Munca efectuată de o forță asupra unei deplasări infinitezimale, numită muncă elementară, se exprimă prin formula

unde este unghiul dintre forța F și viteza v a punctului de aplicare a acesteia (Fig. 171), sau sub forma unui produs scalar:

unde este diferența vectorului rază a punctului de aplicare a forței.

Exprimând acest produs scalar prin proiecțiile vectorilor F și pe axele de coordonate, obținem o expresie analitică pentru opera elementară:

unde X, Y, Z sunt proiecții de forță pe axele de coordonate și sunt modificări infinitezimale (diferențiale) în coordonatele punctului de aplicare a forței în timpul unei mișcări elementare a acestui punct.

Dacă se aplică forța F asupra corp solid, rotindu-se în jurul unei axe fixe z, apoi

unde este unghiul elementar de rotație al corpului în jurul axei sale.

Dacă o pereche de forțe cu un moment este aplicată unui corp cu o axă de rotație fixă, atunci lucrul elementar al acestei perechi se exprimă după cum urmează:

unde este proiecția vectorului – momentul perechii pe axă.

Un interes deosebit este cazul când forța este o funcție de coordonatele punctului și, în plus,

În acest caz, există o funcție de coordonate ale cărei derivate parțiale în raport cu coordonate sunt egale cu proiecțiile forței pe axele de coordonate corespunzătoare, i.e.

O astfel de funcție se numește funcție de forță sau potențial. Astfel, dacă există o funcție de forță, atunci

adică, munca elementară a forței este egală cu diferența totală a funcției de forță. O parte limitată sau nelimitată a spațiului în care se manifestă acțiunea unei forțe care are o funcție de forță se numește câmp potențial de forță.

Locația geometrică a punctelor câmpului potențial de forță la care funcția de forță menține o valoare constantă se numește suprafață echipotențială sau suprafață de nivel.

Lucrul A a forței F pe un drum final este definit ca limita sumei lucrărilor elementare și se exprimă sub forma unei integrale curbilinii luate de-a lungul arcului traiectoriei de la punctul la punctul M:

Dacă produsul a este exprimat printr-o funcție cunoscută a coordonatei arcului s a punctului de aplicare a forței, atunci variabila de integrare este această mărime s și formula de calcul a muncii ia forma

(168)

unde sunt valorile coordonatei arcului corespunzătoare pozițiilor și M ale punctului de aplicare a forței, este proiecția forței pe tangenta la traiectoria acestui punct.

Dacă o forță cu modul constant formează un unghi constant cu linia dreaptă de-a lungul căreia se mișcă punctul său de aplicare, atunci

În cazul particular, când punctul M se mișcă în linie dreaptă sub acțiunea unei forțe constante F, îndreptată de-a lungul aceleiași drepte în direcția mișcării sau împotriva mișcării, atunci, în consecință, avem:

unde este calea parcursă de punct.

Dacă, în timpul mișcării de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe, momentul de forță aplicat acestuia este o funcție de unghiul de rotație al corpului, adică.

Lucrul unei perechi de forțe este determinat în mod similar:

Munca unei forțe care are o funcție potențială asupra unei deplasări finale este exprimată prin diferența dintre valorile acestei funcții la punctele finale și inițiale ale traseului:

adică în acest caz, munca forței nu depinde de curba de-a lungul căreia se mișcă punctul M, ci depinde doar de pozițiile sale inițiale și finale. Când studiezi mișcarea punct materialîn câmpul potențial de forță este foarte mare importanță are conceptul de energie potenţială. Energia potențială a unui punct material este un tip special de energie deținut de un punct situat într-un câmp potențial de forță. Energia potențială P este egală cu munca pe care l-ar face forța câmpului atunci când se deplasează punctul de aplicare a acesteia dintr-o poziție dată M(x, y, z) într-o poziție luată ca zero, adică.

Lucrul efectuat de o forță pe o cale finală prin energia potențială se exprimă după cum urmează:

Dacă asupra unui punct acționează mai multe forțe, atunci munca efectuată de rezultanta acestor forțe pe orice cale este egală cu suma muncii efectuate de forțele componente pe aceeași cale.

ÎN sistem tehnic Unitățile de lucru sunt măsurate în kilograme metri. În Sistemul Internațional de Unități, unitatea de lucru este 1 joule.

Puterea N caracterizează viteza cu care se efectuează munca și, în cazul general, este definită ca derivată a muncii în raport cu timpul:

adică puterea este egală produs scalar vector forță la vector viteză.

Dacă munca A este efectuată uniform, atunci puterea se determină după cum urmează:

unde este timpul în care a fost efectuată lucrarea.

Astfel, în acest caz particular, puterea este numeric egală cu munca produsă pe unitatea de timp.

În timpul mișcării de rotație a unui corp rigid în jurul unei axe fixe:

unde este momentul principal al forțelor aplicate corpului față de axa de rotație și este viteza unghiulară a corpului.

