Linearna aproksimacija c. Linearna aproksimacija. Linije trenda na grafikonu

Linearna aproksimacija- (Linearna aproksimacija) – vidi Aproksimacija, Linearnost u ekonomiji...

linearna aproksimacija- linearna aproksimacija Aproksimacija je približan izraz bilo koje veličine ili objekta kroz druge jednostavnije veličine ili objekte. Kod linearne aproksimacije, aproksimacija se konstruira korištenjem linearnih funkcija. ] Teme informaciona sigurnost EN linearna aproksimacija blok šifri... Vodič za tehnički prevodilac

komadno linearna aproksimacija funkcije- - [L.G. Englesko-ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: Državno preduzeće TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije ukupna EN komadno linearna aproksimacija... Vodič za tehnički prevodilac

Aproksimacija- „zamjena nekih matematičkih objekata drugim, u ovom ili onom smislu bliskim izvornim“; posebno približni izraz složena funkcija koristeći jednostavnije. Na primjer, s komadno linearnim A., kontinuiranim ... ... Ekonomsko-matematički rječnik

aproksimacija- “Zamjena nekih matematičkih objekata drugim, u ovom ili onom smislu bliskim originalnim.” Konkretno, aproksimativni izraz složene funkcije koristeći jednostavnije. Na primjer, s komadno linearnim A., kontinuiranim ... ... Vodič za tehnički prevodilac

Grupa linearne transformacije vektorski prostor V konačne dimenzije n nad nekim tijelom K. Izbor baze u prostoru V realizira linearnu grupu kao grupu nedegeneriranih kvadratnih matrica stepena n nad tijelom K. Tako je uspostavljen izomorfizam... Mathematical Encyclopedia

Numeričke metode rješavanja metoda koje omogućavaju dobivanje rješenja L.K.Z. u obliku tablice njegovih približnih vrijednosti u tačkama mreže, bez korištenja preliminarnih informacija o očekivanom obliku rješenja. Tipična pretpostavka za teoriju ovih metoda je... Mathematical Encyclopedia

Metoda za rješavanje klase statističkih problema. procjena, u kojoj je nova procijenjena vrijednost dopuna postojeće procjene zasnovane na novom zapažanju. Prvi postupak S. a. je 1951. godine predložili H. Robbins i S. Monroe. Mathematical Encyclopedia

Aproksimacija eksperimentalnih podataka je metoda koja se temelji na zamjeni eksperimentalno dobivenih podataka analitičkom funkcijom koja najbliže prolazi ili se podudara u čvornim točkama s izvornim vrijednostima (podaci dobiveni tijekom eksperimenta ili eksperimenta). Trenutno postoje dva načina za definiranje analitičke funkcije:

Konstruisanjem interpolacionog polinoma n stepena koji prolazi direktno kroz sve tačke datom nizu podataka. U ovom slučaju, aproksimirajuća funkcija je predstavljena u obliku: interpolacijskog polinoma u Lagrangeovom obliku ili interpolacijskog polinoma u Newtonovom obliku.

Konstruiranjem n-stepenog aproksimiranog polinoma koji prolazi u najbližoj blizini tačaka iz datog niza podataka. Dakle, aproksimirajuća funkcija izglađuje sav slučajni šum (ili greške) koji se može pojaviti tijekom eksperimenta: izmjerene vrijednosti tijekom eksperimenta zavise od slučajnih faktora koji fluktuiraju u skladu sa svojim vlastitim slučajni zakoni(greške mjerenja ili instrumenta, nepreciznost ili eksperimentalne greške). U ovom slučaju, aproksimirajuća funkcija se određuje metodom najmanjih kvadrata.

Metoda najmanjeg kvadrata(u literaturi na engleskom jeziku Ordinary Least Squares, OLS) je matematička metoda zasnovana na određivanju aproksimativne funkcije, koja se konstruiše u najbližoj blizini tačaka iz datog niza eksperimentalnih podataka. Bliskost izvorne i aproksimirajuće funkcije F(x) određena je numeričkom mjerom, odnosno: zbir kvadrata odstupanja eksperimentalnih podataka od aproksimirajuće krive F(x) treba da bude najmanji.

Aproksimirajuća kriva konstruirana metodom najmanjih kvadrata

Koristi se metoda najmanjih kvadrata:

Za rješavanje preodređenih sistema jednačina kada broj jednačina premašuje broj nepoznatih;

Naći rješenje u slučaju običnih (ne preodređenih) nelinearnih sistema jednačina;

Za aproksimaciju vrijednosti tačaka nekom aproksimirajućom funkcijom.

Aproksimirajuća funkcija metodom najmanjih kvadrata određena je iz uvjeta minimalnog zbira kvadrata odstupanja izračunate aproksimativne funkcije iz datog niza eksperimentalnih podataka. Ovaj kriterij metode najmanjih kvadrata zapisuje se kao sljedeći izraz:

Vrijednosti izračunate aproksimirajuće funkcije u čvornim točkama,

Dati niz eksperimentalnih podataka na čvornim tačkama.

Kvadratni kriterij ima niz “dobrih” svojstava, kao što je diferencijabilnost, pružajući jedinstveno rješenje problema aproksimacije sa polinomskim aproksimirajućim funkcijama.

U zavisnosti od uslova problema, aproksimirajuća funkcija je polinom stepena m

Stepen aproksimirajuće funkcije ne zavisi od broja čvornih tačaka, ali njena dimenzija uvek mora biti manja od dimenzije (broja tačaka) datog eksperimentalnog niza podataka.

∙ Ako je stepen aproksimirajuće funkcije m=1, tada tabelarnu funkciju aproksimiramo ravnom linijom (linearna regresija).

∙ Ako je stepen aproksimirajuće funkcije m=2, tada tabelu funkciju aproksimiramo kvadratnom parabolom (kvadratna aproksimacija).

∙ Ako je stepen aproksimirajuće funkcije m=3, tada tabelu funkciju aproksimiramo kubnom parabolom (kubična aproksimacija).

U opštem slučaju, kada je potrebno konstruisati aproksimirajući polinom stepena m za date vrednosti tabele, uslov za minimum zbira kvadrata odstupanja po svim čvornim tačkama se prepisuje u sledećem obliku:

- nepoznati koeficijenti aproksimirajućeg polinoma stepena m;

Broj navedenih vrijednosti u tabeli.

Neophodan uslov za postojanje minimuma funkcije je jednakost sa nulom njenih parcijalnih izvoda u odnosu na nepoznate varijable . Kao rezultat dobijamo sledeći sistem jednačina:

Transformirajmo rezultat linearni sistem jednadžbe: otvorite zagrade i pomjerite slobodne članove na desnu stranu izraza. Kao rezultat, rezultujući sistem linearnih algebarskih izraza biće napisan u sledećem obliku:

Ovaj sistem linearni algebarski izrazi mogu se prepisati u matričnom obliku:

Kao rezultat, dobijen je sistem linearnih jednadžbi dimenzije m+1, koji se sastoji od m+1 nepoznatih. Ovaj sistem se može riješiti bilo kojom metodom za rješavanje linearnih algebarskih jednadžbi (na primjer, Gausovom metodom). Kao rezultat rješenja naći će se nepoznati parametri aproksimirajuće funkcije koji daju minimalni zbir kvadrata odstupanja aproksimirajuće funkcije od izvornih podataka, tj. najbolja moguća kvadratna aproksimacija. Treba imati na umu da ako se promijeni čak i jedna vrijednost izvornih podataka, svi koeficijenti će promijeniti svoje vrijednosti, jer su u potpunosti određeni izvornim podacima.

