Derivat elementarne funkcije n x sa izlazom. Pronađite izvod: algoritam i primjeri rješenja. Derivat logaritamske funkcije

Rješavanje fizičkih problema ili primjera iz matematike potpuno je nemoguće bez poznavanja derivacije i metoda za njeno izračunavanje. Izvod je jedan od najvažnijih koncepata u matematičkoj analizi. Odlučili smo današnji članak posvetiti ovoj temeljnoj temi. Šta je derivacija, koje je njeno fizičko i geometrijsko značenje, kako izračunati izvod funkcije? Sva ova pitanja mogu se spojiti u jedno: kako razumjeti derivat?

Geometrijsko i fizičko značenje derivacije

Neka postoji funkcija f(x) , specificirano u određenom intervalu (a, b) . Tačke x i x0 pripadaju ovom intervalu. Kada se x promijeni, mijenja se i sama funkcija. Promjena argumenta - razlika u njegovim vrijednostima x-x0 . Ova razlika je zapisana kao delta x i naziva se povećanje argumenta. Promjena ili povećanje funkcije je razlika između vrijednosti funkcije u dvije točke. Definicija derivata:

Derivat funkcije u tački je granica omjera prirasta funkcije u datoj tački i priraštaja argumenta kada potonji teži nuli.

Inače se može napisati ovako:

Koja je svrha pronalaženja takve granice? Evo šta je to:

derivacija funkcije u tački jednaka je tangenti ugla između ose OX i tangente na graf funkcije u datoj tački.

Fizičko značenje izvedenice: derivacija putanje u odnosu na vrijeme jednaka je brzini pravolinijskog kretanja.

Zaista, još od školskih dana svi znaju da je brzina poseban put x=f(t) i vrijeme t . Prosječna brzina u određenom vremenskom periodu:

Da biste saznali brzinu kretanja u datom trenutku t0 morate izračunati granicu:

Prvo pravilo: postavite konstantu

Konstanta se može izvaditi iz predznaka derivacije. Štaviše, to se mora uraditi. Kada rješavate primjere iz matematike, uzmite to kao pravilo - Ako možete da pojednostavite izraz, obavezno ga pojednostavite .

Primjer. Izračunajmo derivaciju:

Drugo pravilo: derivacija zbira funkcija

Derivat zbira dviju funkcija jednak je zbroju izvoda ovih funkcija. Isto vrijedi i za derivaciju razlike funkcija.

Nećemo dati dokaz ove teoreme, već ćemo razmotriti praktični primjer.

Pronađite derivaciju funkcije:

Treće pravilo: derivacija proizvoda funkcija

Derivat proizvoda dvije diferencijabilne funkcije izračunava se po formuli:

Primjer: pronađite derivaciju funkcije:

Rješenje:

Ovdje je važno govoriti o izračunavanju izvoda složenih funkcija. Izvod kompleksne funkcije jednak je proizvodu izvoda ove funkcije u odnosu na međuargument i derivacije međuargumenata u odnosu na nezavisnu varijablu.

U gornjem primjeru nailazimo na izraz:

U ovom slučaju, srednji argument je 8x na peti stepen. Da bismo izračunali derivaciju takvog izraza, prvo izračunamo derivaciju eksterne funkcije u odnosu na međuargument, a zatim pomnožimo sa derivacijom samog međuargumena u odnosu na nezavisnu varijablu.

Četvrto pravilo: derivacija količnika dvije funkcije

Formula za određivanje derivacije kvocijenta dvije funkcije:

Pokušali smo da pričamo o derivatima za lutke od nule. Ova tema nije tako jednostavna kao što se čini, stoga budite upozoreni: u primjerima često postoje zamke, stoga budite oprezni pri izračunavanju izvedenica.

Za sva pitanja o ovoj i drugim temama možete se obratiti studentskoj službi. U kratkom vremenu pomoći ćemo vam da riješite najteži test i shvatite zadatke, čak i ako nikada prije niste radili izvedene proračune.

