Ecuația generală a unui plan în spațiu. Ecuația unui plan. Cum se scrie o ecuație a unui plan? Aranjamentul reciproc al avioanelor. Probleme Echivalarea unui plan folosind un vector de direcție și un punct
Ecuația unui plan. Cum se scrie o ecuație a unui plan?
Aranjamentul reciproc al avioanelor. Sarcini
Geometria spațială nu este mult mai complicată decât geometria „plată”, iar zborurile noastre în spațiu încep cu acest articol. Pentru a stăpâni subiectul, trebuie să înțelegeți bine vectori, în plus, este indicat să fii familiarizat cu geometria planului - vor exista multe asemănări, multe analogii, astfel încât informațiile vor fi digerate mult mai bine. Într-o serie de lecții mele, lumea 2D se deschide cu un articol Ecuația unei drepte pe un plan. Dar acum Batman a părăsit ecranul plat al televizorului și se lansează din Cosmodromul Baikonur.
Să începem cu desene și simboluri. Schematic, planul poate fi desenat sub forma unui paralelogram, care creează impresia de spațiu: 
Avionul este infinit, dar avem ocazia să înfățișăm doar o bucată din el. În practică, pe lângă paralelogram, se desenează și un oval sau chiar un nor. Din motive tehnice, îmi este mai convenabil să înfățișez avionul exact în acest fel și exact în această poziție. Planurile reale, pe care le vom lua în considerare în exemple practice, pot fi localizate în orice fel - luați mental desenul în mâini și rotiți-l în spațiu, oferind avionului orice înclinare, orice unghi.
Denumiri: avioanele sunt de obicei notate cu litere mici grecești, aparent pentru a nu le confunda cu linie dreaptă pe un plan sau cu linie dreaptă în spațiu. Sunt obișnuit să folosesc litera . În desen este litera „sigma” și nu este deloc o gaură. Deși, avionul holey este cu siguranță destul de amuzant.
În unele cazuri, este convenabil să folosiți aceleași litere grecești cu indice mai mic pentru a desemna avioane, de exemplu, .
Este evident că planul este definit în mod unic de trei puncte diferite care nu se află pe aceeași linie. Prin urmare, denumirile de trei litere ale avioanelor sunt destul de populare - prin punctele care le aparțin, de exemplu, etc. Adesea literele sunt cuprinse între paranteze: 
, pentru a nu confunda planul cu o altă figură geometrică.
Pentru cititorii experimentați le voi oferi meniu de acces rapid:
- Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și doi vectori?
- Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și un vector normal?
și nu vom lâncevi în așteptări lungi:
Ecuația planului general
Ecuația generală a planului are forma , unde coeficienții nu sunt egali cu zero în același timp.
O serie de calcule teoretice și probleme practice sunt valabile atât pentru baza ortonormală obișnuită, cât și pentru bază afină spațiu (dacă uleiul este ulei, reveniți la lecție Dependența liniară (non) a vectorilor. Baza vectorilor). Pentru simplitate, vom presupune că toate evenimentele au loc pe o bază ortonormală și carteziană sistem dreptunghiular coordonate
Acum să exersăm puțin imaginația noastră spațială. Este în regulă dacă al tău este rău, acum îl vom dezvolta puțin. Chiar și jocul pe nervi necesită antrenament.
În cel mai general caz, când numerele nu sunt egale cu zero, planul intersectează toate cele trei axe de coordonate. De exemplu, așa:
Repet încă o dată că avionul continuă la nesfârșit în toate direcțiile și avem ocazia să ne înfățișăm doar o parte din el.
Să luăm în considerare cele mai simple ecuații ale planelor:
Cum să înțelegem această ecuație? Gândiți-vă: „Z” este ÎNTOTDEAUNA egal cu zero, pentru orice valoare a „X” și „Y”. Aceasta este ecuația planului de coordonate „nativ”. Într-adevăr, formal ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: 
, de unde puteți vedea clar că nu ne interesează ce valori iau „x” și „y”, este important ca „z” să fie egal cu zero.
De asemenea:
– ecuația planului de coordonate;
– ecuația planului de coordonate.
Să complicăm puțin problema, să considerăm un plan (aici și mai departe în paragraf presupunem că coeficienții numerici nu sunt egali cu zero). Să rescriem ecuația sub forma: . Cum să-l înțelegi? „X” este ÎNTOTDEAUNA, pentru orice valoare a lui „Y” și „Z”, egală cu un anumit număr. Acest plan este paralel cu planul de coordonate. De exemplu, un plan este paralel cu un plan și trece printr-un punct.