Aproksimacija izvornih podataka linearnom zavisnošću

(linearna regresija)

Kao primjer, razmotrite tehniku ​​za određivanje aproksimativne funkcije, koja je data u obliku linearna zavisnost. U skladu sa metodom najmanjih kvadrata, uslov za minimum zbira kvadrata odstupanja zapisuje se u sledećem obliku:

Koordinate čvorova tablice;

Nepoznati koeficijenti aproksimirajuće funkcije, koja je specificirana kao linearna ovisnost.

Neophodan uslov za postojanje minimuma funkcije je jednakost nuli njenih parcijalnih izvoda u odnosu na nepoznate varijable. Kao rezultat dobijamo sledeći sistem jednačina:

Hajde da transformišemo rezultujući linearni sistem jednačina.

Rešavamo rezultujući sistem linearnih jednačina. Koeficijenti aproksimirajuće funkcije u analitičkom obliku određuju se na sljedeći način (Cramerova metoda):

Ovi koeficijenti osiguravaju konstrukciju linearne aproksimirajuće funkcije u skladu s kriterijem minimiziranja sume kvadrata aproksimirajuće funkcije iz zadanih tabličnih vrijednosti (eksperimentalnih podataka).

Algoritam za implementaciju metode najmanjih kvadrata

1. Početni podaci:

Naveden je niz eksperimentalnih podataka sa brojem mjerenja N

Specificira se stepen aproksimirajućeg polinoma (m).

2. Algoritam proračuna:

2.1. Određeni su koeficijenti za konstruisanje sistema jednačina sa dimenzijama

Koeficijenti sistema jednadžbi (lijeva strana jednadžbe)

- indeks broja kolone kvadratne matrice sistema jednačina

Slobodni članovi sistema linearnih jednačina (desna strana jednačine)

- indeks broja reda kvadratne matrice sistema jednadžbi

2.2. Formiranje sistema linearnih jednačina sa dimenzijom .

2.3. Rješavanje sistema linearnih jednadžbi za određivanje nepoznatih koeficijenata aproksimirajućeg polinoma stepena m.

2.4 Određivanje sume kvadrata odstupanja aproksimativnog polinoma od originalnih vrijednosti u svim čvornim točkama.

Pronađena vrijednost zbira kvadrata odstupanja je najmanja moguća.

Aproksimacija pomoću drugih funkcija

Treba napomenuti da se prilikom aproksimacije izvornih podataka u skladu s metodom najmanjih kvadrata, ponekad kao aproksimirajuća funkcija koriste logaritamska funkcija, eksponencijalna funkcija i funkcija stepena.

Logaritamska aproksimacija

Razmotrimo slučaj kada je data aproksimirajuća funkcija logaritamska funkcija tip:

Aproksimacija, ili aproksimacija- naučna metoda koja se sastoji u zamjeni nekih objekata drugim, u jednom ili drugom smislu bliskim originalnim, ali jednostavnijim. Problemi o kojima se raspravlja u ovom i sljedećem odjeljku koriste početne podatke dobivene kao rezultat tabeliranja date funkcije. Treba imati na umu da su u stvarnim problemima početni podaci rezultati opservacija (provođenje eksperimenata, naučni eksperimenti, posmatranje stvarnih događaja, itd.), koji su podložni greškama mjerenja i drugim slučajnim faktorima. Zadatak istraživača je da od polaznih tačaka (koje su na prvi pogled nasumično locirane) odabere funkcionalni odnos (ako je to uopće moguće), koji najbolji način opisuje distribuciju originalnih podataka iu nekim slučajevima pokušava napraviti predviđanje dalji razvoj(na primjer, studija vremenske serije promjena cijena dionica).

Vježbajte. Napravite tablicu vrijednosti funkcija F(x)=ax²+bx+c Za 11 vrijednosti argumenata x u rasponu –1 ≤ x ≤ +1. Nacrtajte graf ove funkcije, a zatim izvršite aproksimaciju s dvije vrste linija trenda. Koristeći linije trenda, napravite prognozu za dva perioda unaprijed.

Kao iu prethodnim zadacima, unosimo početne podatke: početnu vrijednost argumenta funkcije Xn, konačnu vrijednost argumenta funkcije Xk, broj tačaka dijeljenja funkcije (broj redova tablice) N, formula za korak argumenta funkcije dX, koeficijenti a, b, c, zatim kreirajte glavnu tabelu i napravite dijagram (svi ovi koraci su detaljno opisani u odjeljku):

Linije trenda na grafikonu

Linije trenda vam omogućavaju da grafički prikažete trendove podataka i predvidite njihove daljnje promjene. Ova vrsta analize se naziva i regresiona analiza. Koristeći regresijsku analizu, možete proširiti liniju trenda na grafikonu izvan stvarnih podataka kako biste predvidjeli buduće vrijednosti.

Linije trenda se mogu nacrtati na svim 2D grafikonima(Linija trenda se ne može dodati u 3-D, Radar, Pie, Donut ili Bubble grafikone).

Postoji šest različitih tipova linija trenda:

• Linearno
• Polinom
• Logaritamski
• Eksponencijalno
• Snaga

Linije trenda koje se dodaju u grafički grafikon nemaju utjecaja na same podatke ili originalni grafikon.

Formule za izračunavanje linija trenda

Linearno. Koristi se za linearno prilagođavanje podataka metodom najmanjih kvadrata prema jednadžbi:

gdje: m - ugao nagiba, b - koordinata presjeka ose apscise.

Polinom. Koristi se za polinomsko ili krivolinijsko prilagođavanje podataka najmanjim kvadratima prema jednadžbi:

gdje: b , c 1 , c 2 , … c 6 - konstante.

Možete postaviti polinomski stepen od 2 do 6.

Logaritamski. Koristi se za izvođenje logaritamskih najmanjih kvadrata koji odgovaraju podacima prema jednadžbi:

gdje: c I b - konstante, ln- funkcija prirodnog logaritma.

Eksponencijalno. Koristi se za izvođenje eksponencijalnog najmanjih kvadrata koji odgovara podacima prema jednadžbi:

gdje: c I b - konstante, e- osnova prirodnog logaritma.

Snaga. Koristi se za aproksimaciju podataka najmanjim kvadratima po stepenu prema jednadžbi:

gdje: c I b - konstante.

Bilješka. Eksponencijalni i stepenski tipovi aproksimacije nisu dostupni ako su vrijednosti funkcije F(x) sadrže negativne ili nulte vrijednosti. Osim toga, logaritamski i stepenski tipovi aproksimacije nisu dostupni ako vrijednosti argumenta funkcije x sadrže negativne ili nulte vrijednosti. Budući da laboratorijski zadaci koriste negativnu vrijednost donje granice argumenta Xn (x0), nemojte birati logaritamske i stepene tipove aproksimacije!

Pokretni prosjek je prosječna vrijednost u određenom periodu:

Na grafikonu, linija povučena iz tačaka pokretnog prosjeka omogućava vam da konstruišete izglađenu krivu koja jasnije pokazuje obrazac u razvoju podataka.

