Axioma completității (continuității). Axiome ale numerelor reale Axiome ale mulțimii numerelor reale

15. Dacă seturile A și B sunt nevide numere reale sunt de așa natură încât pentru orice și inegalitatea a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Axioma completității este valabilă numai în R.

Se poate dovedi că între orice numere raționale inegale se poate introduce întotdeauna un număr rațional inegal.

Din axiomele date mai sus se poate deduce unicitatea lui zero și unu, existența și unicitatea diferenței și a coeficientului. Să remarcăm în plus proprietățile inegalităților care sunt utilizate pe scară largă în diferite transformări:

1. Dacă a< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Dacă a< b, то –a >–b .

3. Dacă a > 0, b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (Cel din urmă este valabil și pentru a > 0, b > 0.)

4. Dacă 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Dacă a< b, c >0, apoi ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Dacă 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Pentru orice numere pozitive a și b, există un număr nО N astfel încât na > b (axiomă Arhimede, pentru segmentele de lungime a, b, na).

Se folosesc următoarele notații pentru mulțimile numerice:

N – set de numere naturale;

Z – set de numere întregi;

Q – o multime de numere rationale;

eu – set de numere iraționale;

R – set de numere reale;

R + – mulţime de numere reale pozitive;

R_ – set de numere negative reale;

R 0 – mulţime de numere reale nenegative;

C este mulțimea numerelor complexe (definiția și proprietățile acestei mulțimi sunt discutate în secțiunea 1.1).

Să introducem conceptul de mărginire pe mulțimea numerelor reale. Acesta va fi utilizat în mod activ în discuțiile ulterioare.

Vom numi o mulțime LIMITATĂ SUS (DE JOS) dacă există un astfel de număr real M ( m ) că orice element satisface inegalitatea:

Numărul M se numește MARȚĂ SUPERIOARĂ A MULTIMII A, iar numărul m – MARGINA INFERIOR a acestui set.

O mulțime mărginită deasupra și dedesubt se numește mărginită.

O multime de N numerele naturale sunt mărginite mai jos, dar nu sunt mărginite deasupra. Set de numere întregi Z nelimitat nici mai jos, nici deasupra.

Dacă avem în vedere mulţimea ariilor triunghiurilor arbitrare înscrise într-un cerc de diametru D , atunci este limitat de jos cu zero, iar de sus – aria oricărui poligon care include un cerc (în special, aria pătratului circumscris, egală cu D 2 ).

Orice mulțime mărginită deasupra (dedesubt) are infinite de fețe superioare (inferioare). Atunci, există cea mai mică dintre toate limitele superioare și cea mai mare dintre toate limitele inferioare?

Vom suna la numarul supremul unui set mărginit deasupra AÌ R , Dacă:

1. este una dintre limitele superioare ale setului A ;

2. este cea mai mică dintre limitele superioare ale mulțimii A . Cu alte cuvinte, număr real este supremul setului AÌ R , Dacă:

Desemnare acceptată

Introdu in acelasi mod: – infim al unui set mărginit mai jos A și denumirile corespunzătoare

În latină: supremum - cel mai înalt, infimum - cel mai jos.

Fețele exacte ale unui set îi pot aparține sau nu.

TEOREMA. Un set nevid de numere reale mărginite deasupra (dedesubt) are o limită superioară (inferioară).

Vom accepta această teoremă fără dovezi. De exemplu, dacă , atunci limita superioară poate fi considerată numărul 100, cea inferioară – 10 și . Daca atunci. În al doilea exemplu, limitele exacte nu aparțin acestui set.

Pe mulțimea numerelor reale se pot distinge două submulțimi disjunse de numere algebrice și transcendentale.

NUMERELE ALGEBRICE sunt numere care sunt rădăcini ale unui polinom

ai căror coeficienţi – numere întregi.

În algebra superioară se demonstrează că mulțimea rădăcinilor complexe ale unui polinom este finită și egală cu n. ( Numere complexe sunt o generalizare a celor reale). Mulțimea numerelor algebrice este numărabilă . Include toate numerele raționale, de la numerele formei

satisface ecuația

De asemenea, s-a dovedit că există numere algebrice care nu sunt radicali ai numerelor raționale. Acest rezultat foarte important a oprit încercările infructuoase de a găsi soluții la ecuații de grad mai mare de patru în radicali. Căutările de secole ale algebriștilor care au studiat această problemă au fost rezumate de matematicianul francez E. Galois, care a murit în mod absurd la vârsta de 21 de ani. A lui lucrări științifice au doar 60 de pagini, dar au fost o contribuție genială la dezvoltarea matematicii.

Tânărul, care a iubit cu pasiune și necontrolat această știință, a încercat de două ori să intre în cel mai prestigios instituție educațională Franța la acea vreme – scoala politehnica – fără succes. A început să studieze la un privilegiat Liceu – exmatriculat din cauza unui conflict cu directorul. Devenit prizonier politic după ce a vorbit împotriva lui Louis Philippe, a transferat din închisoare la Academia de Științe din Paris un manuscris cu un studiu al soluției ecuației în radicali. Academia a respins această lucrare. O moarte absurdă într-un duel a pus capăt vieții acestui om extraordinar.

O mulțime care este diferența dintre mulțimile de numere reale și algebrice se numește mulțime de NUMERE TRANSCENDENTE . Evident, fiecare număr transcendental nu poate fi rădăcina unui polinom cu coeficienți întregi.

În același timp, demonstrarea transcendenței oricăror numere individuale a cauzat dificultăți enorme.

Abia în 1882, un profesor de la Universitatea din Konigsberg, F. Lindemann, a reușit să demonstreze transcendența numărului, din care a devenit clar că era imposibil de rezolvat problema pătrarii unui cerc (a construi un pătrat cu aria unui cerc dat folosind o busolă și o riglă). Vedem că ideile de algebră, analiză și geometrie se pătrund reciproc.

Introducerea axiomatică a numerelor reale este departe de a fi singura. Aceste numere pot fi introduse prin combinarea mulțimii numerelor raționale și iraționale, sau ca zecimale infinite, sau prin tăierea mulțimii numerelor raționale.

*1) Acest material este preluat din capitolul 7 al cărții:

L.I. Lurie FUNDAMENTE DE MATEMATICĂ SUPERIORĂ / Tutorial/ M.: Societatea de publicare și comerț „Dashkov and Co”, - 2003, - 517 P.

La cursul şcolar de matematică, numerele reale au fost definite în mod constructiv, pe baza necesităţii de a efectua măsurători. Această definiție nu a fost strictă și a condus adesea cercetătorii în fundături. De exemplu, problema continuității numerelor reale, adică există goluri în acest set. Prin urmare, atunci când se efectuează cercetări matematice, este necesar să existe o definiție strictă a conceptelor studiate, cel puțin în cadrul unor ipoteze intuitive (axiome) care sunt în concordanță cu practica.

Definiție: un set de elemente x, y, z, …, constând din mai mult de un element, numit set R numere reale, dacă pentru aceste obiecte se stabilesc următoarele operații și relații:

I grup de axiome– axiomele operaţiei de adunare.

In abundenta R a fost introdusă operația de adunare, adică pentru orice pereche de elemente AȘi b Cantitate si desemnat A + b
eu 1. A+b=b+A, a, b R .

eu 2. A+(b+c)=(a+b)+c,A, b, c R .

I 3. Există un astfel de element numit zeroși notat cu 0, care pentru orice A R condiția este îndeplinită A+0=A.

eu 4. Pentru orice element A R există un element numit opusși notat cu - A, pentru care A+(-A)=0. Element A+(-b), A, b R , numit diferență elemente AȘi b si este desemnat A - b.

II – grupa de axiome - axiomele operației de înmulțire. In abundenta R operațiune introdusă multiplicare, adică pentru orice pereche de elemente AȘi b este definit un singur element, numit ele muncă si desemnat a b, astfel încât să fie îndeplinite următoarele condiții:
II 1. ab=ba,a, b R .

II 2 A(bc)=(ab)c, A, b, c R .

II 3. Există un element numit unitateși notat cu 1, care pentru orice A R condiția este îndeplinită A 1=A.

II 4. Pentru oricine A 0 există un element numit versoși notat cu sau 1/ A, pentru care A=1. Element A , b 0, numit privat din diviziune A pe b si este desemnat A:b sau sau A/b.

II 5. Relația dintre operațiile de adunare și înmulțire: pentru oricare A, b, c R condiția este îndeplinită ( ac + b)c=ac+bc.

O colecție de obiecte care satisface axiomele grupelor I și II se numește câmp numeric sau pur și simplu câmp. Și axiomele corespunzătoare se numesc axiome de câmp.

III – al treilea grup de axiome - axiome de ordine. Pentru elemente R relația de ordine este definită. Este după cum urmează. Pentru oricare două elemente diferite AȘi b una dintre cele două relaţii este valabilă: fie A b( citeste " A mai putin sau egal b"), sau A b( citeste " A mai mult sau egal b"). Se presupune că sunt îndeplinite următoarele condiții:

III 1. A A pentru fiecare A. Din A b, b ar trebui să a=b.

III 2. Tranzitivitatea. Dacă A bȘi b c, Acea A c.

III 3. Dacă A b, apoi pentru orice element c apare A+c b+c.

III 4. Dacă A 0, b 0, Acea ab 0 .

Grupul IV de axiome este format dintr-o axiomă - axioma continuității. Pentru orice seturi negoale XȘi Y din R astfel încât pentru fiecare pereche de elemente X XȘi y Y inegalitatea este valabilă X < y, există un element A R, îndeplinind condiția

Orez. 2

X < A < y, X X, y Y(Fig. 2). Proprietățile enumerate definesc complet mulțimea numerelor reale în sensul că toate celelalte proprietăți ale acestuia decurg din aceste proprietăți. Această definiție definește în mod unic mulțimea numerelor reale până la natura specifică a elementelor sale. Avertismentul că o mulțime conține mai mult de un element este necesară deoarece o mulțime constând doar din zero satisface în mod evident toate axiomele. În cele ce urmează, vom numi elementele mulțimii R numere.

Să definim acum conceptele familiare ale numerelor naturale, raționale și iraționale. Numerele 1, 2 1+1, 3 2+1, ... sunt numite numere naturale, iar setul lor este notat N . Din definiția mulțimii numerelor naturale rezultă că are următoarea proprietate caracteristică: Dacă

1) A N ,

3) pentru fiecare element x A includerea x+ 1 A, apoi o=N .

Într-adevăr, conform condiției 2) avem 1 A, prin urmare, prin proprietatea 3) și 2 A, iar apoi conform aceleiași proprietăți obținem 3 A. Din moment ce oricare numar natural n se obtine din 1 prin adaugarea succesiva a aceluiasi 1, apoi n A, adică N A, iar din moment ce prin condiția 1 includerea A N , Acea A=N .

Principiul demonstrației se bazează pe această proprietate a numerelor naturale prin inductie matematica. Dacă există mai multe enunțuri, fiecăruia fiind atribuit un număr natural (numărul său) n=1, 2, ..., iar dacă se dovedește că:

1) afirmația numărul 1 este adevărată;

2) din valabilitatea enunţului cu orice număr n N urmărește valabilitatea enunțului cu număr n+1;

atunci validitatea tuturor afirmațiilor este astfel dovedită, i.e. orice declarație cu un număr arbitrar n N .

numerele 0, + 1, + 2, ... se numește numere întregi, se notează setul lor Z .

