2013_2014 an universitar II semestru Prelegerea nr. 2.6 pagina 12

Deformarea grinzilor în timpul îndoirii. Ecuație diferențială pentru axa curbă a unui fascicul. Metoda parametrilor inițiali. Ecuația universală a unei linii elastice.

6. Deformarea grinzilor în timpul îndoirii plane

6.1. Concepte de bază și definiții

Să luăm în considerare deformarea unei grinzi în timpul îndoirii plane. Axa fasciculului sub influența sarcinii este îndoită în planul de acțiune al forțelor (plan X 0y), în timp ce secțiunile transversale sunt rotite și deplasate cu o anumită cantitate. Axa curbată a unei grinzi în timpul îndoirii se numește axa curbata sau linie elastică.

Vom descrie deformarea grinzilor în timpul îndoirii prin doi parametri:

abatere(y) – deplasarea centrului de greutate al secțiunii grinzii pe o direcție perpendiculară pe

orez. 6.1 la axa sa.

Nu confunda deviația y cu coordonata y puncte de secțiune a fasciculului!

Cea mai mare abatere a fasciculului se numește săgeată de deviere ( f= y max);

2) unghiul de rotație al secțiunii() – unghiul cu care secțiunea se rotește față de poziția inițială (sau unghiul dintre tangenta la linia elastică și axa originală a grinzii).

În general, cantitatea de deviere a unui fascicul la un punct dat este o funcție a coordonatei z și poate fi scrisă ca următoarea ecuație:

Apoi unghiul dintre tangenta la axa curbată a fasciculului și axă X se va determina din următoarea expresie:

.

Datorită micii unghiuri și deplasări, putem presupune că

unghiul de rotație al secțiunii este prima derivată a deformarii fasciculului de-a lungul abscisei secțiunii.

6.2. Ecuația diferențială a axei curbe a unei grinzi

Pe baza naturii fizice a fenomenului de încovoiere, putem afirma că axa curbă a unui fascicul continuu trebuie să fie o curbă continuă și netedă (fără îndoituri). În acest caz, deformarea unei anumite secțiuni a fasciculului este determinată de curbura liniei sale elastice, adică de curbura axei fasciculului.

Anterior, am obținut o formulă pentru determinarea curburii unei grinzi (1/ρ) în timpul îndoirii

.

Pe de altă parte, din cursul de matematică superioară se știe că ecuația de curbură a unei curbe plane este următoarea:

.

Echivalând părțile din dreapta ale acestor expresii, obținem o ecuație diferențială pentru axa curbă a fasciculului, care se numește ecuația exactă pentru axa curbă a fasciculului.

În sistemul de coordonate al deviațiilor z0 y când axa y este îndreptată în sus, semnul momentului determină semnul derivatei a doua a y De z.

Integrarea acestei ecuații prezintă, evident, unele dificultăți. Prin urmare, de obicei este scris într-o formă simplificată, neglijând valoarea din paranteze în comparație cu unitatea.

Apoi ecuația diferențială a liniei elastice a unei grinziîl vom considera sub forma:

(6.1)

Găsim soluția ecuației diferențiale (6.1) prin integrarea ambelor părți asupra variabilei z:

(6.2)

(6.3)

Constantele integrării C 1 , D 1 se găsește din condițiile la limită - condițiile de asigurare a grinzii, iar pentru fiecare secțiune a grinzii se vor determina propriile sale constante.

Să luăm în considerare procedura de rezolvare a acestor ecuații folosind un exemplu specific.

D un nu:

Lungimea grinzii în consolă lîncărcat cu forță tăietoare F. Materialul fasciculului ( E), forma și dimensiunile secțiunii sale transversale ( eu X) considerăm și noi cunoscute.

DESPRE limită legea modificării unghiului de rotație ( z) și deformare y(z) grinzi de-a lungul lungimii și valorile acestora în secțiuni caracteristice.

Soluţie

a) determinați reacțiile în etanșare

b) folosind metoda secțiunilor, determinăm momentul încovoietor intern:

c) determinați unghiul de rotație al secțiunilor grinzii

Constant C 1 găsim din condițiile de fixare și anume, într-o încastrare rigidă unghiul de rotație este egal cu zero, atunci


(0) = 0  C 1 =0.

Să găsim unghiul de rotație al capătului liber al grinzii ( z = l) :

Semnul minus indică faptul că secțiunea s-a rotit în sensul acelor de ceasornic.

d) determinați deviațiile grinzii:

Constant D 1 găsim din condițiile de fixare, și anume, într-un ansamblu rigid, deformarea este egală cu zero, atunci

y(0) = 0 + D 1  D 1 = 0

Să găsim deformarea capătului liber al grinzii ( X= l)

.

Semnul minus indică faptul că secțiunea transversală s-a deplasat în jos.

