În articolul despre vectorii n-dimensionali, am ajuns la conceptul de spațiu liniar generat de un set de vectori n-dimensionali. Acum trebuie să luăm în considerare concepte la fel de importante, cum ar fi dimensiunea și baza unui spațiu vectorial. Ele sunt direct legate de conceptul de sistem liniar independent de vectori, deci este recomandat suplimentar să vă amintiți elementele de bază ale acestui subiect.

Să introducem câteva definiții.

Definiția 1

Dimensiunea spațiului vectorial– numărul corespunzător număr maxim vectori liniar independenți în acest spațiu.

Definiția 2

Baza spațiului vectorial– o mulțime de vectori liniar independenți, ordonați și egali ca număr cu dimensiunea spațiului.

Să considerăm un anumit spațiu de n -vectori. Dimensiunea sa este în mod corespunzător egală cu n. Să luăm un sistem de vectori de n unități:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Folosim acești vectori ca componente ale matricei A: va fi o matrice unitară cu dimensiunea n cu n. Rangul acestei matrice este n. Prin urmare, sistemul vectorial e (1) , e (2) , . . . , e(n) este liniar independent. În acest caz, este imposibil să adăugați un singur vector la sistem fără a-i încălca independența liniară.

Deoarece numărul de vectori din sistem este n, atunci dimensiunea spațiului vectorilor n-dimensionali este n, iar vectorii unitari sunt e (1), e (2), . . . , e (n) sunt baza spațiului specificat.

Din definiția rezultată putem concluziona: orice sistem de vectori n-dimensionali în care numărul de vectori este mai mic decât n nu este o bază de spațiu.

Dacă schimbăm primul și al doilea vector, obținem un sistem de vectori e (2) , e (1) , . . . , e (n) . Va fi, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să creăm o matrice luând ca rânduri vectorii sistemului rezultat. Matricea poate fi obținută din matricea de identitate schimbând primele două rânduri, rangul său va fi egal cu n. Sistemul e (2) , e (1) , . . . , e(n) este liniar independent și este baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Prin rearanjarea altor vectori în sistemul original, obținem o altă bază.

Putem lua un sistem liniar independent de vectori non-unitari și va reprezenta, de asemenea, baza unui spațiu vectorial n-dimensional.

Definiția 3

Un spațiu vectorial cu dimensiunea n are atâtea baze câte sisteme liniar independente de vectori n-dimensionali ai numărului n.

Planul este un spațiu bidimensional - baza sa va fi oricare doi vectori necoliniari. Baza spațiului tridimensional va fi oricare trei vectori necoplanari.

Să luăm în considerare aplicarea acestei teorii folosind exemple specifice.

Exemplul 1

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Este necesar să se determine dacă vectorii specificați sunt baza unui spațiu vectorial tridimensional.

Soluţie

Pentru a rezolva problema, studiem sistemul dat de vectori pentru dependența liniară. Să creăm o matrice, în care rândurile sunt coordonatele vectorilor. Să determinăm rangul matricei.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

În consecință, vectorii specificați de condiția problemei sunt independenți liniar, iar numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei stau la baza spațiului vectorial.

Răspuns: vectorii indicați stau la baza spațiului vectorial.

Exemplul 2

Date inițiale: vectori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2) d = (0 , 1 , 2)

Este necesar să se determine dacă sistemul specificat de vectori poate fi baza spațiului tridimensional.

Soluţie

Sistemul de vectori specificat în formularea problemei este dependent liniar, deoarece numărul maxim de vectori liniar independenți este 3. Astfel, sistemul de vectori indicat nu poate servi ca bază pentru un spațiu vectorial tridimensional. Dar este de remarcat faptul că subsistemul sistemului original a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) este o bază.

Răspuns: sistemul indicat de vectori nu este o bază.

Exemplul 3

Date inițiale: vectori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Pot fi ele baza spațiului cu patru dimensiuni?

Soluţie

Să creăm o matrice folosind coordonatele vectorilor dați ca șiruri

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Folosind metoda Gauss, determinăm rangul matricei:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

În consecință, sistemul de vectori dați este liniar independent și numărul lor este egal cu dimensiunea spațiului vectorial - ei sunt baza unui spațiu vectorial cu patru dimensiuni.

Răspuns: vectorii dați sunt baza spațiului cu patru dimensiuni.

Exemplul 4

Date inițiale: vectori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Formează ele baza unui spațiu de dimensiunea 4?

Soluţie

Sistemul original de vectori este liniar independent, dar numărul de vectori din el nu este suficient pentru a deveni baza unui spațiu cu patru dimensiuni.

Răspuns: nu, ei nu.

Descompunerea unui vector într-o bază

Să presupunem că vectorii arbitrari e (1) , e (2) , . . . , e (n) sunt baza unui spațiu vectorial n-dimensional. Să le adăugăm un anumit vector n-dimensional x →: sistemul de vectori rezultat va deveni liniar dependent. Proprietățile dependenței liniare afirmă că cel puțin unul dintre vectorii unui astfel de sistem poate fi exprimat liniar prin ceilalți. Reformulând această afirmație, putem spune că cel puțin unul dintre vectorii unui sistem dependent liniar poate fi extins în vectorii rămași.

Astfel, am ajuns la formularea celei mai importante teoreme:

Definiția 4

Orice vector al unui spațiu vectorial n-dimensional poate fi descompus în mod unic într-o bază.

Dovada 1

Să demonstrăm această teoremă:

să stabilim baza spațiului vectorial n-dimensional - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Să facem sistemul dependent liniar prin adăugarea unui vector n-dimensional x → la el. Acest vector poate fi exprimat liniar în termenii vectorilor originali e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , unde x 1 , x 2 , . . . , x n - unele numere.

Acum demonstrăm că o astfel de descompunere este unică. Să presupunem că nu este cazul și că există o altă descompunere similară:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , unde x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - unele numere.

Să scădem din stânga și din dreapta acestei egalități, respectiv, din stânga și din dreapta egalității x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Primim:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem de vectori de bază e (1) , e (2) , . . . , e(n) este liniar independent; prin definiția independenței liniare a unui sistem de vectori, egalitatea de mai sus este posibilă numai atunci când toți coeficienții sunt (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) va fi egal cu zero. Din care va fi corect: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . Și aceasta dovedește singura opțiune pentru descompunerea unui vector într-o bază.

