Ce este metoda Simpson? Cum se calculează integrala definită folosind formula lui Simpson? Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite folosind metoda parabolelor

Esența metodei lui Simpson este de a aproxima integrandul pe un segment printr-un polinom de interpolare de gradul doi p2(x), adică. aproximarea graficului unei funcții pe un segment printr-o parabolă. Trei puncte sunt folosite pentru a interpola integrandul.

Să considerăm o integrală arbitrară. Să folosim o schimbare de variabilă astfel încât limitele segmentului de integrare să devină [-1,1] în schimb. Pentru a face acest lucru, introduceți variabila z:

Să luăm în considerare problema interpolării integrandului folosind trei puncte nod echidistante z = -1, z = 0, z = +1 ca noduri (pasul este 1, lungimea segmentului de integrare este 2). Să notăm valorile corespunzătoare ale integrandului la nodurile de interpolare:

Sistemul de ecuații pentru aflarea coeficienților unui polinom care trece prin trei puncte (-1, f-1), (0, f0) și (1, f-+1) va lua forma:

Coeficienții pot fi obținuți cu ușurință:

Să calculăm acum valoarea integralei polinomului de interpolare:

Schimbând invers variabila, revenim la integrala inițială. Să luăm în considerare că:

corespunde

Obținem formula lui Simpson pentru un interval de integrare arbitrar:

Valoarea rezultată coincide cu zona trapez curbat, mărginită de axa x, drepte x = x0, x = x2 și o parabolă care trece prin puncte

Dacă este necesar, segmentul de integrare original poate fi împărțit în N segmente duble, fiecăruia dintre care se aplică formula Simpson. Etapa de interpolare va fi:

Pentru primul segment de integrare, nodurile de interpolare vor fi punctele a, a+h, a+2h, pentru al doilea a+2h, a+3h, a+4h, pentru al treilea a+4h, a+5h, a +6h etc. Valoarea aproximativă a integralei se obține prin însumarea N arii:

integrare metoda numerică simpson

Această sumă include termeni identici (pentru nodurile interne cu o valoare a indicelui par - 2i). Prin urmare, putem rearanja termenii din această sumă după cum urmează:

Ținând cont de ceea ce obținem:

Să estimăm acum eroarea de integrare folosind formula lui Simpson. Vom presupune că o funcție pe un interval are derivate continue. Să facem diferența:

Aplicând succesiv teorema valorii medii la această diferență și diferențiind R(h), obținem eroarea metodei Simpson:

Eroarea metodei scade proporțional cu lungimea pasului de integrare la a patra putere, adică. Când numărul de intervale este dublat, eroarea scade de 16 ori.

Avantaje și dezavantaje

Formulele Simpson și Newton-Cotes sunt un instrument bun pentru calcularea integralei definite de un număr suficient de ori pentru o funcție diferențiabilă continuu. Astfel, cu condiția ca derivata a patra să nu fie prea mare, metoda lui Simpson permite să se obțină o precizie destul de mare. În același timp, ordinea sa algebrică de precizie este 3, iar formula lui Simpson este exactă pentru polinoamele de grad nu mai mare de trei.

De asemenea, metodele Newton-Cotes și în special metoda Simpson vor fi cele mai eficiente în cazurile în care nu există informații a priori despre netezimea integrandului, i.e. când integrandul este dat într-un tabel.

Împărțim segmentul de integrare într-un număr par de segmente elementare de lungime egală prin puncte cu un pas
(
). Pe fiecare segment
Aproximăm integrandul printr-un polinom de gradul doi, care pe acest segment are forma
. observa asta i aici acceptă doar valori impare de la 1 la
. Astfel, funcția integrand este aproximată printr-un set de polinoame pătratice sau o spline de gradul doi.

Să calculăm o integrală arbitrară din partea dreaptă.