Dodavanje linije trenda u niz podataka

Odaberite dijagram (kliknite na bilo koje prazno mjesto na dijagramu), nakon čega će se na traci izbornika pojaviti tri dodatne kartice: Konstruktor , Layout I Format . Na kartici Layout u grupi Analiza kliknite na dugme .

linearna algebarska numerička metoda

Često, kada se analiziraju eksperimentalni podaci, postoji potreba da se pronađe funkcionalni odnos između vrijednosti x i y, koje se dobiju kao rezultat mjerenja. Prilikom analitičkog proučavanja odnosa između dvije veličine x i y dobija se tabela vrijednosti koja se može prikazati i grafički.

Ako je poznat tip aproksimirajuće funkcije, onda se problem aproksimacije svodi samo na pronalaženje koeficijenata (a, b, c,...) uključenih u funkciju. Za pronalaženje ovih koeficijenata koristi se metoda najmanjih kvadrata koja se sastoji u tome da se zbroj kvadrata vertikalnih udaljenosti od tačaka do grafa funkcije y=f(x, a, b, c,.. .) je najmanji: S = i 2 = min, gdje je S i = y i - f(x i , a, b, c,...). Da bismo to učinili, koristimo neophodan uslov za ekstremum funkcije nekoliko varijabli i - f(x i , a, b, c,...)) 2: jednakost parcijalnih izvoda nuli. Kao rezultat, dobijamo sistem. Dakle, pronalaženje koeficijenata se svodi samo na rješavanje sistema:

Linearna regresija

Linearna funkcija ima oblik y = ax + b, stoga je potrebno pronaći dva parametra: a i b, uz uslov da su date koordinate n tačaka, pronađene eksperimentalno sa slučajnim greškama („šum“). Da bismo to učinili, sastavit ćemo funkciju i - (ax i +b)) 2, otvoriti zagrade i - ax i - b) 2 i sastaviti sistem:

Neka je A = i, B = i, C = i x i, D = i 2, tada će sistem poprimiti oblik:

Rešimo ovaj sistem linearnih algebarskih jednadžbi Cramerovom metodom i tako pronađemo tražene vrednosti parametara a i b:

Table. Postoje tačke:

Koristeći metodu izračunavanja parametara linearne funkcije, dobijamo:

a = 0,1215455, b = - 0,2140002

Transkript

1 PRIBLIŽAVANJE FUNKCIJA. OSNOVNI POJMOVI I DEFINICIJE Izjava o problemu. Osnova matematičkih modela mnogih procesa i pojava u fizici, hemiji, biologiji, ekonomiji i drugim oblastima su jednadžbe razne vrste : nelinearne jednadžbe, obične diferencijalne jednadžbe, parcijalne diferencijalne jednadžbe, itd. Za rješavanje takvih jednadžbi potrebno je biti u stanju izračunati vrijednosti funkcija uključenih u opis matematičkog modela procesa ili pojave koja se razmatra, za proizvoljnu vrijednost argumenta. Za složene modele, takvi proračuni mogu biti radno intenzivni čak i kada se koristi kompjuter. Funkcije koje se koriste u matematičkim modelima mogu se specificirati ili analitički (u obliku formule) ili tabelarno, u kojima je funkcija poznata samo za određene diskretne vrijednosti argumenta. Konkretno, ako se funkcionalna ovisnost dobije kao rezultat proračuna izvedenih na računalu, ili u procesu mjerenja provedenih u sklopu eksperimenta, onda se ispostavi da je točno specificirana na tabelarni način. U praksi će nam možda trebati vrijednosti funkcije u drugim točkama osim onih navedenih u tabeli. Međutim, ove vrijednosti se mogu dobiti samo složenim proračunima ili skupim eksperimentima. Tako, sa stanovišta uštede vremena i novca, dolazimo do zadatka izračunavanja približnih vrijednosti funkcije za bilo koju vrijednost argumenta na osnovu dostupnih tabelarnih podataka. Ovaj problem se rješava približnom zamjenom funkcije jednostavnijom funkcijom, koju je lako izračunati za bilo koju vrijednost argumenta x u datom intervalu njegove promjene. Uvedena funkcija može se koristiti ne samo za približno određivanje numeričkih vrijednosti, već i za izvođenje analitičkih proračuna u teorijskom proučavanju modela. Aproksimacija funkcije jednostavnijom funkcijom naziva se aproksimacija (od latinskog approximo I pristup). Aproksimirajuća funkcija je konstruisana na način da je odstupanje (u određenom smislu) od datog područja minimalno. Koncept malog odstupanja ovisi o tome kako se procjenjuje blizina dviju funkcija, pa će to biti dodatno pojašnjeno kada se razmatraju specifične metode aproksimacije. Kontinuirana aproksimacija. Ako je originalna funkcija data analitičkim izrazom, tada je prilikom konstruiranja aproksimirajuće funkcije moguće zahtijevati minimalno odstupanje jedne funkcije od druge na određenom kontinuiranom skupu tačaka, na primjer, na segmentu. Ova vrsta aproksimacije se naziva kontinuirana ili integralna. Teoretski, za najbolju aproksimaciju, preporučljivo je zahtijevati da u svim točkama određenog segmenta odstupanje aproksimirajuće funkcije od funkcije bude apsolutna vrijednost manje od date vrijednosti:,. U ovom slučaju kažu da funkcija uniformno aproksimira funkciju sa tačnošću e na intervalu. Praktično dobijanje uniformne aproksimacije

2 predstavlja velike poteškoće, pa se ova metoda koristi uglavnom u teorijskim studijama. Najčešće korištena je takozvana aproksimacija srednjeg kvadrata, za koju najmanju vrijednost ima magnitudu. Zahtevajući da parcijalni izvod M u odnosu na parametre koji definišu funkciju nestanu, dobijamo jednadžbe koje nam omogućavaju da pronađemo najbolje (u navedenom smislu) vrednosti ovih parametara. Aproksimacija, u kojoj se aproksimacija gradi na datom diskretnom skupu tačaka, naziva se bazirana na tačkama. Da bi se dobila aproksimacija aproksimacije srednje kvadratne tačke funkcije navedene u tabeli, aproksimirajuća funkcija se konstruiše iz uslova minimalne vrednosti gde su vrednosti funkcije u tačkama. Glavno područje primjene aproksimacije srednjeg kvadrata je obrada eksperimentalnih podataka (konstrukcija empirijskih formula). Druga vrsta aproksimacije tačaka je interpolacija, u kojoj aproksimirajuća funkcija uzima u datim tačkama iste vrijednosti kao i funkcija, tj. U ovom slučaju, blizina interpolirajuće funkcije datoj funkciji je da se njihove vrijednosti poklapaju na datom sistemu tačaka. Na slici su prikazani kvalitativni grafovi interpolacijske funkcije (puna linija) i rezultati aproksimacije srednjeg kvadrata (isprekidana linija). Tačke označavaju tablične vrijednosti funkcije.,

