Kalkulator izračunava izvode svih elementarne funkcije, dajući detaljno rješenje. Varijabla diferencijacije određuje se automatski.

Derivat funkcije- jedan od najvažnijih pojmova u matematičkoj analizi. Problemi kao što je, na primjer, računanje trenutnu brzinu tačka po tačka, ako je poznat put koji zavisi od vremena, problem je pronaći tangentu na funkciju u tački.

Najčešće se derivacija funkcije definira kao granica omjera prirasta funkcije i inkrementa argumenta, ako postoji.

Definicija. Neka je funkcija definirana u nekom susjedstvu tačke. Tada se derivacija funkcije u nekoj tački naziva granica, ako postoji

Kako izračunati derivaciju funkcije?

Da biste naučili razlikovati funkcije, morate naučiti i razumjeti pravila diferencijacije i naučite da koristite tabela derivata.

Pravila diferencijacije

Neka i budu proizvoljne diferencibilne funkcije realne varijable i neka realna konstanta. Onda

— pravilo za diferenciranje proizvoda funkcija

— pravilo za diferencijaciju kvocijentnih funkcija

0" visina="33" width="370" style="vertical-align: -12px;"> — diferencijacija funkcije s promjenjivim eksponentom

— pravilo za diferenciranje složene funkcije

— pravilo za diferenciranje funkcije snage

Derivat funkcije na mreži

Naš kalkulator će brzo i precizno izračunati derivaciju bilo koje funkcije na mreži. Program neće pogriješiti prilikom izračunavanja derivata i pomoći će vam da izbjegnete duge i zamorne proračune. Online kalkulator će biti koristan i u slučajevima kada je potrebno provjeriti je li vaše rješenje ispravno, a ako je pogrešno, brzo pronaći grešku.

U ovoj lekciji ćemo se upoznati s konceptom funkcije dvije varijable, a također ćemo detaljno razmotriti najčešći zadatak - pronalaženje parcijalni derivati prvog i drugog reda, potpuni diferencijal funkcije.

Da biste efikasno proučili materijal u nastavku, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "obične" izvode funkcija jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? i Derivat kompleksne funkcije. Trebat će nam i tabela izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku.

Počnimo od samog koncepta funkcije dvije varijable, pokušat ćemo se ograničiti na minimum teorije, budući da stranica ima praktičnu orijentaciju. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.

Primjer: - funkcija dvije varijable.

Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.

Korisno je znati geometrijsko značenje funkcija. Funkcija jedne varijable odgovara određenoj liniji na ravni, na primjer, poznatoj školskoj paraboli. Bilo koja funkcija dvije varijable sa geometrijske tačke gledišta predstavlja površinu u trodimenzionalnom prostoru (ravnine, cilindri, lopte, paraboloidi, itd.). Ali, u stvari, ovo je već analitička geometrija, a matematička analiza je na našem dnevnom redu.

Pređimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one koji su popili nekoliko šoljica kafe i koji se bave nekim neverovatno teškim materijalom: parcijalni derivati ​​su skoro isti kao i “obični” derivati ​​funkcije jedne varijable.

Za parcijalne izvode vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika, na koje ćemo doći za trenutak.

Primjer 1

Pronađite parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Prvo, pronađimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.

Oznake:

Ili – parcijalni izvod u odnosu na “x”

Ili – djelomični izvod u odnosu na “y”

Počnimo sa .

Bitan! Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na “x”, tada je varijabla smatra se konstantom (konstantnim brojem).

Hajde da odlučimo. U ovoj lekciji ćemo odmah dati kompletno rješenje i dati komentare ispod.

Komentari na izvršene radnje:

(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradi ispod premijera sa indeksom.

Pažnja, važno! MI NE GUBIMO indekse tokom procesa rješenja. U ovom slučaju, ako nacrtate "crticu" negdje bez , tada ga nastavnik, u najmanju ruku, može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio točke zbog nepažnje).

(2) Koristimo pravila diferencijacije ; . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se lako mogu primijeniti u jednom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvući iz predznaka derivacije, onda ga stavljamo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma - "sedam".

(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Promenimo mentalno sve "X" u tabeli u "ja". Odnosno, ova tabela jednako vrijedi za (i za svako pismo općenito). U ovom slučaju, formule koje koristimo su: i .

Dakle, pronađeni su parcijalni derivati ​​prvog reda

Nastavljamo sa svima omiljenom temom matematičke analize – derivatima. U ovom članku ćemo naučiti kako pronaći parcijalni derivati ​​funkcije tri varijable: prvi derivati ​​i drugi derivati. Šta treba da znate i umete da savladate gradivo? Vjerovali ili ne, prvo morate biti u stanju pronaći “obične” izvode funkcije jedne varijable - na visokom ili barem prosječnom nivou. Ako je s njima zaista teško, onda počnite s lekcijom Kako pronaći derivat? Drugo, vrlo je važno pročitati članak i shvatiti i riješiti, ako ne sve, onda većinu primjera. Ako je to već urađeno, hodajte sa mnom samouvjerenim hodom, bit će zanimljivo, čak ćete i uživati!

Metode i principi pronalaženja parcijalni derivati ​​funkcije tri varijable su zapravo vrlo slične parcijalnim derivatima funkcija dvije varijable. Funkcija dvije varijable, da vas podsjetim, ima oblik , gdje su “x” i “y” nezavisne varijable. Geometrijski, funkcija dvije varijable predstavlja određenu površinu u našem trodimenzionalnom prostoru.