Cote ,Și poate fi găsită din condiția de interpolare, adică din ecuații

Rețineți că ideea este punctul de mijloc al segmentului
, prin urmare
. Să substituim această expresie în a doua ecuație de interpolare:

Să înmulțim această ecuație cu 4 și să o adăugăm la celelalte:

Ultima expresie coincide exact cu expresia dintre paranteze drepte din formula (5.1). Prin urmare,

Care înseamnă

Astfel, formula lui Simpson arată astfel:

Estimarea erorii formulelor de cuadratura.

Să estimăm eroarea atunci când folosim metoda dreptunghiului mediu în ipoteza că funcția
infinit diferentiabil.

Să extindem funcția integrand
într-o serie Taylor în vecinătatea unui punct ,
.

Ultimul rând conține doar puteri impare X. Apoi

Cu un pas mic h contribuția principală la eroare R va contribui la valoare
, numit termenul principal de eroare R.

Să aplicăm metoda dreptunghiurilor medii în funcție
pe segment
în trepte h. Apoi

Asa de,
, Unde
– valoare constantă. Eroare în egalitatea aproximativă
este o cantitate infinitezimală de ordin superior în comparație cu la
.

Gradul de pas h, la care restul este proporțional R, se numește ordinea de precizie a metodei de integrare. Metoda dreptunghiului mediu are o precizie de ordinul doi.

Să estimăm eroarea atunci când folosim metoda trapezoidală și în ipoteza că funcția
infinit diferentiabil.

Să extindem integrandul într-o serie Taylor în vecinătatea punctului (
).

Termenul de eroare principal R:

Aplicarea metodei dreptunghiului din stânga unei funcții
pe segment
în trepte h, primim

Deci, metoda trapezoidală are și precizie de ordinul doi.

În mod similar, se poate demonstra că metodele dreptunghi din stânga și dreapta au primul, iar metoda Simpson, al patrulea ordin de precizie.

Cursul 17.

„Regula lui Runge pentru evaluarea erorilor practice.

Conceptul de algoritmi adaptativi.

Cazuri speciale integrare numerică.

Metoda celulară. Calculul integralelor multiple."

Regula lui Runge pentru evaluarea erorilor practice.

Fie ca o metodă de integrare să aibă ordinea preciziei k, acesta este
, Unde - eroare, A– coeficient în funcție de metoda de integrare și de funcția integrand, h– pas de partiție. Apoi

iar când păși

Formula derivată se numește prima formulă a lui Runge. Are o mare importanță practică. Dacă trebuie să calculați integrala cu precizie  , atunci trebuie să calculăm valorile aproximative ale integralei, dublând numărul de segmente elementare până când obținem inegalitatea

Apoi, neglijând mărimile infinitezimale, putem presupune că

Dacă dorim să obținem o valoare mai precisă a integralei dorite, atunci pentru valoarea rafinată J putem accepta în schimb
Cantitate

Aceasta este a doua formulă a lui Runge. Din păcate, eroarea acestei valori rafinate rămâne incertă, dar este de obicei un ordin de mărime mai mare decât acuratețea metodei originale (când valoarea este J noi acceptam
).

De exemplu, luați în considerare metoda trapezului. După cum se arată mai sus, ordinea preciziei k din această metodă este egal cu 2.

Unde
. Conform celei de-a doua formule a lui Runge

Unde
este valoarea aproximativă a integralei găsite prin metoda Simpson cu un pas. Deoarece ordinea acestei metode este 4, în acest exemplu utilizarea celei de-a doua formule Runge a crescut ordinea preciziei cu 2.

Când se calculează o integrală definită, nu obținem întotdeauna o soluție exactă. Reprezentarea sub forma unei funcții elementare nu este întotdeauna posibilă. Formula Newton-Leibniz nu este potrivită pentru calcul, așa că trebuie utilizate metode de integrare numerică. Această metodă vă permite să obțineți date cu o precizie ridicată. Metoda lui Simpson este doar asta.