În acest caz, coeficienții x 1, x 2, . . . , x n se numesc coordonatele vectorului x → în baza e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Teoria dovedită face clară expresia „ dat un vector n-dimensional x = (x 1 , x 2 , . . . , x n)”: se consideră un vector x → spațiu vectorial n-dimensional, iar coordonatele sale sunt specificate într-un anumită bază. De asemenea, este clar că același vector într-o altă bază a spațiului n-dimensional va avea coordonate diferite.

Luați în considerare următorul exemplu: să presupunem că într-o anumită bază a spațiului vectorial n-dimensional este dat un sistem de n vectori liniar independenți

și, de asemenea, este dat vectorul x = (x 1 , x 2 , . . . , x n).

Vectorii e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) în acest caz sunt, de asemenea, baza acestui spațiu vectorial.

Să presupunem că este necesar să se determine coordonatele vectorului x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , notat cu x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vector x → va fi reprezentat astfel:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Să scriem această expresie sub formă de coordonate:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2) 1 , e (2) 2 , . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . + x ~ n e 2 (n) , .

Egalitatea rezultată este echivalentă cu un sistem de n expresii algebrice liniare cu n variabile liniare necunoscute x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matricea acestui sistem va avea următoarea formă:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Fie aceasta o matrice A, iar coloanele sale sunt vectori ai unui sistem liniar independent de vectori e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rangul matricei este n, iar determinantul său este diferit de zero. Aceasta indică faptul că sistemul de ecuații are o soluție unică, determinată de orice metodă convenabilă: de exemplu, metoda Cramer sau metoda matricei. Astfel putem determina coordonatele x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vector x → în baza e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Să aplicăm teoria luată în considerare la un exemplu specific.

Exemplul 6

Date inițiale: vectorii sunt specificați pe baza spațiului tridimensional

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Este necesar să se confirme faptul că sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) servește și ca bază a unui spațiu dat și, de asemenea, să se determine coordonatele vectorului x în conformitate cu pe aceasta baza.

Soluţie

Sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) va sta la baza spațiului tridimensional dacă este liniar independent. Să aflăm această posibilitate determinând rangul matricei A, ale cărei rânduri sunt vectorii dați e (1), e (2), e (3).

Folosim metoda Gauss:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Astfel, sistemul de vectori e (1), e (2), e (3) este liniar independent și este o bază.

Fie vectorul x → să aibă coordonatele x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 în bază. Relația dintre aceste coordonate este determinată de ecuația:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Să aplicăm valorile în funcție de condițiile problemei:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Să rezolvăm sistemul de ecuații folosind metoda lui Cramer:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Astfel, vectorul x → în baza e (1), e (2), e (3) are coordonatele x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

Răspuns: x = (1, 1, 1)

Relația dintre baze

Să presupunem că într-o anumită bază a spațiului vectorial n-dimensional sunt date două sisteme de vectori liniar independente:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . . , e n (n))

Aceste sisteme sunt, de asemenea, bazele unui spațiu dat.

Fie c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - coordonatele vectorului c (1) în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) , atunci relația de coordonate va fi dată de un sistem de ecuații liniare:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistemul poate fi reprezentat ca o matrice după cum urmează:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să facem aceeași intrare pentru vectorul c (2) prin analogie:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Să combinăm egalitățile matriceale într-o singură expresie:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

Acesta va determina legătura dintre vectorii a două baze diferite.

Folosind același principiu, se pot exprima toți vectorii de bază e(1), e(2), . . . , e (3) prin baza c (1) , c (2) , . . . , c (n):

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Să dăm următoarele definiții:

Definiția 5

Matricea c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3)

la baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definiția 6

Matrice e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) este matricea de tranziție de la baza c (1) , c (2) , . . . , c(n)

la baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Din aceste egalităţi este evident că

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e ~ 2 ( 1 ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

acestea. matricele de tranziție sunt reciproce.

Să ne uităm la teorie folosind un exemplu specific.

Exemplul 7

Date inițiale: este necesar să se găsească matricea de tranziție de la bază

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

De asemenea, trebuie să indicați relația dintre coordonatele unui vector arbitrar x → în bazele date.

Soluţie

1. Fie T matricea de tranziție, atunci egalitatea va fi adevărată:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Înmulțiți ambele părți ale egalității cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si obtinem:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definiți matricea de tranziție:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Să definim relația dintre coordonatele vectorului x → :

Să presupunem că în baza c (1) , c (2) , . . . , c (n) vector x → are coordonatele x 1 , x 2 , x 3 , atunci:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

iar în baza e (1) , e (2) , . . . , e (3) are coordonatele x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, atunci:

x = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Deoarece Dacă părțile din stânga acestor egalități sunt egale, putem echivala și părțile din dreapta:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Înmulțiți ambele părți din dreapta cu

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

si obtinem:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Pe cealaltă parte

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Ultimele egalități arată relația dintre coordonatele vectorului x → în ambele baze.

Răspuns: matricea de tranziție

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Coordonatele vectorului x → în bazele date sunt legate prin relația:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

O combinație liniară de vectori este un vector
, unde λ 1, ..., λ m sunt coeficienți arbitrari.

Sistem vectorial
se numește dependent liniar dacă există o combinație liniară a acesteia egală cu , care are cel puțin un coeficient diferit de zero.

Sistem vectorial
se numește liniar independent dacă în oricare dintre combinațiile sale liniare egal cu , toți coeficienții sunt zero.

Baza sistemului vectorial
este numit subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 2. Găsiți baza unui sistem de vectori = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) și exprimă vectorii rămași prin bază.

Rezolvare: Construim o matrice în care coordonatele acestor vectori sunt aranjate în coloane. Îl aducem într-o formă treptat.

~
~
~
.

