Proces nalaženja derivata. Diferencijalni račun funkcija. Derivat kompleksne funkcije

Operacija pronalaženja derivacije naziva se diferencijacija.

Kao rezultat rješavanja problema nalaženja izvoda najjednostavnijih (i ne baš jednostavnih) funkcija definiranjem derivacije kao granice omjera prirasta i prirasta argumenta, pojavila se tablica izvoda i precizno definirana pravila diferencijacije. . Isak Newton (1643-1727) i Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716) bili su prvi koji su radili na polju pronalaženja derivata.

Stoga, u naše vrijeme, da bismo pronašli izvod bilo koje funkcije, nije potrebno izračunati gore spomenutu granicu omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta, već je potrebno samo koristiti tablicu izvedenica i pravila diferencijacije. Sljedeći algoritam je pogodan za pronalaženje izvoda.

Da nađemo derivat, potreban vam je izraz ispod znaka poteza razbiti jednostavne funkcije i odredite koje akcije (proizvod, zbir, količnik) ove funkcije su povezane. Dalji derivati elementarne funkcije nalazimo u tabeli izvoda, a formule za izvode proizvoda, sume i količnika - u pravilima diferencijacije. Tablica derivacija i pravila diferencijacije date su nakon prva dva primjera.

Primjer 1 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Iz pravila diferencijacije saznajemo da je derivacija zbira funkcija zbir izvoda funkcija, tj.

Iz tabele derivacija saznajemo da je izvod "X" jednak jedan, a izvod sinusa kosinus. Zamjenjujemo ove vrijednosti u zbir derivacija i nalazimo derivaciju koju zahtijeva uvjet problema:

Primjer 2 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Diferencirati kao derivaciju sume, u kojoj je drugi član sa konstantnim faktorom, može se izvaditi iz predznaka izvoda:

Ako i dalje postoje pitanja odakle nešto dolazi, ona po pravilu postaju jasni nakon čitanja tablice izvedenica i najjednostavnijih pravila diferencijacije. Idemo do njih upravo sada.

Tablica izvoda jednostavnih funkcija

1. Derivat konstante (broja). Bilo koji broj (1, 2, 5, 200...) koji se nalazi u izrazu funkcije. Uvijek nula. Ovo je veoma važno zapamtiti, jer je to vrlo često potrebno
2. Derivat nezavisne varijable. Najčešće "x". Uvek jednak jedan. Ovo je takođe važno zapamtiti
3. Derivat stepena. Kada rješavate probleme, trebate pretvoriti nekvadratne korijene u stepen.
4. Derivat varijable na stepen -1
5. Derivat kvadratnog korijena
6. Sinusni derivat
7. Kosinusni derivat
8. Tangentni izvod
9. Derivat kotangensa
10. Derivat arcsinusa
11. Derivat arc kosinusa
12. Derivat arc tangente
13. Derivat inverzne tangente
14. Derivat prirodnog logaritma
15. Derivat logaritamske funkcije
16. Derivat eksponenta
17. Derivat eksponencijalne funkcije

Pravila diferencijacije

1. Derivat zbira ili razlike
2. Derivat proizvoda
2a. Derivat izraza pomnožen konstantnim faktorom
3. Derivat količnika
4. Derivat kompleksne funkcije

Pravilo 1Ako funkcije

su diferencibilne u nekoj tački , a zatim u istoj točki funkcije

i

one. izvod algebarskog zbira funkcija jednak je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija.

Posljedica. Ako se dvije diferencibilne funkcije razlikuju za konstantu, onda su njihovi derivati, tj.

Pravilo 2Ako funkcije

su diferencibilni u nekoj tački , onda je njihov proizvod također diferencibilan u istoj točki

i

one. derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbiru proizvoda svake od ovih funkcija i izvoda druge.

Posljedica 1. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka derivacije:

Posljedica 2. Derivat proizvoda nekoliko diferencijabilnih funkcija jednak je zbiru proizvoda izvoda svakog od faktora i svih ostalih.

Na primjer, za tri množitelja:

Pravilo 3Ako funkcije

diferenciran u nekom trenutku I , onda je u ovom trenutku njihov količnik također diferenciran.u/v , i

one. izvod količnika dvije funkcije jednak je razlomku čiji je brojilac razlika između proizvoda nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a nazivnik je kvadrat prethodnog brojioca .

Gdje pogledati na drugim stranicama

Prilikom pronalaženja derivacije proizvoda i količnika u realnim problemima uvijek je potrebno primijeniti nekoliko pravila diferencijacije odjednom, pa više primjera o ovim izvodnicama ima u članku."Derivat proizvoda i količnika".

Komentar. Ne treba brkati konstantu (tj. broj) kao pojam u zbiru i kao konstantni faktor! U slučaju nekog člana, njegov izvod je jednak nuli, a u slučaju konstantnog faktora uzet je iz predznaka izvoda. Ovo tipična greška, što se javlja u početnoj fazi proučavanja izvedenica, ali kako je rješenje nekoliko jedno-dvokomponentnih primjera već napravljeno, prosječan student više ne pravi ovu grešku.

I ako, kada razlikujete proizvod ili količnik, imate pojam u"v, u kojem u- broj, na primjer, 2 ili 5, odnosno konstanta, tada će derivacija ovog broja biti jednaka nuli i stoga će cijeli član biti jednak nuli (takav slučaj je analiziran u primjeru 10) .

