Definiții. Predicate Predicat dublu

Conceptul de predicat

Definiția 1

Predicat- o declarație care conține variabile care iau valoarea $1$ sau $0$ (adevărat sau fals) în funcție de valorile variabilelor.

Exemplul 1

De exemplu, expresia $x=x^5$ este un predicat deoarece este adevărat pentru $x=0$ sau $x=1$ și fals pentru toate celelalte valori ale lui $x$.

Definiția 2

Se numește o mulțime pe care un predicat acceptă numai valori adevărate set de adevăr al predicatului$I_p$.

Predicatul este numit identic adevărat, dacă pe orice set de argumente se evaluează la adevărat:

$P (x_1, \dots, x_n)=1$

Predicatul este numit identic fals, dacă pe orice set de argumente se evaluează ca fals:

$P (x_1, \dots, x_0)=0$

Predicatul este numit fezabil, dacă se evaluează ca adevărat pe cel puțin un set de argumente.

Deoarece predicatele pot lua doar două valori (adevărat/fals sau $0/1$), apoi le pot fi aplicate toate operațiile algebrei logice: negație, conjuncție, disjuncție etc.

Exemple de predicate

Fie predicatul $R(x, y)$: $“x = y”$ desemnează relația de egalitate, unde $x$ și $y$ aparțin mulțimii numerelor întregi. În acest caz, predicatul R va fi adevărat pentru toți egali $x$ și $y$.

Un alt exemplu de predicat este WORKS($x, y, z$) pentru relația „$x$ funcționează în orașul y pentru compania $z$”.

Un alt exemplu de predicat este LIKE($x, y$) pentru „x-i place y” pentru $x$ și $y$, care aparțin lui $M$ - mulțimea tuturor oamenilor.

Astfel, un predicat este tot ceea ce este afirmat sau negat despre subiectul judecății.

Operații asupra predicatelor

Să luăm în considerare aplicarea operațiilor de algebră logică la predicate.

Operatii logice:

Definiția 3

Conjuncția a două predicate $A(x)$ și $B(x)$ sunt un predicat care capătă o valoare adevărată pentru acele și numai acele valori de $x$ din $T$ pentru care fiecare dintre predicate capătă o valoare adevărată și o valoare falsă în orice moment în toate celelalte cazuri. Setul de adevăr $T$ al unui predicat este intersecția setului de adevăr al predicatelor $A(x)$ și $B(x)$. De exemplu: predicat $A(x)$: „$x$ este un număr par”, predicat $B(x)$: „$x$ este divizibil cu $5$.” Astfel, predicatul ar fi „$x$ este un număr par și este divizibil cu $5$” sau „$x$ este divizibil cu $10$”.

Definiția 4

Disjuncția a două predicate $A(x)$ și $B(x)$ sunt un predicat care evaluează fals pentru acele și numai acele valori de $x$ de la $T$ pentru care fiecare dintre predicate evaluează fals și evaluează adevărat în toate celelalte cazuri. Setul de adevăr al unui predicat este uniunea domeniilor de adevăr ale predicatelor $A(x)$ și $B(x)$.

Definiția 5

Negarea unui predicat $A(x)$ este un predicat care se evaluează ca adevărat pentru toate valorile lui $x$ în $T$ pentru care $A(x)$ evaluează ca fals și invers. Mulțimea de adevăr a predicatului $A(x)$ este complementul lui $T"$ la mulțimea $T$ din mulțimea $x$.

Definiția 6

Implicația predicată $A(x)$ și $B(x)$ este un predicat care este fals pentru acele și numai acele valori ale lui $x$ din $T$ pentru care $A(x)$ este adevărat și $B(x )$ este fals și se evaluează ca adevărat în toate celelalte cazuri. Se citește: „Dacă $A(x)$, atunci $B(x)$”.

Exemplul 2

Fie $A(x)$: „Numărul natural $x$ este divizibil cu $3$”;

$B(x)$: „Numărul natural $x$ este divizibil cu $4$”.

Să creăm un predicat: „Dacă un număr natural $x$ este divizibil cu $3$, atunci este și divizibil cu $4$.”

Mulțimea de adevăr a unui predicat este unirea mulțimii de adevăr a predicatului $B(x)$ și complementul la mulțimea de adevăr a predicatului $A(x)$.

Pe lângă operațiile logice, operațiile cuantice pot fi efectuate pe predicate: utilizarea cuantificatorului universal, a cuantificatorului de existență etc.

Cuantificatori

Definiția 7

Cuantificatori-- operatori logici, a căror aplicare la predicate îi transformă în afirmații false sau adevărate.

Definiția 8

Cuantificator-- operații logice care limitează domeniul de adevăr al unui predicat și creează o declarație.