Funkcija od tri varijable ima oblik , a varijable se pozivaju nezavisnivarijable ili argumentima, varijabla se poziva zavisna varijabla ili funkcija. Na primjer: – funkcija tri varijable

A sada malo o naučnofantastičnim filmovima i vanzemaljcima. Često možete čuti o četverodimenzionalnim, petodimenzionalnim, desetodimenzionalnim itd. prostori. Glupost ili ne?
Na kraju krajeva, funkcija tri varijable implicira činjenicu da se sve stvari odvijaju u četverodimenzionalnom prostoru (zaista, postoje četiri varijable). Grafikon funkcije tri varijable je tzv hiperpovršina. Nemoguće je to zamisliti, jer živimo u trodimenzionalnom prostoru (dužina/širina/visina). Da vam ne bude dosadno sa mnom, nudim kviz. Postaviću nekoliko pitanja, a svi zainteresovani mogu pokušati da odgovore:

– Postoji li četvrti, peti itd. na svijetu? mjerenja u smislu filistarskog poimanja prostora (dužina/širina/visina)?

– Da li je moguće izgraditi četvorodimenzionalni, petodimenzionalni itd. prostor u širem smislu te riječi? Odnosno, dajte primjer takvog prostora u našim životima.

– Da li je moguće putovati u prošlost?

– Da li je moguće putovati u budućnost?

– Da li vanzemaljci postoje?

Za svako pitanje možete izabrati jedan od četiri odgovora:
Da / Ne (nauka ovo zabranjuje) / Nauka ovo ne zabranjuje / Ne znam

Ko odgovori tačno na sva pitanja, najverovatnije će imati neki predmet ;-)

Postepeno ću davati odgovore na pitanja kako lekcija bude napredovala, ne propustite primjere!

U stvari, leteli su. I odmah dobre vijesti: za funkciju od tri varijable vrijede pravila diferencijacije i tablica izvoda. Zato morate biti dobri u ophođenju sa "običnim" derivati ​​funkcija jedna varijabla. Vrlo je malo razlika!

Primjer 1

Rješenje: Nije teško pogoditi - za funkciju od tri varijable postoje tri parcijalni derivati ​​prvog reda, koji se označavaju kako slijedi:

Ili – parcijalni izvod u odnosu na “x”;
ili – parcijalni izvod u odnosu na “y”;
ili – parcijalni derivat u odnosu na “zet”.

Simbol sa osnovnim brojem je češći, ali sastavljači zbirki i priručnika za obuku zaista vole da koriste glomazne simbole za probleme - zato nemojte se izgubiti! Možda ne znaju svi kako pravilno pročitati ove "strašne razlomke" naglas. Primjer: treba čitati na sljedeći način: "de u po de x."

Počnimo s izvodom u odnosu na "x": . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na , zatim varijable I smatraju se konstantama (konstantnim brojevima). A derivacija bilo koje konstante, o, milosti, jednaka je nuli:

Odmah obratite pažnju na indeks - niko vam ne brani da označite da su konstante. Još je zgodnije; preporučujem početnicima da koriste upravo takav zapis, manji je rizik od zabune.

(1) Koristimo svojstva linearnosti izvoda, posebno pomeramo sve konstante izvan predznaka izvoda. Imajte na umu da u drugom terminu nema potrebe za uklanjanjem konstante: pošto je “Y” konstanta, onda je i konstanta. U terminu, „obična“ konstanta 8 i konstanta „zet“ su izvučene iz predznaka derivacije.

(2) Pronalazimo najjednostavnije izvode, ne zaboravljajući da su konstante. Zatim češljamo odgovor.

Parcijalni derivat. Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na “y”, onda su varijable I smatraju se konstantama:

(1) Koristimo svojstva linearnosti. I opet, imajte na umu da su pojmovi , konstante, što znači da ništa ne treba vaditi iz predznaka derivacije.

(2) Pronađite izvode, ne zaboravljajući da su konstante. Zatim ćemo pojednostaviti odgovor.

I na kraju, parcijalni derivat. Kada nađemo parcijalni izvod u odnosu na “zet”, onda su varijable I smatraju se konstantama:

Opšte pravilo očigledan i nepretenciozan: Kada nađemo parcijalni izvodiz bilo kog razloga nezavisna varijabla, dakledva druga nezavisne varijable se smatraju konstantama.

Prilikom obavljanja ovih zadataka, trebali biste biti izuzetno oprezni, posebno Ne možete izgubiti pretplate(koji označavaju koja se varijabla koristi za razlikovanje). Gubitak indeksa bio bi TEBI POGREŠNO. Hmmm…. Smiješno je ako ih nakon takvog zastrašivanja pustim da prođu negdje)

Primjer 2

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije od tri varijable

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Dva razmatrana primjera su prilično jednostavna i, nakon rješavanja nekoliko sličnih problema, čak će se i čajnik naviknuti da ih rješava usmeno.

Da bismo se oslobodili stresa, vratimo se na prvo pitanje kviza: Postoji li na svijetu četvrto, peto itd.? mjerenja u smislu filistarskog poimanja prostora (dužina/širina/visina)?

