Opšta jednačina ravni u prostoru. Jednačina ravnine. Kako napisati jednačinu za ravan? Međusobni raspored aviona. Zadaci Jednadžba ravnine s vektorom smjera i tačkom
Jednačina ravnine. Kako napisati jednačinu za ravan?
Međusobni raspored aviona. Zadaci
Prostorna geometrija nije mnogo složenija od "ravne" geometrije, a naši letovi u svemiru počinju ovim člankom. Da bi se razumjela tema, mora se dobro razumjeti vektori, osim toga, poželjno je poznavati geometriju ravnine - bit će mnogo sličnosti, mnogo analogija, pa će se informacije mnogo bolje probaviti. U nizu mojih lekcija, 2D svijet otvara članak Jednačina prave linije na ravni. Ali sada je Betmen izašao sa televizora sa ravnim ekranom i lansirao se sa kosmodroma Bajkonur.
Počnimo sa crtežima i simbolima. Šematski, ravan se može nacrtati kao paralelogram, što daje utisak prostora: 
Avion je beskonačan, ali imamo priliku da prikažemo samo njegov deo. U praksi se pored paralelograma crta i oval ili čak oblak. Iz tehničkih razloga mi je zgodnije da avion prikažem na ovaj način i u ovoj poziciji. Prave ravni, koje ćemo razmotriti u praktičnim primjerima, mogu se rasporediti kako želite - mentalno uzmite crtež u ruke i uvrnite ga u prostoru, dajući avionu bilo koji nagib, bilo koji kut.
Notacija: uobičajeno je da se avioni označavaju malim grčkim slovima, očigledno da ih ne bi pobrkali sa pravo u avion ili sa pravo u svemir. Navikao sam da koristim pismo. Na crtežu je to slovo "sigma", a ne rupa. Iako, rupa avion, to je svakako jako smiješno.
U nekim slučajevima, zgodno je koristiti ista grčka slova sa indeksima za označavanje aviona, na primjer, .
Očigledno je da je ravan jednoznačno određena sa tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji. Stoga su troslovne oznake ravnina prilično popularne - prema tačkama koje im pripadaju, na primjer, itd. Često se slova stavljaju u zagrade: 
, kako ne bi pobrkali ravan s drugom geometrijskom figurom.
Za iskusne čitaoce, dat ću meni prečica:
- Kako napisati jednačinu za ravan koristeći tačku i dva vektora?
- Kako napisati jednačinu za ravan koristeći tačku i normalni vektor?
i nećemo čamiti u dugim čekanjima:
Opšta jednačina ravni
Opća jednačina ravni ima oblik , gdje su koeficijenti istovremeno različiti od nule.
Brojni teorijski proračuni i praktični problemi vrijede i za uobičajenu ortonormalnu bazu i za afine osnove prostor (ako je ulje ulje, vratite se na lekciju Linearna (ne)ovisnost vektora. Vektorska osnova). Radi jednostavnosti, pretpostavit ćemo da se svi događaji dešavaju u ortonormalnoj bazi i kartezijanskoj osnovi pravougaoni sistem koordinate.
A sada da treniramo malo prostorne mašte. U redu je ako imate loše, sada ćemo ga malo razviti. Čak i igranje na živce zahtijeva vježbu.
U najopštijem slučaju, kada brojevi nisu jednaki nuli, ravan siječe sve tri koordinatne ose. Na primjer, ovako:
Ponavljam još jednom da se avion kreće u nedogled u svim pravcima, a mi imamo priliku prikazati samo njegov dio.
Razmotrite najjednostavnije jednadžbe ravnina:
Kako razumjeti ovu jednačinu? Razmislite o tome: “Z” UVIJEK, za bilo koje vrijednosti “X” i “Y” jednako je nuli. Ovo je jednadžba "nativne" koordinatne ravni. Zaista, formalno se jednačina može prepisati na sljedeći način: 
, odakle je jasno vidljivo da nas nije briga koje vrijednosti zauzimaju “x” i “y”, važno je da je “z” jednako nuli.
Slično:
je jednadžba koordinatne ravni ;
je jednadžba koordinatne ravni.