Baza acestui sistem este formată din vectori ,,, care corespund elementelor conducătoare ale liniilor, evidențiate în cercuri. Pentru a exprima un vector rezolvați ecuația x 1 +x 2 + x 4 =. Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice este obținută din permutarea inițială a coloanei corespunzătoare , în locul coloanei de membri liberi. Prin urmare, pentru a rezolva sistemul, folosim matricea rezultată în formă treptă, făcând rearanjamentele necesare în ea.

Găsim în mod constant:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Observație 1. Dacă este necesar să se exprimă mai mulți vectori prin bază, atunci pentru fiecare dintre ei se construiește un sistem corespunzător de ecuații liniare. Aceste sisteme vor diferi doar în coloanele de membri liberi. Prin urmare, pentru a le rezolva, puteți crea o matrice, care va avea mai multe coloane de termeni liberi. Mai mult, fiecare sistem este rezolvat independent de celelalte.

Observația 2. Pentru a exprima orice vector, este suficient să folosiți doar vectorii de bază ai sistemului care îl precedă. În acest caz, nu este nevoie să reformatați matricea, este suficient să puneți o linie verticală la locul potrivit.

Exercițiul 2. Aflați baza sistemului de vectori și exprimați vectorii rămași prin baza:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Sistem fundamental de soluții

Un sistem de ecuații liniare se numește omogen dacă toți termenii săi liberi sunt egali cu zero.

Sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen de ecuații liniare stă la baza mulțimii soluțiilor sale.

Să ni se dea un sistem neomogen de ecuații liniare. Un sistem omogen asociat unuia dat este un sistem obținut dintr-unul dat prin înlocuirea tuturor termenilor liberi cu zerouri.

Dacă sistemul neomogen este consistent și nedefinit, atunci soluția sa arbitrară are forma f n +  1 f o1 + ... +  k f o k , unde f n este o soluție particulară a sistemului neomogen și f o1 , ... , f o k este soluţiile de sistem fundamentale ale sistemului omogen asociat.

Exemplul 3. Găsiți o anumită soluție pentru sistemul neomogen din Exemplul 1 și sistemul fundamental de soluții pentru sistemul omogen asociat.

Rezolvare Sa scriem solutia obtinuta in exemplul 1 in forma vectoriala si descompunem vectorul rezultat intr-o suma peste parametrii liberi prezenti in el si valori numerice fixe:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0) ).

Se obține f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Cometariu. Problema găsirii unui sistem fundamental de soluții la un sistem omogen este rezolvată în mod similar.

Exercițiul 3.1 Aflați sistemul fundamental de soluții al unui sistem omogen:

A)

b)

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

Exercițiul 3.2. Găsiți o anumită soluție pentru sistemul neomogen și un sistem fundamental de soluții pentru sistemul omogen asociat:

A)

b)

Dependență liniarăȘi independență liniară vectori.
Baza vectorilor. Sistem de coordonate afin

În sală există un cărucior cu bomboane de ciocolată, iar fiecare vizitator de astăzi va primi un cuplu dulce - geometrie analitică cu algebră liniară. Acest articol va atinge simultan două secțiuni ale matematicii superioare și vom vedea cum ele coexistă într-un singur pachet. Ia o pauză, mănâncă un Twix! ... la naiba, ce grămadă de prostii. Deși, bine, nu voi înscrie, în cele din urmă, ar trebui să ai o atitudine pozitivă față de studiu.

Dependența liniară a vectorilor, independența vectorului liniar, baza vectoriala iar alți termeni au nu doar o interpretare geometrică, ci, mai presus de toate, un sens algebric. Însuși conceptul de „vector” din punctul de vedere al algebrei liniare nu este întotdeauna vectorul „obișnuit” pe care îl putem reprezenta într-un plan sau în spațiu. Nu trebuie să cauți departe pentru dovezi, încearcă să desenezi un vector de spațiu cu cinci dimensiuni . Sau vectorul vremii, pentru care tocmai am fost la Gismeteo: temperatura și respectiv presiunea atmosferică. Exemplul, desigur, este incorect din punctul de vedere al proprietăților spațiului vectorial, dar, cu toate acestea, nimeni nu interzice formalizarea acestor parametri ca vector. Respirația de toamnă...

Nu, nu am de gând să vă plictisesc cu teorie, spații vectoriale liniare, sarcina este să a intelege definiții și teoreme. Termenii noi (dependență liniară, independență, combinație liniară, bază etc.) se aplică tuturor vectorilor din punct de vedere algebric, dar se vor da exemple geometrice. Astfel, totul este simplu, accesibil și clar. Pe lângă problemele de geometrie analitică, vom lua în considerare și câteva probleme tipice de algebră. Pentru a stăpâni materialul, este indicat să vă familiarizați cu lecțiile Vectori pentru manechineȘi Cum se calculează determinantul?

Dependența liniară și independența vectorilor plani.
Baza plană și sistemul de coordonate afine

Să luăm în considerare planul biroului computerului dvs. (doar o masă, noptieră, podea, tavan, orice doriți). Sarcina va consta din următoarele acțiuni:

1) Selectați baza avionului. În linii mari, un blat de masă are o lungime și o lățime, așa că este intuitiv că vor fi necesari doi vectori pentru a construi baza. Un vector nu este în mod clar suficient, trei vectori sunt prea mult.

2) Bazat pe baza selectată setați sistemul de coordonate(grilă de coordonate) pentru a atribui coordonate tuturor obiectelor de pe tabel.

Nu fi surprins, la început explicațiile vor fi pe degete. Mai mult, pe a ta. Vă rugăm să plasați degetul arătător stâng pe marginea mesei astfel încât să se uite la monitor. Acesta va fi un vector. Acum loc degetul mic drept pe marginea mesei în același mod - astfel încât să fie îndreptat către ecranul monitorului. Acesta va fi un vector. Zâmbește, arăți grozav! Ce putem spune despre vectori? Vectori de date coliniare, care înseamnă liniar exprimate unul prin altul:
, bine, sau invers: , unde este un număr diferit de zero.

Puteți vedea o imagine a acestei acțiuni în clasă. Vectori pentru manechine, unde am explicat regula pentru înmulțirea unui vector cu un număr.

Vor stabili degetele tale baza pe planul biroului computerului? Evident nu. Vectorii coliniari călătoresc înainte și înapoi singur direcție, iar un plan are lungime și lățime.

