Logaritmul unei variabile complexe. Definiție și proprietăți. Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

Definiție și proprietăți

Complexul zero nu are un logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoarea zero. Non-zero texvc poate fi reprezentat sub formă demonstrativă:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): z=r \cdot e^(i (\varphi + 2 \pi k))\;\;, Unde Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): k- întreg arbitrar

Apoi Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \mathrm(Ln)\,z se gaseste prin formula:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi math/README - ajutor la configurare.): \mathrm(Ln)\,z = \ln r + i \left(\varphi + 2 \pi k \right)

Aici Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,r= \ln\,|z|- logaritm real. Din aceasta rezultă:

Din formulă reiese clar că una și numai una dintre valori are o parte imaginară în interval Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc . Această valoare este numită importanta principala logaritm natural complex. Funcția corespunzătoare (deja lipsită de ambiguitate) este numită ramura principală logaritm și se notează Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\,z. Uneori prin Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln\, z denotă, de asemenea, valoarea logaritmului care nu se află pe ramura principală. Dacă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): z este un număr real, atunci valoarea principală a logaritmului său coincide cu logaritmul real obișnuit.

Din formula de mai sus rezultă, de asemenea, că partea reală a logaritmului este determinată după cum urmează prin componentele argumentului:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Re)(\ln(x+iy)) = \frac(1)(2) \ln(x^2+y^2)

Figura arată că partea reală în funcție de componente este simetrică central și depinde doar de distanța până la origine. Se obține prin rotirea graficului logaritmului real în jurul axei verticale. Pe măsură ce se apropie de zero, funcția tinde să Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): -\infty.

Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \mathrm(Ln) (-x) = \ln x + i \pi (2 k + 1) \qquad (x>0,\ k = 0, \pm 1 ,\ pm 2\puncte)

Exemple de valori logaritmice complexe

Să prezentăm valoarea principală a logaritmului ( Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): \ln) și expresia sa generală ( Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \mathrm(Ln)) pentru unele argumente:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \ln (1) = 0;\; \mathrm(Ln) (1) = 2k\pi i Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \ln (-1) = i \pi;\; \mathrm(Ln) (-1) = (2k+1)i \pi Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): \ln (i) = i \frac(\pi) (2);\; \mathrm(Ln) (i) = i \frac(4k+1)(2) \pi

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia au mai multe valori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Exemplu eronat raţionament:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): i\pi = \ln(-1) = \ln((-i)^2) = 2\ln(-i) = 2(-i\pi/2 ) = -i\pi- o greșeală evidentă.

Rețineți că în stânga este valoarea principală a logaritmului, iar în dreapta este valoarea din ramura subiacentă ( Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): k=-1). Cauza erorii este utilizarea neglijentă a proprietății Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor pentru configurare.): \log_a((b^p)) = p~\log_a b, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

Datorită conexiunii sale simple, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală pentru planul complex fără punct Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc .

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lasă curba Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc începe de la unu, nu trece prin zero și nu traversează partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): w strâmb Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma poate fi determinată prin formula:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor la configurare.): \ln z = \int\limits_\Gamma (du \over u)

Dacă Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma- o curbă simplă (fără auto-intersecții), apoi pentru numerele aflate pe ea, identitățile logaritmice pot fi folosite fără teamă, de exemplu:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor cu configurare.): \ln (wz) = \ln w + \ln z, ~\forall z,w\in\Gamma\colon zw\in \Gamma

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex, cu excepția părții negative a axei reale, pe care partea imaginară se schimbă brusc în Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): 2\pi. Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către interval Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): (-\pi, \pi]. Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă rezolvi curba Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \Gamma traversează partea negativă a axei reale, apoi prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii în ramura adiacentă, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice (vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului:

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \frac(d)(dz) \ln z = (1\peste z)

Pentru orice cerc Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): S, acoperind punctul Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematică/README pentru ajutor de configurare.): 0 :

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor la configurare.): \oint\limits_S (dz \over z) = 2\pi i

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind serii cunoscute pentru cazul real:

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unu suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă doar la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Legătura cu funcții trigonometrice și hiperbolice inverse

Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcsin) z = -i \operatorname(Ln) (i z + \sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați math/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arccos) z = -i \operatorname(Ln) (z + i\sqrt(1-z^2)) Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): \operatorname(Arctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(1+z i)(1-z i) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; A se vedea math/README - ajutor la configurare.): \operatorname(Arcctg) z = -\frac(i)(2) \ln \frac(z i-1)(z i+1) + k \pi \; (z \ne \pm i) Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arsh)z = \operatorname(Ln)(z+\sqrt(z^2+1))- sinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Vezi matematică/README - ajutor la configurare.): \operatorname(Arch)z=\operatorname(Ln) \left(z+\sqrt(z^(2)-1) \right)- cosinus hiperbolic invers Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \operatorname(Arth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(1+z)(1-z)\right)- tangenta hiperbolica inversa Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor de configurare.): \operatorname(Arcth)z=\frac(1)(2)\operatorname(Ln)\left(\frac(z+1)(z-1)\right)- cotangent hiperbolic invers

Schiță istorică

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această temă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între D’Alembert și Euler. Bernoulli și D'Alembert credeau că ar trebui stabilit Nu se poate analiza expresia (Fișier executabil texvc nu a fost găsit; Consultați matematica/README pentru ajutor pentru configurare.): \log(-x) = \log(x), în timp ce Leibniz a demonstrat că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar. Teoria completă a logaritmilor negativului și numere complexe a fost publicat de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferit de cel modern. Deși dezbaterea a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler a primit recunoaștere universală până la sfârșitul secolului al XVIII-lea.

Scrieți o recenzie despre articolul „Logaritm complex”

Literatură

Teoria logaritmilor

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveșnikov A. G., Tihonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M.: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M.: Nauka, 1966. - 680 p.

Istoria logaritmilor

• Matematica secolului al XVIII-lea // / Editat de A. P. Yushkevich, în trei volume. - M.: Știință, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (eds.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M.: Știință, 1981. - T. II.

Note

1. Funcția logaritmică. // . - M.: Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3.
2. , Volumul II, p. 520-522..
3. , Cu. 623..
4. , Cu. 92-94..
5. , Cu. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovici V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Biblioteca Kvant, numărul 21).
7. , Volumul II, p. 522-526..
8. , Cu. 624..
9. , Cu. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M.: Editura. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - P. 27, 230-231..
11. , Cu. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Știință, 1987. - T. II. Geometrie. - p. 159-161. - 416 s.