Tačan odgovor: Nauka to ne zabranjuje. Sva osnovna matematička aksiomatika, teoreme, matematički aparati su lijepi i dosljedan rad u prostoru bilo koje dimenzije. Moguće je da negdje u Univerzumu postoje hiperpovršine izvan kontrole našeg uma, na primjer, četverodimenzionalna hiperpovršina, koja je definirana funkcijom od tri varijable. Ili su možda hiperpovršine pored nas ili smo čak i mi u njima, samo naš vid, druga čula i svest su sposobni da percipiraju i razumeju samo tri dimenzije.

Vratimo se primjerima. Da, ako je neko jako opterećen kvizom, bolje je da pročita odgovore na sljedeća pitanja nakon što naučite kako pronaći parcijalne izvode funkcije tri varijable, inače ću vas oduševiti tokom članka =)

Pored najjednostavnijih primjera 1 i 2, u praksi postoje zadaci koji se mogu nazvati malom slagalicom. Takvi primjeri su, na moju žalost, ispali iz vida kada sam kreirao lekciju Parcijalni izvod funkcije dvije varijable. hajde da se uhvatimo:

Primjer 3

Rješenje:Čini se da je ovdje „sve jednostavno“, ali prvi utisak je varljiv. Kada pronađu parcijalne derivate, mnogi će pogoditi listove čaja i pogriješiti.

Pogledajmo primjer dosljedno, jasno i razumljivo.

Počnimo s parcijalnim derivatom u odnosu na "x". Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na “x”, varijable se smatraju konstantama. Stoga je eksponent naše funkcije također konstanta. Za lutke preporučujem sljedeće rješenje: u nacrtu promijenite konstantu u određeni pozitivan cijeli broj, na primjer, "pet". Rezultat je funkcija jedne varijable:
ili možete napisati i ovako:

Ovo moć funkcija sa kompleksnom bazom (sinusom). Autor:

Sada se toga prisjećamo, ovako:

U završnoj fazi, naravno, rješenje treba napisati ovako:

Nalazimo parcijalni izvod u odnosu na “y”, oni se smatraju konstantama. Ako je "x" konstanta, onda je i konstanta. Na nacrtu radimo isti trik: zamijenite, na primjer, sa 3, "Z" - zamijenite sa istom "pet". Rezultat je opet funkcija jedne varijable:

Ovo indikativno funkcija sa kompleksnim eksponentom. By pravilo diferencijacije složenih funkcija:

Sada se prisjetimo naše zamjene:

ovako:

Na posljednjoj stranici, naravno, dizajn bi trebao izgledati lijepo:

I slučaj ogledala sa parcijalnim izvodom u odnosu na "zet" ( – konstante):

Uz određeno iskustvo, analiza se može provesti mentalno.

Završimo drugi dio zadatka - sastavimo diferencijal prvog reda. Vrlo je jednostavno, po analogiji s funkcijom dvije varijable, diferencijal prvog reda se piše pomoću formule:

U ovom slučaju:

I to je posao. Napominjem da se u praktičnim problemima potpuni diferencijal 1. reda za funkciju od tri varijable treba konstruirati mnogo rjeđe nego za funkciju dvije varijable.

Smiješan primjer za samostalno rješavanje:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije tri varijable i konstruirajte potpuni diferencijal prvog reda

Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije. Ako naiđete na bilo kakve poteškoće, koristite opisani algoritam "Chaynikovsky", zajamčeno će vam pomoći. I dalje koristan savjet – ne žuri. Čak ni ja ne mogu brzo riješiti takve primjere.

Hajde da skrenemo pažnju i pogledamo drugo pitanje: Da li je moguće izgraditi četvorodimenzionalni, petodimenzionalni, itd. prostor u širem smislu te riječi? Odnosno, dajte primjer takvog prostora u našim životima.

Tačan odgovor: Da. Štaviše, vrlo je lako. Na primjer, dodajemo četvrtu dimenziju dužini/širini/visini - vremenu. Popularni četvorodimenzionalni prostor-vreme i dobro poznata teorija relativnosti, koju je Ajnštajn uredno ukrao od Lobačevskog, Poinkarea, Lorenca i Minkovskog. Ni svi ne znaju. Zašto je Ajnštajn dobio Nobelovu nagradu? Došlo je do strašnog skandala u naučnom svetu, a Nobelov komitet je formulisao plagijatorovu zaslugu otprilike ovako: „Za njegov sveukupni doprinos razvoju fizike“. To je to. Brend studenta C Einsteina je čista promocija i PR.

Lako je dodati petu dimenziju razmatranom četverodimenzionalnom prostoru, na primjer: atmosferski pritisak. I tako dalje, tako dalje, tako dalje, onoliko dimenzija koliko navedete u svom modelu - toliko će ih biti. U najširem smislu te riječi, živimo u višedimenzionalnom prostoru.

Pogledajmo još nekoliko tipičnih zadataka:

Primjer 5

Pronađite parcijalne izvode prvog reda u tački

Rješenje: Zadatak u ovoj formulaciji se često nalazi u praksi i uključuje sljedeće dvije radnje:
– potrebno je pronaći parcijalne izvode prvog reda;
– potrebno je izračunati vrijednosti parcijalnih izvoda 1. reda u tački.

Odlučujemo:

(1) Pred nama je složena funkcija, a u prvom koraku treba uzeti izvod arktangensa. U ovom slučaju, mi, zapravo, mirno koristimo tabličnu formulu za izvod arktangensa. By pravilo diferencijacije složenih funkcija rezultat se mora pomnožiti s izvodom interne funkcije (ugradnja): .

