Operații pe platouri. Mulțimi. Tipuri de seturi. Cele mai simple operații asupra lor A aparține lui b

Analiza matematică

Un set este o colecție de obiecte de orice natură. Seturile sunt notate cu litere mari, iar elementele setului sunt notate cu litere mici. Elementele seturilor sunt închise în acolade.

Dacă elementul X aparține multora X, apoi scrie X∈X (∈ - aparține).
Dacă setul A face parte din setul B, atunci scrieți A ⊂ B (⊂ - conținea).

O mulțime poate fi definită în unul din două moduri: prin enumerare și prin utilizarea unei proprietăți definitorii.

De exemplu, următoarele seturi sunt specificate prin enumerare:

§ A=(1,2,3,5,7) - set de numere

§ Х=(x 1 ,x 2 ,...,x n ) - mulțime de elemente x 1 ,x 2 ,...,x n

§ N=(1,2,...,n) - multime numere naturale

§ Z=(0,±1,±2,...,±n) - mulţime de numere întregi

Se numește mulțimea (-∞;+∞). linie numerică, iar orice număr este un punct pe această dreaptă. Fie a un punct arbitrar pe dreapta numerică și δ un număr pozitiv. Se numește intervalul (a-δ; a+δ). δ-vecinatatea punctului a.

O mulțime X este mărginită de sus (de jos) dacă există un număr c astfel încât pentru orice x ∈ X inegalitatea x≤с (x≥c) să fie valabilă. Numărul c în acest caz este numit marginea de sus (de jos). mulţimea X. Se numeşte o mulţime mărginită atât deasupra cât şi dedesubt limitat. Cea mai mică (mai mare) dintre fețele superioare (inferioare) ale unui set se numește marginea de sus (de jos) exactă a acestei multimi.

Două multimile A si B sunt egale(A=B) dacă sunt formate din aceleași elemente.
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,1,4,2), atunci A=B.

Prin unire (suma) mulţimile A şi B este o mulţime A ∪ B ale cărei elemente aparţin cel puţin uneia dintre aceste mulţimi.
De exemplu, dacă A=(1,2,4), B=(3,4,5,6), atunci A ∪ B = (1,2,3,4,5,6)

După intersecție (produs) mulţimile A şi B se numesc o mulţime A ∩ B, ale cărei elemente aparţin atât mulţimii A cât şi mulţimii B.
De exemplu, dacă A=(1,2,4), B=(3,4,5,2), atunci A ∩ B = (2,4)

Prin diferenta Mulțimile A și B se numesc mulțimi AB, ale cărei elemente aparțin mulțimii A, dar nu aparțin mulțimii B.
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,4,5), atunci AB = (1,2)

Diferență simetrică multimile A si B se numesc multimea A Δ B, care este unirea diferentelor multimilor AB si BA, adica A Δ B = (AB) ∪ (BA).
De exemplu, dacă A=(1,2,3,4), B=(3,4,5,6), atunci A Δ B = (1,2) ∪ (5,6) = (1,2, 5,6)

2. Metoda inducției matematice (exemplu). inegalitatea lui Bernoulli.

3. Axiomatica multimii numere reale: operație de adunare, operație de înmulțire, relație de ordine.
4. Axiomatica mulțimii numerelor reale: axioma lui Arhimede, axioma lui Dedekind.

AXIOMĂ A ARHIMEDE

O axiomă, formulată inițial pentru segmente, care afirmă că, lăsând deoparte cel mai mic dintre două segmente date de un număr suficient de ori, se poate obține întotdeauna un segment care este mai mare decât cel mai mare. Similar cu A. a. formulat pentru suprafețe, volume, numere pozitive etc. În general, pentru o cantitate dată, A. a este valabil dacă pentru oricare două valori ale acestei mărimi, este întotdeauna posibil să se găsească un număr întreg T, Ce ; Aceasta este baza procesului de împărțire secvențială în aritmetică și geometrie (vezi. Algoritmul euclidian). Sensul lui A. a. a devenit clar după secolul al XIX-lea. s-a descoperit existenţa unor cantităţi în raport cu care această axiomă este nedreaptă – aşa-numita. cantităţi non-Arhimede

Axioma lui Dedekind

una dintre axiomele de continuitate (vezi Axiomele de continuitate). Da. afirmă: dacă toate punctele unei linii sunt împărțite în două clase nevide și toate punctele din prima clasă sunt situate la stânga tuturor punctelor celei de-a doua, atunci există fie punctul din dreapta al primei clase, fie cel din stânga punctul celui de-al doilea

5. Modulul unui număr real și proprietățile acestuia.

Valoare absolută (sau modul ) numar real X este un număr nenegativ definit de relație
Proprietățile modulului . 1. . 2. . 3. Inegalitățile și sunt echivalente. 4. Modulul sumei a două numere reale este mai mic sau egal cu suma modulelor acestor numere:

Această proprietate este valabilă pentru orice număr finit de termeni.

