Rezolvarea problemelor de teoria probabilității în cadrul examenului unificat de stat. Rezolvarea problemelor de teoria probabilităților în cadrul examenului de stat unificat Începuturile profilului examenului de stat unificat de teoria probabilității

Probabilitatea unui eveniment $A$ este raportul dintre numărul de rezultate favorabile pentru $A$ și numărul tuturor rezultatelor la fel de posibile

$P(A)=(m)/(n)$, unde $n$ este numărul total de rezultate posibile și $m$ este numărul de rezultate favorabile evenimentului $A$.

Probabilitatea unui eveniment este un număr din segmentul $$

Compania de taxi are în stoc mașini de 50 USD. $35$ dintre ele sunt negre, restul sunt galbene. Găsiți probabilitatea ca o mașină galbenă să răspundă la un apel aleatoriu.

Să aflăm numărul de mașini galbene:

Există mașini de 50 USD în total, adică una din cincizeci va răspunde la un apel. Mașinile galbene sunt $15$, prin urmare, probabilitatea ca o mașină galbenă să sosească este $(15)/(50)=(3)/(10)=0,3$

Răspuns: 0,3 USD

Evenimente opuse

Două evenimente sunt numite opuse dacă într-un test dat sunt incompatibile și unul dintre ele are loc în mod necesar. Probabilitățile de evenimente opuse se adună la 1. Un eveniment opus evenimentului $A$ se scrie $((A))↖(-)$.

$P(A)+P((A))↖(-)=1$

Evenimente independente

Două evenimente $A$ și $B$ sunt numite independente dacă probabilitatea de apariție a fiecăruia dintre ele nu depinde de dacă celălalt eveniment a avut loc sau nu. În caz contrar, evenimentele se numesc dependente.

Probabilitatea produsului a două evenimente independente $A$ și $B$ este egală cu produsul acestor probabilități:

$P(A·B)=P(A)·P(B)$

Ivan Ivanovici a cumpărat două bilete de loterie diferite. Probabilitatea de a câștiga primul bilet de loterie este de 0,15 USD. Probabilitatea ca al doilea bilet de loterie să câștige este de 0,12 USD. Ivan Ivanovici participă la ambele extrageri. Presupunând că extragerile au loc independent una de cealaltă, găsiți probabilitatea ca Ivan Ivanovici să câștige la ambele extrageri.

Probabilitate $P(A)$ - primul bilet va câștiga.

Probabilitate $P(B)$ - al doilea bilet va câștiga.

Evenimentele $A$ și $B$ sunt evenimente independente. Adică, pentru a găsi probabilitatea ca ambele evenimente să se producă, trebuie să găsiți produsul probabilităților

$P(A·B)=P(A)·P(B)$

$P=0,15·0,12=0,018$

Răspuns: 0,018 USD

Evenimente incompatibile

Două evenimente $A$ și $B$ sunt numite incompatibile dacă nu există rezultate care favorizează atât evenimentul $A$, cât și evenimentul $B$. (Evenimente care nu pot avea loc în același timp)

Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

La un examen de algebră, un student primește o întrebare din toate întrebările de examen. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare pentru ecuațiile cuadratice este de 0,3 USD. Probabilitatea ca aceasta să fie o întrebare de ecuații iraționale este de 0,18 USD. Nu există întrebări care se referă simultan la aceste două subiecte. Găsiți probabilitatea ca un student să primească o întrebare pe unul dintre aceste două subiecte la examen.

Aceste evenimente se numesc incompatibile, deoarece elevul va primi o întrebare FIE pe tema „Ecuații cuadratice”, SAU pe tema „Ecuații iraționale”. Subiectele nu pot fi găsite în același timp. Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

$P(A+B)=P(A)+P(B)$

$P = 0,3+0,18=0,48$

Răspuns: 0,48 USD

Evenimente comune

Două evenimente sunt numite comune dacă apariția unuia dintre ele nu exclude apariția celuilalt în același proces. În caz contrar, evenimentele sunt numite incompatibile.

Probabilitatea sumei a două evenimente comune $A$ și $B$ este egală cu suma probabilităților acestor evenimente minus probabilitatea produsului lor:

$P(A+B)=P(A)+P(B)-P(A B)$

În sala de cinema, două aparate identice vând cafea. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,6 USD. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,32 USD. Găsiți probabilitatea ca cel puțin unul dintre aparate să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei.