Druga česta greška je mehaničko rješenje derivacije složene funkcije kao derivacije jednostavne funkcije. Zbog toga derivat kompleksne funkcije posvećeno posebnom članku. Ali prvo ćemo naučiti pronaći izvode jednostavnih funkcija.

Usput, ne možete bez transformacije izraza. Da biste to učinili, možda ćete morati otvoriti priručnike za novi Windows Akcije sa moćima i korijenima I Radnje sa razlomcima .

Ako tražite rješenja za derivate s potencijama i korijenima, odnosno kada funkcija izgleda , zatim slijedi lekcija " Derivat zbira razlomaka sa potencijama i korijenima".

Ako imate zadatak kao , onda ste u lekciji "Izvodi jednostavnih trigonometrijskih funkcija".

Korak po korak primjeri - kako pronaći derivat

Primjer 3 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Određujemo dijelove izraza funkcije: cijeli izraz predstavlja proizvod, a njegovi faktori su zbrojevi, u drugom od kojih jedan od članova sadrži konstantni faktor. Primjenjujemo pravilo diferencijacije proizvoda: derivacija proizvoda dvije funkcije jednaka je zbroju proizvoda svake od ovih funkcija i derivacije druge:

Zatim primjenjujemo pravilo diferencijacije zbira: derivacija algebarskog zbira funkcija jednaka je algebarskom zbiru izvoda ovih funkcija. U našem slučaju, u svakom zbroju, drugi član sa predznakom minus. U svakom zbroju vidimo i nezavisnu varijablu, čiji je izvod jednak jedan, i konstantu (broj), čiji je izvod jednak nuli. Dakle, "x" se pretvara u jedan, a minus 5 - u nulu. U drugom izrazu, "x" se množi sa 2, tako da množimo dva sa istom jedinicom kao izvod "x". Dobijamo sljedeće vrijednosti derivata:

Pronađene derivacije zamjenjujemo u zbir proizvoda i dobivamo derivaciju cijele funkcije koju zahtijeva uvjet zadatka:

I možete provjeriti rješenje problema na izvedenici na .

Primjer 4 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. Od nas se traži da pronađemo izvod količnika. Primjenjujemo formulu za diferenciranje količnika: derivacija količnika dvije funkcije jednaka je razlomku čiji je brojnik razlika između umnožaka nazivnika i izvoda brojnika i brojnika i izvoda nazivnika, a imenilac je kvadrat prethodnog brojnika. Dobijamo:

Već smo pronašli derivaciju faktora u brojiocu u primjeru 2. Ne zaboravimo i da je proizvod, koji je drugi faktor u brojniku u trenutnom primjeru, uzet sa predznakom minus:

Ako tražite rješenja za takve probleme u kojima morate pronaći derivaciju funkcije, gdje postoji neprekidna gomila korijena i stupnjeva, kao što je npr. onda dobrodosli na cas "Izvod zbira razlomaka sa potencijama i korijenima" .

Ako trebate naučiti više o derivatima sinusa, kosinusa, tangenta i drugih trigonometrijske funkcije, odnosno kada funkcija izgleda kao , onda imate lekciju "Derivati ​​jednostavnih trigonometrijskih funkcija" .

Primjer 5 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo proizvod čiji je jedan od faktora kvadratni korijen nezavisne varijable, sa čijom smo se derivacijom upoznali u tabeli derivacija. Prema pravilu diferencijacije proizvoda i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobivamo:

Možete provjeriti rješenje problema izvoda na kalkulator izvedenica online .

Primjer 6 Pronađite izvod funkcije

Rješenje. U ovoj funkciji vidimo kvocijent čija je dividenda kvadratni korijen nezavisne varijable. Prema pravilu diferencijacije količnika, koje smo ponovili i primijenili u primjeru 4, i tabelarnoj vrijednosti derivacije kvadratnog korijena, dobijamo:

Da biste se riješili razlomka u brojiocu, pomnožite brojilac i imenilac sa .

Izračun izvoda je jedna od najvažnijih operacija u diferencijalnom računu. Ispod je tabela za pronalaženje izvoda jednostavnih funkcija. Za složenija pravila diferencijacije pogledajte druge lekcije:

• Tablica izvoda eksponencijalnih i logaritamskih funkcija

Koristite date formule kao referentne vrijednosti. Oni će pomoći u rješavanju diferencijalnih jednadžbi i problema. Na slici, u tabeli derivacija jednostavnih funkcija, nalazi se "cheat sheet" glavnih slučajeva pronalaženja izvoda u obliku koji je razumljiv za upotrebu, pored nje su objašnjenja za svaki slučaj.

Derivati ​​jednostavnih funkcija

1. Derivat broja je nula
s´ = 0
primjer:
5' = 0

Objašnjenje:
Izvod pokazuje brzinu kojom se mijenja vrijednost funkcije kada se promijeni argument. Pošto se broj ni na koji način ne menja ni pod kojim uslovima, brzina njegove promene je uvek nula.

2. Derivat varijable jednako jedan
x' = 1

Objašnjenje:
Sa svakim povećanjem argumenta (x) za jedan, vrijednost funkcije (rezultat proračuna) raste za isti iznos. Dakle, brzina promjene vrijednosti funkcije y = x je tačno jednaka brzini promjene vrijednosti argumenta.

3. Izvod varijable i faktora jednak je ovom faktoru
sx´ = s
primjer:
(3x)´ = 3
(2x)´ = 2
Objašnjenje:
U ovom slučaju, svaki put argument funkcije ( X) njegova vrijednost (y) raste With jednom. Dakle, stopa promjene vrijednosti funkcije u odnosu na brzinu promjene argumenta je tačno jednaka vrijednosti With.