Astfel de vectori se numesc dependent liniar.

Referinţă: Cuvintele „liniar”, „liniar” denotă faptul că în ecuațiile și expresiile matematice nu există pătrate, cuburi, alte puteri, logaritmi, sinusuri etc. Există doar expresii și dependențe liniare (gradul I).

Doi vectori plani dependent liniar dacă și numai dacă sunt coliniare.

Încrucișează-ți degetele pe masă, astfel încât să existe orice unghi între ele, altul decât 0 sau 180 de grade. Doi vectori planiliniar Nu dependente dacă și numai dacă nu sunt coliniare. Deci, baza este obținută. Nu trebuie să vă simțiți jenat că baza s-a dovedit a fi „deformată” cu vectori neperpendiculari de diferite lungimi. Foarte curând vom vedea că nu numai un unghi de 90 de grade este potrivit pentru construcția sa, și nu numai vectori unitari de lungime egală

Orice vector plan singura cale este extins în funcție de baza:
, unde sunt numerele reale. Numerele sunt numite coordonate vectorialeîn această bază.

Se mai spune că vectorprezentat ca combinație liniară vectori de bază. Adică expresia se numește descompunere vectorialăpe bază sau combinație liniară vectori de bază.

De exemplu, putem spune că vectorul este descompus de-a lungul unei baze ortonormale a planului, sau putem spune că este reprezentat ca o combinație liniară de vectori.

Să formulăm definirea bazei oficial: Baza avionului se numește pereche de vectori liniar independenți (necoliniari), , în care orice un vector plan este o combinație liniară de vectori de bază.

Un punct esențial al definiției este faptul că vectorii sunt luați într-o anumită ordine. Bazele – acestea sunt două baze complet diferite! După cum se spune, nu puteți înlocui degetul mic de la mâna stângă în locul degetului mic de la mâna dreaptă.

Am descoperit baza, dar nu este suficient să setați o grilă de coordonate și să atribuiți coordonate fiecărui element de pe biroul computerului. De ce nu este suficient? Vectorii sunt liberi și rătăcesc pe tot planul. Deci, cum atribui coordonatele acelor mici locuri murdare de pe masă rămase dintr-un weekend sălbatic? Este nevoie de un punct de plecare. Și un astfel de reper este un punct familiar tuturor - originea coordonatelor. Să înțelegem sistemul de coordonate:

Voi începe cu sistemul „școlar”. Deja în lecția introductivă Vectori pentru manechine Am evidențiat câteva diferențe între sistemul de coordonate dreptunghiular și baza ortonormală. Iată imaginea standard:

Când vorbesc despre sistem de coordonate dreptunghiular, atunci cel mai adesea înseamnă originea, axele de coordonate și scala de-a lungul axelor. Încercați să introduceți „sistem de coordonate dreptunghiulare” într-un motor de căutare și veți vedea că multe surse vă vor spune despre axele de coordonate familiare din clasa a 5-a-6-a și cum să reprezentați punctele pe un plan.

Pe de altă parte, se pare că sistem dreptunghiular coordonatele pot fi determinate complet pe o bază ortonormală. Și asta este aproape adevărat. Formularea este următoarea:

origine, Și ortonormal baza este pusă Sistemul de coordonate plan cartezian dreptunghiular . Adică sistemul de coordonate dreptunghiular categoric este definită de un singur punct și doi vectori ortogonali unitari. De aceea vezi desenul pe care l-am dat mai sus - în problemele geometrice, atât vectorii, cât și axele de coordonate sunt adesea (dar nu întotdeauna) desenate.

Cred că toată lumea înțelege că folosind un punct (origine) și o bază ortonormală ORICE PUNCT din avion și ORICE VECTOR din avion pot fi atribuite coordonate. Figurat vorbind, „totul dintr-un avion poate fi numerotat”.

Sunt ei obligați vectori de coordonate fi izolat? Nu, pot avea o lungime arbitrară diferită de zero. Luați în considerare punctul și doi vector ortogonal lungime arbitrară diferită de zero:

O astfel de bază se numește ortogonală. Originea coordonatelor cu vectori este definită de o grilă de coordonate, iar orice punct din plan, orice vector își are coordonatele într-o bază dată. De exemplu, sau. Inconvenientul evident este că vectorii de coordonate în general au lungimi diferite, altele decât unitate. Dacă lungimile sunt egale cu unitatea, atunci se obține baza ortonormală obișnuită.

! Notă : în baza ortogonală, precum și mai jos în bazele afine ale planului și spațiului, se consideră unități de-a lungul axelor CONDIŢIONAL. De exemplu, o unitate de-a lungul axei x conține 4 cm, o unitate de-a lungul axei ordonatelor conține 2 cm. Această informație este suficientă pentru a converti coordonatele „non-standard” în „centimetrii noștri obișnuiți”.

Și a doua întrebare, la care de fapt a primit deja răspuns, este dacă unghiul dintre vectorii de bază trebuie să fie egal cu 90 de grade? Nu! După cum afirmă definiția, vectorii de bază trebuie să fie numai necoliniare. În consecință, unghiul poate fi orice, cu excepția 0 și 180 de grade.

Un punct din avion numit origine, Și necoliniare vectori, , a stabilit sistem de coordonate plan afin :

Uneori este numit un astfel de sistem de coordonate oblic sistem. Ca exemple, desenul prezintă puncte și vectori:

După cum înțelegeți, sistemul de coordonate afine este și mai puțin convenabil formulele pentru lungimile vectorilor și segmentelor, despre care am discutat în a doua parte a lecției, nu funcționează în el; Vectori pentru manechine, multe formule delicioase legate de produsul scalar al vectorilor. Dar sunt valabile regulile de adunare a vectorilor și înmulțirea unui vector cu un număr, formulele de împărțire a unui segment în această relație, precum și alte tipuri de probleme pe care le vom lua în considerare în curând.