3 INTERPOLACIJA FUNKCIJA. FORMULACIJA INTERPOLACIONOG PROBLEMA Neka poznate vrijednosti neke funkcije f formiraju sljedeću tabelu: x x 0 x 1 x n f(x) y 0 y 1 y n U ovom slučaju potrebno je dobiti vrijednost funkcije f za takvu vrijednost argumenta x koja je uključena u interval, ali se ne poklapa ni sa jednom od vrijednosti x i (i=0,1,n). Klasični pristup rješavanju problema konstruiranja aproksimacijske funkcije zasniva se na zahtjevu striktnog podudaranja vrijednosti f(x) i F(x) u tačkama x i (i=0, 1, 2, n), tj. F(x 0)=y 0, F(x 1)=y 1, F(x n)=y n. (1) U ovom slučaju, pronalaženje približne funkcije naziva se interpolacija (ili interpolacija), a tačke x 0, x 1, x n su interpolacijski čvorovi. Geometrijski, ovo znači da morate pronaći krivu y=f(x) nekog specifičnog tipa koja prolazi kroz dati sistem tačaka M i (x i,y i) (i=0,1,2,n) (vidi sliku) . Ako je x, pronalaženje željene funkcije naziva se ekstrapolacija. U daljem tekstu termin interpolacija će se shvatiti i kao prva i kao druga operacija. Interpolacijski problem može imati u svojoj opštoj formulaciji beskonačan broj rješenja ili uopće nijedno. Međutim, ovaj problem postaje nedvosmislen ako, umjesto proizvoljne funkcije F(x), tražimo neku funkciju određenog tipa koja zadovoljava uvjete (1). Najpogodnija funkcija za praktičnu upotrebu je algebarski polinom stepena n: P n (x)=a 0 x n + a 1 x n a n-1 x + a n Da bi se definisao polinom stepena n, dovoljno je navesti njegov n+ 1 koeficijent. Vrijednosti polinoma je jednostavno izračunati, lako ih je razlikovati, integrirati itd. Stoga se algebarski polinomi široko koriste za aproksimaciju funkcija. U nastavku ćemo detaljno opisati slučajeve interpolacije sa linearnom funkcijom (linearna interpolacija) i kvadratnom funkcijom (kvadratna interpolacija), koja se široko koristi u geografskim istraživanjima.

4 LINEARNA INTERPOLACIJA Dakle, neka je funkcija definirana u tabeli. Rješavanje interpolacionog problema nalazimo u tabeli dva susjedne vrijednosti argument (označimo ih x k i x k+1), između kojih se nalazi data vrijednost x (x k

5 Imajte na umu da drugi izvod funkcije f(x) ima specifično mehaničko značenje. Ako f(x) opisuje zakon kretanja materijalne tačke, onda drugi izvod ove funkcije specificira ubrzanje ove tačke u trenutku x. Činjenica postojanja ograničenja na ubrzanje (ograničenost druge derivacije) sa fizičke tačke gledišta znači da se proces opisan funkcijom f(x) odvija relativno ujednačeno i da se funkcija ne mijenja vrlo brzo. Na primjer, ovo bi bila funkcija koja specificira promjenu dnevne temperature zraka tokom vremena. U praksi se upravo ovaj kriterijum „uglađenosti“ brzine promene procesa može u potpunosti iskoristiti za odgovor na pitanje o validnosti korišćenja linearne interpolacije. Konačno, linearna interpolacija se smatra primjenjivom ako je dodatna greška koju ona unosi primjetno manja od greške mjerenja terenskih podataka. Ako sa m označimo broj posljednje znamenke vrijednosti funkcije datih u tablici, tada će greška mjerenja biti jednaka nejednakosti: a uvjet primjenjivosti linearne interpolacije bit će napisan u obliku (2 ) Obično pokušavaju uskladiti korak i tačnost tabele tako da uslov (2) bude zadovoljen. Međutim, dešava se da je za zadovoljenje ovog uslova potrebno izabrati premali korak. U ovom slučaju se ovaj uvjet ne uzima u obzir, a za pronalaženje međuvrijednosti funkcije koriste se složenija kvadratna interpolacija ili druge tehnike.

6 KVADRATNA INTERPOLACIJA Neka je ponovo data funkcija f(x) data u tabeli. Pod pretpostavkom da se na intervalu (x k, x k+2) ova funkcija može zamijeniti sa dovoljnim stepenom tačnosti kvadratnom funkcijom, odnosno dio grafa funkcije može biti zamijenjen parabolom (vidi sliku), potrebno je pronaći vrijednost funkcije f(x) u nekoj tački x koja pripada intervalu (x k, x k+2). Kvadratnu funkciju ćemo tražiti u sljedećem obliku:. Na osnovu uslova da se vrijednosti željene kvadratne funkcije poklapaju sa tabeliranim vrijednostima funkcije u tri date tačke, sastavit ćemo sljedeći sistem jednadžbi: Ovo je sistem od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate a , b i c. Njegova determinanta nije jednaka 0 (osim ako tačke ne leže na istoj pravoj). Rješavajući sastavljeni sistem jednačina matričnom metodom, dobijamo sljedeću zavisnost za koeficijente, b i c: Dakle, vrijednost funkcije f(x) u tački x može se približno smatrati jednakom Prirodno je povećati pitanje greške rezultirajuće formule. Razmotrimo razliku između tačne vrijednosti funkcije f(x) i njene približne vrijednosti. Označimo ovu razliku sa (x): (x)= f(x)-ax 2 -bx-c.

7 Pristupili smo problemu procjene vrijednosti funkcije j (x) za x koji prolazi kroz interval (x k, x k+2). U slučaju koji se razmatra, moraćemo da pretpostavimo da je treći izvod funkcije f(x) na intervalu koji se razmatra kontinuiran i da zadovoljava nejednakost:. Tada sljedeća procjena vrijedi za (x):

8 REGRESIJSKA ANALIZA. POSTAVKA PROBLEMA Jedan od tipičnih problema obrade eksperimentalnih podataka (ED) je utvrđivanje kvantitativne zavisnosti pokazatelja kvaliteta objekta o vrijednostima njegovih parametara i karakteristikama vanjskog okruženja. Primjer takve formulacije problema je uspostavljanje veze između vremena obrade upita baze podataka i intenziteta ulaznog toka. Vrijeme obrade ovisi o mnogim faktorima, uključujući lokaciju traženih informacija na vanjskim medijima i složenost zahtjeva. Stoga se vrijeme obrade za određeni zahtjev može smatrati slučajnom varijablom. Ali u isto vrijeme, sa povećanjem intenziteta toka zahtjeva, treba očekivati ​​povećanje njegove prosječne vrijednosti, tj. uzeti u obzir da su vrijeme obrade i intenzitet toka zahtjeva povezani korelacijom. Iskaz problema regresione analize je formulisan na sledeći način. Postoji skup rezultata opservacije. U ovom skupu jedna kolona odgovara indikatoru za koji je potrebno uspostaviti funkcionalni odnos sa parametrima objekta i okruženja koje predstavljaju preostale kolone. Indikator ćemo označiti sa y * i pretpostaviti da mu odgovara prva kolona matrice posmatranja. Preostale kolone m 1 (m > 1) odgovaraju parametrima (faktorima) x 2, x 3, x m. Potrebno: uspostaviti kvantitativni odnos između indikatora i faktora. U ovom slučaju, problem regresione analize se shvata kao zadatak identifikacije takvog funkcionalnog odnosa y * = f(x 2, x 3, x t), koji najbolje opisuje dostupne eksperimentalne podatke. Pretpostavke: broj opservacija je dovoljan da demonstrira statističke obrasce u vezi sa faktorima i njihovim odnosima; obrađeni ED sadrže neke greške (šum) uzrokovane greškama mjerenja i utjecajem neuračunatih slučajnih faktora; matrica rezultata posmatranja je jedina informacija o objektu koji se proučava koja je dostupna prije početka istraživanja. Funkcija f(x 2, x 3, x t), koja opisuje ovisnost indikatora o parametrima, naziva se regresijska jednačina (funkcija). Pojam „regresija“ (regresija (lat.) povlačenje, povratak na nešto) povezuje se sa specifičnostima jednog od specifičnih problema koji se rješavaju u fazi formiranja metode, a trenutno ne odražava cjelokupnu suštinu metode, tj. ali nastavlja da se koristi. Preporučljivo je rješenje problema regresione analize podijeliti u nekoliko faza: preliminarna obrada ED; odabir vrste regresijskih jednačina; izračunavanje koeficijenata regresijske jednačine; provjera adekvatnosti konstruirane funkcije rezultatima promatranja.