5. Modulul diferenței dintre două numere reale este mai mare sau egal cu diferența dintre modulele acestor numere:
. 6. Modulul produsului numerelor este egal cu produsul modulelor acestor numere:
. Această proprietate este valabilă pentru orice număr finit de factori. 7. Modulul câtului a două numere (dacă divizorul este diferit de zero) este egal cu câtul modulelor acestor numere:

6. Granițele mulțimilor numerice. Limitele superioare și inferioare exacte pentru seturile numerice.
7. Funcția reală a unui argument real: funcții elementare, domeniul lor de definiție și grafic, funcții complexe și neelementare.
8. Metode de specificare a funcțiilor, operatii aritmetice peste funcții.
9. Clasificarea simplă a funcţiilor argument reale.
10. Limita unei secvențe numerice și semnificația ei geometrică.
11. Proprietățile șirurilor convergente: Teorema 1. Unicitatea limitei (cu demonstrație). Teorema 2.
12. Secvențe de numere infinitezimale și infinit de mari: definiții. Legătura dintre ei.
13. Leme despre secvențe de numere infinitezimale. Consecințe. Exemple.
14. Teoreme limită secvențe de numere. Consecințe.
15. Calculul limitelor succesiunilor numerice: reguli de dezvăluire a incertitudinilor formei, . Concluzie. Exemplu.
16. Trecerea la limită în inegalităţi: Teorema 1. (despre păstrarea semnului limitei). Teorema 2 (trecerea la limita în inegalități). Teorema 3 (despre o secvență comprimată). teorema lui Weierstrass.
17. Numărul e (cu dovadă). Logaritmi naturali.
18. Puncte limită ale unui set.
19. Definirea limitei unei funcții într-un punct după Cauchy și semnificația ei geometrică.
20. Determinarea limitei unei funcţii într-un punct după Heine. Teoreme de bază asupra limitei unei funcții. Calculul limitei unei funcții într-un punct: regula de dezvăluire a incertitudinii formei Exemplu.
21. Limita unei funcții peste un set. Coridoare unilaterale. Note.
22. Prima limită remarcabilă (cu dovezi). Consecințe.
23. A doua limită remarcabilă. Note. Limite remarcabile asociate cu exponențiale și funcții logaritmice. Înlocuirea unei variabile sub semnul limită. Exemplu.
24. Continuitatea și punctele de întrerupere ale unei funcții. Proprietățile funcțiilor continue.
25. Derivate ale funcțiilor simple: definiția unei derivate a unei funcții, semnificația geometrică a unei derivate a unei funcții. Ecuații de tangentă și normală la o curbă.
26. Reguli de bază pentru diferențierea funcțiilor. Derivate functii elementare. Exemplu.
27. Derivat functie complexa. Diferențierea logaritmică. Derivată a unei funcții exponențiale.
28. Diferenţialul unei funcţii şi semnificaţia ei geometrică şi mecanică. Concluzie.
29. Reguli de bază pentru găsirea diferenţialului unei funcţii. Diferenţialul unei funcţii complexe. Invarianța formei unei diferențiale de ordinul întâi. .
30. Derivate și diferențiale de ordin superior ale unei funcții. Semnificația mecanică și geometrică a derivatei a doua. formula lui Leibniz.
31. Teoreme de diferențiere de bază: teorema lui Fermat, teorema lui Role și semnificația lor geometrică.
32. Teoreme de diferențiere de bază: teorema lui Lagrange, teorema lui Cauchy și semnificația lor geometrică.
33. Aplicații ale derivatului: regula lui L'Hopital pentru dezvăluirea incertitudinilor de tip și dezvăluirea incertitudinilor de tip. Exemplu.
34. Antiderivată a unei funcții și integrală nedefinită. Proprietățile integralei nedefinite. Tabelul integralelor de bază.
35. Metode de integrare a funcţiilor: integrare directă; metoda de înlocuire variabilă; metoda de integrare pe părți.
36. Definiția și proprietățile unei integrale determinate.
37. Calculul unei integrale determinate. formula Newton-Leibniz. Metode de integrare integrala definita: schimbarea variabilei, metoda de integrare pe părți.
38. Seria de numere. Convergenta si divergenta serie de numere. Un semn necesar de convergență a seriei.
39. Semne suficiente de convergență a seriilor de numere: test de comparație, test de comparație limită.
40. Criterii suficiente pentru convergența seriilor de numere: testul radical al lui Cauchy, testul lui D’Alembert.

O multime de Ași setul care îl conține A notată după cum urmează ( A este un element al ansamblului A; sau A aparține A, sau A conţine A). Dacă A A, apoi scriu ( A nu sunt incluse în A, A nu contine AA, b, c

Setați operațiuni.

Set universal

Set universal

Diagramele Venn. Setați identitățile de algebră și demonstrarea lor.

O diagramă Venn este o reprezentare schematică a tuturor intersecțiilor posibile ale mai multor mulțimi, arătând relații matematice, teoretice sau logice între mulțimi.

