Definiția 1

Produsul scalar al vectorilor este un număr egal cu produsul dintre dinele acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei.

Notația pentru produsul vectorilor a → și b → are forma a → , b → . Să o transformăm în formula:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ . a → și b → indică lungimile vectorilor, a → , b → ^ - desemnarea unghiului dintre vectorii dați. Dacă cel puțin un vector este zero, adică are valoarea 0, atunci rezultatul va fi egal cu zero, a → , b → = 0

Când înmulțim un vector cu el însuși, obținem pătratul lungimii acestuia:

a → , b → = a → b → cos a → , a → ^ = a → 2 cos 0 = a → 2

Definiția 2

Înmulțirea scalară a unui vector în sine se numește pătrat scalar.

Calculat prin formula:

a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ .

Notația a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → arată că n p b → a → este proiecția numerică a → pe b → , n p a → a → - proiecția lui b → pe a →, respectiv.

Să formulăm definiția unui produs pentru doi vectori:

Produsul scalar a doi vectori a → prin b → se numește produsul lungimii vectorului a → prin proiecția b → prin direcția lui a → sau respectiv produsul lungimii b → prin proiecția a →.

Punctați produsul în coordonate

Produsul scalar poate fi calculat prin coordonatele vectorilor dintr-un plan dat sau din spațiu.

Produsul scalar a doi vectori pe un plan, în spațiul tridimensional, se numește suma coordonatelor vectorilor dați a → și b →.

Când se calculează produsul scalar al vectorilor dați a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) în plan Sistemul cartezian utilizare:

a → , b → = a x b x + a y b y ,

pentru spațiul tridimensional este aplicabilă expresia:

a → , b → = a x · b x + a y · b y + a z · b z .

De fapt, aceasta este a treia definiție a produsului scalar.

Să demonstrăm.

Dovada 1

Pentru a o demonstra, folosim a → , b → = a → · b → · cos a → , b → ^ = a x · b x + a y · b y pentru vectorii a → = (a x , a y) , b → = (b x , b y) pe sistem cartezian.

Vectorii trebuie lăsați deoparte

O A → = a → = a x , a y și O B → = b → = b x , b y .

Atunci lungimea vectorului A B → va fi egală cu A B → = O B → - O A → = b → - a → = (b x - a x , b y - a y) .

Considerăm triunghiul O A B .

A B 2 = O A 2 + O B 2 - 2 · O A · O B · cos (∠ A O B) este corectă pe baza teoremei cosinusului.

Conform condiției, este clar că O A = a → , O B = b → , A B = b → - a → , ∠ A O B = a → , b → ^ , ceea ce înseamnă că scriem diferit formula pentru găsirea unghiului dintre vectori

b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · a → · b → · cos (a → , b → ^) .

Apoi din prima definiție rezultă că b → - a → 2 = a → 2 + b → 2 - 2 · (a → , b →) , ceea ce înseamnă (a → , b →) = 1 2 · (a → 2) + b → 2 - b → - a → 2) .

Aplicând formula pentru calcularea lungimii vectorilor, obținem:
a → , b → = 1 2 · ((a 2 x + a y 2) 2 + (b 2 x + b y 2) 2 - ((b x - a x) 2 + (b y - a y) 2) 2) = = 1 2 (a 2 x + a 2 y + b 2 x + b 2 y - (b x - a x) 2 - (b y - a y) 2) = = a x b x + a y b y

Să demonstrăm egalitățile:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = = a x b x + a y b y + a z b z

– respectiv pentru vectori ai spațiului tridimensional.

Produsul scalar al vectorilor cu coordonate spune că pătratul scalar al unui vector este egal cu suma pătratelor coordonatelor sale în spațiu și, respectiv, pe plan. a → = (a x , a y , a z) , b → = (b x , b y , b z) și (a → , a →) = a x 2 + a y 2 .

Produsul punctat și proprietățile sale

Există proprietăți ale produsului scalar care se aplică pentru a → , b → și c → :

1. comutativitatea (a → , b →) = (b → , a →) ;
2. distributivitatea (a → + b → , c →) = (a → , c →) + (b → , c →) , (a → + b → , c →) = (a → , b →) + (a → , c →) ;
3. proprietate combinativă (λ · a → , b →) = λ · (a → , b →), (a → , λ · b →) = λ · (a → , b →), λ - orice număr;
4. pătratul scalar este întotdeauna mai mare decât zero (a → , a →) ≥ 0, unde (a → , a →) = 0 în cazul în care a → zero.

Exemplul 1

Proprietățile sunt explicabile datorită definiției produsului scalar pe plan și proprietăților de adunare și înmulțire a numerelor reale.

Demonstrați proprietatea comutativă (a → , b →) = (b → , a →) . Din definiție avem că (a → , b →) = a y · b y + a y · b y și (b → , a →) = b x · a x + b y · a y .

Prin proprietatea comutativității, egalitățile a x · b x = b x · a x și a y · b y = b y · a y sunt adevărate, ceea ce înseamnă a x · b x + a y · b y = b x · a x + b y · a y .

Rezultă că (a → , b →) = (b → , a →) . Q.E.D.