9 IZBOR VRSTA REGRESIJNE JEDNAČINE Zadatak određivanja funkcionalnog odnosa koji najbolje opisuje ED povezan je sa prevazilaženjem niza fundamentalnih poteškoća. U opštem slučaju, za standardizovane podatke, funkcionalna zavisnost indikatora od parametara može se predstaviti kao y = f(u 1, u 2,...u p) + e (1) gde je f prethodno nepoznata funkcija za biti odlučan; e - Greška ED aproksimacije. Ova jednačina se obično naziva jednadžba regresije uzorka y na u. Ova jednačina karakteriše odnos između varijacije indikatora i varijacija faktora. A mjera korelacije mjeri udio varijacije u indikatoru koji je povezan s varijacijama faktora. Drugim riječima, korelacija između indikatora i faktora ne može se tumačiti kao veza između njihovih nivoa, a regresiona analiza ne objašnjava ulogu faktora u kreiranju indikatora. Druga karakteristika se odnosi na procjenu stepena uticaja svakog faktora na indikator. Jednačina regresije ne daje procjenu posebnog uticaja svakog faktora na indikator; Ako je faktor koji se proučava povezan s drugim faktorima koji utiču na indikator, tada će se dobiti mješovita karakteristika utjecaja faktora. Ova karakteristika sadrži kako direktan uticaj faktora tako i indirektan uticaj koji se vrši kroz povezanost sa drugim faktorima i njihov uticaj na indikator. Nije preporučljivo uključiti faktore koji su slabo povezani sa indikatorom, ali su usko povezani sa drugim faktorima, u jednačinu regresije. Faktori koji su međusobno funkcionalno povezani također nisu uključeni u jednačinu (za njih je koeficijent korelacije 1). Uključivanje takvih faktora dovodi do degeneracije sistema jednačina za procjenu koeficijenata regresije i do nesigurnosti rješenja. Funkcija f mora biti odabrana tako da je greška e na neki način minimalna. Postoji beskonačan broj funkcija koje opisuju ED apsolutno tačno (e = 0), tj. takve funkcije da za sve vrijednosti parametara u j,2, u j,3, u j,t uzimaju tačno odgovarajuće vrijednosti indikatora y i, i = 1, 2, n istovremeno, za sve ostale vrijednosti parametara kojih nema u rezultatima posmatranja, vrijednosti indikatora mogu imati bilo koju vrijednost. Jasno je da takve funkcije ne odgovaraju stvarnom odnosu između parametara i indikatora. Da bi se izabrala funkcionalna veza, unaprijed se postavlja hipoteza o tome kojoj klasi funkcija f može pripadati, a zatim se bira „najbolja“ funkcija u ovoj klasi. Odabrana klasa funkcija mora imati neku „glatkost“, tj. “male” promjene u vrijednostima argumenata trebale bi uzrokovati “male” promjene u vrijednostima funkcije (ED-ovi sadrže neke greške mjerenja, a na ponašanje samog objekta utječe šum koji maskira pravi odnos između parametri i indikator). Klasa polinomskih funkcija je jednostavna, pogodna za praktičnu upotrebu i ispunjava navedeni uvjet (2) Za takvu klasu problem izbora funkcije se svodi na problem izbora vrijednosti koeficijenata a 0, a j, a jk, a jj,. Međutim, univerzalnost polinomske reprezentacije je osigurana samo ako je moguće neograničeno povećati stepen polinoma, što u praksi nije uvijek dozvoljeno, pa se moraju koristiti druge vrste funkcija.

10 Poseban slučaj koji se široko koristi u praksi je polinomska jednačina prvog stepena ili jednačina linearne regresije. (3) Ovu jednačinu u regresionoj analizi treba tumačiti kao vektorsku, jer je riječ o matrici podataka, i = 1, 2, n. () Obično nastoje da daju broj zapažanja koja bi premašila broj procenjenih koeficijenata modela. Za linearnu regresiju kada je n > m, broj jednačina premašuje broj polinomskih koeficijenata koje treba odrediti. Ali čak i u ovom slučaju, nemoguće je odabrati koeficijente na način da greška u svakoj skalarnoj jednadžbi padne na nulu, jer nepoznate uključuju a j i e i, njihov broj n + m 1, tj. je uvijek veći od broja jednačina n. Slično razmišljanje vrijedi za polinome većeg od prvog. Za odabir vrste funkcionalne ovisnosti možemo preporučiti sljedeći pristup: tačke sa vrijednostima indikatora grafički se prikazuju u prostoru parametara. Sa velikim brojem parametara, moguće je konstruisati tačke za svaku od njih, dobijajući dvodimenzionalne distribucije vrednosti; Na osnovu lokacije tačaka i na osnovu analize suštine odnosa između indikatora i parametara objekta, donosi se zaključak o približnom tipu regresije ili njenoj moguće opcije; Nakon izračunavanja parametara, ocjenjuje se kvalitet aproksimacije, tj. procijeniti stepen sličnosti između izračunatih i stvarnih vrijednosti; ako su izračunate i stvarne vrijednosti bliske u cijelom području zadatka, onda se problem regresione analize može smatrati riješenim. U suprotnom, možete pokušati odabrati drugu vrstu polinoma ili neku drugu analitičku funkciju, kao što je periodična.