Iar concluzia este că cel mai convenabil caz special sistem afin coordonate este un sistem dreptunghiular cartezian. De aceea, cel mai adesea trebuie să o vezi, draga mea. ...Totuși, totul în această viață este relativ - există multe situații în care un unghi oblic (sau altul, de exemplu, polar) sistem de coordonate. Și umanoizilor le-ar putea plăcea astfel de sisteme =)

Să trecem la partea practică. Toate problemele din această lecție sunt valabile atât pentru sistemul de coordonate dreptunghiulare, cât și pentru cazul afin general. Nu este nimic complicat aici, tot materialul este accesibil chiar și unui școlar.

Cum se determină coliniaritatea vectorilor plani?

Lucru tipic. Pentru doi vectori plani au fost coliniare, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționaleÎn esență, aceasta este o detaliere coordonată cu coordonată a relației evidente.

Exemplul 1

a) Verificați dacă vectorii sunt coliniari .
b) Vectorii formează o bază? ?

Soluţie:
a) Să aflăm dacă există pentru vectori coeficient de proporționalitate, astfel încât egalitățile să fie îndeplinite:

Cu siguranță vă voi spune despre versiunea „foppish” a aplicării acestei reguli, care funcționează destul de bine în practică. Ideea este să inventezi imediat proporția și să vezi dacă este corectă:

Să facem o proporție din rapoartele coordonatelor corespunzătoare ale vectorilor:

Să scurtăm:
, astfel coordonatele corespunzătoare sunt proporționale, prin urmare,

Relația ar putea fi făcută invers, aceasta este o opțiune echivalentă:

Pentru autotest, puteți folosi faptul că vectorii coliniari sunt exprimați liniar unul prin celălalt. În acest caz, au loc egalitățile . Corectitudinea lor este ușor de verificat actiuni de baza cu vectori:

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Examinăm vectorii pentru coliniaritate . Să creăm un sistem:

Din prima ecuație rezultă că , din a doua ecuație rezultă că , ceea ce înseamnă sistemul este inconsecvent(fara solutii). Astfel, coordonatele corespunzătoare ale vectorilor nu sunt proporționale.

Concluzie: vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

O versiune simplificată a soluției arată astfel:

Să facem o proporție din coordonatele corespunzătoare ale vectorilor :
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt independenți liniar și formează o bază.

De obicei, această opțiune nu este respinsă de recenzori, dar apare o problemă în cazurile în care unele coordonate sunt egale cu zero. Ca aceasta: . Sau cam asa: . Sau cam asa: . Cum să lucrezi prin proporție aici? (într-adevăr, nu poți împărți la zero). Din acest motiv am numit soluția simplificată „foppish”.

Răspuns: a), b) formă.

Mic exemplu creativ Pentru decizie independentă:

Exemplul 2

La ce valoare a parametrului sunt vectorii vor fi coliniari?

În soluția de probă, parametrul se găsește prin proporție.

Există o modalitate algebrică elegantă de a verifica coliniaritatea vectorilor. Să ne sistematizăm cunoștințele și să le adăugăm ca al cincilea punct:

Pentru doi vectori plani următoarele afirmații sunt echivalente:

2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coliniari;

+ 5) determinantul compus din coordonatele acestor vectori este diferit de zero.

Respectiv, următoarele afirmații opuse sunt echivalente:
1) vectorii sunt dependenți liniar;
2) vectorii nu formează o bază;
3) vectorii sunt coliniari;
4) vectorii pot fi exprimați liniar unul prin altul;
+ 5) determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero.

Sper cu adevărat că până acum înțelegeți deja toți termenii și afirmațiile pe care le-ați întâlnit.

Să aruncăm o privire mai atentă la noul, al cincilea punct: doi vectori plani sunt coliniare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero:. Pentru a aplica această caracteristică, desigur, trebuie să fiți capabil găsiți determinanți.

Să decidem Exemplul 1 în al doilea mod:

a) Să calculăm determinantul format din coordonatele vectorilor :
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt coliniari.

b) Doi vectori plani formează o bază dacă nu sunt coliniari (liniar independenți). Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale :
, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar și formează o bază.

Răspuns: a), b) formă.

Pare mult mai compact și mai frumos decât o soluție cu proporții.

Cu ajutorul materialului luat în considerare, se poate stabili nu numai coliniaritatea vectorilor, ci și demonstrarea paralelismului segmentelor și liniilor drepte. Să luăm în considerare câteva probleme cu forme geometrice specifice.

Exemplul 3

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că un patrulater este un paralelogram.

Dovada: Nu este nevoie să creați un desen în problemă, deoarece soluția va fi pur analitică. Să ne amintim definiția paralelogramului:
Paralelogram Un patrulater ale cărui laturi opuse sunt paralele în perechi se numește.

Astfel, este necesar să se dovedească:
1) paralelismul laturilor opuse și;
2) paralelismul laturilor opuse și.

Demonstrăm:

1) Găsiți vectorii:

2) Găsiți vectorii:

Rezultatul este același vector („după școală” – vectori egali). Coliniaritatea este destul de evidentă, dar este mai bine să formalizezi decizia clar, cu aranjament. Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale:
, ceea ce înseamnă că acești vectori sunt coliniari și .

Concluzie: Laturile opuse ale unui patrulater sunt paralele în perechi, ceea ce înseamnă că este un paralelogram prin definiție. Q.E.D.

Cifre mai bune și diferite:

Exemplul 4

Sunt date vârfurile unui patrulater. Demonstrați că un patrulater este un trapez.

Pentru o formulare mai riguroasă a dovezii, este mai bine, desigur, să obțineți definiția unui trapez, dar este suficient să vă amintiți pur și simplu cum arată.

Aceasta este o sarcină pe care o puteți rezolva singur. Soluție completă la sfârșitul lecției.

Și acum este timpul să trecem încet din avion în spațiu:

Cum se determină coliniaritatea vectorilor spațiali?

Regula este foarte asemănătoare. Pentru ca doi vectori spațiali să fie coliniari, este necesar și suficient ca coordonatele lor corespunzătoare să fie proporționale.

Exemplul 5

Aflați dacă următorii vectori spațiali sunt coliniari:

A) ;
b)
V)

Soluţie:
a) Să verificăm dacă există un coeficient de proporționalitate pentru coordonatele corespunzătoare ale vectorilor:

Sistemul nu are soluție, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

„Simplificat” se formalizează prin verificarea proporției. În acest caz:
– coordonatele corespunzătoare nu sunt proporționale, ceea ce înseamnă că vectorii nu sunt coliniari.