(2) Koristimo svojstva linearnosti.

(3) I uzimamo preostale derivacije, ne zaboravljajući da su one konstante.

Prema uslovima dodjele potrebno je u tački pronaći vrijednost pronađenog parcijalnog izvoda. Zamenimo koordinate tačke u pronađenu derivaciju:

Prednost ovog zadatka je činjenica da se drugi parcijalni derivati ​​nalaze prema vrlo sličnoj shemi:

Kao što vidite, predložak rješenja je gotovo isti.

Izračunajmo vrijednost pronađenog parcijalnog izvoda u tački:

I na kraju, derivat u odnosu na "zet":

Spreman. Rješenje se moglo formulirati i na drugi način: prvo pronaći sve tri parcijalne derivacije, a zatim izračunati njihove vrijednosti u tački. Ali, čini mi se, gornja metoda je prikladnija - samo pronađite djelomični derivat i odmah, bez napuštanja blagajne, izračunajte njegovu vrijednost u točki.

Zanimljivo je napomenuti da je geometrijski, tačka vrlo realna tačka u našem trodimenzionalnom prostoru. Vrijednosti funkcije i derivacija su već četvrta dimenzija i niko ne zna gdje se ona geometrijski nalazi. Kako kažu, niko nije puzao po Univerzumu sa mernom trakom niti proveravao.

Budući da je filozofska tema ponovo u usponu, razmotrimo treće pitanje: Da li je moguće putovati u prošlost?

Tačan odgovor: br. Putovanje u prošlost protivreči drugom zakonu termodinamike o nepovratnosti fizičkih procesa (entropiji). Zato vas molim da ne ronite u bazen bez vode, događaj se može ponoviti samo u videu =) Nije uzalud narodna mudrost smislila suprotan svakodnevni zakon: “Dvaput mjeri, jednom seci”. Iako je, zapravo, tužno to što je vrijeme jednosmjerno i nepovratno, niko od nas sutra neće biti mlađi. A razni naučnofantastični filmovi poput "Terminatora" su potpune gluposti sa naučne tačke gledišta. Apsurdno je i sa filozofske tačke gledišta kada Efekat, vraćajući se u prošlost, može da uništi sopstveni Uzrok. .

Zanimljivije je sa derivatom "zet", iako je i dalje skoro isto:

(1) Izvodimo konstante iz predznaka izvoda.

(2) Ovdje je opet proizvod dvije funkcije, od kojih svaka zavisi iz “live” varijable “zet”. U principu, možete koristiti formulu za derivaciju kvocijenta, ali je lakše ići drugim putem - pronaći izvod proizvoda.

(3) Izvod je tabelarni derivat. Drugi pojam sadrži već poznatu derivaciju kompleksne funkcije.

Primjer 9

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije od tri varijable

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Razmislite o tome kako racionalnije pronaći ovaj ili onaj parcijalni izvod. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Prije nego pređemo na posljednje primjere lekcije i pogledamo parcijalni derivati ​​drugog reda funkcije tri varijable, razveselit ću sve ponovo četvrtim pitanjem:

Da li je moguće putovati u budućnost?

Tačan odgovor: Nauka to ne zabranjuje. Paradoksalno, ne postoji matematički, fizički, hemijski ili drugi prirodni zakon koji bi zabranio putovanje u budućnost! Izgleda kao glupost? Ali skoro svi u životu su imali predosjećaj (i ne potkrijepljen nikakvim logičnim argumentima) da će se dogoditi ovaj ili onaj događaj. I dogodilo se! Odakle su došle informacije? Iz budućnosti? Dakle, naučnofantastični filmovi o putovanju u budućnost i, usput rečeno, predviđanja svih vrsta gatara i vidovnjaka ne mogu se nazvati takvom glupošću. Barem nauka ovo nije opovrgla. Sve je moguće! Dakle, kada sam bio u školi, CD-ovi i ravni monitori iz filmova su mi se činili nevjerovatnim.

Čuvena komedija "Ivan Vasiljevič mijenja profesiju" je napola fikcija (najviše). Nijedan naučni zakon nije zabranio Ivanu Groznom da bude u budućnosti, ali nemoguće je da dva paprika završe u prošlosti i obavljaju dužnost kralja.

Parcijalni izvod funkcije dvije varijable.
Koncept i primjeri rješenja

U ovoj lekciji nastavit ćemo upoznavanje s funkcijom dvije varijable i razmotriti možda najčešći tematski zadatak - pronalaženje parcijalne derivacije prvog i drugog reda, kao i totalni diferencijal funkcije. Vanredni studenti se, po pravilu, susreću sa parcijalnim izvedenicama u 1. godini u 2. semestru. Štaviše, prema mojim zapažanjima, zadatak pronalaženja parcijalnih izvoda gotovo se uvijek pojavljuje na ispitu.

Da biste efikasno proučili materijal u nastavku, vi neophodno biti u stanju da više ili manje pouzdano pronađe "obične" izvode funkcija jedne varijable. Na lekcijama možete naučiti kako pravilno rukovati izvedenicama Kako pronaći derivat? I Derivat kompleksne funkcije. Trebat će nam i tabela izvedenica elementarnih funkcija i pravila diferencijacije, najpogodnije je ako je pri ruci u štampanom obliku. Referentni materijal možete dobiti na stranici Matematičke formule i tabele.

Hajde da brzo ponovimo koncept funkcije dve varijable, pokušaću da se ograničim na minimum. Funkcija dvije varijable se obično piše kao , pri čemu se varijable pozivaju nezavisne varijable ili argumentima.

Primjer: – funkcija dvije varijable.

Ponekad se koristi notacija. Postoje i zadaci u kojima se umjesto slova koristi slovo.

Sa geometrijske tačke gledišta, funkcija dvije varijable najčešće predstavlja površinu u trodimenzionalnom prostoru (ravan, cilindar, sfera, paraboloid, hiperboloid itd.). Ali, u stvari, ovo je više analitička geometrija, a na našem dnevnom redu je matematička analiza, koju mi ​​profesor sa univerziteta nikada nije dao da otpišem i moja je „jača strana“.

Pređimo na pitanje pronalaženja parcijalnih izvoda prvog i drugog reda. Imam dobre vijesti za one koji su popili nekoliko šoljica kafe i koji se bave nekim neverovatno teškim materijalom: parcijalni derivati ​​su skoro isti kao i “obični” derivati ​​funkcije jedne varijable.

Za parcijalne izvode vrijede sva pravila diferencijacije i tablica izvoda elementarnih funkcija. Postoji samo nekoliko malih razlika, koje ćemo sada upoznati:

...da, usput, za ovu temu sam kreirao mala pdf knjiga, što će vam omogućiti da „uvučete zube“ za samo nekoliko sati. Ali korištenjem stranice sigurno ćete dobiti isti rezultat - samo možda malo sporiji:

Primjer 1

Pronađite parcijalne izvode prvog i drugog reda funkcije

Prvo, pronađimo parcijalne izvode prvog reda. Ima ih dvoje.

Oznake:
ili – parcijalni izvod u odnosu na “x”
ili – djelomični izvod u odnosu na “y”

Počnimo sa . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na “x”, varijabla se smatra konstantom (konstantnim brojem).

Komentari na izvršene radnje:

(1) Prva stvar koju radimo kada pronađemo parcijalni izvod je da zaključimo sve funkcija u zagradi ispod premijera sa indeksom.

Pažnja, važno! MI NE GUBIMO indekse tokom procesa rješenja. U ovom slučaju, ako nacrtate "crticu" negdje bez , onda ga nastavnik, u najmanju ruku, može staviti pored zadatka (odmah odgristi dio tačke zbog nepažnje).

(2) Koristimo pravila diferencijacije , . Za jednostavan primjer kao što je ovaj, oba pravila se lako mogu primijeniti u jednom koraku. Obratite pažnju na prvi pojam: od smatra se konstantom, a svaka konstanta se može izvući iz predznaka derivacije, onda ga stavljamo iz zagrada. Odnosno, u ovoj situaciji nije ništa bolji od običnog broja. Pogledajmo sada treći pojam: ovdje, naprotiv, nema šta da se izvadi. Pošto je konstanta, ona je i konstanta, i u tom smislu nije ništa bolja od posljednjeg pojma - "sedam".

(3) Koristimo tablične derivate i .

(4) Hajde da pojednostavimo, ili, kako ja volim da kažem, „podesimo“ odgovor.

Sad . Kada pronađemo parcijalni izvod u odnosu na “y”, tada je varijablasmatra se konstantnim (konstantnim brojem).

(1) Koristimo ista pravila diferencijacije , . U prvom članu izvlačimo konstantu iz predznaka derivacije, u drugom ne možemo ništa izvaditi jer je već konstanta.

(2) Koristimo tablicu izvoda elementarnih funkcija. Promenimo mentalno sve "X" u tabeli u "ja". Odnosno, ova tabela je jednako važeća za (i zaista za skoro svako slovo). Konkretno, formule koje koristimo izgledaju ovako: i .

Šta je značenje parcijalnih izvoda?

U suštini, parcijalni derivati ​​1. reda liče "obični" derivat:

- Ovo funkcije, koji karakterišu stopa promjene funkcionira u smjeru osi i, respektivno. Tako, na primjer, funkcija karakteriše strminu "uzpona" i "kosina" površine u smjeru ose apscise, a funkcija nam govori o “reljefu” iste površine u smjeru ose ordinata.

! Bilješka : ovdje mislimo na smjernice koje paralelno koordinatne ose.

U svrhu boljeg razumijevanja, razmotrimo određenu tačku na ravni i izračunajmo vrijednost funkcije ("visine") na njoj:
– a sada zamislite da ste ovdje (NA površini).

Izračunajmo parcijalni izvod u odnosu na "x" u datoj tački:

Negativni predznak derivata „X“ nam govori o tome opadajući funkcionira u tački u smjeru ose apscise. Drugim riječima, ako napravimo mali, mali (beskonačno malo) korak prema vrhu ose (paralelno sa ovom osom), onda ćemo se spustiti niz padinu površine.

Sada saznajemo prirodu "terena" u smjeru ordinatne ose:

Izvod u odnosu na “y” je pozitivan, dakle, u tački u smjeru ose funkcija povećava. Pojednostavljeno rečeno, ovdje nas čeka uspon.

Osim toga, parcijalni izvod u tački karakterizira stopa promjene funkcioniše u odgovarajućem pravcu. Što je veća rezultujuća vrijednost modulo– što je površina strmija, i obrnuto, što je bliža nuli, to je površina ravnija. Dakle, u našem primjeru, „nagib“ u smjeru ose apscise je strmiji od „planine“ u smjeru ose ordinate.