În sistemul tehnic de unități, puterea se măsoară în cai putere și

În Sistemul Internațional de Unități, unitatea de putere este

La rezolvarea problemelor de calcul a muncii și a puterii, eficiența este adesea folosită. Eficiența este raportul dintre munca sau puterea utilă și munca sau puterea forțelor motrice:

Deoarece din cauza rezistențelor nocive, atunci.

La calculul muncii, trebuie să se distingă următoarele cazuri.

1. Mișcare în linie dreaptă sub influența unei constante de forță în mărime și direcție, în probleme de acest tip se folosesc formulele (169) și (170) (problemele 756, 762).

2. Mișcarea rectilinie sub influența unei forțe, a cărei proiecție pe direcția unei traiectorii rectilinie este o funcție de distanța punctului față de un centru fix pe această dreaptă (problema nr. 768 în probleme de acest tip); , se utilizează formula (167), care, dacă axa este îndreptată de-a lungul traiectoriei punctului, ia forma

3. Mișcarea curbilinie sub influența unei forțe constante în mărime și direcție, în acest caz, se poate folosi formula (167).

4. Mișcare curbilinie sub influența unei forțe, care este în funcție de coordonatele punctului de aplicare a forței.

Aici, definiția muncii se reduce la calcularea integralei curbilinii folosind formula (167). Dacă în cazul în cauză există o funcție de forță, atunci lucrul este determinat prin formula (173) sau (176).

5. Mișcarea de rotație a unui corp rigid sub acțiunea unui cuplu constant sau a unui cuplu care este în funcție de unghiul de rotație al corpului; în acest caz, se utilizează formula (171) pentru a calcula munca.

Pentru a calcula puterea în funcție de natura mișcării, folosim formula (177) pentru mișcarea rectilinie sau curbilinie a punctului de aplicare a forței (problemele 760, 764), sau formula (179) în cazul mișcării de rotație a unui rigid. corp (problemele 771, 772, 765). Puterea medie poate fi determinată folosind formula (178).

Exemplul 131. De-a lungul tijei acţionează o forţă constantă, cu ajutorul căreia remorca este trasă de-a lungul unei căi orizontale (Fig. 172). Împingerea formează un unghi cu orizontul. Determinați munca efectuată de forța F pe traseu.

Soluţie. Aici munca este determinată de formula (169):

Exemplul 132. Un corp cu o greutate este deplasat de-a lungul unei podele orizontale folosind o forță orizontală pe o distanță. Determinați munca pe care o va face forța de frecare dacă coeficientul de frecare dintre suprafața corpului și podea este .

Soluţie. Conform legii lui Coulomb, forța de frecare este , unde N este presiunea normală a corpului pe suprafața podelei și în acest caz . Deoarece forța de frecare este îndreptată în direcția opusă mișcării, munca efectuată de această forță este negativă:

Exemplul 133. Găsiți munca efectuată de gravitație atunci când mutați un punct material din poziția în poziția M (x, y, z) și calculați, de asemenea, energia potențială a punctului din poziția M (Fig. 173).

Soluţie. Direcționând axa z vertical în sus, avem:

unde este greutatea corporală. Prin urmare, conform formulei (162)

(182)

adică munca gravitațională este egală cu produsul dintre greutatea unui punct material și diferența de înălțimi a acestuia în pozițiile inițiale și finale, iar aceste înălțimi sunt măsurate dintr-un plan orizontal ales în mod arbitrar.

Să determinăm energia potențială a unui punct pe baza formulei (175):

unde C este o constantă de integrare arbitrară.

Exemplul 134. Să se determine munca efectuată de forța elastică a unei tije întinse, la capătul căreia este suspendată o sarcină M, când această sarcină se deplasează din poziție în poziția M, dacă lungimea tijei nedeformate este egală cu, se calculează și energia potenţială a punctului din poziţia M (Fig. 174).

Soluţie. Notând forța elastică F și direcționând axa x vertical în jos, avem:

unde x este alungirea tijei, c este rigiditatea acesteia.

Prin urmare,

Exemplul 135. O forță acționează asupra unui punct material, ale cărei proiecții pe axele de coordonate sunt exprimate după cum urmează:

Determinați munca efectuată de această forță la deplasarea unui punct din poziție în poziție dacă forța este exprimată în n și coordonatele sunt în cm.

Soluţie. În primul rând, să aflăm dacă există o funcție de forță în acest caz: pentru a face acest lucru, găsim derivatele parțiale:

De aici obținem asta

adică, condițiile (164) sunt îndeplinite și funcția de forță există. Diferenţialul total al acestei funcţii este egal cu munca elementară, adică. Găsim lucrarea elementară folosind formula sau înlocuind valorile:

Această expresie este într-adevăr o diferență totală

Valorile funcției în puncte și M sunt egale:

Prin urmare, munca necesară este egală cu

Exemplul 136. Determinați lucrul forței centrale, al cărei modul este o funcție a distanței punctului material de centrul acestei forțe, adică (Fig. 175).