Prilikom izvođenja prve formule tablice, polazit ćemo od definicije derivacijske funkcije u tački. Hajde da uzmemo gde x– bilo koji pravi broj, to je, x– bilo koji broj iz domene definicije funkcije. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta na :

Treba napomenuti da se pod graničnim znakom dobija izraz, koji nije nesigurnost nule podijeljena sa nulom, jer brojnik ne sadrži beskonačno malu vrijednost, već upravo nulu. Drugim riječima, prirast konstantne funkcije je uvijek nula.

dakle, derivacija konstantne funkcijejednaka je nuli u cijeloj domeni definicije.

Derivat funkcije stepena.

Formula za izvod funkcije stepena ima oblik , gdje je eksponent str– bilo koji realan broj.

Hajde da prvo dokažemo formulu za prirodni eksponent, odnosno za p = 1, 2, 3, …

Koristićemo definiciju derivata. Zapišimo granicu omjera prirasta funkcije snage i prirasta argumenta:

Da bismo pojednostavili izraz u brojiocu, okrećemo se Njutnovoj binomnoj formuli:

dakle,

Ovo dokazuje formulu za izvod funkcije stepena za prirodni eksponent.

Derivat eksponencijalne funkcije.

Predstavljamo izvođenje formule izvoda na osnovu definicije:

Stigli smo do neizvjesnosti. Da bismo ga proširili, uvodimo novu varijablu i na . Onda . U posljednjoj tranziciji koristili smo formulu za prelazak na novu logaritamsku bazu.

Zamijenimo u originalno ograničenje:

Ako se prisjetimo druge izvanredne granice, dolazimo do formule za izvod eksponencijalne funkcije:

Derivat logaritamske funkcije.

Dokažimo formulu za izvod logaritamske funkcije za sve x iz domena definicije i svih važećih vrijednosti baze a logaritam Po definiciji derivata imamo:

Kao što ste primijetili, tokom dokaza transformacije su izvršene korištenjem svojstava logaritma. Jednakost je istina zbog druge izvanredne granice.

Derivati ​​trigonometrijskih funkcija.

Da bismo izveli formule za izvode trigonometrijskih funkcija, morat ćemo se prisjetiti nekih trigonometrijskih formula, kao i prve izvanredne granice.

Po definiciji derivacije za sinusnu funkciju imamo .

Koristimo formulu razlike sinusa:

Ostaje da se okrenemo prvoj izuzetnoj granici:

Dakle, derivacija funkcije sin x Tu je cos x.

Formula za izvod kosinusa je dokazana na potpuno isti način.

Dakle, derivacija funkcije cos x Tu je –sin x.

Formule za tablicu izvoda za tangentu i kotangens ćemo izvesti koristeći dokazana pravila diferencijacije (izvod razlomka).

Derivati ​​hiperboličkih funkcija.

Pravila diferencijacije i formula za izvod eksponencijalne funkcije iz tablice derivacija nam omogućavaju da izvedemo formule za izvode hiperboličkog sinusa, kosinusa, tangenta i kotangensa.

Derivat inverzne funkcije.

Da ne bi bilo zabune tokom prezentacije, označimo indeksnim indeksom argument funkcije kojom se vrši diferencijacija, odnosno derivacija funkcije f(x) By x.

Sada da formulišemo pravilo za pronalaženje derivacije inverzne funkcije.

Neka funkcije y = f(x) I x = g(y) međusobno inverzne, definisane na intervalima i respektivno. Ako u nekoj tački postoji konačan izvod funkcije koji nije nula f(x), tada u tački postoji konačan izvod inverzne funkcije g(y), i . U drugom postu .

Ovo pravilo se može preformulisati za bilo koje x iz intervala , onda dobijamo .

Provjerimo valjanost ovih formula.

