Svojstva logaritama. Šta je logaritam? Rješenje logaritama. Primjeri. Svojstva logaritama Derivat kompleksne funkcije

Tablica primitiva.

Svojstva neodređenog integrala nam omogućavaju da pronađemo njegov antiderivat iz poznatog diferencijala funkcije. Dakle, koristeći jednakosti i može biti iz tabele izvedenica glavnog elementarne funkcije napravi tabelu primitiva.

Podsjetimo tabela derivata, zapisujemo ga u obliku diferencijala.

Na primjer, pronađimo neodređeni integral funkcije snage.

Korištenje diferencijalne tablice , dakle, po svojstvima neodređenog integrala imamo . Zbog toga ili u drugom unosu

Naći skup antiderivata funkcije stepena za p = -1 . Imamo . Pozivajući se na tablicu diferencijala za prirodni logaritam , dakle, . Zbog toga .

Nadam se da ste shvatili ideju.

Tabela antiderivata (neodređeni integrali).

Formule iz lijevog stupca tabele nazivaju se osnovnim antiderivacijama. Formule iz desnog stupca nisu osnovne, ali se vrlo često koriste pri pronalaženju neodređenih integrala. Mogu se provjeriti diferencijacijom.

Direktna integracija.

Direktna integracija se zasniva na korištenju svojstava neodređenih integrala , , pravila integracije i tabele primitiva.

Obično je integrand prvo potrebno malo transformirati kako bi se mogla koristiti tabela osnovnih integrala i svojstva integrala.

Primjer.

Pronađite integral .

Rješenje.

Koeficijent 3 se može izvaditi ispod znaka integrala na osnovu svojstva:

Transformiramo integrand (prema formulama trigonometrije):

Pošto je integral zbira jednak zbiru integrala, onda

Vrijeme je da se okrenemo tabeli primitiva:

odgovor:

Primjer.

Pronađite skup antiderivata funkcije

Rješenje.

Okrećemo se tablici antiderivata za eksponencijalnu funkciju: . To je, .

Ako koristimo pravilo integracije , tada imamo:

Dakle, tabela antiderivata, zajedno sa svojstvima i pravilom integracije, omogućava nam da pronađemo mnogo neodređenih integrala. Međutim, daleko od uvijek je moguće transformirati integrand da bi se koristila antiderivativna tablica.

Na primjer, u tablici antiderivata nema integrala logaritamske funkcije, funkcije arksinusa, arkosinusa, arktangensa i arkkotangensa, tangentne i kotangensne funkcije. Za njihovo pronalaženje koriste se posebne metode. Ali više o tome u sljedećem odjeljku:

Šta je logaritam?

Pažnja!
Postoje dodatni
materijal u Posebnom dijelu 555.
Za one koji snažno "ne baš..."
I za one koji "jako...")

Šta je logaritam? Kako riješiti logaritme? Ova pitanja zbunjuju mnoge diplomce. Tradicionalno, tema logaritama se smatra složenom, nerazumljivom i zastrašujućom. Posebno - jednadžbe sa logaritmima.

Ovo apsolutno nije istina. Apsolutno! Ne vjerujete? U redu. Sada, nekih 10-20 minuta vi:

1. Razumjeti šta je logaritam.

2. Naučite riješiti cijelu klasu eksponencijalnih jednačina. Čak i ako niste čuli za njih.

3. Naučite izračunati jednostavne logaritme.

Štoviše, za to ćete morati znati samo tablicu množenja i kako se broj podiže na stepen ...

Osećam da sumnjaš... Pa, zadrži vreme! Idi!

Prvo u umu riješite sljedeću jednačinu:

Ako vam se sviđa ovaj sajt...

Inače, imam još par zanimljivih stranica za vas.)

Možete vježbati rješavanje primjera i saznati svoj nivo. Testiranje sa trenutnom verifikacijom. Učenje - sa interesovanjem!)

možete se upoznati sa funkcijama i izvedenicama.

Tabela antiderivata („integrala“). Tabela integrala. Tabelarni ne određeni integrali. (Jednostavni integrali i integrali sa parametrom). Formule za integraciju po dijelovima. Newton-Leibnizova formula.

Tabela antiderivata („integrala“). Tablični neodređeni integrali. (Jednostavni integrali i integrali sa parametrom).
Integral funkcije snage.	Integral funkcije snage.
Integral koji se svodi na integral funkcije stepena ako se x vodi pod znakom diferencijala.

	Eksponencijalni integral, gdje je a konstantan broj.
Integral složene eksponencijalne funkcije.	Integral eksponencijalne funkcije.

Integral jednak prirodnom logaritmu.	Integral: "Dugi logaritam".
	Integral: "Dugi logaritam".
Integral: "Visoki logaritam".	Integral, pri čemu je x u brojniku doveden pod znak diferencijala (konstanta pod predznakom se može i sabrati i oduzeti), kao rezultat, sličan je integralu jednakom prirodnom logaritmu.
Integral: "Visoki logaritam".

Kosinusni integral.	Sinusni integral.
Integral jednak tangenti.	Integral jednak kotangensu.

Integral jednak i arksinusu i arksinusu
Integral jednak i inverznom sinusu i inverznom kosinsu.	Integral jednak i tangentu luka i kotangensu luka.

Integral je jednak kosekansu.	Integral jednak sekanti.
Integral jednak arcsecansu.	Integral jednak kosekansu luka.
Integral jednak arcsecansu.	Integral jednak arcsecansu.

Integral jednak hiperboličkom sinusu.	Integral jednak hiperboličkom kosinsu.

Integral jednak hiperboličkom sinusu, gdje je sinhx hiperbolički sinus na engleskom.	Integral jednak hiperboličkom kosinusu, gdje je sinhx hiperbolički sinus u engleskoj verziji.
Integral jednak hiperboličkom tangentu.	Integral jednak hiperboličkom kotangensu.
Integral jednak hiperboličkom sekansu.	Integral jednak hiperboličkom kosekansu.

Formule za integraciju po dijelovima. Pravila integracije.

Formule za integraciju po dijelovima. Newton-Leibnizova formula Pravila integracije.
Integracija proizvoda (funkcije) pomoću konstante:
Integracija zbira funkcija:
neodređeni integrali:
Formula integracije po dijelovima definitivni integrali:
Newton-Leibnizova formula definitivni integrali:	Gdje su F(a),F(b) vrijednosti antiderivata u tačkama b i a, respektivno.

Tabela derivata. Derivati tabele. Derivat proizvoda. Derivat od privatnog. Derivat složena funkcija.

Ako je x nezavisna varijabla, tada:

Tabela derivata. Derivati tabele. "tabela derivata" - da, nažalost, tako se traže na internetu
	Derivat funkcije moći

	Derivat eksponenta
Derivat složene eksponencijalne funkcije	Derivat eksponencijalne funkcije

Derivat logaritamske funkcije	Derivat prirodnog logaritma
	Derivat prirodnog logaritma funkcije

Sinusni derivat	kosinus derivat
Kosecans derivat	Sekantni derivat
Derivat od arcsinusa	Arc kosinus derivat
Derivat od arcsinusa	Arc kosinus derivat
Tangentni derivat	Kotangens derivat
Arc tangentni derivat	Derivat inverzne tangente
Arc tangentni derivat	Derivat inverzne tangente
Arcsecant derivat	Derivat lučnog kosekansa
Arcsecant derivat	Derivat lučnog kosekansa

Derivat hiperboličkog sinusa Derivat hiperboličkog sinusa u engleskoj verziji	Hiperbolički kosinus derivat Izvod hiperboličkog kosinusa u engleskoj verziji
Derivat hiperboličke tangente	Derivat hiperboličkog kotangensa
Derivat hiperboličkog sekansa	Derivat hiperboličkog kosekansa

Pravila diferencijacije. Derivat proizvoda. Derivat od privatnog. Derivat kompleksne funkcije.
Derivat proizvoda (funkcije) pomoću konstante:
Derivat sume (funkcije):
Derivat proizvoda (funkcija):
Derivat kvocijenta (funkcija):
Derivat kompleksne funkcije:

Svojstva logaritama. Osnovne formule logaritama. Decimalni (lg) i prirodni logaritmi (ln).