Un fragment care caracterizează logaritmul complex

Din groaza sălbatică care ne-a cuprins, ne-am repezit ca gloanțe pe o vale largă, fără să ne gândim că am putea merge repede la un alt „etaj”... Pur și simplu nu am avut timp să ne gândim la asta - eram prea speriați.
Creatura a zburat chiar deasupra noastră, clacând zgomotos pe ciocul său cu dinți căscați și ne-am repezit cât am putut, împroșcând în lateral stropi sclipitori și rugandu-ne mental ca altceva să intereseze brusc această „pasăre miracolă” înfiorătoare... am simțit că era mult mai rapidă și pur și simplu nu aveam nicio șansă să ne despărțim de ea. Din fericire, în apropiere nu creștea nici măcar un copac, nu existau tufișuri, sau măcar pietre în spatele cărora să se poată ascunde, doar o stâncă neagră de rău augur se vedea în depărtare.
- Acolo! – strigă Stella, arătând cu degetul spre aceeași stâncă.
Dar deodată, pe neașteptate, chiar în fața noastră, a apărut de undeva o creatură, a cărei vedere ne-a înghețat literalmente sângele în vene... Părea ca „din aer” și era cu adevărat terifiant... uriașă carcasă neagră era complet acoperită cu părul lung, aspru, făcându-l să arate ca un urs cu burtă, doar că acest „urs” era înalt ca o casă cu trei etaje... Capul bulversat al monstrului era „încoronat” cu două uriașe curbate. coarne, iar gura ciudată era împodobită cu o pereche de colți incredibil de lungi, ascuțiți ca niște cuțite, doar privind la care, de spaimă, picioarele ni s-au lăsat... Și atunci, surprinzându-ne incredibil, monstrul a sărit ușor în sus și. .. a ridicat „noroiul” zburător de pe unul dintre colții săi uriași... Am înghețat în stare de șoc.
- Să fugim!!! – a tipat Stella. – Hai să alergăm cât e „ocupat”!...
Și eram gata să ne grăbim din nou fără să ne uităm înapoi, când deodată se auzi o voce subțire în spatele nostru:
- Fetelor, asteptati!!! Nu e nevoie să fugi!... Dean te-a salvat, nu e dușman!
Ne-am întors brusc – o fetiță minusculă, foarte frumoasă, cu ochi negri stătea în spatele nostru... și mângâia calm monstrul care se apropiase de ea!.. Ochii ni s-au mărit de surprindere... A fost incredibil! Cu siguranță – a fost o zi de surprize!.. Fata, privindu-ne, a zâmbit primitor, deloc frică de monstrul blănos care stătea lângă noi.
- Te rog să nu-ți fie frică de el. El este foarte blând. Am văzut că Ovara te urmărea și am decis să ajutăm. Dean a fost grozav, a ajuns la timp. Serios, draga mea?
„Bine” toarcă, care a sunat ca un ușor cutremur și, aplecându-și capul, a lins fața fetei.
– Cine este Owara și de ce ne-a atacat? - Am întrebat.
„Atacă pe toată lumea, este un prădător.” Și foarte periculos”, a răspuns fata calmă. — Pot să te întreb ce cauți aici? Nu sunteți de aici, fetelor?
- Nu, nu de aici. Doar mergeam. Dar aceeași întrebare pentru tine - ce cauți aici?
„Mă duc să-mi văd mama...” fetița a devenit tristă. „Am murit împreună, dar din anumite motive ea a ajuns aici.” Și acum locuiesc aici, dar nu-i spun asta, pentru că nu va fi niciodată de acord cu asta. Ea crede că tocmai vin...
— Nu e mai bine să vii? Este atât de groaznic aici!... – Stella ridică din umeri.
„Nu pot să o las aici singură, o privesc ca să nu i se întâmple nimic.” Și aici Dean este cu mine... El mă ajută.
Pur și simplu nu-mi venea să cred... Această fetiță curajoasă și-a părăsit de bunăvoie „podeaua” frumoasă și bună pentru a trăi în această lume rece, teribilă și străină, protejându-și mama, care era foarte „vinovată” într-un fel! Nu cred că ar fi mulți oameni atât de curajoși și dezinteresați (chiar și adulți!) care să îndrăznească să întreprindă o asemenea ispravă... Și imediat m-am gândit - poate că pur și simplu nu înțelegea la ce avea să se condamne. ?!
– De cât timp ești aici, fată, dacă nu e un secret?
„Recent...” a răspuns trist copilul cu ochi negri, trăgând cu degetele de o șuviță neagră din părul ei creț. - Am intrat în asta lume frumoasă când a murit!.. Era atât de bun și de strălucitor!.. Și atunci am văzut că mama nu era cu mine și m-am repezit să o caute. A fost atât de înfricoșător la început! Dintr-un motiv oarecare nu a fost găsită nicăieri... Și apoi am căzut în această lume teribilă... Și apoi am găsit-o. Eram atât de speriat aici... Atât de singur... Mama mi-a spus să plec, chiar m-a certat. Dar nu pot să o părăsesc... Acum am un prieten, bunul meu Decan, și pot deja să exist cumva aici.
„Prietenul ei bun” a mârâit din nou, ceea ce mi-a dat lui Stella și mie pielea de găină uriașă „astrală inferior”... După ce m-am adunat, am încercat să mă calmez puțin și am început să privesc mai atent acest miracol blănos... Și el, simțind imediat că a fost remarcat, și-a dezvăluit îngrozitor gura cu colți... Am sărit înapoi.
- O, nu-ți fie frică, te rog! „Îți zâmbește”, a „liniștit fata”.
Da... Vei învăța să fugi repede dintr-un astfel de zâmbet... - m-am gândit în sinea mea.
- Cum s-a întâmplat să te împrietenești cu el? – a întrebat Stella.
– Când am venit prima oară aici, mi-a fost foarte frică, mai ales când azi atacau astfel de monștri ca tine. Și apoi într-o zi, când aproape am murit, Dean m-a salvat de o grămadă de „păsări” zburătoare înfiorătoare. Mi-a fost și mie frică de el la început, dar apoi mi-am dat seama ce inimă de aur are... El este cel mai mult cel mai bun prieten! Nu am avut niciodată așa ceva, nici măcar când am trăit pe Pământ.
- Cum te-ai obișnuit așa de repede? Aspectul lui nu este chiar familiar, să spunem...
– Și aici am înțeles un adevăr foarte simplu, pe care din anumite motive nu l-am observat pe Pământ - aspectul nu contează dacă o persoană sau o creatură are o inimă bună... Mama era foarte frumoasă, dar uneori era foarte supărată de asemenea. Și apoi toată frumusețea ei a dispărut undeva... Și Dean, deși înfricoșător, este întotdeauna foarte amabil, și întotdeauna mă protejează, îi simt bunătatea și nu mi-e frică de nimic. Dar te poți obișnui cu aspectul...
– Știi că vei fi aici foarte mult timp, mult mai mult decât trăiesc oamenii pe Pământ? Chiar vrei sa stai aici?...
„Mama este aici, așa că trebuie să o ajut.” Și când ea „pleacă” să trăiască din nou pe Pământ, voi pleca și eu... Acolo unde este mai multă bunătate. În această lume teribilă, oamenii sunt foarte ciudați - de parcă nu ar trăi deloc. De ce este asta? Știi ceva despre asta?
– Cine ți-a spus că mama ta va pleca să trăiască din nou? – Stella a devenit interesată.
- Dean, desigur. Știe multe, locuiește aici de foarte mult timp. El a mai spus că atunci când noi (mama și cu mine) vom trăi din nou, familiile noastre vor fi diferite. Și atunci nu voi mai avea această mamă... De aceea vreau să fiu cu ea acum.
- Cum vorbești cu el, decanul tău? – a întrebat Stella. – Și de ce nu vrei să ne spui numele tău?
Dar este adevărat – încă nu știam numele ei! Și nici ei nu știau de unde vine...
– Mă numesc Maria... Dar asta chiar contează aici?
- Sigur! – a râs Stella. - Cum pot comunica cu tine? Când pleci, îți vor da un nou nume, dar cât vei fi aici, va trebui să trăiești cu cel vechi. Ai vorbit cu altcineva de aici, fata Maria? – a întrebat Stella, sărind de la un subiect la altul din obișnuință.
„Da, am vorbit...”, a spus fetița ezitantă. „Dar sunt atât de ciudați aici.” Și atât de nefericiți... De ce sunt atât de nefericiți?
– Ceea ce vezi aici favorizează fericirea? – Am fost surprins de întrebarea ei. – Chiar și „realitatea” locală în sine ucide orice speranță dinainte!... Cum poți fi fericit aici?
- Nu ştiu. Când sunt cu mama, mi se pare că aș putea fi fericit și aici... Adevărat, aici este foarte înfricoșător și ei chiar nu-i place aici... Când am spus că am fost de acord să rămân cu ea, a țipat la mine și a spus că eu sunt „ghinionul ei fără creier”... Dar nu sunt jignit... Știu că e doar speriată. Ca si mine...
– Poate că a vrut doar să te protejeze de decizia ta „extremă” și a vrut doar să te întorci la „etajul” tău? – întrebă Stella cu grijă, ca să nu jignească.
– Nu, desigur... Dar mulțumesc pentru cuvintele bune. Mama îmi spunea adesea nume nu prea bune, chiar și pe Pământ... Dar știu că asta nu a fost din furie. Pur și simplu era nefericită că m-am născut și îmi spunea adesea că i-am distrus viața. Dar nu a fost vina mea, nu-i așa? Am încercat întotdeauna să o fac fericită, dar din anumite motive nu am avut prea mult succes... Și nu am avut niciodată un tată. – Maria era foarte tristă, iar vocea îi tremura, de parcă era gata să plângă.
Stella și cu mine ne-am uitat una la alta și eram aproape sigură că o vizitau gânduri asemănătoare... Deja nu-mi plăcea cu adevărat această „mamă” răsfățată și egoistă, căreia, în loc să-și facă ea însăși griji pentru copilul ei, nu-i păsa de sacrificiul lui eroic am înțeles cât de cât și, în plus, am și rănit-o dureros.
„Dar Dean spune că sunt bun și că îl fac foarte fericit!” – bolborosi mai veselă fetița. „Și vrea să fie prieten cu mine.” Și alții pe care i-am întâlnit aici sunt foarte reci și indiferenți, și uneori chiar răi... Mai ales cei care au monștri atașați...
„Monștri – ce?...” nu am înțeles.
- Ei bine, au monștri groaznici care stau pe spate și le spun ce trebuie să facă. Și dacă nu ascultă, monștrii își bat joc de ei îngrozitor... Am încercat să vorbesc cu ei, dar acești monștri nu îmi permit.
Nu am înțeles absolut nimic din această „explicație”, dar chiar faptul că unele ființe astrale torturau oameni nu putea rămâne „explorat” de noi, așa că am întrebat-o imediat cum putem vedea acest fenomen uimitor.
- O, da peste tot! Mai ales la „muntele negru”. Iată-l, în spatele copacilor. Vrei să mergem și noi cu tine?
- Desigur, vom fi prea fericiți! – a răspuns imediat Stella încântată.
Sincer să fiu, nici nu am zâmbit cu adevărat la perspectiva de a mă întâlni cu altcineva, „înfiorător și de neînțeles”, mai ales singur. Dar interesul a învins frica și noi, desigur, am fi plecat, în ciuda faptului că ne era puțin frică... Dar când un astfel de apărător precum Dean a mers cu noi, a devenit imediat mai distractiv...
Și apoi, după o scurtă clipă, în fața ochilor noștri s-a desfășurat adevăratul Iad, larg deschis de uimire... Viziunea amintea de picturile lui Bosch (sau Bosc, în funcție de limba în care îl traduci), un artist „nebun”. care a șocat odată întreaga lume cu lumea sa de artă... El, desigur, nu era nebun, ci era pur și simplu un văzător care dintr-un motiv oarecare putea vedea doar Astralul inferior. Dar trebuie să-i dăm cuvenția - l-a portretizat superb... I-am văzut picturile într-o carte care se afla în biblioteca tatălui meu și încă mi-am amintit senzația ciudată pe care o aveau majoritatea picturilor lui...
„Ce groază!...” șopti Stella șocată.
S-ar putea spune, probabil, că am văzut deja multe aici, pe „etale”... Dar nici măcar noi nu ne-am putut imagina asta în cel mai groaznic coșmar al nostru!.. În spatele „stâncii negre” s-a deschis ceva complet de neconceput. .. Arăta ca un „caun” uriaș, plat, săpat în stâncă, în fundul căruia clocotea „lavă” purpurie... Aerul fierbinte „a izbucnit” peste tot cu bule stranii și roșiatice sclipitoare, din care izbucneau aburi opărțitori. și a căzut în picături mari la pământ, sau la oamenii care au căzut sub el în acel moment... S-au auzit țipete sfâșietoare, dar imediat au tăcut, în timp ce cele mai dezgustătoare făpturi stăteau pe spatele aceluiași oameni, care cu un Privirea mulțumită și-a „stăpânit” victimele, fără să acorde nici cea mai mică atenție suferinței lor... Sub picioarele goale ale oamenilor, pietrele fierbinți s-au înroșit, pământul purpuriu, care izbucnește de căldură, bolboia și „topea”... Stropi de fierbinte aburii au izbucnit prin crăpături uriașe și, arzând picioarele ființelor umane care plângeau de durere, au fost duși în înălțimi, evaporându-se cu un fum ușor ... Și chiar în mijlocul „gropii” curgea un râu larg de foc, roșu strălucitor, în care, din când în când, aceiași monștri dezgustători aruncau pe neașteptate una sau alta entitate chinuită, care, căzând, nu făcea decât un strop scurt de scântei portocalii, apoi dar, transformându-se pentru o clipă într-un nor alb pufos, a dispărut. .. pentru totdeauna... A fost un adevărat Iad, iar eu și Stella am vrut să „dispărem” de acolo cât mai curând posibil...
„Ce vom face?” șopti Stella îngrozită. - Vrei să mergi acolo jos? Putem face ceva pentru a-i ajuta? Uite cati sunt!...
Stăteam pe o stâncă negru-maro, uscată de căldură, observând „pură” plină de groază de durere, deznădejde și violență care se întindea dedesubt și ne-am simțit atât de neputincios de neputincioși, încât chiar și războinica mea Stella și-a îndoit categoric „aripile” ciufulite. „și a fost gata la primul apel să se grăbească la propriul „etaj” superior, atât de drag și de încredere...

Material de pe Wikipedia - enciclopedia liberă

Definiție și proprietăți

Complexul zero nu are un logaritm deoarece exponentul complex nu ia valoarea zero. Non-zero $z$ poate fi reprezentat sub formă demonstrativă:

$z=r\; \backslash cdot\; e^(i\; (\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k))\backslash ;\backslash ;,$ Unde $k$- întreg arbitrar

Apoi $\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z$ se gaseste prin formula:

$\backslash mathrm(Ln)\backslash ,z\; =\; \backslash ln\; r\; +\; i\; \backslash left(\backslash varphi\; +\; 2\; \backslash pi\; k\; \backslash right)$

Aici $\backslash ln\backslash ,r=\; \backslash ln\backslash ,|z|$- logaritm real. Din aceasta rezultă:

$\backslash mathrm(Ln)\; (-x)\; =\; \backslash ln\; x\; +\; i\; \backslash pi\; (2\; k\; +\; 1)\; \backslash qquad\; (x>0,\backslash \; k\; =\; 0,\; \backslash pm\; 1,\; \backslash pm\; 2\; \backslash dots)$

Exemple de valori logaritmice complexe

Să prezentăm valoarea principală a logaritmului ( $\backslash ln$) și expresia sa generală ( $\backslash mathrm(Ln)$) pentru unele argumente:

$\backslash ln\; (1)\; =\; 0;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (1)\; =\; 2k\backslash pi\; i$ $\backslash ln\; (-1)\; =\; i\; \backslash pi;\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (-1)\; =\; (2k+1)i\; \backslash pi$ $\backslash ln\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(\backslash pi)\; (2);\backslash ;\; \backslash mathrm(Ln)\; (i)\; =\; i\; \backslash frac(4k+1)(2)\; \backslash pi$

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia au mai multe valori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Exemplu eronat raţionament:

$i\backslash pi\; =\; \backslash ln(-1)\; =\; \backslash ln((-i)^2)\; =\; 2\backslash ln(-i)\; =\; 2(-i\backslash pi/2)\; =\; -i\backslash pi$- o greșeală evidentă.

Rețineți că în stânga este valoarea principală a logaritmului, iar în dreapta este valoarea din ramura subiacentă ( $k=-1$). Cauza erorii este utilizarea neglijentă a proprietății $\backslash log\_a((b^p))\; =\; p~\backslash log\_a\; b$, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori ale logaritmului, și nu doar valoarea principală.

Funcția logaritmică complexă și suprafața Riemann

Datorită conexiunii sale simple, suprafața Riemann a logaritmului este o acoperire universală pentru planul complex fără punct $0$.

Continuare analitică

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca continuarea analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Lasă curba $\backslash Gamma$începe de la unu, nu trece prin zero și nu traversează partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final $w$ strâmb $\backslash Gamma$ poate fi determinată prin formula:

$\backslash ln\; z\; =\; \backslash int\backslash limits\_\backslash Gamma\; (du\; \backslash over\; u)$

Dacă $\backslash Gamma$- o curbă simplă (fără auto-intersecții), apoi pentru numerele aflate pe ea, identitățile logaritmice pot fi folosite fără teamă, de exemplu:

$\backslash ln\; (wz)\; =\; \backslash ln\; w\; +\; \backslash ln\; z,\; ~\backslash forall\; z,w\backslash in\backslash Gamma\backslash colon\; zw\backslash in\; \backslash Gamma$

Ramura principală a funcției logaritmice este continuă și diferențiabilă pe întregul plan complex, cu excepția părții negative a axei reale, pe care partea imaginară se schimbă brusc în $2\backslash pi$. Dar acest fapt este o consecință a limitării artificiale a părții imaginare a valorii principale de către interval $(-\backslash pi,\; \backslash pi]$. Dacă luăm în considerare toate ramurile funcției, atunci continuitatea are loc în toate punctele cu excepția zero, unde funcția nu este definită. Dacă rezolvi curba $\backslash Gamma$ traversează partea negativă a axei reale, apoi prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii în ramura adiacentă, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice (vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului:

$\backslash frac(d)(dz)\; \backslash ln\; z\; =\; (1\backslash peste\; z)$

Pentru orice cerc $S$, acoperind punctul $0$:

$\backslash oint\backslash limits\_S\; (dz\; \backslash over\; z)\; =\; 2\backslash pi\; i$

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, se poate defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind serii cunoscute pentru cazul real:

{{{2}}}

(Rândul 1)

{{{2}}}

(Rândul 2)

Totuși, din forma acestor serii rezultă că la unu suma seriei este egală cu zero, adică seria se referă doar la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex. Raza de convergență a ambelor serii este 1.

Legătura cu funcții trigonometrice și hiperbolice inverse

$\backslash operatorname(Arcsin)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (i\; z\; +\; \backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arccos)\; z\; =\; -i\; \backslash operatorname(Ln)\; (z\; +\; i\backslash sqrt(1-z^2))$ $\backslash operatorname(Arctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(1+z\; i)(1-z\; i)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arcctg)\; z\; =\; -\backslash frac(i)(2)\; \backslash ln\; \backslash frac(z\; i-1)(z\; i+1)\; +\; k\; \backslash pi\; \backslash ;\; (z\; \backslash ne\; \backslash pm\; i)$ $\backslash operatorname(Arsh)z\; =\; \backslash operatorname(Ln)(z+\backslash sqrt(z^2+1))$- sinus hiperbolic invers $\backslash operatorname(Arch)z=\backslash operatorname(Ln)\; \backslash left(z+\backslash sqrt(z^(2)-1)\; \backslash right)$- cosinus hiperbolic invers $\backslash operatorname(Arth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(1+z)(1-z)\backslash right)$- tangenta hiperbolica inversa $\backslash operatorname(Arcth)z=\backslash frac(1)(2)\backslash operatorname(Ln)\backslash left(\backslash frac(z+1)(z-1)\backslash right)$- cotangent hiperbolic invers

Schiță istorică

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această temă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea între D’Alembert și Euler. Bernoulli și D'Alembert credeau că ar trebui stabilit $\backslash log(-x)\; =\; \backslash log(x)$, în timp ce Leibniz a demonstrat că logaritmul unui număr negativ este un număr imaginar. Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă. Deși dezbaterea a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), abordarea lui Euler a primit recunoaștere universală până la sfârșitul secolului al XVIII-lea.

Scrieți o recenzie despre articolul „Logaritm complex”

Literatură

Teoria logaritmilor

• Korn G., Korn T.. - M.: Nauka, 1973. - 720 p.
• Sveșnikov A. G., Tihonov A. N. Teoria funcțiilor unei variabile complexe. - M.: Nauka, 1967. - 304 p.
• Fikhtengolts G. M. Curs de calcul diferențial și integral. - ed. al 6-lea. - M.: Nauka, 1966. - 680 p.

Istoria logaritmilor

• Matematica secolului al XVIII-lea // / Editat de A. P. Yushkevich, în trei volume. - M.: Știință, 1972. - T. III.
• Kolmogorov A. N., Iuşkevici A. P. (eds.). Matematica secolului al XIX-lea. Geometrie. Teoria funcţiilor analitice. - M.: Știință, 1981. - T. II.

Note

1. Funcția logaritmică. // . - M.: Enciclopedia Sovietică, 1982. - T. 3.
2. , Volumul II, p. 520-522..
3. , Cu. 623..
4. , Cu. 92-94..
5. , Cu. 45-46, 99-100..
6. Boltyansky V. G., Efremovici V. A.. - M.: Nauka, 1982. - P. 112. - (Biblioteca Kvant, numărul 21).
7. , Volumul II, p. 522-526..
8. , Cu. 624..
9. , Cu. 325-328..
10. Rybnikov K. A. Istoria matematicii. În două volume. - M.: Editura. Universitatea de Stat din Moscova, 1963. - T. II. - P. 27, 230-231..
11. , Cu. 122-123..
12. Klein F.. - M.: Știință, 1987. - T. II. Geometrie. - p. 159-161. - 416 s.

