Derivată a unei funcţii elementare n x cu ieşire. Găsiți derivata: algoritm și exemple de soluții. Derivată a unei funcții logaritmice

Rezolvarea problemelor fizice sau a exemplelor de matematică este complet imposibilă fără cunoașterea derivatei și a metodelor de calcul. Derivata este unul dintre cele mai importante concepte în analiza matematică. Am decis să dedicăm articolul de astăzi acestui subiect fundamental. Ce este o derivată, care este semnificația sa fizică și geometrică, cum se calculează derivata unei funcții? Toate aceste întrebări pot fi combinate într-una singură: cum să înțelegeți derivatul?

Sensul geometric și fizic al derivatului

Să existe o funcție f(x) , specificat într-un anumit interval (a, b) . Punctele x și x0 aparțin acestui interval. Când x se schimbă, funcția în sine se schimbă. Schimbarea argumentului - diferența de valori x-x0 . Această diferență este scrisă ca delta x și se numește increment de argument. O modificare sau o creștere a unei funcții este diferența dintre valorile unei funcții în două puncte. Definiția derivatului:

Derivata unei funcții într-un punct este limita raportului dintre incrementul funcției la un punct dat și incrementul argumentului atunci când acesta din urmă tinde spre zero.

Altfel se poate scrie asa:

Ce rost are să găsești o astfel de limită? Și iată ce este:

derivata unei funcții într-un punct este egală cu tangentei unghiului dintre axa OX și tangentei la graficul funcției într-un punct dat.

Sensul fizic al derivatului: derivata traseului în raport cu timpul este egală cu viteza mișcării rectilinie.

Într-adevăr, din vremea școlii toată lumea știe că viteza este o cale anume x=f(t) si timpul t . Viteza medie pe o anumită perioadă de timp:

Pentru a afla viteza de mișcare la un moment dat t0 trebuie să calculați limita:

Prima regulă: setați o constantă

Constanta poate fi scoasă din semnul derivatului. Mai mult, acest lucru trebuie făcut. Când rezolvați exemple la matematică, luați-o ca regulă - Dacă puteți simplifica o expresie, asigurați-vă că o simplificați .

Exemplu. Să calculăm derivata:

Regula a doua: derivata sumei functiilor

Derivata sumei a doua functii este egala cu suma derivatelor acestor functii. Același lucru este valabil și pentru derivata diferenței de funcții.

Nu vom oferi o dovadă a acestei teoreme, ci mai degrabă luăm în considerare un exemplu practic.

Aflați derivata funcției:

Regula trei: derivată a produsului funcțiilor

Derivata produsului a doua functii diferentiabile se calculeaza prin formula:

Exemplu: găsiți derivata unei funcții:

Soluţie:

Este important să vorbim aici despre calcularea derivatelor funcțiilor complexe. Derivata unei functii complexe este egala cu produsul derivatei acestei functii fata de argumentul intermediar si derivata argumentului intermediar fata de variabila independenta.

În exemplul de mai sus întâlnim expresia:

În acest caz, argumentul intermediar este de 8x față de a cincea putere. Pentru a calcula derivata unei astfel de expresii, mai întâi calculăm derivata funcției externe în raport cu argumentul intermediar și apoi înmulțim cu derivata argumentului intermediar în sine față de variabila independentă.

Regula a patra: derivată a câtului a două funcții

Formula pentru determinarea derivatei coeficientului a două funcții:

Am încercat să vorbim despre derivate pentru manechine de la zero. Acest subiect nu este atât de simplu pe cât pare, așa că fiți atenți: există adesea capcane în exemple, așa că aveți grijă când calculați derivatele.

Cu orice întrebări pe acest subiect și pe alte subiecte, puteți contacta serviciul studenți. În scurt timp, vă vom ajuta să rezolvați cel mai dificil test și să înțelegeți sarcinile, chiar dacă nu ați mai făcut niciodată calcule derivate.