Otkud to sledi
(cx + b)" = c
odnosno diferencijal linearne funkcije y=kx+b jednak je nagibu prave linije (k).

4. Modulo derivat varijable jednak je količniku ove varijable prema njenom modulu
|x|"= x / |x| pod uslovom da je x ≠ 0
Objašnjenje:
Budući da je derivacija varijable (vidi formulu 2) jednaka jedan, derivacija modula se razlikuje samo po tome što se vrijednost brzine promjene funkcije mijenja u suprotno pri prelasku početne točke (pokušajte nacrtati graf funkcije y = |x| i uvjerite se. Ovo je upravo vrijednost i vraća izraz x / |x| Kada je x< 0 оно равно (-1), а когда x >0 - jedan. To jest, s negativnim vrijednostima varijable x, sa svakim povećanjem promjene argumenta, vrijednost funkcije se smanjuje za potpuno istu vrijednost, a s pozitivnim vrijednostima, naprotiv, raste, ali za točno istu vrijednost.

5. Izvod snage varijable jednak je proizvodu broja ovog stepena i varijable u stepenu, umanjenom za jedan
(x c)"= cx c-1, pod uslovom da su x c i cx c-1 definisani i c ≠ 0
primjer:
(x 2)" = 2x
(x 3)" = 3x 2
Da zapamtite formulu:
Uzmite eksponent varijable "dolje" kao množitelj, a zatim smanjite sam eksponent za jedan. Na primjer, za x 2 - dva je bila ispred x, a onda nam je smanjena snaga (2-1 = 1) samo dala 2x. Isto se dogodilo i za x 3 - "spustimo" tri, smanjimo za jedan i umjesto kocke imamo kvadrat, odnosno 3x 2. Malo "nenaučno", ali vrlo lako za pamćenje.

6.Derivat frakcije 1/x
(1/x)" = - 1 / x 2
primjer:
Pošto se razlomak može predstaviti kao podizanje na negativan stepen
(1/x)" = (x -1)" , tada možete primijeniti formulu iz pravila 5 tabele derivata
(x -1)" = -1x -2 = - 1 / x 2

7. Derivat frakcije sa promenljivom proizvoljnog stepena u nazivniku
(1/x c)" = - c / x c+1
primjer:
(1 / x 2)" = - 2 / x 3

8. korijen derivat(derivat varijable pod kvadratni korijen)
(√x)" = 1 / (2√x) ili 1/2 x -1/2
primjer:
(√x)" = (x 1/2)" tako da možete primijeniti formulu iz pravila 5
(x 1/2)" \u003d 1/2 x -1/2 \u003d 1 / (2√x)

9. Derivat varijable pod korijenom proizvoljnog stepena
(n √ x)" = 1 / (n n √ x n-1)

Sadržaj članka

DERIVAT-derivat funkcije y = f(x) definiran na nekom intervalu ( a, b) u tački x ovaj interval se naziva granicom kojoj teži omjer prirasta funkcije f u toj tački do odgovarajućeg prirasta argumenta kako se inkrement argumenta približava nuli.

Izvod se obično označava na sljedeći način:

Druge oznake se također široko koriste:

Trenutna brzina.

Pusti poentu M kreće se pravolinijski. Razdaljina s pokretna tačka, računajući od neke početne pozicije M 0 , zavisi od vremena t, tj. s je funkcija vremena t: s= f(t). Neka u nekom trenutku t pokretna tačka M bio na distanci s sa početne pozicije M 0, a u nekom sljedećem trenutku t+ D t bio u poziciji M 1 - na daljinu s+ D s sa početne pozicije ( vidi sliku.).

Dakle, u određenom vremenskom periodu D t razdaljina s promijenjen za vrijednost D s. U ovom slučaju kažemo da je tokom vremenskog intervala D t magnitude s primljeno povećanje D s.

Prosječna brzina ne može u svim slučajevima tačno okarakterizirati brzinu kretanja tačke. M u to vrijeme t. Ako, na primjer, tijelo na početku intervala D t kretao vrlo brzo, a na kraju vrlo sporo, tada prosječna brzina neće moći odraziti naznačene karakteristike kretanja točke i dati predstavu o pravoj brzini njenog kretanja u ovom trenutku t. Da biste preciznije izrazili pravu brzinu koristeći prosječnu brzinu, trebate uzeti manji vremenski period D t. Najpotpunije karakteriše brzinu kretanja tačke u ovom trenutku t granica kojoj teži prosječna brzina u D t® 0. Ova granica se naziva brzina kretanja u datom trenutku:

Dakle, brzina kretanja u datom trenutku je granica omjera prirasta putanje D s na vremensko povećanje D t kada vremenski prirast teži nuli. Jer

Geometrijska vrijednost derivacije. Tangenta na graf funkcije.

Konstrukcija tangenti jedan je od onih problema koji su doveli do rađanja diferencijalnog računa. Prvi objavljeni rad o diferencijalnom računu, koji je napisao Leibniz, je naslovljen Nova metoda maksimuma i minimuma, kao i tangenti, za koje ni razlomke ni iracionalne veličine nisu prepreka, i posebna vrsta računa za to.

Neka je kriva grafik funkcije y =f(x) V pravougaoni sistem koordinate ( cm. pirinač.).