Pentru a face acest lucru, este necesar să oferiți o reprezentare grafică a derivării formulei. Următoarea este o înregistrare a estimării erorii absolute folosind metoda Simpson. În concluzie, vom compara trei metode: Simpson, dreptunghiuri, trapeze.

Metoda parabolelor – esență, formulă, evaluare, erori, ilustrații

Se dă o funcţie de forma y = f (x), care are continuitate pe intervalul [ a ; b ] , este necesar să se calculeze integrala definită ∫ a b f (x) d x

Este necesar să se împartă segmentul [a; b ] în n segmente de forma x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n cu lungimea 2 h = b - a n și punctele a = x 0< x 2 < x 4 < . . . < x 2 π - 2 < x 2 π = b . Тогда точки x 2 i - 1 , i = 1 , 2 , . . . , n считаются серединами отрезков x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n . Данный случай показывает, что определение узлов производится через x i = a + i · h , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Fiecare interval x 2 i - 2 ; x 2 i , i = 1 , 2 , . . . , n al integrandului este aproximat folosind o parabolă definită prin y = a i x 2 + b i x + c i care trece prin puncte cu coordonatele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i). De aceea metoda are acest nume.

Aceste acțiuni sunt efectuate pentru a lua integrala ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x ca valoare aproximativă ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x . Putem calcula folosind formula Newton-Leibniz. Aceasta este esența metodei parabolelor Luați în considerare figura de mai jos.

Ilustrare grafică a metodei parabolelor (Simpson)

Folosind linia roșie, este reprezentat graficul funcției y = f (x), iar linia albastră este o aproximare a graficului y = f (x) folosind parabole pătratice.

Pe baza proprietății a cincea a integralei definite, obținem ∫ a b f (x) d x = ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Pentru a obține formula folosind metoda parabolelor, este necesar să se calculeze:

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x

Fie x 2 i - 2 = 0 . Luați în considerare figura de mai jos.

Să descriem că prin puncte cu coordonatele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) poate trece printr-o parabolă pătratică de forma y = a i x 2 + b i x + c i . Cu alte cuvinte, este necesar să se demonstreze că coeficienții pot fi determinați doar într-un singur mod.

Avem că x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) sunt puncte ale parabolei, atunci fiecare dintre ecuațiile prezentate este valabilă. Înțelegem asta

a i (x 2 i - 2) 2 + b i x 2 i - 2 + c i = f (x 2 i - 2) a i (x 2 i - 1) 2 + b i x 2 i - 1 + c i = f ( x 2 i - ) 1) a i (x 2 i) 2 + b i x 2 i + c i = f (x 2 i)

Sistemul rezultat se rezolvă în raport cu a i, b i, c i, unde este necesar să se caute determinantul matricei conform lui Vandermonde. Înțelegem asta

(x 2 i - 2) 2 x 2 i - 2 1 x 2 i - 1) 2 x 2 i - 1 1 (x 2 i) 2 x 2 i 1 și este considerat diferit de zero și nu coincide cu punctele x 2 i - 2 , x 2 i - 1 , x 2 i . Acesta este un semn că ecuația are o singură soluție, apoi coeficienții selectați a i ; b i ; c i poate fi determinat doar într-un mod unic, apoi prin punctele x 2 i - 2 ; f (x2i-2), x2i-1; x 2 i - 1 , x 2 i ; f (x 2 i) poate trece doar o parabolă.

Putem trece la găsirea integralei ∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x.

Este clar că

f (x 2 i - 2) = f (0) = a i 0 2 + b i 0 + c i = c i f (x 2 i - 1) = f (h) = a i h 2 + b i h + c i f ( x 2 i) = f (0) = 4 a i h 2 + 2 b i h + c i

Pentru a efectua ultima tranziție, este necesar să folosiți o inegalitate a formei

∫ x 2 i - 2 x 2 i (a i x 2 + b i x + c i) d x = ∫ 0 2 h (a i x 2 + b i x + c i) d x = = a i x 3 3 + b i x 2 2 + c i x 0 2 h = 8 a i h 3 3 + 2 b i h 2 + 2 c i h = = h 3 8 a i h 2 + 6 b i h + 6 c i = h 3 f x 2 i - 2 + 4 f 2 2 i - 1 + f x 2 i