Nađimo inverznu funkciju za prirodni logaritam (Ovdje y je funkcija, i x- argument). Nakon što smo riješili ovu jednačinu za x, dobijamo (ovde x je funkcija, i y– njen argument). To je, i međusobno inverzne funkcije.

Iz tabele derivata to vidimo I .

Uvjerimo se da nas formule za pronalaženje izvoda inverzne funkcije dovedu do istih rezultata:

Kao što vidite, dobili smo iste rezultate kao u tabeli derivata.

Sada imamo znanje da dokažemo formule inverznog izvoda trigonometrijske funkcije.

Počnimo s derivacijom arcsinusa.

. Zatim, koristeći formulu za izvod inverzne funkcije, dobijamo

Ostaje samo izvršiti transformacije.

Budući da je raspon arcsinusa interval , To (vidi odjeljak o osnovnim elementarnim funkcijama, njihovim svojstvima i grafovima). Dakle, mi to ne razmatramo.

dakle, . Područje definicije derivacije arcsinusa je interval (-1; 1) .

Za arc kosinus, sve se radi na potpuno isti način:

Nađimo izvod arktangensa.

Jer inverzna funkcija je .

Izrazimo arktangens u terminima arkkosinusa da pojednostavimo rezultujući izraz.

Neka arctgx = z, Onda

dakle,

Izvod kotangensa luka nalazi se na sličan način:

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema pronalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica derivacija i precizno definiranih pravila diferencijacije. . Prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata bili su Isaac Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Stoga, u naše vrijeme, da biste pronašli izvod bilo koje funkcije, ne morate izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već samo trebate koristiti tablicu derivati ​​i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz pod predznakom rastaviti jednostavne funkcije na komponente i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalji derivati elementarne funkcije nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, zbira i količnika su u pravilima diferencijacije. Nakon prva dva primjera data je tabela izvedenica i pravila diferencijacije.

Primjer 1. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "x" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i pronalazimo izvod koji zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Razlikujemo kao derivaciju sume u kojoj drugi član ima konstantan faktor može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako se i dalje postavljaju pitanja o tome odakle nešto dolazi, obično se razjasne nakon što se upoznate s tablicom izvedenica i najjednostavnijim pravilima diferencijacije. Prelazimo na njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek jednako nuli. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "X". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti dugo vremena
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, morate pretvoriti nekvadratne korijene u potencije.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratni korijen
6. Derivat sinusa
7. Derivat kosinusa
8. Derivat tangente
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arktangensa
13. Derivat arc kotangensa
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1.Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački, onda su funkcije diferencibilne u istoj tački

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju po konstantnom članu, onda su njihovi derivati ​​jednaki, tj.

Pravilo 2.Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački, onda je njihov proizvod diferencibilan u istoj tački

i

one. Izvod proizvoda dvije funkcije jednak je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge.

Zaključak 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Zaključak 2. Izvod proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbroju proizvoda izvoda svakog faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3.Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciranu/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat od bivši brojilac.

Gdje tražiti stvari na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa je u članku više primjera o tim izvodnicama"Derivat proizvoda i količnik funkcija".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegova derivacija je jednaka nuli, a u slučaju konstantnog faktora vađena je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, što se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako prosječan student rješava nekoliko jednodijelnih i dvodijelnih primjera, više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i, prema tome, cijeli član će biti jednak nuli (ovaj slučaj je razmatran u primjeru 10).

Druga uobičajena greška je mehanički rješavanje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećen je poseban članak. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnik u novim prozorima. Akcije sa moćima i korijenima I Operacije sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za izvode razlomaka sa potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda kao , zatim slijedi lekcija "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima."

Ako imate zadatak kao , onda ćete uzeti lekciju “Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija”.

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Definiramo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbroji, u drugom od kojih jedan od pojmova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija derivacijom druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbiru drugi član ima predznak minus. U svakom zbiru vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "X" se pretvara u jedan, a minus 5 u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće derivacijske vrijednosti:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

I možete provjeriti rješenje problema derivata na.