Soluţie. În acest caz, vectorul forță unitară este egal cu

Mai mult, semnul este ales în funcție de faptul dacă punctul M este respins din centrul de forță sau atras de acesta.

Astfel, vectorul forță F va fi exprimat astfel:

Prin urmare, folosind formula (161), avem:

Prin urmare,

adică, munca elementară este o diferenţială totală şi, prin urmare, există o funcţie de forţă, şi

Deci, în acest caz, avem o formulă generală prin care putem determina imediat funcția forță în funcție de vectorul rază a punctului de aplicare al forței și apoi să calculăm munca forței atunci când deplasăm acest punct din poziție în poziție.

Exemplul 137. Un capăt al arcului este articulat în punctul O, iar o bilă este atașată la celălalt capăt. Lungimea arcului neîntins este , rigiditate . Bila este mutată din poziție în poziție, iar arcul este întins și nu se îndoaie. Să se determine munca efectuată de forța elastică a arcului dacă

Soluţie. Modulul elastic al forței arcului în acest caz este exprimat după cum urmează.

Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Întrebări de studiu:

1. Munca de forta.

2. Energia cinetică a unui punct și a unui sistem mecanic.

3. Teorema despre modificarea energiei cinetice a unui punct.

4. Teorema privind modificarea energiei cinetice a unui sistem mecanic.

5. Câmp de forță potențial și energie potențială.

1. Munca de forta.

Munca elementară a forței este o mărime scalară infinitezimală egală cu produsul scalar dintre vectorul forță și vectorul deplasării infinite mici a punctului de aplicare a forței:

.

-increment de raza vector punctul de aplicare a forței, hodograful căruia este traiectoria acestui punct. Mișcare elementară
puncte de-a lungul traiectoriei coincide cu
datorită dimensiunilor lor mici. De aceea

Deoarece
- proiecția forței pe direcția de mișcare a punctului (pentru o traiectorie curbă - pe axa tangentei la traiectorie, atunci

,

adică numai forța tangențială lucrează, iar munca efectuată de forța normală este zero.

Dacă
Acea

Dacă
Acea

Dacă
Acea
.

Să ne imaginăm vectorii Și
prin proiecțiile lor pe axele de coordonate carteziene:

,

Munca de forta la mișcarea finală egal cu suma integrală a muncii elementare asupra acestei mişcări

.

.

Dacă forța este constantă și punctul de aplicare a acesteia se mișcă liniar, atunci

.

Munca gravitatiei

Unde h- deplasarea punctului de aplicare a forței vertical în jos (înălțime).

Când deplasați punctul de aplicare a gravitației în sus
(punct
- în partea de jos,
- de mai sus). Asa de,

.

Lucrul efectuat de gravitație nu depinde de forma traiectoriei. Când vă deplasați pe o cale închisă (
coincide cu
) munca este zero.

Lucrul forței elastice a unui arc.

Arcul se întinde numai de-a lungul axei sale X

,

Unde - cantitatea de deformare a arcului. La deplasarea punctului de aplicare a forţei
de la pozitia de jos pana in sus, directia fortei si directia miscarii coincid, atunci
.

Prin urmare, munca forței elastice

.

Lucrul forțelor aplicate unui corp rigid.

A) Munca forțelor interne

Pentru doi k - x puncte: , deoarece
şi (dovedit în cinematică) (Fig. 80).

Lucrul elementar al tuturor forțelor interne dintr-un corp solid este zero:

.

Prin urmare, la orice deplasare finită a corpului

.

b) Munca forțelor externe.

Mișcarea înainte a corpului.

Lucrare elementară a forței k-a

Pentru toată puterea

.

Din moment ce în timpul mișcării de translație, atunci

,

Unde
- proiecția vectorului principal al forțelor externe pe direcția de mișcare.

Munca forțelor la deplasarea finală

.

Rotirea unui corp în jurul unei axe fixe .

Lucrări elementare k - puterea

Unde
,
Și
- componente ale forţei de-a lungul axelor naturale

Deoarece
,
, apoi munca acestor forțe să se miște
punctul de aplicare al forței este zero. Apoi

.

Lucrări elementare k -a-a forță externă egal cu produsul momentului acestei forțe față de axa de rotație
la un unghi elementar de rotaţie
corpuri în jurul unei axe.

Munca elementară a tuturor forțelor externe

,

Unde
- momentul principal al fortelor exterioare fata de axa.

Munca forțelor la deplasarea finală

.

Dacă
, Acea

Unde
- unghiul final de rotatie;
, Unde P- numarul de rotatii ale corpului in jurul unei axe.

Putere este munca efectuată de o forță pe unitatea de timp. Dacă munca este efectuată uniform, atunci puterea

,

Unde A– munca efectuata de o forta la deplasarea finala, in timp t.