Identitățile și dovezile lor.

Pentru mulțimile arbitrare A, B și C, următoarele relații sunt valabile:

1. Comutativitate:

2. Asociativitatea

3. Distributivitatea unei uniuni în raport cu intersecția

3'. Distributivitatea intersecției relativ la unire

4. Legile acțiunii cu mulțimi goale și universale

5. Legea idempotentei

6. Legea lui De Morgan

7. Legea absorbției

8. Legea lipirii

9. Legea lui Poretsky

10. Legea complementului dublu

Demonstrați următoarea identitate .

Să demonstrăm această identitate analitic (folosind echivalențe ale algebrei multimelor)

Conceptul de limbaj formal

Limbaj formal - un limbaj caracterizat prin reguli precise de construire a expresiilor și de înțelegere a acestora. Este construit în conformitate cu reguli clare, oferind o afișare consistentă, precisă și compactă a proprietăților și relațiilor domeniului studiat (obiecte modelate).

Limbajul formal este baza pentru crearea de software.

FL se formează folosind setul inițial de litere a1, a2, ...., a100, cu ajutorul literelor se formează gloria. Un cuvânt într-o limbă formală este un set ordonat de litere (Șopârlă - 30 de litere)

Pentru operarea * a cuvintelor este valabilă legea asociativă.

Teoria semigrupurilor și semiinelelor stă la baza teoriei expresiei fizice

Tautologii

O tautologie este o afirmație identică adevărată care este întotdeauna adevărată.

Cea mai simplă tautologie este expresia ( A Sau nu A), reprezentând legea mijlocului exclus, unde în schimb A orice expresie care poate fi falsă sau adevărată poate fi înlocuită, de exemplu lumina aprinsă sau nu, de două ori doi este egal sau nu egal cu cinci. Legile logicii matematice exprimate prin operatorul de echivalență sunt și ele tautologii: etc.

Conceptul de formă expresivă sau predicat al unei variabile. Exemple de predicate.

predicat - o afirmație în funcție de o variabilă în schimbare.

predicat unic - o mapare în care fiecărei valori variabile i se atribuie o singură valoare de 0 sau 1. exemple:

Conjuncție două predicate A(x) și B(x) se numesc predicat nou , care ia valoarea „adevărat” pentru acele și numai acele valori ale lui x T pentru care fiecare dintre predicate ia valoarea „adevărat”, și ia valoarea „falsă” în toate celelalte cazuri. Mulțimea de adevăr T a predicatului A(x) B(x), x X este intersecția mulțimilor de adevăr ale predicatelor A(x) – T1 și B(x) – T2, adică. T= T1 ∩T2. De exemplu: A(x): „x este un număr par”, B(x): „x este un multiplu al lui 3”. A(x) B(x) – „x este un număr par și x este un multiplu al lui 3”. Acestea. predicatul „x este divizibil cu 6”.

Negare predicatul A(x) este un nou predicat care ia valoarea „adevărat” pentru toate valorile lui x T pentru care predicatul A(x) ia valoarea „fals”, și ia valoarea „fals” dacă A(x) ) ia valoarea „adevărat” „ Mulțimea de adevăr a predicatului x X este complementul lui T" la mulțimea T din mulțimea X.

Să luăm afirmațiile: ``Socrate este un om'', ``Platon este un bărbat''. Ambele afirmații exprimă calitatea de „a fi uman”. Astfel, putem considera predicatul „a fi un om” și spunem că este valabil pentru Socrate și Platon.

25 domeniul definiției și domeniul adevărului predicatului

Mulțimea M pe care este definit predicatul P(x) se numește domeniul de definire al predicatului.

Mulțimea tuturor elementelor x Î M pentru care predicatul ia valoarea „adevărat” se numește mulțime de adevăr a predicatului P(x), adică mulțimea de adevăr a predicatului P(x) este mulțimea 1p = ( x|. x Î M, P(x) = 1).

P(x): „x 2 + 1> 0, xО R”; domeniul de definiţie al predicatului M = R şi domeniul adevărului este tot R, întrucât inegalitatea este adevărată pentru toate numerele reale. Astfel, pentru un predicat dat M = I p. Astfel de predicate sunt numite identic adevărate.

B(x): „x 2 + 1< 0, xÎ R»; область истинности I p =Æ, т.к. не существует действительных чисел, для которых выполняется неравенство. Такие предикаты называются тождественно ложными.

Cuantificatori. Predicate duble. Definiții de ecuație, identitate și inegalitate.

Cuantificator- un nume general pentru operațiile logice care limitează domeniul de adevăr al unui predicat și creează o declarație. Cel mai des menționat:

· Cuantificator universal(denumirea: citește: „pentru toți...”, „pentru toată lumea...” sau „fiecare...”, „oricare...”, „pentru orice...”).

· Cuantificator de existență(denumirea: , citește: „există...” sau „va fi găsit...”).