De asemenea:
– ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate;
– ecuația unui plan care este paralel cu planul de coordonate.
Să adăugăm membri: . Ecuația poate fi rescrisă după cum urmează: , adică „zet” poate fi orice. Ce înseamnă? „X” și „Y” sunt conectate prin relația, care trasează o anumită linie dreaptă în plan (veți afla ecuația unei drepte într-un plan?). Deoarece „z” poate fi orice, această linie dreaptă este „replicată” la orice înălțime. Astfel, ecuația definește un plan paralel cu axa de coordonate
De asemenea:
– ecuația unui plan care este paralel cu axa de coordonate;
– ecuația unui plan care este paralel cu axa de coordonate.
Dacă termenii liberi sunt zero, atunci planurile vor trece direct prin axele corespunzătoare. De exemplu, clasica „proporționalitate directă”: . Desenați o linie dreaptă în plan și înmulțiți-o mental în sus și în jos (deoarece „Z” este oricare). Concluzie: planul definit de ecuație trece prin axa de coordonate.
Finalizăm trecerea în revistă: ecuația planului 
trece prin origine. Ei bine, aici este destul de evident că punctul satisface această ecuație.
Și, în sfârșit, cazul prezentat în desen: – planul este prietenos cu toate axele de coordonate, în timp ce întotdeauna „taie” un triunghi, care poate fi situat în oricare dintre cei opt octanți.
Inegalități liniare în spațiu
Pentru a înțelege informațiile trebuie să studiezi bine inegalități liniare în plan, pentru că multe lucruri vor fi asemănătoare. Paragraful va avea o scurtă prezentare generală, cu mai multe exemple, deoarece materialul este destul de rar în practică.
Dacă ecuația definește un plan, atunci inegalitățile
cere semi-spații. Dacă inegalitatea nu este strictă (ultimele două din listă), atunci soluția inegalității, pe lângă semi-spațiu, include și planul însuși.
Exemplul 5
Găsiți vectorul normal unitar al planului 
.
Soluţie: Un vector unitar este un vector a cărui lungime este unu. Să notăm vector dat prin . Este absolut clar că vectorii sunt coliniari: 
În primul rând, eliminăm vectorul normal din ecuația planului: .
Cum să găsiți un vector unitar? Pentru a găsi vectorul unitar, aveți nevoie fiecareîmpărțiți coordonata vectorială la lungimea vectorului.
Să rescriem vectorul normal în forma și să îi găsim lungimea:
Conform celor de mai sus:
Răspuns: 
Verificare: ce trebuia verificat.
Cititorii care au studiat cu atenție ultimul paragraf al lecției probabil au observat asta coordonatele vectorului unitar sunt exact cosinusurile de direcție ale vectorului:
Să luăm o pauză de la problema în cauză: când vi se oferă un vector arbitrar diferit de zero, iar în funcție de condiție este necesar să se găsească cosinusurile de direcție (vezi ultimele probleme ale lecției Produsul punctual al vectorilor), atunci, de fapt, găsiți un vector unitar coliniar cu acesta. De fapt, două sarcini într-o sticlă.
Necesitatea găsirii vectorului normal unitar apare în unele probleme de analiză matematică.
Cu pescuitul vector normal Ne-am dat seama, acum să răspundem la întrebarea opusă:
Cum se creează o ecuație a unui plan folosind un punct și un vector normal?
Această construcție rigidă a unui vector normal și a unui punct este bine cunoscută de bordul de darts. Vă rugăm să întindeți mâna înainte și să selectați mental un punct arbitrar din spațiu, de exemplu, o pisică mică în bufet. Evident, prin acest punct poți desena un singur plan perpendicular pe mâna ta.
Ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector este exprimată prin formula:
Ecuație plană normală.
Ecuația plană generală a formei se numește ecuația planului normal, dacă lungimea vectorului 
egal cu unu, adică 
, Și .
Puteți vedea adesea că ecuația normală a unui plan este scrisă ca . Iată cosinusurile de direcție ale vectorului normal al unui plan dat de unitate de lungime, adică și p– un număr nenegativ egal cu distanța de la origine la plan.
Ecuația normală a unui plan într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz definește un plan care este îndepărtat de la origine cu o distanță pîn direcţia pozitivă a vectorului normal al acestui plan 
. Dacă p=0, atunci avionul trece prin origine.
Să dăm un exemplu de ecuație plană normală.
Fie specificat planul într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz ecuația plană generală a formei 
. Această ecuație generală a planului este ecuația normală a planului. Într-adevăr, vectorul normal al acestui plan este 
are lungime egală cu unitatea, deoarece 
.
Ecuația unui plan în formă normală vă permite să aflați distanța de la un punct la un plan.
Distanța de la un punct la un plan.
Distanța de la un punct la un plan este cea mai mică dintre distanța dintre acest punct și punctele planului. Se știe că distanţă de la un punct la un plan este egală cu lungimea perpendicularei trase din acest punct pe plan.
Dacă și originea coordonatelor se află pe diferite laturi ale planului, în cazul opus. Distanța de la un punct la un plan este
Aranjamentul reciproc al avioanelor. Condiții de paralelism și perpendicularitate a planurilor.
Distanța dintre plane paralele
Concepte înrudite
Planurile sunt paralele , Dacă
sau 
(produs vectorial)
Planurile sunt perpendiculare, Dacă
Sau 
.
(Produs scalar)
Direct în spațiu. Tipuri diferite ecuațiile unei linii drepte.
Ecuațiile unei linii drepte în spațiu - informații inițiale.
Ecuația unei drepte pe un plan Oxy este o ecuație liniară în două variabile XȘi y, care este satisfăcut de coordonatele oricărui punct de pe o dreaptă și nu este satisfăcut de coordonatele altor puncte. Cu o linie dreaptă în spațiul tridimensional situația este puțin diferită - nu există o ecuație liniară cu trei variabile X, yȘi z, care ar fi satisfăcută numai de coordonatele punctelor de pe o linie specificată într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz. Într-adevăr, o ecuație de forma , unde X, yȘi z sunt variabile și A, B, CȘi D– câteva numere reale și A, ÎNȘi CU nu sunt egale cu zero în același timp, reprezintă ecuația planului general. Atunci apare întrebarea: „Cum poate fi descrisă o linie dreaptă într-un sistem de coordonate dreptunghiular? Oxyz»?
Răspunsul la aceasta este conținut în următoarele paragrafe ale articolului.
Ecuațiile unei drepte în spațiu sunt ecuațiile a două plane care se intersectează.
Să ne amintim o axiomă: dacă două plane din spațiu au un punct comun, atunci ele au o dreaptă comună pe care toate puncte comune aceste avioane. Astfel, o linie dreaptă în spațiu poate fi definită prin specificarea a două plane care se intersectează de-a lungul acestei drepte.
Să traducem ultima afirmație în limbajul algebrei.
Să fie fixat un sistem de coordonate dreptunghiular în spațiul tridimensional Oxyzşi se ştie că linia dreaptă A este dreapta de intersecție a două plane și, care corespund ecuațiilor generale ale planului de forma și, respectiv. Din moment ce este drept A este mulțimea tuturor punctelor comune ale planurilor și, atunci coordonatele oricărui punct de pe dreapta a vor satisface simultan atât ecuația, cât și ecuația, coordonatele niciunui alt punct nu vor satisface simultan ambele ecuații ale planelor. Prin urmare, coordonatele oricărui punct de pe linie Aîntr-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz reprezinta soluție particulară a unui sistem de ecuații liniare drăguț 
, și soluția generală a sistemului de ecuații 
determină coordonatele fiecărui punct de pe o dreaptă A, adică definește o linie dreaptă A.
Deci, o linie dreaptă în spațiu într-un sistem de coordonate dreptunghiular Oxyz poate fi dat de un sistem de ecuații a două plane care se intersectează 
.
Iată un exemplu de definire a unei linii drepte în spațiu folosind un sistem de două ecuații - 
.
Descrierea unei linii drepte cu ecuațiile a două plane care se intersectează este excelentă pentru aflarea coordonatelor punctului de intersecție a unei drepte și a unui plan, și, de asemenea, când aflarea coordonatelor punctului de intersecție a două drepte în spațiu.
Vă recomandăm să studiați în continuare acest subiect prin referire la articol ecuații ale unei drepte în spațiu - ecuații a două plane care se intersectează. Oferă informații mai detaliate, discută în detaliu soluții la exemple și probleme tipice și, de asemenea, arată o metodă de tranziție la ecuații ale unei linii drepte într-un spațiu de alt tip.
Trebuie remarcat faptul că există diferite modalități de a defini o linie în spațiu, iar în practică, o dreaptă este adesea definită nu de două plane care se intersectează, ci de vectorul de direcție al dreptei și de un punct situat pe această dreaptă. În aceste cazuri, este mai ușor să obțineți ecuații canonice și parametrice ale unei linii în spațiu. Vom vorbi despre ele în paragrafele următoare.
Ecuații parametrice ale unei linii în spațiu.
Ecuații parametrice ale unei linii în spațiu arată ca 
,
Unde X 1 ,y 1 Și z 1 – coordonatele unui punct de pe linie, A X , A yȘi A z (A X , A yȘi A z nu sunt egale cu zero în același timp) - corespunzătoare coordonatele vectorului de direcție al dreptei, a este un parametru care poate lua orice valoare reală.
Pentru orice valoare a parametrului, folosind ecuațiile parametrice ale unei linii din spațiu, putem calcula un triplu de numere,
va corespunde unui punct de pe linie (de unde și numele acestui tip de ecuație de linie). De exemplu, când
din ecuațiile parametrice ale unei drepte în spațiu obținem coordonatele X 1
, y 1
Și z 1
: 
.
Ca exemplu, luați în considerare o linie dreaptă definită de ecuații parametrice ale formei 
. Această linie trece printr-un punct, iar vectorul direcție al acestei linii are coordonate.
Vă recomandăm să continuați studiul subiectului prin referire la articol ecuații parametrice ale unei linii în spațiu. Acesta arată derivarea ecuațiilor parametrice ale unei linii în spațiu, examinează cazuri speciale de ecuații parametrice ale unei linii în spațiu, oferă ilustrații grafice, oferă soluții detaliate la probleme caracteristice și indică legătura dintre ecuațiile parametrice ale unei linii și alte tipuri de ecuațiile unei linii.
Ecuații canonice ale unei linii drepte în spațiu.
După ce am rezolvat fiecare dintre ecuațiile parametrice drepte ale formei 
in ceea ce priveste parametrul, este usor de accesat ecuații canonice ale unei drepte în spațiu drăguț 
.
Ecuațiile canonice ale unei drepte în spațiu determină o dreaptă care trece printr-un punct 
, iar vectorul direcție al dreptei este vectorul 
. De exemplu, ecuațiile unei linii drepte în formă canonică 
corespund unei drepte care trece printr-un punct din spațiu cu coordonate, vectorul de direcție al acestei linii are coordonate.
Trebuie remarcat faptul că unul sau două dintre numerele din ecuațiile canonice ale unei linii pot fi egale cu zero (toate cele trei numere nu pot fi egale cu zero în același timp, deoarece vectorul de direcție al unei linii nu poate fi zero). Apoi o notare a formei 
este considerat formal (deoarece numitorii uneia sau a două fracții vor avea zero) și ar trebui înțeles ca 
, Unde.
Dacă unul dintre numerele din ecuațiile canonice ale unei linii este egal cu zero, atunci linia se află într-unul dintre planurile de coordonate sau într-un plan paralel cu acesta. Dacă două dintre numere sunt zero, atunci linia fie coincide cu una dintre axele de coordonate, fie este paralelă cu aceasta. De exemplu, o linie corespunzătoare ecuațiilor canonice ale unei linii în spațiul formei 
, zace în avion z=-2, care este paralel cu planul de coordonate Oxy, A axa de coordonate Oi este determinată de ecuații canonice.
Pentru ilustrații grafice ale acestor cazuri, derivarea ecuațiilor canonice ale unei linii în spațiu, soluții detaliate ale exemplelor și problemelor tipice, precum și trecerea de la ecuațiile canonice ale unei linii la alte ecuații ale unei linii în spațiu, vezi articol ecuații canonice ale unei drepte în spațiu.
Ecuația generală a unei drepte. Trecerea de la ecuația generală la ecuația canonică.
| " |
– ecuația generală a unui plan în spațiu
Vector plan normal
Un vector normal al unui plan este un vector diferit de zero ortogonal cu fiecare vector aflat în plan.
Ecuația unui plan care trece printr-un punct cu un vector normal dat
– ecuația planului care trece prin punctul M0 cu un vector normal dat
Vectorii de direcție plană
Numim doi vectori necoliniari paraleli cu planul vectori de direcție ai planului
Ecuații plane parametrice
– ecuație parametrică avioane în formă vectorială
– ecuația parametrică a planului în coordonate
Ecuația unui plan printr-un punct dat și doi vectori de direcție
-punct fix
-doar un punct lol
-coplanare, ceea ce înseamnă că produsul lor mixt este 0.
Ecuația unui plan care trece prin trei puncte date
– ecuația unui plan prin trei puncte
Ecuația unui plan în segmente
– ecuaţia planului în segmente
Dovada
Pentru a demonstra acest lucru, folosim faptul că planul nostru trece prin A,B,C și vectorul normal
Să substituim coordonatele punctului și ale vectorului n în ecuația planului cu un vector normal
Să împărțim totul și să obținem
Așa merge.
Ecuația plană normală
– unghiul dintre ox și vectorul normal față de planul care emană din O.
– unghiul dintre oy și vectorul normal față de planul care emană din O.
– unghiul dintre oz și vectorul normal față de planul care emană din O.
– distanta de la origine la plan.
Dovada sau niste prostii de genul asta
Semnul este opus lui D.
La fel și pentru cosinusurile rămase. Sfârşit.
Distanța de la punct la plan
Punctul S, plan
– distanta orientata de la punctul S la plan
Dacă , atunci S și O se află pe părți opuse ale planului
Dacă , atunci S și O se află pe aceeași parte
Înmulțiți cu n 
Poziția relativă a două linii în spațiu
Unghiul dintre planuri
Când se intersectează, se formează două perechi de unghiuri diedrice verticale, cel mai mic se numește unghiul dintre plane
Linie dreaptă în spațiu
O linie dreaptă în spațiu poate fi specificată ca
Intersectia a doua plane:
Ecuații parametrice ale unei linii
– ecuația parametrică a unei drepte în formă vectorială
– ecuația parametrică a unei drepte în coordonate
Ecuație canonică
– ecuația canonică a unei drepte.
Ecuația unei drepte care trece prin două puncte date
– ecuația canonică a unei drepte în formă vectorială;
Poziția relativă a două linii în spațiu
Poziția relativă a unei linii drepte și a unui plan în spațiu
Unghiul dintre o linie dreaptă și un plan
Distanța de la un punct la o dreaptă din spațiu
a este vectorul de direcție al dreptei noastre.
– un punct arbitrar aparținând unei linii date
– punctul până la care căutăm distanța.
Distanța dintre două linii de trecere
Distanța dintre două linii paralele
M1 – punct aparținând primei linii
M2 – punct aparținând celei de-a doua linii
Curbe și suprafețe de ordinul doi
O elipsă este un set de puncte dintr-un plan, suma distanțelor de la care două puncte date (focale) este o valoare constantă.
Ecuația canonică a elipsei
Înlocui cu
Împarte la
Proprietățile elipsei
Intersecția cu axele de coordonate
Originile
Relativ de simetrie
O elipsă este o curbă situată într-o parte limitată a planului
O elipsă poate fi obținută dintr-un cerc prin întinderea sau comprimarea acestuia
Ecuația parametrică a unei elipse:
– directoare
Hiperbolă
O hiperbolă este un set de puncte dintr-un plan pentru care modulul diferenței de distanțe până la 2 puncte date (focale) este o valoare constantă (2a)
Facem același lucru ca și cu elipsa, obținem
Înlocui cu
Împarte la
Proprietățile unei hiperbole
;
– directoare
Asimptotă
Asimptota este o linie dreaptă de care curba se apropie fără limită, îndepărtându-se la infinit.
Parabolă
Proprietățile paraworkului
Relația dintre elipsă, hiperbolă și parabolă.
Relația dintre aceste curbe are o explicație algebrică: toate sunt date de ecuații de gradul doi. În orice sistem de coordonate, ecuațiile acestor curbe au forma: ax 2 +bxy+cy 2 +dx+ey+f=0, unde a, b, c, d, e, f sunt numere
Conversia sistemelor de coordonate carteziene dreptunghiulare
Transfer sistem de coordonate paralel
–O’ în vechiul sistem de coordonate
– coordonatele punctului din vechiul sistem de coordonate
– coordonatele punctului în sistem nou coordonate
Coordonatele punctului din noul sistem de coordonate.
Rotația într-un sistem de coordonate carteziene dreptunghiulare
– un nou sistem de coordonate
Matrice de tranziție de la vechea bază la cea nouă
– (sub prima coloană eu’
, sub al doilea - j’
) matricea de tranziție de la bază eu,j până la bază eu’
,j’
Caz general
Rotirea unui sistem de coordonate
Rotirea unui sistem de coordonate
Traducere de origine paralelă
1 opțiune
Opțiunea 2
Ecuația generală a liniilor de ordinul doi și reducerea acesteia la formă canonică
– forma generala ecuații ale curbei de ordinul doi
Clasificarea curbelor de ordinul doi
Elipsoid
Secțiuni elipsoide
– elipsa
– elipsa
Elipsoidele revoluției
Elipsoizii de revoluție sunt fie sferoide aplatizate, fie prolate, în funcție de ceea ce ne rotim.
Hiperboloid cu o singură bandă
Secțiuni ale unui hiperboloid cu o singură bandă
– hiperbola cu axa reală
– hiperbola cu axa reală x
Rezultatul este o elipsă pentru orice h. Așa merge.
Hiperboloizi de revoluție cu o singură bandă
Un hiperboloid de revoluție cu o singură foaie poate fi obținut prin rotirea hiperbolei în jurul axei sale imaginare.
Hiperboloid cu două foi
Secțiuni ale unui hiperboloid cu două foi 
- hiperbolă cu acţiune. axisoz
– hiperbola cu axisoz real
Con 
– o pereche de linii care se intersectează
– o pereche de linii care se intersectează
Paraboloid eliptic 
- parabola
– parabolă
Rotații
Dacă , atunci un paraboloid eliptic este o suprafață de revoluție formată prin rotația unei parabole în jurul axei sale de simetrie.
Paraboloid hiperbolic
Parabolă
– parabolă
h>0 este o hiperbolă cu axa reală paralelă cu x
h<0 гипербола с действительной осью паралльной оу и мнимой ох
Prin cilindru înțelegem suprafața care se va obține atunci când o linie dreaptă se mișcă în spațiu, fără a-și schimba direcția dacă linia dreaptă se mișcă relativ la oz, atunci ecuația cilindrului este ecuația secțiunii după planul xoy;
Cilindru eliptic
Cilindru hiperbolic
Cilindru parabolic
Generatoare rectilinii de suprafețe de ordinul doi
Liniile drepte care se află complet pe suprafață sunt numite generatoare rectilinii ale suprafeței.
Suprafețe de revoluție
La naiba, nebunul
Afişa
Afişa să numim o regulă conform căreia fiecare element al mulțimii A este asociat cu unul sau mai multe elemente ale mulțimii B. Dacă fiecăruia i se atribuie un singur element al setului B, atunci maparea este apelată lipsit de ambiguitate, in caz contrar ambiguu.
Transformare a unui set este o mapare unu-la-unu a unui set pe sine
Injectare
Injectarea sau maparea unu-la-unu a setului A la setul B
(diferitele elemente ale lui a corespund diferitelor elemente ale lui B) de exemplu y=x^2
Surjecție
Supraiecție sau mapare a setului A la setul B
Pentru fiecare B există cel puțin un A (de exemplu sinus)
Fiecare element al multimii B corespunde unui singur element al multimii A. (de exemplu y=x)
Să considerăm planul Q în spațiu Poziția sa este complet determinată prin specificarea vectorului N perpendicular pe acest plan și a unui punct fix situat în planul Q. Vectorul N perpendicular pe planul Q se numește vectorul normal al acestui plan. Dacă notăm cu A, B și C proiecțiile vectorului normal N, atunci
Să derivăm ecuația planului Q care trece printr-un punct dat și are un vector normal dat. Pentru a face acest lucru, luați în considerare un vector care conectează un punct cu un punct arbitrar pe planul Q (Fig. 81).
Pentru orice poziție a punctului M pe planul Q, vectorul MHM este perpendicular pe vectorul normal N al planului Q. Prin urmare, produsul scalar Să scriem produsul scalar în termeni de proiecții. Deoarece , și este un vector, atunci
prin urmare
Am arătat că coordonatele oricărui punct din planul Q satisfac ecuația (4). Este ușor de observat că coordonatele punctelor care nu se află pe planul Q nu satisfac această ecuație (în acest din urmă caz). În consecință, am obținut ecuația necesară pentru planul Q. Ecuația (4) se numește ecuația planului care trece printr-un punct dat. Este de gradul I relativ la coordonatele curente
Deci, am arătat că fiecărui plan îi corespunde o ecuație de gradul I în raport cu coordonatele curente.
Exemplul 1. Scrieți ecuația unui plan care trece printr-un punct perpendicular pe vector.
Soluţie. Aici . Pe baza formulei (4) obținem
sau, după simplificare,
Dând coeficienților A, B și C ai ecuației (4) valori diferite, putem obține ecuația oricărui plan care trece prin punctul . Mulțimea de planuri care trec printr-un punct dat se numește mănunchi de plane. Ecuația (4), în care coeficienții A, B și C pot lua orice valoare, se numește ecuația unui grup de plane.
Exemplul 2. Creați o ecuație pentru un plan care trece prin trei puncte (Fig. 82).
Soluţie. Să scriem ecuația pentru o grămadă de avioane care trec prin punct
În această lecție ne vom uita la cum să folosim determinantul pentru a crea ecuația plană. Dacă nu știți ce este un determinant, mergeți la prima parte a lecției - „Matrici și determinanți”. Altfel, riști să nu înțelegi nimic din materialul de astăzi.
Ecuația unui plan folosind trei puncte
De ce avem nevoie de o ecuație plană? Este simplu: știind asta, putem calcula cu ușurință unghiuri, distanțe și alte prostii în problema C2. În general, nu te poți descurca fără această ecuație. Prin urmare, formulăm problema:
Sarcină. În spațiu sunt date trei puncte care nu se află pe aceeași linie. Coordonatele lor:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3);Trebuie să creați o ecuație pentru avionul care trece prin aceste trei puncte. În plus, ecuația ar trebui să arate astfel:
Ax + By + Cz + D = 0
unde numerele A, B, C și D sunt coeficienții care, de fapt, trebuie găsiți.
Ei bine, cum să obțineți ecuația unui plan dacă sunt cunoscute doar coordonatele punctelor? Cel mai simplu mod este să înlocuiți coordonatele în ecuația Ax + By + Cz + D = 0. Obțineți un sistem de trei ecuații care pot fi rezolvate cu ușurință.
Mulți studenți consideră această soluție extrem de obositoare și nesigură. Examenul de stat unificat de matematică de anul trecut a arătat că probabilitatea de a face o eroare de calcul este foarte mare.
Prin urmare, cei mai avansați profesori au început să caute soluții mai simple și mai elegante. Și l-au găsit! Adevărat, tehnica obținută se referă mai degrabă la matematica superioară. Personal, a trebuit să răsfoiesc întreaga Listă Federală de Manuale pentru a mă asigura că avem dreptul de a folosi această tehnică fără nicio justificare sau dovezi.
Ecuația unui plan printr-un determinant
Destul de versuri, să trecem la treabă. Pentru început, o teoremă despre modul în care determinantul unei matrice și ecuația planului sunt legate.
Teorema. Fie date coordonatele a trei puncte prin care trebuie trasat planul: M = (x 1, y 1, z 1); N = (x 2, y 2, z 2); K = (x 3, y 3, z 3). Atunci ecuația acestui plan poate fi scrisă prin determinantul:
Ca exemplu, să încercăm să găsim o pereche de avioane care apar de fapt în problemele C2. Uite cât de repede se calculează totul:
A 1 = (0, 0, 1);
B = (1, 0, 0);
C1 = (1, 1, 1);
Compunem un determinant și îl echivalăm cu zero:
Extindem determinantul:
a = 1 1 (z − 1) + 0 0 x + (−1) 1 y = z − 1 − y;
b = (−1) 1 x + 0 1 (z − 1) + 1 0 y = −x;
d = a − b = z − 1 − y − (−x ) = z − 1 − y + x = x − y + z − 1;
d = 0 ⇒ x − y + z − 1 = 0;
După cum puteți vedea, când am calculat numărul d, am „pieptănat” puțin ecuația, astfel încât variabilele x, y și z să fie în ordinea corectă. Asta e tot! Ecuația plană este gata!
Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:
A = (0, 0, 0);
B1 = (1, 0, 1);
D1 = (0, 1, 1);
Inlocuim imediat coordonatele punctelor in determinant:
Extindem din nou determinantul:
a = 1 1 z + 0 1 x + 1 0 y = z;
b = 1 1 x + 0 0 z + 1 1 y = x + y;
d = a − b = z − (x + y ) = z − x − y;
d = 0 ⇒ z − x − y = 0 ⇒ x + y − z = 0;
Deci, se obține din nou ecuația planului! Din nou, la ultimul pas a trebuit să schimbăm semnele din el pentru a obține o formulă mai „frumoasă”. Nu este deloc necesar să faceți acest lucru în această soluție, dar este totuși recomandat - pentru a simplifica soluția ulterioară a problemei.
După cum puteți vedea, compunerea ecuației unui plan este acum mult mai ușoară. Înlocuim punctele în matrice, calculăm determinantul - și gata, ecuația este gata.
Acest lucru ar putea pune capăt lecției. Cu toate acestea, mulți studenți uită constant ce este în interiorul determinantului. De exemplu, care linie conține x 2 sau x 3 și care linie conține doar x. Pentru a elimina cu adevărat acest lucru, să vedem de unde provine fiecare număr.
De unde vine formula cu determinantul?
Deci, să ne dăm seama de unde vine o ecuație atât de dură cu un determinant. Acest lucru vă va ajuta să vă amintiți și să îl aplicați cu succes.
Toate planurile care apar în problema C2 sunt definite de trei puncte. Aceste puncte sunt întotdeauna marcate pe desen sau chiar indicate direct în textul problemei. În orice caz, pentru a crea o ecuație, va trebui să le notăm coordonatele:
M = (x 1, y 1, z 1);
N = (x 2, y 2, z 2);
K = (x 3, y 3, z 3).
Să luăm în considerare un alt punct din planul nostru cu coordonate arbitrare:
T = (x, y, z)
Luați orice punct din primele trei (de exemplu, punctul M) și trageți vectori din acesta către fiecare dintre cele trei puncte rămase. Obținem trei vectori:
MN = (x 2 − x 1 , y 2 − y 1 , z 2 − z 1 );
MK = (x 3 − x 1 , y 3 − y 1 , z 3 − z 1 );
MT = (x − x 1 , y − y 1 , z − z 1 ).
Acum să compunem o matrice pătrată din acești vectori și să echivalăm determinantul acesteia cu zero. Coordonatele vectorilor vor deveni rânduri ale matricei - și vom obține chiar determinantul care este indicat în teoremă:
Această formulă înseamnă că volumul unui paralelipiped construit pe vectorii MN, MK și MT este egal cu zero. Prin urmare, toți cei trei vectori se află în același plan. În special, un punct arbitrar T = (x, y, z) este exact ceea ce căutam.
Înlocuirea punctelor și dreptelor unui determinant
Determinanții au câteva proprietăți grozave care o fac și mai ușoară rezolvarea problemei C2. De exemplu, nu contează pentru noi din ce punct desenăm vectorii. Prin urmare, următorii determinanți dau aceeași ecuație plană ca cea de mai sus:
De asemenea, puteți schimba liniile determinantului. Ecuația va rămâne neschimbată. De exemplu, multor oameni le place să scrie o linie cu coordonatele punctului T = (x; y; z) în partea de sus. Vă rog, dacă vă este convenabil:
Unii oameni sunt confuzi de faptul că una dintre linii conține variabile x, y și z, care nu dispar la înlocuirea punctelor. Dar nu ar trebui să dispară! Înlocuind numerele în determinant, ar trebui să obțineți această construcție:
Apoi determinantul este extins conform diagramei date la începutul lecției și se obține ecuația standard a planului:
Ax + By + Cz + D = 0
Aruncă o privire la un exemplu. Este ultimul din lecția de astăzi. Voi schimba în mod deliberat liniile pentru a mă asigura că răspunsul va da aceeași ecuație a planului.
Sarcină. Scrieți o ecuație pentru un plan care trece prin punctele:
B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D 1 = (0, 1, 1).
Deci, luăm în considerare 4 puncte:
B1 = (1, 0, 1);
C = (1, 1, 0);
D1 = (0, 1, 1);
T = (x, y, z).
Mai întâi, să creăm un determinant standard și să-l echivalăm cu zero:
Extindem determinantul:
a = 0 1 (z − 1) + 1 0 (x − 1) + (−1) (−1) y = 0 + 0 + y;
b = (−1) 1 (x − 1) + 1 (−1) (z − 1) + 0 0 y = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
d = a − b = y − (2 − x − z ) = y − 2 + x + z = x + y + z − 2;
d = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Asta e, avem răspunsul: x + y + z − 2 = 0.
Acum să rearanjam câteva rânduri în determinant și să vedem ce se întâmplă. De exemplu, să scriem o linie cu variabilele x, y, z nu în partea de jos, ci în partea de sus:
Extindem din nou determinantul rezultat:
a = (x − 1) 1 (−1) + (z − 1) (−1) 1 + y 0 0 = 1 − x + 1 − z = 2 − x − z;
b = (z − 1) 1 0 + y (−1) (−1) + (x − 1) 1 0 = y;
d = a − b = 2 − x − z − y;
d = 0 ⇒ 2 − x − y − z = 0 ⇒ x + y + z − 2 = 0;
Avem exact aceeași ecuație plană: x + y + z − 2 = 0. Aceasta înseamnă că într-adevăr nu depinde de ordinea rândurilor. Rămâne doar să scrieți răspunsul.
Deci, suntem convinși că ecuația planului nu depinde de succesiunea de drepte. Putem efectua calcule similare și dovedim că ecuația planului nu depinde de punctul ale cărui coordonate le scădem din alte puncte.
În problema considerată mai sus, am folosit punctul B 1 = (1, 0, 1), dar a fost foarte posibil să luăm C = (1, 1, 0) sau D 1 = (0, 1, 1). În general, orice punct cu coordonate cunoscute se află pe planul dorit.
Reteta kebab de porc in sos de soia Inmuiati kebab de porc in sos de soia
Sărbătoarea Catedralei Sfinților din Kazan
Femeia Cocoș-Scorpion: caracteristici, puncte forte și puncte slabe