Ali to su bila dva privatna puta. Sasvim je jasno da sa tačke na kojoj se nalazimo, (i općenito iz bilo koje točke na datoj površini) možemo krenuti u nekom drugom pravcu. Dakle, postoji interes za stvaranje opće "navigacijske karte" koja bi nas informirala o "pejzažu" površine ako je moguće u svakoj tački domenu definicije ove funkcije svim dostupnim stazama. O ovome i drugim zanimljivim stvarima govorit ću u jednoj od sljedećih lekcija, ali za sada se vratimo na tehničku stranu problema.

Hajde da sistematizujemo elementarna primenjena pravila:

1) Kada diferenciramo u odnosu na , varijabla se smatra konstantom.

2) Kada se diferencijacija vrši prema, tada se smatra konstantom.

3) Pravila i tabela izvoda elementarnih funkcija važe i važe za svaku varijablu (ili bilo koju drugu) pomoću koje se vrši diferencijacija.

Drugi korak. Nalazimo parcijalne izvode drugog reda. Ima ih četiri.

Oznake:
ili – drugi izvod u odnosu na “x”
ili – drugi izvod u odnosu na “y”
ili - mješovito izvedenica od “x po igri”
ili - mješovito izvedenica od "Y"

Sa drugom izvodom nema problema. jednostavnim riječima, drugi izvod je derivat prvog izvoda.

Radi praktičnosti, prepisat ću parcijalne derivate prvog reda koji su već pronađeni:

Prvo, pronađimo mješovite derivate:

Kao što vidite, sve je jednostavno: uzimamo parcijalni izvod i ponovo ga diferenciramo, ali u ovom slučaju - ovaj put prema "Y".

Isto tako:

U praktičnim primjerima možete se usredotočiti na sljedeću jednakost:

Dakle, preko mješovitih izvoda drugog reda vrlo je zgodno provjeriti da li smo pravilno pronašli parcijalne izvode prvog reda.

Pronađite drugi izvod u odnosu na “x”.
Bez izuma, uzmimo i ponovo ga razlikovati sa "x":

Isto tako:

Treba napomenuti da prilikom pronalaženja morate pokazati povećana pažnja, pošto ne postoje čudesne jednakosti koje bi ih proveravale.

Drugi derivati ​​također nalaze širok praktična upotreba, posebno se koriste u zadatku pronalaženja ekstremi funkcije dvije varijable. Ali sve ima svoje vreme:

Primjer 2

Izračunajte parcijalne izvode prvog reda funkcije u tački. Pronađite derivate drugog reda.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovori na kraju lekcije). Ako imate poteškoća s razlikovanjem korijena, vratite se na lekciju Kako pronaći derivat? Općenito, vrlo brzo ćete naučiti pronaći takve derivate "u hodu".

Uzmimo u ruke više složeni primjeri:

Primjer 3

Provjerite to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Rješenje: Pronađite parcijalne izvode prvog reda:

Obratite pažnju na indeks: , pored “X” nije zabranjeno u zagradi napisati da je konstanta. Ova napomena može biti vrlo korisna za početnike kako bi se lakše snašli u rješenju.

Dalji komentari:

(1) Sve konstante pomjeramo izvan predznaka izvoda. U ovom slučaju, i , i, stoga, njihov proizvod se smatra konstantnim brojem.

(2) Ne zaboravite kako pravilno razlikovati korijene.

(1) Sve konstante uzimamo iz predznaka derivacije; u ovom slučaju, konstanta je .

(2) Pod prostim brojem imamo proizvod dviju funkcija lijevo, stoga moramo koristiti pravilo za diferenciranje proizvoda .

(3) Ne zaboravite da je ovo složena funkcija (iako najjednostavnija od složenih). Koristimo odgovarajuće pravilo: .

Sada nalazimo mješovite derivate drugog reda:

To znači da su svi proračuni obavljeni ispravno.

Zapišimo ukupni diferencijal. U kontekstu zadatka koji se razmatra, nema smisla reći koliki je ukupni diferencijal funkcije dvije varijable. Važno je da ovaj diferencijal vrlo često treba zapisati u praktičnim problemima.

Totalni diferencijal prvog reda funkcija dvije varijable ima oblik:

U ovom slučaju:

Odnosno, trebate samo glupo zamijeniti već pronađene parcijalne derivate prvog reda u formulu. U ovoj i sličnim situacijama najbolje je pisati diferencijalne znakove u brojiocima:

I prema uzastopnim zahtjevima čitalaca, kompletan diferencijal drugog reda.

izgleda ovako:

Pažljivo pronađemo "jednoslovne" derivate 2. reda:

i zapišite "čudovište", pažljivo "pričvršćujući" kvadrate, proizvod i ne zaboravljajući udvostručiti mješoviti derivat:

U redu je ako se nešto čini teškim; na derivate se uvijek možete vratiti kasnije, nakon što savladate tehniku ​​diferencijacije:

Primjer 4

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije . Provjerite to. Zapišite ukupni diferencijal prvog reda.

Pogledajmo niz primjera sa složene funkcije:

Primjer 5

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije.

Rješenje:

Primjer 6

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .
Zapišite ukupni diferencijal.

Ovo je primjer koji možete sami riješiti (odgovor na kraju lekcije). Neću vam dati kompletno rješenje jer je prilično jednostavno.