Za neku vrijednost x funkcija je bitna y =f(x). Ove vrijednosti x I y tačka na krivulji M 0(x, y). Ako je argument x dati povećanje D x, zatim novu vrijednost argumenta x+ D x odgovara novoj vrijednosti funkcije y+ D y = f(x + D x). Odgovarajuća tačka krive će biti tačka M 1(x+ D x,y+ D y). Ako nacrtamo sekantu M 0M 1 i označimo sa j ugao formiran sekantom s pozitivnim smjerom ose Ox, direktno se vidi sa slike da .

Ako sada D x teži nuli, a zatim tački M 1 se kreće duž krivulje, približavajući se tački M 0 i ugao j mijenja se sa promjenom D x. At Dx® 0 ugao j teži nekoj granici a i prava koja prolazi kroz tačku M 0 i komponenta s pozitivnim smjerom ose apscise, ugao a, bit će željena tangenta. Njen nagib:

dakle, f´( x) = tga

one. vrijednost derivata f´( x) za datu vrijednost argumenta x jednak je tangentu ugla koji formira tangenta na graf funkcije f(x) u odgovarajućoj tački M 0(x,y) sa pozitivnim smjerom ose Ox.

Diferencijalnost funkcija.

Definicija. Ako je funkcija y = f(x) ima derivat u tački x = x 0, tada je funkcija u ovom trenutku diferencibilna.

Kontinuitet funkcije koja ima izvod. Teorema.

Ako je funkcija y = f(x) se može razlikovati u nekom trenutku x = x 0, onda je u ovoj tački kontinuirano.

Dakle, u tačkama diskontinuiteta, funkcija ne može imati izvod. Obrnuti zaključak je netačan, tj. iz činjenice da je u nekom trenutku x = x 0 funkcija y = f(x) je kontinuiran, iz toga ne slijedi da je u ovoj tački diferencijabilan. Na primjer, funkcija y = |x| kontinuirano za sve x(–Ґ x x = 0 nema izvod. U ovoj tački nema tangente na graf. Postoje desna tangenta i lijeva tangenta, ali se ne poklapaju.

Neke teoreme o diferencijabilnim funkcijama. Teorema o korijenima derivacije (Rolova teorema). Ako je funkcija f(x) je kontinuiran na segmentu [a,b], diferencibilan je u svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta i na krajevima x = a I x = b nestaje ( f(a) = f(b) = 0), zatim unutar segmenta [ a,b] postoji barem jedna tačka x= With, a c b, u kojem je izvod fў( x) nestaje, tj. fў( c) = 0.

Teorema konačnog priraštaja (Lagrangeova teorema). Ako je funkcija f(x) je kontinuiran na segmentu [ a, b] i diferencibilan je u svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta, zatim unutar segmenta [ a, b] postoji barem jedna tačka With, a c b to

f(b) – f(a) = fў( c)(b– a).

Teorema o omjeru prirasta dvije funkcije (Cauchyjev teorem). Ako f(x) I g(x) su dvije funkcije kontinuirane na segmentu [a, b] i diferenciran na svim unutrašnjim tačkama ovog segmenta, i gў( x) ne nestaje nigdje unutar ovog segmenta, zatim unutar segmenta [ a, b] postoji takva tačka x = With, a c b to

Derivati ​​raznih redova.

Neka funkcija y =f(x) je diferencibilan na nekom intervalu [ a, b]. Vrijednosti derivata f ў( x), općenito govoreći, zavise od x, tj. derivat f ў( x) je također funkcija x. Kada se ova funkcija diferencira, dobija se takozvani drugi izvod funkcije f(x), što je označeno f ўў ( x).

derivat n- redoslijed funkcije f(x) se naziva derivat (prvog reda) izvedenice n- 1- th i označen je simbolom y(n) = (y(n– 1))ŭ.

Diferencijali raznih redova.

Funkcijski diferencijal y = f(x), Gdje x je nezavisna varijabla, je dy = f ў( x)dx, neke funkcije iz x, ali od x samo prvi faktor može zavisiti f ў( x), dok je drugi faktor ( dx) je prirast nezavisne varijable x i ne zavisi od vrednosti ove varijable. Jer dy postoji funkcija iz x, tada možemo odrediti diferencijal ove funkcije. Diferencijal diferencijala funkcije naziva se diferencijal drugog ili drugog reda ove funkcije i označava se d 2y:

d(dx) = d 2y = f ўў( x)(dx) 2 .

Diferencijal n- red se naziva prvi diferencijal diferencijala n- 1- red:

d n y = d(d n–1y) = f(n)(x)dx(n).

Privatni derivat.

Ako funkcija ne zavisi od jednog, već od nekoliko argumenata x i(i mijenja se od 1 do n,i= 1, 2,… n),f(x 1,x 2,… x n), tada se u diferencijalni račun uvodi koncept parcijalnog izvoda, koji karakterizira brzinu promjene funkcije nekoliko varijabli kada se promijeni samo jedan argument, npr. x i. Parcijalni izvod 1. reda prema x i je definiran kao obični izvod, pretpostavlja se da su svi argumenti osim x i, zadržati konstantne vrijednosti. Za parcijalne izvode uvodimo notaciju

Ovako definisane parcijalne derivacije 1. reda (kao funkcije istih argumenata) mogu, zauzvrat, imati i parcijalne izvode, to su parcijalne izvode drugog reda itd. Uzeti s obzirom na različite argumente, takvi derivati ​​se nazivaju mješoviti. Kontinuirane mješovite derivacije istog reda ne zavise od reda diferencijacije i jednake su jedna drugoj.