Deci, obținem formula folosind metoda parabolelor:

∫ a b f (x) d x ≈ ∑ i = 1 n ∫ x 2 i - 2 x 2 i a i x 2 + b i x + c i d x = = ∑ i = 1 n h 3 (f (x 2 i - 2) + 4 f (x 2 i - 1) + f (x 2 i)) = = h 3 f (x 0) + 4 f (x 1) + f (x 2) + f (x 2) + 4 f (x 3) + f (x 4) +. . . + + f (x 2 n - 2) + 4 f (x 2 n - 1) + f (x 2 n) = = h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Definiția 1

Formula pentru metoda lui Simpson este ∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n) .

Formula de estimare a erorii absolute are forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 .

Exemple de calcul aproximativ al integralelor definite folosind metoda parabolelor

Metoda lui Simpson presupune calculul aproximativ al integralelor definite. Cel mai adesea, există două tipuri de probleme pentru care se aplică această metodă:

în calculul aproximativ al unei integrale definite;
la găsirea unei valori aproximative cu o precizie de δ n.

Precizia calculului este afectată de valoarea lui n, cu cât n este mai mare, cu atât valorile intermediare sunt mai precise.

Exemplul 1

Calculați integrala definită ∫ 0 5 x d x x 4 + 4 folosind metoda lui Simpson, împărțind segmentul de integrare în 5 părți.

Soluţie

Prin condiție se știe că a = 0; b = 5; n = 5, f(x) = x x 4 + 4.

Apoi scriem formula lui Simpson sub forma

∫ a b f (x) d x ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n)

Pentru a-l aplica pe deplin, este necesar să se calculeze pasul folosind formula h = b - a 2 n, să se determine punctele x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n și găsiți valorile funcției integrand f (x i) , i = 0 , 1 , . . . , 2 n .

Calculele intermediare trebuie rotunjite la 5 cifre. Să înlocuim valorile și să obținem

h = b - a 2 n = 5 - 0 2 5 = 0 . 5

Să găsim valoarea funcției în puncte

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · 0 . 5 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = 0 0 4 + 4 = 0 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · 0. 5 = 0 . 5 ⇒ f (x 1) = f (0 . 5) = 0 . 50 . 5 4 + 4 ≈ 0. 12308. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · 0. 5 = 5 ⇒ f (x 10) = f (5) = 5 5 4 + 4 ≈ 0. 00795

Claritatea și comoditatea sunt prezentate în tabelul de mai jos

i	1	2	3	4	5
x i	0 . 5	1	1 . 5	2	2 . 5
f x i	0 . 12308	0 . 2	0 . 16552	0 . 1	0 . 05806

i	6	7	8	9	10
x i	3	3 . 5	4	4 . 5	5
f x i	0 . 03529	0 . 02272	0 . 01538	0 . 01087	0 . 00795

Este necesar să înlocuiți rezultatele în formula metodei parabolelor:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f (x 2 n ) = = 0 . 5 3 0 + 4 0 . 12308 + 0 . 16552 + 0 . 05806 ++ 0 . 02272 + 0 . 01087 + 2 · 0 . 2 + 0. 1 + + 0 . 03529 + 0 . 01538 + 0 . 00795 ≈ ≈ 0 . 37171

Pentru calcul am ales o integrală definită, care poate fi calculată folosind Newton-Leibniz. Primim:

∫ 0 5 x d x x 4 + 4 = 1 2 ∫ 0 5 d (x 2) x 2 2 + 4 = 1 4 a r c t g x 2 2 0 5 = 1 4 a r c t g 25 2 ≈ 0 . 37274

Răspuns: Rezultatele se potrivesc până la sutimi.

Exemplul 2

Calculați integrala nedefinită ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x folosind metoda lui Simpson cu o precizie de 0,001.