Hajde da malo zakomplikujemo problem, razmotrimo ravan (ovde i dalje u paragrafu pretpostavljamo da numerički koeficijenti nisu jednaki nuli). Prepišimo jednačinu u obliku: . Kako to razumjeti? "X" je UVIJEK, za bilo koju vrijednost "y" i "z" je jednako određenom broju. Ova ravan je paralelna sa koordinatnom ravninom. Na primjer, ravan je paralelna s ravninom i prolazi kroz tačku.
Slično:
- jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom;
- jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom ravninom.
Dodajte članove: . Jednačina se može prepisati ovako: , to jest, "Z" može biti bilo šta. Šta to znači? "X" i "Y" su povezani omjerom koji povlači određenu pravu liniju u ravni (prepoznat ćete jednačina prave linije u ravni?). Pošto Z može biti bilo šta, ova linija se "replicira" na bilo kojoj visini. Dakle, jednačina definira ravan paralelnu koordinatnoj osi
Slično:
- jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom;
- jednačina ravnine koja je paralelna sa koordinatnom osom.
Ako su slobodni članovi jednaki nuli, tada će ravni direktno proći kroz odgovarajuće ose. Na primjer, klasična "direktna proporcionalnost":. Nacrtajte pravu liniju u ravni i mentalno je pomnožite gore-dolje (pošto je "z" bilo koji). Zaključak: ravnina data jednačinom prolazi kroz koordinatnu osu.
Završavamo pregled: jednačina ravnine 
prolazi kroz ishodište. Pa, ovdje je sasvim očigledno da tačka zadovoljava zadatu jednačinu.
I, na kraju, slučaj koji je prikazan na crtežu: - ravan se sprijatelji sa svim koordinatnim osama, a uvijek „odsijeca“ trougao koji se može nalaziti u bilo kojem od osam oktanata.
Linearne nejednakosti u prostoru
Da biste razumjeli informacije, potrebno je dobro proučiti linearne nejednačine u ravni jer će mnoge stvari biti slične. Paragraf će biti kratak pregled sa nekoliko primjera, budući da je materijal prilično rijedak u praksi.
Ako jednačina definira ravan, onda su nejednačine
pitaj poluprostori. Ako nejednakost nije stroga (zadnje dvije na listi), tada rješenje nejednakosti, pored poluprostora, uključuje i samu ravan.
Primjer 5
Pronađite vektor jedinične normale ravnine 
.
Rješenje: Jedinični vektor je vektor čija je dužina jedan. Označite dati vektor kroz . Sasvim je jasno da su vektori kolinearni: 
Prvo uklanjamo vektor normale iz jednadžbe ravnine: .
Kako pronaći jedinični vektor? Da biste pronašli jedinični vektor, trebate svaki vektorska koordinata podijeljena dužinom vektora.
Prepišimo normalni vektor u formu i pronađemo njegovu dužinu:
prema gore navedenom:
Odgovori: 
Provjera: , što je bilo potrebno za provjeru.
Čitaoci koji su pažljivo proučili poslednji pasus lekcije, verovatno su to primetili koordinate jediničnog vektora su tačno kosinus smjera vektora:
Hajde da odstupimo od rastavljenog problema: kada vam je dat proizvoljan vektor koji nije nula, a po uvjetu je potrebno pronaći kosinus smjera (vidi posljednje zadatke lekcije Tačkasti proizvod vektora), tada ćete, u stvari, pronaći i jedinični vektor kolinearan datom. Zapravo, dva zadatka u jednoj boci.
Potreba za pronalaženjem vektora jedinične normale javlja se u nekim problemima matematičke analize.
Ribolov normalni vektor OK, hajde da odgovorimo na suprotno pitanje:
Kako napisati jednačinu za ravan koristeći tačku i normalni vektor?
Ova kruta konstrukcija normalnog vektora i tačke dobro je poznata po meti za pikado. Ispružite ruku naprijed i mentalno odaberite proizvoljnu tačku u prostoru, na primjer, malu mačku u kredencu. Očigledno, kroz ovu tačku možete nacrtati jednu ravan okomitu na vašu ruku.
Jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor izražava se formulom:
Normalna jednačina ravnine.
Zove se jednadžba ravnine općeg izgleda normalna jednačina ravni ako je dužina vektora 
je jednako jedan, tj. 
, I .
Često možete vidjeti da je normalna jednačina ravnine zapisana kao . Ovdje su kosinusi smjera vektora normale date ravni jedinične dužine, odnosno i str je nenegativan broj jednak udaljenosti od početka do ravni.