Când obținem prima formulă a tabelului, vom porni de la definiția funcției derivate într-un punct. Să luăm unde X- orice numar real, acesta este, X– orice număr din domeniul de definire al funcției. Să notăm limita raportului dintre incrementul funcției și incrementul argumentului la:

De remarcat că sub semnul limită se obține expresia, care nu este incertitudinea zero împărțită la zero, întrucât numărătorul nu conține o valoare infinitezimală, ci exact zero. Cu alte cuvinte, incrementul unei funcții constante este întotdeauna zero.

Prin urmare, derivată a unei funcții constanteeste egal cu zero în întregul domeniu de definiție.

Derivată a unei funcții de putere.

Formula pentru derivata unei funcții putere are forma , unde exponentul p– orice număr real.

Să demonstrăm mai întâi formula exponentului natural, adică pentru p = 1, 2, 3, …

Vom folosi definiția derivatei. Să notăm limita raportului dintre incrementul unei funcții de putere și incrementul argumentului:

Pentru a simplifica expresia în numărător, ne întoarcem la formula binomială Newton:

Prin urmare,

Aceasta dovedește formula pentru derivata unei funcții de putere pentru un exponent natural.

Derivată a unei funcții exponențiale.

Prezentăm derivarea formulei derivate pe baza definiției:

Am ajuns la incertitudine. Pentru a o extinde, introducem o nouă variabilă, iar la . Apoi . În ultima tranziție, am folosit formula pentru trecerea la o nouă bază logaritmică.

Să înlocuim în limita inițială:

Dacă ne amintim a doua limită remarcabilă, ajungem la formula pentru derivata funcției exponențiale:

Derivată a unei funcții logaritmice.

Să demonstrăm formula pentru derivata unei funcții logaritmice pentru toate X din domeniul definiției și toate valorile valide ale bazei A logaritm Prin definiția derivatei avem:

După cum ați observat, în timpul demonstrației transformările au fost efectuate folosind proprietățile logaritmului. Egalitatea este adevărat datorită celei de-a doua limite remarcabile.

Derivate ale funcţiilor trigonometrice.

Pentru a deriva formule pentru derivate ale funcțiilor trigonometrice, va trebui să reamintim câteva formule de trigonometrie, precum și prima limită remarcabilă.

Prin definiția derivatei pentru funcția sinus avem .

Să folosim formula diferenței sinusurilor:

Rămâne să ne întoarcem la prima limită remarcabilă:

Astfel, derivata funcției sin x Există cos x.

Formula pentru derivata cosinusului este dovedită exact în același mod.

Prin urmare, derivata funcției cos x Există –sin x.

Vom obține formule pentru tabelul de derivate pentru tangentă și cotangentă folosind reguli dovedite de diferențiere (derivată a unei fracții).

Derivate ale funcțiilor hiperbolice.

Regulile de diferențiere și formula pentru derivata funcției exponențiale din tabelul derivatelor ne permit să derivăm formule pentru derivatele sinusului hiperbolic, cosinusului, tangentei și cotangentei.

Derivată a funcției inverse.

Pentru a evita confuzia în timpul prezentării, să notăm în indice argumentul funcției prin care se realizează diferențierea, adică este derivata funcției f(x) De X.

Acum să formulăm regula pentru aflarea derivatei unei functii inverse.

Lasă funcțiile y = f(x)Și x = g(y) reciproc invers, definite pe intervale și respectiv. Dacă într-un punct există o derivată finită nenulă a funcției f(x), atunci în punct există o derivată finită a funcției inverse g(y), și . Într-o altă postare .

Această regulă poate fi reformulată pentru orice X din intervalul , atunci obținem .

Să verificăm validitatea acestor formule.

Să găsim funcția inversă pentru logaritmul natural (Aici y este o funcție și X- argument). După ce am rezolvat această ecuație pt X, primim (aici X este o funcție și y– argumentul ei). Acesta este, și funcții reciproc inverse.

Din tabelul derivatelor vedem că Și .

Să ne asigurăm că formulele pentru găsirea derivatelor funcției inverse ne conduc la aceleași rezultate:

După cum puteți vedea, am obținut aceleași rezultate ca și în tabelul cu derivate.