Determinarea analitică a deplasărilor în grinzi

Exemplul 1

Sarcina

Pentru fasciculul prezentat în Fig. 4.20, A, trebuie să găsiți devierea în secțiune CU, unghiul de rotație în secțiune ÎN analitic și verificați starea de rigiditate dacă deformarea admisă este egală cu l/100. Grinda este realizată din lemn și are o secțiune transversală de trei bușteni cu o rază de 12 cm (Pentru selectarea secțiunii transversale a acestei grinzi, vezi Secțiunea 4.1.2, exemplul 1.)

Soluţie

Pentru a determina deplasările grinzii în mod analitic, vom compune ecuația diferențială a axei curbe (4.16), folosind regulile Clebsch pentru înregistrarea expresiei momentului încovoietor. În problema luată în considerare, este mai rațional să alegeți originea coordonatelor din dreapta (în sfârșit). Sarcina distribuită, care nu ajunge la capătul stâng al grinzii, va fi extinsă la secțiune CU(Fig. 4.20, V). Expresia pentru momentul încovoietor va arăta astfel:

.

Să substituim această expresie în ecuația diferențială (4.16) și să o integrăm de două ori:

;

;

.

Pentru a determina constante CUȘi D Să notăm condițiile limită: în încorporare (în secțiunea A, unde se află originea coordonatelor), unghiul de rotație și deflexie al fasciculului sunt egale cu zero, adică

ȘI .

Înlocuind aceste condiții în expresiile pentru unghiul de rotație și deformare din prima secțiune, aflăm că

Acum puteți defini mișcările specificate. Pentru a determina unghiul de rotație într-o secțiune ÎN Să substituim în expresia unghiului de rotație din prima secțiune (doar până la linia numerotată I) valoarea:

Conform regulii semnului, semnul negativ al unghiului de rotație pentru originea selectată X din dreapta înseamnă că secțiunea este rotită în sensul acelor de ceasornic.

În secțiune transversală CU, unde doriți să găsiți deviația, coordonatele X este egal cu , iar această secțiune este situată în a treia secțiune a fasciculului, așa că înlocuim X= 4 m în expresia pentru deviații, folosind termeni din toate cele trei secțiuni:

kN m 3.

Semnul minus pentru devierea găsită indică faptul că secțiunea CU se mișcă în sus. Să arătăm deplasările găsite pe axa curbă a fasciculului. Pentru a desena axa grinzii după deformare, construim o diagramă a momentelor încovoietoare (Fig. 4.20, b). Semnul pozitiv al diagramei Mîntr-o secțiune arată că grinda din această secțiune se îndoaie convex în jos, cu semn negativ M axa curbată convexă în sus. În plus, axa deformată a grinzii trebuie să îndeplinească condițiile de fixare: în cazul nostru, la capătul drept grinda este strânsă rigid și, după cum sa menționat deja la scrierea condițiilor limită, deformarea și unghiul de rotație în ciupire. trebuie să fie egal cu zero. În fig. 4.20, G axa grinzii luate în considerare este prezentată după deformare, îndeplinind aceste condiţii. Axa curbată arată deviațiile găsite în secțiune CUși unghiul de rotație al secțiunii ÎN tinand cont de semnele lor.

În concluzie, să calculăm deviația fasciculului în centimetri, unghiul de rotație în radiani și să verificăm starea de rigiditate. Să găsim rigiditatea EI grinda de lemn considerată de trei bușteni cu raza de 12 cm Momentul de inerție al secțiunii transversale

cm 4.

Modulul de elasticitate al lemnului E= 10 4 MPa = 10 3 kN / cm 2. Apoi

Deviația fasciculului în secțiune CU

cm,

și unghiul de rotație al secțiunii ÎN

bucuros.

Evident (vezi Fig. 4.20, G), că abaterea găsită a grinzii în secțiune CU este maximă, prin urmare, pentru a verifica starea de rigiditate, o comparăm cu deformarea admisă. Pentru o lungime a grinzii m, deformarea admisă în funcție de condiție cm Astfel, deformarea maximă este cm este mai puțin decât permis și condiția de rigiditate este îndeplinită.

Exemplul 2

Sarcina

Într-o grindă cu două console, prezentată în Fig. 4.21, A trebuie să găsim unghiul de rotație al secțiunii Ași deformarea secțiunii D folosind o metodă analitică. Secțiunea transversală a grinzii este grinda I nr. 24.

Soluţie

Să selectăm originea coordonatei X la capătul stâng al grinzii în punct Ași notează expresia pentru momentul încovoietor în toate secțiunile, ținând cont de regulile lui Clebsch:

Să substituim această expresie în ecuația diferențială a axei curbe (4.16) și să o integrăm de două ori:

Să găsim constante arbitrare CUȘi D din condiţiile la limită. La puncte ÎNȘi CU unde sunt amplasate suporturile nu sunt posibile abateri. De aceea

Am obținut un sistem de două ecuații cu două necunoscute CUȘi D. Rezolvând acest sistem, găsim CU= 40 kN m2, D= – 40 kN m 3. Să analizăm rezultatul folosind semnificația geometrică a constantelor arbitrare CUȘi D. În fig. 4.21, V este prezentată axa curbă a grinzii, corespunzătoare diagramei momentelor încovoietoare și condițiilor de fixare. Punct A, situat la origine, se mișcă în sus și, prin urmare, ar trebui să ne așteptăm la asta va avea un semn negativ în conformitate cu regula semnului. Secțiune la un punct A se rotește în sensul acelor de ceasornic, deci constanta trebuie să fie pozitiv. Note primite CUȘi D nu contrazice analiza efectuată.