Soluţie

Prin condiție, avem că a = 0, b = π, f (x) = sin 3 x 2 + 1 2, δ n ≤ 0. 001. Valoarea lui n trebuie determinată. Pentru a face acest lucru, utilizați o formulă de estimare a erorii absolute a metodei Simpson de forma δ n ≤ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001

Când găsim valoarea lui n, atunci inegalitatea m a x [a; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2880 n 4 ≤ 0 . 001 va fi executat. Apoi, folosind metoda parabolelor, eroarea în calcul nu va depăși 0. 001. Ultima inegalitate ia forma

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88

Acum trebuie să aflăm care cea mai mare valoare poate lua modulul derivatei a patra.

f " (x) = sin 3 x 2 + 1 2 " = 3 2 cos 3 x 2 ⇒ f "" (x) = 3 2 cos 3 x 2 " = - 9 4 sin 3 x 2 ⇒ f " " " ( x) = - 9 4 sin 3 x 2 " = - 27 8 cos 3 x 2 ⇒ f (4) (x) = - 27 8 cos 3 x 2 " = 81 16 sin 3 x 2

Domeniul de definiție f (4) (x) = 81 16 sin 3 x 2 aparține intervalului - 81 16 ; 81 16, și segmentul de integrare însuși [0; π) are un punct extremum, rezultă că m a x [ 0 ; π ] f (4) (x) = 81 16 .

Facem înlocuirea:

n 4 ≥ m a x [ a ; b ] f (4) (x) · (b - a) 5 2 . 88 ⇔ n 4 ≥ 81 16 · π - 0 5 2 . 88 ⇔ ⇔ n 4 > 537 . 9252 ⇔ n > 4 . 8159

Am constatat că n - numar natural, atunci valoarea sa poate fi egală cu n = 5, 6, 7... mai întâi trebuie să luați valoarea n = 5.

Efectuați acțiuni similare cu exemplul anterior. Trebuie să calculați pasul. Pentru aceasta

h = b - a 2 n = π - 0 2 5 = π 10

Să găsim nodurile x i = a + i · h, i = 0, 1, . . . , 2 n , atunci valoarea integrandului va avea forma

i = 0: x i = x 0 = a + i · h = 0 + 0 · π 10 = 0 ⇒ f (x 0) = f (0) = sin 3 · 0 2 + 1 2 = 0 . 5 i = 1: x i = x 1 = a + i · h = 0 + 1 · π 10 = π 10 ⇒ f (x 1) = f (π 10) = sin 3 · π 10 2 + 1 2 ≈ 0. 953990. . . i = 10: x i = x 10 = a + i · h = 0 + 10 · π 10 = π ⇒ f (x 10) = f (π) = sin 3 · π 2 + 1 2 ≈ - 0. 5 7 π 10

4 π 5 9 π 10 π f (x i) 1 . 207107 0 . 809017 0 . 343566 - 0 . 087785 - 0 . 391007 - 0 . 5

Rămâne să înlocuim valorile în formula soluției folosind metoda parabolelor și obținem

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 ≈ h 3 f (x 0) + 4 ∑ i = 1 n f (x 2 i - 1) + 2 ∑ i = 1 n - 1 f (x 2 i) + f ( x 2 n) = = π 30 · 0, 5 + 4 · 0. 953990 + 1 . 487688 + 1 . 207107 ++ 0 . 343566 - 0 . 391007 + 2 1 . 309017 + 1 . 451056 ++ 0 . 809017 - 0 . 87785 - 0 . 5 = = 2 . 237650

Metoda lui Simpson ne permite să obținem o valoare aproximativă a integralei definite ∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2. 237 cu o precizie de 0,001.

