Numere complexe

Imaginar Și numere complexe. Abscisa si ordonata

număr complex. Conjugați numere complexe.

Operații cu numere complexe. Geometric

reprezentarea numerelor complexe. Plan complex.

Modulul și argumentul unui număr complex. Trigonometric

formă de număr complex. Operații cu complexe

numere în formă trigonometrică. formula lui Moivre.

Informații de bază despre imaginar Și numere complexe sunt date în secțiunea „Numere imaginare și complexe”. Necesitatea acestor numere de tip nou a apărut la rezolvarea ecuațiilor pătratice pentru acest cazD< 0 (здесь D– discriminant al unei ecuații pătratice). Pentru o lungă perioadă de timp aceste numere nu aveau aplicație fizică, motiv pentru care erau numite numere „imaginare”. Cu toate acestea, acum sunt foarte utilizate pe scară largă în diferite domenii ale fizicii

și tehnologie: inginerie electrică, hidro- și aerodinamică, teoria elasticității etc.

Numere complexe sunt scrise sub forma:a+bi. Aici AȘi b – numere reale , A i – unitate imaginară, adică e. i 2 = –1. Număr A numit abscisă, A b – ordonatănumăr complexa + bi .Două numere complexea+biȘi a–bi sunt numite conjuga numere complexe.

Principalele acorduri:

1. Număr realApoate fi scris și sub formănumăr complex:a+ 0 i sau A - 0 i. De exemplu, înregistrează 5 + 0iși 5-0 iînseamnă același număr 5 .

2. Numărul complex 0 + binumit pur imaginar număr. Recordbiînseamnă la fel ca 0 + bi.

3. Două numere complexea+bi Șic + disunt considerate egale dacăa = cȘi b = d. In caz contrar numerele complexe nu sunt egale.

Plus. Suma numerelor complexea+biȘi c + dise numeste numar complex (a+c ) + (b+d ) i.Prin urmare, la adăugarea numerele complexe, abscisele și ordonatele lor sunt adăugate separat.

Această definiție corespunde regulilor pentru operațiile cu polinoame obișnuite.

Scădere. Diferența a două numere complexea+bi(diminuat) și c + di(subtraend) se numește număr complex (a–c ) + (b–d ) i.

Prin urmare, La scăderea a două numere complexe, abscisele și ordonatele lor se scad separat.

Multiplicare. Produsul numerelor complexea+biȘi c + di se numeste numar complex:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Această definiție rezultă din două cerințe:

1) numere a+biȘi c + ditrebuie înmulțit ca algebric binoame,

2) număr iare principala proprietate:i 2 = – 1.

EXEMPLU ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . Prin urmare, muncă

două numere complexe conjugate este egală cu realul

un număr pozitiv.

Divizia. Împărțiți un număr complexa+bi (divizibil) cu altulc + di(divizor) - înseamnă a găsi al treilea număre + f i(chat), care atunci când este înmulțit cu un divizorc + di, rezultă dividendula + bi .

Dacă divizorul nu este zero, împărțirea este întotdeauna posibilă.

EXEMPLU Găsiți (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Soluție Să rescriem acest raport ca o fracție:

Înmulțind numărătorul și numitorul cu 2 + 3i

ȘI După ce am efectuat toate transformările, obținem:

Reprezentarea geometrică a numerelor complexe. Numerele reale sunt reprezentate prin puncte de pe dreapta numerică:

Aici este ideea Aînseamnă numărul –3, punctB– numărul 2 și O- zero. În schimb, numerele complexe sunt reprezentate prin puncte pe planul de coordonate. În acest scop, alegem coordonate dreptunghiulare (carteziane) cu aceleași scale pe ambele axe. Apoi numărul complexa+bi va fi reprezentat printr-un punct P cu abscisă a si ordonata b (Vezi poza). Acest sistem de coordonate este numit plan complex .

Modul număr complex este lungimea vectoruluiOP, reprezentând un număr complex pe coordonata ( cuprinzător) avion. Modulul unui număr complexa+bi notat | a+bi| sau scrisoare r

Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.

Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:

Exemplul 1

Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definiția 2

Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.

Nota 1

Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.

Exemplul 2

Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.

2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.

Exemplul 3

Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale

\ \

1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.

Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

sau rezolvarea unui sistem de ecuații

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.

Exemplul 4

Calculaţi argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(array)\right .\]

Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Nota 2

Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, i.e. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.

Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.

Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:

Exemplul 1

Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definiția 2

Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.

Nota 1

Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.

Exemplul 2

Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.

2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.

Exemplul 3

Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale

\ \

1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.

Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

sau rezolvarea unui sistem de ecuații

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.

Exemplul 4

Calculaţi argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(array)\right .\]

Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Nota 2

Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, i.e. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.

Corespunzător acestui număr: .
Modulul unui număr complex z este de obicei notat | z| sau r.

Fie și să fie numere reale astfel încât un număr complex (notație obișnuită). Apoi

Fundația Wikimedia. 2010.

Vedeți ce este „Modulul unui număr complex” în alte dicționare:

modulul unui număr complex- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modulul numărului complex vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. modulul unui număr complex, m pranc. module du nombre complex, m … Fizikos terminų žodynas

- (modul) Mărimea unui număr în termeni de distanță de la 0. Modulul, sau valoarea absolută a unui număr real x (notat cu |x|), este diferența dintre x și 0, indiferent de semn. Prin urmare, dacă x0, atunci |x|=x și dacă x 0, atunci |x|=–x... Dicționar economic

Pentru un număr complex, consultați Valoare absolută. Modulul de tranziție de la un sistem de logaritmi cu baza a la un sistem cu baza b este numărul 1/logab... Dicţionar enciclopedic mare

Valoarea absolută sau modulul unui număr real sau complex x este distanța de la x la origine. Mai precis: Valoarea absolută a unui număr real x este un număr nenegativ, notat cu |x| și definit după cum urmează: ... ... Wikipedia

Modul de matematică, 1) M. (or valoare absolută) al unui număr complex z = x + iy este numărul ═ (rădăcina se ia cu semnul plus). Când se reprezintă un număr complex z în formă trigonometrică z = r(cos j + i sin j) numar real r este egal......

- (la matematică) o măsură de comparare a mărimilor omogene și de exprimare a uneia dintre ele folosind alta; m. se exprimă ca număr. Dicţionar cuvinte străine, inclus în limba rusă. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) un număr care se înmulțește... ... Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

MODUL al unui număr complex, vezi Valoare absolută (vezi VALOARE ABSOLUTĂ). Modulul de tranziție de la un sistem de logaritmi cu baza a la un sistem cu baza b este numărul 1/logab... Dicţionar enciclopedic

I Modul (din latină modulus measure) în arhitectură, o unitate convențională adoptată pentru a coordona dimensiunile părților unei clădiri sau complex. În arhitectură națiuni diferiteîn funcție de caracteristicile echipamentelor de construcții și de compoziția clădirilor dincolo de M.... ... Marea Enciclopedie Sovietică

eu; m. [din lat. măsura modulului] 1. de ce. Specialist. O cantitate care o caracterizează l. proprietate solid. M. compresie. M. elasticitate. 2. Matematică. Număr real, valoarea absolută a unui număr negativ sau pozitiv. M. număr complex. M... Dicţionar enciclopedic

Caracteristicile numerice ale oricărui matematic obiect. De obicei, valoarea lui M este un număr real nenegativ, un element care are anumite caracteristici. proprietăţi determinate de proprietăţile mulţimii de obiecte luate în considerare. Conceptul de M.... ... Enciclopedie matematică

Care reprezintă un număr complex dat $z=a+bi$ se numește modulul numărului complex dat.

Modulul unui număr complex dat se calculează folosind următoarea formulă:

Exemplul 1

Calculați modulul numerelor complexe date $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Calculăm modulul unui număr complex $z=a+bi$ folosind formula: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Pentru numărul complex original $z_(1) =13$ obținem $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Pentru numărul complex original $\, z_(2) =4i$ obținem $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Pentru numărul complex original $\, z_(3) =4+3i$ obținem $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definiția 2

Unghiul $\varphi $ format din direcția pozitivă a axei reale și vectorul rază $\overrightarrow(OM) $, care corespunde unui număr complex dat $z=a+bi$, se numește argumentul acestui număr și se notează cu $\arg z$.

Nota 1

Modulul și argumentul unui număr complex dat sunt utilizate în mod explicit atunci când se reprezintă un număr complex în formă trigonometrică sau exponențială:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - formă trigonometrică;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - formă exponențială.

Exemplul 2

Scrieţi un număr complex în forme trigonometrice şi exponenţiale, dat de următoarele date: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Înlocuiți datele $r=3;\varphi =\pi $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - formă trigonometrică

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - formă exponențială.

2) Înlocuiți datele $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ în formulele corespunzătoare și obțineți:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - formă trigonometrică

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - formă exponențială.

Exemplul 3

Determinați modulul și argumentul numerelor complexe date:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Vom găsi modulul și argumentul folosind formule pentru scrierea unui număr complex dat în forme trigonometrice și, respectiv, exponențiale

\ \

1) Pentru numărul complex original $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ obținem $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Pentru numărul complex inițial $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ avem obţine $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Pentru numărul complex inițial $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ obținem $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Pentru numărul complex original $z=13\cdot e^(i\pi ) $ obținem $r=13;\varphi =\pi $.

Argumentul $\varphi $ al unui număr complex dat $z=a+bi$ poate fi calculat folosind următoarele formule:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

În practică, pentru a calcula valoarea argumentului unui număr complex dat $z=a+bi$, se utilizează de obicei formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

sau rezolvarea unui sistem de ecuații

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) \end(array)\right $.

Exemplul 4

Calculaţi argumentul numerelor complexe date: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Deoarece $z=3$, atunci $a=3,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Deoarece $z=4i$, atunci $a=0,b=4$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Deoarece $z=1+i$, atunci $a=1,b=1$. Să calculăm argumentul numărului complex original prin rezolvarea sistemului (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) \end(array)\right .\]

Din cursul de trigonometrie se știe că $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ pentru unghiul corespunzător primului sfert de coordonate și egal cu $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Deoarece $z=-5$, atunci $a=-5,b=0$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Deoarece $z=-2i$, atunci $a=0,b=-2$. Să calculăm argumentul numărului complex original folosind formula (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Nota 2

Numărul $z_(3)$ este reprezentat de punctul $(0;1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(4)$ este reprezentat de punctul $(0;-1)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este 1, adică. $r=1$, iar argumentul $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ conform Notei 3.

Numărul $z_(5) $ este reprezentat de punctul $(2;2)$, prin urmare, lungimea vectorului cu rază corespunzător este egală cu $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, i.e. $r=2\sqrt(2) $, iar argumentul $\varphi =\frac(\pi )(4) $ prin proprietatea unui triunghi dreptunghic.