TEMA 6

DETERMINAREA MIȘCĂRILOR ÎN TIMPUL ÎNDOIRII. CALCULUL GRINDEI PENTRU RIGIDITATE

6.1. Conceptul de linie elastică. Unghiul de deviere și rotație. Ecuația diferențială a unei linii elastice. Condiție de rigiditate la încovoiere

Pentru a judeca performanța grinzilor de îndoire, nu este suficient să cunoaștem doar tensiunile care apar în secțiunile grinzii de la o sarcină dată. Tensiunile calculate vă permit să verificați rezistența sistemului. Cu toate acestea, grinzile foarte puternice pot fi nepotrivite pentru utilizare din cauza rigidității insuficiente. Dacă fasciculul se îndoaie puternic în timpul încărcării, atunci vor apărea dificultăți în timpul funcționării unei structuri cu grinzi flexibile și, în plus, pot apărea vibrații ale fasciculului cu amplitudini mari și, în același timp, solicitări suplimentare semnificative.

Sub rigiditate ar trebui înțeles capacitatea elementelor structurale și a pieselor mașinii de a rezista la sarcini externe fără deformare vizibilă. Calculul rigidității constă în aprecierea complianței elastice a grinzii sub influența sarcinilor aplicate și selectarea unor astfel de dimensiuni de secțiune transversală la care deplasările să nu depășească limitele stabilite de standarde. Pentru a efectua un astfel de calcul, este necesar să învățați cum să calculați deplasările secțiunilor fasciculului sub influența oricărei sarcini externe.

Să luăm în considerare deformarea unei grinzi în timpul îndoirii simple. Axa grinzii (Fig. 6.1, a) sub influența unei sarcini situate într-unul dintre planurile principale de inerție (în planul DIV_ADBLOCK65">

Punct https://pandia.ru/text/79/355/images/image003_20.gif" width="13" height="15">.gif" width="24" height="19 src=">.gif "width="13" height="15">. Dacă într-un punct tragem o tangentă la axa unei grinzi curbe, atunci față de poziția inițială a axei va fi rotită cu un unghi. În același timp timp, secțiunea din punct va fi rotită cu același unghi. Astfel, trei cantități- , și sunt componentele deplasării unei secțiuni transversale arbitrare a fasciculului. Mișcarea centrului de greutate al unei secțiuni într-o direcție perpendiculară pe axa fasciculului se numește abatere. Cea mai mare abatere se numește săgeată de deviere si este desemnat prin litera .

Unghi https://pandia.ru/text/79/355/images/image010_4.gif" width="24" height="19 src=">.

Font-weight:normal"> Fig.6.1

Verificarea rigidității grinzilor se reduce la cerința ca cea mai mare deformare să fie font-weight:normal"> .

Numărul https://pandia.ru/text/79/355/images/image014_4.gif" width="17" height="15 src="> este luat egal cu 1000.

Acest lucru arată că deviațiile de îndoire sunt de obicei mici în comparație cu deschiderea grinzii. Acest lucru permite unele simplificări. În primul rând, cu deviații mici font-weight:normal">font-weight:normal">În al doilea rând, mișcările orizontale pot fi neglijate, deoarece sunt semnificativ mai mici https://pandia.ru/text/79/355/images /image016_5. gif" width="45" height="15 src=">). În acest sens, vom folosi diagramă condiționată mișcările prezentate în Fig. 6.1, b. Conform acestei scheme, fiecare punct se deplasează perpendicular pe axa longitudinală a fasciculului.

Pentru a determina imaginea completă a deformațiilor, este necesar să se obțină ecuația dreptei elastice

Bazat natura fizica axa curbată a grinzii, putem afirma că linia elastică trebuie să fie o curbă continuă și netedă, prin urmare, de-a lungul întregii axe a grinzii funcția și derivata sa prima trebuie să fie continue. Deviațiile și unghiurile de rotație sunt deplasările secțiunilor grinzii în timpul îndoirii. Deformarea unei anumite secțiuni a unui fascicul este determinată de curbura acesteia.