Într-un caz mai general, puterea unei forțe poate fi definită ca raportul dintre munca elementară a unei forțe dA la o perioadă elementară de timp dt, pentru care s-a făcut această lucrare, care este derivata lucrării în raport cu timpul. De aceea

Când un corp se rotește în jurul unei axe fixe

,

Unde
- viteza unghiulara de rotatie a corpului.

Unități de muncă și putere. În sistemul SI, unitatea de măsură a muncii forței este joule (1 J= 1 Nm),

Unitatea de măsură a puterii în consecință este watt (1 W = 1 J/s)

75 kgm/s = 1 l. Cu. (Cai putere).

1 kW= 1000 W= 1,36 l. Cu.

Teorema: munca gravitațională nu depinde de tipul de traiectorie și este egală cu produsul dintre modulul de forță și deplasarea verticală a punctului de aplicare a acesteia .

Lasă materialul să arate M se deplasează sub influența gravitației G iar pe o anumită perioadă de timp se mută de la poziție M 1 a pozitiona M 2 după ce a parcurs poteca s (Fig. 4).
Pe traiectoria unui punct M selectați o zonă infinitezimală ds , care poate fi considerat drept rectiliniu, iar din capetele sale tragem linii drepte, paralel cu axele coordonate, dintre care una verticală și cealaltă orizontală.
Din triunghiul umbrit obținem asta

dy = ds cos α.

Munca elementară de forță G pe un drum ds este egal cu:

dW = F ds cos α.

Muncă completă gravitatie G pe un drum s egal cu

W = ∫ Gds cos α = ∫ Gdy = G ∫ dy = Gh.

Deci, munca efectuată de gravitație este egală cu produsul forței și deplasarea verticală a punctului de aplicare:

Teorema este demonstrată.

Un exemplu de rezolvare a problemei determinării muncii gravitației

Sarcină: Matrice dreptunghiulară omogenă ABCD masa m = 4080 kg are dimensiunile indicate pe orez. 5.
Determinați munca necesară pentru a răsturna matricea în jurul unei margini D .

Soluţie.
În mod evident, munca necesară va fi egală cu munca de rezistență efectuată de forța de gravitație a matricei, în timp ce mișcarea verticală a centrului de greutate al matricei la răsturnarea unei muchii. D este calea care determină cantitatea de muncă efectuată de gravitație.

Mai întâi, să determinăm gravitația matricei: G = mg = 4080×9,81 = 40.000 N = 40 kN.

Pentru a determina mișcarea verticală h centrul de greutate al unui tablou omogen dreptunghiular (este situat în punctul de intersecție al diagonalelor dreptunghiului), folosim teorema lui Pitagora, pe baza căreia:

KO 1 = ОD – КD = √(ОК 2 + КD 2) – КD = √(3 2 +4 2) - 4 = 1 m.

Pe baza teoremei asupra muncii gravitației, determinăm munca necesară pentru răsturnarea masivului:

W = G×KO 1 = 40.000×1 = 40.000 J = 40 kJ.

Problema este rezolvată.

Lucru efectuat de o forță constantă aplicată unui corp în rotație

Să ne imaginăm un disc care se rotește în jurul unei axe fixe sub influența unei forțe constante F (Fig. 6), al cărui punct de aplicare se deplasează cu discul. Să dărâmăm puterea F în trei componente reciproc perpendiculare: F 1 - forta circumferentiala, F 2 - forta axiala, F 3 – forța radială.

La rotirea discului printr-un unghi infinitezimal dφ forta F va efectua muncă elementară, care, pe baza teoremei muncii rezultate, va fi egală cu suma muncii componentelor.

Este evident că munca componentelor F 2 Și F 3 va fi egal cu zero, deoarece vectorii acestor forțe sunt perpendiculari pe deplasarea infinitezimală ds puncte de aplicare M , deci opera elementară a forţei F egală cu munca componentei sale F 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ.

Când rotiți discul la unghiul final φ munca de forta F egal cu

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ,

unde este unghiul φ exprimată în radiani.

Din momentele componentelor F 2 Și F 3 raportat la axa z sunt egale cu zero, atunci, pe baza teoremei lui Varignon, momentul forței F raportat la axa z egal cu:

Mz (F) = F1R.

Momentul de forță aplicat discului în raport cu axa de rotație se numește cuplu și, conform standardului ISO, notat cu litera T :

T = M z (F), prin urmare, W = Tφ .

Lucrul efectuat de o forță constantă aplicată unui corp în rotație este egal cu produsul cuplului și deplasarea unghiulară.

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcină: un muncitor rotește cu forță mânerul troliului F = 200 N, perpendicular pe raza de rotație.
Găsiți de lucru petrecut în timp t = 25 de secunde, dacă lungimea mânerului r = 0,4 m, și viteza sa unghiulară ω = π/3 rad/s.