11 IZRAČUN KOEFICIJENATA REGRESIONE JEDNAČINE. Metoda najmanjeg kvadrata Sistem jednačina (4) zasnovan na raspoloživom ED ne može se jednoznačno riješiti, jer je broj nepoznatih uvijek veći od broja jednačina. Da bi se ovaj problem prevazišao, potrebne su dodatne pretpostavke. Zdrav razum nalaže: preporučljivo je odabrati koeficijente polinoma na način da se osigura minimalna greška u aproksimaciji ED. Za procjenu aproksimacijskih grešaka mogu se koristiti različite mjere. Kao takva mjera se široko koristi srednja kvadratna greška. Na osnovu njega razvijena je posebna metoda za procjenu koeficijenata regresionih jednačina, metoda najmanjih kvadrata (LSM). Ova metoda vam omogućava da dobijete procjene maksimalne vjerovatnoće nepoznatih koeficijenata regresione jednadžbe pod opcijom normalne distribucije, ali se može koristiti za bilo koju drugu distribuciju faktora. OLS se zasniva na sljedećim odredbama: vrijednosti vrijednosti grešaka i faktora su nezavisne, a samim tim i nekorelirane, tj. pretpostavlja se da mehanizmi za generisanje smetnji nisu povezani sa mehanizmom za generisanje vrednosti faktora; matematičko očekivanje greške e mora biti jednako nuli (konstantna komponenta je uključena u koeficijent a 0), drugim riječima, greška je centrirana veličina; procjena uzorka varijanse greške treba biti minimalna. Razmotrimo upotrebu OLS-a u odnosu na linearnu regresiju standardiziranih vrijednosti. Za centrirane vrijednosti u j koeficijent a 0 je jednak nuli, zatim jednadžbe linearne regresije. (5) Ovdje je uveden poseban znak “^” koji označava vrijednosti indikatora izračunate pomoću regresione jednadžbe, za razliku od vrijednosti dobijenih iz rezultata opservacije. Koristeći metodu najmanjih kvadrata, određuju se takve vrijednosti koeficijenata regresijske jednadžbe koje daju bezuvjetni minimum izrazu. (6) Minimum se nalazi izjednačavanjem sa nulom svih parcijalnih izvoda izraza (6), uzetih s obzirom na nepoznate koeficijente, i rješavanjem sistema jednačina (7) Dosljednim izvođenjem transformacija i korištenjem prethodno uvedenih procjena korelacije koeficijenti

Dobijamo 12. (8) Dakle, dobijene su m 1 linearne jednadžbe, što omogućava jedinstveno izračunavanje vrijednosti a 2, a 3, a m. Upotreba najmanjih kvadrata za nelinearne funkcije se praktički ne razlikuje od razmatrane sheme (samo koeficijent a 0 u originalnoj jednačini nije jednak nuli). Na primjer, neka je potrebno odrediti koeficijente paraboličke regresije = a 0 + a 2 u 2 + a 22 u 2 2. Varijanca greške uzorka. Na osnovu njega možemo dobiti sljedeći sistem jednačina. Nakon transformacije, sistem jednačina će poprimiti oblik Uzimajući u obzir svojstva momenata standardiziranih veličina, pišemo Određivanje koeficijenata nelinearne regresije na osnovu rješavanja sistema. linearne jednačine. Da biste to učinili, možete koristiti univerzalne pakete numeričke metode ili specijalizovani paketi za obradu statističkih podataka. Kako se stepen jednačine regresije povećava, tako raste i stepen momenata distribucije parametara koji se koriste za određivanje koeficijenata. Da, za

13 za određivanje koeficijenata regresione jednačine drugog stepena koriste se momenti distribucije parametara do zaključno četvrtog stepena. Poznato je da tačnost i pouzdanost procene momenata iz ograničenog uzorka ED naglo opada kako se njihov red povećava. Upotreba polinoma stepena višeg od drugog u regresijskim jednačinama je neprikladna. Kvalitet rezultirajuće regresione jednadžbe ocjenjuje se stepenom bliskosti između rezultata posmatranja indikatora i vrijednosti ​​predviđenih regresionom jednadžbom u datim tačkama u prostoru parametara. Ako su rezultati bliski, onda se problem regresione analize može smatrati riješenim. U suprotnom, trebali biste promijeniti jednadžbu regresije (odabrati drugi stepen polinoma ili sasvim drugu vrstu jednačine) i ponoviti proračune da biste procijenili parametre. Ako postoji više indikatora, problem regresione analize rješava se nezavisno za svaki od njih. Analizirajući suštinu jednačine regresije, treba napomenuti sljedeće. Razmatrani pristup ne daje odvojenu (nezavisnu) ocjenu koeficijenata; promjena vrijednosti jednog koeficijenta povlači za sobom promjenu vrijednosti drugih; Dobijene koeficijente ne treba smatrati doprinosom odgovarajućeg parametra vrijednosti indikatora. Jednačina regresije je samo dobar analitički opis postojećeg ED, a ne zakon koji opisuje odnos između parametara i indikatora. Ova jednadžba se koristi za izračunavanje vrijednosti indikatora u datom rasponu promjena parametara.

Postavka problema, osnovni pojmovi Konačne razlike i njihova svojstva Interpolacijski polinomi Procjena ostatka člana interpolacijskih polinoma Izjava problema, osnovni pojmovi Neka, tj.

Kremenčugski Nacionalni univerzitet nazvan po Mihailu Ostrogradskom MATEMATIČKE METODE MODELIRANJA Matematičke metode računanja na RAČUNARU A.P. Cherny, doktor tehničkih nauka, profesor http:\\saue.kdu.edu.ua 2 PREDAVANJE

METODE INTERPOLACIJE I APROKSIMACIJE Interpolacija Interpolacija je metoda pronalaženja međuvrijednosti veličine iz postojećeg diskretnog skupa poznatih vrijednosti, prilikom promjene

APOKSIMACIJA FUNKCIJA NUMERIČKA DIFERENCIJACIJA I INTEGRACIJA Ovaj odjeljak razmatra probleme aproksimacije funkcija korištenjem Lagrangeovih i Newtonovih polinoma korištenjem spline interpolacije

66 Dakle, tačka A je globalna tačka maksimuma, a tačka M globalna minimalna tačka date funkcije u zatvorenom području D 5 Empirijske formule Određivanje parametara empirijskih formula

1 Lagrangeov polinom Neka se iz eksperimenta dobiju vrijednosti nepoznate funkcije (x i = 01 x [ a b] i i i).

Konstrukcija MM statike tehnoloških objekata Prilikom proučavanja statike tehnoloških objekata najčešće se susreću objekti sa sledećim tipovima strukturnih dijagrama (sl. O sa jednim ulazom x i jednim

Postavka aproksimacionog problema Linearna, nelinearna (drugog reda) aproksimacija Predavanje 5 Postavljanje aproksimacionog problema Neka, dok proučavamo nepoznatu funkcionalnu zavisnost y=f(x),

Predavanje 3 5. METODE APOKSIMACIJE FUNKCIJA POSTAVKA ZADATAKA Razmatramo mrežne tabelarne funkcije [ a b] y 5. definisane u čvorovima mreže Ω. Svaku mrežu karakteriziraju koraci h neravni ili h

Predmet. Numeričke metode za rješavanje problema aproksimacije Pretpostavit ćemo da je to funkcija argumenta. To znači da se svakoj vrijednosti iz opsega definicije dodjeljuje vrijednost. Na praksi

PREDAVANJE 3 Metode obrade eksperimentalnih podataka Interpolacija U inženjerskim proračunima često je potrebno uspostaviti funkciju f(x) za sve vrijednosti segmenta x ako su njegove vrijednosti poznate u nekim

Stranica Interpolacija - promjena (lat.) Aproksimacija - aproksimacija (lat.) Interpolacija mrežnih funkcija Zadata mrežna funkcija navedena u tabeli: Predavanje = f () Razmotrit ćemo ovu funkciju f () i neke

Predavanje 4. Rješavanje sistema linearnih jednačina metodom jednostavnih iteracija. Ako sistem ima veliku dimenziju (6 jednačina) ili je matrica sistema rijetka, indirektne iterativne metode su učinkovitije za rješavanje

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RF FEDERALNA DRŽAVNA BUDŽETSKA OBRAZOVNA USTANOVA VISOKOG STRUČNOG OBRAZOVANJA „DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET NIŽNJI NOVGOROD. R.E.