Răspuns: vectorii nu sunt coliniari.

b-c) Acestea sunt puncte pentru o decizie independentă. Încercați-l în două moduri.

Există o metodă pentru verificarea coliniarității vectorilor spațiali printr-un determinant de ordinul trei, aceasta metoda tratate în articol Produs vectorial al vectorilor.

Similar cazului plan, instrumentele luate în considerare pot fi folosite pentru a studia paralelismul segmentelor spațiale și al liniilor drepte.

Bun venit la a doua secțiune:

Dependența liniară și independența vectorilor în spațiul tridimensional.
Baza spațială și sistemul de coordonate afine

Multe dintre modelele pe care le-am examinat în avion vor fi valabile pentru spațiu. Am încercat să minimizez notele de teorie, deoarece partea leului din informații a fost deja mestecată. Cu toate acestea, vă recomand să citiți cu atenție partea introductivă, deoarece vor apărea termeni și concepte noi.

Acum, în loc de planul biroului computerului, explorăm spațiul tridimensional. În primul rând, să-i creăm baza. Cineva este acum în interior, cineva este în aer liber, dar, în orice caz, nu putem scăpa de trei dimensiuni: lățime, lungime și înălțime. Prin urmare, pentru a construi o bază, vor fi necesari trei vectori spațiali. Unul sau doi vectori nu sunt de ajuns, al patrulea este de prisos.

Și din nou ne încălzim pe degete. Vă rugăm să ridicați mâna și să o întindeți în direcții diferite degetul mare, arătător și mijlociu. Aceștia vor fi vectori, arată în direcții diferite, au lungimi diferite și au unghiuri diferite între ei. Felicitări, baza spațiului tridimensional este gata! Apropo, nu este nevoie să le demonstrați profesorilor acest lucru, indiferent cum vă răsuciți degetele, dar nu există nicio scăpare de la definiții =)

În continuare, să ne punem o întrebare importantă: oricare trei vectori formează o bază a spațiului tridimensional? Vă rugăm să apăsați ferm trei degete pe partea de sus a biroului computerului. Ce s-a întâmplat? Trei vectori sunt localizați în același plan și, aproximativ vorbind, am pierdut una dintre dimensiuni - înălțimea. Astfel de vectori sunt coplanareși, este destul de evident că baza spațiului tridimensional nu este creată.

Trebuie remarcat faptul că vectorii coplanari nu trebuie să se afle în același plan, ei pot fi în planuri paralele (doar nu face asta cu degetele, doar Salvador Dali a făcut asta =)).

Definiție: se numesc vectorii coplanare, dacă există un plan cu care sunt paralele. Este logic să adăugăm aici că dacă un astfel de plan nu există, atunci vectorii nu vor fi coplanari.

Trei vectori coplanari sunt întotdeauna dependenți liniar, adică sunt exprimate liniar unul prin celălalt. Pentru simplitate, să ne imaginăm din nou că se află în același plan. În primul rând, vectorii nu sunt doar coplanari, ci pot fi și coliniari, apoi orice vector poate fi exprimat prin orice vector. În al doilea caz, dacă, de exemplu, vectorii nu sunt coliniari, atunci al treilea vector este exprimat prin ei într-un mod unic: (și de ce este ușor de ghicit din materialele din secțiunea anterioară).

Este adevărat și invers: trei vectori necoplanari sunt întotdeauna liniar independenți, adică nu se exprimă în niciun fel unul prin altul. Și, evident, doar astfel de vectori pot sta la baza spațiului tridimensional.

Definiție: Baza spațiului tridimensional se numește un triplu de vectori liniar independenți (necoplanari), luate într-o anumită ordine, și orice vector de spațiu singura cale este descompusă pe o bază dată, unde sunt coordonatele vectorului din această bază

Permiteți-mi să vă reamintesc că putem spune și că vectorul este reprezentat sub formă combinație liniară vectori de bază.

Conceptul de sistem de coordonate este introdus exact în același mod ca în cazul unui punct și oricare trei vectori liniar independenți sunt suficiente:

origine, Și necoplanare vectori, luate într-o anumită ordine, a stabilit sistem de coordonate afine al spațiului tridimensional :

Desigur, grila de coordonate este „oblică” și incomodă, dar, cu toate acestea, sistemul de coordonate construit ne permite categoric determinați coordonatele oricărui vector și coordonatele oricărui punct din spațiu. Similar unui plan, unele formule pe care le-am menționat deja nu vor funcționa în sistemul de coordonate afine al spațiului.

Cel mai familiar și convenabil caz special al unui sistem de coordonate afine, așa cum toată lumea presupune, este sistem de coordonate spațiale dreptunghiulare:

Un punct din spațiu numit origine, Și ortonormal baza este pusă Sistemul de coordonate spațiu dreptunghiular cartezian . Poza cunoscută:

Înainte de a trece la sarcinile practice, să sistematizăm din nou informațiile:

Pentru trei vectori spațiali următoarele afirmații sunt echivalente:
1) vectorii sunt liniar independenți;
2) vectorii formează o bază;
3) vectorii nu sunt coplanari;
4) vectorii nu pot fi exprimați liniar unul prin altul;
5) determinantul, compus din coordonatele acestor vectori, este diferit de zero.

Cred că afirmațiile opuse sunt de înțeles.

Dependența/independența liniară a vectorilor spațiali este în mod tradițional verificată folosind un determinant (punctul 5). Sarcinile practice rămase vor fi de natură algebrică pronunțată. Este timpul să închideți bastonul de geometrie și să mânuiți bâta de baseball de algebră liniară:

Trei vectori ai spațiului sunt coplanare dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele vectorilor dați este egal cu zero: .

Aș dori să vă atrag atenția asupra unei mici nuanțe tehnice: coordonatele vectorilor pot fi scrise nu numai în coloane, ci și în rânduri (valoarea determinantului nu se va schimba din acest motiv - vedeți proprietățile determinanților). Dar este mult mai bine în coloane, deoarece este mai benefic pentru rezolvarea unor probleme practice.