Soluţie.
În primul rând, să determinăm deplasarea unghiulară φ manere de troliu pentru 25 de secunde:

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ.

Putere

Munca făcută de orice forță poate fi făcută pe perioade diferite de timp, adică la viteze diferite. Pentru a caracteriza cât de repede se lucrează, în mecanică există un concept putere , care este de obicei notat cu litera P .

Lucrare practică pe tema: „Munca și puterea în timpul mișcării de rotație”

Scopul lucrării: sigurmaterial de studiu pe această temă, învață să rezolvi probleme.

Progres:

Material de studiu pe tema.

Scrieți o scurtă teorie.

Rezolva probleme.

Aplica pentru munca.

Răspunde la întrebări de securitate.

Scrieți o concluzie.

Scurtă teorie:

Lucru efectuat de o forță constantă aplicată unui corp în rotație

Să ne imaginăm un disc care se rotește în jurul unei axe fixe sub influența unei forțe constanteF (Fig. 6) , al cărui punct de aplicare se deplasează cu discul. Să distrugem forțaF în trei componente reciproc perpendiculare:F 1 - forta circumferentiala,F 2 - forta axiala,F 3 – forța radială.

La rotirea discului printr-un unghi infinitezimaldφ fortaF va efectua muncă elementară, care, pe baza teoremei muncii rezultate, va fi egală cu suma muncii componentelor.

Este evident că munca componentelorF 2 ȘiF 3 va fi egal cu zero, deoarece vectorii acestor forțe sunt perpendiculari pe deplasarea infinitezimalăds puncte de aplicareM , deci opera elementară a forţeiF egală cu munca componentei saleF 1 :

dW = F 1 ds = F 1 Rdφ .

Când rotiți discul la unghiul finalφ munca de fortaF egal cu

W = ∫ F 1 Rdφ = F 1 R ∫ dφ = F 1 Rφ ,

unde este unghiulφ exprimată în radiani.

Din momentele componentelorF 2 ȘiF 3 raportat la axaz sunt egale cu zero, apoi se bazează pe moment de putereF raportat la axaz egal cu:

M z (F) = F 1 R .

Momentul de forță aplicat discului în raport cu axa de rotație se numește cuplu și, conform standarduluiISO , notat cu literaT :

T = M z (F) , prin urmare,W = Tφ .

Lucrul efectuat de o forță constantă aplicată unui corp în rotație este egal cu produsul cuplului și deplasarea unghiulară .

Exemplu de rezolvare a problemei

Sarcină: un muncitor rotește cu forță mânerul troliuluiF = 200 N , perpendicular pe raza de rotație.
Găsiți de lucru petrecut în timpt = 25 de secunde , dacă lungimea mâneruluir = 0,4 m , și viteza sa unghiularăω = π/3 rad/s .

Soluţie.
În primul rând, să determinăm deplasarea unghiularăφ manere de troliu pt25 de secunde :

φ = ωt = (π/3)×25 = 26,18 rad.

W = Tφ = Frφ = 200×0,4×26,18 ≈ 2100 J ≈ 2,1 kJ .

Puterea forței aplicate unui corp care se rotește uniform este egală cu produsul dintre cuplul și viteza unghiulară .

Dacă munca este efectuată de o forță aplicată unui corp care se rotește uniform, atunci puterea în acest caz poate fi determinată prin formula:

P = W/t = Tφ/t sauP = Tω .

Opțiunea 1

Două bile de plumb de mase 0,5 și 1 kg sunt suspendate pe două corzi de lungime egală egală cu 0,8 m. Bilele sunt în contact unele cu altele. Bila cu masă mai mică a fost mutată în lateral, astfel încât cordonul să fie deviat la un unghi α = 60° și eliberat. La ce înălțime se vor ridica ambele bile după ciocnire? Impactul este considerat central și neelastic. Determinați energia cheltuită pentru deformarea bilelor la impact.

Un volant cu o masă de 4 kg se rotește liber în jurul unei axe orizontale care trece prin centrul său cu o frecvență de 720 rpm. Masa volantului poate fi considerată distribuită de-a lungul jantei sale cu o rază de 40 cm După 30 s, sub influența cuplului de frânare, volantul sa oprit. Găsiți cuplul de frânare și numărul de rotații pe care le face volantul până când se oprește complet.

Un corp de masă m=1,0 kg cade de la o înălțime h=20 m Neglijând rezistența aerului, găsiți puterea medie dezvoltată de gravitație pe traseul h și puterea instantanee la o înălțime h/2.

Opțiunea nr. 2

Volanta se rotește conform legii exprimate prin ecuație, unde A = 2 rad/s, B = 32 rad/s, C = -4 rad/s2. Găsiți puterea medieN, dezvoltat de fortele care actioneaza asupra volantului in timpul rotatiei acestuia, pana la oprire, daca momentul de inertie I = 100 kg m 2 .

Un corp de masa m se roteste pe o suprafata orizontala intr-un cerc cu raza r=100mm. Aflați munca efectuată de forța de frecare atunci când corpul se rotește printr-un unghi α=30. Coeficientul de frecare dintre corp și suprafață este k=0,2.

Prima bila cu masa m1 = 2 kg se misca cu viteza v1 = 3 m/s. A doua bila cu masa m2 = 8 kg se deplaseaza cu viteza v2 = 1 m/s. Găsiți vitezav 1 prima minge și vitezav 2 a doua minge imediat după impact, dacă: a) bilele se deplasează una spre alta; b) prima minge o ajunge din urmă pe a doua. Impactul este considerat central și absolut elastic.

naalitate (∂ f ∂ ϕ ) 2 . Aceasta arată că coeficientul de inerție al obiectului depinde

sita de la alegerea coordonatei generalizate si poate fi recalculata.

FE al unui sistem holonomic nestaționar de un grad are o structură

rotunda polinomului pătratic în raport cu viteza generalizată q & , coeficient

ale căror valori depind în general de q și t:

2T = aq & 2 + 2a 1 q & + 2a 0 , cu a = a (q ,t ), a 1 = a 1 (q ,t ), a 0 = a 0 (q ,t ) (5.10)

Dimensiunea coeficienților a , a 0 , a 1 se determină după principiul lui L. Euler: toți termenii din expresii trebuie să aibă aceeași dimensiune.

5.3. Putere de putere

Regiunea spațiului în care obiect material forta aplicata se numeste câmp de forță vectorială. Această zonă poate fi tridimensională (de exemplu, sferică) sau bidimensională sau poate reprezenta un segment al unei linii drepte sau curbe. De obicei, se crede că forța depinde doar de coordonatele (x, y, z) ale punctului de aplicare al forței, sau de una sau două coordonate, sau este constantă ca mărime și direcție. Sunt permise și cazuri când forțele depind atât de viteza punctului, cât și de timp, adică. forța este specificată în zona spațiului de coordonate, viteze și timp. Sunt cazuri în care

unde forța depinde de accelerație.

la instanta t din cadrul de referinta se numeste Oxyz

Putere de putere F

scalar egal cu produsul scalar al forței

aplicat vitezei punctului

forța v în acest sistem:

m/s=W)

Fv cos(F ,v )

Zz, (N

Conform această definiție Puterea forței este un scalar pozitiv dacă unghiul dintre forță și viteză este acut (în acest caz forța favorizează mișcarea, o creștere a energiei cinetice) și negativă dacă unghiul este obtuz (când forța încetinește mișcarea). ). Puterea forței este zero dacă forța este perpendiculară pe viteza punctului de aplicare al forței sau dacă punctul de aplicare al forței nu are viteză.

Puterile din cele două sisteme de referință sunt diferite dacă sistemele se mișcă unul față de celălalt, deci trebuie indicat sistemul de referință în care este calculată puterea forțelor.

Puterea forțelor de frecare, precum și a altor forțe disipative îndreptate împotriva mișcării, este negativă.

Puterea forței de aderență dintre roată și drum (dacă nu există alunecare a roții) este zero, deoarece punctul de aplicare al forței nu are viteză.

Să luăm în considerare cazul când forțele depind numai de poziția punctului de

U (x, y, z) este o funcție a poziției punctului de aplicare a forței, adică. – funcţia coordonatelor carteziene (sau generalizate). În acest caz, forța F (x, y, z) se numește potențial, iar „funcția de forță” U cu semnul opus se numește

energie potențială: P (x, y, z) = − U (x, y, z). Regiunea spațiului în care

pe care o forță potențială acționează asupra unui corp se numește câmp de forță potențial. Sub semnul derivatei, puteți adăuga orice constantă, astfel încât funcția de forță și energia potențială sunt determinate până la o constantă care determină nivelul de referință. În general, energia potenţială poate fi definită ca o funcţie P (q 1,..., q n) obţinută

prin transformarea puterii la forma: P = − П & (q 1 ,..., q n ) , unde q s este un generalizat

coordonate noi.

Lăsați corpul să se miște în mod arbitrar în spațiu, de exemplu. se deplasează împreună cu polul O cu viteza v O și se rotește cu viteza unghiulară ω.

Puterea unei perechi de forțe aplicate unui corp rigid nu depinde de viteza stâlpului. Este egal cu produsul scalar dintre momentul unei perechi de forțe și viteza unghiulară.

P = M			M ω cos(M ,ω			) = M xω x + M yω y + M zω z ,

unde M este momentul unei perechi de forțe, ω este viteza unghiulară a unui corp rigid, care, după cum se știe, nu depinde de alegerea polului. Puterea perechilor de forțe disipative este negativă. Puterea unei perechi de forțe nu depinde de locul în care este aplicată corpului. Puterea unei perechi de forțe de frecare în rulment este negativă, deoarece cuplul de frecare și viteza unghiulară de rotație sunt în direcții opuse.

Puterea unui sistem de forțe aplicată unui corp rigid este egală cu produsul scalar al vectorului principal R al sistemului și viteza oricărui pol al corpului, adăugat cu produsul scalar al momentului principal M 0 al forțelor relative. la acest pol și viteza unghiulară a corpului:

vO+M

Oω

pentru R = ∑ F i , M O = ∑ r i × F i .

5.4. Munca și energia potențială

Lucrul elementar al unei forțe în sistemul de coordonate selectat Oxyz (fix sau în mișcare) este o mărime infinitezimală egală cu produsul scalar al forței și deplasarea elementară a punctului de aplicare a forței în acest sistem:

d′A = F		d r = Xdx + Ydy + Zdz = F | d r | cos(F ,d r ), (N m=J)

Aici d ΄A reprezintă munca infinitezimală efectuată de o forță într-un interval de timp infinitezimal, d r este deplasarea elementară co-direcționată cu viteza punctului. Primerul indică faptul că d ΄A nu este întotdeauna o diferență completă a unei anumite funcții.

Evident, produsul Pdt este egal cu munca elementară d ΄A:

Puterea înmulțită cu un interval de timp mic ∆t este o valoare aproximativă a muncii ∆A a forței în acest interval, puterea este aproximativ egală cu munca forței în 1 secundă. Lucrul efectuat de o forță într-un interval de timp finit se numește integrala definita de la putere de-a lungul timpului:

A12 = ∫ Pdt = ∫			v dt pentru v = r & = dr / dt .

Pentru a calcula munca folosind această formulă generală, este necesar să cunoaștem puterea în funcție de timp sau forța și viteza ca funcții numai de timpul t. Dar în unele cazuri speciale (cazul forței potențiale, cazul forței de frecare constantă cu o direcție constantă de mișcare), este posibil să se calculeze lucrul fără a utiliza ecuațiile cinematice ale mișcării punctului de aplicare a forței; este suficient să se cunoască doar poziţia iniţială şi finală a punctului.

Să considerăm mișcarea punctului de aplicare a forței în raport cu două sisteme de referință care se mișcă unul față de celălalt. Viteza punctului în cele două sisteme este diferită, prin urmare puterea forței va fi diferită. Astfel, conceptele de putere și muncă sunt formulate în raport cu un sistem de referință specific, în principal în raport cu ISO sau PSO (sisteme de referință inerțiale sau translaționale).

Definiție Forța F se numește potențial, iar câmpul său de forță este

câmp de forță potențial, dacă sunt îndeplinite două condiții:

1) Forța îndeplinește una dintre următoarele condiții: forța este constantă ca mărime și direcție F = const sau depinde numai de coordonatele punctului (toate trei sau parțial) de aplicare a acesteia, adică. F = F(x, y, z).

2) Lucrul elementar d ′ A a unei forțe este diferența totală a unei funcții de coordonate, sau puterea forței în orice moment este egală cu derivata în timp totală a unei funcții Π (x, y, z)

Funcția P(x,y,z), obținută prin transformarea expresiei muncii elementare, sau din expresia puterii, se numește

energia potențială a câmpului de forță potențial în punctul M(x, y, z).

Astfel vector Câmp de forță forțele F(x, y, z) sunt potrivite

un câmp mai simplu din punct de vedere matematic al unei funcții scalare a trei variabile P(x, y, z), fie o funcție a două variabile P(x,y), fie o funcție a unei variabile P(x)

Energia potențială poate fi reprezentată nu numai în Sistemul cartezian coordonate, dar și în sistemele de coordonate cilindrice, sferice, în general este o funcție a unor coordonate generalizate

nat P(q 1, q 2, q 3).

Suprafețele definite de ecuația P(q 1, q 2, q 3) = C, unde C este un parametru constant atribuit arbitrar, sunt numite suprafete echipotentiale.

Rețineți că sub semnul diferențial puteți adăuga sau scădea oricând orice constantă, astfel încât funcția Π din formula (5.18) să fie determinată până la o constantă. Constanta este atribuită în mod arbitrar, de exemplu, setată egală cu zero, alegând astfel nivelul de referință al familiei de suprafețe echipotențiale.

Puterea forței potențiale este egală cu produsul luat cu semnul minus

apa in timp din energia potentiala P = −Π & . Să substituim această expresie în integrala definită (5.17). Să obținem o expresie pentru munca forței potențiale asupra deplasării finale a punctului de aplicare a forței, efectuată pe o perioadă finită de timp:

A 12 = P(x 1, y 1, z 1) – P(x 2, y 2, z 2) = P1 – P2.

Astfel, munca unei forțe potențiale atunci când se mișcă în spatele unui in-

intervalul de la punctul M 1 (x 1, y 1, z 1) până la punctul M 2 (x 2, y 2, z 2) de-a lungul oricărei traiectorii este egal cu pierderea de energie potențială în timpul acestei mișcări, adică. egal cu diferit

legături ale energiilor potențiale la primul și al doilea punct al câmpului potențial. Munca efectuată de o forță potențială nu depinde de forma traiectoriei care leagă două puncte. În special, lucrul unei forțe potențiale pe orice traiectorie închisă este egal cu zero, iar lucrul când punctul de aplicare al forței se deplasează de la suprafața echipotențială P=C1 la suprafața P=C2 este egal cu

constante sti: A12 = C1 - C2.

Caz special Ca punct inițial M 1 (x 1 , y 1 , z 1 ) luăm orice punct M (x , y , z ) al câmpului potențial și ca M 2 (x 2 , y 2 , z 2 ) avem luați un astfel de câmp punctual M (x O , y O , z O ), în care energia potențială este luată egală cu

Obținem următoarea interpretare fizică. Energia potențială în orice punct M al câmpului potențial este egală cu munca forței aplicate atunci când se deplasează punctul său de aplicare din poziția M de-a lungul oricărei traiectorii netede sau nenetede până la o poziție în care energia potențială este luată egală cu zero, și este, de asemenea, egală cu munca de forță luată cu semnul minus la deplasarea în poziția M (x,y,z) din poziția „zero”, în care energia potențială este luată egală cu zero.

Exemplul 1 Să aflăm energia potențială a gravitației G = − Gk, pro-

direcționat opus cu vectorul unitar k al axei verticale Oz a sistemului Oxyz. Folosind metoda elementară obținem:

d ΄A = G x dx + G y dy + G z dz = –Gdz = – d (Gz) => П = Gz.

Folosind metoda puterii pe care o obținem

P = G x x & +G y y & +G z z & = −Gz & = −(Gz ) Π = Gz .

Astfel, energia potențială a gravitației este egală cu produsul dintre greutatea punctului material și înălțimea locației punctului M deasupra planului Oxy, îndeplinind condiția z = 0. Aici i se atribuie planului Oxy.

planul echipotenţial zero. Energia potențială gravitațională este negativă în punctele situate sub planul Oxy, la z< 0. На любых горизонтальных плоскостях данная потенциальная энергия одинакова во всех точках, т.е. горизонтальные плоскости являются эквипотенциальными поверхностями. Работа силы тяжести на перемещении с плоскости уровня z = z 1 на плоскость z = z 2 определяется по формуле:

A 12 = P1 – P2 = G (z 1 – z 2 ) = ± Gh la h = |z 1 –z 2 |.

Această muncă este proporțională cu diferența (pierderea) de niveluri este negativă dacă primul nivel este mai mic decât al doilea.

Notă. Dacă axa Oz este îndreptată în jos, obținem o formulă cu semnul opus: P = –Gz.

Exemplul 2. Energia potențială a forței elastice a unui arc. Câmpul de forță al unui arc orizontal are forma unei axe orizontale Ox. Originea axei este compatibilă cu capătul liber al arcului neformat, x este deformarea de tracțiune a arcului la x > 0 sau deformarea de compresie a arcului la x< 0. Упругая сила пружины F = − cxi , где i - орт оси x . Она всегда направлена противоположно деформации. Методом мощности находим потенциальную энергию силы упругости

P = Fx x = − c x x = − (c x					Π = cx

Să ne imaginăm că arcul este întins foarte încet de o forță externă,

crescând încet de la zero la valoarea F in = cxi. Presupunem că în fiecare moment forța elastică a arcului echilibrează forța externă.

Valoarea medie a forței F ext pe interval este egală cu: F cр = cx / 2.

Forța elastică a arcului, în timp ce face o muncă negativă pentru a rezista întinderii, stochează potențialul pozitiv în primăvară

energie egală cu Π = F x = cx 2 / 2.
Lucrul forței elastice la deformare				X 2 − x 1 este egal cu A 12 = (x 2 2 – x 1 2 )c /2.
Evident A 12< 0 при x1 < x2 и A 12 >0 pentru x1 > x2
	3. Gravitația Pământului			conform legii inversului pătratului:
F = γ m m / r2 ,			= − γ m m r / r 3 , unde r este vectorul rază a punctului material din

sistem de referință geocentric, γ = 6,672 10–11 (m3 /(kg s2) - gravitație constantă

goteny, r / r = e - ort al vectorului razei corpului (punctul material) desenat din centrul Pământului, m 1 = 6 1024 (kg) - masa Pământului, m - masa corpului, γm 1 =

3986·1011 (m3/s2) - constantă gravitațională geocentrică. Luand in considerare

identități r r = r 2 ,

γ m1 m

γ m1 m

γ m1 m

γ m1 m

d A = −

r dr = −

dr = d (−

Π(r) = −

Rețineți că P(r)→0 ca r →∞, prin urmare, energia potențială

la infinit se ia egal cu zero.

"