Numeričke metode Tema 2 Interpolacija V I Velikodny 2011 2012 akademska godina 1 Koncept interpolacije Interpolacija je metoda približno ili tačnog pronalaženja bilo koje vrijednosti iz poznatih pojedinačnih vrijednosti

Ojlerova metoda Problem nalaženja određenog rješenja diferencijalne jednadžbe () f (6.) može se približno riješiti numeričkim metodama. Za pronalaženje određenog rješenja jednačine (6.) na intervalu [ a

Laboratorijski rad Interpolacija i aproksimacija funkcija Svrha rada je proučavanje polinomskih funkcija i metoda interpolacije u programskom paketu Matlab. Sadržaj: 1. Predstavljanje polinoma i računanje

46 Poglavlje 9. Regresiona analiza 9.. Problemi regresione analize Tokom statističkih posmatranja obično se dobijaju vrednosti nekoliko karakteristika. Radi jednostavnosti, dalje ćemo razmatrati dvodimenzionalno

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA RUSKE FEDERACIJE Dr obrazovne ustanove viši stručno obrazovanje„Država Iževsk Technical University ODOBRIO rektor I.V. Abramov

Golubev VO Litvinova TE Implementacija algoritma za konstruisanje statističkog modela objekta korišćenjem Brandon metode Postavljanje problema Statistički modeli se kreiraju na osnovu dostupnih eksperimentalnih podataka

6. Traženje empirijskih formula. Aproksimacija 6.. Koncept regresije i korelacije Prilikom proučavanja različitih pojava potrebno je pozabaviti se funkcionalnim vezama između dvije ili više varijabli. Kad ovi

Linearna korelaciona zavisnost Često je u praksi potrebno utvrditi vrstu i proceniti jačinu zavisnosti slučajne varijable koja se proučava Y od jedne ili više drugih veličina (slučajnih ili neslučajnih).

PREDAVANJA IZ RAČUNSKE MATEMATIKE E. S. Tverskaya MSTU im. N.E. Metode aproksimacije Bauman Moskva funkcije. Izjava o problemu aproksimacije funkcije. Problemi koji dovode do problema aproksimacije funkcije. Funkcija

Nastavak predavanja METODE INTEGRALNOG GLAĐIVANJA I TAČKA Metoda najmanjeg kvadrata Neka se tačkom na skupu zadaje mreža PRIMJENA OPŠTENIH POLINOMA i na mreži se specificira mreža

Laboratorijski rad 6. Konstrukcija empirijske zavisnosti toplotnog kapaciteta supstance od temperature. Koncept statistička zavisnost Dvije veličine (na primjer, x i y) mogu biti nezavisne ili povezane

3 Interpolacija funkcija Lagrangeovim polinomom Cilj: razvijanje vještina u interpolaciji tabeliranih funkcija Lagrangeovim polinomom; procjena greške za Lagrangeov polinom Kratke teoretske informacije

6 Metode aproksimacije funkcije. Najbolja aproksimacija. Metode aproksimacije o kojima se govori u prošlom poglavlju zahtijevaju da čvorovi mrežne funkcije striktno pripadaju rezultujućem interpolantu. Ako ne zahtevate

3. Interpolacija podataka 1 3. Interpolacija podataka Gotovo uvijek, uzorci slučajnih brojeva (dobijeni kao rezultat eksperimenta ili generirani u okviru Monte Carlo metoda) se pohranjuju na računarima

Predavanje 5. Elementi teorije korelacije. Funkcionalne, statističke i korelacione zavisnosti. Dvije slučajne varijable mogu se povezati funkcionalnim odnosom, tj. mijenjajući jednu od njih

PREDAVANJE 7 INTERPOLACIJA Na prošlom predavanju razmatran je problem rješavanja preodređenog sistema. Takav sistem ima oblik: a 11 x 1 + a 1 x + + a 1 x = f 1, ( a 1 x 1 + a x + + a x = f, ( a 1 x 1 + a x

Regresiona analiza [Deo II, str. 59-68] Regresiona analiza je namenjena dobijanju teorijske regresione jednačine = f(,), čiji se tip određuje na osnovu karakteristika slučajnog sistema koji se proučava

ANALIZA JEDNOG FAKTORA REGRESIJE Svrha rada je izvođenje jednofaktorske regresione analize zasnovane na polinomskim modelima prvog, drugog i trećeg reda. Teorijska osnova. Pod regresijom

Matematičko modeliranje termoenergetskih objekata Predavanje 1 Nelinearne algebarske i transcendentalne jednadžbe. Termini i koncepti 2 Modeliranje je proučavanje objekta ili sistema objekata pomoću

Predavanje 0.3. Koeficijent korelacije U ekonometrijskim istraživanjima, pitanje prisustva ili odsustva zavisnosti između analiziranih varijabli rješava se metodama korelacione analize. Samo

INTERPOLACIJA FUNKCIJA STAVAK ZADATAKA Zadate: tačke posmatranja y (njihov broj +) a b ; ; y y y y y Pronađite funkciju: F F: y Definicija Tačke y se nazivaju interpolacijski čvorovi Grafička interpretacija

Aproksimacija metodom najmanjih kvadrata Izglađivanje eksperimentalnih zavisnosti metodom najmanjih kvadrata (aproksimacija) Jedan od glavnih zadataka matematičke statistike je pronalaženje zakona distribucije slučajnog

NUMERIČKE METODE U RUDARSKOJ PROIZVODNJI Matematički modeli i numeričke metode Matematički modeli sadrže veze sastavljene na osnovu teorijske analize procesa koji se proučavaju ili dobijaju

Aproksimacija funkcija specificiranih u tablici Funkcije specificirane u tablici. Zavisnost napona pražnjenja plinske praznine sa jednoličnim poljem od udaljenosti između elektroda Udaljenost između kuglica, cm Prečnik

MVDubatovskaya Teorija vjerojatnosti i matematička statistika Predavanje 4 Regresiona analiza Funkcionalne statističke i korelacijske ovisnosti U mnogim primijenjenim (uključujući ekonomske) problemima

3.4. STATISTIČKE KARAKTERISTIKE UZORKA VRIJEDNOSTI PROGNOZNIH MODELA Do sada smo razmatrali metode za konstruisanje prognostičkih modela stacionarnih procesa bez uzimanja u obzir jedne veoma važne karakteristike.

