clare „de la sine”. Tehnica de construcție punct cu punct pentru diferite grafice este discutată în detaliu în ajutor Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Cu toate acestea, metoda analitică de găsire a limitelor mai trebuie folosită uneori dacă, de exemplu, graficul este suficient de mare sau construcția detaliată nu a evidențiat limitele integrării (pot fi fracționale sau iraționale). Și vom lua în considerare și un astfel de exemplu.

Să revenim la sarcina noastră: este mai rațional să construim mai întâi o linie dreaptă și abia apoi o parabolă. Să facem desenul:

Repet că atunci când construim punctual, limitele integrării sunt cel mai adesea descoperite „automat”.

Și acum formula de lucru: Dacă pe un segment există vreo funcție continuă mai mare sau egal cu o funcție continuă, atunci aria figurii corespunzătoare poate fi găsită folosind formula:

Aici nu mai trebuie să vă gândiți la locul în care se află figura - deasupra axei sau sub axa și, aproximativ vorbind, contează care grafic este MAI MARE(față de alt grafic), si care se afla JOS.

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Soluția finalizată ar putea arăta astfel:

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei . Deoarece axa este specificată de ecuație și graficul funcției este situat sub axă, atunci

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție

Exemplul 5

Exemplul 6

Aflați aria figurii delimitată de liniile , .

Când rezolvați probleme care implică calcularea ariei folosind o integrală definită, se întâmplă uneori un incident amuzant. Desenul a fost făcut corect, calculele au fost corecte, dar din nepăsare... a fost găsită zona figurii greșite, exact așa a dat peste cap umilul tău slujitor de mai multe ori. Iată un caz real:

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Mai întâi să facem un desen:

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea că trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită în verde!

Acest exemplu este, de asemenea, util deoarece calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;

2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Exemplul 8

Calculați aria unei figuri delimitate de linii,
Să prezentăm ecuațiile sub formă de „școală” și să facem un desen punct cu punct:

Din desen reiese clar că limita noastră superioară este „bună”: .
Dar care este limita inferioară?! Este clar că acesta nu este un număr întreg, dar ce este? Pot fi ? Dar unde este garanția că desenul este făcut cu acuratețe perfectă, s-ar putea dovedi că... Sau rădăcina. Ce se întâmplă dacă am construit incorect graficul?

În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale unei linii drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:

Prin urmare, .

Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai simple.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,

Soluție: Să reprezentăm această figură în desen.

Pentru a construi un desen punct cu punct, trebuie să cunoașteți aspectul unei sinusoide (și, în general, este util să știți grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea rezultă direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare:

(1) Puteți vedea cum sinusurile și cosinusurile sunt integrate în puteri impare în lecție Integrale ale funcțiilor trigonometrice. Aceasta este o tehnică tipică, ciupim un sinus.

(2) Folosim identitatea trigonometrică principală în formă

(3) Să schimbăm variabila , apoi:

Noi domenii de integrare:

Oricine este cu adevărat rău cu înlocuirile, vă rugăm să ia o lecție. Metoda înlocuirii în integrală nedefinită. Pentru cei care nu prea înțeleg algoritmul de înlocuire într-o integrală definită, vizitați pagina Integrala definita. Exemple de soluții.

Integrala definita. Cum se calculează aria unei figuri

Să trecem la considerarea aplicațiilor calculului integral. În această lecție vom analiza sarcina tipică și cea mai comună – cum să folosiți o integrală definită pentru a calcula aria unei figuri plane. În cele din urmă, cei care caută sens în matematica superioară - să-l găsească. Nu stii niciodata. În viața reală, va trebui să aproximați o diagramă dacha folosind funcții elementare și să-i găsiți aria folosind o integrală definită.

Pentru a stăpâni cu succes materialul, trebuie să:

1) Înțelegeți integrala nedefinită cel puțin la un nivel intermediar. Astfel, manechinii ar trebui să citească mai întâi lecția Nu.

2) Să fie capabil să aplice formula Newton-Leibniz și să calculeze integrala definită. Puteți stabili relații prietenoase calde cu anumite integrale de pe pagină Integrala definita. Exemple de soluții.