Normalna jednadžba ravni u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz definira ravan koja je udaljena od ishodišta za udaljenost str u pozitivnom pravcu vektora normale ove ravni 
. Ako p=0, tada ravan prolazi kroz ishodište.
Dajemo primjer jednačine normalne ravni.
Neka je ravan data u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz jednačina u ravnini opšteg pogleda 
. Ova opšta jednačina ravnine je normalna jednačina ravnine. Zaista, i vektor normale ove ravni 
ima dužinu jednaku jedan, jer 
.
Jednačina ravnine u svom normalnom obliku omogućava vam da pronađete udaljenost od tačke do ravni.
Udaljenost od tačke do ravni.
Udaljenost od tačke do ravni je najmanja od udaljenosti između te tačke i tačaka u ravni. To je poznato razdaljina iz tačke u ravan jednaka je dužini okomice spuštene iz ove tačke na ravan.
Ako i ishodište leže na suprotnim stranama ravnine, inače. Udaljenost od tačke do ravni je
Međusobni raspored aviona. Uslovi paralelizma i okomitosti ravnina.
Udaljenost između paralelnih ravnina
Povezani koncepti
Ravnine su paralelne , Ako
ili 
(Vektorski proizvod)
Ravnine su okomite, Ako
Or 
.
(Skalarni proizvod)
prava linija u prostoru. Različite vrste pravolinijske jednačine.
Jednačine prave u prostoru - početne informacije.
Jednačina prave linije na ravni Oxy je linearna jednadžba sa dvije varijable x I y, koji je zadovoljen koordinatama bilo koje tačke na liniji, a ne koordinatama bilo koje druge tačke. S pravom linijom u trodimenzionalnom prostoru situacija je malo drugačija - ne postoji linearna jednadžba sa tri varijable x, y I z, koje bi zadovoljile samo koordinate tačaka prave date u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz. Zaista, jednadžba oblika , gdje x, y I z su varijable, i A, B, C I D su neki realni brojevi, i A, IN I WITH nije jednako nuli u isto vrijeme, jeste opšta jednačina u ravni. Tada se postavlja pitanje: „Kako se može opisati prava linija u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz»?
Odgovor na njega sadržan je u sljedećim paragrafima članka.
Jednačine prave u prostoru su jednačine dvije ravnine koje se seku.
Prisjetimo se jednog aksioma: ako dvije ravni u prostoru imaju zajedničku tačku, onda imaju zajedničku pravu liniju na kojoj su svi zajedničke tačke ovi avioni. Dakle, prava linija u prostoru se može specificirati specificiranjem dvije ravni koje se seku duž ove prave linije.
Hajde da prevedemo poslednju izjavu na jezik algebre.
Neka je pravougaoni koordinatni sistem fiksiran u trodimenzionalnom prostoru Oxyz a poznato je da je linija a je linija presjeka dvije ravni i, koje odgovaraju općim jednačinama ravnine oblika i, respektivno. Od prave linije a je skup svih zajedničkih tačaka ravnina i, tada će koordinate bilo koje tačke prave linije a istovremeno zadovoljiti i jednadžbu i jednačinu, koordinate nijedne druge tačke neće istovremeno zadovoljiti obje jednačine ravnina. Dakle, koordinate bilo koje tačke na liniji a u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz predstavljaju posebno rješenje sistema linearnih jednačina vrsta 
, i opšte rješenje sistema jednačina 
određuje koordinate svake tačke linije a, odnosno određuje liniju a.
Dakle, prava u prostoru u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz može se dati sistemom jednačina dvije ravnine koje se seku 
.
Evo primjera definiranja prave linije u prostoru pomoću sistema dvije jednačine - 
.
Opis prave linije jednadžbama dvije ravnine koje se seku je odličan za nalaženje koordinata tačke preseka prave i ravni, kao i na nalaženje koordinata tačke preseka dve prave u prostoru.
Preporučujemo da nastavite proučavanje ove teme pozivajući se na članak jednačine prave u prostoru - jednačine dve ravnine koje se seku. Pruža detaljnije informacije, detaljno analizira rješenja tipičnih primjera i problema, a također pokazuje način da se pređe na jednačine prave linije u prostoru drugačije vrste.