Često se sva gore navedena pravila primjenjuju u kombinaciji.

Primjer 7

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

(1) Koristimo pravilo za diferenciranje zbira

(2) Prvi član se u ovom slučaju smatra konstantom, jer u izrazu nema ničega što zavisi od “x” – samo “y”. Znate, uvijek je lijepo kada se razlomak može pretvoriti u nulu). Za drugi termin primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda. Inače, u tom smislu se ništa ne bi promijenilo da je umjesto nje data funkcija - bitno je da je to ovdje proizvod dvije funkcije, SVAKO zavisi od toga "X", i stoga morate koristiti pravilo diferencijacije proizvoda. Za treći član primjenjujemo pravilo diferencijacije složene funkcije.

(1) Prvi član i u brojniku i u nazivniku sadrži “Y”, stoga morate koristiti pravilo za razlikovanje količnika: . Drugi član zavisi SAMO od “x”, što znači da se smatra konstantom i pretvara se na nulu. Za treći pojam koristimo pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Za one čitaoce koji su hrabro stigli skoro do kraja lekcije, za olakšanje ću vam ispričati stari vic o Mehmatovu:

Jednog dana se u prostoru funkcija pojavila zla izvedenica i počela je sve razlikovati. Sve funkcije su raštrkane na sve strane, niko ne želi da se transformiše! I samo jedna funkcija ne bježi. Izvodica joj prilazi i pita:

- Zašto ne pobegneš od mene?

- Ha. Ali nije me briga, jer ja sam "e na potenciju X", a ti mi nećeš ništa!

Na šta zli derivat sa podmuklim osmehom odgovara:

- Tu se varate, ja ću vas razlikovati po "Y", pa bi trebalo da budete nula.

Ko je shvatio vic, savladao je derivate, barem do nivoa "C").

Primjer 8

Pronađite parcijalne izvode prvog reda funkcije .

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Kompletno rješenje i primjer problema nalaze se na kraju lekcije.

Pa, to je skoro sve. Na kraju, ne mogu a da ne obradujem ljubitelje matematike još jednim primjerom. Ne radi se čak ni o amaterima, svi imaju različit nivo matematičke spreme - ima ljudi (i ne tako retko) koji vole da se takmiče sa težim zadacima. Iako, posljednji primjer u ovoj lekciji nije toliko složen koliko je glomazan sa računske tačke gledišta.

Primjer. Naći parcijalne izvode funkcije y x yxz

Rješenje. Uz pretpostavku da je y =const, nalazimo xy x z

Uz pretpostavku x =const, nalazimo 2 2) 1 (1 y x x y xx y z

Primjer. Pronađite vrijednosti parcijalnih izvoda funkcije u tački M (1, – 1, 0). xyzyxu)ln(

Rješenje. Uz pretpostavku y = const , z = const , nalazimo 10 11 22 1)02(1 22 22 , M czy yz yx x yzx yxx u

Slično nalazimo 10 11 22 1)20(1 22 22 , M czx xz yx y xzy yxy u 110 , M cyx xyxy z ​​u

Geometrijsko značenje parcijalnog izvoda (na primjer) je tangenta ugla nagiba tangente povučene u tački M 0 (x 0 , y 0 , z 0) na presjek površine ravninom y = y 0. xz

Pretpostavimo da funkcija z = f (x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode), (yxf x z x), (yxf y z y

Ovi derivati ​​su pak funkcije nezavisnih varijabli x i y. Nazivaćemo ih i parcijalnim derivatima 1. reda.), (yxf x), (yxf y

Parcijalni derivati ​​2. reda nazivaju se parcijalni derivati ​​parcijalnih izvoda 1. reda. Za funkciju z = f (x, y) od dvije varijable, možete pronaći četiri parcijalne derivacije 2. reda, koje se označavaju na sljedeći način:

U opštem slučaju, mješoviti parcijalni derivati ​​se možda ne podudaraju, ali za njih vrijedi teorema: Teorema. Ako su mješovite parcijalne derivacije kontinuirane u nekoj tački M (x, y), onda su jednake, tj. xyfyxf), (yxfyxf yxxy

Parcijalni derivati ​​n-tog reda nazivaju se parcijalni derivati ​​parcijalnih izvoda (n – 1)-og reda. Oni su označeni, itd. 221, yx z x z n n n

Primjer. Pronađite parcijalne izvode 2. reda funkcije)1 sin(23 xyyxz

Rješenje. Nalazimo ga sekvencijalno); 1 cos(3 22 xyyyx x z cy); 1 cos(2 3 xyxyx y z cx

); 1 sin(6)1 cos(3 22 22 2 2 xyyxy xyyyx xx z cy cy); 1 sin()1 cos(6)1 cos(3 2 22 2 xyyx xyyyx z cx cx

)1 sin()1 cos(6 1 cos(2 2 3 2 xyyx xyxyx xxy z cy cy)1 sin(2)1 cos(2 23 3 2 2 xyxx xyxyx yy z cx cx

Razmotrimo funkciju z = f (x, y). Dajemo argumentu x prirast Δ x, a argumentu y prirast Δ y. Tada će z dobiti prirast koji se naziva ukupni prirast funkcije z.), (yxfyyxxfz

Pretpostavimo da f(x, y) u tački M(x, y) ima kontinuirane parcijalne izvode.