Un fragment care caracterizează logaritmul complex

Era clar că acest bărbat puternic și ciudat se afla sub influența irezistibilă exercitată asupra lui de această fată întunecată, grațioasă și iubitoare.
Rostov a observat ceva nou între Dolokhov și Sonya; dar nu și-a definit singur ce fel de relație nouă era aceasta. „Toți sunt îndrăgostiți de cineva de acolo”, se gândi el despre Sonya și Natasha. Dar nu era la fel de confortabil ca înainte cu Sonya și Dolokhov și a început să fie acasă mai rar.
Din toamna lui 1806, totul a început din nou să vorbească despre războiul cu Napoleon și mai fervent decât anul trecut. Nu numai că au fost numiți recruți, ci și încă 9 războinici din o mie. Peste tot l-au blestemat pe Bonaparte cu anatemă, iar la Moscova s-a vorbit doar despre războiul care urma. Pentru familia Rostov, întregul interes al acestor pregătiri pentru război a constat doar în faptul că Nikolushka nu ar fi de acord să rămână la Moscova și a așteptat doar sfârșitul concediului lui Denisov pentru a merge cu el la regiment după vacanță. Plecarea viitoare nu numai că nu l-a împiedicat să se distreze, dar l-a și încurajat să facă acest lucru. Își petrecea cea mai mare parte a timpului în afara casei, la cine, serile și baluri.

XI
În a treia zi de Crăciun, Nikolai a luat masa acasă, ceea ce i se întâmplase rar în ultima vreme. A fost oficial o cină de rămas bun, din moment ce el și Denisov plecau la regiment după Bobotează. Aproximativ douăzeci de oameni luau prânzul, printre care Dolokhov și Denisov.
Niciodată în casa Rostov aerul iubirii, atmosfera iubirii nu s-a făcut simțit cu atâta forță ca în aceste sărbători. „Prinți clipe de fericire, forțați-vă să iubiți, îndrăgostiți-vă! Doar acest lucru este real în lume - restul este o prostie. Și asta este tot ce facem aici”, a spus atmosfera. Nikolai, ca întotdeauna, după ce a torturat două perechi de cai și neavând timp să viziteze toate locurile unde trebuia să fie și unde era chemat, a ajuns acasă chiar înainte de prânz. Imediat ce a intrat, a observat și a simțit atmosfera tensionată, iubitoare din casă, dar a observat și o ciudată confuzie domnind între unii dintre membrii societății. Sonya, Dolokhov, bătrâna contesă și micuța Natasha au fost deosebit de încântați. Nikolai și-a dat seama că ceva urma să se întâmple înainte de cină între Sonya și Dolokhov și, cu sensibilitatea sa caracteristică a inimii, a fost foarte blând și atent în timpul cinei în a trata amândoi. În aceeași seară a celei de-a treia zile de sărbători trebuia să fie unul dintre acele baluri la Yogel (profesorul de dans), pe care îl dădea în vacanță tuturor elevilor și elevilor săi.
- Nikolenka, vrei să mergi la Yogel? Te rog du-te”, i-a spus Natasha, „te-a rugat în mod special, iar Vasily Dmitrich (era Denisov) va merge”.
„Oriunde mă duc la ordinul domnului Atena!”, a spus Denisov, care s-a așezat în glumă în casa Rostov, la poalele cavalerei Natasha, „pas de chale [dansul cu șal] este gata de dans”.
- Dacă am timp! „Le-am promis Arkharovilor că este seara lor”, a spus Nikolai.
— Și tu?... se întoarse spre Dolokhov. Și de îndată ce am întrebat asta, am observat că nu ar fi trebuit să întreb asta.
„Da, poate...” a răspuns Dolokhov rece și supărat, uitându-se la Sonya și, încruntat, exact cu aceeași privire în care se uita la Pierre la cina clubului, se uită din nou la Nikolai.
„Există ceva”, gândi Nikolai, iar această presupunere a fost confirmată și de faptul că Dolokhov a plecat imediat după cină. A sunat-o pe Natasha și a întrebat-o ce este?
— Te căutam, spuse Natasha, alergând spre el. „Ți-am spus, tot nu ai vrut să crezi”, a spus ea triumfătoare, „el a cerut-o în căsătorie pe Sonya”.
Oricât de puțin a făcut Nikolai cu Sonya în acest timp, ceva părea să iasă în el când a auzit asta. Dolokhov a fost un meci decent și în unele privințe un meci genial pentru orfana fără zestre Sonya. Din punctul de vedere al bătrânei contese și al lumii, era imposibil să-l refuzi. Și, prin urmare, primul sentiment al lui Nikolai când a auzit asta a fost furia împotriva Sonyei. Se pregătea să spună: „Și grozav, desigur, trebuie să uităm promisiunile din copilărie și să acceptăm oferta”; dar înainte de a avea timp să spună asta...
- Iti poti imagina! Ea a refuzat, a refuzat complet! – a vorbit Natasha. „A spus că iubește pe altcineva”, a adăugat ea după o scurtă tăcere.
„Da, Sonya mea nu ar fi putut face altfel!” gândi Nikolai.
„Oricât de mult a întrebat-o mama, a refuzat și știu că nu va schimba ceea ce a spus...
- Și mama a întrebat-o! – spuse Nikolai cu reproș.
— Da, spuse Natasha. - Știi, Nikolenka, nu fi supărat; dar știu că nu te vei căsători cu ea. Știu, Dumnezeu știe de ce, știu sigur că nu te vei căsători.
— Ei bine, nu știi asta, spuse Nikolai; – dar trebuie să vorbesc cu ea. Ce frumusețe este Sonya asta! – adăugă el zâmbind.
- Este atât de frumos! ți-o trimit. - Și Natasha, sărutându-și fratele, a fugit.
Un minut mai târziu a intrat Sonya, speriată, confuză și vinovată. Nikolai s-a apropiat de ea și i-a sărutat mâna. Aceasta a fost prima dată în această vizită când au vorbit față în față și despre dragostea lor.
„Sophie”, spuse el la început timid, apoi din ce în ce mai îndrăzneț, „dacă vrei să refuzi nu doar un meci strălucit și profitabil; dar este un om minunat, nobil... este prietenul meu...
îl întrerupse Sonya.
— Am refuzat deja, spuse ea grăbită.
- Dacă refuzi pentru mine, atunci mi-e teamă că pe mine...
l-a întrerupt din nou Sonya. Ea îl privi cu ochi rugători, speriați.
„Nicolas, nu-mi spune asta”, a spus ea.
- Nu, trebuie. Poate că aceasta este suficientă [aroganță] din partea mea, dar este mai bine să spun. Dacă refuzi pentru mine, atunci trebuie să-ți spun tot adevărul. Te iubesc, cred, mai mult decât pe oricine...
— Este suficient pentru mine, spuse Sonya, înroșindu-se.
- Nu, dar m-am îndrăgostit de o mie de ori și voi continua să mă îndrăgostesc, deși nu am un asemenea sentiment de prietenie, încredere, dragoste pentru nimeni ca pentru tine. Atunci sunt tânăr. Maman nu vrea asta. Ei bine, doar că nu promit nimic. Și vă rog să vă gândiți la propunerea lui Dolokhov”, a spus el, având dificultăți în a pronunța numele de familie al prietenului său.
- Nu-mi spune asta. Eu nu vreau nimic. Te iubesc ca pe un frate și te voi iubi mereu și nu mai am nevoie de nimic.
„Ești un înger, nu sunt vrednic de tine, dar mi-e teamă doar să nu te înșel.” – Nikolai i-a sărutat din nou mâna.