Să notăm predicatul „ X divizibil cu 5." Folosind cuantificatorul general, putem scrie formal următoarele afirmații (false, desigur):

1. orice număr natural este multiplu de 5;

2. fiecare număr natural este multiplu de 5;

3. toate numerele naturale sunt multipli ai lui 5;

in felul urmator:

Următoarele afirmații (deja adevărate) folosesc cuantificatorul existențial:

1. există numere naturale care sunt multipli ai lui 5;

2. găsiți un număr natural care este multiplu al lui 5;

3. cel puțin un număr natural este divizibil cu 5.

Notația lor formală:

· O afirmație înseamnă că intervalul de valori ale variabilei este inclus în intervalul de adevăr al predicatului.

(„Pentru toate valorile lui (x), afirmația este adevărată.”)

· Enunțul înseamnă că domeniul de adevăr al predicatului este nevid.

(„Există un (x) pentru care afirmația este adevărată”).

Operatii pe cuantificatoare

Regula negației cuantificatorilor- folosit pentru a construi negații de enunțuri care conțin cuantificatori și are forma:

predicat dublu - o mapare în care fiecărei perechi de variabile i se dă o singură valoare, 0 sau 1.

Predicatul este predicat cu două locuri, domeniul căruia poate fi orice set de numere reale. Afirmația este adevărată și enunțul este fals. Dacă înlocuiți un număr în loc de una dintre variabile, obțineți un predicat cu un singur loc.

Intersecția grafică

Fie G1(V1,E1) și G’2(V2’,E2’) să fie grafice arbitrare. Intersecția G1∩G’2 a graficelor G1 și G’2 este un grafic cu o mulțime de vârfuri V1∩V’2 cu o mulțime de muchii E = E1∩E’2

Proprietăți

· Intersecția mulțimilor este operație binară pe un boolean arbitrar 2 X;

comutativ:

· Setați operațiunea de intersecție tranzitiv (asociativitate):

· Set universal X este un element neutru al operației de intersecție a mulțimilor:

· Astfel, un boolean împreună cu operația de intersecție a mulțimilor este un grup abelian;

· Operația de intersecție a mulțimilor este idempotentă:

· Dacă este un set gol, atunci

Schelete și schelete de grafice.

Graficul scheletului este un subgraf al acestuia care este un copac.

Koostov – adăugarea unui schelet la un grafic.

Conceptul de set. Operații pe platouri. Set universal.

O multime de(N-natural, Z-întreg, Q-rațional, R-real) – un concept indefinibil, este o colecție de obiecte considerate ca un întreg. Conceptul de mulțime este considerat de bază, adică nereductibil la alte concepte. Obiectele care alcătuiesc o mulțime dată se numesc elementele sale. Un set simplu nu are un singur element. Relația de bază între element Ași setul care îl conține A notată după cum urmează ( A este un element al ansamblului A; sau A aparține A, sau A conţine A). Dacă A nu este un element al setului A, apoi scriu ( A nu sunt incluse în A, A nu contine A). Un set poate fi specificat prin specificarea tuturor elementelor sale, iar în acest caz se folosesc acolade. Asa de ( A, b, c) denotă mulţimea celor trei elemente. O notație similară este folosită în cazul mulțimilor infinite, cu elemente nescrise înlocuite cu elipse. Astfel, se notează mulțimea numerelor naturale (1, 2, 3, ...), iar mulțimea numerelor pare (2, 4, 6, ...), iar punctele de suspensie în primul caz înseamnă toate numerele naturale , iar în al doilea - doar chiar.

„set gol” - un set care nu conține un singur element, este notat cu

Metode de atribuire: tabelar, listarea elementelor, grafică, recurentă, formulă.

Setați operațiuni.

Intersecția mulțimilor este o mulțime formată din elemente care aparțin ambelor mulțimi.

Pentru intersectia multimilor sunt adevarate urmatoarele:

X∩Y=Y∩X - legea comutativă

· (X∩Y)∩Z = X∩(Y∩Z) = X∩Y∩Z - legea asociativă

O unire de multimi este o multime formata din elemente apartinand cel putin uneia dintre multimi.

Pentru seturile combinate sunt adevărate următoarele:

XUY = YUX - legea comutativă

· (XUY) UZ = XU (YUZ) = XUYUZ - drept asociativ,

Set universal

Set universal- un set care contine toate obiectele imaginabile. Setul universal este unic.

Un set universal este o mulțime care conține toate elementele din care poate consta un alt set, adică. conţin complet toate elementele mulţimii universale. .

Dacă, într-o anumită considerație, sunt implicate doar submulțimi dintr-o anumită mulțime fixă, atunci această mulțime cea mai mare va fi considerată universală.

Setul universal are proprietate interesantă, care nu are analogie în algebra obișnuită și anume, pentru orice mulțime X, relația XU(uniunea)I = I se menține.