Treba napomenuti da postoje različiti načini postavljanja prave linije u prostoru, a u praksi se prava linija često daje ne sa dvije ravnine koje se sijeku, već usmjeravajućim vektorom prave linije i tačkom koja leži na ovoj pravoj liniji. U tim slučajevima je lakše dobiti kanonske i parametarske jednačine prave u prostoru. O njima ćemo govoriti u narednim paragrafima.
Parametarske jednačine prave u prostoru.
Parametarske jednačine prave u prostoru izgleda kao 
,
Gdje x 1 ,y 1 I z 1 su koordinate neke tačke na pravoj, a x , a y I a z (a x , a y I a z istovremeno nije jednak nuli) - odgovarajući koordinate vektora smjera, i - neki parametar koji može uzeti bilo koju realnu vrijednost.
Za bilo koju vrijednost parametra, prema parametarskim jednadžbama prave linije u prostoru, možemo izračunati trojku brojeva,
odgovaraće nekoj tački prave (otuda i naziv ove vrste jednadžbi pravih linija). Na primjer, kada
iz parametarskih jednačina prave u prostoru dobijamo koordinate x 1
, y 1
I z 1
: 
.
Kao primjer, razmotrite ravnu liniju definiranu parametarskim jednadžbama oblika 
. Ova linija prolazi kroz tačku, a vektor smjera ove prave ima koordinate.
Preporučujemo da nastavite proučavati temu pozivajući se na materijal članka. parametarske jednačine prave u prostoru. Prikazuje izvođenje parametarskih jednadžbi prave u prostoru, analizira pojedine slučajeve parametarskih jednačina prave u prostoru, daje grafičke ilustracije, daje detaljna rješenja karakterističnih problema i ukazuje na odnos između parametarskih pravolinijskih jednačina i drugih vrsta pravolinijskih jednačina.
Kanonske jednadžbe prave linije u prostoru.
Nakon rješavanja svake parametarske jednačine direktnog oblika 
što se tiče parametra, lako je preskočiti kanonske jednadžbe prave linije u prostoru vrsta 
.
Kanonske jednadžbe prave u prostoru definiraju pravu koja prolazi kroz tačku 
, a usmjeravajući vektor prave linije je vektor 
. Na primjer, jednadžbe prave linije u kanonskom obliku 
odgovaraju liniji koja prolazi kroz tačku u prostoru sa koordinatama, vektor pravca ove linije ima koordinate.
Treba napomenuti da jedan ili dva broja u kanonskim jednadžbama prave linije mogu biti jednaka nuli (sva tri broja ne mogu biti jednaka nuli u isto vrijeme, jer usmjeravajući vektor prave linije ne može biti nula) . Zatim zapis obrasca 
smatra se formalnim (pošto će imenioci jednog ili dva razlomka imati nule) i treba ga shvatiti kao 
, Gdje.
Ako je jedan od brojeva u kanonskim jednadžbama ravne linije jednak nuli, tada prava linija leži u jednoj od koordinatnih ravnina, ili u ravni koja joj je paralelna. Ako su dva broja jednaka nuli, tada se prava ili poklapa s jednom od koordinatnih osa ili je paralelna s njom. Na primjer, prava linija koja odgovara kanonskim jednadžbama prave linije u prostoru forme 
, leži u avionu z=-2, koja je paralelna sa koordinatnom ravninom Oxy, A koordinatna osa Oy je određena kanonskim jednadžbama.
Za grafičku ilustraciju ovih slučajeva, izvođenje kanonskih jednadžbi prave u prostoru, detaljna rješenja tipičnih primjera i zadataka, kao i prijelaz sa kanonskih jednadžbi prave na druge jednačine prave u prostoru , pogledajte članak kanonske jednadžbe prave linije u prostoru.
Opšta jednačina prave linije. Prijelaz sa opšte na kanonsku jednačinu.
| " |
je opšta jednačina ravni u prostoru
Vektor normalne ravni
Normalni vektor ravni je vektor različit od nule ortogonan svakom vektoru koji leži u ravni.
Jednačina ravni koja prolazi kroz tačku sa datim vektorom normale
je jednačina ravnine koja prolazi kroz tačku M0 sa datim vektorom normale
Vektori pravca ravnine
Dva nekolinearna vektora paralelna s ravninom nazivaju se vektori smjera ravnine
Jednačine parametarske ravni
– parametarska jednačina avioni u vektorskom obliku
je parametarska jednadžba ravnine u koordinatama
Jednadžba ravni kroz datu tačku i dva vektora smjera
-fiksna tačka
samo tačka lol
su komplanarni, pa je njihov mješoviti proizvod 0.