Yogel a avut cele mai distractive mingi din Moscova. Așa au spus mamele, uitându-se la adolescentele [fetele] lor care își făceau pașii nou învățați; asta au spus-o chiar adolescenții și adolescenții, [fetele și băieții] care dansau până când au căzut; aceste fete și bărbați mari care au venit la aceste baluri cu ideea de a le condescende și de a găsi cea mai bună distracție în ele. În același an, la aceste baluri au avut loc două căsătorii. Cele două drăguțe prințese ale soților Gorchakov și-au găsit pretendenți și s-au căsătorit, și cu atât mai mult au lansat aceste mingi în glorie. Ceea ce era deosebit la aceste baluri era că nu exista gazdă și gazdă: acolo era Yogelul bun, ca niște pene zburătoare, târâind după regulile artei, care accepta bilete la lecții de la toți oaspeții săi; a fost că doar cei care au vrut să danseze și să se distreze, precum fetele de 13 și 14 ani care își îmbracă prima dată rochii lungi, vor să meargă la balurile astea. Toată lumea, cu rare excepții, era sau părea drăguță: toți zâmbeau atât de entuziasmați și ochii li s-au luminat atât de mult. Uneori, chiar și cei mai buni studenți dansau pas de chale, dintre care cea mai bună era Natasha, remarcată prin harul ei; dar la acest ultim bal s-au dansat doar ecozaze, engleze si mazurca, care tocmai intrase la moda. Sala a fost dusă de Yogel în casa lui Bezukhov, iar balul a fost un mare succes, după cum spuneau toată lumea. Erau o mulțime de fete drăguțe, iar doamnele de la Rostov erau printre cele mai bune. Amândoi erau deosebit de fericiți și veseli. În acea seară, Sonya, mândră de propunerea lui Dolokhov, de refuzul și explicația ei cu Nikolai, încă se învârtea acasă, nepermițându-i fetei să-și termine împletiturile, iar acum strălucea din tot sufletul de bucurie impetuoasă.
Natasha, nu mai puțin mândră că purta o rochie lungă pentru prima dată la un bal adevărat, a fost și mai fericită. Ambii purtau rochii albe de muselina cu panglici roz.
Natasha s-a îndrăgostit chiar din momentul în care a intrat în minge. Nu era îndrăgostită de nimeni anume, dar era îndrăgostită de toată lumea. Cel la care s-a uitat în momentul în care s-a uitat era cel de care era îndrăgostită.
- O, ce bine! – spunea ea, alergând spre Sonya.
Nikolai și Denisov s-au plimbat prin săli, uitându-se la dansatori cu afecțiune și cu patron.
„Ce dulce va fi”, a spus Denisov.
- OMS?
„Athena Natasha”, a răspuns Denisov.
„Și cum dansează, ce bucurie!” după o scurtă tăcere, spuse el din nou.
- Despre cine vorbești?
„Despre sora ta”, a strigat Denisov furios.
Rostov rânji.
– Mon cher comte; vous etes l"un de mes meilleurs ecoliers, il faut que vous dansiez", a spus micuțul Jogel, apropiindu-se de Nikolai. "Voyez combien de jolies demoiselles." [Dragul meu conte, ești unul dintre cei mai buni elevi ai mei. Uite ce fete drăguțe!] – Aceeași cerere i-a făcut și lui Denisov, și fostul său elev.
„Non, mon cher, je fe"ai tapisse"ie, [Nu, draga mea, voi sta lângă perete", a spus Denisov. „Nu-ți amintești cât de rău am folosit lecțiile tale?”
- Oh nu! – spuse Yogel în grabă mângâindu-l. – Ai fost pur și simplu neatent, dar ai avut abilități, da, ai avut abilități.
S-a jucat mazurca nou introdusă; Nikolai nu l-a putut refuza pe Yogel și a invitat-o ​​pe Sonya. Denisov s-a așezat lângă bătrâne și, sprijinindu-și coatele de sabie, bătând cu bătaia, a povestit ceva vesel și le-a făcut pe bătrâne să râdă, privind pe tinerii dansatori. Yogel, în primul cuplu, a dansat cu Natasha, mândria lui și cea mai bună elevă. Mișcându-și cu blândețe picioarele în pantofi, Yogel a fost primul care a traversat hol cu ​​Natasha, care era timidă, dar făcea pași cu sârguință. Denisov nu și-a luat ochii de la ea și a bătut bătaia cu sabia, cu o expresie care spunea clar că el însuși nu a dansat doar pentru că nu a vrut, și nu pentru că nu putea. În mijlocul figurii, l-a chemat pe Rostov, care trecea pe lângă el.
„Nu este deloc la fel”, a spus el. - Este o mazurcă poloneză și dansează excelent - Știind că Denisov era chiar faimos în Polonia pentru priceperea lui în a dansa mazurca poloneză, Nikolai a alergat la Natasha:
- Du-te și alege Denisov. Iată-l că dansează! Miracol! - el a spus.
Când a venit din nou rândul Natașei, s-a ridicat și, mângâindu-și repede pantofii cu fundături, timid, a alergat singură pe hol până în colțul în care stătea Denisov. A văzut că toată lumea se uita la ea și așteaptă. Nikolai a văzut că Denisov și Natasha se certau zâmbind și că Denisov refuza, dar zâmbea bucuros. A alergat.
„Te rog, Vasily Dmitrich”, a spus Natasha, „să mergem, te rog”.
— Da, asta este, g’athena, spuse Denisov.
— Ei bine, este suficient, Vasya, spuse Nikolai.
„Parcă ar încerca să-l convingă pe pisica Vaska”, a spus Denisov în glumă.
„Îți voi cânta toată seara”, a spus Natasha.
- Vrăjitoarea îmi va face orice! – spuse Denisov și și-a desfăcut sabia. A ieșit din spatele scaunelor, și-a luat cu fermitate doamna de mână, și-a ridicat capul și a lăsat piciorul în jos, așteptând tact. Doar călare și în mazurcă, statura mică a lui Denisov nu era vizibilă și părea să fie același tânăr pe care îl simțea el însuși. După ce a așteptat ritmul, a aruncat o privire triumfătoare și jucăușă către doamna lui din lateral, a bătut brusc cu un picior și, ca o minge, a sărit elastic de pe podea și a zburat în cerc, târându-și doamna cu el. A zburat în tăcere la jumătatea holului pe un picior și i se părea că nu vedea scaunele stând în fața lui și se repezi direct spre ele; dar deodată, bătând din pinteni și desfăcându-și picioarele, s-a oprit pe călcâie, a rămas acolo o secundă, cu vuiet de pinteni, și-a bătut picioarele într-un loc, s-a întors repede și, ciocănindu-și piciorul drept cu piciorul stâng, a zburat din nou în cerc. Natasha a ghicit ce intenționa să facă și, fără să știe cum, l-a urmat - predându-se lui. Acum o înconjura, când pe dreapta, când pe mâna stângă, când căzând în genunchi, a înconjurat-o în jurul său și din nou a sărit în sus și a alergat înainte cu atâta viteză, de parcă ar fi vrut să alerge prin toate camerele. fără a respira; apoi deodată s-a oprit iar și iar și a făcut un genunchi nou și neașteptat. Când el, învârtind-o cu viteză pe doamnă în fața ei, și-a rupt pintenul, făcându-și o plecăciune în fața ei, Natasha nici măcar nu i-a făcut o reverență. Se uită la el uluită, zâmbind de parcă nu l-ar fi recunoscut. - Ce este asta? - ea a spus.
În ciuda faptului că Yogel nu a recunoscut această mazurcă ca fiind reală, toată lumea a fost încântată de priceperea lui Denisov, au început să-l aleagă neîncetat, iar bătrânii, zâmbind, au început să vorbească despre Polonia și vremurile bune. Denisov, îmbujorat de mazurcă și ștergându-se cu o batistă, s-a așezat lângă Natasha și nu a părăsit-o pe tot parcursul mingii.

Dovada formulei .

=

= =

întrucât sinusul și cosinusul nu depind de adăugarea unui unghi care este multiplu al

Și această egalitate este deja evidentă, deoarece asta este formă trigonometrică număr complex.

Astfel, logaritmul există pentru toate punctele din plan, cu excepția zero. Pentru un număr pozitiv real, argumentul este 0, deci acest set infinit de puncte are forma , adică una dintre valori, și anume, la , va cădea pe axa reală. Dacă calculăm logaritmul unui număr negativ, obținem , adică setul de puncte este deplasat în sus și niciunul dintre ele nu cade pe axa reală.

Din formula reiese clar că numai atunci când argumentul numărului inițial este zero, una dintre valorile logaritmului cade pe axa reală. Și aceasta corespunde semiaxei drepte, și de aceea în cursul școlar de matematică au fost luate în considerare doar logaritmi de numere pozitive. Există și logaritmi de numere negative și imaginare, dar nu au o singură valoare pe axa reală.

Următorul desen arată unde sunt situate în plan toate valorile logaritmului unui număr pozitiv. Unul dintre ele se află pe axa reală, restul sunt deasupra și dedesubt pe , și așa mai departe. Pentru un număr negativ sau complex, argumentul este diferit de zero, astfel încât această secvență de puncte este deplasată vertical, rezultând niciun punct pe axa reală.

Exemplu. Calculati.

Soluţie. Să definim modulul numărului (egal cu 2) și argumentul 180 0, adică. Apoi = .

Anexa 1. Întrebări pentru dovezi (pentru bilete).

Prelegerea nr. 1

1. Demonstrați formula pentru integrarea pe părți.

Prelegerea nr. 2

1. Demonstrați că înlocuirea , unde r = LCM (r 1 ,...,r k) reduce integrala la integrala unei fracții raționale.

2. Demonstrați că înlocuirea reduce integrala formei la integrala unei fracții raționale.

3. Deduceți formule pentru conversia sinusului și cosinusului

Pentru substituție trigonometrică universală.

4. Demonstrați că în cazul în care funcția este impară față de cosinus, înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.

5. Demonstrați că în cazul în care

substituție: reduce integrala la o fracție rațională.

6. Demonstrați că pentru o integrală a formei

7. Demonstrați formula

8. Demonstrați că pentru o integrală a formei înlocuirea produce o integrală a unei fracții raționale.

9. Demonstrați că pentru o integrală a formei înlocuirea reduce integrala la o fracție rațională.

Prelegerea nr. 3

1. Demonstrați că funcția este o antiderivată a funcției .

2. Demonstrați formula Newton-Leibniz: .

3. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe date explicit:

.

4. Demonstrați formula pentru lungimea unei curbe dată în coordonate polare

Prelegerea nr. 4

Demonstrați teorema: converge, converge.

Prelegerea nr. 5

1. Deduceți (demonstrați) formula pentru aria unei suprafețe date în mod explicit .

2. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele polare.

3. Derivarea determinantului jacobian al coordonatelor polare.

4. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele cilindrice.

5. Derivarea determinantului jacobian al coordonatelor cilindrice.

6. Derivarea formulelor pentru trecerea la coordonatele sferice:

.

Prelegerea nr. 6

1. Demonstrați că substituția reduce o ecuație omogenă la o ecuație cu variabile separabile.

2. Retragere forma generala soluții la o ecuație liniară omogenă.

3. Deduceți forma generală a soluției la o ecuație liniară neomogenă prin metoda Lagrange.

4. Demonstrați că substituția reduce ecuația lui Bernoulli la o ecuație liniară.

Prelegerea nr. 7.

1. Demonstrați că înlocuirea reduce ordinea ecuației cu k.

2. Demonstrați că înlocuirea reduce ordinea ecuației cu unu .

3. Demonstrați teorema: Funcția este o soluție la o ecuație diferențială liniară omogenă și are o rădăcină caracteristică.

4. Demonstrați teorema că o combinație liniară de soluții la o diferență liniară omogenă. ecuația este și soluția ei.

5. Demonstrați teorema privind impunerea soluțiilor: Dacă este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare neomogenă cu partea dreaptă și este o soluție a aceleiași ecuații diferențiale, dar cu partea dreaptă, atunci suma este o soluție a ecuației cu partea dreaptă.

Prelegerea nr. 8.

1. Demonstrați teorema că sistemul de funcții este dependent liniar.

2. Demonstrați teorema că există n soluții liniar independente pentru o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul n.

3. Demonstrați că dacă 0 este rădăcina multiplicității , atunci sistemul de soluții corespunzător acestei rădăcini are forma .

Prelegerea nr. 9.

1. Demonstrați folosind forma exponențială că atunci când înmulțiți numere complexe, modulele sunt înmulțite și argumentele sunt adăugate.

2. Demonstrați formula lui Moivre pentru gradul n

3. Demonstrați formula pentru rădăcina unui număr complex de ordin n

4. Demonstrează că Și

sunt generalizări ale sinusului și cosinusului, i.e. Pentru numere reale folosind aceste formule se obține sinus (cosinus).

5. Demonstrați formula pentru logaritmul unui număr complex:

Anexa 2.

Întrebări minore și orale privind cunoștințele de teorie (pentru colocvii).

Prelegerea nr. 1

1. Ce sunt antiderivatele și integralele nedefinite, prin ce diferă?

2. Explicați de ce este și un antiderivat.

3. Scrieți formula integrării pe părți.

4. Ce înlocuire este necesară în forma integrală și cum elimină rădăcinile?

5. Notează tipul de descompunere a integrandului unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care toate rădăcinile sunt diferite și reale.

6. Notați tipul de descompunere a integrandului unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care toate rădăcinile sunt reale și există o rădăcină multiplă de multiplicitate k.

Prelegerea nr. 2.

1. Scrieți care este descompunerea unei fracții raționale în cele mai simple în cazul în care numitorul are un factor de 2 grade cu discriminant negativ.

2. Ce substituție reduce integrala la o fracție rațională?

3. Ce sunt substituțiile trigonometrice universale?

4. Ce înlocuiri se fac în cazurile în care funcția sub semnul integral este impară față de sinus (cosinus)?

5. Ce înlocuiri se fac dacă integrandul conține expresiile , , sau .

Prelegerea nr. 3.

1. Definiția unei integrale determinate.

2. Enumerați câteva dintre proprietățile de bază ale integralei definite.

3. Scrieți formula Newton-Leibniz.

4. Scrieți formula pentru volumul unui corp de rotație.

5. Scrieți o formulă pentru lungimea unei curbe date explicit.

6. Scrieți formula pentru lungimea unei curbe definite parametric.

Prelegerea nr. 4.

1. Definirea unei integrale improprie (folosind o limită).

2. Care este diferența dintre integralele improprie de primul și al doilea fel.

3. Dați exemple simple de integrale convergente de primul și al doilea fel.

4. La ce valori converg integralele (T1)?

5. Cum este legată convergența de limita finită a antiderivatei (T2)

6. Care este un criteriu necesar pentru convergență, formularea acestuia.

7. Test de comparație în formă finală

8. Semn de comparație în formă extremă.

9. Definiția integralei multiple.

Prelegerea nr. 5.

1. Schimbarea ordinii de integrare, arătați cu un exemplu simplu.

2. Scrieți formula pentru suprafața.

3. Care sunt coordonatele polare, scrieți formulele de tranziție.

4. Care este jacobianul sistemului de coordonate polare?

5. Care sunt coordonatele cilindrice și sferice, care este diferența lor.

6. Care este Jacobianul coordonatelor cilindrice (sferice)?

Prelegerea nr. 6.

1. Ce este o ecuație diferențială de ordinul 1 (vedere generală).

2. Ce este o ecuație diferențială de ordinul 1 rezolvată în raport cu derivata. Dați un exemplu.

3. Ce este o ecuație cu variabile separabile.

4. Care este o soluție generală, particulară, condiții Cauchy.

5. Ce este o ecuație omogenă, ce este metoda generala deciziile lui.

6. Ce este o ecuație liniară, care este algoritmul pentru rezolvarea ei, ce este metoda Lagrange.

7. Care este ecuația Bernoulli, un algoritm pentru rezolvarea ei.

Prelegerea nr. 7.

1. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de forma .

2. Ce înlocuire este necesară pentru o ecuație de formă .

3. Arată cu exemple cum poate fi exprimat în forma .

4. Ce este o ecuație diferențială liniară de ordinul n.

5. Ce este un polinom caracteristic, ecuație caracteristică.

6. Formulați o teoremă despre la ce r funcția este o soluție a unei ecuații diferențiale liniare omogenă.

7. Formulați o teoremă conform căreia o combinație liniară de soluții la o ecuație liniară omogenă este și soluția acesteia.

8. Formulați teorema privind impunerea soluțiilor și consecințele acesteia.

9. Care sunt sistemele de funcții liniar dependente și liniar independente, dați câteva exemple.

10. Care este determinantul Wronski al unui sistem de n funcții, dați un exemplu de determinant Wronski pentru sistemele LZS și LNS.

Prelegerea nr. 8.

1. Ce proprietăți are determinantul Wronski dacă sistemul este o funcție dependentă liniar?

2. Câte soluții liniar independente există pentru o ecuație diferențială liniară omogenă de ordinul n.

3. Definiția FSR ( sistem fundamental soluții) a unei ecuații liniare omogene de ordinul n.

4. Câte funcții conține FSR?

5. Notați forma sistemului de ecuații pentru găsirea prin metoda Lagrange pentru n=2.

6. Notați tipul de soluție particulară în cazul în care

7. Ce este sistem liniar ecuații diferențiale, scrieți câteva exemple.

8. Ce este un sistem autonom de ecuații diferențiale.

9. Semnificația fizică a unui sistem de ecuații diferențiale.

10. Notați în ce funcții constă FSR-ul sistemului de ecuații, dacă sunt cunoscute valorile proprii și vectorii proprii ai matricei principale a acestui sistem.

Prelegerea nr. 9.

1. Ce este o unitate imaginară.

2. Ce este un număr conjugat și ce se întâmplă când îl înmulți cu numărul inițial.

3. Care este forma trigonometrică, exponențială a unui număr complex.

4. Scrieți formula lui Euler.

5. Care este modulul, argumentul unui număr complex.

6. ce se întâmplă cu modulele și argumentele în timpul înmulțirii (împărțirii).

7. Scrieți formula lui Moivre pentru gradul n.

8. Scrieți formula pentru o rădăcină de ordinul n.

9. Scrieți formule generalizate de sinus și cosinus pentru un argument complex.

10. Scrieți formula pentru logaritmul unui număr complex.

Anexa 3. Probleme de la prelegeri.

Prelegerea nr. 1

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Prelegerea nr. 2

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu. .

Exemplu. . Exemplu.. , unde, număr .

Exemplu.Împărțiți exponențial.

Exemplu. Găsiți folosind formula lui Moivre.

Exemplu. Găsiți toate valorile rădăcinii.

Plan:

Introducere

• 1 Logaritm real
  • 1.1 Proprietăți
  • 1.2 Funcția logaritmică
  • 1.3 Logaritmi naturali
  • 1.4 Logaritmi zecimali
• 2 Logaritm complex
  • 2.1 Definiție și proprietăți
  • 2.2 Exemple
  • 2.3 Continuare analitică
  • 2.4 Suprafata Riemann
• 3 Schiță istorică
  • 3.1 Logaritm real
  • 3.2 Logaritm complex
• 4 Tabelele logaritmice
• 5 Aplicații
Literatură
Note

Introducere

Orez. 1. Grafice ale funcțiilor logaritmice

Logaritmul unui număr b bazat pe A (din greaca λόγος - „cuvânt”, „atitudine” și ἀριθμός - „număr”) este definit ca un indicator al puterii la care trebuie ridicată baza A pentru a obține numărul b. Denumire: . Din definiție rezultă că înregistrările și sunt echivalente.

De exemplu, pentru că.

1. Logaritm real

Logaritmul unui log de numere reale A b are sens când . După cum se știe, funcția exponențială y = A X este monotonă și fiecare valoare ia o singură dată, iar intervalul valorilor sale conține toate numerele reale pozitive. Rezultă că valoarea logaritmului real al unui număr pozitiv există întotdeauna și este determinată în mod unic.

Cele mai utilizate tipuri de logaritmi sunt:

1.1. Proprietăți

Dovada

Să demonstrăm că.

(deoarece prin condiția bc > 0). ■

Dovada

Să demonstrăm asta

(deoarece prin condiția ■

Dovada

Folosim identitatea pentru a o dovedi. Să logaritmăm ambele părți ale identității la baza c. Primim:

Dovada

Să demonstrăm că.

(deoarece b p> 0 prin condiție). ■

Dovada

Să demonstrăm asta

Dovada

Logaritmul părților din stânga și din dreapta la bază c :

Partea stanga: Partea dreapta:

Egalitatea expresiilor este evidentă. Deoarece logaritmii sunt egali, atunci, din cauza monotonității funcției logaritmice, expresiile în sine sunt egale. ■

1.2. Funcția logaritmică

Dacă considerăm numărul logaritmic ca o variabilă, obținem funcţie logaritmică y= jurnal A X (vezi Fig. 1). Este definit la . Interval de valori: .

Funcția crește strict la A> 1 și în scădere strictă la 0< A < 1 . График любой логарифмической функции проходит через точку (1;0) . Функция непрерывна и неограниченно дифференцируема всюду в своей области определения.

Drept X= 0 este o asimptotă verticală stângă, deoarece la A> 1 și la 0< A < 1 .

Derivata functiei logaritmice este egala cu:

Dovada

I. Să dovedim asta

Să scriem identitatea e ln X = X și diferențiați laturile sale stânga și dreapta

Obținem asta, din care rezultă că

II. Să demonstrăm asta

Funcția logaritmică realizează un izomorfism între grupul multiplicativ al numerelor reale pozitive și grupul aditiv al tuturor numerelor reale.

1.3. Logaritmi naturali

Relația cu logaritmul zecimal: .

După cum sa menționat mai sus, derivata logaritmului natural are o formulă simplă:

Din acest motiv, logaritmii naturali sunt folosiți predominant în cercetarea matematică. Ele apar adesea atunci când se rezolvă ecuații diferențiale, se studiază dependențe statistice(de exemplu, distribuțiile numerelor prime), etc.

Integrala nedefinită a logaritmului natural poate fi găsită cu ușurință prin integrarea pe părți:

Expansiunea seriei Taylor poate fi reprezentată după cum urmează:
când egalitatea este adevărată

(1)

În special,

Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv.

1.4. Logaritmi zecimali

Orez. 2a. Scară logaritmică

Orez. 2b. Scară logaritmică cu simboluri

Logaritmi la baza 10 (simbol: lg A) înainte de inventarea calculatoarelor erau utilizate pe scară largă pentru calcule. Scara neuniformă a logaritmilor zecimal este de obicei aplicată regulilor de calcul. O scară similară este utilizată în multe domenii ale științei, de exemplu:

• Fizica - intensitatea sunetului (decibeli).
• Astronomie - scara de luminozitate a stelelor.
• Chimie - activitatea ionilor de hidrogen (pH).
• Seismologie - scara Richter.
• Teoria muzicii - scara notei, in raport cu frecventele notelor muzicale.
• Istoria este o scară de timp logaritmică.

Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a identifica exponentul în relațiile de putere și coeficientul în exponent. În acest caz, un grafic construit pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.

2. Logaritm complex

2.1. Definiție și proprietăți

Pentru numerele complexe, logaritmul este definit în același mod ca unul real. În practică, se folosește aproape exclusiv logaritmul complex natural, pe care îl notăm și îl definim ca mulțime a tuturor numerelor complexe. z astfel încât e z = w . Logaritmul complex există pentru orice , iar partea sa reală este determinată în mod unic, în timp ce partea imaginară are un număr infinit de valori. Din acest motiv se numește funcție cu mai multe valori. Daca iti imaginezi w sub formă demonstrativă:

,

atunci logaritmul se găsește prin formula:

Iată logaritmul real, r = | w | , k- întreg arbitrar. Valoarea obţinută când k= 0, numit importanta principala logaritm natural complex; se obișnuiește să se ia valoarea argumentului din el în intervalul (− π,π). Funcția corespunzătoare (deja cu o singură valoare) se numește ramura principală logaritm și se notează cu . Uneori, ele denotă și o valoare logaritmică care nu se află pe ramura principală.

Din formula rezulta:

• Partea reală a logaritmului este determinată de formula:

• Logaritmul unui număr negativ se găsește prin formula:

Deoarece funcțiile trigonometrice complexe sunt legate de exponent (formula lui Euler), logaritmul complex, ca funcție inversă a exponențialului, este legat de funcțiile trigonometrice inverse. Un exemplu de astfel de conexiune:

2.2. Exemple

Să dăm valoarea principală a logaritmului pentru unele argumente:

Ar trebui să fiți atenți când convertiți logaritmi complecși, ținând cont de faptul că aceștia au mai multe valori și, prin urmare, egalitatea logaritmilor oricăror expresii nu implică egalitatea acestor expresii. Exemplu de raționament greșit:

iπ = ln(− 1) = ln((− i) 2) = 2ln(− i) = 2(− iπ / 2) = − iπ - absurditate totală.

Rețineți că în stânga este valoarea principală a logaritmului, iar în dreapta este valoarea din ramura subiacentă ( k= − 1). Cauza erorii este folosirea neglijentă a proprietății, care, în general, implică în cazul complex întregul set infinit de valori logaritmice, și nu doar valoarea principală.

2.3. Continuare analitică

Orez. 3. Logaritm complex (partea imaginară)

Logaritmul unui număr complex poate fi definit și ca extensia analitică a logaritmului real la întregul plan complex. Fie ca curba Γ să înceapă de la unitate, să nu treacă prin zero și să nu intersecteze partea negativă a axei reale. Apoi valoarea principală a logaritmului la punctul final w curba Γ poate fi determinată prin formula:

Dacă Γ este o curbă simplă (fără auto-intersecții), atunci pentru numerele care se află pe ea, identitățile logaritmice pot fi aplicate fără teamă, de exemplu

Dacă curbei Γ i se permite să intersecteze partea negativă a axei reale, atunci prima astfel de intersecție transferă rezultatul de la ramura principală a valorii la ramura adiacentă, iar fiecare intersecție ulterioară provoacă o deplasare similară de-a lungul ramurilor funcției logaritmice ( Vezi figura).

Din formula de continuare analitică rezultă că pe orice ramură a logaritmului

Pentru orice cerc S, care acoperă punctul 0:

Integrala este luată în sens pozitiv (în sens invers acelor de ceasornic). Această identitate stă la baza teoriei reziduurilor.

De asemenea, puteți defini continuarea analitică a logaritmului complex folosind seria de mai sus (1), generalizată la cazul unui argument complex. Totuși, din tipul de expansiune rezultă că la unitate este egal cu zero, adică seria se referă doar la ramura principală a funcției multivalorice a logaritmului complex.

2.4. Suprafata Riemann

Cuprinzător funcţie logaritmică- un exemplu de suprafață Riemann; partea sa imaginară (fig. 3) este formată dintr-un număr infinit de ramuri răsucite sub formă de spirală. Această suprafață este pur și simplu conectată; singurul său zero (de ordinul întâi) se obține la z= 1, puncte singulare: z= 0 și (puncte de ramificare de ordin infinit).

Suprafața Riemann a logaritmului este acoperirea universală pentru planul complex fără punctul 0.

3. Schiță istorică

3.1. Logaritm real

Nevoia de calcule complexe a crescut rapid în secolul al XVI-lea și o mare parte din dificultate a implicat înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre și înrădăcinarea. La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea intensivă în muncă cu adunarea simplă, folosind tabele speciale pentru a compara progresiile geometrice și aritmetice, cea geometrică fiind cea originală. Apoi împărțirea este înlocuită automat cu scăderea nemăsurat mai simplă și mai de încredere și extragerea rădăcinii gradului n se rezumă la împărțirea logaritmului expresiei radicale la n. El a fost primul care a publicat această idee în cartea sa „ Aritmetica integra„Michael Stiefel, care, însă, nu a făcut niciun efort serios pentru a-și pune în aplicare ideea.

În 1614, matematicianul amator scoțian John Napier a publicat latin un eseu intitulat „ Descrierea uimitoarei tabele de logaritmi„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ). A avut scurta descriere logaritmi și proprietățile acestora, precum și tabele de 8 cifre ale logaritmilor de sinusuri, cosinusuri și tangente, cu un pas de 1". Termen logaritm, propus de Napier, s-a impus în știință. Napier a subliniat teoria logaritmilor în cealaltă carte a sa „ Construirea unui tabel logaritmic uimitor„(lat. Mirifici Logarithmorum Canonis Constructio ), publicat postum în 1619 de fiul său.

Conceptul de funcție nu exista încă, iar Napier a definit logaritmul cinematic, comparând mișcarea uniformă și logaritmică lentă; de exemplu, el a definit logaritmul sinusului după cum urmează:

Logaritmul unui sinus dat este un număr care crește întotdeauna aritmetic cu aceeași rată cu care sinusul total a început să scadă geometric.

În notația modernă, modelul cinematic al lui Napier poate fi reprezentat prin ecuația diferențială: dx/x = -dy/M, unde M este un factor de scară introdus pentru a se asigura că valoarea se dovedește a fi un număr întreg cu numărul necesar de cifre (fracțiile zecimale nu erau încă utilizate pe scară largă). Napier a luat M = 10000000.

Strict vorbind, Napier a tabulat funcția greșită, care se numește acum logaritm. Dacă notăm funcția sa LogNap(x), atunci este legată de logaritmul natural după cum urmează:

Evident, LogNap(M) = 0, adică logaritmul „sinusului complet” este zero - asta a realizat Napier cu definiția sa. .

Principala proprietate a logaritmului Napier: dacă mărimile formează o progresie geometrică, atunci logaritmii lor formează o progresie aritmetică. Cu toate acestea, regulile de logaritm pentru funcția neper diferă de regulile pentru logaritmul modern.

De exemplu, LogNap(ab) = LogNap(a) + LogNap(b) - LogNap(1).

Din păcate, toate valorile din tabelul lui Napier conțineau o eroare de calcul după a șasea cifră. Cu toate acestea, acest lucru nu a împiedicat noua metodă de calcul să câștige o mare popularitate și mulți matematicieni europeni, inclusiv Kepler, au început să alcătuiască tabele logaritmice. Doar 5 ani mai târziu, în 1619, profesorul de matematică londonez John Spidell ( John Speidell) a reeditat tabelele lui Napier, transformate astfel încât acestea să devină efectiv tabele de logaritmi naturali (deși Spidell a păstrat scalarea la numere întregi). Termenul „logaritm natural” a fost propus de matematicianul italian Pietro Mengoli ( Pietro Mengoli)) la mijlocul secolului al XVI-lea.

În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, înainte de apariția calculatoarelor de buzunar - un instrument indispensabil al inginerului.

O înțelegere apropiată de cea modernă a logaritmizării - ca operație inversă a ridicării la putere - a apărut pentru prima dată cu Wallis și Johann Bernoulli și a fost în cele din urmă legitimată de Euler în secolul al XVIII-lea. În cartea „Introduction to the Analysis of Infinite” (1748), Euler a dat definiții moderne atât ale funcțiilor exponențiale, cât și ale funcțiilor logaritmice și a dat extinderea lor în serie de puteri, a remarcat mai ales rolul logaritmului natural.

Euler este, de asemenea, creditat cu extinderea funcției logaritmice la domeniul complex.

3.2. Logaritm complex

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această temă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea - între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că ar trebui stabilit log(-x) = log(x). Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă.

Deși disputa a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), punctul de vedere al lui Euler a câștigat rapid recunoașterea universală.

4. Tabele logaritmice

Tabelele logaritmice

Din proprietățile logaritmului rezultă că, în loc de înmulțirea intensivă a forței de muncă a numerelor cu mai multe cifre, este suficient să găsiți (din tabele) și să adăugați logaritmii acestora, apoi, folosind aceleași tabele, să efectuați potențarea, adică să găsiți valoarea rezultatului din logaritmul său. Efectuarea diviziunii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți. Laplace a spus că inventarea logaritmilor „a prelungit viața astronomilor” prin accelerarea mult procesul de calcule.

Când mutați punctul zecimal într-un număr la n cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se schimbă în n. De exemplu, log8314,63 = log8,31463 + 3. Rezultă că este suficient să compilați un tabel de logaritmi zecimal pentru numerele din intervalul de la 1 la 10.

Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier (1614) și conțineau doar logaritmi funcții trigonometrice, și cu erori. Independent de el, Joost Burgi, un prieten al lui Kepler, și-a publicat tabelele (1620). În 1617, profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs a publicat tabele care includeau deja logaritmi zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele lui Briggs. Prima ediție fără erori bazată pe tabelele Vega (1783) a apărut abia în 1857 la Berlin (tabelele Bremiwer).

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703, cu participarea lui L. F. Magnitsky. Mai multe colecții de tabele logaritmice au fost publicate în URSS.

• Bradis V. M. Cu patru cifre tabele de matematică. Ediția a 44-a, M., 1973.

Tabelele Bradys (1921) au fost folosite în institutii de invatamantși în calculele inginerești care nu necesită o mare precizie. Acestea conțineau mantise de logaritmi zecimali ai numerelor și funcții trigonometrice, logaritmi naturali și alte câteva instrumente utile de calcul.

• Vega G. Tabele de logaritmi cu șapte cifre, ediția a IV-a, M., 1971.

Colecție profesională pentru calcule precise.

• Tabelele cu cinci cifre ale valorilor naturale ale mărimilor trigonometrice, logaritmii lor și logaritmii numerelor, ed. a 6-a, M.: Nauka, 1972.
• Tabele de logaritmi naturali, ediția a II-a, în 2 volume, M.: Nauka, 1971.

În zilele noastre, odată cu răspândirea calculatoarelor, nevoia de a folosi tabele de logaritmi a dispărut.

M, Caracteristică (analiza complexă).

Logaritm real

Logaritmul unui log de numere reale A b are sens cu style="max-width: 98%; height: auto; width: auto;" src="/pictures/wiki/files/55/7cd1159e49fee8eff61027c9cde84a53.png" border="0">.

Cele mai utilizate tipuri de logaritmi sunt:

Dacă considerăm numărul logaritmic ca o variabilă, obținem funcţie logaritmică, De exemplu: . Această funcție este definită în partea dreaptă a liniei numerice: X> 0, este continuu si diferentiabil acolo (vezi Fig. 1).

Proprietăți

Logaritmi naturali

Când egalitatea este adevărată

(1)

În special,

Această serie converge mai repede și, în plus, partea stângă a formulei poate exprima acum logaritmul oricărui număr pozitiv.

Relația cu logaritmul zecimal: .

Logaritmi zecimali

Orez. 2. Scară logaritmică

Logaritmi la baza 10 (simbol: lg A) înainte de inventarea calculatoarelor erau utilizate pe scară largă pentru calcule. Scara neuniformă a logaritmilor zecimal este de obicei marcată și pe regulile de calcul. O scară similară este utilizată pe scară largă în diferite domenii ale științei, de exemplu:

• Chimie - activitatea ionilor de hidrogen ().
• Teoria muzicii - scara notei, in raport cu frecventele notelor muzicale.

Scara logaritmică este, de asemenea, utilizată pe scară largă pentru a identifica exponentul în relațiile de putere și coeficientul în exponent. În acest caz, un grafic construit pe o scară logaritmică de-a lungul uneia sau două axe ia forma unei linii drepte, care este mai ușor de studiat.

Logaritm complex

Funcție cu mai multe valori

Suprafata Riemann

O funcție logaritmică complexă este un exemplu de suprafață Riemann; partea sa imaginară (Fig. 3) este formată dintr-un număr infinit de ramuri, răsucite ca o spirală. Această suprafață este pur și simplu conectată; singurul său zero (de ordinul întâi) se obține la z= 1, puncte singulare: z= 0 și (puncte de ramificare de ordin infinit).

Suprafața Riemann a logaritmului este acoperirea universală pentru planul complex fără punctul 0.

Schiță istorică

Logaritm real

Nevoia de calcule complexe a crescut rapid în secolul al XVI-lea și o mare parte din dificultate a implicat înmulțirea și împărțirea numerelor cu mai multe cifre. La sfârșitul secolului, mai mulți matematicieni, aproape simultan, au venit cu ideea: să înlocuiască înmulțirea intensivă în muncă cu adunarea simplă, folosind tabele speciale pentru a compara progresiile geometrice și aritmetice, cea geometrică fiind cea originală. Apoi împărțirea este înlocuită automat cu scăderea nemăsurat mai simplă și mai sigură. El a fost primul care a publicat această idee în cartea sa „ Aritmetica integra„Michael Stiefel, care, însă, nu a făcut eforturi serioase pentru a-și pune în aplicare ideea.

În anii 1620, Edmund Wingate și William Oughtred au inventat prima regulă de calcul, înainte de apariția calculatoarelor de buzunar — un instrument indispensabil al inginerului.

O înțelegere apropiată de cea modernă a logaritmării - ca operație inversă a ridicării la putere - a apărut pentru prima dată cu Wallis și Johann Bernoulli și a fost în cele din urmă legitimată de Euler în secolul al XVIII-lea. În cartea „Introducere în analiza infinitului” (), Euler a dat definiții moderne atât ale funcțiilor exponențiale, cât și ale funcțiilor logaritmice, le-a extins în serii de puteri și a notat în special rolul logaritmului natural.

Euler este, de asemenea, creditat cu extinderea funcției logaritmice la domeniul complex.

Logaritm complex

Primele încercări de a extinde logaritmii la numere complexe au fost făcute la începutul secolelor XVII-XVIII de către Leibniz și Johann Bernoulli, dar nu au reușit să creeze o teorie holistică, în primul rând pentru că însuși conceptul de logaritm nu era încă clar definit. Discuția pe această problemă a avut loc mai întâi între Leibniz și Bernoulli, iar la mijlocul secolului al XVIII-lea - între d'Alembert și Euler. Bernoulli și d'Alembert credeau că ar trebui stabilit log(-x) = log(x). Teoria completă a logaritmilor numerelor negative și complexe a fost publicată de Euler în 1747-1751 și nu este în esență diferită de cea modernă.

Deși disputa a continuat (D'Alembert și-a apărat punctul de vedere și l-a argumentat în detaliu într-un articol din Enciclopedia sa și în alte lucrări), punctul de vedere al lui Euler a câștigat rapid recunoașterea universală.

Tabelele logaritmice

Tabelele logaritmice

Din proprietățile logaritmului rezultă că, în loc de înmulțirea intensivă a forței de muncă a numerelor cu mai multe cifre, este suficient să găsiți (din tabele) și să adăugați logaritmii acestora, apoi, folosind aceleași tabele, să efectuați potențarea, adică să găsiți valoarea rezultatului din logaritmul său. Efectuarea diviziunii diferă doar prin faptul că logaritmii sunt scăzuți. Laplace a spus că inventarea logaritmilor „a prelungit viața astronomilor” prin accelerarea mult procesul de calcule.

Când mutați punctul zecimal într-un număr la n cifre, valoarea logaritmului zecimal al acestui număr se schimbă în n. De exemplu, log8314,63 = log8,31463 + 3. Rezultă că este suficient să compilați un tabel de logaritmi zecimal pentru numerele din intervalul de la 1 la 10.

Primele tabele de logaritmi au fost publicate de John Napier (), și au conținut doar logaritmi de funcții trigonometrice și cu erori. Independent de el, Joost Bürgi, un prieten al lui Kepler (), și-a publicat tabelele. În 1617, profesorul de matematică de la Oxford Henry Briggs a publicat tabele care includeau deja logaritmi zecimali ai numerelor în sine, de la 1 la 1000, cu 8 (mai târziu 14) cifre. Dar au existat și erori în tabelele lui Briggs. Prima ediție fără erori bazată pe tabelele Vega () a apărut abia în 1857 la Berlin (tabelele Bremiwer).

În Rusia, primele tabele de logaritmi au fost publicate în 1703, cu participarea lui L. F. Magnitsky. Mai multe colecții de tabele logaritmice au fost publicate în URSS.

• Bradis V. M. Tabelele matematice din patru cifre. Ediția a 44-a, M., 1973.