Un set universal este de obicei notat grafic ca un set de puncte într-un dreptunghi, iar seturile individuale ca zone separate în cadrul acestui dreptunghi. Reprezentarea mulțimilor ca regiuni într-un dreptunghi reprezentând mulțimea universală se numește diagramă Euler-Venn.

Decoruri, operații pe platouri

Definiția 1: Sub mulți este înțeles ca o colecție a unor obiecte (elemente) ale unei mulțimi care au o proprietate comună. Seturile sunt desemnate prin litere mari latine, elemente – prin litere mici.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image002_346.gif" align="left" width="172" height="101 src=">

Definiția 3:Intersecția mulțimilor AȘi B este o mulțime formată din acele și numai acele elemente, fiecare dintre acestea aparținând mulțimii A, și multe B.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image004_243.gif" width="477" height="27">

Mulțimea numerelor naturale este închisă sub două operații: adunarea și înmulțirea.

Legile de bază ale adunării și înmulțirii numerelor naturale

Legea comutativă a adunării A+ b= b+ A Legea comutativă a înmulțirii ab= ba Legea combinativă a adunării (asociativă) (A+ b)+ c= A+(b+ c) Legea combinativă a înmulțirii (asociativă) (ab) c= A(bc) Legea distributivă a înmulțirii în raport cu adunarea (A+ b) c= ac+ bc Mulțimea numerelor întregi Z. Divizibilitatea numerelor întregi. Semne de divizibilitate

Definiția 10: Se numesc numerele naturale, contrariile lor și (0). întreg numere

Z= N+(- N)+{0}

Toate legile adunării și înmulțirii numerelor naturale sunt valabile pentru numere întregi.

Divizibilitatea numerelor întregi

Întreg A divizibil cu un număr întreg b(în întregime), dacă așa ceva există https://pandia.ru/text/80/218/images/image009_152.gif" width="137" height="23">

Proprietățile de divizibilitate ale numerelor întregi

Divizibilitatea este reflexivă Relația de divizibilitate este tranzitivă Orice număr întreg este întotdeauna divizibil cu 1 și este egal cu acest număr.

Semne de divizibilitate.

Toate numerele pare sunt divizibile cu 2. Numerele a căror sumă de cifre este divizibilă cu 3 și 9 sunt divizibile cu 3 și 9. ( Exemplu: Numărul 1377 este divizibil cu 3 și 9, deoarece suma cifrelor 1+3+7+7=18 este divizibil cu 3 și 9). Acele și numai acele numere sunt divizibile cu 4 dacă numărul scris în ultimele două cifre este divizibil cu 4. ( Exemplu: numărul 23864 este divizibil cu 4, deoarece numărul 64 este divizibil cu 4). Numai acele numere ale căror ultime trei cifre sunt divizibile cu 8 sunt divizibile cu 8. ( Exemplu: numărul 23864 este divizibil cu 8, deoarece numărul 864 este divizibil cu 8). Acele și numai acele numere care se termină cu numărul 0 sau 5 sunt divizibile cu 5. Numai acele numere care se termină cu numărul 0 sunt divizibile cu 10.

Împărțire cu rest

Împărțiți un număr întreg A la https://pandia.ru/text/80/218/images/image019_89.gif" width="79" height="27">.

Definiția 11:Întreg d numit cel mai mare divizor comun numere întregi A1 , A2 ,…, un, Dacă d este divizorul comun al acestor numere, d divizibil cu orice divizor comun al numerelor A1 , A2 ,…, un.

Găsiți GCD(-135, 180).

Răspuns: GCD=45.

NOC(a1,a2,…,an)sau

Definiția 10:Întreg m numit multiplu comun numere A1 , A2 ,…, un(numere întregi) nu sunt egale cu zero dacă mîmpărțit la fiecare dintre aceste numere A1 , A2 ,…, un.

Definiția 11:Întreg m numit cel mai mic multiplu comun (LCM) numere întregi A1 , A2 ,…, un, Dacă m este un multiplu comun al acestor numere și orice multiplu comun al acestor numere este divizibil cu m.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image021_88.gif" width="612" height="144">

Numărul 1 nu este nici prim, nici număr compus.

Algoritm pentru găsirea GCD ( Algoritmul euclidian): ultimul rest diferit de zero este mcd-ul numerelor date.

Găsiți GCD(7560;825)

Răspuns: GCD=15.

Numere întregi A1 , A2 ,…, un se numesc coprime dacă mcd lor = 1.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image023_87.gif" width="161" height="33">, unde pi- numere prime, .

Cometariu: descompunerea oricărui număr n în factori primi se numește notația canonică a numărului n.

Regula pentru găsirea GCD:

Împărțiți numărul în factori primi. Compuneți produsul tuturor factorilor primi cu cel mai mic exponent. Găsiți o muncă.

Răspuns: GCD=4.