Distributivitatea este valabilă pentru orice numere:

(a (1) → + a (2) → + . . . + a (n) → , b →) = (a (1) → , b →) + (a (2) → , b →) + . . . + (a (n) → , b →)

și (a → , b (1) → + b (2) → + . . . + b (n) →) = (a → , b (1) →) + (a → , b (2) →) + . . . + (a → , b → (n)) ,

deci avem

(a (1) → + a (2) → +... + a (n) → , b (1) → + b (2) → + . . . . + b (m) →) = = (a ( 1) → , b (1) →) + (a (1) → , b (2) →) + . . . + (a (1) → , b (m) →) + + (a (2) → , b (1) →) + (a (2) → , b (2) →) + . . . + (a (2) → , b (m) →) + . . . + + (a (n) → , b (1) →) + (a (n) → , b (2) →) + . . . + (a (n) → , b (m) →)

Produs punctat cu exemple și soluții

Orice problemă de acest fel este rezolvată folosind proprietățile și formulele referitoare la produsul scalar:

1. (a → , b →) = a → · b → · cos (a → , b → ^) ;
2. (a → , b →) = a → · n p a → b → = b → · n p b → a → ;
3. (a → , b →) = a x · b x + a y · b y sau (a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z ;
4. (a → , a →) = a → 2 .

Să ne uităm la câteva exemple de soluții.

Exemplul 2

Lungimea lui a → este 3, lungimea lui b → este 7. Aflați produsul scalar dacă unghiul are 60 de grade.

Soluţie

După condiție, avem toate datele, așa că le calculăm folosind formula:

(a → , b →) = a → b → cos (a → , b → ^) = 3 7 cos 60 ° = 3 7 1 2 = 21 2

Răspuns: (a → , b →) = 21 2 .

Exemplul 3

Dați vectori a → = (1 , - 1 , 2 - 3) , b → = (0 , 2 , 2 + 3) . Ce este produsul scalar?

Soluţie

Acest exemplu ia în considerare formula pentru calcularea coordonatelor, deoarece acestea sunt specificate în declarația problemei:

(a → , b →) = a x · b x + a y · b y + a z · b z = = 1 · 0 + (- 1) · 2 + (2 + 3) · (2 ​​​​+ 3) = = 0 - 2 + ( 2 - 9) = - 9

Răspuns: (a → , b →) = - 9

Exemplul 4

Aflați produsul scalar al lui A B → și A C →. Punctele A (1, - 3), B (5, 4), C (1, 1) sunt date pe planul de coordonate.

Soluţie

Pentru început, se calculează coordonatele vectorilor, deoarece prin condiție sunt date coordonatele punctelor:

A B → = (5 - 1, 4 - (- 3)) = (4, 7) A C → = (1 - 1, 1 - (- 3)) = (0, 4)

Înlocuind în formulă folosind coordonatele, obținem:

(A B →, A C →) = 4 0 + 7 4 = 0 + 28 = 28.

Răspuns: (A B → , A C →) = 28 .

Exemplul 5

Dați vectorii a → = 7 · m → + 3 · n → și b → = 5 · m → + 8 · n → , găsiți produsul lor. m → este egal cu 3 și n → este egal cu 2 unități, sunt perpendiculare.

Soluţie

(a → , b →) = (7 · m → + 3 · n → , 5 · m → + 8 · n →) . Aplicând proprietatea distributivității obținem:

(7 m → + 3 n →, 5 m → + 8 n →) = = (7 m →, 5 m →) + (7 m →, 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + ( 3 n → , 8 n →)

Scoatem coeficientul din semnul produsului și obținem:

(7 m → , 5 m →) + (7 m → , 8 n →) + (3 n → , 5 m →) + (3 n → , 8 n →) = = 7 · 5 · (m → , m →) + 7 · 8 · (m → , n →) + 3 · 5 · (n → , m →) + 3 · 8 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →)

Prin proprietatea comutativității transformăm:

35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (n → , m →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 56 · (m → , n →) + 15 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) ) + 24 · (n → , n →)

Ca rezultat obținem:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →).

Acum aplicăm formula produsului scalar cu unghiul specificat de condiția:

(a → , b →) = 35 · (m → , m →) + 71 · (m → , n →) + 24 · (n → , n →) = = 35 · m → 2 + 71 · m → · n → · cos (m → , n → ^) + 24 · n → 2 = 35 · 3 2 + 71 · 3 · 2 · cos π 2 + 24 · 2 2 = 411 .

Răspuns: (a → , b →) = 411

Dacă există o proiecție numerică.

Exemplul 6

Aflați produsul scalar al lui a → și b →. Vectorul a → are coordonatele a → = (9, 3, - 3), proiecția b → cu coordonatele (- 3, - 1, 1).

Soluţie

Prin condiție, vectorii a → și proiecția b → sunt direcționați invers, deoarece a → = - 1 3 · n p a → b → → , ceea ce înseamnă că proiecția b → corespunde lungimii n p a → b → → , iar cu „ -" semn:

n p a → b → → = - n p a → b → → = - (- 3) 2 + (- 1) 2 + 1 2 = - 11 ,

Înlocuind în formulă, obținem expresia:

(a → , b →) = a → · n p a → b → → = 9 2 + 3 2 + (- 3) 2 · (- 11) = - 33 .

Răspuns: (a → , b →) = - 33 .

Probleme cu un produs scalar cunoscut, unde este necesar să se găsească lungimea unui vector sau a unei proiecții numerice.

Exemplul 7

Ce valoare ar trebui să ia λ pentru un produs scalar dat a → = (1, 0, λ + 1) și b → = (λ, 1, λ) va fi egală cu -1.

Soluţie

Din formulă este clar că este necesar să se găsească suma produselor coordonatelor:

(a → , b →) = 1 λ + 0 1 + (λ + 1) λ = λ 2 + 2 λ .

Având în vedere că avem (a → , b →) = - 1 .