Anna Chugainova

U zadatku B9 dat je graf funkcije ili derivacije iz kojeg je potrebno odrediti jednu od sljedećih veličina:

1. Vrijednost derivacije u nekoj tački x 0,
2. Visoke ili niske tačke (ekstremalne tačke),
3. Intervali rastućih i opadajućih funkcija (intervali monotonosti).

Funkcije i derivacije predstavljene u ovom problemu su uvijek kontinuirane, što uvelike pojednostavljuje rješenje. Unatoč činjenici da zadatak pripada dijelu matematičke analize, sasvim je u moći i najslabijih učenika, jer ovdje nije potrebno duboko teorijsko znanje.

Da biste pronašli vrijednost derivacije, ekstremnih tačaka i intervala monotonosti, postoje jednostavni i univerzalni algoritmi - svi će biti razmotreni u nastavku.

Pažljivo pročitajte uslov zadatka B9 da ne biste napravili glupe greške: ponekad naiđu prilično obimni tekstovi, ali postoji nekoliko važnih uslova koji utiču na tok rešenja.

Proračun vrijednosti derivata. Metoda u dve tačke

Ako je problemu zadan graf funkcije f(x), tangentan na ovaj graf u nekoj tački x 0 , i potrebno je pronaći vrijednost derivacije u ovoj tački, primjenjuje se sljedeći algoritam:

1. Pronađite dvije "adekvatne" tačke na tangentnom grafu: njihove koordinate moraju biti cijeli broj. Označimo ove tačke kao A (x 1 ; y 1) i B (x 2 ; y 2). Ispravno napišite koordinate - to je ključni trenutak rješenja, a svaka greška ovdje vodi do pogrešnog odgovora.
2. Poznavajući koordinate, lako je izračunati prirast argumenta Δx = x 2 − x 1 i prirast funkcije Δy = y 2 − y 1 .
3. Konačno, nalazimo vrijednost izvoda D = Δy/Δx. Drugim riječima, trebate podijeliti inkrement funkcije sa inkrementom argumenta - i to će biti odgovor.

Još jednom napominjemo: tačke A i B moraju se tražiti upravo na tangenti, a ne na grafu funkcije f(x), kao što je često slučaj. Tangenta će nužno sadržavati najmanje dvije takve točke, inače će problem biti pogrešno formuliran.

Uzmite u obzir tačke A (−3; 2) i B (−1; 6) i pronađite priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 \u003d -1 - (-3) = 2; Δy \u003d y 2 - y 1 = 6 - 2 \u003d 4.

Nađimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = 4/2 = 2.

Zadatak. Na slici je prikazan graf funkcije y = f (x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .

Razmotrite tačke A (0; 3) i B (3; 0), pronađite priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 = 3 - 0 \u003d 3; Δy \u003d y 2 - y 1 = 0 - 3 \u003d -3.

Sada nalazimo vrijednost izvoda: D = Δy/Δx = −3/3 = −1.

Zadatak. Na slici je prikazan graf funkcije y = f (x) i tangenta na nju u tački sa apscisom x 0. Pronađite vrijednost izvoda funkcije f(x) u tački x 0 .

Razmotrite tačke A (0; 2) i B (5; 2) i pronađite priraštaje:
Δx \u003d x 2 - x 1 = 5 - 0 \u003d 5; Δy = y 2 - y 1 = 2 - 2 = 0.

Ostaje pronaći vrijednost derivacije: D = Δy/Δx = 0/5 = 0.

Iz posljednjeg primjera možemo formulirati pravilo: ako je tangenta paralelna s osom OX, derivacija funkcije u tački tangentnosti jednaka je nuli. U ovom slučaju ne morate ništa da računate - samo pogledajte grafikon.

Izračunavanje visokih i niskih bodova

Ponekad se umjesto grafa funkcije u zadatku B9 daje graf derivacije i potrebno je pronaći maksimalnu ili minimalnu tačku funkcije. U ovom scenariju, metoda dvije tačke je beskorisna, ali postoji drugi, još jednostavniji algoritam. Prvo, hajde da definišemo terminologiju:

1. Tačka x 0 naziva se maksimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≥ f(x).
2. Tačka x 0 naziva se minimalnom tačkom funkcije f(x) ako u nekom susjedstvu ove tačke vrijedi sljedeća nejednakost: f(x 0) ≤ f(x).

Da biste pronašli maksimalnu i minimalnu tačku na grafu derivacije, dovoljno je izvršiti sljedeće korake:

1. Ponovo nacrtajte graf derivata, uklanjajući sve nepotrebne informacije. Kao što praksa pokazuje, dodatni podaci samo ometaju rješenje. Stoga obilježavamo koordinatna osa nule derivata - i to je to.
2. Saznajte predznake izvoda na intervalima između nula. Ako je za neku tačku x 0 poznato da je f'(x 0) ≠ 0, tada su moguće samo dvije opcije: f'(x 0) ≥ 0 ili f'(x 0) ≤ 0. Predznak izvoda je lako odrediti iz originalnog crteža: ako graf derivacije leži iznad ose OX, tada je f'(x) ≥ 0. Obrnuto, ako graf derivacije leži ispod ose OX, tada je f'(x) ≤ 0.
3. Ponovo provjeravamo nule i predznake derivacije. Tamo gdje se predznak mijenja iz minusa u plus, postoji minimalna tačka. Suprotno tome, ako se predznak derivacije promijeni iz plusa u minus, ovo je maksimalna tačka. Brojanje se uvijek vrši s lijeva na desno.

Ova šema radi samo za kontinuirane funkcije - nema drugih u problemu B9.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik izvoda funkcije f(x) definisane na segmentu [−5; 5]. Pronađite minimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Otarasimo se nepotrebnih informacija - ostavićemo samo granice [−5; 5] i nule izvoda x = −3 i x = 2.5. Takođe obratite pažnju na znakove:

Očigledno, u tački x = −3, predznak derivacije se mijenja sa minusa na plus. Ovo je minimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7]. Pronađite maksimalnu tačku funkcije f(x) na ovom segmentu.

Precrtajmo graf, ostavljajući samo granice [−3; 7] i nule izvoda x = −1,7 i x = 5. Zabilježite znakove izvoda na rezultirajućem grafu. Imamo:

Očigledno, u tački x = 5, predznak derivacije se mijenja sa plusa na minus - ovo je maksimalna tačka.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−6; 4]. Odrediti broj maksimalnih tačaka funkcije f(x) koje pripadaju intervalu [−4; 3].

Iz uslova zadatka slijedi da je dovoljno uzeti u obzir samo dio grafa koji je ograničen segmentom [−4; 3]. Stoga gradimo novi graf na kojem označavamo samo granice [−4; 3] i nule izvoda unutar njega. Naime, tačke x = −3,5 i x = 2. Dobijamo:

Na ovom grafu postoji samo jedna maksimalna tačka x = 2. U njoj se predznak derivacije mijenja iz plusa u minus.

Mala napomena o tačkama sa necelobrojnim koordinatama. Na primjer, u posljednjem zadatku razmatrana je tačka x = −3,5, ali sa istim uspjehom možemo uzeti x = −3,4. Ako je problem pravilno formuliran, takve promjene ne bi trebale utjecati na odgovor, jer točke „bez određenog mjesta stanovanja“ nisu direktno uključene u rješavanje problema. Naravno, s cijelim brojevima takav trik neće raditi.

Pronalaženje intervala povećanja i smanjenja funkcije

U takvom problemu, kao što su tačke maksimuma i minimuma, predlaže se pronalaženje područja u kojima se sama funkcija povećava ili smanjuje iz grafa derivacije. Prvo, hajde da definišemo šta su uzlazno i ​​silazno:

1. Funkcija f(x) se naziva rastućom na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačna tvrdnja: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≤ f(x 2). Drugim riječima, što je veća vrijednost argumenta, to je veća vrijednost funkcije.
2. Funkcija f(x) se naziva opadajućom na segmentu ako je za bilo koje dvije tačke x 1 i x 2 iz ovog segmenta tačan iskaz: x 1 ≤ x 2 ⇒ f(x 1) ≥ f(x 2). One. veća vrijednost argumenta odgovara manjoj vrijednosti funkcije.

Formuliramo dovoljne uslove za povećanje i smanjenje:

1. Da bi kontinuirana funkcija f(x) porasla na segmentu, dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude pozitivan, tj. f'(x) ≥ 0.
2. Da bi se kontinuirana funkcija f(x) smanjila na segmentu, dovoljno je da njen izvod unutar segmenta bude negativan, tj. f'(x) ≤ 0.

Ove tvrdnje prihvatamo bez dokaza. Tako dobijamo šemu za pronalaženje intervala povećanja i smanjenja, koja je u mnogome slična algoritmu za izračunavanje ekstremnih tačaka:

1. Uklonite sve suvišne informacije. Na originalnom grafu derivacije nas prvenstveno zanimaju nule funkcije, pa ostavljamo samo njih.
2. Označite predznake izvoda na razmacima između nula. Gdje je f'(x) ≥ 0, funkcija raste, a gdje je f'(x) ≤ 0, ona opada. Ako problem ima ograničenja na varijablu x, dodatno ih označavamo na novom grafikonu.
3. Sada kada znamo ponašanje funkcije i ograničenja, ostaje da izračunamo traženu vrijednost u problemu.

Zadatak. Na slici je prikazan graf derivacije funkcije f(x) definisane na intervalu [−3; 7.5]. Naći intervale opadajuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite zbir cijelih brojeva uključenih u ove intervale.

Kao i obično, ponovo crtamo graf i označavamo granice [−3; 7.5], kao i nule izvoda x = −1.5 i x = 5.3. Zatim označavamo predznake derivacije. Imamo:

Pošto je izvod negativan na intervalu (− 1,5), ovo je interval opadajuće funkcije. Ostaje da se zbroje svi cijeli brojevi koji se nalaze unutar ovog intervala:
−1 + 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 14.

Zadatak. Na slici je prikazan grafik izvoda funkcije f(x) definisane na segmentu [−10; 4]. Naći intervale rastuće funkcije f(x). U svom odgovoru napišite dužinu najvećeg od njih.

Riješimo se suvišnih informacija. Ostavljamo samo granice [−10; 4] i nule izvoda, za koje se ovaj put ispostavilo da su četiri: x = −8, x = −6, x = −3 i x = 2. Zabilježite znakove izvoda i dobijete sljedeću sliku:

Zanimaju nas intervali rastuće funkcije, tj. gdje je f'(x) ≥ 0. Postoje dva takva intervala na grafu: (−8; −6) i (−3; 2). Izračunajmo njihove dužine:
l 1 = − 6 − (−8) = 2;
l 2 = 2 − (−3) = 5.