Pentru acei cititori care au uitat puțin metodele de calculare a determinanților, sau poate nu le înțeleg deloc, recomand una dintre cele mai vechi lecții ale mele: Cum se calculează determinantul?

Exemplul 6

Verificați dacă următorii vectori formează baza spațiului tridimensional:

Soluţie: De fapt, întreaga soluție se rezumă la calcularea determinantului.

a) Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale (determinantul este dezvăluit în prima linie):

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar (nu coplanari) și formează baza spațiului tridimensional.

Răspuns: acești vectori formează o bază

b) Acesta este un punct de decizie independentă. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Există și sarcini creative:

Exemplul 7

La ce valoare a parametrului vor fi vectorii coplanari?

Soluţie: Vectorii sunt coplanari dacă și numai dacă determinantul compus din coordonatele acestor vectori este egal cu zero:

În esență, trebuie să rezolvați o ecuație cu un determinant. Ne aruncăm pe zerouri ca zmeele pe jerboas - cel mai bine este să deschidem determinantul în a doua linie și să scăpăm imediat de minusuri:

Efectuăm simplificări suplimentare și reducem problema la cea mai simplă ecuație liniară:

Răspuns: la

Este ușor să verificați aici, pentru a face acest lucru, trebuie să înlocuiți valoarea rezultată în determinantul original și să vă asigurați că , deschizând-o din nou.

În concluzie, vom lua în considerare o altă problemă tipică, care este de natură mai algebrică și este inclusă în mod tradițional într-un curs de algebră liniară. Este atât de comun încât merită propriul subiect:

Demonstrați că 3 vectori formează baza spațiului tridimensional
și găsiți coordonatele celui de-al 4-lea vector în această bază

Exemplul 8

Se dau vectori. Arătați că vectorii formează o bază în spațiul tridimensional și găsiți coordonatele vectorului în această bază.

Soluţie: În primul rând, să ne ocupăm de condiție. După condiție, sunt dați patru vectori și, după cum puteți vedea, ei au deja coordonate într-o anumită bază. Care este această bază nu ne interesează. Și următorul lucru este de interes: trei vectori pot forma o nouă bază. Și prima etapă coincide complet cu soluția din Exemplul 6, este necesar să se verifice dacă vectorii sunt cu adevărat independenți liniar:

Să calculăm determinantul format din coordonate vectoriale:

, ceea ce înseamnă că vectorii sunt independenți liniar și formează baza spațiului tridimensional.

! Important : coordonate vectoriale Neapărat scrie în coloane determinant, nu în șiruri. În caz contrar, va exista confuzie în algoritmul de soluție ulterioară.

Definiţia basis. Un sistem de vectori formează o bază dacă:

1) este liniar independent,

2) orice vector de spațiu poate fi exprimat liniar prin el.

Exemplul 1. Baza spatiala: .

2. În sistemul vectorial baza sunt vectorii: , deoarece exprimată liniar în termeni de vectori.

Cometariu. Pentru a găsi baza unui sistem dat de vectori trebuie să:

1) scrieți coordonatele vectorilor în matrice,

2) folosind transformări elementare, aduceți matricea într-o formă triunghiulară,

3) rândurile diferite de zero ale matricei vor fi baza sistemului,

4) numărul de vectori din bază este egal cu rangul matricei.

Teorema Kronecker-Capelli

Teorema Kronecker-Capelli oferă un răspuns cuprinzător la întrebarea privind compatibilitatea unui sistem arbitrar de ecuații liniare cu necunoscute

Teorema Kronecker–Capelli. Un sistem de ecuații algebrice liniare este consistent dacă și numai dacă rangul matricei extinse a sistemului este egal cu rangul matricei principale, .

Algoritm pentru găsirea tuturor soluțiilor sistem articular ecuațiile liniare decurg din teorema Kronecker–Capelli și din următoarele teoreme.

Teorema. Dacă rangul sistemului comun egală cu numărul necunoscute, atunci sistemul are o soluție unică.

Teorema. Dacă rangul unui sistem consistent este mai mic decât numărul de necunoscute, atunci sistemul are un număr infinit de soluții.

Algoritm pentru rezolvarea unui sistem arbitrar de ecuații liniare:

1. Găsiți rangurile matricelor principale și extinse ale sistemului. Dacă nu sunt egale (), atunci sistemul este inconsecvent (nu are soluții). Dacă rangurile sunt egale ( , atunci sistemul este consistent.

2. Pentru un sistem comun, găsim unele minore, a căror ordine determină rangul matricei (un astfel de minor se numește de bază). Hai să compunem sistem nou Dintre ecuațiile în care coeficienții necunoscutelor sunt incluși în minorul de bază (aceste necunoscute se numesc necunoscute principale), renunțăm la ecuațiile rămase. Vom lăsa principalele necunoscute cu coeficienți în stânga și vom muta necunoscutele rămase (se numesc necunoscute libere) în partea dreaptă a ecuațiilor.

3. Să găsim expresii pentru principalele necunoscute în ceea ce privește cele libere. Obținem soluția generală a sistemului.

4. Dând valori arbitrare necunoscutelor libere, obținem valorile corespunzătoare ale principalelor necunoscute. În acest fel găsim soluții parțiale ale sistemului original de ecuații.

Programare liniară. Noțiuni de bază

Programare liniară este o ramură a programării matematice care studiază metode de rezolvare a problemelor extreme care se caracterizează printr-o relație liniară între variabile și un criteriu liniar.

O condiție necesară pentru a pune o problemă de programare liniară sunt restricțiile privind disponibilitatea resurselor, cantitatea cererii, capacitatea de producție a întreprinderii și alți factori de producție.

Esența programării liniare este de a găsi punctele celei mai mari sau mai mici valori ale unei anumite funcții sub un anumit set de restricții impuse argumentelor și generatoarelor. sistem de restricții , care, de regulă, are un număr infinit de soluții. Fiecare set de valori variabile (argumente ale funcției F ) care satisfac sistemul de constrângeri se numește plan valabil probleme de programare liniară. Funcţie F , al cărui maxim sau minim este determinat se numește funcția țintă sarcini. Un plan fezabil la care se atinge maximul sau minimul unei funcții F , numit plan optim sarcini.