Pentru a găsi λ, calculăm ecuația:

λ 2 + 2 · λ = - 1, deci λ = - 1.

Răspuns: λ = - 1.

Sensul fizic al produsului scalar

Mecanica ia în considerare aplicarea produsului punctual.

Când A lucrează cu o forță constantă F → un corp în mișcare dintr-un punct M la N, puteți găsi produsul lungimilor vectorilor F → și M N → cu cosinusul unghiului dintre ei, ceea ce înseamnă că munca este egală. la produsul vectorilor forță și deplasare:

A = (F → , M N →) .

Exemplul 8

In miscare punct material 3 metri sub influența unei forțe egale cu 5 Ntone, îndreptată la un unghi de 45 de grade față de axă. Gaseste un.

Soluţie

Deoarece munca este produsul dintre vectorul forță și deplasarea, înseamnă că pe baza condiției F → = 5, S → = 3, (F →, S → ^) = 45 °, obținem A = (F →, S →) = F → · S → · cos (F → , S → ^) = 5 · 3 · cos (45 °) = 15 2 2 .

Răspuns: A = 15 2 2 .

Exemplul 9

Un punct material, care se deplasează de la M (2, - 1, - 3) la N (5, 3 λ - 2, 4) sub forța F → = (3, 1, 2), a lucrat egal cu 13 J. Calculați lungimea mișcării.

Soluţie

Pentru coordonatele vectoriale date M N → avem M N → = (5 - 2, 3 λ - 2 - (- 1) , 4 - (- 3)) = (3, 3 λ - 1, 7) .

Folosind formula pentru găsirea muncii cu vectorii F → = (3, 1, 2) și M N → = (3, 3 λ - 1, 7), obținem A = (F ⇒, M N →) = 3 3 + 1 ( 3 λ - 1) + 2 7 = 22 + 3 λ.

Conform condiției, se dă că A = 13 J, ceea ce înseamnă 22 + 3 λ = 13. Aceasta implică λ = - 3, ceea ce înseamnă M N → = (3, 3 λ - 1, 7) = (3, - 10, 7).

Pentru a afla lungimea mișcării M N →, aplicați formula și înlocuiți valorile:

M N → = 3 2 + (- 10) 2 + 7 2 = 158.

Raspuns: 158.

Dacă observați o eroare în text, vă rugăm să o evidențiați și să apăsați Ctrl+Enter

Unghiul dintre vectori

Luați în considerare doi vectori dați $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$. Să scădem vectorii $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ și $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ dintr-un punct ales arbitrar $O$, apoi unghiul $AOB$ se numește unghiul dintre vectorii $\overrightarrow( a)$ și $\overrightarrow(b)$ (Fig. 1).

Poza 1.

Rețineți că dacă vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt codirecționali sau unul dintre ei este vectorul zero, atunci unghiul dintre vectori este $0^0$.

Notație: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Conceptul de produs scalar al vectorilor

Din punct de vedere matematic, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:

Produsul punctual poate fi zero în două cazuri:

Dacă unul dintre vectori este un vector zero (Deoarece atunci lungimea lui este zero).

Dacă vectorii sunt reciproc perpendiculari (adică $cos(90)^0=0$).

De asemenea, rețineți că produsul scalar este mai mare decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este acut (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , și mai mic decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este obtuz (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Legat de conceptul de produs scalar este conceptul de pătrat scalar.

Definiția 2

Pătratul scalar al unui vector $\overrightarrow(a)$ este produsul scalar al acestui vector cu el însuși.

Constatăm că pătratul scalar este egal cu

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Calcularea produsului scalar din coordonatele vectoriale

Pe lângă modalitatea standard de găsire a valorii produsului scalar, care rezultă din definiție, există o altă modalitate.

Să luăm în considerare.

Fie vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ să aibă coordonatele $\left(a_1,b_1\right)$ și, respectiv, $\left(a_2,b_2\right)$.

Teorema 1

Produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dovada.

Teorema a fost demonstrată.

Această teoremă are mai multe consecințe:

Corolarul 1: Vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt perpendiculari dacă și numai dacă $a_1a_2+b_1b_2=0$

Corolarul 2: Cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Proprietăți ale produsului scalar al vectorilor

Pentru oricare trei vectori și un număr real $k$ este adevărat:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Această proprietate rezultă din definiția unui pătrat scalar (Definiția 2).

Legea călătoriilor:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Această proprietate rezultă din definiția produsului scalar (Definiția 1).

Legea distributivă:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Legea combinației:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Un exemplu de problemă pentru calcularea produsului scalar al vectorilor

Exemplul 1

Găsiți produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ dacă $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ și $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$, iar unghiul dintre ele este $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Soluţie.

Folosind Definiția 1, obținem

Pentru $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Pentru $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Pentru $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Pentru $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ dreapta)=-3\sqrt(2)\]

Lectura: Coordonate vectoriale; produsul scalar al vectorilor; unghiul dintre vectori

Coordonatele vectoriale

Deci, așa cum am menționat mai devreme, un vector este un segment direcționat care are propriul său început și sfârșit. Dacă începutul și sfârșitul sunt reprezentate de anumite puncte, atunci ele au propriile coordonate în plan sau în spațiu.

Dacă fiecare punct are propriile sale coordonate, atunci putem obține coordonatele întregului vector.