Când calculăm folosind formula Newton-Leibniz, obținem ca rezultat

∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x = - 2 3 cos 3 x 2 + 1 2 x 0 π = = - 3 2 cos 3 π 2 + π 2 - - 2 3 cos 0 + 1 2 0 = π 2 + 2 3 ≈ 2. 237463

Răspuns:∫ 0 π sin 3 x 2 + 1 2 d x ≈ 2 . 237

cometariu

În cele mai multe cazuri, găsirea m a x [ a ; b ] f (4) (x) este problematică. Prin urmare, se folosește o alternativă - metoda parabolelor. Principiul său este explicat în detaliu în secțiunea despre metoda trapezoidală. Metoda parabolelor este considerată metoda preferată pentru rezolvarea integralei. Eroarea de calcul afectează rezultatul n. Cu cât valoarea sa este mai mică, cu atât numărul aproximativ necesar este mai precis.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Această metodă propune aproximarea integralandului pe un segment parțial printr-o parabolă care trece prin puncte
(x j, f(x j)), Unde j = i-1; i-0.5; i, adică aproximăm funcția integrand printr-un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi:

După realizarea integrării, obținem:

Asta e Formula lui Simpson sau formula parabolica. Pe segment
[a, b] Formula lui Simpson ia forma

O reprezentare grafică a metodei Simpson este prezentată în Fig. 2.4.

Orez. 10.4. Metoda Simpson

Să scăpăm de indicii fracționari din expresia (2.16) prin redesemnarea variabilelor:

Apoi formula lui Simpson ia forma

Eroarea formulei (2.18) este estimată prin următoarea expresie:

Unde h·n = b-a, . Astfel, eroarea formulei Simpson este proporțională O(h 4).

Cometariu. Trebuie remarcat faptul că în formula lui Simpson segmentul de integrare este în mod necesar împărțit în chiar numărul de intervale.

10.5. Calculul integralelor definite prin metode
Monte Carlo

Metodele discutate mai devreme sunt numite determinat , adică lipsit de elementul întâmplării.

Metode Monte Carlo(MMK) sunt metode numerice de rezolvare a problemelor matematice folosind modelare variabile aleatoare. MMC-urile permit rezolvarea cu succes a problemelor matematice cauzate de procese probabilistice. Mai mult, atunci când rezolvați probleme care nu sunt asociate cu nicio probabilitate, puteți veni în mod artificial cu un model probabilistic (și chiar mai mult de unul) care vă permite să rezolvați aceste probleme. Luați în considerare calculul integralei definite

Când se calculează această integrală folosind formula dreptunghiului, intervalul [ a, b] împărțit în N intervale identice, în mijlocul cărora s-au calculat valorile integrandului. Prin calcularea valorilor funcției la noduri aleatorii, puteți obține un rezultat mai precis:

Aici γ i este un număr aleatoriu distribuit uniform pe interval
. Eroarea în calcularea integralei MMC este ~ , care este semnificativ mai mare decât cea a metodelor deterministe studiate anterior.

În fig. Figura 2.5 prezintă o implementare grafică a metodei Monte Carlo pentru calcularea unei singure integrale cu noduri aleatoare (2.21) și (2.22).

(2.23)

Orez. 10.6. Integrare prin metoda Monte Carlo (al doilea caz)

După cum se poate observa în Fig. 2.6, curba integrală se află în pătratul unității, iar dacă suntem capabili să obținem perechi de numere aleatoare distribuite uniform pe interval, atunci valorile rezultate (γ 1, γ 2) pot fi interpretate ca coordonatele unui punct în pătratul unității. Apoi, dacă se obțin destul de multe dintre aceste perechi de numere, putem presupune aproximativ că
. Aici S este numărul de perechi de puncte care se încadrează sub curbă și N– numărul total de perechi de numere.

Exemplul 2.1. Calculați următoarea integrală:

Problema a fost rezolvată folosind diverse metode. Rezultatele obţinute sunt rezumate în tabel. 2.1.

Tabelul 2.1

Cometariu. Alegerea unei integrale de tabel ne-a permis să comparăm eroarea fiecărei metode și să aflăm efectul numărului de partiții asupra preciziei calculelor.