Să notăm evenimentele:

$A$ = cafeaua se va termina la prima mașină,

$B$ = cafeaua se va termina la a doua mașină.

$A·B =$ cafeaua se va epuiza în ambele aparate,

$A + B =$ cafeaua se va epuiza în cel puțin un aparat.

Conform condiției, $P(A) = P(B) = 0,6; P(A·B) = 0,32 $.

Evenimentele $A$ și $B$ sunt comune, probabilitatea sumei a două evenimente comune este egală cu suma probabilităților acestor evenimente, redusă cu probabilitatea produsului lor:

$P(A + B) = P(A) + P(B) − P(A B) = 0,6 + 0,6 − 0,32 = 0,88$

Adusă până în prezent borcan deschis Probleme de examen de stat unificat la matematică (mathege.ru), a căror soluție se bazează pe o singură formulă, care este definiția clasică a probabilității.

Cel mai simplu mod de a înțelege formula este cu exemple.
Exemplul 1.În coș sunt 9 bile roșii și 3 bile albastre. Bilele diferă doar prin culoare. Scoatem una dintre ele la întâmplare (fără să ne uităm). Care este probabilitatea ca mingea aleasă în acest fel să fie albastră?

Un comentariu.În problemele din teoria probabilității, se întâmplă ceva (în acest caz, acțiunea noastră de a scoate mingea) care poate avea un rezultat diferit - un rezultat. Trebuie remarcat faptul că rezultatul poate fi privit în moduri diferite. „Am scos un fel de minge” este, de asemenea, un rezultat. „Am scos mingea albastră” - rezultatul. „Am scos exact această minge din toate mingile posibile” - această vedere cel mai puțin generalizată a rezultatului se numește un rezultat elementar. Rezultatele elementare sunt menite în formula de calcul a probabilității.

Soluţie. Acum să calculăm probabilitatea de a alege mingea albastră.
Evenimentul A: „bila selectată s-a dovedit a fi albastră”
Numărul total al tuturor rezultatelor posibile: 9+3=12 (numărul tuturor bilelor pe care le-am putea extrage)
Numărul de rezultate favorabile pentru evenimentul A: 3 (numărul de astfel de rezultate în care a avut loc evenimentul A - adică numărul de bile albastre)
P(A)=3/12=1/4=0,25
Răspuns: 0,25

Pentru aceeași problemă, să calculăm probabilitatea de a alege o minge roșie.
Numărul total de rezultate posibile va rămâne același, 12. Numărul de rezultate favorabile: 9. Probabilitatea căutată: 9/12=3/4=0,75

Probabilitatea oricărui eveniment este întotdeauna între 0 și 1.
Uneori, în vorbirea de zi cu zi (dar nu în teoria probabilității!) probabilitatea evenimentelor este estimată ca procent. Tranziția între scorurile la matematică și cele conversaționale se realizează prin înmulțirea (sau împărțirea) cu 100%.
Asa de,
Mai mult, probabilitatea este zero pentru evenimente care nu se pot întâmpla - incredibil. De exemplu, în exemplul nostru, aceasta ar fi probabilitatea de a extrage o minge verde din coș. (Numărul de rezultate favorabile este 0, P(A)=0/12=0, dacă este calculat folosind formula)
Probabilitatea 1 are evenimente care sunt absolut sigure că se vor întâmpla, fără opțiuni. De exemplu, probabilitatea ca „bila selectată să fie roșie sau albastră” este de sarcina noastră. (Număr de rezultate favorabile: 12, P(A)=12/12=1)

Ne-am uitat la un exemplu clasic care ilustrează definiția probabilității. Toate problemele similare ale examenului de stat unificat în teoria probabilității sunt rezolvate folosind această formulă.
În locul bilelor roșii și albastre pot fi mere și pere, băieți și fete, bilete învățate și neînvățate, bilete care conțin sau nu o întrebare pe o anumită temă (prototipuri), genți defecte și de înaltă calitate sau pompe de grădină (prototipuri). ,) - principiul rămâne același.

Ele diferă ușor în formularea problemei teoriei probabilităților Examenului de stat unificat, în care trebuie să calculați probabilitatea ca un eveniment să aibă loc într-o anumită zi. ( , ) Ca și în problemele anterioare, trebuie să determinați care este rezultatul elementar și apoi să aplicați aceeași formulă.