Să presupunem că avem un vector al cărui început și sfârșit au următoarele denumiri și coordonate: A(A x ; Ay) și B(B x ; By)

Pentru a obține coordonatele unui vector dat, este necesar să se scadă coordonatele corespunzătoare ale începutului din coordonatele sfârșitului vectorului:

Pentru a determina coordonatele unui vector în spațiu, utilizați următoarea formulă:

Produsul punctual al vectorilor

Există două moduri de a defini conceptul de produs scalar:

• Metoda geometrică. Potrivit acestuia, produsul scalar este egal cu produsul dintre valorile acestor module și cosinusul unghiului dintre ele.

• Sensul algebric. Din punctul de vedere al algebrei, produsul scalar a doi vectori este o anumită cantitate care se obține ca urmare a sumei produselor vectorilor corespunzători.

Dacă vectorii sunt dați în spațiu, atunci ar trebui să utilizați o formulă similară:

Proprietăți:

• Dacă înmulțiți scalar doi vectori identici, atunci produsul lor scalar nu va fi negativ:

• Dacă produsul scalar a doi vectori identici se dovedește a fi egal cu zero, atunci acești vectori sunt considerați zero:

• Dacă un anumit vector este înmulțit cu el însuși, atunci produsul scalar va fi egal cu pătratul modulului său:

• Produsul scalar are o proprietate comunicativă, adică produsul scalar nu se va schimba dacă vectorii sunt rearanjați:

• Produsul scalar al vectorilor nenuli poate fi egal cu zero numai dacă vectorii sunt perpendiculari unul pe celălalt:

• Pentru un produs scalar al vectorilor, legea comutativă este valabilă în cazul înmulțirii unuia dintre vectori cu un număr:

• Cu un produs scalar, puteți folosi și proprietatea distributivă a înmulțirii:

Unghiul dintre vectori

Produsul punctual al vectorilor

Continuăm să ne ocupăm de vectori. La prima lecție Vectori pentru manechine Ne-am uitat la conceptul de vector, acțiuni cu vectori, coordonate vectoriale și cele mai simple probleme cu vectori. Dacă ați ajuns pentru prima dată pe această pagină dintr-un motor de căutare, vă recomand cu tărie să citiți articolul introductiv de mai sus, deoarece pentru a stăpâni materialul trebuie să vă familiarizați cu termenii și notațiile pe care le folosesc, să aveți cunoștințe de bază despre vectori și să poată rezolva probleme de bază. Această lecție este o continuare logică a subiectului și în ea voi analiza în detaliu sarcini tipice care folosesc produsul scalar al vectorilor. Aceasta este o activitate FOARTE IMPORTANTĂ.. Încercați să nu săriți peste exemplele, atașate acestora bonus util– practica vă va ajuta să consolidați materialul pe care l-ați acoperit și să vă îmbunătățiți rezolvarea problemelor comune din geometria analitică.

Adunarea vectorilor, înmulțirea unui vector cu un număr.... Ar fi naiv să credem că matematicienii nu au venit cu altceva. Pe lângă acțiunile deja discutate, există o serie de alte operații cu vectori, și anume: produs scalar al vectorilor, produs vectorial al vectorilorȘi produs mixt al vectorilor. Produsul scalar al vectorilor ne este familiar de la școală, celelalte două produse aparțin în mod tradițional cursului de matematică superioară. Subiectele sunt simple, algoritmul pentru rezolvarea multor probleme este simplu și ușor de înțeles. Singurul lucru. Există o cantitate decentă de informații, așa că nu este de dorit să încerci să stăpânești și să rezolvi TOTUL ÎN DATA. Acest lucru este valabil mai ales pentru manechini, credeți-mă, autorul nu vrea să se simtă ca Chikatilo de la matematică. Ei bine, nici de la matematică, desigur, =) Elevii mai pregătiți pot folosi materiale selectiv, într-un anumit sens, „obține” cunoștințele lipsă pentru tine voi fi un inofensiv Conte Dracula =)

Să deschidem în sfârșit ușa și să urmărim cu entuziasm ce se întâmplă când doi vectori se întâlnesc...

Definirea produsului scalar al vectorilor.
Proprietățile produsului scalar. Sarcini tipice

Conceptul de produs punctual

În primul rând despre unghiul dintre vectori. Cred că toată lumea înțelege intuitiv care este unghiul dintre vectori, dar pentru orice eventualitate, puțin mai multe detalii. Să luăm în considerare vectorii liberi nenuli și . Dacă trasați acești vectori dintr-un punct arbitrar, veți obține o imagine pe care mulți și-au imaginat-o deja mental:

Recunosc, aici am descris situația doar la nivel de înțelegere. Dacă aveți nevoie de o definiție strictă a unghiului dintre vectori, vă rugăm să consultați manualul pentru probleme practice, în principiu, nu avem nevoie de ea; De asemenea, AICI ȘI AICI voi ignora vectorii zero pe alocuri din cauza semnificației lor practice scăzute. Am făcut o rezervare special pentru vizitatorii avansați ai site-ului care îmi pot reproșa incompletitudinea teoretică a unor declarații ulterioare.

poate lua valori de la 0 la 180 de grade (0 la radiani), inclusiv. Analitic, acest fapt este scris sub forma unei duble inegalități: sau (în radiani).

În literatură, simbolul unghiului este adesea omis și scris simplu.

Definiție: Produsul scalar a doi vectori este un NUMĂR egal cu produsul dintre lungimile acestor vectori și cosinusul unghiului dintre ei:

Acum, aceasta este o definiție destul de strictă.

Ne concentrăm pe informațiile esențiale:

Desemnare: produsul scalar este notat prin sau simplu.

Rezultatul operației este un NUMĂR: Vectorul este înmulțit cu vector, iar rezultatul este un număr. Într-adevăr, dacă lungimile vectorilor sunt numere, cosinusul unui unghi este un număr, atunci produsul lor va fi și un număr.

Doar câteva exemple de încălzire:

Exemplul 1

Soluţie: Folosim formula . În acest caz:

Răspuns:

Valorile cosinusului pot fi găsite în tabel trigonometric. Recomand să-l imprimați - va fi necesar în aproape toate secțiunile turnului și va fi necesar de multe ori.

Din punct de vedere pur matematic, produsul scalar este adimensional, adică rezultatul, în acest caz, este doar un număr și atât. Din punct de vedere al problemelor de fizică, un produs scalar are întotdeauna o anumită semnificație fizică, adică după rezultat trebuie indicată una sau alta unitate fizică. Un exemplu canonic de calcul al muncii unei forțe poate fi găsit în orice manual (formula este exact un produs scalar). Munca unei forțe este măsurată în Jouli, prin urmare, răspunsul va fi scris destul de specific, de exemplu, .

Exemplul 2

Găsiți dacă , iar unghiul dintre vectori este egal cu .

Acesta este un exemplu pentru decizie independentă, răspunsul este la sfârșitul lecției.

Unghiul dintre vectori și valoarea produsului punctual

În exemplul 1 produsul scalar sa dovedit a fi pozitiv, iar în exemplul 2 sa dovedit a fi negativ. Să aflăm de ce depinde semnul produsului scalar. Să ne uităm la formula noastră: . Lungimile vectorilor nenuli sunt întotdeauna pozitive: , deci semnul poate depinde doar de valoarea cosinusului.

Notă: Pentru a înțelege mai bine informațiile de mai jos, este mai bine să studiați graficul cosinus din manual Grafice de funcții și proprietăți. Vedeți cum se comportă cosinusul pe segment.

După cum sa menționat deja, unghiul dintre vectori poate varia în interior , iar următoarele cazuri sunt posibile:

1) Dacă colţîntre vectori picant: (de la 0 la 90 de grade), apoi , Și produsul punctual va fi pozitiv co-regiat, atunci unghiul dintre ele este considerat zero, iar produsul scalar va fi de asemenea pozitiv. Din moment ce , formula simplifică: .

2) Dacă colţîntre vectori bont: (de la 90 la 180 de grade), apoi și în mod corespunzător, produsul punctual este negativ: . Caz special: dacă vectorii directii opuse, atunci se ia în considerare unghiul dintre ele extins: (180 de grade). Produsul scalar este de asemenea negativ, deoarece

Afirmațiile inverse sunt de asemenea adevărate:

1) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este acut. Alternativ, vectorii sunt co-direcționali.

2) Dacă , atunci unghiul dintre acești vectori este obtuz. Alternativ, vectorii sunt în direcții opuse.

Dar cel de-al treilea caz prezintă un interes deosebit:

3) Dacă colţîntre vectori Drept: (90 de grade), atunci produsul scalar este zero: . Este adevărat și invers: dacă , atunci . Enunțul poate fi formulat compact după cum urmează: Produsul scalar a doi vectori este zero dacă și numai dacă vectorii sunt ortogonali. Notație matematică scurtă:

! Notă : Să repetăm bazele logicii matematice: O pictogramă de consecință logică cu două fețe este de obicei citită „dacă și numai dacă”, „dacă și numai dacă”. După cum puteți vedea, săgețile sunt direcționate în ambele direcții - „de aici urmează asta și invers - de aici urmează asta”. Care este, apropo, diferența față de pictograma de urmărire unidirecțională? Pictograma afirmă doar asta, că „din aceasta urmează aceasta”, și nu este un fapt că contrariul este adevărat. De exemplu: , dar nu orice animal este o panteră, așa că în acest caz nu puteți folosi pictograma. În același timp, în locul pictogramei Poate sa utilizați pictograma cu o singură față. De exemplu, în timp ce rezolvăm problema, am aflat că am ajuns la concluzia că vectorii sunt ortogonali: - o astfel de intrare va fi corectă și chiar mai potrivită decât .

Al treilea caz are o mare semnificație practică, deoarece vă permite să verificați dacă vectorii sunt ortogonali sau nu. Vom rezolva această problemă în a doua secțiune a lecției.

Proprietățile produsului punctual

Să revenim la situația când doi vectori co-regiat. În acest caz, unghiul dintre ele este zero, , iar formula produsului scalar ia forma: .

Ce se întâmplă dacă un vector este înmulțit cu el însuși? Este clar că vectorul este aliniat cu el însuși, așa că folosim formula simplificată de mai sus:

Numărul este sunat pătrat scalar vector și sunt notate ca .

Prin urmare, pătratul scalar al unui vector este egal cu pătratul lungimii vectorului dat:

Din această egalitate putem obține o formulă pentru calcularea lungimii vectorului:

Până acum pare neclar, dar obiectivele lecției vor pune totul la locul său. Pentru a rezolva problemele de care avem nevoie proprietățile produsului punctual.

Pentru vectori arbitrari și orice număr, următoarele proprietăți sunt adevărate:

1) – comutativă sau comutativ legea produsului scalar.

2) – distribuție sau distributiv legea produsului scalar. Pur și simplu, puteți deschide parantezele.

3) – asociativ sau asociativ legea produsului scalar. Constanta poate fi derivată din produsul scalar.