Primjer 4. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku, čiji je brojnik razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda od nazivnik, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo također da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za probleme u kojima trebate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i potencija, kao što je npr. , onda dobro došli na čas "Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate saznati više o izvodima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijskih funkcija, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda lekcija za vas "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, čiju smo derivaciju upoznali u tabeli derivacija. Koristeći pravilo za razlikovanje proizvoda i tabelarne vrijednosti izvoda kvadratnog korijena, dobijamo:

Rješenje problema s izvedenicama možete provjeriti na online kalkulator derivata .

Primjer 6. Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo količnik čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Koristeći pravilo diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarne vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojniku, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Dokažite sami formule 3 i 5.

OSNOVNA PRAVILA DIFERENCIJACIJE

Koristeći opštu metodu pronalaženja derivacije pomoću granice, mogu se dobiti najjednostavnije formule diferencijacije. Neka u=u(x),v=v(x)– dvije diferencibilne funkcije varijable x.

Dokažite formule 1 i 2 sami.

Dokaz formule 3.

Neka y = u(x) + v(x). Za vrijednost argumenta x+Δ x imamo y(x+Δ x)=u(x+Δ x) + v(x+Δ x).

Δ y=y(x+Δ x) – y(x) = u(x+Δ x) + v(x+Δ x) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

dakle,

Dokaz formule 4.

Neka y=u(x)·v(x). Onda y(x+Δ x)=u(x+Δ x)· v(x+Δ x), Zbog toga

Δ y=u(x+Δ x)· v(x+Δ x) – u(x)· v(x).

Imajte na umu da budući da svaka od funkcija u I v diferencibilan u tački x, onda su u ovom trenutku kontinuirani, što znači u(x+Δ x)→u(x), v(x+Δ x)→v(x), na Δ x→0.

Stoga možemo pisati

Na osnovu ovog svojstva može se dobiti pravilo za diferenciranje proizvoda bilo kojeg broja funkcija.

Neka, na primjer, y=u·v·w. onda,

y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v„·w+ v·w") = u "· v·w + u· v„·w+ u·v·w ".

Dokaz formule 5.

Neka . Onda

U dokazu smo koristili činjenicu da v(x+Δ x)→v(x) na Δ x→0.

Primjeri.

TEOREMA O DERIVATU KOMPLEKSNE FUNKCIJE

Neka y = f(u), A u= u(x). Dobijamo funkciju y, u zavisnosti od argumenta x: y = f(u(x)). Posljednja funkcija se zove funkcija funkcije ili složena funkcija.

Domen definicije funkcije y = f(u(x)) je ili cijela domena definicije funkcije u=u(x) ili onaj dio u kojem se određuju vrijednosti u, ne napuštajući domenu definicije funkcije y= f(u).

Operacija funkcije od funkcije može se izvesti ne samo jednom, već bilo koji broj puta.

Uspostavimo pravilo za diferenciranje složene funkcije.

Teorema. Ako je funkcija u= u(x) ima u nekom trenutku x 0 derivat i u ovom trenutku poprima vrijednost u 0 = u(x 0), i funkciju y=f(u) ima u tački u 0 derivat y" u = f "(u 0), zatim složena funkcija y = f(u(x)) na navedenoj tački x 0 takođe ima derivaciju, koja je jednaka y" x = f "(u 0)· u "(x 0), gdje umjesto u izraz mora biti zamijenjen u= u(x).

Dakle, derivacija kompleksne funkcije jednaka je proizvodu derivacije date funkcije u odnosu na srednji argument u na derivat srednjeg argumenta u odnosu na x.

Dokaz. Za fiksnu vrijednost X 0 imaćemo u 0 =u(x 0), at 0 =f(u 0 ). Za novu vrijednost argumenta x 0+Δ x:

Δ u= u(x 0 + Δ x) – u(x 0), Δ y=f(u 0+Δ u) – f(u 0).