Definicija. Diferencijal 1. reda funkcije z = f (x, y) je glavni dio ukupnog prirasta Δ z ove funkcije, linearnog u odnosu na Δ x i Δ y, označenog simbolom dz ili df i izračunatog pomoću formula y y z x x z zd

Pošto se diferencijali nezavisnih varijabli poklapaju sa njihovim priraštajima, tj. dx = Δ x, dy = Δ y, ova formula se može napisati kao: dy y z dx x z zd

Geometrijsko značenje ukupnog diferencijala funkcije dviju varijabli f (x, y) u tački (x 0, y 0) je povećanje aplikacione (z koordinate) tangentne ravni na površinu pri kretanju od tačka (x 0, y 0) do tačke (x 0 + x, y 0 + y).

Geometrijsko značenje totalnog diferencijala funkcije dvije varijable je prostorni analog geometrijskog značenja diferencijala funkcije jedne varijable.

Diferencijal 2. reda funkcije z = f (x, y) je diferencijal njenog diferencijala 1. reda i označava se sa (zzddd

Ako su sve parcijalne derivacije 2. reda funkcije z = f (x, y) kontinuirane, tada vrijedi formula: 2 2 2 y y z yx yx z x x z zdddddd

Primjer. Pronađite diferencijale 1. i 2. reda funkcije y x yz 2 x

Rješenje. Nađimo parcijalne izvode 1. i 2. reda: y yx x z 1 2 2 2 y x x y z

; 202 1 2 2 2 yy y xy xx z cy ; 1 2 2 2 y xy yyx z cx 33 22 22 2)2(0 y x yx y x x y y z cy

Prema tome, diferencijali 1. i 2. reda će biti zapisani u obliku: dy y x xdx y xyz)() 1 2(d 2 2 2 32 222) 1 2(22 y y x yx y xxyzddddd

Neka je funkcija f (x, y) diferencijabilna u tački (x, y). Nađimo ukupan prirast ove funkcije:), (yxfyyxxfz zyxfyyxxf), (

Ako zamijenimo izraz u ovu formulu, dobićemo približnu formulu: y yf x xf dzz y y yxf x x yxf yyxxf), (

Primjer. Izračunajte približno vrijednost na osnovu vrijednosti funkcije na x = 1, y = 2, z = 102, 1 ln 04, 1 99, 1 zxu y ln

Rješenje. Iz datog izraza određujemo x = 1,04 – 1 = 0,04, y = 1,99 – 2 = -0,01, z = 1,02 – 1 = 0,02 Odredimo vrijednost funkcije u (x, y, z) = 11 ln

Pronađite parcijalne izvode: 1 12 12 ln 2 1 zx xy x u y y 0 ln 2 ln zx xx y u y y

Ukupni diferencijal funkcije u jednak je: 2 1 ln 2 1 zx z z u y

05, 001, 004, 0 02, 0 21 01, 0004, 01 02, 001, 004, 0 zu yu xudu

Tačno značenje ovog izraza je: 1, 049275225687319176. 05, 105, 01)1, 2, 1(02, 1 ln 04, 1 99, 1 duu

Tangentna ravan na površinu u njenoj tački M 0 je ravan koja sadrži sve tangente na krivulje povučene na površini kroz ovu tačku.

Normala na površinu u tački M 0 je prava linija koja prolazi kroz ovu tačku i okomita na tangentnu ravan povučenu u ovoj tački.

Ako je površina data jednačinom F (x, y, z) = 0, onda jednačina tangentne ravni u tački M 0 (x 0, y 0, z 0) ima oblik: 0))((00 0000 zz MF yy MFxx MF z yx

Jednadžbe normale nacrtane na površinu u tački M 0 (x 0 , y 0 , z 0) biće zapisane na sljedeći način:)()()(0 0 0 MF zz MF yy MF xx zyx

Ako je površina data jednačinom z = f (x, y), tada jednačina tangentne ravni u tački M 0 (x 0, y 0, z 0) ima oblik:))(, (000 0000 yyyxf xxyxfzz y x

a normalne jednadžbe će biti zapisane na sljedeći način: 1), (0 00 0 zz yxf yy yxf xx yx

Primjer. Napravite jednadžbe za tangentnu ravan i normalu na površinu u tački M 0 (x 0 , y 0 , z 0) ako je 01332 22 yzxzxyyx. 1, 2 00 yx

Rješenje. Zamjenom x 0 i y 0 u jednačinu površine nalazimo vrijednost z 0: odakle nalazimo z 0 = 1. Dakle, M 0 (2, – 1, 1) je tačka dodira. 01)1(32)1(23)1(2400 2 zz

Prema uslovima problema, površina je specificirana implicitno. Označimo i pronađemo parcijalne izvode u tački M 0 (2, – 1, 1) : 1332), (22 yzxzxyyxzyx.

, 32 zyx. F x 21)1(322)(0 MF x , 334 zxy. F y 51323)1(4)(0 MF y , 3 yx. F z 1)1(32)(0 MF z

Pronađene vrijednosti parcijalnih izvoda zamjenjujemo u jednadžbu tangentne ravni 0))((00 0000 zz. MF yy. MFxx. MF z yx

Normalne jednadžbe imaju oblik 1 1 5 1 2 2 zyx

Definicija. Funkcija z = f (x, y) ima maksimum u tački M 0 (x 0, y 0) ako postoji okolina ove tačke takva da je za bilo koju tačku M (x, y) iz ove okoline sljedeća nejednakost drži, (00 yxfyxf