Pošto je potrebno pronaći dužinu najvećeg intervala, kao odgovor zapisujemo vrijednost l 2 = 5.

Neka je funkcija definirana u nekom susjedstvu tačke. Derivat funkcije u tački naziva se granica, ako postoji,

Konvencionalna notacija za derivaciju funkcije u tački

Tabela derivata

Geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački.

Uzmite u obzir sekans AB graf funkcije y=f(x) tako da su tačke A I IN imaju koordinate i , gdje je prirast argumenta. Označimo prirastom funkcije. Označimo sve na crtežu:

Od pravougaonog trougla ABC imamo . Pošto je, po definiciji, tangenta granična pozicija sekanse, onda .

Prisjetite se definicije izvoda funkcije u tački: derivacije funkcije y=f(x) u tački se naziva granica omjera prirasta funkcije i prirasta argumenta u , označava se .

Dakle, , gdje je nagib tangente.

Dakle, postojanje derivata funkcije y=f(x) u tački je ekvivalentno postojanju tangente na graf funkcije y=f(x) na mestu kontakta, i nagib tangente jednak je vrijednosti derivacije u tački, to je .

zaključujemo: geometrijsko značenje derivacije funkcije u tački sastoji se u postojanju tangente na graf funkcije u ovoj tački.

20 Diferencijabilnost funkcije u tački. Neophodan i dovoljan uslov za diferencijabilnost.

Prirast funkcije diferencibilne u datoj tački može se predstaviti kao linearna funkcija povećanje argumenta do vrijednosti višeg reda malenosti. To znači da se za dovoljno male okoline date tačke funkcija može zamijeniti linearnom (brzina promjene funkcije može se smatrati nepromijenjenom). Linearni dio inkrementa funkcije naziva se njenim diferencijalom (u datoj tački).

Neophodan, ali ne i dovoljan uslov za diferencijabilnost je kontinuitet funkcije. U slučaju funkcije jedne realne varijable, diferencijabilnost je ekvivalentna postojanju derivacije. U slučaju funkcije više realnih varijabli, neophodan (ali ne i dovoljan) uslov za diferencijabilnost je postojanje parcijalnih izvoda u odnosu na sve varijable. Da bi funkcija nekoliko varijabli bila diferencibilna u jednoj tački, dovoljno je da parcijalni izvod postoje u nekom susjedstvu razmatrane tačke i da budu kontinuirani u datoj tački.

21 Diferencijabilnost funkcije u tački. Teorema o kontinuitetu diferencijabilne funkcije.

Teorema.

Ako je funkcija diferencibilna u datoj tački, tada je funkcija u toj tački kontinuirana.

Dokaz.

Neka je funkcija y=f(x)y=f(x) diferencijabilna u tački x0x0, tada je prirast ove funkcije Δy=A⋅Δx+α(Δx)⋅xΔy=A⋅Δx+α(Δx) ⋅x.

Kada prirast argumenta funkcije ΔxΔx teži nuli, prirast funkcije ΔyΔy također teži nuli, a to znači kontinuitet funkcije.

To jest, na kraju smo dobili da je funkcija y=f(x)y=f(x), diferencibilna u tački x0x0, također kontinuirana funkcija u ovoj tački. Q.E.D.

Dakle, kontinuitet funkcije u datoj tački je neophodan, ali ne i dovoljan uslov da bi funkcija bila diferencibilna.

Primjer.

Funkcija y=|x|y=|x| u tački x0x0 je kontinuirana funkcija, ali u ovoj tački funkcija nije diferencibilna.

Zaista, prirast funkcije je jednak:

Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|Δy=f(x0+Δx)−f(x0)=|Δx|.

Pri tome dobijamo:

ΔyΔx=|Δx|Δx=(1,Δx>0,−1,Δx<0ΔyΔx=|Δx|Δx={1,Δx>0,−1,Δx<0.

Granica limΔx→0ΔyΔxlimΔx→0ΔyΔx ne postoji, što znači da funkcija y=|x|y=|x|, koja je kontinuirana u tački x0x0, nije diferencibilna u ovoj tački.

22 Funkcijski diferencijal. Geometrijsko značenje diferencijala.

Diferencijal funkcija u nekom trenutku x naziva se glavni, linearni dio inkrementa funkcije.

Funkcijski diferencijal y=f(x) jednak je proizvodu njegovog izvoda i priraštaja nezavisne varijable x(argument).

Napisano je ovako:

Geometrijsko značenje diferencijala. Funkcijski diferencijal y=f(x) jednak je prirastu ordinate tangente S povučene na graf ove funkcije u tački M( x; y), kada se promijeni x(argument) po vrijednosti (vidi sliku)..

23 Pravilo diferencijabilnosti zbira i proizvoda.

Da bismo dokazali drugo pravilo diferencijacije, koristimo definiciju derivacije i svojstvo granice neprekidne funkcije.

Na sličan način može se dokazati da je derivacija sume (razlike) n funkcije jednaka zbroju (razlici) n derivati

Dokažimo pravilo diferencijacije proizvoda dvije funkcije.

Zapišimo granicu omjera prirasta proizvoda funkcija i prirasta argumenta. Uzet ćemo u obzir da i (inkrement funkcije teži nuli kada inkrement argumenta teži nuli).

Q.E.D.