Regula pentru găsirea NOC:

Împărțiți numărul în factori primi. Compuneți un produs al tuturor factorilor primi ai unui număr și al factorilor lipsă ai altuia. Găsiți această piesă. Numere raționale și operații asupra lor

Definiția 12: Sub mulţime raţional numere ( Q) înțelegeți setul de fracții ireductibile obișnuite de forma https://pandia.ru/text/80/218/images/image026_72.gif" width="84" height="21 src=">.

O multime de Qînchis sub toate cele patru operații aritmetice.

Proprietatea principală a fracției: Dacă numărătorul și numitorul unei fracții sunt înmulțite sau împărțite cu același număr diferit de zero, fracția nu se va modifica:

O fracție obișnuită a formei se numește zecimală.

Teorema 1 . O fracție ireductibilă poate fi convertită într-o fracție zecimală finală dacă și numai dacă factorizarea numitorului său în factori primi conține doar numerele 2 și 5 sau puterile acestora sau numitorul este egal cu 1.

https://pandia.ru/text/80/218/images/image030_62.gif" width="612" height="228">

Definiția 13: Se numește fracția zecimală periodic infinit, dacă cifra sau grupul său de cifre după virgulă zecimală se repetă secvenţial.

1,0(77); 1,0(27).

Teorema 2 . Orice fracție periodică infinită este o reprezentare a unora Numar rational si invers.

Regula pentru reprezentarea unei fracții periodice infinite într-o fracție obișnuită :

din numărul de dinaintea celei de-a doua perioade, scădeți numărul de dinaintea primei perioade și faceți această diferență la numărător, iar la numitor scrieți numărul 9 de câte ori sunt numere în perioadă și 0 de câte ori există numere. între virgulă zecimală și prima perioadă.

Răspuns: https://pandia.ru/text/80/218/images/image032_56.gif" width="131" height="41">.

R= Q+numerele iraționale.

Conceptul de mulțime se referă la conceptele axiomatice ale matematicii.

Definiție. O mulțime este o mulțime, un grup, o colecție de elemente care au o proprietate sau un atribut comun tuturor acestora.

Denumirea: A, B.

Definiție. Două mulțimi A și B sunt egale dacă și numai dacă sunt formate din aceleași elemente. A = B.

Notația a ∈ A (a ∉ A) înseamnă că a este (nu este) un element al mulțimii A.

Definiție. O mulțime care nu conține elemente se numește goală și se notează ∅.

De obicei, în cazuri specifice, elementele tuturor mulțimilor luate în considerare sunt luate dintr-o mulțime U suficient de largă, care se numește set universal.

Puterea setului notat ca |M| .
cometariu : Pentru multimi finite, cardinalitatea multimii este numarul de elemente.

Definiție. Dacă |A| = |B| , apoi se numesc seturile la fel de puternice.

Adesea folosit pentru a ilustra operațiunile de set Diagramele Euler-Venn. Construcția diagramei constă în desenarea unui dreptunghi mare reprezentând mulțimea universală U, iar în interiorul acestuia se află cercuri reprezentând mulțimi.

Următoarele operații sunt definite pe seturi:

Unirea A∪B: = (x/x∈A∨x∈B)

Intersecția A∩B: = (x/x∈A&x∈B)

Diferența A\B: = (x/x∈A&x∈B)

Complement A U\A: = (x/x U & x ∉ A)

Sarcina 1.1. Dați: a)A,B⊆Z, A = (1;3;4;5;9), B = (2;4;5;10). b)A,B⊆R, A = [-3;3), B = (2;10].

Soluţie.

a) A∩B = (4;5), A∪B = (1;2;3;4;5;9;10), A\B = (1;3;9), B\A = (2 ;10), B = Z \ B ;

b) A∩B = (2;3), A∪B = [-3,10], A\B = [-3,2], B\A = ,B Z\B = (-∞,2]∪ (10,+∞).

1) Dați: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-3; 7), B = [-4; 4].

Găsiți: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

2) Dați: a) A, B ⊆ Z, A = (3;6;7;10), B = (2;3;10;12).

b) A, B ⊆ R, A = .

Găsiți: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

3) Dați: a) A, B ⊆ Z, A = (1;2;5;7;9;11), B = (1;4;6;7).

b) A, B ⊆ R, A = .

4) Dați: a) A, B ⊆ Z, A = (0;4;6;7), B = (-3;3;7).

b)A,B ⊆ R, A = [-15;0], B = [-2;1].

Găsiți: A∩B, A∪B, A\B, B\A, A .

5) Având în vedere: a) A, B ⊆ Z, A = (0;9), B = (-6;0;3;9).

b) A, B ⊆ R, A = [-10; 5), B = [-1; 6].

Găsiți: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

6) Având în vedere: a)A, B ⊆ Z, A = (0;6;9), B = (-6;0;3;7).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;3), B = .

Găsiți: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

7) Având în vedere: a)A, B ⊆ Z, A = (-1;0;2;10), B = (-1;2;9;10).

b)A, B ⊆ R, A = [-10;9), B = [-5;15].