Adesea, tot felul de proprietăți (care trebuie și dovedite!) sunt percepute de studenți ca un gunoi inutil, care trebuie doar memorat și uitat în siguranță imediat după examen. S-ar părea că ceea ce este important aici, toată lumea știe deja din clasa întâi că rearanjarea factorilor nu schimbă produsul: . Trebuie să vă avertizez că la matematica superioară este ușor să dai peste cap cu o astfel de abordare. Deci, de exemplu, proprietatea comutativă nu este valabilă pentru matrici algebrice. De asemenea, nu este adevărat pentru produs vectorial al vectorilor. Prin urmare, cel puțin, este mai bine să aprofundați în orice proprietăți pe care le întâlniți la un curs superior de matematică pentru a înțelege ce se poate face și ce nu se poate face.

Exemplul 3

.

Soluţie: Mai întâi, să clarificăm situația cu vectorul. Ce este asta oricum? Suma vectorilor este un vector bine definit, care este notat cu . O interpretare geometrică a acțiunilor cu vectori poate fi găsită în articol Vectori pentru manechine. Același pătrunjel cu un vector este suma vectorilor și .

Deci, conform condiției, este necesar să se găsească produsul scalar. În teorie, trebuie să aplicați formula de lucru , dar problema este că nu știm lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Dar condiția oferă parametri similari pentru vectori, așa că vom lua o altă cale:

(1) Înlocuiți expresiile vectorilor.

(2) Deschidem parantezele conform regulii de înmulțire a polinoamelor se găsește în articol; Numere complexe sau Integrarea unei funcții fracționale-raționale. Nu mă voi repeta =) Apropo, proprietatea distributivă a produsului scalar ne permite să deschidem parantezele. Avem dreptul.

(3) În primul și ultimul termen scriem compact pătratele scalare ale vectorilor: . În al doilea termen folosim comutabilitatea produsului scalar: .

(4) Prezentăm termeni similari: .

(5) În primul termen folosim formula pătratului scalar, care a fost menționată nu cu mult timp în urmă. În ultimul termen, în consecință, funcționează același lucru: . Extindem al doilea termen conform formulei standard .

(6) Înlocuiți aceste condiții , și efectuați cu ATENȚIE calculele finale.

Răspuns:

O valoare negativă a produsului scalar afirmă faptul că unghiul dintre vectori este obtuz.

Problema este tipică, iată un exemplu pentru a o rezolva singur:

Exemplul 4

Aflați produsul scalar al vectorilor și dacă se știe că .

Acum o altă sarcină comună, doar pentru noua formulă pentru lungimea unui vector. Notația de aici se va suprapune puțin, așa că pentru claritate o voi rescrie cu o altă literă:

Exemplul 5

Aflați lungimea vectorului dacă .

Soluţie va fi după cum urmează:

(1) Furnizăm expresia pentru vectorul .

(2) Folosim formula lungimii: , în timp ce întreaga expresie ve acţionează ca vectorul „ve”.

(3) Folosim formula școlară pentru pătratul sumei. Observați cum funcționează în mod curios aici: – este de fapt pătratul diferenței și, de fapt, așa este. Cei care doresc pot rearanja vectorii: - se intampla acelasi lucru, pana la rearanjarea termenilor.

(4) Ceea ce urmează este deja familiar din cele două probleme anterioare.

Răspuns:

Deoarece vorbim despre lungime, nu uitați să indicați dimensiunea - „unități”.

Exemplul 6

Aflați lungimea vectorului dacă .

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției.

Continuăm să stoarcem lucruri utile din produsul punctual. Să ne uităm din nou la formula noastră . Folosind regula proporției, resetăm lungimile vectorilor la numitorul părții stângi:

Să schimbăm piesele:

Care este sensul acestei formule? Dacă sunt cunoscute lungimile a doi vectori și produsul lor scalar, atunci putem calcula cosinusul unghiului dintre acești vectori și, în consecință, unghiul însuși.

Un produs punctual este un număr? Număr. Lungimile vectorului sunt numere? Numerele. Aceasta înseamnă că o fracție este și un număr. Și dacă cosinusul unghiului este cunoscut: , atunci folosind funcția inversă este ușor să găsiți unghiul în sine: .

Exemplul 7

Aflați unghiul dintre vectori și dacă se știe că .

Soluţie: Folosim formula:

În etapa finală a calculelor s-a folosit o tehnică tehnică - eliminarea iraționalității în numitor. Pentru a elimina iraționalitatea, am înmulțit numărătorul și numitorul cu .

Astfel, dacă , Acea:

Valori inverse funcții trigonometrice poate fi găsit de către tabel trigonometric. Deși acest lucru se întâmplă rar. În problemele de geometrie analitică, mult mai des un urs stângace ca , iar valoarea unghiului trebuie găsită aproximativ folosind un calculator. De fapt, vom vedea o astfel de imagine de mai multe ori.

Răspuns:

Din nou, nu uitați să indicați dimensiunile - radiani și grade. Personal, pentru a „rezolva în mod evident toate întrebările”, prefer să le indică pe amândouă (cu excepția cazului în care condiția, desigur, impune prezentarea răspunsului doar în radiani sau doar în grade).

Acum puteți face față în mod independent unei sarcini mai complexe:

Exemplul 7*

Sunt date lungimile vectorilor și unghiul dintre ei. Aflați unghiul dintre vectorii , .

Sarcina nu este atât de dificilă, ci are mai multe etape.
Să ne uităm la algoritmul de soluție:

1) În funcție de condiție, trebuie să găsiți unghiul dintre vectori și , deci trebuie să utilizați formula .

