Închiderea mulțimii numerelor reale. O mulțime de numere. Legile actiunilor asupra diferitelor numere. Proprietățile operațiilor binare

Să fie date două mulțimi X și Y, indiferent dacă acestea coincid sau nu.

Definiție. Se numește mulțimea de perechi ordonate de elemente, dintre care prima aparține lui X și a doua lui Y Produsul cartezian al multimilor si este desemnat .

Exemplu. Lăsa
,
, Apoi

.

Dacă
,
, Apoi
.

Exemplu. Lăsa
, unde R este mulțimea tuturor numerelor reale. Apoi
este mulțimea tuturor coordonatelor carteziene ale punctelor din plan.

Exemplu. Lăsa
este o anumită familie de mulțimi, atunci produsul cartezian al acestor mulțimi este mulțimea tuturor șirurilor ordonate de lungime n:

Daca atunci. Elemente din
sunt vectori rând de lungime n.

Structuri algebrice cu o singură operație binară

1 Operații algebrice binare

Lăsa
– o mulțime arbitrară finită sau infinită.

Definiție. Binar algebric Operațiune ( legea interna de compozitie) pe
este o mapare arbitrară, dar fixă, a unui pătrat cartezian
V
, adică

(1)

(2)

Astfel, orice pereche comandată

. Faptul că
, se scrie simbolic sub forma
.

De obicei, operațiile binare sunt notate prin simboluri
etc. Ca și înainte, operația
înseamnă „adunare”, iar operația „” înseamnă „înmulțire”. Ele diferă prin forma de notație și, eventual, prin axiome, care vor fi clare din context. Expresie
îl vom numi un produs și
– suma elementelor Și .

Definiție. O multime de
se numeşte închis sub operaţiunea  dacă pentru oricare .

Exemplu. Luați în considerare mulțimea numerelor întregi nenegative
. Ca operații binare pe
vom lua în considerare operaţiile obişnuite de adunare
și înmulțirea. Apoi seturile
,
vor fi închise cu privire la aceste operațiuni.

Cometariu. După cum rezultă din definiție, se specifică o operație algebrică * on
, este echivalent cu inchiderea multimii
referitor la aceasta operatiune. Dacă se dovedește că foarte mult
nu este închisă sub o operație dată *, atunci în acest caz se spune că operația * nu este algebrică. De exemplu, operația de scădere pe o mulțime de numere naturale nu este algebrică.

Lăsa
Și
doua seturi.

Definiție. Drept extern compozitii pe un platou numită cartografiere

, (3)

acestea. legea prin care orice element
și orice element
elementul este potrivit
. Faptul că
, notat cu simbolul
sau
.

Exemplu. Înmulțirea matricei
pe număr
este o lege de compoziție externă a multimii
. Înmulțirea numerelor în
poate fi considerată atât ca o lege internă de compoziţie cât şi ca una externă.

distributiv privind dreptul intern de compunere * în
, Dacă

Legea externă a compoziției se numește distributiv relativ la legea internă de compunere * în Y, dacă

Exemplu. Înmulțirea matricei
pe număr
distributiv atât în ​​ceea ce privește adunarea matricelor cât și în raport cu adunarea numerelor, deoarece,.

1. Proprietățile operațiilor binare

Operație algebrică binară  pe o mulțime
numit:

Cometariu. Proprietățile comutativității și asociativității sunt independente.

Exemplu. Luați în considerare mulțimea numerelor întregi. Operare activată va fi stabilit în conformitate cu regula
. Să alegem numerele
și efectuați operația pe aceste numere:

acestea. operația  este comutativă, dar nu asociativă.

Exemplu. Luați în considerare setul
– matrici pătrate de dimensiune
cu coeficienți reali. Ca operație binară * on
Vom lua în considerare operațiile de înmulțire a matricei. Lăsa
, Apoi
, in orice caz
, adică operația de înmulțire pe o mulțime de matrici pătrate este asociativă, dar nu comutativă.

Definiție. Element
numit singur sau neutru cu privire la operaţiunea în cauză  pe
, Dacă

Lema. Dacă – elementul unitar al ansamblului
, închis sub operațiunea *, atunci este unic.

Dovada . Lăsa – elementul unitar al ansamblului
, închis sub operațiune *. Să presupunem că în
mai există un element unitar
, Apoi
, deoarece este un singur element și
, deoarece – un singur element. Prin urmare,
– singurul element unitar al setului
.

Definiție. Element
numit verso sau simetric la element
, Dacă

Exemplu. Luați în considerare mulțimea numerelor întregi cu operatie de adaugare
. Element
, apoi elementul simetric
va exista un element
. Într-adevăr,.

Rezultatul operației „*” este determinat ca în tabelul lui Pitagora. De exemplu, „produsul” 3 * 4 este egal cu numărul de la intersecția rândului numărul 3 și coloanei numărul 4. În cazul nostru, acest număr este 2. Prin urmare, 3 * 4 = 2. Ce regulă credeți a fost folosit pentru a completa acest tabel?

Rețineți că rezultatul efectuării operației „*” asupra numerelor din mulțime (0, 1, 2, ..., 9) este un număr din același set. În astfel de cazuri se spune că setul este închis sub funcționare, iar operația se numește algebric.

Probabil ați observat deja că masa este simetrică față de diagonală
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6,. . . .). Aceasta înseamnă că operațiunea „*” are proprietatea comutativitatea, adică pentru orice numere AȘi b din mulțimea (0, 1, 2, ..., 9) egalitatea este valabilă: A * b = b * A.

Folosind tabelul, puteți verifica dacă egalitatea (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) este adevărată. Având răbdare și încercând toate tripletele ordonate de numere, veți fi convins că noua operațiune are proprietatea asociativitatea, adică pentru orice numere A, b, c din mulțimea (0, 1, 2, ..., 9) egalitatea este valabilă: ( A * b) * c= A * (b * c).

Verificați dacă mulțimea (0, 1, 2, ..., 9) este închisă sub înmulțirea dată de tabelul lui Pitagora.

R Exemplele de mai sus vă pot da impresia că indiferent de modul în care introduceți o operație numerică, aceasta va fi întotdeauna comutativă și asociativă. Să nu ne grăbim la o concluzie.

Să luăm în considerare încă o operațiune. Să o notăm cu „o” și să o numim operația „Cerc”. Este determinat de tabel:

Încercați să găsiți modelul după care este compilat acest tabel. Pe baza acestui model, introduceți rezultatele lipsă în tabel. Operația „o” va fi algebrică? Demonstrați că operația „o” comutativ. Cu toate acestea, această operațiune nu asociativ! Pentru a verifica acest lucru, selectați trei numere m, nȘi k, pentru care m o ( n o k) ¹ ( m o n)o k.

P Să vă prezentăm o altă operație: -.

Să o introducem pe mulțimea numerelor naturale după cum urmează: m - n = m n .

De exemplu, 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.

Operația „-” va fi algebrică? Exemplul de mai sus este suficient pentru a vă asigura că noua operațiune nu comutativ.

Calculați rezultatul unei operații
2 - (1 - 3) și apoi verificați egalitatea 2 - (1 - 3) =
= (2 - 1) - 3. Dacă faci totul corect, poți spune că operația este „-” nu asociativ.

1. Sunt operațiile de adunare și înmulțire pe o mulțime algebrică:

a) numere pare; b) numere impare?

2. Este operația de scădere pe o mulțime algebrică?

a) numere naturale; b) numere întregi?

3. Este operația de împărțire pe o mulțime algebrică?

a) numere întregi diferite de zero;

b) numere raţionale diferite de zero?

4. Arată că operația

X D y = X + y – 3

5. Arată că operația

X Ñ y = X + y – X y

este algebrică pe mulțimea tuturor numerelor întregi. Va fi aceasta operatie asociativa si/sau comutativa?

6. Prin analogie cu tabelul lui Pitagora, creați-vă propriul tabel definind operația „à” pe numere (0, 1, 2, 3, 4). Rezultat m à n operații cu numere mȘi nîn acest tabel ar trebui să fie egal cu restul împărțirii cu 5 a produsului obișnuit mn.

Operația „a” va fi algebrică? Dacă da, va fi asociativă și/sau comutativă?

7. Vino cu câteva dintre propriile tale exemple de operații pe numere.

Care vor fi algebrice? Care dintre operațiile tale algebrice vor fi asociative și/sau comutative?

Pentru cei care doresc să conducă corespondență secretă cu prietenii

DESPREÎntr-o zi, Foma a primit o telegramă de la unul dintre prietenii săi.

Cine este Thomas? DESPRE! Acest o personalitate foarte remarcabilă. Nu crede cuvantul nimanui, incearca sa faca totul in felul lui. Îi place, pe de o parte, să găsească soluții noi la problemele vechi și, pe de altă parte, să folosească cunoștințele vechi pentru a depăși noile dificultăți. Îi place să citească o varietate de cărți de matematică, să caute situații non-standard în ele și să găsească o cale de ieșire din ele. Și mai ales îi place să creeze el însuși astfel de situații.

Deci, telegrama era oarecum ciudată. Iată ce spunea:

„yajzeirponchorsmedj.”

Poți „citi” acest text? Foma, după ce s-a gândit puțin, a înțeles secretul acestei telegrame. Conținea o invitație de vizită. S-a hotărât să răspundă în același spirit. Am compus o telegramă de răspuns și am criptat-o ​​în același mod. Rezultatul a fost o înregistrare de două rânduri: „Voi veni să te întâlnesc sâmbătă”, „hetyachertsvutobbusvudeirp”.

Cu toate acestea, Foma a vrut să vină cu o criptare mai interesantă. El a împărțit textul telegramei sale în două părți egale și a criptat fiecare dintre ele folosind vechea metodă:

P După finalizarea criptării, Foma a vrut să-și conducă toată corespondența cu prietenul său doar în texte criptate, schimbând din când în când metoda de criptare. Prin urmare, s-a apucat cu zel să dezvolte un cifr.

A decis să înlocuiască literele textului sursă cu numerele pozițiilor pe care le ocupă aceste litere. Iată lista numerelor primite de Foma pentru telegrama prietenului său: (1, 2, 3, ..., 18).

Apoi a observat că textul cifrat diferă de original doar în ordinea schimbată a literelor. Cum se schimbă ordinea literelor este ușor de văzut folosind aceleași numere de poziție. De exemplu, Foma a putut prezenta acum textul criptat al telegramei unui prieten sub forma unei liste: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1).

Comparația acestor două liste oferă cheia pentru criptarea textului:
.

Intrarea simbolică arată astfel: „1 merge la 18”. (O notație diferită este adesea folosită în schimb: 1 ® 18.)

Direcția săgeților determină ordinea criptare text. De exemplu, o literă care apare în prima poziţie în textul cifrat ar trebui să ocupe poziţia a 18-a în textul cifrat.

Dacă direcția săgeților este schimbată în sens opus, atunci același tabel cu două linii va determina ordinea transcrieri text. De exemplu, o literă care apare în textul cifrat în a 18-a poziție trebuie să ocupe prima poziție în textul decriptat.

În cele din urmă, dacă prima linie este întotdeauna legată de textul sursă, atunci nu este nevoie să folosiți săgeți. (La criptare, textul original este textul cifrat, iar la decriptare, textul cifrat este textul cifrat.)

După ce a înțeles toate acestea, Foma a notat rapid cheia pentru a doua criptare a telegramei sale:

.

Mai rămâne doar să raportezi cumva
această cheie pentru prietenul tău - iar secretul corespondenței va fi garantat!

Dacă înțelegeți ideile lui Thomas, atunci iată motto-ul lui în formă criptată:

„pene de apă”

Este criptat cu cheia:

Probabil că deja ghiciți că puteți veni cu o mulțime de chei de criptare de acest tip. Fiecare dintre ele poate fi reprezentat ca un tabel cu două rânduri:

.

Aici linia de sus conține toate numerele naturale de la 1 la nîn ordine crescătoare. Linia de jos este obținută printr-o rearanjare a numerelor din linia de sus. Se numește întreaga masă înlocuirea ordinuluin .

ÎN Să ne întoarcem la Thomas. Utilizarea înlocuirii cheilor

a criptat un mesaj cu un singur cuvânt și l-a trimis unui prieten. A criptat din nou mesajul necriptat, dar folosind o cheie diferită:

.