11 SOLUȚIA APROXIMATĂ A NELINEARĂ
ȘI ECUATII TRANSCENDENTE

Catedra de Matematică Superioară

Completat de: Matveev F.I.

Verificat de: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Metode numerice de integrare

2. Derivarea formulei lui Simpson

3.Ilustrație geometrică

4.Selectarea etapei de integrare

5.Exemple

1. Metode numerice de integrare

Problema integrării numerice este de a calcula integrala

printr-o serie de valori ale integrandului.

Problemele de integrare numerică trebuie rezolvate pentru funcțiile specificate în tabele, funcții ale căror integrale nu sunt luate în functii elementare, etc. Să luăm în considerare doar funcțiile unei variabile.

În loc de funcția care trebuie integrată, integrăm polinomul de interpolare. Metodele bazate pe înlocuirea integrandului cu un polinom de interpolare fac posibilă estimarea preciziei rezultatului utilizând parametrii polinomului sau selectarea acestor parametri în funcție de precizia dată.

Metodele numerice pot fi grupate condiționat în funcție de metoda de aproximare a integrandului.

Metodele Newton-Cotes se bazează pe aproximarea funcției

polinom de grad. Algoritmul acestei clase diferă doar în gradul polinomului. De regulă, nodurile polinomului de aproximare sunt echirelate.

Metodele de integrare spline se bazează pe aproximarea funcției

polinom spline-pe bucăți.

Metodele cu cea mai mare acuratețe algebrică (metoda Gauss) folosesc noduri inegale special selectate care oferă o eroare minimă de integrare pentru un număr dat (selectat) de noduri.

Metodele Monte Carlo sunt cele mai des folosite atunci când se calculează integrale multiple, nodurile sunt selectate aleatoriu, iar răspunsul este probabilist.

eroare totală eroare de trunchiere

eroare de rotunjire

Indiferent de metoda aleasă, în procesul de integrare numerică este necesar să se calculeze valoarea aproximativă a integralei și să se estimeze eroarea. Eroarea scade pe măsură ce numărul n crește

partiții de segmente

. Cu toate acestea, acest lucru crește eroarea de rotunjire

prin însumarea valorilor integralelor calculate pe segmente parțiale.

Eroarea de trunchiere depinde de proprietățile integrandului și de lungime

segment parțial.

2. Derivarea formulei lui Simpson

Dacă pentru fiecare pereche de segmente

construim un polinom de gradul doi, apoi îl integrăm și folosim proprietatea de aditivitate a integralei, obținem formula lui Simpson. Să luăm în considerare integrantul pe segment. Să înlocuim acest integrand cu un polinom de interpolare Lagrange de gradul doi, care coincide cu punctele:

Să ne integrăm

și se numește formula lui Simpson.

Rezultatul obţinut pentru integrală

valoarea coincide cu aria unui trapez curbiliniu delimitat de axă, linii drepte și o parabolă care trece prin puncte

Să estimăm acum eroarea de integrare folosind formula lui Simpson. Vom presupune că

există derivate continue pe segment. Să facem diferența

Teorema valorii medii poate fi deja aplicată la fiecare dintre aceste două integrale, deoarece

este continuă activată și funcția este nenegativă pe primul interval de integrare și nepozitivă pe al doilea (adică nu schimbă semnul pe fiecare dintre aceste intervale). De aceea:

(am folosit teorema valorii medii deoarece

- functionare continua; ).

Diferențierea

de două ori și apoi aplicând teorema valorii medii, obținem o altă expresie pentru: , unde

Din ambele estimări pentru

rezultă că formula lui Simpson este exactă pentru polinoamele de grad nu mai mare de trei. Să scriem formula lui Simpson, de exemplu, sub forma: , .

Dacă segmentul

integrarea este prea mare, apoi este împărțită în părți egale (presupunând ), după care formula lui Simpson se aplică fiecărei perechi de segmente adiacente , ,... și anume:

Să scriem formula lui Simpson în formă generală.