2) Aflați produsul scalar (vezi Exemplele nr. 3, 4).

3) Aflați lungimea vectorului și lungimea vectorului (vezi Exemplele nr. 5, 6).

4) Sfârșitul soluției coincide cu Exemplul nr. 7 - cunoaștem numărul , ceea ce înseamnă că este ușor să găsiți unghiul în sine:

O scurtă soluție și răspuns la sfârșitul lecției.

A doua secțiune a lecției este dedicată aceluiași produs scalar. Coordonatele. Va fi chiar mai ușor decât în ​​prima parte.

produsul punctual al vectorilor,
dat de coordonate în bază ortonormală

Răspuns:

Inutil să spun că a face cu coordonatele este mult mai plăcută.

Exemplul 14

Aflați produsul scalar al vectorilor și dacă

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Aici puteți folosi asociativitatea operației, adică nu numărați, dar imediat scoateți triplul în afara produsului scalar și înmulțiți-l cu acesta ultimul. Soluția și răspunsul sunt la sfârșitul lecției.

La sfârșitul secțiunii, un exemplu provocator despre calcularea lungimii unui vector:

Exemplul 15

Aflați lungimile vectorilor , Dacă

Soluţie: Metoda din secțiunea anterioară se sugerează din nou: dar există o altă modalitate:

Să găsim vectorul:

Și lungimea sa după formula trivială :

Produsul scalar nu este deloc relevant aici!

De asemenea, nu este util atunci când se calculează lungimea unui vector:
Stop. Nu ar trebui să profităm de proprietatea evidentă a lungimii vectorului? Ce poți spune despre lungimea vectorului? Acest vector de 5 ori mai lung decât vectorul. Direcția este opusă, dar asta nu contează, pentru că vorbim de lungime. Evident, lungimea vectorului este egală cu produsul modul numere pe lungimea vectorului:
– semnul modulului „mănâncă” posibilul minus al numărului.

Prin urmare:

Răspuns:

Formula pentru cosinusul unghiului dintre vectori care sunt specificați prin coordonate

Acum avem informații complete pentru a folosi formula derivată anterior pentru cosinusul unghiului dintre vectori exprima prin coordonate vectoriale:

Cosinusul unghiului dintre vectorii planiși, specificate pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:
.

Cosinusul unghiului dintre vectorii spațiali, specificat pe o bază ortonormală, exprimat prin formula:

Exemplul 16

Date trei vârfuri ale unui triunghi. Găsiți (unghiul vârfului).

Soluţie: Conform condițiilor, desenul nu este necesar, dar totuși:

Unghiul necesar este marcat cu un arc verde. Să ne amintim imediat denumirea școlii pentru un unghi: – Atentie speciala pe in medie litera - acesta este vârful unghiului de care avem nevoie. Pentru concizie, puteți scrie și simplu.

Din desen este destul de evident că unghiul triunghiului coincide cu unghiul dintre vectori și, cu alte cuvinte: .

Este indicat să înveți să efectuezi analiza mental.

Să găsim vectorii:

Să calculăm produsul scalar:

Și lungimile vectorilor:

Cosinusul unghiului:

Aceasta este exact ordinea de finalizare a sarcinii pe care o recomand pentru manechin. Cititorii mai avansați pot scrie calculele „într-o singură linie”:

Iată un exemplu de valoare a cosinusului „proastă”. Valoarea rezultată nu este finală, așa că nu are rost să scapi de iraționalitatea la numitor.

Să găsim unghiul în sine:

Dacă te uiți la desen, rezultatul este destul de plauzibil. Pentru a verifica, unghiul poate fi măsurat și cu un raportor. Nu deteriorați capacul monitorului =)

Răspuns:

În răspuns nu uităm că întrebat despre unghiul unui triunghi(și nu despre unghiul dintre vectori), nu uitați să indicați răspunsul exact: și valoarea aproximativă a unghiului: , găsit folosind un calculator.

Cei care s-au bucurat de procesul pot calcula unghiurile și pot verifica validitatea egalității canonice

Exemplul 17

Un triunghi este definit în spațiu de coordonatele vârfurilor sale. Aflați unghiul dintre laturile și

Acesta este un exemplu de rezolvat singur. Soluție completă și răspuns la sfârșitul lecției

O scurtă secțiune finală va fi dedicată proiecțiilor, care implică și un produs scalar:

Proiecția unui vector pe un vector. Proiecția unui vector pe axele de coordonate.
Cosinusurile de direcție ale unui vector

Luați în considerare vectorii și:

Să proiectăm vectorul pe vector pentru a face acest lucru, de la începutul și sfârșitul vectorului pe care îl omitem perpendiculare la vector (linii punctate verzi). Imaginează-ți că razele de lumină cad perpendicular pe vector. Apoi segmentul (linia roșie) va fi „umbra” vectorului. În acest caz, proiecția vectorului pe vector este LUNGIMEA segmentului. Adică PROIECȚIA ESTE UN NUMĂR.

Acest NUMĂR este notat după cum urmează: , „vector mare” denotă vectorul CARE proiect, „vector indice mic” denotă vectorul PE care este proiectat.

Intrarea în sine se citește astfel: „proiecția vectorului „a” pe vectorul „fi”.”

Ce se întâmplă dacă vectorul „fi” este „prea scurt”? Desenăm o linie dreaptă care conține vectorul „fi”. Și vectorul „a” va fi proiectat deja în direcția vectorului „fi”, pur și simplu - la linia dreaptă care conține vectorul „fi”. Același lucru se va întâmpla dacă vectorul „a” este amânat în al treizecilea regat - va fi încă proiectat cu ușurință pe linia dreaptă care conține vectorul „fi”.