Jednačina ravni koja prolazi kroz tri date tačke
– jednačina ravnine kroz tri tačke
Jednačina ravnine u segmentima
- jednadžba ravnine u segmentima
Dokaz
Da bismo to dokazali, koristimo činjenicu da naša ravan prolazi kroz A, B, C i normalni vektor
Zamenimo koordinate tačke i vektora n u jednadžbu ravnine sa vektorom normale
Podijelite sve i dobijete
Tako to ide.
Jednačina normalne ravni
je ugao između vola i vektora normale prema ravni, koja izlazi iz O.
je ugao između oy i vektora normale prema ravni, koja izlazi iz O.
je ugao između oz i vektora normale prema ravni, koja izlazi iz O.
je udaljenost od početka koordinata do ravni.
Dokazi ili slicno sranje
Znak je nasuprot D.
Slično za ostale kosinuse. Kraj.
Udaljenost od tačke do ravni
Tačka S, ravan
je orijentisana udaljenost od tačke S do ravni
Ako , tada S i O leže na suprotnim stranama ravnine
Ako , tada S i O leže na istoj strani
Pomnožite sa n 
Međusobni raspored dvije linije u prostoru
Ugao između ravnina
Na presjeku se formiraju dva para vertikalnih diedarskih uglova, najmanji se naziva ugao između ravnina
Prava linija u prostoru
Prava u prostoru se može dati kao
Presek dve ravni:
Parametarske jednadžbe prave linije
- parametarska jednačina prave linije u vektorskom obliku
je parametarska jednadžba prave linije u koordinatama
Canonical Equation
je kanonska jednadžba prave linije.
Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke
– kanonska jednačina prave u vektorskom obliku;
Međusobni raspored dvije linije u prostoru
Međusobni raspored prave i ravni u prostoru
Ugao između prave i ravni
Udaljenost od tačke do prave u prostoru
a je vektor smjera naše prave linije.
je proizvoljna tačka koja pripada datoj liniji
- tačka do koje tražimo udaljenost.
Udaljenost između dvije linije koje se seku
Udaljenost između dvije paralelne prave
M1 - tačka koja pripada prvoj liniji
M2 je tačka koja pripada drugoj liniji
Krivulje i površine drugog reda
Elipsa je skup tačaka u ravni, zbir udaljenosti od kojih do dvije date tačke (fokusa) je konstantna vrijednost.
Kanonska jednadžba elipse
Zamenimo ga sa
Podijeli po
Ellipse Properties
Raskrsnica sa koordinatnim osama
Porijeklo
Symmetry about
Elipsa je kriva koja leži u ograničenom dijelu ravni
Elipsa se može dobiti iz kruga istezanjem ili stiskanjem
Parametrijska jednadžba elipse:
- direktori
Hiperbola
Hiperbola je skup tačaka u ravni za koji je modul razlike udaljenosti do 2 date tačke (žarišta) konstantna vrijednost (2a)
Sve radimo isto kao i sa elipsom, dobijamo
Zamijeni sa
Podijeli po
Svojstva hiperbole
;
- direktori
Asimptota
Asimptota je prava linija kojoj se kriva neograničeno približava, povlači se u beskonačnost.
Parabola
svojstva parabota
Odnos između elipse, hiperbole i parabole.
Odnos između ovih krivulja ima algebarsko objašnjenje: sve su date jednačinama drugog stepena. U bilo kom koordinatnom sistemu, jednadžbe ovih krivulja imaju oblik: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, gdje su a, b, c, d, e, f brojevi
Transformiranje pravokutnih dekartovih koordinatnih sistema
Paralelno prevođenje koordinatnog sistema
–O’ u starom koordinatnom sistemu
– koordinate tačke u starom koordinatnom sistemu
– koordinate tačke u novom koordinatnom sistemu
Koordinate tačaka u novom koordinatnom sistemu.