Când am obținut formula pentru tensiunile normale de încovoiere, am obținut o relație între curbură și momentul încovoietor:

font-weight:normal">Din cursul matematicii superioare este cunoscută următoarea ecuație de curbură a unei curbe plane:

Font-weight:normal">Inlocuind valoarea curburii in egalitate (6.2) si inlocuind coordonata cu deflexie, obtinem ecuatia diferentiala exacta a liniei elastice a fasciculului:

Font-weight:normal">Integrarea acestei ecuații diferențiale neliniare este asociată cu mari dificultăți. Având în vedere că în practică avem de-a face cu deviații mici și că tangentele unghiurilor de înclinare ale tangentei la axă vor fi mici, pătratul primei derivate https://pandia.ru/ text/79/355/images/image024_4.gif" width="101 height=48" height="48"> (6,5)

Sunt date două semne în ecuația (6.5), deoarece semnul curburii poate să nu coincidă cu semnul momentului încovoietor. Semnul curburii depinde de direcția axelor de coordonate. Semnul momentului încovoietor a fost ales în funcție de locul unde se aflau fibrele de tracțiune. Deci, de exemplu, pentru cazul în care axa este îndreptată în sus, punct pozitiv(Fig. 6.2, a) corespunde unei curburi pozitive, iar una negativă – curbură negativă.

Dimensiunea fontului: 14.0pt"> Fig 6.2

Astfel, în cazul în care axa este îndreptată în sus, semnele de curbură și momentul încovoietor coincid. Prin urmare, în ecuația diferențială se ia semnul“ + ” . Dacă axa este EN-US" style="font-size: 14.0pt">“- ” .

6.2. Metoda de integrare directă a ecuației diferențiale aproximative (principale) a unei linii elastice

Rezolvarea problemei metoda analitica, unghiurile de rotație și deviațiile sunt calculate prin integrarea secvențială a ecuației diferențiale aproximative (6.5). Având ecuația integrată (6.5) pentru prima dată, obținem o expresie pentru unghiul de rotație:

https://pandia.ru/text/79/355/images/image030_3.gif" width="12" height="23">

unde font-family:Symbol">- constanta de integrare.

Integrând a doua oară, obținem o expresie pentru deformare:

font-size:14.0pt">.gif" width="17" height="17 src=">- integrări constante.

Pentru a calcula integralele incluse în (6.6) și (6.7), este necesar să se scrie mai întâi expresii analitice pentru momentul încovoietor și rigiditatea. Constantele integrării se găsesc din condiţiile la limită, care depind de condițiimutarea limitelor secțiunilor de grinzi.

Să luăm în considerare câteva exemple de utilizare a metodei de integrare directă a ecuației aproximative a liniei elastice a unei grinzi.

Exemplul 6.1.Determinați deformarea și unghiul de rotație a secțiunii B a grinzii prezentate în Fig. 6.3.

Dimensiunea fontului: 14.0pt"> Fig.6.3

Soluţie:

; .

- La dreapta.

.

semnul „+”.

5. Să integrăm pentru prima dată ecuația. Primim:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(A)

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(b)

Deoarece în înglobare unghiul de deformare și rotație sunt egale cu zero, pentru a determina constantele de integrare condițiile la limită au forma:

Când https://pandia.ru/text/79/355/images/image042_3.gif" width="37" height="19 src=">font-size:14.0pt">Din ecuația (a) este clar că constanta reprezintă unghiul de rotație la origine (secțiunea A). Fixând în ecuația (a), găsim . Din ecuația (b) rezultă că constanta font-size:14.0pt; font-family:Symbol">-deformare la origine..gif" width="43" height="19 src=">.

Astfel, obținem următoarele expresii pentru deformare și unghi de rotație:

,

.

Înlocuind în prima ecuație, găsim săgeata de deviere:

.

Înlocuind în a doua ecuație, găsim unghiul maxim de rotație

Semn " - " la deformare indică faptul că direcția sa nu coincide cu direcția pozitivă a axei. Semn“ - ” în expresia pentru unghiul de rotație arată că secțiunea B s-a rotit mai degrabă în sensul acelor de ceasornic decât în ​​sens invers acelor de ceasornic.

Exemplul 6.2.Determinați deformarea grinzii duble de sprijin și unghiurile de rotație ale secțiunilor de sprijin A și B (Fig. 6.4).

Dimensiunea fontului: 14.0pt"> Fig.6.4

Soluţie:

1. Din condițiile de echilibru, determinăm reacțiile de suport:

2. Selectați originea coordonatelor la capătul stâng al fasciculului, combinând-o cu punctul A. Îndreptați axa în sus, axa- La dreapta.

3. Creăm o ecuație pentru momentul încovoietor în secțiune:

.

4. Presupunând că rigiditatea grinzii este constantă, scriem ecuația diferențială aproximativă a liniei elastice a grinzii:

.

semnul „+”. în ecuația unei linii elastice a fost luată deoarece axa este îndreptată în sus.

5. Să integrăm pentru prima dată ecuația. Primim:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(V)

Integrând din nou, obținem ecuația pentru deviația în secțiunea:

EN-US" style="font-size: 14.0pt">.(G)

Găsim constantele de integrare din condițiile la limită:

Când https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src=">font-size:14.0pt">Înlocuirea în ecuația (d) și echivalarea devierea la zero, obținem ; înlocuind https://pandia.ru/text/79/355/images/image031_4.gif" width="16" height="19"> în aceeași ecuație:

Înlocuim valorile găsite ale constantelor de integrare în ecuațiile (c) și (d) și obținem ecuațiile pentru unghiurile de rotație și deviații:

;

.

Înlocuind https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" width="35" height="19 src="> în prima ecuație, obținem unghiurile de rotație ale secțiunilor A și B , respectiv:

; .

Datorită simetriei sarcinii, maxim deformarea va fi în mijlocul fasciculului. Înlocuirea font-size:14.0pt"> în a doua ecuație .

Ca și în exemplul precedent, semnul“ - ” la deformare indică faptul că direcția sa nu coincide cu direcția pozitivă a axei EN-US style="font-size:14.0pt"">“- ” în expresia pentru unghiul de rotație arată că secțiunea A s-a rotit în sensul acelor de ceasornic și nu în sens invers acelor de ceasornic, semnul“ + ” în expresia unghiului de rotație font-size:14.0pt">Exemplu 6.3. De câte ori este deviația din secțiunea B la capătul grinzii prezentată în Fig. 6.5 mai mare decât deformarea din secțiunea C în mijlocul grinzii??

EN-US" style="font-size:14.0pt"> Fig.6.5

Soluţie:

Să folosim rezultatele obținute în Exemplul 6.1. Să scriem expresia finală pentru abatere:

și înlocuiți coordonatele punctelor C și B în această ecuație.

Când https://pandia.ru/text/79/355/images/image070_2.gif" width="264" height="101 src=">;

Ipoteze pentru îndoire. Strat neutru, raza de curbură, curbură, distribuția deformațiilor și a tensiunilor normale de-a lungul înălțimii secțiunii transversale a tijei. Tensiuni tangenţiale la îndoirea plană transversală a tijelor. Calculul grinzilor pentru rezistența la încovoiere. Mișcări de îndoire.

Tensiuni normale cu îndoire dreaptă pură. Deoarece tensiunile normale depind numai de momentele încovoietoare, formula de calcul poate fi derivată în raport cu încovoierea pură. Rețineți că folosind metodele teoriei elasticității este posibil să se obțină o dependență exactă pentru tensiunile normale în timpul încovoierii pure, dar dacă această problemă este rezolvată folosind metode de rezistență a materialelor, este necesar să se introducă câteva ipoteze.

Există trei astfel de ipoteze pentru îndoire:

1) ipoteza secțiunilor plate (ipoteza Bernoulli) - secțiunile plate înainte de deformare rămân plate după deformare, dar se rotesc doar față de o anumită linie, care se numește axa neutră a secțiunii grinzii. În acest caz, fibrele fasciculului aflate pe o parte a axei neutre se vor întinde, iar pe cealaltă, se vor comprima; fibrele situate pe axa neutră nu își schimbă lungimea;

2) ipoteza constanței tensiunilor normale - tensiunile care acționează la aceeași distanță y față de axa neutră sunt constante pe lățimea grinzii;

3) ipoteza absenței presiunilor laterale - fibrele longitudinale adiacente nu se apasă unele pe altele.

Orez. 28. Conjectura lui Bernoulli

Problemă de îndoire a planului static. Momentul încovoietor în secțiune este suma momentelor tuturor forțelor normale interne elementare σ.dA care apar pe zonele elementare ale secțiunii transversale a grinzii (Fig. 29), în raport cu axa neutră: .

Această expresie reprezintă partea statică a problemei de îndoire plană. Dar nu poate fi folosit pentru a determina tensiunile normale, deoarece legea distribuției tensiunilor pe secțiune este necunoscută.

Orez. 29. Partea statică a problemei

Partea geometrică a problemei îndoirii plane. Să selectăm un element de grindă cu lungimea dz ca două secțiuni transversale. Sub sarcină, axa neutră se îndoaie (raza de curbură ρ), iar secțiunile se rotesc față de liniile lor neutre cu un unghi dθ. Lungimea segmentului de fibre a stratului neutru rămâne neschimbată (Fig. 30, b):

Orez. 30. Partea geometrică a problemei:
a - element de grindă; b - curbura axei neutre; c - diagrama σ.dA; d - diagrama ε

Să determinăm lungimea segmentului de fibră situat la o distanță y de stratul neutru

dz 1 = (ρ + y)dθ .

Alungirea relativă în acest caz va fi

Dependența reflectă latura geometrică a problemei îndoirii plane, din care reiese clar că deformațiile fibrelor longitudinale se modifică de-a lungul înălțimii secțiunii conform unei legi liniare.

Setul de fibre care nu își schimbă lungimea atunci când fasciculul este îndoit se numește strat neutru.

Linia în care secțiunea transversală a fasciculului se intersectează cu stratul neutru al grinzii se numește linie de secțiune neutră.

Partea fizică a problemei îndoirii planului. Folosind legea lui Hooke pentru tensiunea axială, obținem

Înlocuind valoarea lui σ în expresia care reflectă latura statică a problemei îndoirii plane, obținem

Înlocuind valoarea în formula originală, obținem

(13)

Această expresie reflectă latura fizică a problemei de îndoire plană, ceea ce face posibilă calcularea tensiunilor normale de-a lungul înălțimii secțiunii.

Deși această expresie a fost obținută pentru cazul îndoirii pure, după cum arată studiile teoretice și experimentale, ea poate fi folosită și pentru îndoirea plană transversală.

Linie neutră. Poziția liniei neutre este determinată din condiția ca forța normală în secțiunile fasciculului să fie egală cu zero la îndoire pură

Deoarece M x ≠ 0 și I x ≠ 0, este necesar ca integrala să fie egală cu zero. Această integrală reprezintă momentul static al secțiunii în jurul axei neutre. Deoarece momentul static al secțiunii este zero doar în raport cu axa centrală, prin urmare, linia neutră în încovoiere plană coincide cu axa centrală principală de inerție a secțiunii.

Tensiunea de forfecare. Tensiunile tangențiale care apar în secțiunile grinzii în timpul îndoirii plane transversale sunt determinate de dependența:

(14)

unde Q este forța tăietoare în secțiunea grinzii luate în considerare; S xo - momentul static al zonei părții tăiate a secțiunii în raport cu axa neutră a fasciculului; b este lățimea secțiunii din stratul luat în considerare; Ix este momentul de inerție al secțiunii față de axa neutră.

Tensiunile de forfecare sunt zero în fibrele cele mai exterioare ale secțiunii și sunt maxime în fibrele stratului neutru.

Calculul grinzilor pentru rezistența la încovoiere. Rezistența grinzii va fi asigurată dacă sunt îndeplinite următoarele condiții:

(15)

Tensiunile normale maxime în timpul încovoierii apar în secțiunile în care acționează momentul încovoietor maxim, în punctele secțiunii cele mai îndepărtate de axa neutră

Tensiunile de forfecare maxime apar în secțiunile grinzii unde acționează forța de forfecare maximă

Tensiunile tangențiale τmax sunt de obicei mici în comparație cu σmax și, de regulă, nu sunt luate în considerare în calcule. Testarea efortului de forfecare se efectuează numai pentru grinzi scurte.

Mișcări de îndoire. Calculele de rigiditate înseamnă evaluarea conformității elastice a unei grinzi sub influența sarcinilor aplicate și selectarea dimensiunilor secțiunii transversale astfel încât deplasările să nu depășească limitele stabilite de standarde.

Condiție de rigiditate la încovoiere

Mișcarea centrului de greutate al secțiunii într-o direcție perpendiculară pe axa fasciculului se numește deformare. Deformarea este indicată de litera W.

Cea mai mare deformare a travei sau a consolei grinzii se numește săgeată de deviere și este desemnată prin litera ƒ.

Colţ q, prin care fiecare secțiune se rotește față de poziția inițială și este unghiul de rotație.

Unghiul de rotație este considerat pozitiv atunci când secțiunea este rotită în sens invers acelor de ceasornic

Unghiul de rotație al secțiunii este egal cu valoarea derivatei deviației de-a lungul coordonatei Z în aceeași secțiune, adică:

Ecuația liniei elastice a unei grinzi

(16)

Există trei metode de rezolvare a ecuației diferențiale a liniei elastice a unei grinzi. Acestea sunt metoda de integrare directă, metoda Clebsch și metoda parametrilor inițiali.

Metoda de integrare directă. După ce am integrat pentru prima dată ecuația liniei elastice a grinzii, obținem o expresie pentru determinarea unghiurilor de rotație:

Integrând a doua oară, se găsesc expresii pentru a determina deviațiile:

Valorile constantelor de integrare C și D sunt determinate din condițiile inițiale de pe suporturile grinzii

metoda Clebsch. Pentru a compila ecuații, trebuie îndeplinite următoarele condiții de bază:

• originea coordonatelor, pentru toate secțiunile, trebuie să fie situată la extremitatea stângă a fasciculului;
• efectuați integrarea ecuației diferențiale a liniei elastice a grinzii fără a deschide consolele;
• la includerea unui moment concentrat extern M în ecuație, acesta trebuie înmulțit cu (Z - a), unde a este coordonata secțiunii în care se aplică momentul;
• în cazul unei ruperi a sarcinii distribuite, aceasta este extinsă până la capătul grinzii, iar pentru a restabili condițiile reale de încărcare se introduce o sarcină „compensatoare” în sens opus

Metoda parametrilor inițiali

Pentru unghiuri de rotație

(17)

Pentru abateri:

(18)

unde θ este unghiul de rotație al secțiunii; w - deformare; θo - unghiul de rotație la origine; w0 - deformare la origine; dі - distanța de la origine la i-al-lea suport grinzi; ai este distanța de la origine până la punctul de aplicare a momentului concentrat Mi; bi este distanța de la origine până la punctul de aplicare a forței concentrate Fi; сi - distanța de la origine până la începutul secțiunii de sarcină distribuită qi; Ri și Мрi - reacția și momentul reactiv în suporturile grinzii.

Determinarea săgeților de deviere pentru cazuri simple

Orez. 31. Exemple de încărcări ale grinzilor

Calculul deplasărilor prin metoda lui Mohr

Dacă nu este necesară cunoașterea ecuației unei linii curbe a unei grinzi, dar trebuie determinate numai deplasările liniare sau unghiulare ale unei secțiuni individuale, este cel mai convenabil să se folosească metoda lui Mohr Pentru grinzi și cadre plate, integrala lui Mohr are formă:

unde δ este deplasarea dorită (liniară sau unghiulară); M p, M i - expresii analitice ale momentelor încovoietoare, respectiv, dintr-o forță dată și unitară; EJ x este rigiditatea secțiunii grinzii în planul de îndoire. La determinarea deplasărilor trebuie avute în vedere două stări ale sistemului: 1 - stare reală, cu o sarcină externă aplicată; 2 - stare auxiliară, în care fasciculul este eliberat de sarcina externă și se aplică o forță unitară secțiunii, a cărei deplasare este determinată, dacă se determină deplasarea liniară, sau un singur moment, dacă se determină deplasarea unghiulară ( Fig. 32).

Orez. 32. Determinarea mișcărilor:
a - starea actuală; b, c - stări auxiliare

Formula lui Mohr poate fi obținută, de exemplu. folosind principiul mișcărilor posibile.

Orez. 33. Diagrama cadru:
a - sub influența forței; b - eforturi interne

Să luăm în considerare diagrama (Fig. 33a), când în punctul A în direcția deplasării dorite ΔA se aplică o forță unitară, determinând factori de forță interni în secțiunea transversală a sistemului (Fig. 33, b). În conformitate cu principiul deplasărilor posibile, munca acestor factori de forță internă asupra oricăror posibile deplasări ar trebui să fie egală cu munca unei forțe unitare pe o posibilă deplasare δΔA:

Alege posibile mișcări proporțional cu cele reale:

Și după înlocuire obținem:

Ținând cont de faptul că

ajungem la formula lui Mohr

(19)

care serveşte la determinarea oricăror deplasări generalizate în sistemele de tije.

În cazul în care grinda lucrează numai în încovoiere (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), expresia (1) ia forma:

(20)

regula lui Vereșchagin vă permite să înlocuiți integrarea directă în formulele lui Mohr cu așa-numita multiplicare a diagramelor. Metoda de calcul a integralei Mohr prin înlocuirea integrării directe prin înmulțirea diagramelor corespunzătoare se numește metoda (sau regulă) Vereshchagin, care constă în următoarele: pentru a multiplica două diagrame, dintre care cel puțin una este rectilinie, trebuie să înmulțiți aria unei diagrame cu ordonata celeilalte diagrame situată mai întâi sub centrul de greutate (ordonatele sunt folosite numai cu diagramele în linie dreaptă). Diagramele de formă complexă pot fi împărțite într-un număr de altele simple: dreptunghi, triunghi, parabolă pătratică etc. (Fig. 34).

Orez. 34. Cele mai simple diagrame

Valabilitatea regulii lui Vereshchagin.

Orez. 35. Schema de multiplicare a diagramei:
a - diagramă arbitrară; b - drept

Sunt prezentate două diagrame ale momentelor încovoietoare, dintre care una Mk are un contur arbitrar, iar cealaltă Mi este rectilinie (Fig. 35). Secțiunea transversală a tijei este considerată constantă. În acest caz

Valoarea Mkdz reprezintă aria elementară dω a diagramei Mk (umbrită). Primim

Dar Mi = ztg α, prin urmare,

Expresia reprezintă momentul static al ariei diagramei Mk în raport cu axa y care trece prin punctul O, egal cu ωkΖc, unde ωk este aria diagramei momentului; Ζс - distanța de la axa y până la centrul de greutate al diagramei M k. Din poza este evident:

Ζ c = М i /tg α,

unde Mi este ordonata diagramei Mi, situată sub centrul de greutate al diagramei Mk (sub punctul C).

(21)

Formula (21) reprezintă regula de calcul a integralei Mohr: integrala este egală cu produsul dintre aria diagramei curbilinii și ordonata luată din diagrama rectilinie și situată sub centrul de greutate al diagramei curbilinii.

Diagramele curbilinii întâlnite în practică pot fi împărțite într-un număr de cele simple: dreptunghi, triunghi, parabolă pătratică simetrică etc.

Prin împărțirea diagramelor în părți, este posibil să ne asigurăm că atunci când sunt multiplicate, toate diagramele ar avea o structură simplă.

Exemplu de calcul al deplasării. Este necesar să se determine deformarea în mijlocul travei și unghiul de rotație al secțiunii de susținere din stânga a grinzii încărcate cu o sarcină distribuită uniform (Fig. 36, a) folosind metoda Mohr-Vereshchagin.

Să considerăm 3 stări ale grinzii: starea de sarcină (sub acțiunea unei sarcini distribuite q;) corespunde diagramei Mq (Fig. 36, b), și două simple: sub acțiunea unei forțe aplicate în punct. C (diagrama, Fig. 36, c) și momentul aplicat în punctul B (diagrama, Fig. 36, d).

Deviația fasciculului în mijlocul travei:

Vă rugăm să rețineți că înmulțirea diagramelor se efectuează pentru jumătate din fascicul, iar apoi, din cauza simetriei, rezultatul rezultat este dublat. Când se calculează unghiul de rotație al secțiunii în punctul B, aria diagramei Mq este înmulțită cu ordonata diagramei situată sub centrul său de greutate (1/2, Fig. 9, d), deoarece diagrama se modifică de-a lungul unei linii drepte:

Orez. 36. Exemplu de calcul:
a este diagrama fasciculului dat; b - diagrama de sarcină a momentelor;
c - diagrama unitară a forței unitare; g - dintr-un singur moment

Linie de fascicul elastic - axa fasciculului după deformare.

Deviația fasciculului $y$ - mișcarea de translație a centrului de greutate pe direcția transversală a fasciculului. Deviația în sus este considerată pozitivă, în jos-’ încăpător.

Ecuația liniilor elastice - reprezentarea matematică a dependenţei $y(x)$ (deformarea pe lungimea grinzii).

Săgeata de deviere $f = (y_(\max ))$ - valoarea maximă a deformarii grinzii pe lungimea sa.

Unghiul de rotație al secțiunii $\varphi $ - unghiul prin care se rotește secțiunea în timpul deformării grinzii. Unghiul de rotație este considerat pozitiv dacă secțiunea se rotește în sens invers acelor de ceasornic și invers.

Unghiul de rotație al secțiunii este egal cu unghiul de înclinare al liniei elastice. Astfel, funcția de modificare a unghiului de rotație pe lungimea fasciculului este egală cu derivata întâi a funcției de deviere $\varphi (x) = y"(x)$.

Astfel, la îndoire luăm în consideraredouă tipuri de mișcări- deformarea si unghiul de rotatie al sectiunii.

Scopul determinării deplasărilor

Mișcarea în sistemele de tije (în special în grinzi) este determinată pentru a asigura condiții de rigiditate (deformațiile sunt limitate de codurile de construcție).

În plus, determinarea deplasărilor este necesară pentru a calcula rezistența sistemelor static neproeminente.

Ecuația diferențială a liniei elastice (axa curbă) a grinzii

În această etapă, este necesar să se stabilească dependența deplasărilor în grinda de sarcinile externe, metoda de fixare, dimensiunile grinzii și materialul. Pentru a rezolva complet problema, este necesar să se obțină funcția de deviere $y(x)$ pe toată lungimea grinzii. Este destul de evident că deplasările în grinda depind de deformațiile fiecărei secțiuni. Anterior, am obținut dependența curburii unei secțiuni de grinzi de momentul încovoietor care acționează în această secțiune.

$\frac(1)(\rho ) = \frac(M)((EI))$.

Curbura unei linii este determinată de ecuația sa $y(x)$ după cum urmează

$\frac(1)(\rho ) = \frac((y))((((\left((1 + ((\left((y")) \right))^2)) \right))^ (3/2))))$ ,

unde $y"$ și $y$ - respectiv, prima și a doua derivată a funcției de deviere cu coordonată X.

Din punct de vedere practic, această notație poate fi simplificată. De fapt $y" = \varphi $- Unghiul de rotație al secțiunii în structurile reale nu poate fi mare, de regulă, nu mai mult de 1 grad= 0,017 rad . Atunci $1 + (\left((y") \right)^2) = 1 + (0,017^2) = 1,000289 \aprox 1$, adică putem presupune că $\frac(1)(\rho ) = y " = \frac(((d^2)y))((d(x^2)))$. Deci am primitecuația liniei elastice a grinzii(ecuația diferențială a axei curbe a fasciculului). Această ecuație a fost obținută pentru prima dată de Euler.

$\frac(((d^2)y))((d(x^2))) = \frac((M(x)))((EI)).$

Dependența diferențială obținută arată relațiileîntre deplasări şi forţe interne în grinzi. Ținând cont de relația diferențială dintre forța tăietoare, momentul încovoietor și sarcina forfecare, vom arăta conținutul derivatelor funcției de deformare.

$y(x)$ - funcția de deviere;

$y"(x) = \varphi (x)$ - funcția unghiului de rotație;

$EI \cdot y"(x) = M(x)$ - funcția de modificare a momentului încovoietor;

$EI \cdot y""(x) = M"(x) = Q(x)$- funcția de schimbare a forței tăietoare;

$EI \cdot (y^(IV))(x) = M"(x) = q(x)$- funcția de schimbare a sarcinii laterale.