El v-a adresat mesajul dublu criptat rezultat:

„snoas”.

Descifrați acest mesaj.

Puteți finaliza procesul de decriptare mult mai rapid dacă știți cum se efectuează o operație algebrică pentru înlocuiri. Această operație se numește înmulțirea substituțiilor. (Poți să-l numești altfel dacă vrei, deoarece nu are nimic de-a face cu înmulțirea obișnuită a numerelor.)

Să ne uităm la un exemplu despre cum se face. Să înmulțim înlocuirile folosite pentru a cripta mesajul către Foma:

.

Procedura de înmulțire se reduce la substituții secvențiale.

În prima înlocuire ( A) 1®5;

în a doua înlocuire ( ÎN) 5 ® 1.

Ca rezultat, obținem: 1 ® 1.

În mod similar, din „2 ® 2” și „2 ® 3” rezultă: „2 ® 3”. Efectuând încă trei argumente de acest tip, obținem substituția de produs

.

Rețineți că produsul este definit numai pentru substituții cu același număr de coloane.

Folosind substituția AB ca criptator, acum puteți într-un singur pas descifra Mesajul lui Thomas „snoas”. În același timp, controlează-te.

Dacă sunteți interesat, puteți veni cu propriile înlocuiri de codificatoare de mesaje și puteți efectua corespondență secretă cu prietenii.

În timp ce decodai mesajele, te-ai familiarizat cu operațiile algebrice pe obiecte noi - substituții.

E Dacă vreunul dintre voi este interesat nu numai de criptare, ci și de înlocuiri în sine, atunci vă puteți familiariza mai bine cu ele prin îndeplinirea următoarelor sarcini.

1. Găsiți produsele substituțiilor:

2. Găsiți o bucată VA substituiri AȘi ÎN discutat mai sus. Utilizarea substituției VA ca un codificator, descifraîncă o dată mesajul „snoas”. Comparați textul decriptat cu rezultatul decriptării anterioare.

Dacă finalizați sarcina 2, veți putea spune dacă înmulțirea prin substituție are proprietatea comutativitatea.

Se poate arăta că înmulțirea substituțiilor are proprietatea asociativitatea.

Înainte de a trece la următoarea sarcină, să ne uităm la câteva proprietăți generale ale substituțiilor.

Substituţie

numit identic. Este notat cu E.

După cum puteți stabili cu ușurință, înlocuirea identică nu schimbă textul mesajului. În acest caz, se spune că mesajul este în text clar.

O mulțime numărabilă este o mulțime infinită ale cărei elemente pot fi numerotate prin numere naturale sau este o mulțime echivalentă cu mulțimea numerelor naturale.

Uneori, mulțimile de cardinalitate egală față de orice submulțime a mulțimii de numere naturale sunt numite numărabile, adică toate mulțimile finite sunt de asemenea considerate numărabile.

O mulțime numărabilă este cea mai „mică” mulțime infinită, adică în orice mulțime infinită există o submulțime numărabilă.

Proprietăți:

1. Orice subset al unui set numărabil este cel mult numărabil.

2. Unirea unui număr finit sau numărabil de mulțimi numărabile este numărabilă.

3. Produsul direct al unui număr finit de mulțimi numărabile este numărabil.

4. Mulțimea tuturor submulților finite ale unei mulțimi numărabile este numărabilă.

5. Mulțimea tuturor submulților dintr-o mulțime numărabilă este continuă și, în special, nu este numărabilă.

Exemple de seturi numărabile:

numere prime numere întregi, Numere întregi, Numere rationale, Numere algebrice, Inel de perioadă, Numere calculabile, Numere aritmetice.

Teoria numerelor reale.

(Real = real - memento pentru noi, băieți.)

Mulțimea R conține numere raționale și iraționale.

Numerele reale care nu sunt raționale se numesc numere iraționale

Teoremă: Nu există un număr rațional al cărui pătrat egală cu numărul 2

Numere raționale: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Numere iraționale: rădăcina lui 2=1,4142356…, π=3,1415926…

Set R numere reale are urmatoarele proprietati:

1. Este ordonat: pentru oricare două numere diferite a și b una dintre cele două relații este valabilă A sau a>b