Jer u– diferenciran u jednoj tački x 0, To u– je kontinuirano u ovom trenutku. Stoga, na Δ x→0 Δ u→0. Slično za Δ u→0 Δ y→0.

Po stanju . Iz ove relacije, koristeći definiciju granice, dobijamo (na Δ u→0)

gdje je α→0 na Δ u→0, i, posljedično, na Δ x→0.

Prepišimo ovu jednakost u obliku:

Δ y=y" uΔ u+α·Δ u.

Rezultirajuća jednakost vrijedi i za Δ u=0 za proizvoljno α, pošto se pretvara u identitet 0=0. Na Δ u=0 pretpostavićemo α=0. Podijelimo sve članove rezultirajuće jednakosti sa Δ x

.

Po stanju . Dakle, prelazak na granicu na Δ x→0, dobijamo y" x = y"u·u" x. Teorema je dokazana.

Dakle, da razlikujemo složena funkcija y = f(u(x)), morate uzeti izvod "spoljne" funkcije f, tretirajući svoj argument jednostavno kao promjenljivu, i pomnoži sa derivatom "unutrašnje" funkcije u odnosu na nezavisnu varijablu.

Ako je funkcija y=f(x) može se predstaviti u obliku y=f(u), u=u(v), v=v(x), tada se nalaženje izvoda y " x izvodi sekvencijalnom primjenom prethodne teoreme.

Po dokazanom pravilu imamo y" x = y" u u"x. Primjenjujući istu teoremu za u"x dobijamo, tj.

y" x = y"x u" v v" x = f"u( u)· u" v ( v)· v" x ( x).

Primjeri.

KONCEPT INVERZNE FUNKCIJE

Počnimo s primjerom. Razmotrite funkciju y= x 3. Razmotrićemo jednakost y= x 3 kao relativna jednačina x. Ovo je jednadžba za svaku vrijednost at definira jednu vrijednost x: . Geometrijski, to znači da svaka ravna linija paralelno sa osom Ox siječe graf funkcije y= x 3 samo u jednom trenutku. Stoga možemo razmotriti x kao funkcija y. Funkcija se zove inverzna funkcija y= x 3.

Prije nego što pređemo na opći slučaj, uvodimo definicije.

Funkcija y = f(x) pozvao povećanje na određenom segmentu, ako je veća vrijednost argumenta x iz ovog segmenta odgovara veća vrijednost funkcije, tj. Ako x 2 >x 1, onda f(x 2 ) > f(x 1 ).

Funkcija se zove slično opadajući, ako manja vrijednost argumenta odgovara većoj vrijednosti funkcije, tj. Ako X 2 < X 1, onda f(x 2 ) > f(x 1 ).

Dakle, neka nam je data rastuća ili opadajuća funkcija y=f(x), definiran na nekom intervalu [ a; b]. Radi određenosti, razmotrićemo rastuću funkciju (za opadajuću sve je slično).

Uzmite u obzir dvije različite vrijednosti X 1 i X 2. Neka y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Iz definicije rastuće funkcije slijedi da ako x 1 <x 2, onda at 1 <at 2. Dakle, dvije različite vrijednosti X 1 i X 2 odgovara dvije različite vrijednosti funkcije at 1 i at 2. Vrijedi i suprotno, tj. Ako at 1 <at 2, onda iz definicije rastuće funkcije slijedi da x 1 <x 2. One. opet dvije različite vrijednosti at 1 i at 2 odgovara dvije različite vrijednosti x 1 i x 2. Dakle, između vrijednosti x i njihove odgovarajuće vrijednosti y uspostavlja se korespondencija jedan na jedan, tj. jednačina y=f(x) za svaki y(preuzeto iz opsega funkcije y=f(x)) definiše jednu vrijednost x, i to možemo reći x postoji neka argument funkcija y: x= g(y).

Ova funkcija se zove obrnuto za funkciju y=f(x). Očigledno, funkcija y=f(x) je inverzna funkcija x=g(y).

Imajte na umu da je inverzna funkcija x=g(y) nalazi se rješavanjem jednačine y=f(x) relativno X.

Primjer. Neka je funkcija data y= e x . Ova funkcija raste na –∞< x <+∞. Она имеет обратную функцию x= log y. Domen inverzne funkcije 0< y < + ∞.

Hajde da damo nekoliko komentara.

Napomena 1. Ako je rastuća (ili opadajuća) funkcija y=f(x) je kontinuiran na intervalu [ a; b], i f(a)=c, f(b)=d, tada je inverzna funkcija definirana i kontinuirana na intervalu [ c; d].

Napomena 2. Ako je funkcija y=f(x) ne raste ni opada na određenom intervalu, onda može imati nekoliko inverznih funkcija.

Primjer. Funkcija y=x2 definisano na –∞<x<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤x<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <x≤ 0 funkcija – smanjuje se i inverzno.

Napomena 3. Ako funkcije y=f(x) I x=g(y) su međusobno inverzne, onda izražavaju isti odnos između varijabli x I y. Dakle, grafik oba je ista kriva. Ali ako ponovo označimo argument inverzne funkcije sa x, i funkcija kroz y i iscrtati ih u istom koordinatnom sistemu, dobićemo dva različita grafika. Lako je primijetiti da će grafovi biti simetrični u odnosu na simetralu 1. koordinatnog ugla.

TEOREMA O DERIVATNOJ INVERZNOJ FUNKCIJI

Dokažimo teoremu koja nam omogućava da pronađemo derivaciju funkcije y=f(x), znajući derivaciju inverzne funkcije.

Teorema. Ako je za funkciju y=f(x) postoji inverzna funkcija x=g(y), što u nekom trenutku at 0 ima derivat g "(v 0), različit od nule, zatim u odgovarajućoj tački x 0=g(x 0) funkcija y=f(x) ima derivat f "(x 0), jednako , tj. formula je tačna.

Dokaz. Jer x=g(y) diferencibilan u tački y 0, To x=g(y) je kontinuirana u ovoj tački, tako da je funkcija y=f(x) kontinuirano u jednoj tački x 0=g(y 0). Stoga, na Δ x→0 Δ y→0.

Pokažimo to .

Neka . Zatim, svojstvom limita . Pređimo u ovoj jednakosti do granice na Δ y→0. Zatim Δ x→0 i α(Δx)→0, tj. .

dakle,

,

Q.E.D.

Ova formula se može napisati u obliku .

Pogledajmo primjenu ove teoreme koristeći primjere.

Izračunavanje derivata se često nalazi u zadacima Jedinstvenog državnog ispita. Ova stranica sadrži listu formula za pronalaženje izvoda.

Pravila diferencijacije

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivat kompleksne funkcije. Ako je y=F(u) i u=u(x), onda se funkcija y=f(x)=F(u(x)) naziva kompleksnom funkcijom od x. Jednako y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivat implicitne funkcije. Funkcija y=f(x) naziva se implicitna funkcija definisana relacijom F(x,y)=0 ako je F(x,f(x))≡0.
6. Derivat inverzne funkcije. Ako je g(f(x))=x, onda se funkcija g(x) naziva inverznom funkcijom funkcije y=f(x).
7. Derivat parametarski definirane funkcije. Neka su x i y specificirani kao funkcije varijable t: x=x(t), y=y(t). Kažu da je y=y(x) parametarski definirana funkcija na intervalu x∈ (a;b), ako se na tom intervalu jednačina x=x(t) može izraziti kao t=t(x) i funkcija y=y(t(x))=y(x).
8. Derivat eksponencijalne funkcije stepena. Nalazi se uzimanjem logaritma u bazu prirodnog logaritma.

Savjetujemo vam da sačuvate vezu, jer ova tabela može biti potrebna mnogo puta.