24 Invarijantnost diferencijala oblika 1.

Invarijantnost oblika prvog diferencijala

Ako x je nezavisna varijabla, dakle dx = x - x 0 (fiksni prirast). U ovom slučaju imamo

df(x 0) = f"(x 0)dx. (3)

Ako x = φ (t) je onda diferencijabilna funkcija dx = φ" (t 0)dt. dakle,

tj. prvi diferencijal ima svojstvo invarijantnosti prema promjeni argumenta.

25 Rolleova teorema.

Rolleova teorema (teorema nulte derivacije) To navodi

Dokaz

Ako je funkcija na intervalu konstantna, onda je izjava očigledna, jer je derivacija funkcije jednaka nuli u bilo kojoj tački intervala.

Ako ne, budući da su vrijednosti funkcije na graničnim točkama segmenta jednake, onda prema Weierstrassovom teoremu, ona uzima svoju maksimalnu ili minimalnu vrijednost u nekoj točki intervala, odnosno ima lokalni ekstrem u ovoj tački, a prema Fermatovoj lemi, u ovoj tački derivacija je jednaka 0 .

geometrijskog smisla

Teorema kaže da ako su ordinate oba kraja glatke krive jednake, tada postoji tačka na krivulji u kojoj je tangenta krive paralelna sa x-osi.

26 Lagrangeova teorema i njene posljedice.

Formula konačnog prirasta ili Lagranževa teorema srednje vrednosti kaže da ako je funkcija kontinuirana na segmentu i diferencibilna na intervalu , tada postoji takva točka da

.

Geometrijski ovo se može preformulisati na sledeći način: na segmentu postoji tačka u kojoj je tangenta paralelna sa tetivom koja prolazi kroz tačke grafa koje odgovaraju krajevima segmenta.

Mehanička interpretacija: Neka - udaljenost tačke u ovom trenutku od početne pozicije. Zatim postoji udaljenost prijeđena od trenutka do trenutka, omjer je prosječna brzina u ovom intervalu. To znači da ako se brzina tijela odredi u bilo kojem trenutku, tada će u nekom trenutku biti jednaka njegovoj prosječnoj vrijednosti u ovom dijelu.

Dokaz

Za jednu varijabilnu funkciju:

Hajde da predstavimo funkciju. Zadovoljava uslove Rolleove teoreme: na krajevima segmenta njegove vrijednosti su jednake nuli. Koristeći spomenutu teoremu, dobivamo da postoji tačka u kojoj je derivacija funkcije jednaka nuli:

Q.E.D.

Posljedice i generalizacije

Lagrangeova teorema konačnog priraštaja jedna je od najvažnijih, ključnih teorema u cijelom sistemu diferencijalnog računa. Ima dosta primjena u računarskoj matematici, a glavne teoreme matematičke analize su i njegove posljedice.

Posljedica 1. Funkcija koja se može diferencirati na intervalu s izvodom jednakim nuli je konstanta.

Dokaz. Za bilo koji i postoji takva točka da .

Dakle, za sve i , jednakost je istinita.

Korolar 2 (Taylorova formula sa članom ostatka u Lagrangeovom obliku). Ako je funkcija diferencijabilna vremena u susjedstvu točke , tada za male (tj. one za koje segment leži u naznačenom susjedstvu) vrijedi Taylorova formula:

gdje je neki broj iz intervala .

Posljedica 3. Ako je funkcija varijabli dvaput diferencibilna u susjedstvu točke O i svi njeni drugi mješoviti derivati ​​su kontinuirani u tački O, tada je jednakost tačna u ovoj tački:

Dokaz za . Popravimo vrijednosti i i razmotrimo operatore razlike

Prema Lagrangeovoj teoremi, postoje brojevi , takav da

at zbog kontinuiteta drugih izvoda funkcije .

Slično, dokazano je da .

Ali pošto , (što se provjerava direktno), ove granice se poklapaju.

Korolar 4 (Newton-Leibnizova formula). Ako je funkcija diferencibilna na segmentu i njen izvod je Riemannov integrabilan na ovom segmentu, tada vrijedi formula: .

Dokaz. Neka biti proizvoljna particija segmenta . Primjenjujući Lagrangeovu teoremu, na svakom od segmenata nalazimo tačku takvu da .

Sumirajući ove jednakosti, dobijamo:

Na lijevoj strani je Rimanov integralni zbir za integral i datu označenu particiju. Prelaskom do granice prečnika particije, dobijamo Newton-Leibnizovu formulu.

Korolar 5 (Teorema o procjeni konačnih prirasta). Neka je preslikavanje kontinuirano diferencibilno u konveksnoj kompaktnoj domeni prostora . Onda .

27 Kashijeva teorema.

Cauchy teorema srednje vrijednosti.

Neka su dvije funkcije i zadane takve da su: 1. i definirane i kontinuirane na segmentu ; 2. derivacije i konačne su na intervalu ; 3. derivati ​​i ne nestaju istovremeno na intervalu 4. ; onda postoji za šta je tačno: . (Ako uklonimo uslov 4, tada je potrebno, na primjer, pojačati uvjet 3: g "(x) ne smije nestati nigdje u intervalu.)

Geometrijski, ovo se može preformulisati na sljedeći način: ako je postavljen i zakon kretanja na ravni (to jest, apscisa i ordinata su određene kroz parametar ), tada na bilo kojem segmentu takve krive, specificiranom parametrima i , postoji tangentni vektor kolinearan vektoru pomaka od do .