Osnovni logaritamski identitet
Pokažimo kako se bilo koja funkcija oblika a b može učiniti eksponencijalnom. Pošto se funkcija oblika e x naziva eksponencijalna, onda
Bilo koja funkcija oblika a b može se predstaviti kao stepen desetice

Prirodni logaritam ln (osnova logaritma e = 2,718281828459045…) ln(e)=1; log(1)=0

Taylor serija. Proširenje funkcije u Taylorov niz.

Ispostavilo se da većina praktično susreli matematičke funkcije mogu biti predstavljene sa bilo kojom tačnošću u blizini određene tačke u obliku nizova stepena koji sadrže stepene varijable u rastućem redosledu. Na primjer, u blizini tačke x=1:

Kada koristite redove pozvane Taylor rows, mješovite funkcije koje sadrže, recimo, algebarske, trigonometrijske i eksponencijalne funkcije mogu se izraziti kao čisto algebarske funkcije. Uz pomoć serija, diferencijacija i integracija se često mogu brzo izvršiti.

Tejlorov red u blizini tačke a ima sledeće oblike:

1) , gdje je f(x) funkcija koja ima derivate svih redova na x=a. R n - preostali član u Taylorovom redu je određen izrazom

k-ti koeficijent (pri x k) serije je određen formulom

3) Poseban slučaj serije Taylor je Maclaurin serija (=McLaren) (dekompozicija se odvija oko tačke a=0)

za a=0

članovi serije su određeni formulom

Uslovi za primenu Taylor serije.

1. Da bi se funkcija f(x) proširila u Taylorov red na intervalu (-R;R), potrebno je i dovoljno da preostali član u Taylorovoj formuli (Maclaurin (=McLaren)) za ovo funkcija teži nuli na k →∞ na specificiranom intervalu (-R;R).

2. Neophodno je da postoje derivati za ovu funkciju u tački u čijoj blizini ćemo graditi Taylorov red.

Svojstva Taylor serije.

Ako je f analitička funkcija, tada njen Tejlorov red u bilo kojoj tački a domena f konvergira u f u nekom okruženju a.

Postoje beskonačno diferencibilne funkcije čiji Taylorov red konvergira, ali se razlikuje od funkcije u bilo kojoj okolini a. Na primjer:

Taylorovi redovi se koriste za aproksimaciju (aproksimacija je naučna metoda koja se sastoji u zamjeni nekih objekata drugim, u jednom ili drugom smislu bliskim originalnim, ali jednostavnijim) funkcijama polinomima. Konkretno, linearizacija ((od linearis - linearan), jedna od metoda aproksimativnog predstavljanja zatvorenih nelinearnih sistema, u kojoj je proučavanje nelinearnog sistema zamenjeno analizom linearnog sistema, u izvesnom smislu ekvivalentnom originalnom sistemu. .) jednačina se dešava proširenjem u Taylorov red i odsijecanjem svih članova iznad prvog reda.

Dakle, gotovo svaka funkcija može biti predstavljena kao polinom sa datom tačnošću.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja funkcija stepena u Maclaurinovim redovima (=McLaren,Taylor u blizini tačke 0) i Taylor u blizini tačke 1. Prvi članovi proširenja glavnih funkcija u Taylorovim i MacLarenovim redovima.

Primjeri nekih uobičajenih proširenja funkcija snaga u Maclaurinovim redovima (= MacLaren, Taylor u blizini tačke 0)

Primjeri nekih uobičajenih proširenja Taylorovog niza oko točke 1