Dacă unghiulîntre vectori picant(ca in poza), atunci

Dacă vectorii ortogonală, atunci (proiecția este un punct ale cărui dimensiuni sunt considerate zero).

Dacă unghiulîntre vectori bont(în figură, rearanjați mental săgeata vectorială), apoi (aceeași lungime, dar luată cu semnul minus).

Să tragem acești vectori dintr-un punct:

Evident, atunci când un vector se mișcă, proiecția lui nu se modifică

Unghiul dintre vectori

Luați în considerare doi vectori dați $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$. Să scădem vectorii $\overrightarrow(a)=\overrightarrow(OA)$ și $\overrightarrow(b)=\overrightarrow(OB)$ dintr-un punct ales arbitrar $O$, apoi unghiul $AOB$ se numește unghiul dintre vectorii $\overrightarrow( a)$ și $\overrightarrow(b)$ (Fig. 1).

Poza 1.

Rețineți că dacă vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt codirecționali sau unul dintre ei este vectorul zero, atunci unghiul dintre vectori este $0^0$.

Notație: $\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))$

Conceptul de produs scalar al vectorilor

Din punct de vedere matematic, această definiție poate fi scrisă după cum urmează:

Produsul punctual poate fi zero în două cazuri:

Dacă unul dintre vectori este un vector zero (Deoarece atunci lungimea lui este zero).

Dacă vectorii sunt reciproc perpendiculari (adică $cos(90)^0=0$).

De asemenea, rețineți că produsul scalar este mai mare decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este acut (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ ) >0$) , și mai mic decât zero dacă unghiul dintre acești vectori este obtuz (deoarece $(cos \left(\widehat(\overrightarrow(a),\overrightarrow(b))\right)\ )

Legat de conceptul de produs scalar este conceptul de pătrat scalar.

Definiția 2

Pătratul scalar al unui vector $\overrightarrow(a)$ este produsul scalar al acestui vector cu el însuși.

Constatăm că pătratul scalar este egal cu

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(a)=\left|\overrightarrow(a)\right|\left|\overrightarrow(a)\right|(cos 0^0\ )=\left|\overrightarrow(a )\right|\left|\overrightarrow(a)\right|=(\left|\overrightarrow(a)\right|)^2\]

Calcularea produsului scalar din coordonatele vectoriale

Pe lângă modalitatea standard de găsire a valorii produsului scalar, care rezultă din definiție, există o altă modalitate.

Să luăm în considerare.

Fie vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ să aibă coordonatele $\left(a_1,b_1\right)$ și, respectiv, $\left(a_2,b_2\right)$.

Teorema 1

Produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ este egal cu suma produselor coordonatelor corespunzătoare.

Din punct de vedere matematic, aceasta poate fi scrisă după cum urmează

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=a_1a_2+b_1b_2\]

Dovada.

Teorema a fost demonstrată.

Această teoremă are mai multe consecințe:

Corolarul 1: Vectorii $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ sunt perpendiculari dacă și numai dacă $a_1a_2+b_1b_2=0$

Corolarul 2: Cosinusul unghiului dintre vectori este egal cu $cos\alpha =\frac(a_1a_2+b_1b_2)(\sqrt(a^2_1+b^2_1)\cdot \sqrt(a^2_2+b^2_2))$

Proprietăți ale produsului scalar al vectorilor

Pentru oricare trei vectori și un număr real $k$ este adevărat:

$(\overrightarrow(a))^2\ge 0$

Această proprietate rezultă din definiția unui pătrat scalar (Definiția 2).

Legea călătoriilor:$\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=\overrightarrow(b)\overrightarrow(a)$.

Această proprietate rezultă din definiția produsului scalar (Definiția 1).

Legea distributivă:

$\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(\overrightarrow(a)+\overrightarrow(b)\right)\overrightarrow(c)=\left(a_1+a_2\right)a_3+\left(b_1+b_2\right)b_3=a_1a_3+a_2a_3+ b_1b_3 +b_2b_3==\overrightarrow(a)\overrightarrow(c)+\overrightarrow(b)\overrightarrow(c)\]

Legea combinației:$\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))$. \end(enumerați)

Prin teorema 1, avem:

\[\left(k\overrightarrow(a)\right)\overrightarrow(b)=ka_1a_2+kb_1b_2=k\left(a_1a_2+b_1b_2\right)=k(\overrightarrow(a)\overrightarrow(b))\]

Un exemplu de problemă pentru calcularea produsului scalar al vectorilor

Exemplul 1

Găsiți produsul scalar al vectorilor $\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow(b)$ dacă $\left|\overrightarrow(a)\right|=3$ și $\left|\overrightarrow(b)\right |= 2$, iar unghiul dintre ele este $((30)^0,\ 45)^0,\ (90)^0,\ (135)^0$.

Soluţie.

Folosind Definiția 1, obținem

Pentru $(30)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((30)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(3))(2)=3\sqrt( 3)\]

Pentru $(45)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((45)^0\right)\ )=6\cdot \frac(\sqrt(2))(2)=3\sqrt( 2)\]

Pentru $(90)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((90)^0\right)\ )=6\cdot 0=0\]

Pentru $(135)^0:$

\[\overrightarrow(a)\overrightarrow(b)=6(cos \left((135)^0\right)\ )=6\cdot \left(-\frac(\sqrt(2))(2)\ dreapta)=-3\sqrt(2)\]