Cele mai frecvent utilizate cuantificatori sunt:

cuantificator universal (notat cu simbolul $\forall x$) - expresia „for all $x$” (“for any $x$”);

cuantificator de existență (notat cu simbolul $\există x$) - expresia „există $x$ astfel încât...”;

cuantificator de unicitate și existență (notat $\există !x$) - expresia „există exact un $x$ astfel încât...”.

În logica matematică există un concept legând sau cuantificare, care denotă atribuirea unui cuantificator unei formule.

Exemple de utilizare a cuantificatorilor

Fie predicatul „$x$ este un multiplu de $7$”.

Folosind cuantificatorul universal, putem scrie următoarele afirmații false:

orice număr natural este divizibil cu $7$;

fiecare număr natural este divizibil cu $7$;

toate numerele naturale sunt divizibile cu $7$;

care va arăta astfel:

Poza 1.

Pentru a scrie afirmații adevărate folosim cuantificator de existență:

există numere naturale care sunt divizibile cu $7$;

există un număr natural care este divizibil cu $7$;

cel puțin un număr natural este divizibil cu $7$.

Intrarea va arăta astfel:

Figura 2.

Fie dat predicatul pe mulțimea $x$ de numere prime: „Un număr prim este impar”. Punând cuvântul „oricare” în fața predicatului, obținem o afirmație falsă: „Orice număr prim este impar” (de exemplu, $2$ este un număr prim par).

Punem cuvântul „există” în fața predicatului și obținem o afirmație adevărată: „Există un număr prim care este impar” (de exemplu, $x=3$).

Astfel, un predicat poate fi transformat într-un enunț prin plasarea unui cuantificator în fața predicatului.

Operatii pe cuantificatoare

Pentru a construi negația enunțurilor care conțin cuantificatori, folosim regula de negație a cuantificatorilor:

Figura 3.

Să luăm în considerare propozițiile și să alegem predicate dintre ele, indicând domeniul de adevăr al fiecăreia dintre ele.

Să luăm în considerare propunerea

Această propoziție nu este o afirmație deoarece nu se poate spune că este adevărată sau falsă. Se numește predicat sau condiție (pe x și y). Iată și alte exemple de propoziții cu variabile:

Există un număr prim;

Există un număr par;

mai puțin y,

Există un divizor comun y, z.

Vom presupune că valorile admisibile ale variabilelor y și z sunt numere naturale. Dacă înlocuiți variabilele din propoziții cu valorile lor valide, obțineți afirmații care pot fi fie adevărate, fie false. De exemplu,

2 este un număr prim;

3 este un număr par;

5 este mai mic decat 7;

3 este un divizor comun al lui 6 și 12.

DEFINIȚIE. Propozițiile cu variabile care produc enunțuri prin înlocuirea variabilelor libere cu valorile lor permise se numesc predicate.

Propozițiile pot servi ca exemple de predicate.

Pe baza numărului de variabile libere incluse, predicatele se disting ca simple, duble, triple etc. Predicatele (2) și (3) sunt simple, predicatele (1) și (4) sunt duble, predicatul (5) este triplu. Vom considera afirmațiile ca fiind predicate cu locul zero.

Înlocuind variabila din predicatul unar (2) cu numere naturale, obținem următoarele afirmații:

0 este un număr prim;

1 este un număr prim;

2 este un număr prim;

3 este un număr prim etc.

Unele dintre ele sunt adevărate. Astfel, acest predicat cu un singur loc le distinge între numerele naturale pe cele a căror substituire în loc de o variabilă produce o afirmație adevărată și poate fi considerat ca o condiție a valorilor unei variabile libere incluse în predicat. În acest caz, numerele care îndeplinesc această condiție sunt prime.

Un predicat cu un singur loc poate fi considerat ca o condiție asupra obiectelor de un anumit tip; dublu - ca o condiție asupra perechilor de obiecte de un anumit tip etc.

Predicatele pot fi specificate în diferite moduri. Algebra ia în considerare adesea predicate definite de ecuații, inegalități și sisteme de ecuații sau inegalități. De exemplu, o inegalitate definește un predicat cu un singur loc, o ecuație - un predicat cu două locuri și un sistem de ecuații - un y de trei locuri, z - variabile raționale).

Vom desemna predicatele cu majuscule ale alfabetului latin (eventual cu indice) indicând între paranteze toate variabilele libere incluse în acest predicat. De exemplu, - desemnarea unui predicat cu două locuri, - un predicat cu trei locuri și - desemnarea unui predicat -loc.

În cele ce urmează, vom vorbi despre valoarea de adevăr a unui predicat arbitrar pe un anumit set de variabile libere incluse în acesta, adică prin aceasta valoarea de adevăr a unei afirmații care se obține ca urmare a înlocuirii variabilelor libere cu valorile corespunzătoare. din setul luat în considerare.

Afirmația care se obține prin substituirea unui set de valori admisibile într-un predicat în locul variabilelor acestuia va fi notată cu Dacă această afirmație este adevărată (falsă), se spune că setul de valori satisface (nu satisface) predicat

MINISTERUL EDUCAȚIEI ȘI ȘTIINȚEI

FEDERAȚIA RUSĂ

BUGETUL FEDERAL DE STAT INSTITUȚIA DE ÎNVĂȚĂMÂNTUL SUPERIOR PROFESIONAL

pe tema: „Predicate: definiții și exemple”

Introducere

Concluzie

Introducere

In ce este necesar să se introducă predicate în matematică?

Faptul este că logica propozițională în sine are capacități expresive destul de slabe. Folosind doar logica, este imposibil sa exprimam chiar si foarte simplu, din punct de vedere matematic, un rationament.

Luați, de exemplu, următoarea concluzie. „Fiecare număr întreg este rațional. Numărul 5 este un număr întreg. Prin urmare, 5 este Numar rational". Toate aceste trei afirmații din punctul de vedere al logicii propoziționale sunt atomice. Adică numai prin intermediul logicii propoziționale este imposibil să se dezvăluie structura internă și, prin urmare, este imposibil să se demonstreze logica acestui raționament în cadrul logica propozițională Mijloacele oferite de logica propozițională se dovedesc a fi insuficiente pentru analiza multor raționamente matematice care depind semnificativ atât de structura, cât și de conținutul enunțurilor folosite în ele.

De exemplu, în argumentul „Fiecare romb este un paralelogram; ABCD- romb; prin urmare, ABCD- paralelogramul" premisele și concluzia sunt enunțuri elementare ale logicii propoziționale, iar din punctul de vedere al acestei logici sunt considerate întregi, indivizibile, fără a ține cont de structura lor internă. În consecință, algebra logicii, fiind o parte importantă a logicii. , se dovedește a fi insuficientă în analiza multor raționamente.

Prin urmare, este nevoie de a extinde logica propozițiilor și de a construi un sistem logic prin intermediul căruia se poate studia structura și conținutul acelor enunțuri care sunt considerate elementare în logica propozițională.

Pe baza materialului prezentat, putem concluziona că relevanța acestei lucrări este de netăgăduit.

Scopul acestui eseu este revizuirea

surse literare despre problema predicatelor în matematica discretă.

Pentru a atinge acest obiectiv, este necesar să rezolvați următoarele sarcini:

· găsi informatie necesara despre predicate pe această temă;

· analizați și selectați cu atenție datele necesare;

· pregătiți rezumatul conform cerințelor.

ObiectCercetarea este o arhivă de materiale despre predicate matematice.

Subiectstudiile sunt predicate în matematică discretă.

Rezumatul constă dintr-o introducere, o parte principală, o concluzie și o listă de referințe.

Predicate: definiții și exemple

Să introducem conceptul de bază al unui subiect.

Definiție 1. Fie Meste un set nevid. Apoi predicatul n-ari , setat la M,este o expresie care conține n variabile și se transformă într-o declarație atunci când aceste variabile sunt înlocuite cu elemente ale mulțimii M .

Să explicăm exemple concrete. Lăsa Msunt multe numere naturale N. Apoi, de exemplu, următoarele expresii: „x este un număr prim”, „x este un număr par”, „x este mai mare decât 10” sunt predicate unare. Când înlocuiți x cu numere naturale arbitrare, se obțin următoarele afirmații: „2 este un număr prim”, „6 este un număr prim”, „3 este un număr par”, „5 este mai mare decât 10” etc.

O multime de M, pe care este specificat predicatul, se numește domeniul predicatului.

O multime de , pe care predicatul ia numai valori adevărate, se numește domeniul de adevăr al predicatului R (X) .

Da, predicat P (X) - "X- număr prim" este definit pe set N, și setul pentru el există mulțimea tuturor numerelor prime.

Următoarele expresii: „x este mai mare decât y”, „x împarte y la un întreg”, „x plus y este egal cu 10 sau x+y=10” sunt predicate binare. Exemple de predicate ternare definite pe mulțimea numerelor naturale: „numărul z se află între x și y”, „x plus y este egal cu z”, „|x-y| = z”.

De obicei, se crede că, dacă există un predicat în care nu există variabile de înlocuit, atunci o astfel de declarație este un predicat cu loc nul.

Mai mult, localitatea predicatelor nu este întotdeauna egală cu numărul tuturor variabilelor conținute în expresie.

De exemplu, expresia „există un număr x astfel încât y = 2 x” pe mulțimea numerelor naturale definește un predicat unar.,

După sensul acestei expresii, numai variabila y poate fi înlocuită în ea. De exemplu: dacă înlocuim y cu 6, vom obține o afirmație adevărată: „există un număr x astfel încât 6 = 2x”, iar dacă înlocuim y cu 7, vom obține o afirmație falsă (pe mulțimea N) : „există un număr x astfel încât 7 =2x”.

Predicat cu variabile înlocuibile x 1,…,X n indicat de obicei printr-o literă latină mare, urmată de aceste variabile în paranteze. De exemplu, P(x 1,X 2), Q(x 2,X 3), R(x 1). Printre variabilele dintre paranteze pot fi și variabile inactiv.

Definiție 2. Predicat ( n-local, sau n-ary<#"20" src="doc_zip3.jpg" />(sau „adevărat” și „fals”), definit de n puterea carteziană<#"21" src="doc_zip4.jpg" />,

dacă pe orice set de argumente ia valoarea 1.

Predicatul se numește identic fals și se scrie:

dacă pe orice set de argumente ia valoarea 0.

Se spune că un predicat este satisfacabil dacă ia valoarea 1 pe cel puțin un set de argumente.

De exemplu, să notăm cu predicatul EQ (x, y) relația de egalitate (" x = y "), unde XȘi y aparțin mulțimii numerelor reale<#"justify">Definiția 3. Predicatul W (x 1,…,X n) se numește conjuncția predicatelor U (x 1,…,X n) și V(x 1,…,X n) , definit pe platou M, dacă pentru orice a 1,…, A n din Mafirmația W (a 1,…, A n) este o conjuncție de afirmații U (a 1,…, A n) și V (a 1,…, a n) .

Definițiile celorlalte operațiuni menționate mai sus sunt date în mod similar.

În logica predicatelor de ordinul întâi, sunt introduse două operații noi. Ele sunt numite cuantificator general și cuantificator de existență. Să ne uităm mai întâi la aceste operații cu exemple.

Să fie dată expresia: „există un număr x astfel încât x + y=10”. Pe mulțimea numerelor naturale, această propoziție definește un predicat cu un singur loc P (y), deci, de exemplu, P (2) și P (9) sunt afirmații adevărate, iar P (11) este falsă. Dacă notăm predicatul „x + y = 10” cu S (x,y) (și acesta este un predicat cu două locuri), atunci P (y) poate fi scris după cum urmează: „există x astfel încât S (x) ,y)”. În acest caz, spunem că predicatul P (y) se obține din predicatul S (x,y) prin atașarea unui cuantificator existențial la x și scriem P (y) = (?x) S (x,y)

Să ne uităm la un alt exemplu. Expresia „pentru tot x este adevărată că y = - x 2 "definește un predicat unar Q (y) pe mulțimea numerelor întregi. Dacă predicatul „y = - x 2 "notat cu T (x,y), atunci Q (y) poate fi scris după cum urmează: „pentru tot x, T (x,y) este adevărat”. În acest caz, spunem că predicatul Q (y) se obține din predicatul T (x,y) prin atașarea unui cuantificator general la x și scriem Q (y) = (?x) T (x,y).

Folosind aceste exemple, vom da o definiție în vedere generala.

Definiția 4. Fie P(x 1,…,X n ) - un predicat definit pe o mulțime M, y este o variabilă. Apoi expresia: „pentru fiecare y, P (x 1,…,X n )" este un predicat obținut din P prin atașarea unui cuantificator general la variabila y , iar expresia „există y astfel încât P(x 1,…,X n )" este un predicat obținut din P prin atașarea unui cuantificator de existență variabilei y.

Rețineți că definiția nu necesită ca y să fie una dintre variabilele x1,...,xn, deși în exemple semnificative, cuantificatorul este atribuit uneia dintre variabilele x1,...,xn. Această cerință nu este impusă pentru a evita complicarea definiției unei formule logice predicate. Dacă y este una dintre variabilele x1,…,xn, atunci după atașarea unui cuantificator la y, noul predicat este (n-1) - local, dacă y( x1,…,xn), atunci localitatea noului predicat este n.

Dacă predicatul W (x1,…,xn) se obține din predicatele U (x1,…,xn) și V (x1,…,xn) folosind conjunctive, atunci adevărul enunțului W (a1,…,an) este determinată de tabelele de adevăr ale acestor conjunctive . Fie W (x1,…,xn) = (?y) U (x1,…,xn,y). Atunci afirmația W (a1,…,an) este adevărată dacă și numai dacă pentru orice b M afirmația U (a1,…,an,b) este adevărată. Dacă W (x1,...,xn) = (?y) U (x1,...,xn,y), atunci afirmația W (a1,...,an) este adevărată dacă și numai dacă b M se găsește, pentru care afirmația U (a1,…,an) este adevărată.

În general, conceptul de predicat este un concept foarte larg. Acest lucru se poate observa deja din exemplele date mai sus. Totuși, subliniem încă o dată arătând că o funcție n-locală poate fi considerată ca un predicat (n+1)-local. Într-adevăr, funcția y = f (x1,…,xn), definită pe mulțimea M, poate fi asociată cu expresia „y este egal cu f (x1,…,xn)”. Această expresie este un predicat P (x1,…,xn,y). Mai mult, dacă elementul b este valoarea funcției în punctul (a1,...,an), atunci afirmația P (a1,...,an,b) este adevărată și invers. (Am dat deja o „transformare” similară a unei funcții într-un predicat ca exemplu mai sus pentru adăugarea numerelor naturale.)

Putem privi predicatele mai formal, din două puncte de vedere.

În primul rând, un predicat poate fi reprezentat printr-o relație după cum urmează.

Fie definit predicatul P (x1,…,xn) pe mulțimea M. Se consideră puterea directă a acestei mulțimi Mn = Mx Mx…xM și submulțimea Dp a mulțimii Mn, definită prin egalitate:

Dp = ( (a1,…,an) Mn afirmația P (a1,…,an) este adevărată).

Relația Dp poate fi numită domeniul de adevăr al predicatului P. În multe cazuri, predicatul P poate fi identificat cu relația Dp.

În acest caz, însă, apar unele dificultăți în definirea operațiilor asupra relațiilor similare cu operațiile asupra predicatelor.

În al doilea rând, predicatul P (x1,…,xn) definit pe M poate fi identificat cu funcția fp: Mn (0,1), definită prin egalitatea:

Ei spun că predicatul P(x) este o consecință a predicatului Q(x) : , Dacă; și predicate P(x) Și Q(x) sunt echivalente:

Să dăm exemple din materialul prezentat.

Exemplul 1. Dintre următoarele propoziții, selectați predicate și pentru fiecare dintre ele indicați domeniul adevărului, dacă M= R pentru predicate unare și M= R×R pentru predicate cu două locuri:

. X + 5 = 1

La X= 2 egalitatea este valabilă X 2 - 1 = 0

. X 2 - 2X + 1 = 0

Există un astfel de număr X, Ce X 3 - 2

. X + 2 < ЗX - 4

Număr nenegativ cu o singură cifră X multiplu de 3

. (X + 2) - (3X - 4)

. X 2 +la 2 > 0

Soluţie.

1) P(x), euP = { - 4};

2)O propoziție nu este un predicat. Aceasta este o afirmație falsă;

3)Propoziţia este un predicat cu un singur loc P(x), euP ={1};

4)O propoziție nu este un predicat. Aceasta este o afirmație adevărată;

5) Propoziţia este un predicat de un loc R (X), euP = (3; +?);

) Propoziţia este un predicat cu un singur loc P(x), euP = {0; 3; 6; 9};

) Propoziţia nu este un predicat;

) Propoziţia este un predicat cu două locuri Q (X y), euQ= R×R \ { (0,0) }.

Exemplul 2. Desenați domeniul de adevăr al predicatului pe planul cartezian .

Soluţie. Inegalitatea care alcătuiește predicatul original limitează partea de plan cuprinsă între ramurile parabolei x = y2, este reprezentat în partea gri a figurii:

Figura 1. Graficul parabolelor x = y 2

Predicatele, după propoziții, sunt următorul subiect important studiat de logica matematică.

Conceptul de predicat generalizează conceptul de enunț, iar teoria predicatelor este un instrument mai subtil, în comparație cu teoria enunțurilor, pentru studierea legilor proceselor de inferență și de consecință logică, care constituie subiectul logicii matematice. .

Astfel, practic, termenul „predicat” este înțeles în sensul definiției inițiale, adică. ca expresie lingvistică. Acest lucru se datorează faptului că unul dintre obiectivele principale ale introducerii predicatelor, așa cum sa menționat deja în introducere, este de a studia capacitățile expresive ale logicii de ordinul întâi, posibilitatea de a reprezenta informații exprimate în orice limbaj natural al oamenilor, de exemplu. , în rusă sau Limba engleză.

predicat plan cartezian matematică

Concluzie

Logica predicatului, ca și logica formală tradițională, împarte un enunț elementar într-un subiect (literalmente subiectul, deși poate juca și rolul unui complement) și un predicat (literalmente predicatul, deși poate juca și rolul unei definiții) .

Un subiect este ceva despre care ceva este afirmat într-un enunț, iar un predicat este ceva care este afirmat despre un subiect. Logica predicatelor este o extensie a logicii propoziționale prin utilizarea predicatelor ca funcții logice.

Deci, relevanța subiectului rezumatului este neîndoielnic. Scopul a fost atins și sarcinile au fost îndeplinite. Literatura de specialitate a fost revizuită, selectată, analizată, rezultatele fiind prezentate în acest rezumat.

Lista surselor utilizate

1.Evnin A.Yu. Matematică discretă. Note de curs. 1998.

2.Yerusalimsky A.Ya. Matematică discretă. Teorie. Sarcini. Aplicații. 2000.

3.Sursa electronica. URL: http://forum. vopr.net

Sursa electronica. http://lib. mexmat.ru/books/109887

Sursa electronica. http://lib. mexmat.ru/books/81214

Îndrumare

Ai nevoie de ajutor pentru a studia un subiect?

Specialiștii noștri vă vor consilia sau vă vor oferi servicii de îndrumare pe teme care vă interesează.
Trimiteți cererea dvs indicând subiectul chiar acum pentru a afla despre posibilitatea de a obține o consultație.

Scopul seminarului:

Considera uz practic logica predicatelor.

Planul lecției:

Se are în vedere tema logicii predicatelor, pentru care sunt alocate 2 ore de cursuri seminar.

Sarcina 1. Ce relații și funcții corespund următoarelor predicate definite pe mulțimea numerelor naturale:

1. Predicat de identitate E:N 2 →B:

E(a 1 ,a 2)=1 dacă și numai dacă a 1 =a 2 .

2. Predicatul ordinului Q:N 2 →B:

Q(a 1 ,a 2)=1 dacă și numai dacă a 1 ≤ a 2.

3. Predicat de divizibilitate D:N 2 →B:

D(a 1 ,a 2)=1 dacă și numai dacă a 1 este divizibil cu a 2.

4. Predicatul sumei S:N 3 →B:

S(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 dacă și numai dacă a 1 +a 2 =a 3.

5. Predicatul produsului P:N 3 →B:

P(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 dacă și numai dacă a 1 *a 2 =a 3 .

Soluţie.

1. Pentru predicatul cu două locuri de identitate E-“x 1”=”x 2” există o corespondență unu-la-unu:

a) relația de două locuri R 1 – „a fi egal”, R 1 N 2:(a 1 ,a 2) R 1 dacă și numai dacă E(a 1 ,a 2)=1;

b) funcţia (operaţia) de un loc a identităţii f 1 (x 1)=x 2 şi anume: f 1 (x)=x, f:N→N.

2. Un predicat cu două locuri de ordinul Q-“x 1 ≤ x 2” corespunde unu-la-unu unei relații de două locuri R 2 - „a nu mai fi”, R 2 N 2:(a 1 ,a 2) R 2 dacă și numai dacă Q( a 1 ,a 2)=1.

Totuși, funcția f(x 1)=x 2 pentru un predicat de ordinul Q(x 1,x 2) nu există, deoarece condiția P"(a 1,a 2,...a n,a n +1)=0 nu este satisfăcută când valorile identice ale variabilei x 1, nu există o singură valoare a variabilei x 2 pentru care predicatul Q este adevărat De exemplu, Q(2,4)=1 și Q(2,6 )=1, dar 4≠6.

3. Predicatul de divizibilitate cu două locuri D-„x 1 este împărțit la x 2” corespunde unu-la-unu relației de două locuri R 3 - „împarte”, R 3 N 2:(a 1 ,a 2) R 3 dacă și numai dacă D(a 1 ,a 2)=1.

Totuși, funcția f(x 1)=x 2 pentru predicatul de divizibilitate D(x 1,x 2) nu există, deoarece condiția P"(a 1,a 2,...a n,a n +1)=0 este nemulțumit, de exemplu D(6,2)=1 și D(6,3)=1, dar 2≠3.

4. Predicatul de trei locuri al sumei S- „x 1 + x 2 = x 3” corespunde unu la unu:

a) relaţia triloacă R 4 N 3: (a 1 ,a 2, a 3) R 4 dacă şi numai dacă S(a 1 ,a 2 ,a 3)=1;

b) funcție cu două locuri (operație aritmetică) - adunarea f 2 (x 1, x 2), și anume x 1 + x 2 = x 3.

5. Predicatul cu trei locuri al produsului P- „x 1 *x 2 =x 3” corespunde unu la unu:

a) relația triloacă R 3 N 3: (a 1 ,a 2, a 3) R 5 dacă și numai dacă P (x 1 , x 2 , x 3) = 1;

b) funcție cu două locuri (operație aritmetică) - înmulțirea f 3 (x 1, x 2) = x 3 și anume x 1 * x 2 = x 3.

Corespondența unu-la-unu dintre S și f 2 (P și f 3) se datorează îndeplinirii condiției P pentru predicatul S(P) (a 1, a 2,...a n, a n +1) = 0 pentru fiecare sistem de elemente a 1 ,a 2 N există un element unic a 3 N astfel încât S(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 (respectiv pentru P(a 1 ,a 2 ,a 3)=1 ).

Sarcina 2. Folosind exemplul predicatului de divizibilitate definit în problema 1, ilustrați conceptele unei afirmații variabile, a unei afirmații adevărate și a unei afirmații false.

Soluţie.

Predicatul de divizibilitate D(x 1 ,x 2) este o declarație variabilă (cu două locuri), a cărei subiect poate fi orice mulțime numere reale, de exemplu mulțimea N.

D(6,2) - o afirmație al cărei sens este adevăr, i.e. afirmație adevărată.

D(5,2) este o afirmație falsă.

D(3,x), D(x,2) sunt afirmații variabile (un loc), al căror adevăr depinde de ce număr va înlocui simbolul x, dar D(a,1) este o afirmație adevărată, deoarece pentru orice element a N deține: D(a,1)=1 (orice număr natural este divizibil cu unu).

Sarcina 3. Scrieți o propoziție folosind o formulă logică a predicatului care reflectă proprietatea tranzitivă a divizibilității numerelor întregi.

Soluţie.

O declarație compusă (propoziție) care este o formulare a proprietății de tranzitivitate a relației de divizibilitate a numerelor întregi.

„dacă a este divizibil cu b și b este divizibil cu c, atunci a este divizibil cu c” este format din trei afirmații simple D(a,b), D(b,c) și D(a,c). În consecință, proprietatea tranzitivă a divizibilității poate fi scrisă sub forma unei declarații compuse (formula logică):

„dacă D(a,b) și D(b,c), atunci D(a,c) sau (D(a,b) & D(b,c)) → D(a,c).

Sarcina 4. Dați formulări verbale ale următoarelor enunțuri compuse (propoziții):

1. S(a,b,c) & D(a,d) & D(b,d)→D(c,d), unde S și D sunt predicate de sumă și, respectiv, de divizibilitate (vezi exemplul 1);

2. D(a,b) & S(a,b,c);

3. S(a,b,c) ~ S(b,a,c);

4. P 1 ~ P 2, unde P 1 este predicatul „număr” 3n este chiar"; P 2 - predicat „număr” n este chiar."

Soluţie.

1. „Dacă fiecare termen sume a,b a numerelor întregi este divizibilă cu un anumit număr d, atunci suma c este divizibilă cu acest număr":

S(a,b,c) și D(a,d) și D(b,d)→D(c,d).

2. „Numărul a nu este divizibil cu numărul b și nu este adevărat că suma lor este egală cu c”: D(a,b) & S(a,b,c).

3. „Rearanjarea pozițiilor termenilor a și b nu modifică suma c” - proprietatea comutativă a operației aritmetice de adunare: S(a,b,c) ~ S(b,a,c).

4. „Numărul 3n este par dacă și numai dacă n este par”: P 1 ~ P 2.

Echivalența poate fi exprimată în alți termeni verbali, inclusiv:

· „din faptul că P 1, rezultă că P 2, și invers”;

· „din faptul că P 2 rezultă că P 1, și invers”;

· „condiția P 1 este necesară și suficientă pentru P 2 ”;

· „P 2 este necesar și suficient pentru P 1”;

· „P 1 dacă și numai dacă P 2”;

· „P 2 dacă și numai dacă P 1”;

· „condițiile P 1 și P 2 sunt echivalente”;

· „P 2 dacă și numai dacă P 1”, etc.

Sarcina 5. Fie x definit pe mulțimea de oameni M și P(x) predicatul „x este muritor”. Dați o formulare verbală a formulei predicatului

Soluţie.

Expresia înseamnă „toți oamenii sunt muritori”. Nu depinde de variabila x, ci caracterizează toți oamenii în ansamblu, adică. exprimă o judecată cu privire la toți x din mulțimea M.

Sarcina 6. Fie P(x) predicatul „x-număr par” definit pe mulțimea M. Dați o formulare verbală a enunțului pentru a-i determina adevărul.

Soluţie.

Predicatul original P(x) - „x este un număr par” este o declarație variabilă: când un anumit număr este înlocuit cu variabila x, acesta se transformă într-o afirmație simplă care este adevărată sau falsă, de exemplu, când numărul 5 se înlocuiește, se transformă în enunțul „5-număr par”, fiind fals. Declarația înseamnă „există un număr par în M”. Deoarece mulțimea M pe care este dat predicatul P(x) nu este definită în condiție (în acest caz se spune că problema nu este formulată destul de corect), definim în continuare M.

Fie predicatul P(x) definit pe mulțimea numerelor naturale N, adică. , atunci afirmația este adevărată. În general, afirmația este adevărată pentru orice mulțime M care conține cel puțin un număr par și falsă pentru orice mulțime de numere impare.

Sarcina 7. Fie N(x) predicatul " x este un număr natural" Luați în considerare opțiunile pentru atașarea cuantificatorilor. Interpretați afirmațiile primite și stabiliți-le adevărul.

Soluţie.

Afirmația „toate numerele sunt naturale” este adevărată pentru orice set de numere naturale și falsă dacă M conține cel puțin un număr nenatural, de exemplu un număr întreg negativ;

Afirmația „există un x natural” este adevărată pentru orice mulțime M care conține cel puțin un număr natural și falsă în caz contrar.

Sarcina 8. Scrieți propoziția „Fiecare persoană are un tată” ca formulă de predicat.

Soluţie.

Pentru a construi o formulă de predicat, folosim două predicate „x-man” și „y-tată x” și pentru ușurința percepției le notăm în consecință: OM (x) și TATĂL (y). Atunci propoziția „Fiecare persoană are un tată” sub formă de predicat are forma:

Rețineți că, dacă predicatul TATĂL(y, x) este definit pe mulțimea de oameni, atunci expresia „fiecare persoană are un tată” poate fi scrisă mai simplu:

Sarcina 9. Fie predicatul P(x,y) să descrie relația „x îl iubește pe y” pe mulțimea de oameni. Luați în considerare toate opțiunile pentru atașarea cuantificatorilor ambelor variabile. Oferă o interpretare verbală a declarațiilor primite.

Soluţie.

Să notăm predicatul „x iubește y” prin IUBIRE (x,y). Sugestii pentru diverse opțiuni de montare

IUBESC(x,y) - „pentru orice persoană x există o persoană y pe care o iubește” sau „fiecare persoană iubește pe cineva” (Fig. a);

IUBESC (x,y) - „există o astfel de persoană y încât toată lumea x o iubește” (Fig. b)g

IUBIRE (x, y) - „toți oamenii îi iubesc pe toți oamenii” (Fig. c);

IUBIRE (x, y) - „există o persoană care iubește pe cineva” (Fig. d);

IUBIRE (x, y) - „există o persoană care iubește toți oamenii” (Fig. e);

IUBIRE (x, y) - „pentru fiecare persoană există o persoană care o iubește” (Fig. e).

Din cele de mai sus putem concluziona că rearanjarea cuantificatorilor generalității și existenței schimbă sensul enunțului, i.e. cuantificatorii generalității și existenței nu au în general proprietatea comutativității.

Problema 10. Fie Q(x,y) un predicat de ordinul „x≤y”. Luați în considerare diferite opțiuni pentru cuantificarea variabilelor sale. Determinați adevărul expresiilor rezultate pentru diferite cazuri de interpretare a domeniului de definiție al predicatului M, x, y M.

Soluţie.

Un predicat unar din y: „pentru orice x, x≤y este valabil”. Dacă M este o mulțime infinită de numere întregi nenegative, atunci acest predicat este fals; pe orice mulțime finită de numere naturale, predicatul este adevărat într-un singur punct reprezentând cel mai mare număr din M. Când orice alt y din M este înlocuit, acest predicat se transformă într-o afirmație falsă;

Un predicat unar al lui x: „pentru orice y, x≤y este valabil”. Dacă M este o mulțime de numere întregi nenegative, atunci acest predicat este adevărat în singurul punct x = 0 și fals atunci când orice număr din M este înlocuit cu x;

Un predicat unar al lui y: „există un număr în M care nu este mai mare decât y”. Dacă M este orice set nevid de numere, atunci acest predicat se transformă într-o afirmație adevărată atunci când orice y din M este înlocuit.

Un predicat unar al lui x: „există un număr în M care nu este mai mic decât x”. Pe orice mulțime nevidă M de numere, acest predicat se transformă într-o afirmație adevărată la înlocuirea oricărui x din M.

Afirmația „pentru orice x și y, x≤y” este falsă pentru orice mulțime formată din mai mult de un element și adevărată pentru o mulțime cu un element;

Afirmația „există x și y astfel încât x≤y” este adevărată pentru orice mulțime nevidă;

Afirmația „pentru orice număr x există un număr y nu mai mic decât x” este adevărată pentru orice mulțime nevidă;

Afirmația „există un y astfel încât pentru orice x x≤y” afirmă că există un element maxim unic în M;

Afirmația „există un x astfel încât să nu fie mai mare decât orice y” afirmă că există un singur element minim în M.

Afirmația „pentru orice număr y există un număr x nu mai mare decât y” este adevărată pentru orice mulțime nevidă

Problema 11. A vedea tot opțiuni posibile atașarea cuantificatorilor predicatului D(x,y) - „x se împarte la y”, definit pe mulțimea numerelor naturale N. Dați formulări verbale ale enunțurilor rezultate și determinați-le adevărul.

Soluţie.

Operaţiile de ataşare a cuantificatorilor conduc la următoarele formule:

Predicat de un loc „fiecare număr natural din N este divizibil cu un număr natural y din N”; adevărat pentru o singură valoare a variabilei libere y=1;

Propunerea variabilei „există un număr natural care este divizibil cu y” este adevărată pentru orice valoare a variabilei libere y luată din mulțimea N;

Afirmația variabilă „un număr natural x este divizibil cu fiecare număr natural y” este falsă pentru orice valoare a unei variabile libere x luată din N;

Propoziția variabilă „există un număr natural care împarte numărul natural x” este adevărată pentru orice valoare a variabilei libere x;

Afirmațiile „pentru oricare două numere naturale, unul este divizibil cu celălalt” sunt false;

Afirmațiile „există două numere naturale astfel încât primul este divizibil cu al doilea” sunt adevărate;

Afirmația „există un număr natural care este divizibil cu orice număr natural” este falsă;

Afirmația „pentru fiecare număr natural există un număr natural care este divizibil cu primul” este adevărată;

În cele din urmă, obținem forma normală a prefixului pentru formula predicatului original.