Numerele formularului m/n, Unde mȘi nîntreg, și n 0, sunt numite numere rationale. Mulțimea tuturor numerelor raționale se notează cu Q .

Se numesc numere reale care nu sunt raționale iraţional, se notează setul lor eu .

Se pune întrebarea că poate numerele raționale epuizează toate elementele mulțimii R? Răspunsul la această întrebare este dat de axioma continuității. Într-adevăr, această axiomă nu este valabilă pentru numerele raționale. De exemplu, luați în considerare două seturi:

Este ușor de observat că pentru orice element și inegalitatea . in orice caz raţional nu există niciun număr care să separe aceste două seturi. De fapt, acest număr poate fi doar , dar nu este rațional. Acest fapt indică faptul că există numere iraționale în mulțime R.

În afară de patru operatii aritmetice Cu numere puteți efectua operațiunile de exponențiere și extragerea rădăcinilor. Pentru orice număr A R si naturala n grad un n este definit ca produs n factori egali A:

A-prioriu A 0 1, A>0, A- n 1/ A n, A 0, n- numar natural.

Exemplu. Inegalitatea lui Bernoulli: ( 1+x)n> 1+nx Demonstrați prin inducție.

Lăsa A>0, n- numar natural. Număr b numit rădăcină n gradul dintre A, Dacă b n =a. In acest caz este scris . Existența și unicitatea unei rădăcini pozitive de orice grad n din orice număr pozitiv va fi dovedit mai jos în secțiunea 7.3.
Chiar și rădăcină, A 0 are două sensuri: dacă b = , k N , apoi -b= . Într-adevăr, din b 2k = A urmează că

(-b)2k = ((-b) 2 )k = (b 2)k = b 2k

O valoare nenegativă se numește ei valoare aritmetică.
Dacă r = p/q, Unde pȘi qîntreg, q 0, adică r este un număr rațional, atunci pentru A > 0

(2.1)

Astfel, gradul a r definit pentru orice număr rațional r. Din definiţia sa rezultă că pentru orice raţional r exista egalitate

a -r = 1/a r.

grad un x(număr X numit exponent) pentru orice număr real X se obține folosind propagarea continuă a gradului cu un exponent rațional (a se vedea secțiunea 8.2 pentru mai multe informații). Pentru orice număr A R număr nenegativ

se numeste valoare absolută sau modul. Pentru valori absolute numerele inegalitățile sunt valide

|A + b| < |A| + |b|,
||A - b|| < |A - b|, A, b R

Ele sunt dovedite folosind proprietățile I-IV ale numerelor reale.

Rolul axiomei continuității în construcția analizei matematice

Semnificația axiomei continuității este de așa natură încât fără ea o construcție riguroasă a analizei matematice este imposibilă. [ sursa nespecificata 1351 zile] Pentru a ilustra, prezentăm câteva afirmații fundamentale de analiză, a căror demonstrație se bazează pe continuitatea numerelor reale:

· (teorema lui Weierstrass). Fiecare succesiune crescătoare monotonă mărginită converge

· (teorema Bolzano-Cauchy). O funcție continuă pe un segment care ia valori la capete semn diferit, dispare într-un punct interior al segmentului

· (Existența puterii, exponențială, logaritmică și toate funcții trigonometriceîn întreg domeniul „natural” al definiției). De exemplu, este dovedit că pentru toată lumea și pentru întreg există , adică o soluție a ecuației. Acest lucru vă permite să determinați valoarea expresiei pentru toate rațiunile:

În cele din urmă, din nou datorită continuității dreptei numerice, este posibil să se determine valoarea expresiei pentru una arbitrară. În mod similar, folosind proprietatea continuității, existența unui număr este dovedită pentru orice .

Pentru o lungă perioadă istorică, matematicienii au dovedit teoreme din analiză, în „locuri subtile” referindu-se la justificarea geometrică și, mai des, sărind peste ele pentru că era evident. Conceptul extrem de important al continuității a fost folosit fără nicio definiție clară. Abia în ultima treime a secolului al XIX-lea matematicianul german Karl Weierstrass a aritmetizat analiza, construind prima teorie riguroasă a numerelor reale ca fracții zecimale infinite. El a propus definiția clasică a unei limite în limbă, a dovedit o serie de afirmații care fuseseră considerate „evidente” înaintea lui și a finalizat astfel construcția fundamentului analizei matematice.

Ulterior, au fost propuse și alte abordări pentru determinarea unui număr real. În abordarea axiomatică, continuitatea numerelor reale este evidențiată în mod explicit ca o axiomă separată. În abordările constructive ale teoriei numerelor reale, de exemplu, când se construiesc numere reale folosind secțiuni Dedekind, proprietatea continuității (într-o formă sau alta) este dovedită ca o teoremă.

Alte formulări ale proprietății continuității și propoziții echivalente[modifica | editați textul wiki]

Există mai multe afirmații diferite care exprimă proprietatea de continuitate a numerelor reale. Fiecare dintre aceste principii poate fi folosit ca bază pentru construirea teoriei numărului real ca axiomă a continuității, iar toate celelalte pot fi derivate din aceasta. Această problemă este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Continuitate după Dedekind[editează | editați textul wiki]

Articolul principal:Teoria tăierilor în domeniul numerelor raționale

Dedekind ia în considerare problema continuității numerelor reale în lucrarea sa „Continuitate și numere iraționale”. În ea, el compară numere raționale cu puncte de pe o dreaptă. După cum se știe, se poate stabili o corespondență între numerele raționale și punctele de pe o dreaptă atunci când pe linie se alege punctul de plecare și unitatea de măsură a segmentelor. Folosind acesta din urmă, puteți construi un segment corespunzător pentru fiecare număr rațional și, amânând-l la dreapta sau la stânga, în funcție de faptul că există un număr pozitiv sau negativ, puteți obține un punct corespunzător numărului. Astfel, pentru fiecare număr rațional îi corespunde unul și un singur punct pe linie.

Se dovedește că există infinit de multe puncte pe linie care nu corespund niciunui număr rațional. De exemplu, un punct obținut prin trasarea lungimii diagonalei unui pătrat construit pe un segment unitar. Astfel, regiunea numerelor raționale nu are asta completitudine, sau continuitate, care este inerent unei linii drepte.

Pentru a afla în ce constă această continuitate, Dedekind face următoarea remarcă. Dacă există un anumit punct pe o linie, atunci toate punctele de pe linie se împart în două clase: puncte situate la stânga și punctele situate la dreapta. Punctul în sine poate fi atribuit în mod arbitrar fie clasei inferioare, fie clasei superioare. Dedekind vede esența continuității în principiul invers:

Din punct de vedere geometric, acest principiu pare evident, dar nu suntem în stare să-l dovedim. Dedekind subliniază că, în esență, acest principiu este un postulat care exprimă esența acelei proprietăți atribuite directului, pe care o numim continuitate.

Pentru a înțelege mai bine esența continuității dreptei numerice în sensul lui Dedekind, luați în considerare o secțiune arbitrară a mulțimii numerelor reale, adică împărțirea tuturor numerelor reale în două clase nevide, astfel încât toate numerele dintr-o clasă se află pe linia numerică din stânga tuturor numerelor celei de-a doua. Aceste clase sunt denumite în mod corespunzător inferiorȘi clase superioare secțiuni. În teorie există 4 posibilități:

1. Clasa inferioară are un element maxim, clasa superioară nu are un minim

2. Clasa inferioară nu are un element maxim, dar clasa superioară are un minim

3. Clasa inferioară are elementele maxime, iar clasa superioară are elementele minime

4. Nu există un element maxim în clasa inferioară și nici un element minim în clasa superioară

În primul și al doilea caz, elementul maxim al fundului sau, respectiv, elementul minim al vârfului, produce această secțiune. În al treilea caz avem salt, iar în al patrulea - spaţiu. Astfel, continuitatea dreptei numerice înseamnă că în mulțimea numerelor reale nu există salturi sau goluri, adică, la figurat vorbind, nu există goluri.

Dacă introducem conceptul de secțiune a unui set de numere reale, atunci principiul continuității lui Dedekind poate fi formulat după cum urmează.

Principiul de continuitate (completitudine) al lui Dedekind. Pentru fiecare secțiune a mulțimii numerelor reale, există un număr care produce această secțiune.

Cometariu. Formularea Axiomei Continuității despre existența unui punct care separă două mulțimi amintește foarte mult de formularea principiului continuității lui Dedekind. În realitate, aceste afirmații sunt echivalente și sunt în esență formulări diferite ale aceluiași lucru. Prin urmare, ambele afirmații sunt numite Principiul lui Dedekind al continuității numerelor reale.

Lema pe segmente imbricate (principiul Cauchy-Cantor)[editează | editați textul wiki]

Articolul principal:Lema pe segmente imbricate

Lema pe segmente imbricate (Cauchy - Cantor). Orice sistem de segmente imbricate

are o intersecție nevidă, adică există cel puțin un număr care aparține tuturor segmentelor unui sistem dat.

Dacă, în plus, lungimea segmentelor unui sistem dat tinde spre zero, adică

atunci intersecția segmentelor acestui sistem constă dintr-un punct.

Această proprietate se numește continuitatea multimii numerelor reale in sensul lui Cantor. Mai jos vom arăta că pentru câmpurile ordonate arhimediene, continuitatea după Cantor este echivalentă cu continuitatea după Dedekind.

Principiul supremum[editează | editați textul wiki]

Principiul supremum. Fiecare set nevid de numere reale mărginite mai sus are un supremum.

În cursurile de calcul, această propoziție este de obicei o teoremă și demonstrația ei folosește, în esență, continuitatea mulțimii de numere reale într-o anumită formă. În același timp, se poate, dimpotrivă, postula existența unui supremum pentru orice mulțime nevidă mărginită mai sus, și bazându-se pe aceasta pentru a demonstra, de exemplu, principiul continuității conform lui Dedekind. Astfel, teorema supremului este una dintre formulările echivalente ale proprietății de continuitate a numerelor reale.

Cometariu. În loc de supremum, se poate folosi conceptul dual de infimum.

Principiul infimului. Fiecare set nevid de numere reale mărginite de jos are un infim.

Această propunere este, de asemenea, echivalentă cu principiul continuității lui Dedekind. Mai mult, se poate demonstra că enunțul teoremei supremului decurge direct din enunțul teoremei infimei și invers (vezi mai jos).

Lema de acoperire finită (principiul Heine-Borel)[editează | editați textul wiki]

Articolul principal:Heine-Borel Lema

Lema de acoperire finită (Heine - Borel). În orice sistem de intervale care acoperă un segment, există un subsistem finit care acoperă acest segment.

Lema punctului limită (principiul Bolzano-Weierstrass)[editează | editați textul wiki]

Articolul principal:Teorema Bolzano-Weierstrass

Lema punctului limită (Bolzano - Weierstrass). Fiecare set infinit de numere limitate are cel puțin un punct limită.