Sistemul de restricții care definește multe planuri este dictat de condițiile de producție. problema de programare liniara ( ZLP ) este alegerea celui mai profitabil (optim) dintr-un set de planuri fezabile.

În formularea sa generală, problema de programare liniară arată astfel:

Există variabile? x = (x 1, x 2, ... x n) și funcția acestor variabile f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , Care e numit ţintă funcții. Sarcina este stabilită: să găsească extremul (maxim sau minim) al funcției obiectiv f(x) cu condiţia ca variabilele X aparțin unei anumite zone G :

În funcție de tipul funcției f(x) si regiuni G și distingeți între secțiuni ale programării matematice: programare pătratică, programare convexă, programare cu numere întregi etc. Programarea liniară se caracterizează prin faptul că
o functie f(x) este funcție liniară variabile x 1, x 2, … x n
b) regiune G determinat de sistem liniar egalități sau inegalități.

În geometrie, un vector este înțeles ca un segment direcționat, cu vectori obținuți unul de la altul transfer paralel, sunt considerate egale. Toți vectorii egali sunt tratați ca același vector. Originea vectorului poate fi plasată în orice punct din spațiu sau plan.

Dacă coordonatele capetelor vectorului sunt date în spațiu: A(X 1 , y 1 , z 1), B(X 2 , y 2 , z 2), atunci

= (X 2 – X 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

O formulă similară este valabilă în avion. Aceasta înseamnă că vectorul poate fi scris ca o linie de coordonate. Operațiile pe vectori, cum ar fi adunarea și înmulțirea cu un număr, pe șiruri sunt efectuate pe componente. Acest lucru face posibilă extinderea conceptului de vector, înțelegând un vector ca orice șir de numere. De exemplu, rezolvarea unui sistem de ecuații liniare, precum și a oricărui set de valori variabile de sistem, poate fi considerat ca un vector.

Pe șiruri de aceeași lungime, operația de adunare se realizează conform regulii

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Înmulțirea unui șir cu un număr urmează regula

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Un set de vectori rând de o lungime dată n cu operaţiile indicate de adunare a vectorilor şi înmulţire cu un număr formează o structură algebrică numită spațiu liniar n-dimensional.

O combinație liniară de vectori este un vector , unde λ 1 , ... , λ m– coeficienți arbitrari.

Un sistem de vectori se numește dependent liniar dacă există o combinație liniară a acestuia egală cu , în care există cel puțin un coeficient diferit de zero.

Un sistem de vectori se numește liniar independent dacă în orice combinație liniară egală cu , toți coeficienții sunt zero.

Astfel, rezolvarea problemei dependenței liniare a unui sistem de vectori se reduce la rezolvarea ecuației

X 1 + X 2 + … + x m = . (4)

Dacă această ecuație are soluții diferite de zero, atunci sistemul de vectori este dependent liniar. Dacă soluția zero este unică, atunci sistemul de vectori este liniar independent.

Pentru a rezolva sistemul (4), pentru claritate, vectorii pot fi scriși nu ca rânduri, ci ca coloane.

Apoi, după ce au efectuat transformări în partea stângă, ajungem la un sistem de ecuații liniare echivalent cu ecuația (4). Matricea principală a acestui sistem este formată din coordonatele vectorilor originali aranjați în coloane. O coloană de termeni liberi nu este necesară aici, deoarece sistemul este omogen.

Bază sistemul de vectori (finit sau infinit, în special, întregul spațiu liniar) este subsistemul său nevid liniar independent, prin care poate fi exprimat orice vector al sistemului.

Exemplul 1.5.2. Aflați baza sistemului de vectori = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) și exprimă vectorii rămași prin bază.

Soluţie. Construim o matrice în care coordonatele acestor vectori sunt aranjate în coloane. Aceasta este matricea sistemului X 1 + X 2 + X 3 + X 4 =. . Reducem matricea la forma treptat:

~ ~ ~

Baza acestui sistem de vectori o formează vectorii , , , cărora le corespund elementele conducătoare ale rândurilor, evidențiate în cercuri. Pentru a exprima vectorul, rezolvăm ecuația X 1 + X 2 + X 4 = . Se reduce la un sistem de ecuații liniare, a cărui matrice se obține din original prin rearanjarea coloanei corespunzătoare lui , în locul coloanei de termeni liberi. Prin urmare, la reducerea la o formă în trepte, pe matrice se vor face aceleași transformări ca mai sus. Aceasta înseamnă că puteți utiliza matricea rezultată într-o formă în pas, făcând rearanjamentele necesare ale coloanelor din ea: plasăm coloanele cu cercuri în stânga barei verticale, iar coloana corespunzătoare vectorului este plasată în dreapta a barului.

Găsim în mod constant:

X 4 = 0;

X 2 = 2;

X 1 + 4 = 3, X 1 = –1;

cometariu. Dacă este necesar să se exprimă mai mulți vectori prin bază, atunci pentru fiecare dintre ei se construiește un sistem corespunzător de ecuații liniare. Aceste sisteme vor diferi doar în coloanele de membri liberi. Mai mult, fiecare sistem este rezolvat independent de celelalte.

Exercițiul 1.4. Găsiți baza sistemului de vectori și exprimați vectorii rămași prin baza:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).

Într-un sistem dat de vectori, baza poate fi de obicei identificată căi diferite, dar toate bazele vor avea același număr de vectori. Numărul de vectori din baza unui spațiu liniar se numește dimensiunea spațiului. Pentru n-spaţiu liniar dimensional n– aceasta este dimensiunea spațiului, deoarece acest spațiu are o bază standard = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0), , ... , 1). Prin această bază orice vector = (a 1 , a 2 , … , a n) se exprimă după cum urmează:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .

Astfel, componentele din rândul vectorului = (a 1 , a 2 , … , a n) sunt coeficienții săi în expansiunea prin baza standard.

Linii drepte pe un plan

Sarcina geometriei analitice este aplicarea metodei coordonatelor la probleme geometrice. Astfel, problema este tradusă în formă algebrică și rezolvată cu ajutorul algebrei.