Găsiți: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

8) Având în vedere: a) A,B ⊆ Z, A = (1;2;9;37), B = (-1;1;9;11;15).

b) A, B ⊆ R, A = [-8;1), B = [-5;7].

Găsiți: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, B .

9) Având în vedere: a) A, B ⊆ Z, A = (-1;0;9;17), B = (-1;1;9;10;25).

b) A, B ⊆ R, A = [-4;9), B = [-5;7].

Găsiți: A∩B, A∪B, A\B, B\A, B .

10) Având în vedere: a)A,B⊆Z, A = (1;7;9;17), B = (-2;1;9;10;25).

b) A,B⊆R, A = .

Găsiți: A ∩ B, A ∪ B, A\B, B\A, A.

Sarcina 1.1. Folosind diagramele Euler-Venn, demonstrați identitatea:

A\ (B\C) = (A\B) ∪ (A ∩ C).

Soluţie.

Să construim diagrame Venn.

Partea stângă a egalității este prezentată în Figura a), partea dreaptă este prezentată în Figura b). Din diagrame este evident că părțile stânga și dreaptă ale acestei relații sunt egale.

Probleme de rezolvat independent

Folosind diagramele Euler-Venn pentru a demonstra identitățile:

1) A\(B ∪ C) = (A\B) ∩ (A\C);

2) A ∪ (B\C) = (A ∩ B)\C;

3) A ∪ (B \ C) = (A ∩ B) \ (A ∩ C);

4) (A\B)\C = (A\B)\(B\C);

5) (A\B)\C = (A\B) ∪ (A∩C);

6) A∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

7) (A ∩ B) \ (A ∩ C) = (A ∩ B) \ C;

8) A∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C);

9) (A ∪ B)\C = (A\C) ∪ (B\C)

10) A∪ (A ∩ B) = A ∪ B

Problema 1.3. În timpul unei lecții de literatură, profesorul a decis să afle care dintre cei 40 de elevi din clasă au citit cărțile A, B, C. Rezultatele sondajului au fost următoarele: cartea A a fost citită de 25 de elevi; Cartea B a fost citită de 22 de elevi; cartea C a fost citită de 22 de elevi; cărțile A sau B au fost citite de 33 de elevi; cărțile A sau C au fost citite de 32 de elevi; cărțile B sau C au fost citite de 31 de elevi; Toate cărțile au fost citite de 10 elevi. Determinați: 1) Câți elevi citesc numai cartea A?

2) Câți elevi citesc numai cartea B?

3) Câți elevi citesc numai cartea C?

4) Câți elevi citesc o singură carte?

5) Câți elevi citesc cel puțin o carte?

6) Câți elevi nu au citit o singură carte?

Soluţie.

Fie U ansamblul elevilor din clasă. Apoi

|U| = 40, |A| = 25, |B| = 22, |C| = 22, |A ∪ B| = 33, |A ∪ C| = 32, |B ∪ C| = 31, |A ∩ B ∩ C| = 10

Să încercăm să ilustrăm problema.

Să împărțim setul de elevi care au citit cel puțin o carte în șapte subseturi k 1 , k 2 , k 3 , k 4 , k 5 , k 6 , k 7 , unde

k 1 este mulţimea elevilor care citesc numai cartea A;

k 3 este ansamblul elevilor care citesc numai cartea B;

k 7 - ansamblul elevilor care citesc numai cartea C;

k 2 este mulţimea elevilor care au citit cărţile A şi B şi nu au citit cartea C;

k 4 - ansamblul elevilor care au citit cărțile A și C și nu au citit cartea B;

k 6 - ansamblul elevilor care au citit cărțile B și C și nu au citit cartea A;

k 5 - ansamblul elevilor care citesc cărțile A, B și C.

Să calculăm cardinalitatea fiecăreia dintre aceste submulțimi.

|k 2 | = |A ∩ B|-|A ∩ B ∩ C|; |k 4 | = |A ∩ C|-|A ∩ B ∩ C|;

|k 6 | = |B ∩ C| - |A ∩ B ∩ C|; |k 5 | = |A ∩ B ∩ C|.

Atunci |k 1 | = |A| - |k 2 | - |k 4 | - |k 5 |, |k 3 | = |B| - |k 2 | - |k 6 | - |k 5 |, |k 7 | = |C| - |k 6 | - |k | - |k 5 |.

Să găsim |A ∩ B|, |A ∩ C|, |B ∩ C|.

|A ∩ B| = | A| +| B| - |A ∩ B| = 25 + 22 - 33 = 14,

|A ∩ C| = |A| + |C| - |A ∩ C| = 25 + 22 - 32 = 15,

|B ∩ C| = |B| + |C| - |B ∩ C| = 22 + 22 - 31 = 13.

Atunci k 1 = 25-4-5-10 = 6; k3 = 22-4-3-10 = 5; k7 = 22-5-3-10 = 4;

|A ∪ B ∪ C| = |A ∪ B| + |C| - |(A ∪ B) ∪ C| .