Rotirajte u kartezijanskom koordinatnom sistemu
– novi koordinatni sistem
Prijelazna matrica sa stare baze na novu
- (ispod prve kolone I’
, ispod drugog j’
) matrica prijelaza iz baze I,j na osnovu I’
,j’
Opšti slučaj
Rotacija koordinatnog sistema
Rotacija koordinatnog sistema
Paralelni prijevod porijekla
1 opcija
Opcija 2
Opća jednadžba pravih drugog reda i njeno svođenje na kanonski oblik
je opći oblik krivuljnih jednačina drugog reda
Klasifikacija krivulja drugog reda
Elipsoid
Poprečni presjeci elipsoida
- elipsa
- elipsa
Elipsoidi revolucije
Elipsoidi okretanja su ili spljošteni ili ispruženi sferoidi, ovisno o tome oko čega se okrećemo.
Jednopojasni hiperboloid
Presjeci hiperboloida s jednom trakom
– hiperbola sa realnom osom oy
je hiperbola sa realnom x-osom
Ispada elipsa za bilo koji h. Tako to ide.
Jednotrakasti hiperboloidi revolucije
Hiperboloid okretanja sa jednim listom može se dobiti rotacijom hiperbole oko svoje imaginarne ose.
Hiperboloid sa dva lista
Sekcije hiperboloida sa dva lista 
- hiperbola sa akcijom. axisoz
je hiperbola sa realnom osom oz
Kornet 
- par linija koje se seku
- par linija koje se seku
Eliptični paraboloid 
- parabola
- parabola
Rotacije
Ako je , tada je eliptični paraboloid površina okretanja formirana rotacijom parabole oko svoje ose simetrije.
Hiperbolički paraboloid
Parabola
- parabola
h>0 hiperbola sa realnom osom paralelnom sa x
h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
Pod cilindrom podrazumijevamo površinu koja će se dobiti kada se pravac kreće u prostoru, a koja ne mijenja svoj smjer, ako se pravac kreće u odnosu na oz, tada je jednadžba cilindra jednačina presjeka ravninom xoy.
Eliptični cilindar
hiperbolički cilindar
parabolični cilindar
Pravolinijski generatori površina drugog reda
Prave koje potpuno leže na površini nazivaju se pravolinijski generatori površine.
Površine revolucije
Jebi se lol
Display
prikazivanjem Nazovimo pravilo prema kojem je svaki element skupa A pridružen jednom ili više elemenata skupa B. Ako je svakom dodijeljen jedan element skupa B, tada se poziva mapiranje nedvosmisleno, inače dvosmisleno.
Transformacija skup se naziva jedan-na-jedan preslikavanje skupa na sebe
Injekcija
Injekcija ili jedan-na-jedan mapiranje skupa A u skup B
(različiti elementi a odgovaraju različitim elementima B) na primjer y=x^2
surjekcija
Surjekcija ili preslikavanje skupa A na skup B
Za svako B postoji barem jedno A (na primjer, sinus)
Svaki element skupa B odgovara samo jednom elementu skupa A. (na primjer, y=x)
Posmatrajmo ravan Q u prostoru. Njen položaj je potpuno određen specificiranjem vektora N okomitog na ovu ravan i neke fiksne tačke koja leži u ravni Q. Vektor N okomit na ravan Q naziva se vektor normale ove ravni. Ako sa A, B i C označimo projekcije vektora normale N, onda
Izvedemo jednačinu ravni Q koja prolazi kroz datu tačku i ima dat vektor normale. Da biste to uradili, razmotrite vektor koji povezuje tačku sa proizvoljnom tačkom ravni Q (slika 81).
Za bilo koju poziciju tačke M na ravni Q, vektor MXM je okomit na vektor normale N ravni Q. Dakle, skalarni proizvod Zapišimo skalarni proizvod u terminima projekcija. Budući da , i vektor , onda
i stoga
Pokazali smo da koordinate bilo koje tačke Q ravni zadovoljavaju jednačinu (4). Lako je vidjeti da koordinate tačaka koje ne leže u ravni Q ne zadovoljavaju ovu jednačinu (u drugom slučaju, ). Dakle, dobili smo traženu jednačinu ravni Q. Jednačina (4) se naziva jednačina ravnine koja prolazi kroz datu tačku. Ona je prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate
Dakle, pokazali smo da bilo kojoj ravni odgovara jednačina prvog stepena u odnosu na trenutne koordinate.
Primjer 1. Napišite jednačinu ravni koja prolazi kroz tačku okomitu na vektor.
Rješenje. Evo. Na osnovu formule (4) dobijamo
ili, nakon pojednostavljenja,
Davanjem različitih vrijednosti koeficijentima A, B i C jednačine (4), možemo dobiti jednačinu bilo koje ravni koja prolazi kroz tačku . Skup ravnina koje prolaze kroz datu tačku naziva se skup ravnina. Jednačina (4), u kojoj koeficijenti A, B i C mogu poprimiti bilo koju vrijednost, naziva se jednačina snopa ravnina.
Primjer 2. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tri tačke, (slika 82).
Rješenje. Napišimo jednačinu za gomilu ravnina koje prolaze kroz tačku
U ovoj lekciji ćemo pogledati kako koristiti odrednicu za komponovanje ravan jednadžba. Ako ne znate što je determinanta, prijeđite na prvi dio lekcije - "Matrice i determinante". U suprotnom rizikujete da ne razumijete ništa u današnjem materijalu.
Jednačina ravni za tri tačke
Zašto nam je uopšte potrebna jednačina ravnine? Jednostavno je: znajući to, lako možemo izračunati uglove, udaljenosti i ostalo sranje u zadatku C2. Općenito, ova jednadžba je neophodna. Stoga formuliramo problem:
Zadatak. Postoje tri tačke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji. Njihove koordinate:
M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3);Potrebno je napisati jednačinu ravnine koja prolazi kroz ove tri tačke. I jednačina bi trebala izgledati ovako:
Ax + By + Cz + D = 0
gdje su brojevi A, B, C i D koeficijenti koje, u stvari, želite pronaći.
Pa, kako dobiti jednačinu ravni, ako su poznate samo koordinate tačaka? Najlakši način je da zamenite koordinate u jednačinu Ax + By + Cz + D = 0. Dobićete sistem od tri jednačine koji se lako rešavaju.
Mnogi studenti ovo rješenje smatraju izuzetno zamornim i nepouzdanim. Prošlogodišnji ispit iz matematike pokazao je da je vjerovatnoća greške u proračunu zaista velika.
Stoga su najnapredniji nastavnici počeli tražiti jednostavnija i elegantnija rješenja. I našli su ga! Istina, veća je vjerovatnoća da će dobivena tehnika biti povezana s višom matematikom. Lično, morao sam da preturam po cijeloj saveznoj listi udžbenika da se uvjerim da imamo pravo koristiti ovu tehniku bez ikakvog opravdanja i dokaza.
Jednačina ravnine kroz determinantu
Dosta zezanja, pređimo na posao. Za početak, teorema o tome kako su determinanta matrice i jednačina ravnine povezani.
Teorema. Neka su date koordinate tri tačke kroz koje se mora povući ravan: M = (x 1 , y 1 , z 1); N \u003d (x 2, y 2, z 2); K \u003d (x 3, y 3, z 3). Tada se jednačina ove ravni može napisati u terminima determinante:
Na primjer, hajde da pokušamo pronaći par aviona koji se stvarno pojavljuju u C2 problemima. Pogledajte koliko se brzo sve računa:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C 1 = (1, 1, 1);
Sastavljamo determinantu i izjednačavamo je sa nulom:
Otvaranje determinante:
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
Kao što vidite, prilikom izračunavanja broja d, malo sam podesio jednačinu tako da su varijable x, y i z bile u ispravnom nizu. To je sve! Jednačina ravnine je spremna!
Zadatak. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke:
A = (0, 0, 0);
B 1 = (1, 0, 1);
D 1 = (0, 1, 1);
Odmah zamijenite koordinate tačaka u determinanti:
Ponovo proširivanje determinante:
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d \u003d a - b \u003d z - (x + y) \u003d z - x - y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
Dakle, ravan jednadžba je ponovo dobijena! Opet, na posljednjem koraku, morao sam promijeniti znakove u njemu kako bih dobio "ljepšu" formulu. U ovom rješenju to nije potrebno činiti, ali se ipak preporučuje - kako bi se pojednostavilo dalje rješavanje problema.
Kao što vidite, sada je mnogo lakše napisati jednačinu ravnine. Zamjenjujemo tačke u matricu, izračunavamo determinantu - i to je to, jednačina je spremna.
Ovo bi mogao biti kraj lekcije. Međutim, mnogi studenti stalno zaboravljaju šta je unutar determinante. Na primjer, koji red sadrži x 2 ili x 3, a koji samo x. Da bismo se konačno pozabavili ovim, pratimo odakle dolazi svaki broj.
Odakle dolazi formula sa determinantom?
Dakle, hajde da shvatimo odakle dolazi tako oštra jednačina sa determinantom. To će vam pomoći da ga zapamtite i uspješno primijenite.
Sve ravnine koje se javljaju u zadatku C2 su definisane sa tri tačke. Ove tačke su uvek označene na crtežu, ili čak direktno naznačene u tekstu problema. U svakom slučaju, da bismo sastavili jednačinu, moramo ispisati njihove koordinate:
M = (x 1 , y 1 , z 1);
N \u003d (x 2, y 2, z 2);
K \u003d (x 3, y 3, z 3).
Razmotrimo još jednu tačku na našoj ravni sa proizvoljnim koordinatama:
T = (x, y, z)
Uzimamo bilo koju tačku iz prve tri (na primjer, tačku M ) i iz nje crtamo vektore do svake od tri preostale tačke. Dobijamo tri vektora:
MN = (x 2 - x 1, y 2 - y 1, z 2 - z 1);
MK = (x 3 - x 1, y 3 - y 1, z 3 - z 1);
MT = (x - x 1 , y - y 1 , z - z 1).
Sada napravimo kvadratnu matricu od ovih vektora i izjednačimo njenu determinantu sa nulom. Koordinate vektora će postati redovi matrice - i dobićemo istu determinantu koja je naznačena u teoremi:
Ova formula znači da je zapremina kutije izgrađene na vektorima MN , MK i MT jednaka nuli. Dakle, sva tri vektora leže u istoj ravni. Konkretno, proizvoljna tačka T = (x, y, z) je upravo ono što smo tražili.
Zamjena tačaka i redova determinante
Odrednice imaju neka divna svojstva koja to čine još lakšim rješenje problema C2. Na primjer, nije nam bitno iz koje točke crtati vektore. Stoga, sljedeće determinante daju istu ravansku jednačinu kao i gornja:
Također možete zamijeniti redove determinante. Jednačina će ostati nepromijenjena. Na primjer, mnogi ljudi vole da napišu liniju sa koordinatama tačke T = (x; y; z) na samom vrhu. Molim vas, ako vam odgovara:
Neke zbunjuje to što jedna od linija sadrži varijable x, y i z, koje ne nestaju prilikom zamjene tačaka. Ali ne bi trebalo da nestanu! Zamjenom brojeva u determinantu, trebali biste dobiti sljedeću konstrukciju:
Zatim se determinanta proširuje prema šemi datoj na početku lekcije i dobije se standardna jednačina ravnine:
Ax + By + Cz + D = 0
Pogledajte primjer. On je posljednji u današnjoj lekciji. Namjerno ću zamijeniti linije kako bih bio siguran da će odgovor biti ista jednačina ravnine.
Zadatak. Napišite jednačinu za ravan koja prolazi kroz tačke:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1).
Dakle, razmatramo 4 tačke:
B 1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Prvo, napravimo standardnu determinantu i izjednačimo je sa nulom:
Otvaranje determinante:
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d \u003d a - b \u003d y - (2 - x - z) \u003d y - 2 + x + z \u003d x + y + z - 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
To je to, dobili smo odgovor: x + y + z − 2 = 0 .
Sada preuredimo nekoliko redova u determinanti i vidimo šta će se desiti. Na primjer, napišimo red s varijablama x, y, z ne na dnu, već na vrhu:
Proširimo rezultujuću determinantu ponovo:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Dobili smo potpuno istu jednadžbu u ravnini: x + y + z − 2 = 0. Dakle, to zaista ne zavisi od redosleda redova. Ostaje da zapišemo odgovor.
Dakle, vidjeli smo da jednačina ravnine ne zavisi od niza pravih. Moguće je izvršiti slične proračune i dokazati da jednačina ravnine ne zavisi od tačke čije koordinate oduzimamo od ostalih tačaka.
U gore razmatranom problemu koristili smo tačku B 1 = (1, 0, 1), ali je bilo sasvim moguće uzeti C = (1, 1, 0) ili D 1 = (0, 1, 1). Općenito, bilo koja tačka sa poznatim koordinatama koja leži na željenoj ravni.
Modifikacija korijena Stilted Root
Nedostatak Photoshopa na fotografiji ne pogoršava izgled Kim Kardashian Fotografije Kim Kardashian bez obrade
Njemačka priča o Njemačkoj - njemački jezik online - Početak Deutsch Njemačka priča o Njemačkoj