Echivalența propozițiilor care exprimă continuitatea mulțimii numerelor reale[modifica | editați textul wiki]

Să facem câteva observații preliminare. Conform definiției axiomatice a unui număr real, mulțimea numerelor reale satisface trei grupuri de axiome. Primul grup este axiomele de câmp. A doua grupă exprimă faptul că mulțimea numerelor reale este o mulțime ordonată liniar, iar relația de ordine este consecventă cu operațiile de bază ale câmpului. Astfel, primul și al doilea grup de axiome înseamnă că mulțimea numerelor reale reprezintă un câmp ordonat. Al treilea grup de axiome este format dintr-o axiomă - axioma continuității (sau completității).

Pentru a arăta echivalența diferitelor formulări ale continuității numerelor reale, este necesar să se demonstreze că, dacă una dintre aceste afirmații este valabilă pentru un câmp ordonat, atunci validitatea tuturor celorlalte rezultă din aceasta.

Teorema. Fie o mulțime arbitrară ordonată liniar. Următoarele afirmații sunt echivalente:

1. Oricare ar fi mulțimile nevide și astfel încât pentru oricare două elemente și inegalitatea este valabilă, există un element astfel încât pentru toate și relația este valabilă

2. Pentru fiecare secțiune din există un element care produce această secțiune

3. Fiecare mulțime nevidă mărginită mai sus are un supremum

4. Fiecare mulţime nevidă mărginită de jos are un infim

După cum se poate observa din această teoremă, aceste patru propoziții folosesc doar faptul că este introdusă relația de ordine liniară și nu folosesc structura câmpului. Astfel, fiecare dintre ele exprimă proprietatea de a fi o mulțime ordonată liniar. Această proprietate (a unei mulțimi ordonate liniar arbitrar, nu neapărat a mulțimii numerelor reale) este numită continuitate sau completitudine, conform lui Dedekind.

Demonstrarea echivalenței altor propoziții necesită deja prezența unei structuri de câmp.

Teorema. Fie un câmp ordonat arbitrar. Următoarele propoziții sunt echivalente:

1. (ca o mulțime ordonată liniar) este Dedekind complet

2. Pentru a îndeplini principiul lui ArhimedeȘi principiul segmentelor imbricate

3. Căci principiul Heine-Borel este satisfăcut

4. Principiul Bolzano-Weierstrass este îndeplinit

Cometariu. După cum se poate vedea din teoremă, principiul segmentelor imbricate în sine nu echivalent Principiul de continuitate al lui Dedekind. Din principiul continuității lui Dedekind urmează principiul segmentelor imbricate, dar pentru invers este necesar să se ceară suplimentar ca câmpul ordonat să satisfacă axioma lui Arhimede.

Dovada teoremelor de mai sus poate fi găsită în cărțile din lista de referințe de mai jos.

· Kudryavtsev, L.D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M.: „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fikhtengolts, G. M. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a VII-a. - M.: „FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Continuitate și numere iraționale = Stetigkeit und irationale Zahlen. - a 4-a ediție revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.

· Zorich, V. A. Analiza matematică. Partea I. - Ed. 4, corectat - M.: „MCNMO”, 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.

· Continuitatea funcţiilor şi domeniilor numerice: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - Ed. a 3-a. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.

4.5. Axioma continuității

Oricare ar fi cele două mulțimi nevide de numere reale A și

B , pentru care pentru orice elemente a ∈ A și b ∈ B inegalitatea

a ≤ b, există un număr λ astfel încât pentru tot a ∈ A, b ∈ B este valabil următoarele:

egalitatea a ≤ λ ≤ b.

Proprietatea de continuitate a numerelor reale înseamnă că pe real

nu există „goluri” în linia venei, adică punctele care reprezintă numerele se umplu

întreaga axă reală.

Să dăm o altă formulare a axiomei continuității. Pentru a face acest lucru, vă prezentăm

Definiție 1.4.5. Vom numi două mulțimi A și B o secțiune

set de numere reale, dacă

1) seturile A și B nu sunt goale;

2) unirea multimilor A si B constituie multimea tuturor realelor

numere;

3) fiecare număr din setul A este mai mic decât un număr din setul B.

Adică, fiecare set care formează o secțiune conține cel puțin unul

element, aceste mulțimi nu conțin elemente comune și, dacă a ∈ A și b ∈ B, atunci

Vom numi setul A clasa inferioară, iar setul B clasa superioară.

clasa de sectiune. Vom nota secțiunea cu A B.

Cele mai simple exemple de secțiuni sunt secțiunile obținute în continuare

mod suflant. Să luăm un număr α și să punem

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

sunt tăiate și dacă a ∈ A și b ∈ B, atunci a< b , поэтому множества A и B образуют

secțiune. În mod similar, puteți forma o secțiune pe seturi

A =(x x ≤ α ) , B =(x x > α ) .

Vom numi astfel de secțiuni secțiuni generate de numărul α sau

vom spune că numărul α produce această secțiune. Acest lucru poate fi scris ca

Secțiunile generate de orice număr au două interesante

proprietati:

Proprietatea 1. Fie clasa superioară conține cel mai mic număr, și cel mai mic

clasa nu are cel mai mare număr, sau clasa inferioară conține cel mai mare număr

iată, iar în clasa superioară nu există nici cea mai mică parte.

Proprietatea 2. Numărul care generează o anumită secțiune este unic.

Rezultă că axioma de continuitate formulată mai sus este echivalentă cu

este în concordanță cu afirmația numită principiul lui Dedekind:

Principiul lui Dedekind. Pentru fiecare secțiune există un număr generator

aceasta este o secțiune.

Să demonstrăm echivalența acestor afirmații.

Fie că axioma continuității să fie adevărată, iar unele se-

citind A B . Apoi, deoarece clasele A și B îndeplinesc condițiile, formula

afirmat în axiomă, există un număr λ astfel încât a ≤ λ ≤ b pentru orice numere

a ∈ A și b ∈ B. Dar numărul λ trebuie să aparțină unuia și numai unuia dintre

clasele A sau B, deci una dintre inegalitățile a ≤ λ va fi satisfăcută< b или

A< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

sau cel mai mic din clasa superioară și generează această secțiune.

Dimpotrivă, să fie satisfăcut principiul lui Dedekind și doi nevid

setează A și B astfel încât pentru toate a ∈ A și b ∈ B inegalitatea

a ≤ b. Să notăm cu B mulțimea numerelor b astfel încât a ≤ b pentru oricare

b ∈ B și tot a ∈ A. Atunci B ⊂ B. Pentru mulțimea A luăm mulțimea tuturor numerelor

sate neincluse în B.

Să demonstrăm că mulțimile A și B formează o secțiune.

Într-adevăr, este evident că mulțimea B nu este goală, deoarece conține

multime nevid B. Mulțimea A nu este, de asemenea, goală, deoarece dacă un număr a ∈ A,

atunci numărul a − 1∉ B, deoarece orice număr inclus în B trebuie să fie cel puțin

numerele a, prin urmare, a − 1∈ A.

multimea tuturor numerelor reale, datorita alegerii multimilor.

Și în sfârșit, dacă a ∈ A și b ∈ B, atunci a ≤ b. Într-adevăr, dacă este cazul

numărul c va satisface inegalitatea c > b, unde b ∈ B, apoi incorecta

egalitatea c > a (a este un element arbitrar al mulțimii A) și c ∈ B.

Deci, A și B formează o secțiune și, în virtutea principiului lui Dedekind, există un număr

lo λ generând această secțiune, adică fiind fie cea mai mare din clasă

Să demonstrăm că acest număr nu poate aparține clasei A. Valabil

dar, dacă λ ∈ A, atunci există un număr a* ∈ A astfel încât λ< a* . Тогда существует

numărul a′ situat între numerele λ și a*. Din inegalitatea a′< a* следует, что

a′ ∈ A , apoi din inegalitatea λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

clasa A, care contrazice principiul lui Dedekind. Prin urmare, numărul λ va fi

este cel mai mic din clasa B și pentru toate a ∈ A și inegalitatea se va menține

a ≤ λ ≤ b , ceea ce trebuia demonstrat.◄

Astfel, proprietatea formulată în axiomă și proprietatea

formulate în principiul lui Dedekind sunt echivalente. În viitor acestea

proprietăţile mulţimii numerelor reale pe care le vom numi continuitate

potrivit lui Dedekind.

Din continuitatea multimii numerelor reale dupa Dedekind rezulta

două teoreme importante.

Teorema 1.4.3. (principiul lui Arhimede) Oricare ar fi numărul real

a, există un număr natural n astfel încât a< n .

Să presupunem că afirmația teoremei este falsă, adică există o astfel de

un număr b0 astfel încât inegalitatea n ≤ b0 să fie valabilă pentru toate numerele naturale

n. Să împărțim mulțimea numerelor reale în două clase: în clasa B includem

toate numerele b care satisfac inegalitatea n ≤ b pentru orice n natural.

Această clasă nu este goală deoarece conține numărul b0. Vom pune totul în clasa A

numerele rămase. Această clasă nu este, de asemenea, goală, deoarece orice număr natural

incluse în A. Clasele A și B nu se intersectează și uniunea lor este

multimea tuturor numerelor reale.

Dacă luăm numere arbitrare a ∈ A și b ∈ B, atunci există un număr natural

numărul n0 astfel încât a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A și B satisfac principiul lui Dedekind și există un număr α care

generează o secțiune A B, adică α este fie cea mai mare din clasa A, fie

sau cel mai mic din clasa B. Dacă presupunem că α este în clasa A, atunci

se poate găsi un număr natural n1 pentru care inegalitatea α< n1 .

Deoarece n1 este inclus și în A, numărul α nu va fi cel mai mare din această clasă,

prin urmare, presupunerea noastră este incorectă și α este cel mai mic din

clasa B.

Pe de altă parte, luați numărul α - 1, care este inclus în clasa A. Sledova-

Prin urmare, există un număr natural n2 astfel încât α − 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

rezultă că α ∈ A. Contradicția rezultată demonstrează teorema.◄

Consecinţă. Oricare ar fi numerele a și b sunt astfel încât 0< a < b , существует

un număr natural n pentru care inegalitatea na > b este valabilă.

Pentru a dovedi, este suficient să aplici principiul lui Arhimede numărului

și folosiți proprietatea inegalităților.◄

Corolarul are o semnificație geometrică simplă: Oricare ar fi cele două

segment, dacă pe cel mai mare dintre ele, de la unul dintre capete succesiv

pune-l pe cel mai mic, apoi într-un număr finit de pași poți trece dincolo

segment mai mare.

Exemplul 1. Demonstrați că pentru fiecare număr nenegativ a există

singurul număr real nenegativ t astfel încât

t n = a, n ∈ , n ≥ 2.

Această teoremă a existenței rădăcină aritmetică gradul al n-lea

dintr-un număr nenegativ dintr-un curs de algebră școlară se acceptă fără dovezi

fapte.

☺Dacă a = 0, atunci x = 0, deci demonstrarea existenței aritmeticii

Rădăcina reală a lui a este necesară numai pentru a > 0.