Acum avem cunoștințele pentru a demonstra formulele derivate inverse funcții trigonometrice.

Să începem cu derivata arcsinusului.

. Apoi, folosind formula pentru derivata funcției inverse, obținem

Tot ce rămâne este să efectuăm transformările.

Deoarece intervalul arcsinus este intervalul , Acea (vezi secțiunea privind funcțiile elementare de bază, proprietățile și graficele acestora). Prin urmare, nu luăm în considerare.

Prin urmare, . Domeniul de definire al derivatei arcsinus este intervalul (-1; 1) .

Pentru arc cosinus, totul se face exact în același mod:

Să găsim derivata arctangentei.

Pentru funcția inversă este .

Să exprimăm arctangenta în termeni de arccosinus pentru a simplifica expresia rezultată.

Lăsa arctgx = z, Apoi

Prin urmare,

Derivata cotangentei arcului se găsește într-un mod similar:

Operația de găsire a derivatei se numește diferențiere.

Ca urmare a rezolvării problemelor de găsire a derivatelor celor mai simple (și nu foarte simple) funcții prin definirea derivatei ca limită a raportului incrementului la incrementul argumentului, a apărut un tabel de derivate și reguli de diferențiere precis definite. . Primii care au lucrat în domeniul găsirii derivatelor au fost Isaac Newton (1643-1727) și Gottfried Wilhelm Leibniz (1646-1716).

Prin urmare, în timpul nostru, pentru a găsi derivata oricărei funcții, nu trebuie să calculați limita menționată mai sus a raportului dintre creșterea funcției și creșterea argumentului, ci trebuie doar să utilizați tabelul de derivate și regulile de diferențiere. Următorul algoritm este potrivit pentru găsirea derivatei.

Pentru a găsi derivata, aveți nevoie de o expresie sub semnul prim descompune funcțiile simple în componenteși stabiliți ce acțiuni (produs, sumă, coeficient) aceste funcții sunt legate. Alte derivate functii elementare găsim în tabelul derivatelor, iar formulele pentru derivatele produsului, sumă și coeficient sunt în regulile de diferențiere. Tabelul derivatelor și regulile de diferențiere sunt date după primele două exemple.

Exemplul 1. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Din regulile de diferențiere aflăm că derivata unei sume de funcții este suma derivatelor de funcții, adică.

Din tabelul derivatelor aflăm că derivata lui „x” este egală cu unu, iar derivata sinusului este egală cu cosinus. Inlocuim aceste valori in suma derivatelor si gasim derivata ceruta de conditia problemei:

Exemplul 2. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Diferențiem ca derivată a unei sume în care al doilea termen are un factor constant poate fi scos din semnul derivatei:

Dacă încă apar întrebări despre unde provine ceva, acestea sunt de obicei clarificate după ce vă familiarizați cu tabelul derivatelor și cu cele mai simple reguli de diferențiere. Trecem la ele chiar acum.

Tabel de derivate ale funcțiilor simple

1. Derivată a unei constante (număr). Orice număr (1, 2, 5, 200...) care se află în expresia funcției. Întotdeauna egal cu zero. Acest lucru este foarte important de reținut, deoarece este necesar foarte des
2. Derivată a variabilei independente. Cel mai adesea „X”. Întotdeauna egal cu unu. Acest lucru este, de asemenea, important de reținut pentru o lungă perioadă de timp
3. Derivată de grad. Când rezolvați probleme, trebuie să convertiți rădăcinile nepătrate în puteri.
4. Derivată a unei variabile la puterea -1
5. Derivat rădăcină pătrată
6. Derivată de sinus
7. Derivată a cosinusului
8. Derivată a tangentei
9. Derivat de cotangente
10. Derivată de arcsinus
11. Derivatul arccosinului
12. Derivată a arctangentei
13. Derivată a cotangentei arcului
14. Derivată a logaritmului natural
15. Derivata unei functii logaritmice
16. Derivată a exponentului
17. Derivata unei functii exponentiale

Reguli de diferențiere

1. Derivată a unei sume sau diferențe
2. Derivat al produsului
2a. Derivată a unei expresii înmulțită cu un factor constant
3. Derivată a coeficientului
4. Derivata unei functii complexe

Regula 1.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci funcțiile sunt diferențiabile în același punct

și

acestea. derivata unei sume algebrice de funcții este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții.

Consecinţă. Dacă două funcții diferențiabile diferă printr-un termen constant, atunci derivatele lor sunt egale, adică

Regula 2.Dacă funcţiile

sunt diferențiabile la un moment dat, atunci produsul lor este diferențiabil în același punct

și

acestea. Derivata produsului a două funcții este egală cu suma produselor fiecăreia dintre aceste funcții și derivata celeilalte.

Corolarul 1. Factorul constant poate fi scos din semnul derivatei:

Corolarul 2. Derivata produsului mai multor functii diferentiabile este egala cu suma produselor derivatei fiecarui factor si a tuturor celorlalti.

De exemplu, pentru trei multiplicatori:

Regula 3.Dacă funcţiile

diferentiabil la un moment dat Și , atunci în acest moment și coeficientul lor este diferențiabilu/v și

acestea. derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorului, iar numitorul este pătratul fostul numărător.

Unde să cauți lucruri pe alte pagini

La găsirea derivatei unui produs și a unui coeficient în probleme reale, este întotdeauna necesar să se aplice mai multe reguli de diferențiere simultan, așa că există mai multe exemple despre aceste derivate în articol„Derivată a produsului și coeficientul de funcții”.

Cometariu. Nu trebuie să confundați o constantă (adică un număr) ca termen dintr-o sumă și ca factor constant! În cazul unui termen, derivata acestuia este egală cu zero, iar în cazul unui factor constant, se scoate din semnul derivatelor. Acest greseala tipica, care are loc în stadiul inițial de studiere a derivatelor, dar pe măsură ce studentul obișnuit rezolvă mai multe exemple cu una și două părți, nu mai face această greșeală.

Și dacă, la diferențierea unui produs sau a unui coeficient, ai un termen u"v, in care u- un număr, de exemplu, 2 sau 5, adică o constantă, atunci derivata acestui număr va fi egală cu zero și, prin urmare, întregul termen va fi egal cu zero (acest caz este discutat în exemplul 10).

O altă greșeală comună este rezolvarea mecanică a derivatei unei funcții complexe ca derivată a unei funcții simple. De aceea derivata unei functii complexe este dedicat un articol separat. Dar mai întâi vom învăța să găsim derivate ale funcțiilor simple.

Pe parcurs, nu te poți descurca fără transformarea expresiilor. Pentru a face acest lucru, poate fi necesar să deschideți manualul în ferestre noi. Acțiuni cu puteri și rădăciniȘi Operații cu fracții .

Dacă căutați soluții la derivatele fracțiilor cu puteri și rădăcini, adică atunci când funcția arată ca , apoi urmați lecția „Derivată de sume de fracții cu puteri și rădăcini”.

Dacă aveți o sarcină ca , apoi veți lua lecția „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple”.

Exemple pas cu pas - cum să găsiți derivatul

Exemplul 3. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Definim părțile expresiei funcției: întreaga expresie reprezintă un produs, iar factorii săi sunt sume, în al doilea dintre care unul dintre termeni conține un factor constant. Aplicam regula de diferentiere a produsului: derivata produsului a doua functii este egala cu suma produselor fiecareia dintre aceste functii prin derivata celeilalte:

În continuare, aplicăm regula de diferențiere a sumei: derivata sumei algebrice a funcțiilor este egală cu suma algebrică a derivatelor acestor funcții. În cazul nostru, în fiecare sumă al doilea termen are semnul minus. În fiecare sumă vedem atât o variabilă independentă, a cărei derivată este egală cu unu, cât și o constantă (număr), a cărei derivată este egală cu zero. Deci, „X” se transformă în unu, iar minus 5 se transformă în zero. În a doua expresie, „x” este înmulțit cu 2, așa că înmulțim doi cu aceeași unitate ca și derivata lui „x”. Obținem următoarele valori derivate:

Inlocuim derivatele gasite in suma produselor si obtinem derivata intregii functii ceruta de conditia problemei:

Și puteți verifica soluția problemei derivate pe.

Exemplul 4. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. Ni se cere să găsim derivata coeficientului. Aplicăm formula de diferențiere a câtului: derivata câtului a două funcții este egală cu o fracție, al cărei numărător este diferența dintre produsele numitorului și derivata numărătorului și numărătorului și derivata numitorul, iar numitorul este pătratul fostului numărător. Primim:

Am găsit deja derivata factorilor din numărător în exemplul 2. De asemenea, să nu uităm că produsul, care este al doilea factor la numărător în exemplul curent, este luat cu semnul minus:

Dacă căutați soluții la probleme în care trebuie să găsiți derivata unei funcții, unde există o grămadă continuă de rădăcini și puteri, cum ar fi, de exemplu, , atunci bun venit la curs „Derivată a sumelor fracțiilor cu puteri și rădăcini” .

Dacă trebuie să aflați mai multe despre derivatele sinusurilor, cosinusurilor, tangentelor și altor funcții trigonometrice, adică atunci când funcția arată ca , apoi o lecție pentru tine „Derivate ale funcțiilor trigonometrice simple” .

Exemplul 5. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un produs, unul dintre factorii căruia este rădăcina pătrată a variabilei independente, a cărei derivată ne-am familiarizat în tabelul de derivate. Folosind regula de diferențiere a produsului și a valorii tabelare a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Puteți verifica soluția problemei derivate la calculator de derivate online .

Exemplul 6. Aflați derivata unei funcții

Soluţie. În această funcție vedem un coeficient al cărui dividend este rădăcina pătrată a variabilei independente. Folosind regula de diferențiere a coeficientilor, pe care am repetat-o ​​și aplicată în exemplul 4, și valoarea tabelată a derivatei rădăcinii pătrate, obținem:

Pentru a scăpa de o fracție din numărător, înmulțiți numărătorul și numitorul cu .

Demonstrați singur formulele 3 și 5.

REGULI DE BAZĂ DE DIFERENȚARE

Folosind metoda generală de găsire a derivatei folosind limita, se pot obține cele mai simple formule de diferențiere. Lăsa u=u(x),v=v(x)– două funcții diferențiabile ale unei variabile X.

Demonstrați singur formulele 1 și 2.

Dovada formulei 3.

Lăsa y = u(x) + v(x). Pentru valoarea argumentului X+Δ X avem y(X+Δ X)=u(X+Δ X) + v(X+Δ X).

Δ y=y(X+Δ X) – y(x) = u(x+Δ X) + v(x+Δ X) – u(x) – v(x) = Δ u +Δ v.

Prin urmare,

Dovada formulei 4.

Lăsa y=u(x)·v(x). Apoi y(X+Δ X)=u(X+Δ X)· v(X+Δ X), De aceea

Δ y=u(X+Δ X)· v(X+Δ X) – u(X)· v(X).

Rețineți că, deoarece fiecare dintre funcții uȘi v diferentiabil la punct X, atunci ele sunt continue în acest punct, ceea ce înseamnă u(X+Δ X)→u(x), v(X+Δ X)→v(x), la Δ X→0.

Prin urmare putem scrie

Pe baza acestei proprietăți, se poate obține o regulă de diferențiere a produsului oricărui număr de funcții.

Să, de exemplu, y=u·v·w. Apoi,

y " = u "·( v w) + u·( v·w) " = u "· v·w + u·( v„·w + v·w ") = u "· v·w + u· v„·w + u·v·w ".

Dovada formulei 5.

Lăsa . Apoi

În dovadă am folosit faptul că v(x+Δ X)→v(x) la Δ X→0.

Exemple.

TEOREMA PRIVIND DERIVATA FUNCