Determinarea centrului de greutate al unui corp solid. Centrul de greutate al unui corp rigid. Metode de găsire a centrului de greutate. O modalitate naturală de a specifica mișcarea unui punct

Centrul de greutate

un punct geometric, asociat invariabil cu un corp solid, prin care rezultanta tuturor forțelor gravitaționale care acționează asupra particulelor acestui corp trece în orice poziție a acestuia din urmă în spațiu; poate să nu coincidă cu niciunul dintre punctele unui corp dat (de exemplu, lângă un inel). Dacă corp liber atârnă pe fire atașate secvențial de diferite puncte ale corpului, apoi direcțiile acestor fire se vor intersecta în centrul corpului. Poziția centrului de masă al unui corp solid într-un câmp uniform de greutate coincide cu poziția centrului său de masă (vezi Centrul de masă). Rupând corpul cu greutăți pk, pentru care coordonatele x k , y k , z k Punctele lor centrale sunt cunoscute, puteți găsi coordonatele punctului central al întregului corp folosind formulele:

Marea Enciclopedie Sovietică. - M.: Enciclopedia Sovietică. 1969-1978 .

Sinonime:

Vedeți ce este „Centrul de gravitație” în alte dicționare:

Centrul de masă (centrul de inerție, baricentrul) în mecanică este un punct geometric care caracterizează mișcarea unui corp sau a unui sistem de particule în ansamblu. Cuprins 1 Definiție 2 Centrele de masă ale figurilor omogene 3 În mecanică ... Wikipedia

Un punct asociat invariabil cu un corp solid prin care rezultanta forțelor gravitaționale care acționează asupra particulelor acestui corp trece în orice poziție a corpului în spațiu. Pentru un corp omogen care are un centru de simetrie (cerc, bilă, cub etc.),... ... Dicţionar enciclopedic

Geom. un punct asociat invariabil cu un corp solid prin care forța rezultantă a tuturor forțelor gravitaționale care acționează asupra particulelor corpului trece prin acesta în orice poziție din spațiu; este posibil să nu coincidă cu niciunul dintre punctele unui corp dat (de exemplu, la ...... Enciclopedie fizică

Centrul de greutate- CENTRU DE GRAVITATE, punctul prin care trece rezultanta fortelor gravitationale care actioneaza asupra particulelor solid pentru orice poziție a corpului în spațiu. Pentru un corp omogen care are un centru de simetrie (cerc, bilă, cub etc.), centrul de greutate este... Dicţionar Enciclopedic Ilustrat

CENTRU DE GRAVITATE, punctul în care greutatea unui corp este concentrată și în jurul căruia greutatea acestuia este distribuită și echilibrată. Un obiect în cădere liberă se rotește în jurul centrului său de greutate, care la rândul său se rotește de-a lungul unei traiectorii care ar fi descrisă de un punct... ... Dicționar enciclopedic științific și tehnic

centrul de greutate- corp solid; centrul de greutate Centrul forțelor gravitaționale paralele care acționează asupra tuturor particulelor unui corp... Dicționar terminologic explicativ politehnic

Dicționar centroid de sinonime rusești. centru de greutate substantiv, număr de sinonime: 12 principale (31) spirit ... Dicţionar de sinonime

CENTRU DE GRAVITATE - corpul uman nu are anat permanent. locație în interiorul corpului și se mișcă în funcție de schimbările de postură; excursiile sale în raport cu coloana vertebrală pot ajunge la 20-25 cm Determinarea experimentală a poziţiei sistemului nervos central al întregului corp cu... ... Marea Enciclopedie Medicală

Punctul de aplicare al forțelor gravitaționale (greutăți) rezultante ale tuturor părților (pieselor) individuale care alcătuiesc corp dat. Dacă corpul este simetric față de un plan, o dreaptă sau un punct, atunci în primul caz centrul de greutate se află în planul de simetrie, în al doilea pe ... ... Dicționar tehnic feroviar

centrul de greutate- Punctul geometric al unui corp solid prin care rezultanta tuturor forțelor gravitaționale care acționează asupra particulelor acestui corp trece în orice poziție din spațiu [Dicționar terminologic de construcție în 12 limbi (VNIIIS Gosstroy... ... Ghidul tehnic al traducătorului

Cărți

Centrul de greutate, Polyarinov A.V.. Amintește romanul lui Alexey Polyarinov sistem complex lacuri Conține cyberpunk și desenele maiestuoase ale lui David Mitchell, Borges și David Foster Wallace... Dar eroii săi sunt tinerii jurnaliști,...

Vedere: acest articol a fost citit de 11269 ori

Pdf Selectează limba... Rusă Ucraineană Engleză

Scurtă recenzie

Întregul material este descărcat mai sus, după selectarea limbii

Revizuire

Maneta - acesta este un corp solid care are o axă de rotație imobilă și se află sub acțiunea unor forțe situate într-un plan perpendicular pe această axă.

Dacă pârghia este în repaus, atunci suma algebrică a momentelor tuturor forțelor aplicate pârghiei în raport cu punctul de referință este egală cu zero

Sistem plat arbitrar de forțe este un sistem de forțe ale căror linii de acțiune sunt situate independent într-un plan.

Prin metoda Poinsot se va obtine la centrul de reducere O un sistem de forte si un sistem de perechi, momentele fiecaruia fiind egale cu momentele fortei corespunzatoare fata de centrul de reducere.

Vectorul principal al sistemului se numește vector care este egal cu suma geometrică a tuturor forțelor sistemului.

Punctul principal al sistemului relativ la centrul O din plan se numește suma algebrică a momentelor forțelor sistemului relativ la centrul de reducere O.

Vectorul principal nu depinde de alegerea centrului de reducere O. Momentul principal al forțelor depinde de centrul de reducere.

Teorema principală a staticii despre aducerea unui sistem de forțe într-un centru dat : Orice sistem arbitrar plat de forțe care acționează asupra unui corp absolut rigid, atunci când este adus la un centru ales arbitrar O, poate fi înlocuit cu o forță egală cu vectorul principal al sistemului și aplicată la centrul de reducere O, și o pereche cu un moment egal cu momentul principal al sistemului relativ la centrul lui O.

Sunt luate în considerare cazurile de reducere a unui sistem plan de forțe la o formă mai simplă

Condiții de echilibru pentru un sistem de forțe plan arbitrar.

1. Condiții de echilibru geometric : pentru echilibrul unui sistem arbitrar de forțe plan, este necesar și suficient ca vectorul principal și momentul principal al sistemului să fie egale cu zero

2. Condiții de echilibru analitic .

Forma de bază a condițiilor de echilibru: Pentru echilibrul unui sistem de forțe plan arbitrar, este necesar și suficient ca suma proiecțiilor tuturor forțelor pe axele de coordonate iar suma momentelor lor față de orice centru care se află în planul de acțiune al forțelor a fost egală cu zero.

A doua formă de condiții de echilibru: Pentru echilibrul unui sistem de forțe plan arbitrar, este necesar și suficient ca suma momentelor tuturor forțelor în raport cu oricare doi centre A și B și suma proiecțiilor acestora pe o axă care nu este perpendiculară pe dreapta AB. sunt egale cu zero.

A treia formă a condițiilor de echilibru (ecuația în trei momente): Pentru echilibrul unui sistem arbitrar de forțe plan, este necesar și suficient ca sumele momentelor tuturor forțelor raportate la oricare trei centre A, B și C care nu se află pe aceeași dreaptă să fie egale cu zero.

Centrul Forțelor Paralele

Un sistem de forțe paralele îndreptate într-o direcție nu poate fi echilibrat sau redus la o pereche de forțe, are întotdeauna o forță rezultantă.

Linia de acțiune a rezultantei este paralelă cu forțele. Poziția punctului de aplicare a acestuia depinde de mărimea și poziția punctelor de aplicare a forțelor sistemului.

Centrul Forțelor Paralele - punctul C este punctul de aplicare al sistemului rezultant de forte paralele.
Poziția centrului de forțe paralele - punctul C, este determinată de coordonatele acestui punct

Centrul de greutate al unui corp rigid și coordonatele acestuia

Centrul de greutate al corpului - un punct geometric asociat invariabil cu acest corp, la care se aplică rezultanta forțelor gravitaționale ale particulelor individuale ale corpului, i.e. greutatea corporală în spațiu.

Coordonatele centrului de greutate sunt determinate în mod similar cu coordonatele centrului de forțe paralele C (), compuse din forțele gravitaționale ale particulelor corpului.

Poziția centrului de greutate al unui corp omogen depinde numai de forma și dimensiunile sale geometrice și nu depinde de proprietățile materialului din care este realizat corpul.

Suma produselor ariilor elementare care alcătuiesc o figură plană și a valorilor algebrice ale distanțelor acestora față de o anumită axă se numește momentul static al ariei figurii plane.

Moment static Aria unei figuri plate este egală cu produsul dintre aria figurii și distanța algebrică de la centrul de greutate la această axă. Unitatea de măsură a cuplului static [cm3].
momentul static al ariei unei figuri plate în raport cu o axă care trece prin centrul de greutate al figurii este egal cu zero.

Greutatea unui corp este rezultanta forțelor gravitaționale ale particulelor individuale ale corpului.

Metode de determinare a poziției centrului de greutate .

Metoda simetriei : Dacă un corp omogen are un plan, o axă sau un centru de simetrie, atunci centrul de greutate se află, respectiv, fie în planul de simetrie, fie pe axa de simetrie, fie în centrul de greutate al o linie de lungime este la mijloc. Centrul de greutate al unui cerc (sau cerc) de rază este în centrul său, adică în punctul de intersecţie a diametrelor. Centrul de greutate al unui paralelogram, romb sau paralelipiped se află în punctul de intersecție al diagonalelor. Centrul de greutate al unui poligon regulat se află în centrul unui cerc înscris sau circumscris.
Metoda de defalcare : Dacă un corp poate fi împărțit într-un număr finit de elemente (volume, plane, linii), pentru fiecare dintre ele cunoscută poziția centrului de greutate, atunci coordonatele centrului de greutate al întregului corp pot fi determinate cunoscând valorile elementelor direct folosind formulele
Metoda de adunare (planuri negative): Dacă un corp are elemente decupate, atunci când este împărțit în elemente, partea decupată (aria, volumul) este scăzută din total, adică. elementelor tăiate li se dau valori negative de suprafață sau de volum

Format: pdf

Dimensiune: 700 KV

Limba: rusă, ucraineană

Exemplu de calcul al unui angrenaj drept
Un exemplu de calcul al unui angrenaj drept. S-au efectuat alegerea materialului, calculul tensiunilor admisibile, calculul rezistenței la contact și la încovoiere.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de îndoire a fasciculului
În exemplu, au fost construite diagrame ale forțelor transversale și ale momentelor încovoietoare, a fost găsită o secțiune periculoasă și a fost selectată o grindă în I. Problema a analizat construcția diagramelor folosind dependențe diferențiale, realizată analiza comparativa variat secțiuni transversale grinzi.

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de torsiune a arborelui
Sarcina este de a testa rezistența unui arbore din oțel la un diametru dat, material și efort admisibil. În timpul soluției, sunt construite diagrame ale cuplurilor, tensiunilor tăietoare și unghiurilor de răsucire. Greutatea proprie a arborelui nu este luată în considerare

Un exemplu de rezolvare a unei probleme de tensiune-comprimare a unei tije
Sarcina este de a testa rezistența unei bare de oțel la solicitările admisibile specificate. În timpul rezolvării se construiesc diagrame ale forțelor longitudinale, tensiunilor normale și deplasărilor. Greutatea proprie a lansetei nu este luată în considerare

Aplicarea teoremei privind conservarea energiei cinetice
Un exemplu de rezolvare a unei probleme folosind teorema privind conservarea energiei cinetice a unui sistem mecanic

Determinarea vitezei și accelerației unui punct folosind ecuații de mișcare date
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a determina viteza și accelerația unui punct folosind ecuații de mișcare date

Determinarea vitezelor și accelerațiilor punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralel
Un exemplu de rezolvare a unei probleme pentru a determina vitezele și accelerațiile punctelor unui corp rigid în timpul mișcării plan-paralele

Centrul de greutate al unui corp solid este un punct geometric care este legat rigid de acest corp și este centrul forțelor gravitaționale paralele aplicate particulelor elementare individuale ale corpului (Figura 1.6).

Vector raza acestui punct

Figura 1.6

Pentru un corp omogen, poziția centrului de greutate al corpului nu depinde de material, ci este determinată de forma geometrică a corpului.

Dacă gravitație specifică corp omogen γ , greutate particulă elementară corp

P k = yΔV k (P = γV ) înlocuiți în formula pentru a determina r C , avem

De unde, proiectand pe axe si trecand la limita, obtinem coordonatele centrului de greutate al unui volum omogen.

În mod similar pentru coordonatele centrului de greutate al unei suprafețe omogene cu arie S (Figura 1.7, a)

Figura 1.7

Pentru coordonatele centrului de greutate al unei linii omogene de lungime L (Figura 1.7, b)

Metode de determinare a coordonatelor centrului de greutate

Pe baza formulelor generale obținute mai devreme, putem indica metode pentru determinarea coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor solide:

1 Analitic(prin integrare).

2 Metoda simetriei. Dacă un corp are un plan, o axă sau un centru de simetrie, atunci centrul său de greutate se află, respectiv, în planul de simetrie, axa de simetrie sau centrul de simetrie.

3 Experimental(metoda de agățare a corpului).

4 Despicare. Corpul este împărțit într-un număr finit de părți, pentru fiecare dintre ele poziția centrului de greutate C si zona S cunoscut. De exemplu, proiecția unui corp pe un plan xOy (Figura 1.8) poate fi reprezentat ca două figuri plate cu zone S 1 Și S 2 (S=S 1 +S 2 ). Centrele de greutate ale acestor figuri sunt în puncte C 1 (X 1 , y 1 ) Și C 2 (X 2 , y 2 ) . Atunci coordonatele centrului de greutate al corpului sunt egale

Figura 1.8

5Plus(metoda suprafețelor sau volumelor negative). Un caz special al metodei de partiționare. Se aplică corpurilor care au decupaje dacă sunt cunoscute centrele de greutate ale corpului fără decupaj și partea decupată. De exemplu, trebuie să găsiți coordonatele centrului de greutate al unei figuri plate (Figura 1.9):

Figura 1.9

Centrele de greutate ale celor mai simple figuri

Figura 1.10

1 Triunghi

Centrul de greutate al ariei triunghiului coincide cu punctul de intersecție al medianelor sale (Figura 1.10, a).

DM = MB , CM= (1/3)A.M. .

2 Arc de cerc

Arcul are o axă de simetrie (Figura 1.10, b). Centrul de greutate se află pe această axă, adică y C = 0 .

dl – element arc, dl = Rdφ , R – raza cercului, x = Rcosφ , L= 2αR ,

Prin urmare:

X C = R(sinα/α) .

3 Sector circular

Sectorul de rază R cu unghi central 2 α are o axă de simetrie Bou , pe care se află centrul de greutate (Figura 1.10, c).

Împărțim sectorul în sectoare elementare, care pot fi considerate triunghiuri. Centrele de greutate ale sectoarelor elementare sunt situate pe un arc de cerc de rază (2/3) R .

Centrul de greutate al sectorului coincide cu centrul de greutate al arcului AB :

14. Metode de precizare a mișcării unui punct.

Cu metoda vectorială de specificare a mișcării, poziția unui punct este determinată de un vector cu rază desenat dintr-un punct fix în sistemul de referință selectat.

Cu metoda coordonatelor de specificare a mișcării, coordonatele unui punct sunt specificate în funcție de timp:

Acestea sunt ecuații parametrice ale traiectoriei unui punct în mișcare, în care timpul joacă rolul unui parametru t . Pentru a-și scrie ecuația în formă explicită, este necesar să excludem din ele t .

Cu metoda naturală de specificare a mișcării, se specifică traiectoria punctului, originea referinței pe traiectorie care indică direcția pozitivă a referinței și legea modificării coordonatei arcului: s=s(t) . Această metodă este convenabilă de utilizat dacă traiectoria punctului este cunoscută dinainte.

15. 1.2 Viteza punctului

Luați în considerare mișcarea unui punct pe o perioadă scurtă de timp Δt :

viteza medie a unui punct într-o perioadă de timp Dt . Viteza unui punct la un moment dat

Viteza punctului este o măsură cinematică a mișcării sale, egală cu derivata în timp a vectorului rază a acestui punct din sistemul de referință luat în considerare. Vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectoria punctului în direcția mișcării.

Centrul de greutate al unui corp rigid

Centrul de greutate al unui corp solid este un punct geometric care este legat rigid de acest corp și este centrul forțelor gravitaționale paralele aplicate particulelor elementare individuale ale corpului (Figura 1.6).

Vector raza acestui punct

Figura 1.6

Pentru un corp omogen, poziția centrului de greutate al corpului nu depinde de material, ci este determinată de forma geometrică a corpului.

Dacă greutatea specifică a unui corp omogen γ , greutatea unei particule elementare a unui corp

P k = γΔV k (P = γV)

înlocuiți în formula pentru a determina r C , avem

De unde, proiectand pe axe si trecand la limita, obtinem coordonatele centrului de greutate al unui volum omogen.

În mod similar pentru coordonatele centrului de greutate al unei suprafețe omogene cu arie S (Figura 1.7, a)

Figura 1.7

Pentru coordonatele centrului de greutate al unei linii omogene de lungime L (Figura 1.7, b)

Metode de determinare a coordonatelor centrului de greutate

Pe baza formulelor generale obținute mai devreme, putem indica metode pentru determinarea coordonatelor centrelor de greutate ale corpurilor solide:

Figura 1.8

Figura 1.9

11. Concepte de bază ale cinematicii. Cinematica unui punct. Metode de precizare a mișcării unui punct. Viteza și accelerația unui punct.

Concepte de bază ale cinematicii

Cinematică- o ramură a mecanicii care studiază mișcarea corpurilor fără a ține cont de motivele care au determinat această mișcare.

Sarcina principală a cinematicii este să găsească poziția unui corp în orice moment dacă poziția, viteza și accelerația acestuia la momentul inițial sunt cunoscute.

Mișcare mecanică- aceasta este o schimbare a poziției corpurilor (sau părților corpului) unele față de altele în spațiu în timp.

Pentru a descrie mișcarea mecanică, este necesar să alegeți un sistem de referință.

Corp de referință- un corp (sau grup de corpuri), luat în acest caz ca nemișcat, în raport cu care se consideră mișcarea altor corpuri.

Sistem de referință- acesta este sistemul de coordonate asociat corpului de referință și metoda aleasă de măsurare a timpului (Fig. 1).

Poziția corpului poate fi determinată folosind vectorul rază r⃗ r→ sau folosind coordonatele.

Vector rază r⃗ r→ puncte Μ - un segment de dreaptă direcționat care leagă originea DESPRE cu un punct Μ (Fig. 2).

Coordona x puncte Μ este proiecția capătului vectorului rază al punctului Μ pe axă Oh. De obicei se folosește un sistem de coordonate dreptunghiular. În acest caz, poziția punctului Μ pe o linie, planul și, respectiv, în spațiu sunt determinate de unul ( X), Două ( X, la) și trei ( X, la, z) numere - coordonate (Fig. 3).

Într-un curs elementar, fizicienii studiază cinematica mișcării unui punct material.

Punct material- un corp ale cărui dimensiuni pot fi neglijate în condiții date.

Acest model este utilizat în cazurile în care dimensiunile liniare ale corpurilor luate în considerare sunt mult mai mici decât toate celelalte distanțe dintr-o problemă dată sau când corpul se mișcă translațional.

Progresist este mișcarea unui corp în care o linie dreaptă care trece prin oricare două puncte ale corpului se mișcă în timp ce rămâne paralelă cu ea însăși. În timpul mișcării de translație, toate punctele corpului descriu aceleași traiectorii și în orice moment au aceleași viteze și accelerații. Prin urmare, pentru a descrie o astfel de mișcare a unui corp, este suficient să descrieți mișcarea unui punct arbitrar.

În cele ce urmează, cuvântul „corp” va fi înțeles ca „punct material”.

Se numește linia pe care o descrie un corp în mișcare într-un anumit cadru de referință traiectorie. În practică, forma traiectoriei este specificată folosind formule matematice (y = f(X) - ecuația traiectoriei) sau reprezentată în figură. Tipul de traiectorie depinde de alegerea sistemului de referință. De exemplu, traiectoria unui corp care căde liber într-un cărucior care se mișcă uniform și rectiliniu este o linie verticală dreaptă în cadrul de referință asociat cu căruciorul și o parabolă în cadrul de referință asociat cu Pământul.

În funcție de tipul de traiectorie, se disting mișcarea rectilinie și curbilinia.

cale s- o mărime fizică scalară determinată de lungimea traiectoriei descrisă de corp într-o anumită perioadă de timp. Calea este întotdeauna pozitivă: s > 0.

In miscareΔr⃗ Δr→ al unui corp pentru o anumită perioadă de timp - un segment de linie dreaptă direcționată care leagă inițialul (punctul M 0) și final (punct M) poziția corpului (vezi Fig. 2):

Δr⃗ =r⃗ −r⃗ 0, Δr→=r→−r→0,

unde r⃗ r→ și r⃗ 0 r→0 sunt vectorii de rază ai corpului în aceste momente de timp.

Proiecția mișcării pe axă Bou

Δrx=Δx=x−x0 Δrx=Δx=x−x0

Unde X 0 și X- coordonatele corpului în momentele inițiale și finale ale timpului.

Modulul de călătorie nu poate fi mai mare decât calea

|Δr⃗ |≤s |Δr→|≤s

Semnul egal se referă la cazul mișcării rectilinie, dacă direcția de mișcare nu se modifică.

Cunoscând deplasarea și poziția inițială a corpului, puteți găsi poziția acestuia la momentul t:

r⃗ =r⃗ 0+Δr⃗ ; r→=r→0+Δr→;

(x=x0+Δrx;y=y0+Δry. (x=x0+Δrx;y=y0+Δry.

Viteză

Viteza medie hυ⃗ i hυ→i este o mărime fizică vectorială, numeric egală cu raportul dintre mișcare și perioada de timp în care a avut loc și direcționată de-a lungul mișcării (Fig. 4):

hυ⃗ i=Δr⃗ Δt;hυ⃗ i⇈Δr⃗ . hυ→i=Δr→Δt;hυ→i⇈Δr→.

Unitatea SI a vitezei este metru pe secundă (m/s).

Viteza medie găsită folosind această formulă caracterizează mișcarea doar pe acea secțiune a traiectoriei pentru care este determinată. Pe altă parte a traiectoriei poate fi diferit.

Uneori folosesc viteza medie

hυi=sΔt hυi=sΔt

Unde s este calea parcursă pe o perioadă de timp Δ t. Viteza medie a unei căi este o mărime scalară.

Viteza instantanee υ⃗ υ→ a corpului - viteza corpului la un moment dat de timp (sau la un punct dat al traiectoriei). Este egală cu limita la care tinde viteza medie pe o perioadă infinitezimală de timp υ⃗ =limΔt→0Δr⃗ Δt=r⃗ ′ υ→=limΔt→0Δr→Δt=r→ ′. Aici r⃗ ′ r→ ′ este derivata vectorului rază în raport cu timpul.

În proiecție pe axă Oh:

υx=limΔt→0ΔxΔt=x′. υx=limΔt→0ΔxΔt=x′.

Viteza instantanee a corpului este direcționată tangențial la traiectorie în fiecare punct din direcția mișcării (vezi Fig. 4).

Accelerare

Accelerație medie- o mărime fizică egală numeric cu raportul dintre schimbarea vitezei și timpul în care a avut loc:

ha⃗ i=Δυ⃗ Δt=υ⃗ −υ⃗ 0Δt. ha→i=Δυ→Δt=υ→−υ→0Δt.

Vectorul ha⃗ i ha→i este îndreptat paralel cu vectorul de schimbare a vitezei Δυ⃗ Δυ→ (ha⃗ i⇈Δυ⃗ ha→i⇈Δυ→) spre concavitatea traiectoriei (Fig. 5).

Accelerație instantanee:

a⃗ =limΔt→0Δυ⃗ Δt=υ⃗′. a→=limΔt→0Δυ→Δt=υ→ ′.

Unitatea SI a accelerației este metru pe secundă pătrat (m/s2).

În general, accelerația instantanee este direcționată la un unghi față de viteza. Cunoscând traiectoria, puteți determina direcția vitezei, dar nu și accelerația. Direcția accelerației este determinată de direcția forțelor rezultante care acționează asupra corpului.

La mișcare dreaptă cu viteza în creștere (Fig. 6, a), vectorii a⃗ a→ și υ⃗ 0 υ→0 sunt codirecționali (a⃗ ⇈υ⃗ 0 a→⇈υ→0) iar proiecția accelerației pe direcția mișcării este pozitivă.

În mișcare rectilinie cu viteză descrescătoare (Fig. 6, b), direcțiile vectorilor a⃗ a→ și υ⃗ 0 υ→0 sunt opuse (a⃗ ↓υ⃗ 0 a→↓υ→0) iar proiecția accelerației pe direcția de mișcare este negativă.

Vectorul a⃗ a→ în timpul mișcării curbilinie poate fi descompus în două componente direcționate de-a lungul vitezei a⃗ τ a→τ și perpendicular pe viteza a⃗ n a→n (Fig. 1.7), a⃗ τ a→τ este accelerația tangențială, care caracterizează viteza. de modificare a modulului vitezei în timpul mișcării curbilinie, a⃗ n a→n - accelerație normală, care caracterizează viteza de schimbare a direcției vectorului viteză în timpul mișcării curbilinie Modulul de accelerație a=a2τ+a2n−−−−−−√ a=aτ2 +an2.

Metode pentru specificarea mișcării punctului

Pentru a specifica mișcarea unui punct, puteți utiliza una dintre următoarele trei metode:

1) vector, 2) coordonate, 3) natural.

1. Metoda vectoriala de precizare a miscarii unui punct.

Lasă punctul M se mișcă în raport cu un anumit cadru de referință Oxyz. Poziția acestui punct în orice moment poate fi determinată prin specificarea vectorului său de rază trasat de la origine DESPRE exact M(Fig. 3).

Fig.3

Când punctul se mișcă M vectorul se va schimba în timp atât ca mărime, cât și ca direcție. Prin urmare, este un vector variabil (vector funcție) în funcție de argumentul t:

Egalitatea definește legea de mișcare a unui punct în formă vectorială, deoarece ne permite să construim un vector corespunzător în orice moment și să găsim poziția punctului în mișcare.

Locația geometrică a capetelor vectorului, i.e. odograf acest vector determină traiectoria punctului în mișcare.

2. Metoda coordonatelor de precizare a mișcării unui punct.

Poziția unui punct poate fi determinată direct de coordonatele sale carteziene x, y, z(Fig. 3), care se va schimba în timp pe măsură ce punctul se mișcă. Pentru a cunoaște legea mișcării unui punct, adică poziția sa în spațiu în orice moment în timp, trebuie să cunoașteți coordonatele punctului pentru fiecare moment în timp, adică. cunoaște dependențele

x=f 1 (t), y=f 2 (t), z=f 3 (t).

Ecuațiile sunt ecuațiile de mișcare ale unui punct dreptunghiular coordonate carteziene. Ei determină legea mișcării unui punct folosind metoda coordonatelor de specificare a mișcării.

Pentru a obține ecuația traiectoriei, este necesar să excludem parametrul t din ecuațiile de mișcare.

Nu este dificil să se stabilească o relație între metodele vectoriale și coordonate de specificare a mișcării.

Să descompunăm vectorul în componente de-a lungul axelor de coordonate:

unde r x , ry y , r z - proiecții ale vectorului pe axă; – vectori unitari dirijati de-a lungul axelor, vectori unitari ai axelor.

Deoarece originea vectorului este la originea coordonatelor, proiecțiile vectorului vor fi egale cu coordonatele punctului M. De aceea

Dacă mișcarea punctului este specificată în coordonate polare

r=r(t), φ = φ(t),

unde r este raza polară, φ este unghiul dintre axa polară și raza polară, atunci aceste ecuații exprimă ecuația traiectoriei unui punct. Eliminând parametrul t, obținem

r = r(φ).

Exemplul 1. Mișcarea unui punct este dată de ecuații

Fig.4

Pentru a exclude timpul, parametrul t, găsim din prima ecuație sin2t=x/2, din a doua cos2t=y/3. Apoi pătrați și adăugați-l. Deoarece sin 2 2t+cos 2 2t=1, obținem . Aceasta este ecuația unei elipse cu semi-axe de 2 cm și 3 cm (Fig. 4).

Poziția punctului de pornire M 0 (la t=0) este determinată de coordonatele x 0 =0, y 0 =3 cm.

După 1 sec. punctul va fi pe poziție M 1 cu coordonatele

x 1 =2sin2=2∙0,91=1,82 cm, y 1 =2cos2=3∙(-0,42)= -1,25 cm.

Notă.

Mișcarea unui punct poate fi specificată folosind alte coordonate. De exemplu, cilindric sau sferic. Printre acestea vor fi nu numai dimensiuni liniare, ci și unghiuri. Dacă este necesar, vă puteți familiariza cu specificarea mișcării folosind coordonatele cilindrice și sferice din manuale.

3. O modalitate naturală de a specifica mișcarea unui punct.

Fig.5

Modul natural de specificare a mișcării este convenabil de utilizat în cazurile în care traiectoria unui punct în mișcare este cunoscută dinainte. Lasă curba AB este traiectoria punctului M când se deplasează în raport cu sistemul de referinţă Oxyz(Fig. 5) Să alegem un punct fix pe această traiectorie DESPRE", pe care o luăm ca origine a referinței și setăm direcțiile de referință pozitive și negative pe traiectorie (ca pe axa de coordonate).

Apoi poziția punctului M pe traiectorie va fi determinată în mod unic de coordonatele curbilinii s, care este egală cu distanța de la punct DESPRE' până la punctul M, măsurată de-a lungul arcului traiectoriei și luată cu semnul corespunzător. La mutarea punctului M se mută pe poziții M 1 , M 2,... . deci distanta s se va schimba în timp.

Pentru a cunoaște poziția unui punct M pe traiectorie în orice moment, trebuie să cunoașteți dependența

Ecuația exprimă legea mișcării unui punct M de-a lungul traiectoriei. Funcția s= f(t) trebuie să fie unică, continuă și diferențiabilă.

Direcția pozitivă de referință a coordonatei arcului s se consideră a fi direcția de mișcare a punctului în momentul în care acesta ocupă poziția O. Trebuie reținut că ecuația s=f(t) nu determină legea mișcării a punctului în spațiu, deoarece pentru a determina poziția punctului în spațiu trebuie să cunoașteți traiectoria unui punct cu poziția inițială a punctului pe el și o direcție pozitivă fixă. Astfel, mișcarea unui punct este considerată a fi dată într-un mod natural dacă se cunosc traiectoria și ecuația (sau legea) mișcării punctului de-a lungul traiectoriei.

Este important de remarcat faptul că coordonata arcului punctului s este diferită de calea σ parcursă de punctul de-a lungul traiectoriei. În timpul mișcării sale, un punct parcurge o anumită cale σ, care este funcție de timpul t. Cu toate acestea, distanța parcursă σ coincide cu distanța s numai atunci când funcția s = f(t) se modifică monoton cu timpul, adică. când un punct se mișcă într-o direcție. Să presupunem că punctul M se deplasează de la M 1 la M 2. Poziția punctului în M 1 corespunde timpului t 1, iar poziția punctului în M 2 corespunde timpului t 2. Să descompunăm intervalul de timp t 2 - t 1 în intervale de timp foarte mici ∆t 1 (i = 1,2, ...n) astfel încât în fiecare dintre ele punctul să se miște într-o direcție. Să notăm incrementul corespunzător al coordonatei arcului ca ∆s i . Calea σ parcursă de punct va fi o valoare pozitivă:

Dacă mișcarea unui punct este specificată prin metoda coordonatelor, atunci distanța parcursă este determinată de formulă

unde dx=xdt, dy= ydt, dz=zdt.

Prin urmare,

Exemplul 2. Punctul se deplasează în linie dreaptă, conform legii s=2t+3 (cm) (Fig. 6).

Fig.6

La începutul mișcării, la t=0 s=OM 0 =s 0 =3 cm Poziția punctului M 0 este numit pozitia de pornire. La t=1 s, s=OM1 =5 cm.

Desigur, în 1 secundă. punctul a parcurs distanța M 0 M 1 = 2 cm s– aceasta nu este calea parcursă de punct, ci distanța de la origine până la punct.

Vector viteza punctului

Una din principalele caracteristici cinematice Mișcarea unui punct este o mărime vectorială numită viteza punctului. Conceptul de viteză a unui punct în mișcare rectilinie uniformă este unul dintre conceptele elementare.

Viteză- o măsură a stării mecanice a corpului. Caracterizează viteza de schimbare a poziției corpului față de un sistem de referință dat și este o mărime fizică vectorială.

Unitatea de măsură a vitezei este m/s. Alte unități sunt adesea folosite, de exemplu, km/h: 1 km/h=1/3,6 m/s.

Mișcarea unui punct se numește uniformă dacă incrementele vectorului rază a punctului pe perioade egale de timp sunt egale între ele. Dacă traiectoria punctului este o linie dreaptă, atunci mișcarea punctului se numește rectilinie.

Pentru o mișcare uniform liniară

∆r= v∆t, (1)

Unde v– vector constant.

Vector v numită viteza mișcării rectilinie și uniforme o determină complet.

Din relația (1) reiese clar că viteza mișcării rectilinie și uniforme este o mărime fizică care determină mișcarea unui punct pe unitatea de timp. Din (1) avem

Direcția vectorială v indicat în fig. 6.1.

Fig.6.1

Pentru mișcarea neuniformă, această formulă nu este potrivită. Să introducem mai întâi conceptul de viteză medie a unui punct pe o anumită perioadă de timp.

Lăsați punctul de mișcare să fie în momentul de timp t gravidă M, determinată de vectorul rază, iar în momentul t 1 vine pe poziție M 1 definit de un vector (Fig. 7). Atunci mișcarea punctului în perioada de timp ∆t=t 1 -t este determinată de un vector pe care îl vom numi vector de mișcare a punctului. Din triunghi OMM 1 este clar că ; prin urmare,

Orez. 7

Raportul dintre vectorul de mișcare al unui punct și perioada de timp corespunzătoare dă o mărime vectorială numită viteza medie a punctului în valoare absolută și direcție pe perioada de timp ∆t:

Viteza unui punct la un moment dat t este mărimea vectorială v la care tinde viteza medie v cf pe măsură ce intervalul de timp ∆t tinde spre zero:

Deci, vectorul viteză al unui punct la un moment dat este egal cu prima derivată a vectorului rază a punctului în raport cu timpul.

Deoarece sensul limitativ al secantei MM 1 este o tangentă, atunci vectorul viteză al punctului la un moment dat este direcționat tangent la traiectoria punctului în direcția mișcării.

Determinarea vitezei unui punct folosind metoda coordonatelor de specificare a mișcării

Vectorul viteză punctual, ținând cont de faptul că r x =x, r y =y, r z =z, găsim:

Astfel, proiecțiile vitezei punctului pe axele de coordonate sunt egale cu primele derivate ale coordonatelor corespunzătoare ale punctului în raport cu timpul.

Cunoscând proiecțiile vitezei, vom găsi mărimea și direcția acesteia (adică unghiurile α, β, γ pe care le formează vectorul v cu axele de coordonate) folosind formulele

Deci, valoarea numerică a vitezei unui punct la un moment dat este egală cu prima derivată a distanței (coordonată curbilinie) s puncte în timp.

Vectorul viteză este direcționat tangențial la traiectorie, care ne este cunoscută dinainte.

Determinarea vitezei unui punct folosind metoda naturală de specificare a mișcării

Valoarea vitezei poate fi definită ca limită (∆r – lungimea coardei MM 1):

unde ∆s – lungimea arcului MM 1 . Prima limită este egală cu unitatea, a doua limită este derivata ds/dt.

În consecință, viteza unui punct este derivata pentru prima dată a legii mișcării:

Vectorul viteză este direcționat, așa cum sa stabilit mai devreme, tangent la traiectorie. Dacă valoarea vitezei la un moment dat este mai mare decât zero, atunci vectorul viteză este direcționat într-o direcție pozitivă

Vector de accelerație punctual

Accelerare- mărime fizică vectorială care caracterizează viteza de schimbare a vitezei. Acesta arată cât de mult se modifică viteza unui corp pe unitatea de timp.

Unitatea SI a accelerației este metru pe secundă pătrat. la intervalul de timp corespunzător ∆t determină vectorul accelerației medii a punctului în această perioadă de timp:

Vectorul de accelerație medie are aceeași direcție ca vectorul, adică. îndreptată spre concavitatea traiectoriei.

Accelerația unui punct la un moment dat t se numește mărime vectorială la care tinde accelerația medie pe măsură ce intervalul de timp ∆t tinde spre zero: Vectorul accelerație al unui punct la un moment dat este egal cu derivata întâi a vectorului viteză sau derivata a doua a vectorului rază a punctul cu privire la timp.

Accelerația unui punct este zero numai când viteza punctului v constantă atât ca mărime, cât și ca direcție: aceasta corespunde doar mișcării rectilinie și uniforme.

Să aflăm cum este situat vectorul în raport cu traiectoria punctului. În mișcare rectilinie, vectorul este îndreptat de-a lungul liniei drepte de-a lungul căreia se mișcă punctul. îndreptată spre concavitatea traiectoriei și se află în planul care trece prin tangenta la traiectorie în punctul Mși o dreaptă paralelă cu tangenta într-un punct adiacent M 1 (Fig. 8). În limita când punctul M se străduiește pentru M, acest plan ocupă poziţia aşa-numitului plan osculator, adică. planul în care are loc o rotație infinitezimală a tangentei la traiectorie în timpul unei mișcări elementare a unui punct în mișcare. Prin urmare, în cazul general, vectorul de accelerație se află în planul de contact și este îndreptat spre concavitatea curbei.

Determinarea accelerației folosind metoda coordonatelor de specificare a mișcării

Vectorul accelerație al unui punct în proiecție pe axă se obține:

acestea. proiecția accelerației unui punct pe axele de coordonate este egală cu primele derivate ale proiecțiilor vitezei sau cu derivatele secunde ale coordonatelor corespunzătoare ale punctului în raport cu timpul. Mărimea și direcția accelerației pot fi găsite din formule

Fig.10

Proiecții de accelerație a x = =0, a y = =-8 cm∙s -2. Din moment ce proiectia vectorului acceleratie pe axa X egal cu zero și pe axă y– este negativ, atunci vectorul de accelerație este îndreptat vertical în jos, iar valoarea lui este constantă și nu depinde de timp.

Orice corp poate fi considerat o colecție puncte materiale, care pot fi, de exemplu, molecule. Fie corpul format din n puncte materiale cu mase m1, m2, ...mn.

Centrul de masă al corpului, format din n puncte materiale se numește punct (în sens geometric), al cărui vector rază este determinat de formula:

Aici R1 este vectorul rază al punctului numărul i (i = 1, 2, ... n).

Această definiție pare neobișnuită, dar de fapt dă poziția chiar a centrului de masă, despre care avem o idee intuitivă. De exemplu, centrul de masă al tijei va fi în mijlocul acesteia. Suma maselor tuturor punctelor incluse în numitorul formulei de mai sus se numește masa corpului. Greutate corporala numit suma maselor tuturor punctelor sale: m = m1 + m2 + ... + mn.

În corpurile omogene simetrice, CM este întotdeauna situat în centrul de simetrie sau se află pe axa de simetrie dacă figura nu are un centru de simetrie. Centrul de masă poate fi situat atât în interiorul corpului (disc, pătrat, triunghi), cât și în exteriorul acestuia (inel, cadru, pătrat).

Pentru o persoană, poziția COM depinde de postura adoptată. În multe sporturi, o componentă importantă a succesului este capacitatea de a menține echilibrul. Deci, la gimnastică, acrobație

un număr mare de elemente vor include tipuri diferite echilibru. Abilitatea de a menține echilibrul în patinaj artistic și patinaj viteză, unde suportul are o suprafață foarte mică, este importantă.

Condițiile pentru echilibrul unui corp în repaus sunt egalitatea simultană la zero a sumei forțelor și suma momentelor forțelor care acționează asupra corpului.

Să aflăm ce poziție ar trebui să ocupe axa de rotație pentru ca corpul fixat de ea să rămână în echilibru sub influența gravitației. Pentru a face acest lucru, să spargem corpul în multe bucăți mici și să desenăm forțele gravitaționale care acționează asupra lor.

În conformitate cu regula momentelor, pentru echilibru este necesar ca suma momentelor tuturor acestor forțe în jurul axei să fie egală cu zero.

Se poate arăta că pentru fiecare corp există un singur punct în care suma momentelor de greutate în jurul oricărei axe care trece prin acest punct este egală cu zero. Acest punct se numește centru de greutate (de obicei coincide cu centrul de masă).

Centrul de greutate al corpului (CG) numit punctul relativ la care suma momentelor gravitaționale care acționează asupra tuturor particulelor corpului este egală cu zero.

Astfel, forțele gravitaționale nu fac corpul să se rotească în jurul centrului de greutate. Prin urmare, toate forțele gravitaționale ar putea fi înlocuite cu o singură forță care este aplicată în acest punct și este egală cu forța gravitațională.

Pentru a studia mișcările corpului unui atlet, este adesea introdus termenul de centru de greutate general (GCG). Proprietățile de bază ale centrului de greutate:

Dacă corpul este fixat pe o axă care trece prin centrul de greutate, atunci forța de greutate nu îl va determina să se rotească;

Centrul de greutate este punctul de aplicare al gravitației;

Într-un câmp uniform, centrul de greutate coincide cu centrul de masă.

Echilibrul este o poziție a corpului în care poate rămâne în repaus atât timp cât se dorește. Când un corp se abate de la poziția sa de echilibru, forțele care acționează asupra lui se schimbă și echilibrul forțelor este perturbat.

Exista tipuri diferite echilibru (Fig. 9). Se obișnuiește să se distingă trei tipuri de echilibru: stabil, instabil și indiferent.

Echilibrul stabil (Fig. 9, a) se caracterizează prin faptul că corpul revine la poziția inițială atunci când este deviat. În acest caz, apar forțe sau momente de forță, care tind să readucă corpul în poziția inițială. Un exemplu este poziția corpului cu suport superior (de exemplu, agățat de o bară transversală), când, cu orice abateri, corpul tinde să revină la poziția inițială.

Echilibrul indiferent (Fig. 9, b) se caracterizează prin faptul că atunci când poziția corpului se schimbă, nu apar forțe sau momente de forță care tind să readucă corpul în poziția inițială sau să îndepărteze în continuare corpul din acesta. Aceasta este o întâmplare rară la om. Un exemplu este starea de imponderabilitate pe o navă spațială.

Echilibrul instabil (Fig. 9, c) se observă atunci când, cu mici abateri ale corpului, apar forțe sau momente de forță care tind să devieze și mai mult corpul de la poziția inițială. Un astfel de caz poate fi observat atunci când o persoană, stând pe un suport de o zonă foarte mică (mult mai mică decât aria celor două picioare sau chiar a unui picior), se aplecă în lateral.

Figura 9. Echilibrul corpului: stabil (a), indiferent (b), instabil (c)

Alături de tipurile enumerate de echilibru al corpurilor, biomecanica ia în considerare un alt tip de echilibru - limitat-stabil. Acest tip de echilibru se distinge prin faptul că corpul se poate întoarce la poziția inițială atunci când se abate de la el la o anumită limită, de exemplu, determinată de limita zonei de sprijin. Dacă abaterea depășește această limită, echilibrul devine instabil.

Sarcina principală în asigurarea echilibrului corpului uman este să se asigure că proiecția GCM-ului corpului se află în zona de sprijin. În funcție de tipul de activitate (menținerea unei poziții statice, mers, alergare etc.) și cerințele de stabilitate, frecvența și viteza influențelor corective se modifică, dar procesele de menținere a echilibrului sunt aceleași.

Distribuția masei în corpul uman

Masa corporală și masele segmentelor individuale sunt foarte importante pentru diferite aspecte ale biomecanicii. În multe sporturi, este necesar să se cunoască distribuția masei pentru a dezvolta tehnica corectă pentru efectuarea exercițiilor. Pentru a analiza mișcările corpului uman, se folosește metoda de segmentare: este disecat condiționat în anumite segmente. Pentru fiecare segment se determină masa acestuia și poziția centrului de masă. În tabel 1 masele părților corpului sunt determinate în unități relative.

Tabelul 1. Masele părților corpului în unități relative

Adesea, în locul conceptului de centru de masă, se folosește un alt concept - centrul de greutate. Într-un câmp uniform de greutate, centrul de greutate coincide întotdeauna cu centrul de masă. Poziția centrului de greutate al legăturii este indicată ca distanța sa față de axa articulației proximale și este exprimată în raport cu lungimea legăturii, luată ca unitate.

În tabel Figura 2 prezintă poziția anatomică a centrelor de greutate ale diferitelor părți ale corpului.

Masa 2. Centrele de greutate ale părților corpului

Parte a corpului	Poziția centrului de greutate
Şold	0,44 lungime link
Fluierul piciorului	0,42 lungime link
Umăr	0,47 lungime link
Antebraț	0,42 lungime link
trunchi
Cap
Perie
Picior

Umăr	0,47 lungime link
Antebraț	0,42 lungime link
trunchi	0,44 distanțe de la axa transversală a articulațiilor umărului la axa articulațiilor șoldului
Cap	Situat în zona selei turcice a osului sfenoid (proiecție din față între sprâncene, din lateral - 3,0 - 3,5 deasupra canalului auditiv extern)
Perie	În regiunea capului celui de-al treilea os metacarpian
Picior	Pe o linie dreaptă care leagă tuberculul calcanean al calcaneului cu capătul celui de-al doilea deget la o distanță de 0,44 de primul punct
Centrul de greutate general cu o poziție verticală a corpului	Situat in pozitia principala in zona pelviana, in fata sacrului