Să presupunem că a > 0 și să împărțim mulțimea tuturor numerelor reale

pentru două clase. În clasa B includem toate numerele pozitive x care satisfac

creați inegalitatea x n > a, în clasa A, toți ceilalți.

Conform axiomei lui Arhimede, există numere naturale k și m astfel încât

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a și 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A conține numere pozitive.

Evident, A ∪ B = și dacă x1 ∈ A și x2 ∈ B, atunci x1< x2 .

Astfel, clasele A și B formează o secțiune transversală. Numărul care alcătuiește asta

secțiunea, notată cu t. Atunci t este fie cel mai mare număr din clasă

ce A sau cel mai mic din clasa B.

Să presupunem că t ∈ A și t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

suveranitatea 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + h (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + h (t + 1) − ht n =

T n + h (t + 1) − t n

Atunci obținem (t + h)< a . Это означает,

Prin urmare, dacă luăm h<

că t + h ∈ A, ceea ce contrazice faptul că t este cel mai mare element din clasa A.

În mod similar, dacă presupunem că t este cel mai mic element al clasei B,

apoi, luând un număr h care satisface inegalitățile 0< h < 1 и h < ,

obținem (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 h 2 − ... + (−1) Cn h n >

> t n − Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h = t n − h (t + 1) − t n > a .

Aceasta înseamnă că t − h ∈ B și t nu pot fi cel mai mic element

clasa B. Prin urmare, t n = a.

Unicitatea rezultă din faptul că dacă t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Exemplul 2. Demonstrați că dacă a< b , то всегда найдется рациональное число r

astfel încât a< r < b .

☺Dacă numerele a și b sunt raționale, atunci numărul este rațional și satisfăcător

indeplineste conditiile cerute. Să presupunem că cel puțin unul dintre numerele a sau b

irațional, de exemplu, să presupunem că numărul b este irațional. Probabil

De asemenea, presupunem că a ≥ 0, atunci b > 0. Să scriem reprezentările numerelor a și b sub forma

fracții zecimale: a = α 0,α1α 2α 3.... și b = β 0, β1β 2 β3..., unde a doua fracție este infinită

intermitent și neperiodic. În ceea ce privește reprezentarea numărului a, vom lua în considerare

Trebuie remarcat faptul că, dacă un număr a este rațional, atunci notația sa este fie finită, fie nu este

o fracție periodică a cărei perioadă nu este egală cu 9.

Deoarece b > a, atunci β 0 ≥ α 0; dacă β 0 = α 0, atunci β1 ≥ α1; dacă β1 = α1, atunci β 2 ≥ α 2

etc., și există o valoare a lui i la care pentru prima dată va exista

inegalitatea strictă βi > α i este satisfăcută. Atunci numărul β 0, β1β 2 ...βi va fi rațional

nal și se va afla între numerele a și b.

În cazul în care o< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, unde n este un număr natural astfel încât n ≥ a. Existența unui astfel de număr

rezultă din axioma lui Arhimede. ☻

Definiție 1.4.6. Să fie dată o succesiune de segmente ale dreptei numerice

([ an ; bn ]), an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

de segmente dacă pentru orice n inegalităţile an ≤ an+1 şi

Pentru un astfel de sistem se fac incluziuni

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn ] ⊃ ... ,

adică fiecare segment următor este cuprins în cel precedent.

Teorema 1.4.4. Pentru orice sistem de segmente imbricate există

cel puțin un punct care este inclus în fiecare dintre aceste segmente.

Să luăm două seturi A = (an) și B = (bn). Nu sunt goale și pentru orice

n și m inegalitatea an< bm . Докажем это.

Dacă n ≥ m, atunci an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Astfel, clasele A și B satisfac axioma continuității și,

prin urmare, există un număr λ astfel încât un ≤ λ ≤ bn pentru orice n, adică. Acest

numărul aparține oricărui segment [ an ; bn ] .◄

În cele ce urmează (Teorema 2.1.8) vom perfecționa această teoremă.

Enunţul formulat în teorema 1.4.4 se numeşte principiu

Cantor, iar o mulțime care îndeplinește această condiție va fi numită non-

discontinuă după Cantor.

Am demonstrat că dacă un set comandat este Dede-continuu

kindu, atunci principiul lui Arhimede este împlinit în el și este continuu după Cantor.

Se poate dovedi că un set ordonat în care principiile sunt satisfăcute

cipurile lui Arhimede și Cantor, vor fi continue după Dedekind. Dovada

Acest fapt este cuprins, de exemplu, în.

Principiul lui Arhimede permite fiecărui segment de linie să compare

care este singurul număr pozitiv care îndeplinește condițiile:

1. segmente egale corespund numere egale;

2. Dacă punctului B al segmentului AC și segmentelor AB și BC corespund numerelor a și

b, atunci segmentul AC corespunde numărului a + b;

3. Numărul 1 corespunde unui anumit segment.

Numărul corespunzător fiecărui segment și care îndeplinește condițiile 1-3 pe-

se numește lungimea acestui segment.

Principiul lui Cantor ne permite să dovedim asta pentru fiecare pozitiv

număr, puteți găsi un segment a cărui lungime este egală cu acest număr. Prin urmare,

între mulţimea numerelor reale pozitive şi mulţimea segmentelor

kovs, care sunt așezate dintr-un anumit punct pe o linie dreaptă de-a lungul unei laturi date

din acest punct se poate stabili o corespondență unu-la-unu.

Acest lucru ne permite să definim axa numerică și să introducem corespondența între

Aștept numere reale și puncte pe o linie. Pentru a face acest lucru, să luăm câteva

prima linie și selectați punctul O de pe ea, care va împărți această linie în două

grindă. Vom numi una dintre aceste raze pozitivă, iar a doua negativă.

nom. Apoi vom spune că am ales direcția pe această linie dreaptă.

Definiție 1.4.7. Vom numi axa numerelor linia dreaptă pe care

a) punctul O, numit originea sau originea coordonatelor;

b) direcție;

c) un segment de unitate de lungime.

Acum pentru fiecare număr real a asociem un punct M cu un număr

urlă drept astfel încât

a) numărul 0 corespundea originii coordonatelor;

b) OM = a - lungimea segmentului de la origine până la punctul M a fost egală cu

număr modulo;

c) dacă a este pozitiv, atunci punctul este luat pe raza pozitivă și, dacă

Dacă este negativ, atunci este negativ.

Această regulă stabilește o corespondență unu-la-unu între

un set de numere reale și un set de puncte pe o dreaptă.

Vom numi și linia numerică (axa) linia reală

Aceasta implică și semnificația geometrică a modulului unui număr real.

la: modulul unui număr este egal cu distanța de la origine la punctul reprezentat

apăsând acest număr pe linia numerică.

Acum putem da o interpretare geometrică proprietăților 6 și 7

modulul unui număr real. Pentru C pozitiv al numărului x, satisfac

satisfăcând proprietatea 6, umpleți intervalul (−C, C), iar numerele x satisfăcând

proprietatea 7, se află pe razele (−∞,C) sau (C, +∞).

Să notăm încă o proprietate geometrică remarcabilă a modulului materiei:

numar real.

Modulul diferenței dintre două numere este egal cu distanța dintre puncte, corespunzătoare

corespunzătoare acestor numere pe axa reală.

multe seturi numerice standard.

Set de numere naturale;

Set de numere întregi;

Set de numere raționale;

Set de numere reale;

Mulțimi, respectiv, de numere întregi, raționale și reale

numere reale nenegative;

Set de numere complexe.

În plus, mulțimea numerelor reale se notează ca (−∞, +∞) .

Subseturile acestui set:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - segment;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly sau semisegmente;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, a< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) sau (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - raze închise.

În cele din urmă, uneori vom avea nevoie de goluri în care nu ne va păsa

indiferent dacă capetele sale aparțin acestui interval sau nu. Vom avea o astfel de perioadă

notează a, b.

§ 5 Mărginirea mulţimilor numerice

Definiție 1.5.1. O mulțime numerică X se numește mărginită

de sus, dacă există un număr M astfel încât x ≤ M pentru fiecare element x din

set X.

Definiție 1.5.2. O mulțime numerică X se numește mărginită

mai jos, dacă există un număr m astfel încât x ≥ m pentru fiecare element x din

set X.

Definiție 1.5.3. O mulțime numerică X se numește mărginită,

dacă este limitat deasupra și dedesubt.

În notație simbolică, aceste definiții ar arăta astfel:

o mulțime X este mărginită de sus dacă ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

este mărginită mai jos dacă ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m și

este limitată dacă ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Teorema 1.5.1. O mulțime de numere X este mărginită dacă și numai dacă

când există un număr C astfel încât pentru toate elementele x din această mulţime

Inegalitatea x ≤ C este valabilă.

Fie mărginită mulțimea X. Să punem C = max (m, M) - cel mai mult

cea mai mare dintre numerele m și M. Apoi, folosind proprietățile modulului de reali

numere, obținem inegalitățile x ≤ M ≤ M ≤ C și x ≥ m ≥ − m ≥ −C , din care rezultă

Este adevărat că x ≤ C.

În schimb, dacă inegalitatea x ≤ C este satisfăcută, atunci −C ≤ x ≤ C. Acestea sunt cele trei-

de așteptat dacă punem M = C și m = −C .◄

Numărul M care mărginește mulțimea X de sus se numește superior

limita multimii. Dacă M este limita superioară a unei mulțimi X, atunci oricare

un număr M′ care este mai mare decât M va fi și limita superioară a acestei mulțimi.

Astfel, putem vorbi despre setul de limite superioare pentru set

X. Să notăm mulțimea limitelor superioare cu M. Atunci, ∀x ∈ X și ∀M ∈ M

inegalitatea x ≤ M va fi satisfăcută, deci, conform axiomei, continuu

Există un număr M 0 astfel încât x ≤ M 0 ≤ M . Acest număr se numește exact

nici o limită superioară a unui set numeric X sau limita superioară a acesteia

multime sau supremul unei multimi X si se noteaza cu M 0 = sup X .

Astfel, am demonstrat că fiecare set de numere nevid,

mărginit deasupra are întotdeauna o limită superioară exactă.

Este evident că egalitatea M 0 = sup X este echivalentă cu două condiții:

1) ∀x ∈ X inegalitatea x ≤ M 0 este valabilă, i.e. M 0 - limita superioară a multiplicității

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X astfel încât inegalitatea xε > M 0 − ε să fie valabilă, i.e. acest joc

Prețul nu poate fi îmbunătățit (redus).

Exemplul 1. Se consideră mulțimea X = ⎨1 − ⎬ . Să demonstrăm că sup X = 1.

☺Într-adevăr, în primul rând, inegalitatea 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; în al doilea rând, dacă luăm un număr pozitiv arbitrar ε, atunci cu

Folosind principiul lui Arhimede, se poate găsi un număr natural nε astfel încât nε > . Acea-

unde inegalitatea 1 − > 1 − ε este satisfăcută, i.e. element găsit xnε multi-

a lui X, mai mare decât 1 − ε, ceea ce înseamnă că 1 este cea mai mică limită superioară

În mod similar, se poate demonstra că dacă o mulțime este mărginită mai jos, atunci

are o limită inferioară exactă, care se mai numește și limită inferioară

nou sau infim al mulțimii X și este notat cu inf X.

Egalitatea m0 = inf X este echivalentă cu condițiile:

1) ∀x ∈ X inegalitatea x ≥ m0 este valabilă;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X astfel încât inegalitatea xε să fie valabilă< m0 + ε .

Dacă o mulțime X are cel mai mare element x0, atunci o vom numi

elementul maxim al multimii X si notam x0 = max X . Apoi

sup X = x0 . În mod similar, dacă există un element cel mai mic într-un set, atunci

îl vom numi minim, notăm min X și va fi un in-

fimumul setului X.

De exemplu, mulțimea numerelor naturale are cel mai mic element -

unitate, care este și infimul setului. Supra-

Acest set nu are mumă, deoarece nu este mărginit de sus.

Definițiile limitelor superioare și inferioare precise pot fi extinse la

mulţimi care sunt nemărginite deasupra sau dedesubt, presupunând sup X = +∞ sau, în mod corespunzător,

În consecință, inf X = −∞ .

În concluzie, formulăm câteva proprietăți ale limitelor superioare și inferioare.

Proprietatea 1. Fie X un set de numere. Să notăm prin

− X mulțime (− x | x ∈ X ) . Atunci sup (− X) = − inf X și inf (− X) = − sup X .

Proprietatea 2. Fie X o mulţime de numere λ reală

număr. Să notăm cu λ X mulțimea (λ x | x ∈ X ) . Atunci dacă λ ≥ 0, atunci

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X și, dacă λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Proprietatea 3. Fie X1 și X2 mulțimi de numere. Să notăm prin

X1 + X 2 este mulțimea ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) și prin X1 − X 2 mulțimea

( x1 − x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Atunci sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 − X 2) = sup X 1 − inf X 2 și

inf (X1 − X 2) = inf X1 − sup X 2 .

Proprietatea 4. Fie X1 și X2 mulțimi numerice, ale căror toate elementele

ryh sunt nenegative. Apoi

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Să demonstrăm, de exemplu, prima egalitate din proprietatea 3.

Fie x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 și x = x1 + x2. Atunci x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 și

x ≤ sup X1 + sup X 2 , de unde sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Pentru a demonstra inegalitatea opusă, luați numărul

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

că x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, care este mai mare decât numărul y și

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Dovezile proprietăților rămase sunt efectuate în mod similar și oferă

sunt dezvăluite cititorului.

§ 6 Seturi numărabile și nenumărabile

Definiție 1.6.1. Se consideră mulțimea primelor n numere naturale

n = (1,2,..., n) și o mulțime A. Dacă este posibil să se stabilească reciprocă

corespondența unu-la-unu între A și n, atunci se va apela mulțimea A

final.

Definiție 1.6.2. Să fie dat un set A. Dacă aș putea

stabiliți o corespondență unu-la-unu între mulțimea A și

mulţime de numere naturale, atunci mulţimea A va fi numită numărătoare.

Definiție 1.6.3. Dacă mulțimea A este finită sau numărabilă, atunci vom face

crede că nu este mai mult decât numărabilă.

Astfel, o mulțime va fi numărabilă dacă elementele sale pot fi numărate

pus într-o succesiune.

Exemplul 1. Mulțimea numerelor pare este numărabilă, deoarece maparea n ↔ 2n

este o corespondență unu-la-unu între mulțimea de naturale

numere și multe numere pare.

Evident, o astfel de corespondență poate fi stabilită nu numai în

zom. De exemplu, puteți stabili o corespondență între set și multi-

gestion (de numere întregi), stabilind corespondență în acest fel

Definiția 2. Se spune că o mulțime este mărginită deasupra (mai jos) dacă există un număr astfel încât c (respectiv, ) pentru orice .

Numărul c în acest caz se numește granița superioară (respectiv, inferioară) a mulțimii X sau, de asemenea, majoranta (minoratul) a mulțimii X.

Definiția 3. O mulțime care este mărginită atât deasupra cât și dedesubt se numește mărginită.

Definiție 4. Un element a se numește cel mai mare sau maxim (cel mai mic sau minim) element al mulțimii dacă (respectiv, ) pentru orice element .

Să introducem o notație și, în același timp, să dăm o notație formală pentru definirea elementelor maxime și, respectiv, minime:

Alături de denumirile (a se citi „maximum (a se citi „minim”) în același sens, simbolurile sunt folosite respectiv

Din axioma de ordinul 1 rezultă imediat că dacă într-o mulțime numerică există un element maxim (minim), atunci există doar unul dintre ele.

Cu toate acestea, nu orice set, chiar și unul limitat, are un element maxim (minimal).

De exemplu, o mulțime are un element minim, dar, așa cum se poate verifica cu ușurință, nu are un element maxim.

Definiția 5. Cel mai mic număr care limitează o mulțime de sus se numește limita superioară (sau limita superioară exactă) a mulțimii X și se notează (a se citi „supra sau

Aceasta este definiția de bază a acestui paragraf. Asa de,

În prima paranteză, în dreapta conceptului în curs de definire, este scris că limitează X de sus; a doua paranteză spune că este numărul minim care are această proprietate. Mai precis, a doua paranteză afirmă că orice număr mai mic nu mai este o limită superioară pentru X.

În mod similar, conceptul de limita inferioară (limita inferioară exactă) a mulțimii X este introdus ca cea mai mare dintre limitele inferioare ale mulțimii X.

Definiția 6.

Împreună cu denumirea (a se citi „infimum pentru fața inferioară a lui X”, se folosește și denumirea

Astfel, sunt date următoarele definiții:

Dar mai sus am spus că nu orice mulțime are un element minim sau maxim, prin urmare definițiile acceptate ale limitelor superioare și inferioare ale unei mulțimi numerice necesită argumentare, care este oferită de următoarele

Lema (principiul limitei superioare). Fiecare submulțime nevidă a mulțimii de numere reale mărginite mai sus are o limită superioară unică.

Deoarece cunoaștem deja unicitatea elementului minim al unei mulțimi de numere, trebuie doar să verificăm existența limitei superioare.

Fie această submulțime mulțimea limitelor superioare ale lui X. După condiție, Apoi, după axioma completității, există un număr astfel încât Numărul c este astfel majorant pentru X și minorant pentru X, numărul c este un element al lui Y, dar ca minorant al lui Y, numărul c este elementul minim al mulțimii Y. Deci,

Desigur, existența și unicitatea limitei inferioare a unei mulțimi numerice mărginite mai jos este dovedită într-un mod similar, i.e.

Definiția segmentelor imbricate. Dovada lemei Cauchy-Cantor pe segmente imbricate.

Conţinut

Definirea liniilor imbricate

Fie a și b două numere reale (). Lăsați-l să plece . Mulțimea numerelor x care satisfac inegalitățile se numește segment cu punctele terminale a și b. Segmentul este desemnat astfel: .

Succesiunea segmentelor numerice

numită succesiune segmente imbricate, dacă fiecare segment următor este cuprins în cel precedent:
.
Adică, capetele segmentelor sunt conectate prin inegalități:
.

Lema pe segmente imbricate (principiul Cauchy-Cantor)

Pentru orice succesiune de segmente imbricate, există un punct care aparține tuturor acestor segmente.
Dacă lungimile segmentelor tind spre zero:
,
atunci un astfel de punct este singurul.

Această lemă mai este numită teorema segmentelor imbricate sau Principiul Cauchy-Cantor.

Dovada

Pentru dovada prima parte a lemei, să folosim axioma completității numerelor reale.

Axioma completității numerelor reale este după cum urmează. Fie mulțimile A și B două submulțimi de numere reale astfel încât pentru oricare două elemente și aceste mulțimi inegalitatea să fie valabilă. Atunci există un număr real c astfel încât următoarele inegalități să fie valabile pentru toți:
.

Să aplicăm această axiomă. Fie setul A setul de puncte de capăt din stânga ale segmentelor și setul B să fie setul de puncte de capăt din dreapta. Atunci inegalitatea este valabilă între oricare două elemente ale acestor mulțimi. Apoi, din axioma completității numerelor reale rezultă că există un număr c astfel încât pentru toți n să fie valabile următoarele inegalități:
.
Aceasta înseamnă că punctul c aparține tuturor segmentelor.

Să demonstrăm a doua parte a lemei.

Lăsa . Conform definiției limitei unei șiruri, aceasta înseamnă că pentru orice număr pozitiv există un număr natural N care depinde de ε, astfel încât pentru toate numerele naturale n > N inegalitatea este valabilă.
(1) .

Să presupunem contrariul. Să fie două puncte diferite c 1 și c 2 , c 1 ≠ c 2, aparținând tuturor segmentelor. Aceasta înseamnă că pentru toți n sunt valabile următoarele inegalități:
;
.
De aici
.
Aplicând (1) avem:
.
Această inegalitate trebuie să fie valabilă pentru orice valoare pozitivă a lui ε. Rezultă că
c 1 = c 2.

Lema este dovedită.

cometariu

Existența unui punct aparținând tuturor segmentelor decurge din axioma completității, care este valabilă pentru numerele reale. Această axiomă nu se aplică numerelor raționale. Prin urmare, lema segmentului imbricat nu se aplică și la mulțimea numerelor raționale.

De exemplu, am putea alege segmentele astfel încât ambele capetele din stânga și din dreapta să convergă către un număr irațional. Atunci orice număr rațional, pe măsură ce n crește, ar cădea întotdeauna din sistemul de segmente. Singular care aparține întregului segment este un număr irațional.

Referinte:
O.V. Besov. Prelegeri de analiză matematică. Partea 1. Moscova, 2004.

Axioma de continuitate (completitudine). $A\backslash subset\backslash mathbb(R)$Și $B\backslash subset\backslash mathbb(R)$ $a\; \backslash în\; A$Și $b\; \backslash în\; B$ inegalitatea este valabilă $a\backslash leqslant\; b$, există un număr atât de real $\backslash xi$ asta e pentru toata lumea $a\; \backslash în\; A$Și $b\; \backslash în\; B$ exista o relatie

$a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$

Geometric, dacă tratăm numerele reale ca puncte pe o dreaptă, această afirmație pare evidentă. Dacă două seturi $A$Și $B$ sunt astfel încât pe linia numerică toate elementele unuia dintre ele se află la stânga tuturor elementelor celui de-al doilea, atunci există un număr $\backslash xi$, împărțind aceste două seturi, adică situate în dreapta tuturor elementelor $A$(cu excepția poate chiar $\backslash xi$) și la stânga tuturor elementelor $B$(aceeași declinare a răspunderii).

Trebuie remarcat aici că, în ciuda „evidentității” acestei proprietăți, nu este întotdeauna valabilă pentru numerele raționale. De exemplu, luați în considerare două seturi:

A = \(x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2\)

Este ușor de văzut asta pentru orice element $a\; \backslash în\; A$Și $b\; \backslash în\; B$ inegalitatea este valabilă . in orice caz raţional numere $\backslash xi$, care separă aceste două seturi, nu există. De fapt, acest număr poate fi doar $\backslash sqrt(2)$, dar nu este rațional.

Rolul axiomei continuității în construcția analizei matematice

Sensul axiomei continuității este de așa natură încât fără ea o construcție riguroasă a analizei matematice este imposibilă. Pentru a ilustra, prezentăm câteva afirmații fundamentale de analiză, a căror demonstrație se bazează pe continuitatea numerelor reale:

• (teorema lui Weierstrass). Fiecare succesiune crescătoare monotonă mărginită converge
• (teorema Bolzano-Cauchy). O funcție continuă pe un segment, luând valori ale diferitelor semne la capetele sale, dispare într-un punct intern al segmentului
• (Existența puterii, a funcțiilor exponențiale, logaritmice și a tuturor funcțiilor trigonometrice în întreg domeniul „natural” de definiție). De exemplu, este dovedit că pentru fiecare $a\; >\; 0$ si intregul $n\backslash geqslant\; 1$ există $\backslash sqrt[n](a)$, adică soluția ecuației $x^n=a,\; x>0$. Acest lucru vă permite să determinați valoarea expresiei $a^x$ pentru toți raționali $X$:

$a^(m/n)\; =\; \backslash left(\backslash sqrt[n](a)\backslash dreapta)^m$

În cele din urmă, din nou datorită continuității dreptei numerice, putem determina valoarea expresiei $a^x$ deja pentru arbitrar $x\backslash in\backslash R$. În mod similar, folosind proprietatea continuității, se demonstrează existența numărului $\backslash log\_(a)(b)$ pentru orice $a,b\; >0,\; a\backslash neq\; 1$.

Pentru o lungă perioadă istorică, matematicienii au demonstrat teoreme din analiză, în „locuri subtile” referindu-se la justificarea geometrică și, de cele mai multe ori, sărind cu totul peste ele, deoarece era evident. Conceptul extrem de important al continuității a fost folosit fără nicio definiție clară. Abia în ultima treime a secolului al XIX-lea matematicianul german Karl Weierstrass a aritmetizat analiza, construind prima teorie riguroasă a numerelor reale ca fracții zecimale infinite. El a propus o definiție clasică a limitei în limbaj $\backslash varepsilon\; -\; \backslash delta$, a dovedit o serie de afirmații care au fost considerate „evidente” în fața lui și, astfel, a finalizat construcția fundației analizei matematice.

Ulterior, au fost propuse și alte abordări pentru determinarea unui număr real. În abordarea axiomatică, continuitatea numerelor reale este evidențiată în mod explicit ca o axiomă separată. În abordările constructive ale teoriei numărului real, de exemplu atunci când construim numere reale folosind secțiuni Dedekind, proprietatea continuității (într-o formulare sau alta) este dovedită ca o teoremă.

Alte formulări ale proprietății de continuitate și propoziții echivalente

Există mai multe afirmații diferite care exprimă proprietatea de continuitate a numerelor reale. Fiecare dintre aceste principii poate fi folosit ca bază pentru construirea teoriei numărului real ca axiomă a continuității, iar toate celelalte pot fi derivate din aceasta. Această problemă este discutată mai detaliat în secțiunea următoare.

Continuitate după Dedekind

Dedekind ia în considerare problema continuității numerelor reale în lucrarea sa „Continuitate și numere iraționale”. În ea, el compară numere raționale cu puncte de pe o dreaptă. După cum se știe, se poate stabili o corespondență între numerele raționale și punctele de pe o dreaptă atunci când pe linie se alege punctul de plecare și unitatea de măsură a segmentelor. Folosind acesta din urmă, pentru fiecare număr rațional $A$ construiți segmentul corespunzător și punându-l la dreapta sau la stânga, în funcție de faptul că există $A$ număr pozitiv sau negativ, obțineți un punct $p$, corespunzător numărului $A$. Astfel, pentru fiecare număr rațional $A$ un singur punct corespunde $p$ pe o linie dreaptă.

Se dovedește că există infinit de multe puncte pe linie care nu corespund niciunui număr rațional. De exemplu, un punct obținut prin trasarea lungimii diagonalei unui pătrat construit pe un segment unitar. Astfel, regiunea numerelor raționale nu are asta completitudine, sau continuitate, care este inerent unei linii drepte.

Pentru a afla în ce constă această continuitate, Dedekind face următoarea remarcă. Dacă $p$ există un anumit punct pe linie, apoi toate punctele de pe linie se împart în două clase: puncte situate la stânga $p$, și punctele situate în dreapta $p$. Chiar punctul $p$ poate fi atribuit în mod arbitrar fie clasei inferioare, fie clasei superioare. Dedekind vede esența continuității în principiul invers:

Din punct de vedere geometric, acest principiu pare evident, dar nu suntem în stare să-l dovedim. Dedekind subliniază că, în esență, acest principiu este un postulat, care exprimă esența acelei proprietăți directe atribuite, pe care o numim continuitate.

Această propunere este, de asemenea, echivalentă cu principiul continuității lui Dedekind. Mai mult, se poate demonstra că enunțul teoremei supremului decurge direct din enunțul teoremei infimei și invers (vezi mai jos).

Lema de acoperire finită (principiul Heine-Borel)

Lema de acoperire finită (Heine - Borel). În orice sistem de intervale care acoperă un segment, există un subsistem finit care acoperă acest segment.

Lema punctului limită (principiul Bolzano-Weierstrass)

Lema punctului limită (Bolzano - Weierstrass). Fiecare set infinit de numere limitate are cel puțin un punct limită.

Echivalența propozițiilor care exprimă continuitatea mulțimii numerelor reale

Să facem câteva observații preliminare. Conform definiției axiomatice a unui număr real, mulțimea numerelor reale satisface trei grupuri de axiome. Primul grup este axiomele de câmp. A doua grupă exprimă faptul că mulțimea numerelor reale este o mulțime ordonată liniar, iar relația de ordine este consecventă cu operațiile de bază ale câmpului. Astfel, primul și al doilea grup de axiome înseamnă că mulțimea numerelor reale reprezintă un câmp ordonat. Al treilea grup de axiome constă dintr-o axiomă - axioma continuității (sau completității).

Pentru a arăta echivalența diferitelor formulări ale continuității numerelor reale, este necesar să se demonstreze că, dacă una dintre aceste afirmații este valabilă pentru un câmp ordonat, atunci validitatea tuturor celorlalte rezultă din aceasta.

Teorema. Lăsa $\backslash mathsf(R)$- o mulțime arbitrară ordonată liniar. Următoarele afirmații sunt echivalente:

1. Orice seturi negoale există $A\backslash subset\backslash mathsf(R)$Și $B\backslash subset\backslash mathsf(R)$, astfel încât pentru oricare două elemente $a\; \backslash în\; A$Și $b\; \backslash în\; B$ inegalitatea este valabilă $a\backslash leqslant\; b$, există un astfel de element $\backslash xi\; \backslash in\; \backslash mathsf(R)$ asta e pentru toata lumea $a\; \backslash în\; A$Și $b\; \backslash în\; B$ exista o relatie $a\; \backslash leqslant\; \backslash xi\; \backslash leqslant\; b$
2. Pentru orice secțiune din $\backslash mathsf(R)$ există un element care produce această secțiune
3. Orice mulțime nevidă mărginită mai sus $A\backslash subset\backslash mathsf(R)$ are un supremum
4. Orice mulțime nevidă mărginită de jos $A\backslash subset\backslash mathsf(R)$ are un infim

După cum se poate vedea din această teoremă, aceste patru propoziții folosesc doar ceea ce este $\backslash mathsf(R)$ se introduce o relație de ordine liniară și nu se utilizează structura câmpului. Astfel, fiecare dintre ele exprimă proprietatea $\backslash mathsf(R)$ ca o mulţime ordonată liniar. Această proprietate (a unei mulțimi ordonate liniar arbitrar, nu neapărat a mulțimii numerelor reale) este numită continuitate sau completitudine, conform lui Dedekind.

Demonstrarea echivalenței altor propoziții necesită deja prezența unei structuri de câmp.

Teorema. Lăsa $\backslash mathsf(R)$- câmp ordonat arbitrar. Următoarele propoziții sunt echivalente:

1. $\backslash mathsf(R)$(ca o mulțime ordonată liniar) este Dedekind complet
2. Pentru $\backslash mathsf(R)$ a îndeplinit principiul lui ArhimedeȘi principiul segmentelor imbricate
3. Pentru $\backslash mathsf(R)$ principiul Heine-Borel este îndeplinit
4. Pentru $\backslash mathsf(R)$ principiul Bolzano-Weierstrass este îndeplinit

Cometariu. După cum se poate vedea din teoremă, principiul segmentelor imbricate în sine nu echivalent Principiul de continuitate al lui Dedekind. Din principiul continuității lui Dedekind urmează principiul segmentelor imbricate, dar pentru invers este necesar să se ceară suplimentar ca câmpul ordonat $\backslash mathsf(R)$ a satisfăcut axioma lui Arhimede

Dovada teoremelor de mai sus poate fi găsită în cărțile din lista de referințe de mai jos.

Scrieți o recenzie despre articolul „Continuitatea setului de numere reale”

Note

Literatură

• Kudryavtsev, L.D. Curs de analiză matematică. - a 5-a ed. - M.: „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 p. - ISBN 5-7107-4119-1.
• Fikhtengolts, G. M. Fundamentele analizei matematice. - Ed. a VII-a. - M.: „FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 p. - ISBN 5-9221-0196-X.
• Dedekind, R.= Stetigkeit und irationale Zahlen. - a 4-a ediție revizuită. - Odesa: Mathesis, 1923. - 44 p.
• Zorich, V. A. Analiza matematică. Partea I. - Ed. 4, corectat - M.: „MCNMO”, 2002. - 657 p. - ISBN 5-94057-056-9.
• Continuitatea funcţiilor şi a domeniilor numerice: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - Ed. a 3-a. - Novosibirsk: ANT, 2005. - 64 p.

Un fragment care caracterizează continuitatea mulțimii numerelor reale

- Deci de asta îmi pare rău - demnitatea umană, liniștea conștiinței, puritatea, și nu spatele și frunțile lor, care, oricât ai tăia, oricât te-ai bărbierit, vor rămâne în continuare aceleași spate și frunți. .
„Nu, nu și de o mie de ori nu, nu voi fi niciodată de acord cu tine”, a spus Pierre.

Seara, prințul Andrei și Pierre s-au urcat într-o trăsură și au condus până la Munții Cheli. Prințul Andrei, aruncând o privire spre Pierre, rupea din când în când tăcerea cu discursuri care dovedeau că era bine dispus.
I-a povestit, arătând spre câmpuri, despre îmbunătățirile sale economice.
Pierre tăcea sumbru, răspunzând cu monosilabe și părea pierdut în gânduri.
Pierre credea că prințul Andrei este nefericit, că se înșela, că nu cunoaște adevărata lumină și că Pierre ar trebui să-i vină în ajutor, să-l lumineze și să-l ridice. Dar, de îndată ce Pierre și-a dat seama cum și ce va spune, a avut un presentiment că prințul Andrei, cu un cuvânt, un singur argument, va distruge totul în învățătura lui și i-a fost frică să înceapă, teamă să-și expună iubitul altar la posibilitatea. de ridicol.
— Nu, de ce crezi, începu brusc Pierre, lăsându-și capul în jos și luând înfățișarea unui taur de ce crezi? Nu ar trebui să gândești așa.
- La ce mă gândesc? – a întrebat prințul Andrei surprins.
– Despre viață, despre scopul unei persoane. Nu poate fi. M-am gândit la același lucru și m-a salvat, știi ce? francmasoneria Nu, nu zâmbi. Francmasoneria nu este o sectă religioasă, nu rituală, așa cum credeam, dar Francmasoneria este cea mai bună, singura expresie a celor mai bune, eterne laturi ale umanității. - Și a început să-i explice masoneria prințului Andrei, așa cum a înțeles-o.
El a spus că Francmasoneria este învățătura creștinismului, eliberată de cătușele statale și religioase; învăţături despre egalitate, fraternitate şi iubire.
– Numai sfânta noastră frăție are sens real în viață; „Totul altceva este un vis”, a spus Pierre. „Înțelegi, prietene, că în afara acestei uniuni totul este plin de minciuni și neadevăruri și sunt de acord cu tine că o persoană inteligentă și bună nu are de ales decât să-și trăiască viața, ca tine, încercând doar să nu interfereze cu alții." Dar asimilează-ne credințele de bază, alătură-te frăției noastre, dăruiește-te nouă, lasă-te să te călăuzăm și acum te vei simți, la fel ca și mine, parte a acestui lanț imens, invizibil, al cărui început este ascuns în ceruri, a spus Pierre. .
Prințul Andrey, în tăcere, privind înainte, a ascultat discursul lui Pierre. De câteva ori, neputând auzi de zgomotul căruciorului, a repetat cuvintele neauzite de la Pierre. Prin strălucirea deosebită care s-a aprins în ochii prințului Andrei și prin tăcerea lui, Pierre a văzut că cuvintele lui nu erau în zadar, că prințul Andrei nu-l va întrerupe și nu va râde de cuvintele lui.
Au ajuns la un râu inundat, pe care au fost nevoiți să-l traverseze cu feribotul. În timp ce trăsura și caii erau instalați, s-au dus la feribot.
Prințul Andrei, sprijinit de balustradă, privea în tăcere de-a lungul potopului care strălucea de la apusul soarelui.
- Ei bine, ce crezi despre asta? - a întrebat Pierre, - de ce taci?
- Ce cred eu? te-am ascultat. „Totul este adevărat”, a spus prințul Andrei. „Dar voi spuneți: alăturați-vă frăției noastre și vă vom arăta scopul vieții și scopul omului și legile care guvernează lumea.” Cine suntem noi, oameni buni? De ce știi totul? De ce sunt singurul care nu vede ceea ce vezi tu? Tu vezi împărăția bunătății și adevărului pe pământ, dar eu nu o văd.
îl întrerupse Pierre. – Crezi într-o viață viitoare? - el a intrebat.
- Pentru viața viitoare? – a repetat Prințul Andrei, dar Pierre nu i-a dat timp să răspundă și a luat această repetare drept o negare, mai ales că cunoștea credințele anterioare ateiste ale Prințului Andrei.
– Spui că nu poți vedea împărăția binelui și a adevărului pe pământ. Și nu l-am văzut și nu poate fi văzut dacă ne privim viața ca la sfârșitul tuturor. Pe pământ, tocmai pe acest pământ (Pierre a arătat în câmp), nu există adevăr – totul este minciună și rău; dar în lume, în toată lumea, există o împărăție a adevărului și noi suntem acum copii ai pământului și pentru totdeauna copii ai întregii lumi. Nu simt în sufletul meu că fac parte din acest întreg imens, armonios. Nu simt că mă aflu în acest număr uriaș de nenumărate ființe în care se manifestă Divinitatea - cea mai înaltă putere, după cum îți place - că constituim o singură legătură, un pas de la ființele inferioare la cele superioare. Dacă văd, văd clar această scară care duce de la o plantă la o persoană, atunci de ce ar trebui să presupun că această scară se rupe cu mine și nu duce mai departe și mai departe. Simt că nu numai că nu pot să dispar, la fel cum nimic nu dispare în lume, dar că voi fi mereu și mereu am fost. Simt că în afară de mine există spirite care trăiesc deasupra mea și că există adevăr în această lume.
„Da, aceasta este învățătura lui Herder”, a spus prințul Andrei, „dar nu asta, sufletul meu, mă convinge, ci viața și moartea, asta mă convinge”. Ceea ce este convingător este că vezi o ființă dragă ție, care este legată de tine, în fața căreia ai fost vinovat și ai sperat să te justifici (vocea prințului Andrei tremura și se întoarse) și deodată această ființă suferă, este chinuită și încetează să mai fie. ... De ce? Nu se poate să nu existe răspuns! Și eu cred că el este... Asta mă convinge, asta m-a convins”, a spus Prințul Andrei.
„Ei bine, da, bine”, a spus Pierre, „nu asta spun eu!”
- Nu. Spun doar că nu argumentele te convinge de nevoia unei vieți viitoare, ci atunci când mergi în viață mână în mână cu o persoană și dintr-o dată această persoană dispare acolo în neant și tu însuți te oprești în fața lui. abisul acesta și uită-te în el. Și m-am uitat...
- In regula, atunci! știi ce este acolo și că există cineva? Există o viață viitoare acolo. Cineva este Dumnezeu.
Prințul Andrei nu a răspuns. Trăsura și caii fuseseră de mult duși pe cealaltă parte și fuseseră deja așezați, iar soarele dispăruse deja la jumătatea drumului, iar gerul de seară a acoperit cu stele bălțile de lângă feribot, iar Pierre și Andrey, spre surprinderea lui. lachei, coșori și transportători, stăteau încă pe feribot și vorbeau.
– Dacă există Dumnezeu și există o viață viitoare, atunci există adevăr, există virtute; iar cea mai înaltă fericire a omului constă în străduinţa de a le atinge. Trebuie să trăim, trebuie să iubim, trebuie să credem, a spus Pierre, că nu trăim acum doar pe această bucată de pământ, ci am trăit și vom trăi veșnic acolo în toate (a arătat spre cer). Prințul Andrey stătea cu coatele pe balustrada feribotului și, ascultându-l pe Pierre, fără să-și ia ochii de la ochi, se uită la reflexul roșu al soarelui pe potopul albastru. Pierre a tăcut. Era complet tăcut. Feribotul aterizase cu mult timp în urmă și doar valurile curentului au lovit fundul feribotului cu un sunet slab. Prințului Andrei i s-a părut că această clătire a valurilor spunea cuvintelor lui Pierre: „adevăr, crede-l”.
Prințul Andrei a oftat și, cu o privire radiantă, copilărească, tandră, a privit chipul îmbujorat, entuziast, dar din ce în ce mai timid al lui Pierre în fața prietenului său superior.
- Da, de-ar fi așa! - el a spus. „Totuși, să mergem să ne așezăm”, a adăugat prințul Andrei și, în timp ce cobora din feribot, s-a uitat la cerul pe care i l-a arătat Pierre și pentru prima dată, după Austerlitz, a văzut acel cer înalt, etern, care văzuse întins pe Câmpul Austerlitz și ceva care adormise de mult, ceva ce era mai bun în el, s-a trezit deodată cu bucurie și tinerețe în sufletul lui. Acest sentiment a dispărut imediat ce prințul Andrei a revenit la condițiile obișnuite de viață, dar știa că acest sentiment, pe care nu știa să-l dezvolte, trăiește în el. Întâlnirea cu Pierre a fost pentru prințul Andrei epoca din care, deși în aparență aceeași, dar în lumea interioară, a început noua lui viață.

Era deja întuneric când prințul Andrei și Pierre au ajuns la intrarea principală a casei Lysogorsk. În timp ce se apropiau, prințul Andrey i-a atras zâmbind atenția lui Pierre asupra zgomotului care se făcuse pe veranda din spate. O bătrână îndoită, cu un rucsac pe spate și un bărbat scund, într-un halat negru, cu părul lung, văzând trăsura care intra, s-au repezit să fugă înapoi pe poartă. Două femei au fugit după ele, iar toate patru, uitându-se înapoi la cărucior, au fugit în prispa din spate de frică.
„Acestea sunt Mașinile lui Dumnezeu”, a spus Prințul Andrei. „Ne-au luat drept tatăl lor”. Și acesta este singurul lucru în care ea nu-i ascultă: el poruncește să fie alungați acești rătăcitori, iar ea îi acceptă.
- Care sunt poporul lui Dumnezeu? întrebă Pierre.
Prințul Andrei nu a avut timp să-i răspundă. Slujitorii au ieșit în întâmpinarea lui, iar el l-a întrebat unde era bătrânul prinț și dacă îl așteaptă în curând.
Bătrânul prinț era încă în oraș și îl așteptau în fiecare minut.
Prințul Andrei l-a condus pe Pierre la jumătatea lui, care îl aștepta mereu în ordine perfectă în casa tatălui său, iar el însuși a mers la creșă.
„Să mergem la sora mea”, a spus prințul Andrei, întorcându-se la Pierre; - Nu am văzut-o încă, acum se ascunde și stă cu poporul lui Dumnezeu. Îi servește dreptatea, ea va fi stânjenită și vei vedea poporul lui Dumnezeu. C "est curieux, ma parole. [Acest lucru este interesant, sincer.]
– Qu"est ce que c"est que [Ce sunt] poporul lui Dumnezeu? - a întrebat Pierre
- Dar vei vedea.
Prințesa Marya era cu adevărat jenată și s-a înroșit pe alocuri când au venit la ea. În camera ei confortabilă, cu lămpi în fața casetelor de icoane, pe canapea, la samovar, stătea lângă ea un băiețel cu nasul lung și părul lung și în halat monahal.
Pe un scaun din apropiere stătea o bătrână șifonată și slabă, cu o expresie blândă pe chipul ei copilăresc.
„Andre, pourquoi ne pas m"avoir prevenu? [Andrei, de ce nu m-ai avertizat?]", a spus ea cu reproș blând, stând în fața rătăcitorilor ei, ca o găină în fața găinilor.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Foarte bucuros să te văd. „Sunt atât de încântată că te văd”, îi spuse ea lui Pierre, în timp ce el îi săruta mâna. L-a cunoscut de mic, iar acum prietenia lui cu Andrei, ghinionul lui cu soția lui și, cel mai important, chipul lui amabil și simplu i-au făcut drag. Ea s-a uitat la el cu ochii ei frumoși și strălucitori și a părut să spună: „Te iubesc foarte mult, dar te rog să nu râzi de ai mei”. După ce au schimbat primele fraze de salut, s-au așezat.
„O, și Ivanushka este aici”, a spus prințul Andrei, arătând cu un zâmbet către tânărul rătăcitor.
— Andre! - spuse prințesa Marya rugător.
„Il faut que vous sachiez que c"est une femme, [Să știi că aceasta este o femeie]”, i-a spus Andrei lui Pierre.
– Andre, au nom de Dieu! [Andrey, pentru numele lui Dumnezeu!] – a repetat Prințesa Marya.
Era clar că atitudinea batjocoritoare a Prințului Andrei față de rătăcitori și mijlocirea inutilă a Prințesei Maria în numele lor erau relații familiare, stabilite între ei.
„Mais, ma bonne amie”, a spus prințul Andrei, „vous devriez au contraire m"etre reconaissante de ce que j"explique a Pierre votre intime avec ce jeune homme... [Dar, prietene, ar trebui să-mi fii recunoscător. că îi explic lui Pierre apropierea ta față de acest tânăr.]
- Vraiment? [Chiar?] - a spus Pierre curios și serios (pentru care Prințesa Marya i-a fost deosebit de recunoscătoare) privind prin ochelari în fața lui Ivanushka, care, dându-și seama că vorbesc despre el, privea pe toți cu ochi vicleni.
Prințesa Marya a fost complet în zadar să fie jenată pentru propriul ei popor. Nu erau deloc timizi. Bătrâna, cu ochii plecați, dar privind în piept la cei care intrau, întoarsese ceașca cu susul în jos pe o farfurie și pusese lângă ea o bucată de zahăr mușcată, stătea calmă și nemișcată pe scaun, așteptând să i se ofere mai mult ceai. . Ivanushka, bând dintr-o farfurie, îi privea pe tineri de sub sprâncene cu ochi vicleni și feminini.
– Unde ai fost, la Kiev? – a întrebat prințul Andrei pe bătrână.
„A fost, părinte”, a răspuns bătrâna cu vorbă, „de Crăciun însuși, am fost onorat cu sfinții să comunic secretele sfinte, cerești.” Și acum de la Kolyazin, părinte, s-a deschis marele har...
- Ei bine, Ivanushka este cu tine?
— Mă duc singur, susținătorul de familie, spuse Ivanushka, încercând să vorbească cu o voce profundă. - Numai în Yukhnov ne-am înțeles Pelageyushka și cu mine...
Pelagia îl întrerupse pe tovarășul ei; Evident, a vrut să spună ce a văzut.
- În Kolyazin, părinte, s-a dezvăluit o mare har.
- Ei bine, relicvele sunt noi? – a întrebat prințul Andrei.
— E suficient, Andrey, spuse prințesa Marya. - Nu-mi spune, Pelageyushka.
„Nu... ce spui, mamă, de ce să nu-mi spui?” Îl iubesc. Este bun, favorizat de Dumnezeu, el, un binefăcător, mi-a dat ruble, îmi amintesc. Cum am fost la Kiev și mi-a spus sfântul prost Kiryusha - un adevărat om al lui Dumnezeu, el merge desculț iarna și vara. De ce te plimbi, spune el, nu în locul tău, mergi la Kolyazin, există o icoană făcătoare de minuni, s-a descoperit Maica Preasfintei Maicii Domnului. Din acele cuvinte mi-am luat rămas bun de la sfinți și am plecat...
Toți tăceau, un pribeag vorbea cu o voce măsurată, trăgând în aer.
- Tatăl meu a venit, oamenii au venit la mine și au spus: mare har i s-a descoperit mamei Sfântă Născătoare de Dumnezeu smirna curgând din obraz...
— Bine, bine, îmi vei spune mai târziu, spuse prințesa Marya roșind.
— Lasă-mă să o întreb, spuse Pierre. - Ai văzut tu însuți? - el a intrebat.
- De ce, părinte, tu însuți ai fost onorat. Există o astfel de strălucire pe față, ca o lumină cerească, și din obrazul mamei mele tot picură și picură...
— Dar aceasta este o înșelăciune, spuse naiv Pierre, care l-a ascultat cu atenție pe rătăcitor.
- O, părinte, ce spui! - spuse Pelageyushka cu groază, întorcându-se către Prințesa Marya pentru protecție.
„Ei înșală oamenii”, a repetat el.
- Doamne Iisuse Hristoase! – spuse rătăcitorul făcându-și cruce. - O, nu-mi spune, tată. Așa că un anaral nu a crezut, a spus: „călugării înșală” și, după cum a spus, a orb. Și a visat că mama lui Pecersk a venit la el și i-a spus: „Aveți încredere în mine, vă voi vindeca”. Așa că a început să întrebe: ia-mă și du-mă la ea. Vă spun adevărul adevărat, l-am văzut și eu. L-au adus orb direct la ea, el s-a sus, a căzut și a zis: „Vindecă-te! „Îți voi da”, spune el, „ceea ce ți-a dat regele”. Eu însumi am văzut-o, tată, steaua era înglobată în ea. Ei bine, mi-am primit vederea! Este un păcat să spui asta. „Dumnezeu va pedepsi”, i se adresa ea instructiv lui Pierre.
- Cum a ajuns vedeta în imagine? întrebă Pierre.
- Ai făcut-o pe mama ta general? – spuse prințul Andrei zâmbind.
Pelagia păli brusc și își strânse mâinile.
- Tată, tată, e păcat pentru tine, ai un fiu! - a vorbit ea, trecând brusc de la paloarea la culoarea strălucitoare.
- Părinte, ce ai spus asta, Dumnezeu să te ierte. - Și-a făcut cruce. - Doamne, iartă-l. Mamă, ce este asta?...” se întoarse spre Prințesa Marya. S-a ridicat și, aproape plângând, a început să-și împacheteze poșeta. Era evident atât speriată, cât și rușine că s-a bucurat de beneficii într-o casă în care se putea spune asta și era păcat că acum trebuia să fie lipsită de beneficiile acestei case.
- Păi, ce fel de vânătoare faci? – spuse prințesa Marya. - De ce ai venit la mine?...
„Nu, glumesc, Pelageyushka”, a spus Pierre. - Princesse, ma parole, je n"ai pas voulu l"offenser, [Princesa, am dreptate, nu am vrut sa o jignesc,] tocmai am facut asta. Să nu crezi că am glumit”, a spus el, zâmbind timid și dorind să-și repare. - La urma urmei, eu sunt și el doar glumea.
Pelageyushka s-a oprit neîncrezător, dar pe chipul lui Pierre era atât de sinceră a pocăinței, iar prințul Andrei s-a uitat atât de blând mai întâi la Pelageyushka, apoi la Pierre, încât s-a calmat treptat.

Rătăcitorul s-a liniștit și, readus la conversație, a vorbit îndelung despre părintele Amfilohie, care era atât de sfânt al vieții, încât mâna lui mirosea a palmă și despre felul în care călugării pe care i-a cunoscut în ultima ei călătorie la Kiev i-au dat cheile peșterilor și cum ea, luând biscuiți cu ea, a petrecut două zile în peșteri cu sfinții. „Mă voi ruga unuia, voi citi, mă voi duce la altul. Voi lua un pin, voi merge și voi lua iar un sărut; și atâta tăcere, mamă, atâta har încât nici nu vrei să ieși în lumina lui Dumnezeu.”
Pierre a ascultat-o ​​cu atenție și seriozitate. Prințul Andrei a părăsit camera. Și după el, lăsând pe poporul lui Dumnezeu să-și termine ceaiul, prințesa Marya l-a condus pe Pierre în sufragerie.
„Ești foarte amabil”, i-a spus ea.
- Oh, chiar nu m-am gândit să o jignesc, înțeleg și prețuiesc foarte mult aceste sentimente!
Prințesa Marya s-a uitat în tăcere la el și a zâmbit tandru. „La urma urmei, te cunosc de mult timp și te iubesc ca pe un frate”, a spus ea. – Cum l-ai găsit pe Andrey? - întrebă ea grăbită, fără a-i lăsa timp să spună nimic ca răspuns la ea cuvinte dulci. - Mă îngrijorează foarte mult. Sănătatea lui este mai bună iarna, dar primăvara trecută rana s-a deschis, iar medicul a spus că ar trebui să meargă la tratament. Și moral îmi este foarte frică pentru el. El nu este tipul de caracter pe care noi, femeile, trebuie să suferim și să ne strigăm durerea. O poartă în sine. Astăzi este vesel și plin de viață; dar sosirea ta a avut un asemenea efect asupra lui: rareori este așa. Dacă ai putea să-l convingi să plece în străinătate! Are nevoie de activitate, iar această viață lină și liniștită îl ruinează. Alții nu observă, dar eu văd.
La ora 10 ospătarii s-au repezit spre pridvor, auzind apropiindu-se clopotele trăsurii bătrânului prinț. Prințul Andrei și Pierre au ieșit și ei pe verandă.
- Cine este aceasta? - a întrebat bătrânul prinț, coborând din trăsură și ghicindu-l pe Pierre.
– AI este foarte fericit! „Sărut”, a spus el, după ce a aflat cine era tânărul necunoscut.
Bătrânul prinț era bine dispus și l-a tratat pe Pierre cu amabilitate.
Înainte de cină, prințul Andrei, întorcându-se înapoi în biroul tatălui său, l-a găsit pe bătrânul prinț într-o ceartă aprinsă cu Pierre.
Pierre a argumentat că va veni vremea când nu va mai fi război. Bătrânul prinț, tachinand, dar nu supărat, l-a provocat.
- Lasă sângele să iasă din vene, toarnă apă, atunci nu va fi război. „Prostii ale unei femei, prostii ale unei femei”, a spus el, dar totuși l-a bătut cu afecțiune pe Pierre pe umăr și s-a dus la masa unde prințul Andrei, aparent că nu voia să se angajeze într-o conversație, sorta hârtiile pe care prințul le adusese de la oraș. Bătrânul prinț s-a apropiat de el și a început să vorbească despre afaceri.
- Liderul, contele Rostov, nu a eliberat jumătate din oameni. Am venit în oraș, am hotărât să-l invit la cină, - I-am dat o astfel de cină... Dar uite asta... Ei, frate, - Prințul Nikolai Andreich se întoarse către fiul său, bătându-l pe Pierre pe umăr, - Bravo, prietene, l-am iubit! Mă concediază. Celălalt vorbește lucruri inteligente, dar eu nu vreau să ascult, dar mă minte și mă înflăcărează pe mine, un bătrân. Ei bine, du-te, du-te”, a spus el, „poate vin să stau la cina ta”. Mă voi certa din nou. „Iubește-mă pe nebuna mea, prințesa Marya”, îi strigă el lui Pierre de la uşă.
Pierre abia acum, în vizita sa în Munții Cheli, a apreciat toată puterea și farmecul prieteniei sale cu Prințul Andrei. Acest farmec a fost exprimat nu atât în ​​relațiile cu el însuși, cât în ​​relațiile cu toate rudele și prietenii săi. Pierre, cu bătrânul și sever prinț și cu blânda și timida prințesă Marya, în ciuda faptului că nu-i cunoștea cu greu, s-a simțit imediat ca un vechi prieten. Toți îl iubeau deja. Nu numai prințesa Marya, mituită de atitudinea lui blândă față de străini, îl privea cu cea mai strălucitoare privire; dar micul prinț Nikolai, în vârstă de un an, așa cum îi spunea bunicul său, i-a zâmbit lui Pierre și a intrat în brațele lui. Mihail Ivanovici, Mlle Bourienne îl privea cu zâmbete vesele în timp ce vorbea cu bătrânul prinț.