Din figură reiese clar că |C| - |(A ∪ B) ∪ C| = |k 7 | = 4, atunci |A ∪ B ∪ C| = 33+4 = 37 – numărul de elevi care au citit cel puțin o carte.

Întrucât în clasă sunt 40 de elevi, 3 elevi nu au citit nicio carte.

Răspuns:

6 elevi citesc numai cartea A.
5 elevi citesc numai cartea B.
4 elevi citesc numai cartea C.
15 elevi au citit o singură carte fiecare.
37 de elevi au citit cel puțin o carte din A, B, C.
3 elevi nu au citit nicio carte.

Probleme de rezolvat independent

1) În timpul săptămânii, în cinematograf s-au prezentat filmele A, B, C. Fiecare dintre cei 40 de școlari a văzut fie toate cele 3 filme, fie unul dintre cele trei. Film A am văzut 13 școlari. Film B am văzut 16 școlari. Film C am văzut 19 școlari. Câți școlari au văzut un singur film?

2) 120 de persoane au participat la conferința internațională. Dintre aceștia, 60 vorbesc rusă, 48 vorbesc engleză, 32 vorbesc germană, 21 vorbesc rusă și engleză, 19 vorbesc engleză și germană, 15 vorbesc rusă și germană și 10 vorbesc toate cele trei limbi. Câți participanți la conferință nu vorbesc niciuna dintre aceste limbi?

3) O echipă școlară de 20 de persoane participă la competiții sportive, fiecare dintre acestea având o categorie sportivă în una sau mai multe dintre trei tipuri sporturi: atletism, înot și gimnastică. Se știe că 12 dintre ei au grade la atletism, 10 la gimnastică și 5 la înot. Stabiliți numărul de școlari din această echipă care au grade la toate sporturile, dacă 2 persoane au grade la atletism și înot, 4 persoane la atletism și gimnastică, 2 persoane la înot și gimnastică.

4) Un sondaj de 100 de studenți a dat următoarele rezultate cu privire la numărul de studenți care studiază diverse limbi straine: spaniolă – 28; germană – 30; franceza – 42; spaniolă și germană – 8; spaniolă și franceză – 10; germană și franceză – 5; toate cele trei limbi – 3. Câți studenți studiază limba germana dacă și numai dacă studiază limba franceză? 5) Un sondaj pe 100 de studenți a relevat următoarele date privind numărul de studenți care studiază diverse limbi străine: numai germană - 18; germană, dar nu spaniolă – 23; germană și franceză – 8; germană – 26; franceza – 48; franceza si spaniola – 8; nicio limbă – 24. Câţi elevi studiază germana şi Spaniolă?

6) Într-un raport asupra unui sondaj de 100 de studenți, s-a raportat că numărul studenților care studiază diferite limbi este următorul: toate cele trei limbi - 5; germană și spaniolă – 10; franceza si spaniola – 8; germană și franceză – 20; spaniolă – 30; germană – 23; Franceză - 50. Inspectorul care a depus acest proces verbal a fost concediat. De ce?

7) 100 de persoane au participat la conferința internațională. Dintre acestea, 42 dețin limba franceza, 28 – engleză, 30 – germană, 10 – franceză și engleză, 8 – engleză și germană, 5 – franceză și germană și 3 persoane vorbesc toate cele trei limbi. Câți participanți la conferință nu vorbesc niciuna dintre aceste limbi?

8) Studenții din anul I care studiază informatica la universitate pot urma discipline suplimentare. Anul acesta, 25 dintre ei au ales să studieze contabilitate, 27 au ales afaceri, iar 12 au decis să studieze turism. În plus, au fost 20 de studenți care urmau cursul Contabilitate și Afaceri, 5 care studiau Contabilitatea și Turismul și 3 studiau Turismul și Afacerile. Se știe că niciunul dintre studenți nu a îndrăznit să urmeze 3 cursuri suplimentare deodată. Câți studenți au urmat cel puțin 1 curs suplimentar?
9) 40 de elevi au participat la olimpiada de matematică pentru candidați. Li s-a cerut să rezolve o problemă de algebră, o problemă de geometrie și o problemă de trigonometrie. Problema a fost rezolvată de 20 de oameni la algebră, 18 la geometrie și 18 la trigonometrie. Problemele de algebră și geometrie au fost rezolvate de 7 persoane, de algebră și trigonometrie - de 8 persoane, de geometrie și trigonometrie - de 9 persoane. Nicio problemă nu a fost rezolvată de 3 persoane. Câți elevi au rezolvat doar două probleme?

10) În clasă sunt 40 de elevi. Dintre aceștia, 19 persoane au note C la rusă, 17 persoane la matematică și 22 persoane la fizică. 4 elevi au note C într-o singură limbă rusă, 4 - doar la matematică și 11 - doar la fizică. 5 elevi au obținut note C la rusă, matematică și fizică. 7 persoane au note C la matematică și fizică. Câți elevi au note C la două din trei materii?