Exemplul 2. Conferința durează trei zile. În prima și a doua zi sunt 15 vorbitori, în a treia zi - 20. Care este probabilitatea ca raportul profesorului M. să cadă în a treia zi dacă ordinea rapoartelor este stabilită prin tragere la sorți?

Care este rezultatul elementar aici? – Atribuirea raportului profesorului a unuia dintre toate numerele de serie posibile pentru discurs. La extragere participă 15+15+20=50 de persoane. Astfel, raportul profesorului M. poate primi unul dintre cele 50 de numere. Aceasta înseamnă că există doar 50 de rezultate elementare.
Care sunt rezultatele favorabile? - Cele în care se dovedește că profesorul va vorbi a treia zi. Adică ultimele 20 de numere.
Conform formulei, probabilitatea P(A)= 20/50=2/5=4/10=0,4
Răspuns: 0,4

Tragerea la sorți reprezintă aici stabilirea unei corespondențe aleatorii între oameni și locuri ordonate. În exemplul 2, potrivirea a fost luată în considerare din punctul de vedere al locurilor pe care le-ar putea ocupa o anumită persoană. Poți aborda aceeași situație din cealaltă parte: care dintre persoanele cu ce probabilitate ar putea ajunge într-un anumit loc (prototipuri , , , ):

Exemplul 3. Tragerea la sorți include 5 germani, 8 francezi și 3 estonieni. Care este probabilitatea ca primul (/al doilea/al șaptelea/ultimul – nu contează) să fie un francez.

Numărul de rezultate elementare este numărul tuturor persoanelor posibile care ar putea ajunge într-un anumit loc prin tragere la sorți. 5+8+3=16 persoane.
Rezultate favorabile - franceza. 8 persoane.
Probabilitate necesară: 8/16=1/2=0,5
Răspuns: 0,5

Prototipul este puțin diferit. Există încă probleme legate de monedele () și zarurile (), care sunt ceva mai creative. Soluția la aceste probleme poate fi găsită pe paginile prototip.

Iată câteva exemple de aruncare a unei monede sau a zarurilor.

Exemplul 4. Când aruncăm o monedă, care este probabilitatea de a ateriza în capete?
Există 2 rezultate - cap sau coadă. (se crede că moneda nu aterizează niciodată pe marginea ei) Un rezultat favorabil este cozile, 1.
Probabilitate 1/2=0,5
Răspuns: 0,5.

Exemplul 5. Dacă aruncăm o monedă de două ori? Care este probabilitatea ca acesta să iasă în cap de ambele ori?
Principalul lucru este să stabilim ce rezultate elementare vom lua în considerare atunci când aruncăm două monede. După aruncarea a două monede, poate apărea unul dintre următoarele rezultate:
1) PP – de ambele ori a venit capul
2) PO – prima dată capete, a doua oară capete
3) OP – prima dată cu capul, a doua oară cu cozi
4) OO – capete au apărut de ambele ori
Nu există alte opțiuni. Aceasta înseamnă că există 4 rezultate elementare Doar primul, 1, este favorabil.
Probabilitate: 1/4=0,25
Răspuns: 0,25

Care este probabilitatea ca două aruncări de monede să aibă ca rezultat cozi?
Numărul de rezultate elementare este același, 4. Rezultatele favorabile sunt al doilea și al treilea, 2.
Probabilitatea de a obține o coadă: 2/4=0,5

În astfel de probleme, o altă formulă poate fi utilă.
Dacă în timpul unei aruncări a unei monede opțiuni posibile avem 2 rezultate, atunci pentru două aruncări rezultatele vor fi 2 2 = 2 2 = 4 (ca în exemplul 5), pentru trei aruncări 2 2 2 = 2 3 = 8, pentru patru: 2 2 2 2 =2 4 = 16, ... pentru N aruncări rezultatele posibile vor fi 2·2·...·2=2 N .

Deci, puteți găsi probabilitatea de a obține 5 capete din 5 aruncări de monede.
Numărul total de rezultate elementare: 2 5 =32.
Rezultate favorabile: 1. (RRRRRR – face toate capul de 5 ori)
Probabilitate: 1/32=0,03125

Același lucru este valabil și pentru zaruri. Cu o singură aruncare, există 6 rezultate posibile Deci, pentru două aruncări: 6 6 = 36, pentru trei 6 6 6 = 216 etc.

Exemplul 6. Aruncăm zarurile. Care este probabilitatea ca un număr par să fie aruncat?

Rezultate totale: 6, în funcție de numărul de părți.
Favorabil: 3 rezultate. (2, 4, 6)
Probabilitate: 3/6=0,5

Exemplul 7. Aruncăm două zaruri. Care este probabilitatea ca totalul să fie 10? (rotunzi la cea mai apropiată sutime)

Pentru un zar există 6 rezultate posibile. Aceasta înseamnă că pentru doi, conform regulii de mai sus, 6·6=36.
Ce rezultate vor fi favorabile pentru ca totalul să ajungă 10?
10 trebuie descompus în suma a două numere de la 1 la 6. Acest lucru se poate face în două moduri: 10=6+4 și 10=5+5. Aceasta înseamnă că următoarele opțiuni sunt posibile pentru cuburi:
(6 pe primul și 4 pe al doilea)
(4 pe primul și 6 pe al doilea)
(5 pe primul și 5 pe al doilea)
În total, 3 opțiuni. Probabilitate necesară: 3/36=1/12=0,08
Răspuns: 0,08

Alte tipuri de probleme B6 vor fi discutate într-un articol viitor Cum se rezolvă.

Eveniment aleatoriu – orice eveniment care poate sau nu să apară ca urmare a unei experiențe.

Probabilitatea evenimentului R egal cu raportul dintre numărul de rezultate favorabile k la numărul de rezultate posibile n, adică

p=\frac(k)(n)

Formule pentru adunarea și înmulțirea teoriei probabilităților

Eveniment \bar(A) numit opus evenimentului A, dacă evenimentul A nu a avut loc.

Suma probabilităților de evenimente opuse este egal cu unul, i.e.

P(\bar(A)) + P(A) =1

• Probabilitatea unui eveniment nu poate fi mai mare de 1.
• Dacă probabilitatea unui eveniment este 0, atunci nu se va întâmpla.
• Dacă probabilitatea unui eveniment este 1, atunci se va întâmpla.

Teorema de adunare a probabilității:

„Probabilitatea sumei a două evenimente incompatibile este egală cu suma probabilităților acestor evenimente.”

P(A+B) = P(A) + P(B)

Probabilitate sume două evenimente comune egal cu suma probabilităților acestor evenimente fără a lua în considerare apariția lor comună:

P(A+B) = P(A) + P(B) - P(AB)

Teorema înmulțirii probabilităților

„Probabilitatea ca două evenimente să se producă este egală cu produsul dintre probabilitățile unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt, calculată cu condiția ca primul să fi avut loc.”

P(AB)=P(A)*P(B)

Evenimente sunt numite incompatibil, dacă apariţia unuia dintre ele exclude apariţia altora. Adică se poate întâmpla doar un eveniment specific sau altul.

Evenimente sunt numite comun, dacă apariţia unuia dintre ele nu exclude apariţia celuilalt.

Două evenimente aleatorii A și B sunt numite independent, dacă apariţia unuia dintre ele nu modifică probabilitatea apariţiei celuilalt. În caz contrar, evenimentele A și B sunt numite dependente.

Repetarea cursului de teorie a probabilităților în clasa a XI-a. Pregătirea pentru examenul de stat unificat.

Suma evenimentelor A + B A ȘiB se numeşte un eveniment constând în apariţia unui evenimentA , sau evenimenteÎN , sauambii aceste evenimente.

Exemplu. Lăsa A - plouă, B - atunci ninge (A + B) - fie ploaie, fie zăpadă, fie ploaie cu zăpadă, adică precipitații;

A - a mers la discotecă; B - Să mergem la bibliotecă, atunci (A + B) - au mers fie la discotecă, fie la bibliotecă, adică au plecat din casă.

Evenimentele sunt numiteincompatibil, dacă apariția unuia dintre ele exclude apariția altora. Adică se poate întâmpla doar un eveniment specific sau altul.

De exemplu, atunci când aruncați un zar, puteți distinge între evenimente precum obținerea unui număr par de puncte și obținerea unui număr impar de puncte. Aceste evenimente sunt incompatibile.

Teorema de adunare a probabilitatilor de evenimente incompatibile

Teorema . Probabilitatea apariției unuia dintre cele două evenimente incompatibile, indiferent care este, este egală cu suma probabilităților acestor evenimente:

P(A + B) = P(A) + P(B) .

Exemplu. Într-o urnă sunt 30 de bile: 10 roșii, 5 albastre și 15 albe. Găsiți probabilitatea ca o minge colorată să apară.

Soluţie . Apariția unei mingi colorate înseamnă apariția unei mingi roșii sau albastre.

Probabilitatea apariției unei mingi roșii (eveniment A)

P(A) = 10/30 = 1/3.

Probabilitatea apariției unei mingi albastre (evenimentul B)

P (B) = 5/30 = 1/6.

Evenimente A Și ÎN sunt inconsecvente (aspectul unei mingi de o culoare exclude apariția unei mingi de altă culoare), deci se aplică teorema adunării.

Conform formulei, probabilitatea dorită

P (A + B) = P(A) + P(B) = 1/3 + 1/6 = 1/2 .

Exemplu. Probabilitatea de a obține 5 sau 6 puncte la un zar la o singură aruncare este de 1/3 , deoarece ambele evenimente (rularea 5, rularea 6) sunt inconsecvente și probabilitatea ca unul sau celălalt eveniment să se producă se calculează după cum urmează: 1/6 + 1/6 =1/3.

Grup complet de evenimente.

Se formează multe evenimente incompatibilegrup complet de evenimente , dacă ca urmaretest individual Unul dintre aceste evenimente va apărea cu siguranță.

Exemplu. Următorul set este tipic pentru un zar:

– Ca urmare a aruncării zarurilor, va apărea 1 punct;
– ... 2 puncte;
– ... 3 puncte;
– ... 4 puncte;
– ... 5 puncte;
– ... 6 puncte.

Evenimente incompatibil (deoarece aspectul oricărei fețe exclude aspectul simultan al altora) și formează un grup complet (deoarece testul va duce cu siguranță la unul dintre aceste șase evenimente) .

Teorema . Suma probabilităților de evenimentA 1 , A 2 , …, A n , formând un grup complet, este egal cu unu:

P(A 1 ) + P(A 2 ) + ... + P(A n ) = 1 .

Evenimente opuse.

Opus numiți două evenimente unic posibile care formează un grup complet. Dacă unul dintre cele două evenimente opuse este indicat prinA , atunci se notează de obicei altceva.

Exemplu. Dacă, la aruncarea unui zar, evenimentul A consta in pierdere 6 , atunci evenimentul opus este non-abandon 6 , adică a renunta 1, 2, 3, 4 sau 5 .

Exemplu. Dacă A - atunci numărul este par - numărul este impar; Dacă A - iarna, atunci - nu iarna (fie toamna, fie vara, fie primavara); Dacă A - a trecut examenul, atunci - nu a trecut examenul.

Teorema. Suma probabilităților de evenimente opuse este egală cu unu.

P(A) + P( ) = 1 sauP(A) = 1 – P( ).

Exemplu. Care este probabilitatea ca atunci când sunt aruncate două zaruri, acestea să obțină un număr diferit (nu același) de puncte?

Să notăm evenimentul descris ca A. Evenimentul opus este evenimentul , constând în faptul că pe ambele zaruri au căzut același număr de puncte. Eveniment șase evenimente elementare sunt favorabile: (1;1), (2;2), (3;3), (4;4), (5;5), (6;6). Probabilitatea fiecăruia dintre aceste evenimente elementare . Deci, P( ) = . Atunci P(A) = 1 – P( )= 1 - .

Evenimente dependente și independente. Probabilitate condițională.

Două evenimenteA ȘiÎN sunt numiteindependent , dacă probabilitatea de apariție a fiecăruia dintre ele nu depinde de faptul dacă a apărut sau nu un alt eveniment.

Exemplu. Moneda este aruncată de două ori. Evenimentul A – „steama” a căzut la prima aruncare, evenimentul B – „steama” a căzut la a doua aruncare. Evenimentele A și B sunt independente.

Evenimentele A și B sunt numitedependent , dacă probabilitatea apariției unuia dintre ele depinde dacă un alt eveniment a avut loc sau nu.

Dacă probabilitatea evenimentului B este calculată în ipoteza că evenimentul A a avut deja loc, atunci această probabilitate se numeșteprobabilitate condițională evenimentul B în raport cu evenimentul A. Denumire: P A (ÎN).

Exemplu. Plicul conținea 4 cărți poștale cu vedere la Sankt Petersburg și 3 cărți poștale cu vedere la Moscova. Fie ca evenimentul A să fie extragerea unei cărți poștale cu vederi spre Sankt Petersburg, iar evenimentul B să fie extragerea unei cărți poștale cu vederi spre Moscova. Să luăm în considerare probabilitățile. Legat de aceste evenimente.

a) dacă mai întâi au scos o carte poștală cu vedere la Sankt Petersburg și apoi cu vedere la Moscova, atunci P A (B) = ;

b) dacă mai întâi au scos o carte poștală cu vedere la Moscova și apoi cu vedere la Sankt Petersburg, atunci P ÎN (A) = .

Produsul probabilităților.

Produsul a două evenimente A ȘiÎN sunați la evenimentAB , constând în aspectul comun (combinarea) acestor evenimente.

Exemplu. Lăsa A - din urnă a fost extrasă o minge albă, B - s-a scos apoi o bila alba din urna AB - scos din coșul de gunoi Două bila alba; Dacă A - plouă, B - atunci ninge AB - ploaie cu zapada; A - numărul este par, B - număr multiplu 3 , Apoi AB - număr multiplu 6 .

Teorema înmulțirii pentru evenimente independente

Teorema . Probabilitatea produsului a două evenimente independenteA ȘiÎN egal cu produsul probabilităţilor lor:

P(AB) = P(A) P(B) .

Exemplu. Zarurile se aruncă de două ori. Care este probabilitatea ca prima aruncare să aibă ca rezultat 2 puncte, iar a doua aruncare 6?

Fie ca evenimentul A să fie o sumă de 2 puncte, evenimentul B să fie o rolă de 6 puncte, iar evenimentul C să fie o rolă de 2 puncte în prima rolă și 6 puncte în a doua.

Evenimentele A și B sunt independente, deoarece apariția unui eveniment nu depinde de apariția celuilalt eveniment. Atunci, deoarece P(A) = și P(B) = , atunci P(C) = P(A) P(B) = .

Teorema înmulțirii pentru evenimente dependente.

Teorema . Dacă evenimentele A și B sunt dependente, atunci probabilitatea produsului lor este egală cuprodusul dintre probabilitatea unuia dintre ele și probabilitatea condiționată a celuilalt

P(AB) = P(A) P A (B) .

Exemplu. Plicul conținea 4 cărți poștale cu vedere la Sankt Petersburg și 3 cărți poștale cu vedere la Moscova. Fie ca evenimentul A să fie extragerea vederilor din Sankt Petersburg pentru prima dată, iar evenimentul B să fie extragerea vederilor din Moscova pentru prima dată. Fie ca evenimentul C să constea în faptul că mai întâi a fost scoasă o vedere a Sankt Petersburgului, apoi o vedere a Moscovei. Atunci evenimentul C, prin definiția înmulțirii, este egal cu A·B. Este evident că în acest caz evenimentele A și B sunt dependente. Să o arătăm.

Aceasta înseamnă că trebuie să utilizați teorema despre formula pentru produsul evenimentelor dependente, de exemplu. P(C) = P (A) P A (B) . Astfel, P(C) = .

Exemplu . Sala de lectură are 6 manuale de informatică, dintre care Trei legat. Bibliotecarul a luat-o la întâmplare Două manual. Găsiți probabilitatea ca ambii manualele vor fi legate.

Soluţie . Luați în considerare următoarele evenimente:
A 1 - primul manual legat luat;
A 2 - al doilea manual legat luat.

Eveniment A = A 1 A 2 , este că ambele manuale luate sunt legate. Evenimente A 1 Și A 2 sunt dependente, deoarece probabilitatea apariției unui eveniment A 2 depinde de producerea evenimentului A 1 . Prin urmare, pentru a calcula probabilitatea vom folosi formula produse ale evenimentelor dependente .

Probabilitatea apariției unui eveniment A 1 conform definiției clasice a probabilității:

P (A 1 ) = m / n = 3/6 = 0,5 .

P A1 (A 2 ) este definită ca probabilitatea condiționată a producerii unui eveniment A 2 cu condiția ca evenimentul A 1 a sosit deja:

P A1 (A 2 ) = 2/5 = 0,4 .

Apoi, probabilitatea dorită de producere a evenimentului A :

P(A) = 0,5 0,4 = 0,2 .

Teorema de adunare a probabilităților evenimentelor comune

Cele două evenimente sunt numitecomun , dacă apariția unuia dintre ei nu exclude apariția celuilalt în același proces.

Exemplu. A - apariția a patru puncte la aruncarea unui zar; ÎN - apariția unui număr par de puncte. Eveniment A Și ÎN - articulație.

Teorema . Probabilitatea de apariție a cel puțin unuia dintre cele două evenimente comuneA ȘiÎN egală cu suma probabilităţilor acestor evenimente fără probabilitatea producerii lor comune:

P (A + B) = P (A) + P (B) - P (AB) .

Exemplu. Doi elevi citesc o carte. Primul elev termină cartea cu probabilitate – 0,6; al doilea – 0,8. Găsiți probabilitatea ca cartea să fie citită de cel puțin unul dintre elevi.

Soluţie . Probabilitatea ca cartea să fie citită de fiecare dintre elevi nu depinde de rezultatul unui student în parte, deci evenimentele A (primul elev a terminat de citit cartea) și B (al doilea elev a terminat de citit cartea) independent și cooperant. Găsim probabilitatea dorită folosind formula de adunare a probabilităților evenimentelor comune.

Probabilitatea evenimentului AB (ambele elevi au terminat de citit cartea):

P(AB) = P(A) P(B) = 0,6 0,8 = 0,48.

Apoi

P(A + B) = 0,6 + 0,8 - 0,48 = 0,92.

Exemplu. Într-un centru comercial, două aparate identice vând cafea. Probabilitatea ca aparatul să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3. Probabilitatea ca ambele aparate să rămână fără cafea este de 0,12. Să aflăm probabilitatea ca până la sfârșitul zilei cafeaua să se epuizeze în cel puțin una dintre aparate (adică fie una, fie alta, fie ambele deodată).

Probabilitatea primului eveniment „se va epuiza cafeaua în prima mașină” precum și probabilitatea celui de-al doilea eveniment „se va epuiza cafeaua în a doua mașină” conform condiției este de 0,3. Evenimentele sunt colaborative.

Probabilitatea apariției comune a primelor două evenimente conform condiției este de 0,12.

Aceasta înseamnă că probabilitatea ca cel puțin unul dintre aparate să rămână fără cafea până la sfârșitul zilei este de 0,3 + 0,3 – 0,12 = 0,48.

Exemplu. Școala are 1.400 de elevi, dintre care 1.200 de elevi știu să schieze, 952 de elevi știu să patineze. 60 de elevi nu știu să schieze sau să patineze. Care este probabilitatea ca elevul să schieze și să patineze?

Să notăm cu E – toți elevii acestei școli. Fie ca evenimentul A să fie capacitatea elevilor de a schia. Evenimentul B – capacitatea elevilor de a patina. Evenimentul AB – capacitatea elevilor de a schia și patinaj. Evenimentul A+B – capacitatea elevilor de a schia sau patinaj. .

Formula probabilității totale.

Dacă evenimentul A poate apărea numai atunci când are loc unul dintre evenimentele B 1 , IN 2 , …, IN n care formează un grup complet de evenimente incompatibile, atunci probabilitatea evenimentului A se calculează prin formula

P(A) = P(B 1 ) · R ÎN 1 (A) + P(B 2 ) · R LA 2 (A) + … + P(B n ) · R ÎN n (A).

Această formulă se numește formula probabilității totale. 3 ) = .

Fie evenimentul A că lampa selectată sa dovedit a fi defectă; R ÎN 1 (A) înseamnă cazul în care o lampă defectă este selectată dintre lămpile produse în prima fabrică , P(B 2 ) – la a doua fabrică, P(B 3 ) - la a treia uzina. Din declarația problemei rezultă:

R ÎN 1 =0,034.

Bibliografie.

Tyurin Yu.N., Makarov A.A., Vysotsky I.R., Yashchenko I.V. Teoria probabilității și statistică. OJSC „Manualul Moscovei”. M., 2008.

Shakhmeister A.Kh. Combinatorică. Statistici. Probabilitate. MCNMO. M., 2010.

La o fabrica de placi ceramice, 5% din placile produse au un defect. În timpul controlului calității produsului, sunt detectate doar 40% din plăcile defecte. Plăcile rămase sunt trimise spre vânzare. Găsiți probabilitatea ca o placă aleasă la întâmplare la cumpărare să nu aibă defecte. Rotunjiți răspunsul la cea mai apropiată sutime.

Arată soluția

Soluţie

În timpul controlului calității produselor sunt identificate 40% din plăcile defecte, care reprezintă 5% din plăcile produse și nu sunt vândute. Aceasta înseamnă că 0,4 · 5% = 2% din plăcile produse nu se pun în vânzare. Restul plăcilor produse - 100% - 2% = 98% - merg la vânzare.

100% - 95% din plăcile produse sunt fără defecte. Probabilitatea ca gresia achiziționată să nu aibă un defect este de 95%: 98% = \frac(95)(98)\aproximativ 0,97

Răspuns

Condiție

Probabilitatea ca bateria să nu fie încărcată este de 0,15. Un client dintr-un magazin cumpără un pachet aleatoriu care conține două dintre aceste baterii. Găsiți probabilitatea ca ambele baterii din acest pachet să fie încărcate.

Arată soluția

Soluţie

Probabilitatea ca bateria să fie încărcată este de 1-0,15 = 0,85. Să aflăm probabilitatea evenimentului „ambele baterii sunt încărcate”. Să notăm cu A și B evenimentele „prima baterie este încărcată” și „a doua baterie este încărcată”. Avem P(A) = P(B) = 0,85. Evenimentul „ambele baterii sunt încărcate” este intersecția evenimentelor A \cap B, probabilitatea sa este egală cu P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,85\cdot 0,85 = 0,7225.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Condiție

Probabilitatea ca nou mașină de spălat va fi depus la reparatie in garantie in termen de un an, egal cu 0,065. Într-un anume oraș s-au vândut în cursul anului 1.200 de mașini de spălat, dintre care 72 au fost predate unui atelier de garanție. Determinați cât de diferită este frecvența relativă a apariției evenimentului „reparație în garanție” față de probabilitatea acestuia în acest oraș?

Arată soluția

Soluţie

Frecvența evenimentului „mașina de spălat va fi reparată în garanție în decurs de un an” este egală cu \frac(72)(1200) = 0,06. Diferă de probabilitate prin 0,065-0,06=0,005.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Condiție

Probabilitatea ca stiloul să fie defect este de 0,05. Un client dintr-un magazin cumpără un pachet aleatoriu care conține două stilouri. Găsiți probabilitatea ca ambele stilouri din acest pachet să fie bune.

Arată soluția

Soluţie

Probabilitatea ca mânerul să funcționeze este 1-0,05 = 0,95. Să găsim probabilitatea evenimentului „ambele mânere funcționează”. Să notăm cu A și B evenimentele „primul mâner funcționează” și „al doilea mâner funcționează”. Avem P(A) = P(B) = 0,95. Evenimentul „ambele mânere funcționează” este intersecția evenimentelor A\cap B, probabilitatea sa este egală cu P(A\cap B) = P(A)\cdot P(B) = 0,95\cdot 0,95 = 0,9025.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Condiție

Imaginea prezintă un labirint. Gândacul se târăște în labirint în punctul „Intrare”. Gândacul nu se poate întoarce și se târăște în direcția opusă, așa că la fiecare bifurcație alege una dintre cărările pe care nu a fost încă. Cu ce ​​probabilitate este gândacul să iasă din D dacă alegerea căii ulterioare este aleatorie.

Arată soluția

Soluţie

Să plasăm săgeți la intersecții în direcțiile în care gândacul se poate mișca (vezi figura).

La fiecare intersecție vom alege o direcție din două posibile și vom presupune că atunci când ajunge la intersecție gândacul se va deplasa în direcția pe care am ales-o.

Pentru ca gândacul să ajungă la ieșirea D este necesar ca la fiecare intersecție să se aleagă direcția indicată de linia roșie continuă. În total, alegerea direcției se face de 4 ori, de fiecare dată indiferent de alegerea anterioară. Probabilitatea ca săgeata roșie continuă să fie selectată de fiecare dată este \frac12\cdot\frac12\cdot\frac12\cdot\frac12= 0,5^4= 0,0625.

Răspuns

Sursa: „Matematică. Pregătirea pentru examenul unificat de stat 2017. Nivelul profilului.” Ed. F. F. Lysenko, S. Yu.

Condiție

În secțiune sunt 16 sportivi, printre ei doi prieteni - Olya și Masha. Sportivii sunt repartizați aleatoriu în 4 grupe egale. Găsiți probabilitatea ca Olya și Masha să ajungă în același grup.