Ministarstvo prosvjete i nauke Ruska Federacija Federalna državna budžetska obrazovna ustanova visokog stručnog obrazovanja "Moskovski državni tehnički univerzitet"

APOKSIMACIJA TABELINIH FUNKCIJA METODOM najmanjeg kvadrata Formulacija aproksimacionog problema Na osnovu rezultata eksperimenata dobijena je tabela sa proizvoljnim rasporedom argumenata: x, y,. Analitički

MINISTARSTVO PROSVETE I NAUKE RUSKOG FEDERACIJE Moskva Državni univerzitet geodezija i kartografija (MIIGAiK) Fakultet za nastavu na daljinu Dopisni odsek `` METODIČKA UPUTSTVA,

5 Metode aproksimacije funkcije. Interpolacija tabličnih funkcija. 5.1 Izjava o problemu aproksimacije funkcije. Aproksimacija funkcije se sastoji u približnoj zamjeni date funkcije f(x nekom funkcijom

Nacionalni univerzitet u Kremenčugu nazvan po Mihailu Ostrogradskom MATEMATIČKE METODE MODELIRANJA Matematičke metode računarskih proračuna A.P. Cherny, doktor tehničkih nauka, profesor http:\\sue.kdu.edu.u 2 PREDAVANJE

55 3 REGRESIJSKA ANALIZA 3 Izjava o problemu regresione analize Ekonomski pokazatelji funkcionisanja preduzeća (sektora privrede) obično se prikazuju u tabelama statističkih podataka:

MOSKVSKI DRŽAVNI TEHNIČKI UNIVERZITET nazvan po N.E. BAUMAN S.P.Erkovich PRIMJENA REGRESIJE I KORELACIONE ANALIZE ZA PROUČAVANJE ZAVISNOSTI U PRAKSI FIZIKE. Moskva, 994.

Tema 2.3. Konstrukcija modela linearne regresije ekonomskog procesa Neka postoje dvije mjerene slučajne varijable (RVs) X i Y. Kao rezultat n mjerenja, dobije se n nezavisnih parova. Prije

APROKSIMACIJA U praksi se često susrećemo sa problemom izglađivanja eksperimentalnih podataka – problemom aproksimacije. Glavni zadatak aproksimacije je konstruirati približnu (aproksimirajuću) funkciju

INTERPOLACIJA TABELENIH ZAVISNOSTI PO POLINOMA U OKRUŽENJU MS EXCEL I MATHCAD PAKET Aleshin A. O., Rasteryaev N.V. Donski državni tehnički univerzitet (DSTU) Rostov na Donu,

RAČUNSKI I GRAFIČKI RAD 4 Interpolacija tabelarnih podataka. Kratki teoretski podaci Problem aproksimacije ili aproksimacije funkcija (od latinskog approimo I pristup) je problem zamjene neke matematičke

Predavanje 8 Tema Poređenje slučajnih varijabli ili karakteristika. Sadržaj teme Analogija diskretnih slučajnih varijabli i uzoraka Vrste zavisnosti dvije slučajne varijable (uzorci) Funkcionalna zavisnost. Regresijske linije.

Ministarstvo obrazovanja i nauke Ruske Federacije MOSKVSKI DRŽAVNI UNIVERZITET ZA GEODEZIJU I KARTOGRAFIJU (MIIGAiK) Fakultet za učenje na daljinu Dopisni odsek GPEmguševa, MDUlymzhiev RAČUNARSTVO

0 7 APOKSIMACIJA EKSPERIMENTALNIH PODATAKA METODOM najmanjeg kvadrata Na početku se podaci istraživanja prikazuju u obliku tabela. Međutim, tabelarni podaci nisu vizualni i ne mogu se koristiti

Poglavlje 4 Sistemi linearnih jednadžbi Predavanje 7 Opća svojstva Definicija Normalni sistem (NS) linearnih diferencijalnih jednadžbi je sistem oblika x A () x + F () () gdje je A() kvadratna matrica

Tema 4. NUMERIČKO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA -1- Tema 4. NUMERIČKO RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA 4.0. Izjava o problemu Problem pronalaženja korijena nelinearne jednadžbe oblika y=f() često se susreće u naučnim

Odabir vrste i određivanje parametara empirijskog odnosa Smjernice na teorijskom dijelu. Empirijski pristup. Sljedeći zadatak se često pojavljuje prije istraživanja u bilo kojoj oblasti. Dostupan

Predavanje 5. Aproksimacija funkcija metodom najmanjih kvadrata. U inženjerskim aktivnostima često postoji potreba da se u obliku funkcionalnog odnosa opiše odnos između veličina navedenih u tabeli.

Laboratorijski rad 6. Aproksimacija funkcija Aproksimacija (aproksimacija) funkcije f (x) je nalaz funkcije g (x) (aproksimirajuća funkcija) koja bi bila bliska datoj. Kriterijumi

“Optimizacija i matematičke metode odlučivanja” čl. Rev. odjelu SS i PD Vladimirov Sergej Aleksandrovič Predavanje 4 Metode matematičke statistike u problemima odlučivanja Uvod SADRŽAJ

INTERPOLACIJA POLINOMAMA Uvod Veoma često naučnici i inženjeri moraju da se bave tabelarnim funkcijama. Ova vrsta funkcije nastaje kada se radi sa eksperimentalnim, statističkim

Poglavlje 7 Obrada eksperimentalnih rezultata u OpeOffice.org Calc U ovom poglavlju ćemo se osvrnuti na mogućnosti OpeOffice.org Calc paketa prilikom rješavanja problema obrade eksperimentalnih podataka. Jedan od uobičajenih

METODA najmanjeg KVADRATA (LS) 1. Dozvolite da proučavate zavisnost jedne fizičke veličine y od druge x, odnosno potražite zavisnost y(x). Na primjer, to može biti ovisnost gustine tvari o temperaturi

Laboratorijski rad 5. Linearna i kvadratna interpolacija. Izjava o problemu aproksimacije funkcije. Iskaz problema: potrebno je približno zamijeniti (aproksimirati) datu funkciju f(x) s nekom

9.5.4. NUMERIČKA INTEGRACIJA DIFERENCIJALNIH JEDNAČINA PRVOG REDA Varijanta na segmentu [ ; ] sa korakom po Ojlerovoj metodi, modifikovanoj Eulerovoj metodi i Runge-Kutta metodi. Pronađite tačno rješenje i

7. KORELACIJSKO-REGRESIJSKA ANALIZA Linearna regresija Metoda najmanjih kvadrata () Linearna korelacija () () 1 Praktična lekcija 7 KORELACIONA-REGRESIJA ANALIZA Za rješavanje praktičnih problema

Lekcija 3 REGRESIJSKA ANALIZA ZA OBRADU EKSPERIMENTALNIH REZULTATA Regresiona analiza se često koristi u hemiji u svrhu obrade eksperimentalnih podataka, čiju ukupnost predstavljaju neki

RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA I SISTEMA NELINEARNIH JEDNAČINA.. RJEŠENJE NELINEARNIH JEDNAČINA oblika Numeričko rješenje nelinearnih algebarskih ili transcendentalnih jednačina. je pronaći vrijednosti

Metoda iteracije Neka je data jednadžba s jednom nepoznatom ((5). Metoda za pronalaženje približnih vrijednosti korijena jednadžbe (5 pomoću formule (jednostavno se zove metoda iteracije. Prilikom rješavanja takvih jednadžbi,

MINISTARSTVO OBRAZOVANJA I NAUKE RUSKE FEDERALNE DRŽAVNE BUDŽETSKO-OBRAZOVNE USTANOVE VISOKOG OBRAZOVANJA "VORONJEŽSKI DRŽAVNI UNIVERZITET" FILIJALA BORISOGLEBSK (BF FSBEI HE "VSU") ODOBRIO je šefa

0 Procjena bliskosti bilo koje korelacijske veze Bliskost linearne korelacijske veze je raspravljano iznad. Neka se kombinuju podaci posmatranja o karakteristikama X i Y