De fapt, pentru a găsi aria unei figuri, nu aveți nevoie de atâtea cunoștințe despre integrala nedefinită și definită. Sarcina „calculați suprafața folosind o integrală definită” implică întotdeauna construirea unui desen, așa că cunoștințele și abilitățile tale de desen vor fi o problemă mult mai presantă. În acest sens, este util să vă reîmprospătați memoria graficelor funcțiilor elementare de bază și, cel puțin, să puteți construi o linie dreaptă, o parabolă și o hiperbolă. Acest lucru se poate face (pentru mulți, este necesar) cu ajutorul materialului metodologic și al unui articol despre transformările geometrice ale graficelor.

De fapt, toată lumea a fost familiarizată cu sarcina de a găsi zona folosind o integrală definită încă de la școală și nu vom merge cu mult mai departe decât programa școlară. Acest articol poate să nu fi existat deloc, dar adevărul este că problema apare în 99 de cazuri din 100, când un elev suferă de o școală urâtă și stăpânește cu entuziasm un curs de matematică superioară.

Materialele acestui workshop sunt prezentate simplu, detaliat și cu un minim de teorie.

Să începem cu un trapez curbat.

Trapez curbiliniu este o figură plată delimitată de o axă, linii drepte și graficul unei funcții continuă pe un interval care nu își schimbă semnul pe acest interval. Să fie localizată această cifră nu mai puțin axa x:

Apoi aria unui trapez curbiliniu este numeric egală cu o integrală definită. Orice integrală definită (care există) are o semnificație geometrică foarte bună. La lectie Integrala definita. Exemple de soluții Am spus că o integrală definită este un număr. Și acum este timpul să precizăm un alt fapt util. Din punct de vedere al geometriei, integrala definită este AREA.

Acesta este, integrala definită (dacă există) corespunde geometric cu aria unei anumite figuri. De exemplu, luați în considerare integrala definită. Integrandul definește o curbă pe planul situat deasupra axei (cei care doresc pot face un desen), iar integrala definită în sine este numeric egală cu aria trapezului curbiliniu corespunzător.

Exemplul 1

Aceasta este o declarație tipică de atribuire. Primul și cel mai important punct în decizie este construcția unui desen. Mai mult, desenul trebuie construit DREAPTA.

Când construiți un desen, vă recomand următoarea ordine: la început este mai bine să construiți toate liniile drepte (dacă există) și numai Apoi– parabole, hiperbole, grafice ale altor funcții. Este mai profitabil să construiești grafice ale funcțiilor punct cu punct, tehnica de construcție punct cu punct poate fi găsită în materialul de referință Grafice și proprietăți ale funcțiilor elementare. Acolo puteți găsi și material foarte util pentru lecția noastră - cum să construiți rapid o parabolă.

În această problemă, soluția ar putea arăta astfel.
Să desenăm desenul (rețineți că ecuația definește axa):

Nu voi umbri trapezul curbat aici este evident despre ce zonă vorbim. Solutia continua asa:

Pe segment se află graficul funcției deasupra axei, De aceea:

Răspuns:

Care are dificultăți în calcularea integralei definite și aplicarea formulei Newton-Leibniz , consultați prelegerea Integrala definita. Exemple de soluții.

Exemplul 2

Calculați aria unei figuri delimitate de linii , și axă

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Ce trebuie să faceți dacă este localizat trapezul curbat sub ax?

Exemplul 3

Calculați aria figurii delimitată de linii și axe de coordonate.

Soluţie: Hai să facem un desen:

Dacă este localizat un trapez curbat sub ax(sau cel puțin nu mai sus axa dată), atunci aria sa poate fi găsită folosind formula:
În acest caz:

Atenţie! Cele două tipuri de sarcini nu trebuie confundate:

1) Dacă vi se cere să rezolvați pur și simplu o integrală definită fără nicio semnificație geometrică, atunci aceasta poate fi negativă.

2) Dacă vi se cere să găsiți aria unei figuri folosind o integrală definită, atunci aria este întotdeauna pozitivă! De aceea apare minusul în formula tocmai discutată.

Exemplul 4

Aflați aria unei figuri plane delimitată de liniile , .

Soluţie: Mai întâi trebuie să finalizați desenul. În general, atunci când construim un desen în probleme de zonă, suntem cel mai interesați de punctele de intersecție a liniilor. Să găsim punctele de intersecție ale parabolei și ale dreptei. Acest lucru se poate face în două moduri. Prima metodă este analitică. Rezolvam ecuatia:

Aceasta înseamnă că limita inferioară a integrării este , limita superioară a integrării este .
Dacă este posibil, este mai bine să nu utilizați această metodă..

Și acum formula de lucru: Dacă există o funcție continuă pe segment mai mare sau egal cu o funcție continuă , apoi aria figurii delimitată de graficele acestor funcții și liniile , , poate fi găsită folosind formula:

În exemplul luat în considerare, este evident că pe segment parabola este situată deasupra liniei drepte și, prin urmare, este necesar să se scadă din

Soluția finalizată ar putea arăta astfel:

Cifra dorită este limitată de o parabolă deasupra și de o linie dreaptă dedesubt.
Pe segment, conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

De fapt, formula școlară pentru aria unui trapez curbiliniu în semiplanul inferior (a se vedea exemplul simplu nr. 3) este un caz special al formulei . Deoarece axa este specificată de ecuație, iar graficul funcției este localizat nu mai sus topoare, atunci

Și acum câteva exemple pentru propria dvs. soluție

Exemplul 5

Exemplul 6

Aflați aria figurii delimitată de liniile , .

Exemplul 7

Calculați aria figurii delimitată de liniile , , , .

Soluţie: Mai întâi, să facem un desen:

...Eh, desenul a ieșit prost, dar totul pare a fi lizibil.

Figura a cărei zonă trebuie să o găsim este umbrită în albastru(uitați-vă cu atenție la starea - cum este limitată cifra!). Dar, în practică, din cauza neatenției, apare adesea o „glitch” în care trebuie să găsiți zona unei figuri care este umbrită în verde!

Acest exemplu este util și prin faptul că calculează aria unei figuri folosind două integrale definite. Într-adevăr:

1) Pe segmentul de deasupra axei se află un grafic al unei drepte;

2) Pe segmentul de deasupra axei există un grafic al unei hiperbole.

Este destul de evident că zonele pot (și ar trebui) să fie adăugate, prin urmare:

Răspuns:

Să trecem la o altă sarcină semnificativă.

Exemplul 8

În astfel de cazuri, trebuie să petreceți timp suplimentar și să clarificați limitele integrării analitic.

Să găsim punctele de intersecție ale unei linii drepte și ale unei parabole.
Pentru a face acest lucru, rezolvăm ecuația:

,

Într-adevăr, .

Soluția ulterioară este banală, principalul lucru este să nu vă confundați în substituții și semne, calculele de aici nu sunt cele mai simple.

Pe segment , conform formulei corespunzătoare:

Răspuns:

Ei bine, pentru a încheia lecția, să ne uităm la două sarcini mai dificile.

Exemplul 9

Calculați aria figurii delimitată de liniile , ,

Soluţie: Să reprezentăm această figură în desen.

La naiba, am uitat să semnez programul și, scuze, nu am vrut să refac poza. Nu este o zi de desen, pe scurt, azi este ziua =)

Pentru construcția punct cu punct, este necesar să se cunoască aspectul unei sinusoide (și în general este util să se cunoască grafice ale tuturor funcţiilor elementare), precum și unele valori sinus, acestea pot fi găsite în tabel trigonometric. În unele cazuri (ca și în acest caz), este posibil să se construiască un desen schematic, pe care graficele și limitele de integrare ar trebui să fie în mod fundamental afișate corect.

Nu există probleme cu limitele de integrare aici, acestea rezultă direct din condiția: „x” se schimbă de la zero la „pi”. Să luăm o altă decizie:

Pe segment, graficul funcției este situat deasupra axei, prin urmare: