Kontinuitet funkcije

Funkcija dvije varijable f (x, y), definirane u tački (x 0 , y 0) iu nekom njenom susjedstvu, naziva se kontinuiranom u tački (x 0 , y 0) ako je granica ove funkcije u tački (x 0 , y 0 ) jednaka je vrijednosti ove funkcije f(x 0 , y 0), tj. Ako

Funkcija koja je kontinuirana u svakoj tački određenog područja naziva se kontinuirana u toj regiji. Neprekidne funkcije dvije varijable imaju svojstva slična onima kontinuiranih funkcija jedne varijable.

Ako u nekoj tački (x 0 , y 0) uslov kontinuiteta nije zadovoljen, onda se za funkciju f (x, y) u tački (x 0, y 0) kaže da je diskontinuirana.

Diferenciranje funkcije dvije varijable

Parcijalni derivati ​​prvog reda

Čak više važna karakteristika promjene funkcije su granice:

Granica omjera

naziva se parcijalni izvod prvog reda funkcije z = f (x, y) u odnosu na argument x (skraćeno kao parcijalni izvod) i označava se simbolima ili ili

Isto tako, granica

naziva se parcijalni izvod funkcije z =f (x, y) u odnosu na argument y i označava se simbolima ili ili.

Pronalaženje parcijalnih izvoda naziva se parcijalna diferencijacija.

Iz definicije parcijalnog izvoda slijedi da kada se on pronađe iz jednog određenog argumenta, drugi parcijalni argument se smatra konstantnom vrijednošću. Nakon što se izvrši diferencijacija, oba parcijalna argumenta se ponovo smatraju varijablama. Drugim riječima, parcijalni izvod su funkcije dvije varijable x i y.

Parcijalni diferencijali

Magnituda

zove glavni linearni dio prirasta? x f (linearno u odnosu na prirast privatnog argumenta?x). Ova veličina se naziva parcijalni diferencijal i označava se simbolom d x f.

Isto tako

Totalni diferencijal funkcije dvije varijable

Po definiciji, ukupni diferencijal funkcije dvije varijable, označen simbolom d f, je glavni linearni dio ukupnog priraštaja funkcije:

Pokazalo se da je ukupni diferencijal jednak zbiru parcijalnih diferencijala. Sada se formula za ukupni diferencijal može prepisati na sljedeći način:

Naglašavamo da se formula za ukupni diferencijal dobija pod pretpostavkom da su parcijalni derivati ​​prvog reda

su kontinuirani u nekom susjedstvu tačke (x, y).

Za funkciju koja ima totalni diferencijal u nekoj tački kaže se da je diferencibilna u toj tački.

Da bi funkcija dvije varijable bila diferencibilna u jednoj tački, nije dovoljno da ima sve parcijalne izvode u toj tački. Neophodno je da sve ove parcijalne derivacije budu kontinuirane u nekoj okolini dotične tačke.

Derivati ​​i diferencijali višeg reda

Razmotrimo funkciju dvije varijable z =f (x, y). Već je gore navedeno da su parcijalni derivati ​​prvog

sami su funkcije dvije varijable i mogu se diferencirati s obzirom na x i y. Dobijamo derivate višeg (drugog) reda:

Već su postojala četiri parcijalna derivata drugog reda. Bez dokaza se daje tvrdnja: Ako su mješoviti parcijalni derivati ​​drugog reda kontinuirani, onda su jednaki:

Razmotrimo sada diferencijal prvog reda

To je funkcija četiri argumenta: x, y, dx, dy, koji mogu imati različite vrijednosti.

Diferencijal drugog reda izračunavamo kao diferencijal od diferencijala prvog reda: pod pretpostavkom da su diferencijali parcijalnih argumenata dx i dy konstante:

2. Granica i kontinuitet funkcije dvije varijable

Koncepti ograničenja i kontinuiteta funkcije dvije varijable slični su slučaju jedne varijable.

Neka biti proizvoljna tačka na ravni. - susjedstvo tačke je skup svih tačaka čije koordinate zadovoljavaju nejednakost. Drugim riječima, - susjedstvo tačke su sve unutrašnje tačke kružnice sa centrom u tački i poluprečnikom.

Definicija 2. Broj se naziva granicom funkcije u (ili u tački) ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj postoji (u zavisnosti od) takav da za sve i zadovoljava nejednakost nejednakost vrijedi.

Granica je naznačena na sljedeći način:

Primjer 1. Pronađite granicu.

Rješenje. Hajde da uvedemo notaciju gdje. Kad to budemo imali. Onda

Definicija 3. Funkcija se naziva kontinuiranom u tački ako: 1) je definirana u tački i njenom susjedstvu; 2) ima konačnu granicu; 3) ova granica je jednaka vrijednosti funkcije u tački, tj. .

Funkcija se naziva kontinuiranom u nekoj regiji ako je kontinuirana u svakoj tački ovog područja.

Tačke u kojima uslov kontinuiteta nije zadovoljen nazivaju se tačke prekida ove funkcije. U nekim funkcijama tačke prekida formiraju čitave linije prekida. Na primjer, funkcija ima dvije linije prekida: axis() i axis().

Primjer 2. Pronađite prijelomne točke funkcije.

Rješenje. Ova funkcija nije definisana u onim tačkama u kojima imenilac ide na nulu, odnosno u tačkama gde ili. To je kružnica sa centrom u početku i poluprečnikom. To znači da će linija diskontinuiteta originalne funkcije biti kružnica.

Discrete Math

Sve logičke operacije o kojima se raspravljalo u 3.2 također se odnose na funkcije nekoliko varijabli. Sada ćemo razmotriti funkcije F(x1, x2,…, xn), gdje su xi logičke varijable koje uzimaju vrijednosti nula ili jedan...

Dokaz nejednačina korištenjem monotonih nizova

Ako je = a1b1. tada je =a1b1+a2b2 Teorema 1. Neka su (a1a2)(b1b2) monotoni nizovi. Tada je dokaz Zaista, - =a1b1+a2b2-a1b2-a2b1 = (a1-a2) (b1-b2) Pošto su nizovi (a1a2)(b1b2) monotoni, brojevi a1-a2 i b1-b2 imaju isti predznak. ..

Matematičko programiranje

Lagrangeova metoda množitelja može se koristiti za konstruiranje kriterija optimalnosti za probleme s ograničenjima u obliku jednakosti. Kuhn i Tucker su generalizirali ovaj pristup na slučaj opšteg problema programiranja nelinearnih ograničenja...

Minimax i višekriterijumska optimizacija

Neka postoji funkcija f(x) za x? x, x = (x1, ... , xn). Razmotrimo sve njegove prve i druge derivate u tački: = 0, ; || || , je pozitivna (negativna) određena matrica. Tada će se u takvim tačkama posmatrati minimum (maksimum), odnosno...

Minimalna funkcija nekoliko varijabli

Ograničenja. Poređenje infinitezimalnih veličina

Kada se ispituju grafovi različitih funkcija, može se vidjeti da uz neograničenu tendenciju argumenta funkcije ka nekoj vrijednosti, bilo konačnoj ili beskonačnoj, sama funkcija također može poprimiti brojne vrijednosti...

Primjena derivata u rješavanju problema

Definicija 3. Neka je funkcija y=f(x) definirana u nekom susjedstvu tačke a ili u nekim tačkama ove okoline. Funkcija y=f(x) teži granici b(yb) kao što x teži a if za svaki pozitivan broj, bez obzira koliko mali...

Neka je funkcija f(x) definirana na (a, + ?). Broj A naziva se granica funkcije f(x) za x > + ? (označeno sa A = lim x > + ? f(x)), ako? ? > 0 ? N: ? x > N ? |f(x) ? a|< ?. Пусть функция f(x) определена на (? ?,a)...

Rješavanje zadataka iz više matematike

Neka je funkcija f(x) definirana u nekom probušenom susjedstvu tačke x0. Broj A naziva se granica funkcije f(x) za x > x0 (ili u tački x0), ako postoji? Postoji li > 0? > 0 tako da je za sve x za koje je 0< |x ? x0| < ?...

Komparativna analiza metode optimizacije

Funkcije mnogih varijabli f =f (x1, ..., xn) ćemo razmatrati kao funkcije definirane u tačkama x n-dimenzionalnog euklidskog prostora En: f =f (x). 1. Tačka x*En naziva se globalna minimalna tačka funkcije f (x)...

Funkcije mnogih varijabli

Funkcije mnogih varijabli

Mnogi fenomeni koji se javljaju u prirodi, ekonomiji i društvenom životu ne mogu se opisati pomoću funkcije jedne varijable. Na primer, profitabilnost preduzeća zavisi od profita, fiksnog i obrtnog kapitala...

Funkcije nekoliko varijabli

Koncepti ograničenja i kontinuiteta funkcije dvije varijable slični su slučaju jedne varijable. Neka biti proizvoljna tačka na ravni. - okolina tačke je skup svih tačaka čije koordinate zadovoljavaju nejednakost...

Funkcije nekoliko varijabli

Definicija 7. Tačka se naziva minimalna (maksimalna) tačka funkcije ako postoji okolina tačke takva da je za sve tačke u ovoj okolini nejednakost, ()...

Definicija 25.7.

Funkcija se pozivakontinuirano u tački ako je definirana u nekom susjedstvu ove tačke (uključujući i samu tačku) i granica funkcije u ovoj tački postoji i jednaka je vrijednosti funkcije u ovoj tački, tj.

ili .

Primjer 25.3.

1) kontinuirano u bilo kojoj tački.

2)

Ograničenje ne postoji na , tj. (0,0) – tačka prekida.

Osnovna svojstva kontinuiranih funkcija dviju varijabli

Definicija 25.8.

Skup tačaka na ravni se zovekoherentan , ako bilo koje dvije točke ovog skupa mogu biti povezane linijom.

Definicija 25.9.

Tačka se zoveinterni tačka skupa, ako postoji, koja se sastoji od tačaka datog skupa.

Definicija 25.10.

Povezani, otvoreni skup (koji se sastoji samo od unutrašnjih tačaka) se zoveotvoren region ili samo region

(na primjer, unutrašnjost kruga).

Definicija 25.11.

Tačka se zovegranica tačka u regionu ako u bilo kojoj regiji postoje tačke koje joj pripadaju i koje joj ne pripadaju. Skup svih graničnih tačaka ovog regiona se zovegranica oblasti. Oznaka: .

Definicija 25.12.

Skup tačaka formiranih od regije i njene granice naziva sezatvoreno region.

Definicija 25.13.

Skup se zoveograničeno , ako postoji krug unutar kojeg se nalazi.

Napomena 4. Zatvoreno ograničeno područje u kojem je definirana funkcija dvije varijable je analog segmenta za funkciju jedne varijable.

1) Ako je funkcija kontinuirana u zatvorenom ograničenom domenu, onda .

2) Ako je funkcija kontinuirana u zatvorenom ograničenom području, tada dostiže svoje tačne granice u ovom području.

3) Funkcija kontinuirana u domeni preuzima sve svoje međuvrijednosti, tj. Ako

Parcijalni derivati

Neka je funkcija definirana u susjedstvu tačke. Postavimo varijablu u tački na inkrement, ostavljajući je nepromijenjenu, tj. Idemo na tačku koja pripada domeni (domen definicije funkcije).

Definicija 26.1.

naziva se djelimično povećanje u odnosu na varijablu u tački

Definicija 26.2.

Ako postoji granica, onda se zoveparcijalni derivat funkcije u tački po varijabli.

Oznaka: .

Definisano slično

Ako uzmemo u obzir parcijalni izvod u odnosu na varijablu u bilo kojoj tački u domeni definicije funkcije na domeni, onda se parcijalni izvod može smatrati novim funkcijama u domeni.

Dakle, parcijalni izvod funkcije dvije varijable u odnosu na varijablu je običan izvod jedne varijable za fiksnu vrijednost.

Primjer 26.1.

Naći parcijalne izvode funkcija: ,,.

.

Koncept diferencijabilnosti funkcije dvije varijable

Definicija 26.3.

Neka je funkcija definirana, dakle

- puni inkrement funkcije.

Definicija 26.4.

Neka je funkcija definirana u susjedstvu točke.

Funkcija se pozivadiferencibilan u tački ako se njegov ukupni prirast u ovoj tački može predstaviti kao:

gdje su konstante i beskonačno male funkcije na .

Teorema 26.1.

Ako je funkcija diferencibilna u nekoj tački, onda je kontinuirano na ovom mjestu.

Dokaz.

Očigledno iz (26.1): .

Teorema 26.2 (neophodan uslov za diferencijabilnost).

Ako je funkcija diferencibilna u nekoj tački, tada ima parcijalne izvode u ovoj tački, i:

. (26.2)

Dokaz.

Neka vrijedi formula (26.1).

Recimo

gdje je pri beskonačno mala funkcija.

Dijelimo sa , i prelazimo na granicu na, dobivamo:

odnosno, parcijalni izvod u odnosu na varijablu postoji i jednak je.

Druga jednakost se može dokazati na sličan način.

Napomena 1. Iz kontinuiteta ne radi to njegova diferencijabilnost!

Primjer 26.2.

je kontinuiran u tački (0,0), ali ne postoji.

Isto tako, ne postoji parcijalni izvod u odnosu na . Dakle, funkcija nije diferencibilna.

Napomena 2. Iz postojanja parcijalnih derivata ne radi to diferencijabilnost funkcije.

Primjer 26.3.

Funkcija ima parcijalne izvode u tački (0,0),

ali nije kontinuirano u ovom trenutku, stoga -

nije diferenciran.

Teorema 26.3 (dovoljan uslov za diferencijabilnost).

Ako funkcija ima parcijalne izvode u nekom susjedstvu točke i ovi izvodi su kontinuirani u samoj tački, tada je funkcija diferencibilna u toj tački.

Posljedica.

Ako su parcijalne derivacije kontinuirane, onda je funkcija kontinuirana.

Definicija 26.5.

Ako je funkcija diferencijabilna u nekoj tački, onda se poziva diferencijallinearno u odnosu na inkremente, dio ukupnog prirasta ove funkcije u tački, tj.

, ili

Diferencijali nezavisnih varijabli su njihovi priraštaji

Derivat kompleksne funkcije dvije varijable

Neka je funkcija dvije varijable i svaka od njih je funkcija varijable:.

Tada je kompleksna funkcija varijable.

Teorema 26.4.

Ako su funkcije diferencibilne u nekoj tački,

je diferencibilna u tački, onda je kompleksna funkcija također diferencibilna u tački. pri čemu:

(26.4)

Primjer 26.4.

2)

.

Napomena 3.

Ako i tada .

Gradijent(od lat. gradiens, rod. slučaj gradientis- hodanje, rast) - vektor čiji smjer označava smjer najbržeg povećanja određene veličine, čija se vrijednost mijenja od jedne tačke u prostoru do druge (skalarno polje), a po veličini (modulu) jednaka je brzini rasta ove količine u ovom pravcu.

Na primjer, ako za visinu uzmemo visinu Zemljine površine iznad razine mora, tada će njen gradijent u svakoj tački na površini pokazati „smjer najstrmijeg uspona“, a njegova vrijednost karakterizira strminu padine.

Za slučaj trodimenzionalnog prostora, gradijent skalara funkcije koordinate, naziva se vektorska funkcija sa komponentama

Ili, koristeći za jedinične vektore duž osi pravokutnih kartezijanskih koordinata:

Ako je funkcija varijabli, tada se njen gradijent naziva dimenzionalnim vektorom

čije su komponente jednake parcijalni derivat za sve njene argumente.

Značenje gradijenta bilo koje skalarne funkcije je da je skalarni proizvod sa beskonačno malim vektorom pomaka daje puni diferencijal ovu funkciju sa odgovarajućom promjenom koordinata u prostoru u kojem je definirana, odnosno linearnog (u slučaju generalnog položaja to je i glavni) dio promjene kada se pomakne za. Koristeći isto slovo za označavanje funkcije vektora i odgovarajuće funkcije njegovih koordinata, možemo napisati:

Ovdje je vrijedno napomenuti da budući da formula za ukupni diferencijal ne ovisi o vrsti koordinata, odnosno o prirodi parametara x općenito, rezultirajući diferencijal je invarijanta, odnosno skalar, pod bilo kojim koordinatne transformacije, a pošto je vektor, ispada gradijent izračunat na uobičajen način kovarijantni vektor, odnosno vektor predstavljen u dualnoj bazi, što je jedino što skalar može dati jednostavnim zbrajanjem proizvoda koordinata uobičajenog ( kontravarijantno), odnosno vektor napisan na regularnoj osnovi. Dakle, izraz (općenito govoreći, za proizvoljne krivolinijske koordinate) može se sasvim ispravno i nepromjenjivo napisati kao:

ili, izostavljajući znak zbira prema Einsteinovom pravilu,

(u ortonormalnoj bazi možemo sve indekse pisati kao niže, kao što smo radili gore). Međutim, ispada da je gradijent pravi kovarijantni vektor u bilo kojoj krivolinijskoj koordinatama.

linija nivoa funkcije je skup tačaka iz svoje domene definicije u kojima funkcija zauzima istu fiksnu vrijednost. Gradijent funkcije f(x) zove se vektor

Δ f(x) =df ,…, df

dx 1 dx n

koji označava smjer najbržeg porasta funkcije, te stoga orijentiran okomito na linije nivoa.

Za linearna funkcija dvije varijable, linija nivoa je prava linija okomita na vektor With, koji služi kao gradijent ove funkcije. Stoga, ako je linija nivoa definirana jednadžbom f(x)=c 1 x 1 +c 2 x 2 =konst, tada ovaj vektor ima oblik

i označava smjer povećanja funkcije.

Dakle, sa geometrijske tačke gledišta, problem maksimizacije se svodi na određivanje takve tačke u regionu D, kroz koji prolazi linija nivoa koja odgovara najvećoj mogućoj vrijednosti. Potonje znači da da bismo pronašli tačku ekstrema u problemu linearnog programiranja, prvo moramo konstruirati liniju nivoa za neku proizvoljnu vrijednost ciljne funkcije. Zatim je potrebno izvršiti njegovo paralelno kretanje (tako da ostane okomito na vektor With) dok ne dođemo do takve tačke u području prihvatljivih planova D, od čega je pomak u smjeru vektora With bilo bi nemoguće. Ova metoda rješenja se zove grafički. Napominjemo da se rješenje problema pronalaženja minimuma linearne funkcije provodi na sličan način, s jedinom razlikom što kretanje duž linija nivoa treba vršiti u smjeru suprotnom od gradijenta ciljne funkcije, tj. duž vektora (-Sa).

On pirinač. 1.1 prikazuje neki poseban slučaj za koji se rješenje LLP-a postiže u kutnoj tački X*= (0, 6) oblasti D. Nije teško zamisliti da su moguće i druge opcije. Prikazani su u pirinač. 1.2.

Crtanje ( A) ilustruje situaciju neograničenosti funkcije cilja f(x)=cx na setu D, tj. bez obzira koliko se krećemo duž linija nivoa u smjeru vektora With, njegova vrijednost će se povećati.

U slučaju prikazanom na slici ( b), linija nivoa koja odgovara maksimalnoj vrijednosti f(x), dodiruje ivicu seta D, i, shodno tome, sve tačke koje leže na ovoj ivici su optimalni planovi.

U svim razmatranim ilustracijama dozvoljeni planovi ZLP-a su predstavljeni u obliku nekog poliedarskog konveksnog skupa na ravni. Ovakav njihov prikaz u literaturi se zove prva geometrijska interpretacija problema linearnog programiranja.

Definicija 1

Ako je za svaki par $(x,y)$ vrijednosti dvije nezavisne varijable iz neke domene pridružena određena vrijednost $z$, onda se kaže da je $z$ funkcija dvije varijable $(x,y) $ u ovoj domeni.

Notacija: $z=f(x,y)$.

Neka je funkcija $z=f(x,y)$ data od dvije nezavisne varijable $(x,y)$.

Napomena 1

Budući da su varijable $(x,y)$ nezavisne, jedna od njih se može mijenjati, dok druga ostaje konstantna.

Hajde da damo promenljivoj $x$ inkrement od $\Delta x$, a da vrednost varijable $y$ ostane nepromenjena.

Tada će funkcija $z=f(x,y)$ dobiti inkrement, koji će se zvati parcijalni prirast funkcije $z=f(x,y)$ u odnosu na varijablu $x$. Oznaka:

Definicija 2

Parcijalni izvod u odnosu na varijablu $x$ date funkcije $z=f(x,y)$ je granica omjera parcijalnog inkrementa $\Delta _(x) z$ date funkcije prema povećaj $\Delta x$ na $\Delta x\ na 0$.

Zapis: $z"_(x) ,\, \, f"_(x) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial x) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial x) $.

Napomena 2

\[\frac(\partial z)(\partial x) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(\Delta _(x) z)(\Delta x) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta x\to 0) \frac(f(x+\Delta x,y)-f(x,y))(\Delta x) .\]

Hajde da damo promenljivoj $y$ inkrement od $\Delta y$, a da vrednost varijable $x$ ostane nepromenjena.

Tada će funkcija $z=f(x,y)$ dobiti inkrement, koji će se zvati parcijalni inkrement funkcije $z=f(x,y)$ u odnosu na varijablu $y$. Oznaka:

Definicija 3

Parcijalni izvod u odnosu na varijablu $y$ date funkcije $z=f(x,y)$ je granica omjera parcijalnog inkrementa $\Delta _(y) z$ date funkcije prema funkciji povećati $\Delta y$ na $\Delta y\ na 0$.

Zapis: $z"_(y) ,\, \, f"_(y) (x,y),\, \, \frac(\partial z)(\partial y) ,\, \, \frac( \partial f)(\partial y) $.

Napomena 3

Po definiciji parcijalnog izvoda imamo:

\[\frac(\partial z)(\partial y) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(\Delta _(y) z)(\Delta y) =\mathop (\lim )\limits_(\Delta y\to 0) \frac(f(x,y+\Delta y)-f(x,y))(\Delta y) .\]

Imajte na umu da se pravila za izračunavanje parcijalnog izvoda date funkcije poklapaju sa pravilima za izračunavanje izvoda funkcije jedne varijable. Međutim, prilikom izračunavanja parcijalnog izvoda, potrebno je zapamtiti za koju varijablu se parcijalni izvod traži.

Primjer 1

Rješenje:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x+y^(2))"_(x) =1$ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x+y^(2))"_(y) =2y$ (prema varijabli $y$).

Primjer 2

Odredi parcijalne izvode date funkcije:

u tački (1;2).

Rješenje:

Po definiciji parcijalnih izvoda dobijamo:

$\frac(\partial z)(\partial x) =(x^(2) +y^(3))"_(x) =2x$ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial z)(\partial y) =(x^(2) +y^(3))"_(y) =3y^(2) $ (po promjenljivoj $y$).

\[\lijevo. \frac(\partial z)(\partial x) \right|_((1;2)) =2\cdot 1=2, \lijevo. \frac(\partial z)(\partial y) \right|_((1;2)) =3\cdot 2^(2) =12.\]

Definicija 4

Ako je za svaku trostruku $(x,y,z)$ vrijednosti tri nezavisne varijable iz neke domene pridružena određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija tri varijable $(x, y,z)$ u ovoj oblasti.

Notacija: $w=f(x,y,z)$.

Definicija 5

Ako je za svaki skup $(x,y,z,...,t)$ vrijednosti nezavisnih varijabli iz neke domene pridružena određena vrijednost $w$, onda se kaže da je $w$ funkcija varijable $(x,y, z,...,t)$ u ovoj oblasti.

Zapis: $w=f(x,y,z,...,t)$.

Za funkciju od tri ili više varijabli, parcijalni derivati ​​u odnosu na svaku od varijabli određuju se na isti način kao i za funkciju dvije varijable:

$\frac(\partial w)(\partial z) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(\Delta _(z) w)(\Delta z) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta z\to 0) \frac(f(x,y,z+\Delta z)-f(x,y,z))(\Delta z) $;

$\frac(\partial w)(\partial t) =\mathop(\lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(\Delta _(t) w)(\Delta t) =\mathop( \lim )\limits_(\Delta t\to 0) \frac(f(x,y,z,...,t+\Delta t)-f(x,y,z,...,t))( \Delta t) $.

Primjer 3

Odredi parcijalne izvode date funkcije:

Rješenje:

Po definiciji parcijalnih izvoda dobijamo:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2z)"_(x) =1$ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2z)"_(y) =2y$ (po promjenljivoj $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2z)"_(z) =2$ (po promjenljivoj $z$).

Primjer 4

Odredi parcijalne izvode date funkcije:

u tački (1;2;1).

Rješenje:

Po definiciji parcijalnih izvoda dobijamo:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(x) =1$ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(y) =2y$ (po promjenljivoj $y$),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(x+y^(2) +2\ln z)"_(z) =\frac(2)(z) $ (po promjenljivoj $z$) .

Vrijednosti parcijalnih derivata u datoj tački:

\[\lijevo. \frac(\partial w)(\partial x) \right|_((1;2;1)) =1, \lijevo. \frac(\partial w)(\partial y) \right|_((1;2;1)) =2\cdot 2=4, \lijevo. \frac(\partial w)(\partial z) \right|_((1;2;1)) =\frac(2)(1) =2.\]

Primjer 5

Odredi parcijalne izvode date funkcije:

Rješenje:

Po definiciji parcijalnih izvoda dobijamo:

$\frac(\partial w)(\partial x) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(x) =\frac(3)(x ) $ (po promjenljivoj $x$),

$\frac(\partial w)(\partial y) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(y) =2y$ (po promjenljivoj $y $),

$\frac(\partial w)(\partial z) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(z) =2$ (po promjenljivoj $z $),

$\frac(\partial w)(\partial t) =(3\ln x+y^(2) +2z+...+t^(2))"_(t) =2t$ (po promjenljivoj $t $).

Definicija 1. Broj A naziva se granica funkcije u tački (ili u i ), ako za bilo koji proizvoljno mali pozitivan broj postoji pozitivan broj takav da za sve točke koje se nalaze na udaljenosti manjoj od točke, vrijedi nejednakost

Ograničenje je naznačeno.

Definicija 2. Funkcija
naziva se kontinuiranim u tački ako granica funkcije u ovoj tački postoji i .

Tačke u kojima funkcija nema svojstvo kontinuiteta nazivaju se tačke diskontinuiteta.

Sva svojstva i metode teorije granica funkcije jedne varijable prenose se na funkcije više varijabli.

2) Slučajna varijabla je jedan od osnovnih koncepata teorije vjerovatnoće. Slučajna varijabla je mjerljiva funkcija definirana na nekom prostoru vjerovatnoće

Diskretna vrijednost je slučajna varijabla koja, kada se testira, može poprimiti jednu od izolovanih vrijednosti, čiji je broj konačan. To uključuje količine iz prve grupe.
Slučajna varijabla naziva se kontinuirana, koja, u granicama svoje varijacije, može poprimiti bilo koju vrijednost, koja može biti konačna ili beskonačna. To uključuje količine iz druge grupe.

Ulaznica br. 6

1) Eksponencijacija - binarna operacija, izvorno dolazi iz ponovljenog množenja prirodni broj na sebi. Oznaka: zv stepen With osnovu I indikator .

Moivreova formula za kompleksne brojeve kaže da

za bilo koga

Formula je dobila ime po matematičaru I. Moivreu, prijatelju velikog I. Newtona, koji ju je uspostavio 1707. godine; L. Euler je formuli dao moderan izgled.

Dokaz [uredi]

Moivreova formula odmah slijedi iz Eulerove formule i identiteta za eksponencijale, gdje b- cijeli broj.

Aplikacija [uredi]

Slična formula je također primjenjiva pri izračunavanju korijena n-ta snaga od različita od nule kompleksni broj:

Gdje k = 0, 1, …, n-1.

Vjerovatnoća hipoteza

Vjerovatnoća hipoteza.

Neka se događaj A dogodi pod uslovom da se dogodi jedan od nekompatibilnih događaja B1, B2, Bn, formirajući kompletnu grupu. Pošto se unaprijed ne zna koji će se od ovih događaja dogoditi, oni se nazivaju hipotezama. Vjerovatnoća pojave događaja A određena je formulom ukupne vjerovatnoće:

R(A) = R(V1)?RV1(A) + R(V2) ?RV2(A)+ ? +R(Vn) ?RVn(A)

Bayesova formula:

,

Prethodna vjerovatnoća hipoteze A(vidi dolje za značenje takve terminologije);

Vjerovatnoća hipoteze A po nastanku događaja B(posteriorna vjerovatnoća);

Vjerovatnoća da će se događaj dogoditi B ako je hipoteza tačna A;

Ukupna vjerovatnoća da će se događaj dogoditi B.

primjer:

Primjer izračuna

Neka je vjerovatnoća braka za prvog radnika , za drugog radnika - , a za trećeg - . Prvi je napravio dijelove, drugi je napravio dijelove, a treći je napravio dijelove. Menadžer radnje uzima nasumični dio i ispostavi se da je neispravan. Pitanje je koliko je vjerovatno da je treći radnik napravio ovaj dio?

Događaj - neispravan dio, događaj - dio koji je proizveo radnik. Onda , gdje , i . Prema formuli ukupne vjerovatnoće

Koristeći Bayesovu formulu dobijamo:

Ulaznica br. 12

1. Trigonometrijski Fourierov niz- prikaz proizvoljne funkcije sa tačkom u obliku niza

kvote ao,an i bn se nazivaju Fourierovi koeficijenti, a ako se mogu naći, onda se niz (1) naziva Fourierov red koji odgovara funkciji f(x). Za niz (1), pojam (a1cosx+b1sinx) naziva se prvi ili osnovni harmonik,

Fourierovi nizovi periodičnih funkcija s periodom 2π.

Fourierova serija

Standardna (=obična) notacija kroz zbir sinx i cosx

f(x)=ao+ a1cosx+a2cos2x+a3cos3x+...+b1sinx+b2sin2x+b3sin3x+...,

gdje su ao, a1,a2,...,b1,b2,.. realne konstante, tj.

2.Suprotni događaji.
Nasuprot navedite dva jedinstveno moguća događaja koji čine kompletnu grupu. Ako je jedan od dva suprotna događaja označen sa A, onda se drugi obično označava

Teorema. Zbir vjerovatnoća suprotnih događaja jednak je jedan:

Primjer 1. Pogađanje i promašaj prilikom gađanja mete su suprotni događaji. Ako je A pogodak, onda je suprotan događaj promašaj.

Primjer 2. Deo se nasumično uzima iz kutije. Događaji “pojavio se standardni dio” i “pojavio se nestandardni dio” su suprotni

, očigledno jednako 10/21, kao što je gore navedeno. [ 1 ]

Hajde da izračunamo vjerovatnoća suprotnog događaja O. Događaj je da odabrani broj ne sadrži nijednu od tri date cifre. [ 2 ]

Suma vjerovatnoće suprotnih događaja jednako jedan. [ 3 ]

Gde vjerovatnoća suprotnog događaja A će biti veće od 1-a, odnosno biće onoliko blizu jedan koliko je vjerovatnoća događaja A blizu nuli

Ulaznica br. 9

1. Frekvencijski poligon naziva se izlomljena linija čiji segmenti spajaju tačke ( x 1 ; n 1 ), (x 2 ; n 2 ), ..., (x k ; n k ). Da bi se konstruisao poligon frekvencija, opcije su iscrtane na osi apscise. x i , a na ordinati - odgovarajuće frekvencije n i . Poeni ( x i ; n i ) povezuju se ravnim segmentima i dobija se frekvencijski poligon

Histogram frekvencije naziva se stepenasta figura koja se sastoji od pravokutnika, čije su osnove djelomične dužine h , a visine su jednake omjeru n i/h (gustina frekvencije).

2. Događaji A I IN nazivaju se nezavisnim ako P(AB) = P(A) P(B). Višestruki događaji A, IN, WITH,... nazivaju se nezavisnim ako je vjerovatnoća njihove zajedničke implementacije jednaka umnošku vjerovatnoće da se svaki od njih pojavi zasebno: R(ABC…) = R(A)R(IN)R(WITH)…

Ponekad omjer R(AB) = R(A) R(IN|A) = P(B)P(A|B), važi za P(A)P(B) > 0, također se naziva teorema množenja vjerovatnoće

Ulaznica br. 11

1) Slučajna varijabla X naziva se kontinuirana (kontinuirano raspoređena) varijabla ako postoji nenegativna funkcija p(t), definirana na cijeloj numeričkoj osi, takva da je za sve x funkcija distribucije slučajna varijabla F(x) je jednako:

.

U ovom slučaju, funkcija p(t) se naziva gustinom raspodjele vjerovatnoće kontinuirane slučajne varijable.

Ako takva funkcija p(t) ne postoji, onda X nije kontinuirano distribuirana slučajna varijabla.

Dakle, znajući gustinu distribucije, koristeći formulu (6.7) lako se može naći funkcija raspodjele F(x). I obrnuto, koristeći poznatu funkciju distribucije, gustina distribucije se može vratiti:

Svojstva gustoće vjerovatnoće

kontinuirana slučajna varijabla:

1. Gustoća distribucije je nenegativna funkcija:

Geometrijski, to znači da se graf gustine raspodjele nalazi ili iznad ose Ox ili na ovoj osi.

Uzimajući u obzir da je F(+¥)=1, dobijamo: =1. One. površina između grafika gustine vjerovatnoće i x-ose je jednaka jedan.

Ova dva svojstva su karakteristična za distribuciju gustine vjerovatnoće. Dokazano je i obrnuto:

Zbir događaja A i B je treći događaj A + B, koji se događa ako i samo ako se dogodi barem jedan od događaja A ili B.

Proizvod događaja A i B je treći događaj AB, koji se događa ako i samo ako oba događaja A i B.

Koncepti zbira i proizvoda dva događaja očito se prenose na slučaj bilo kojeg skupa događaja.

Događaj suprotan događaju A je događaj koji se događa ako i samo ako se događaj A ne dogodi.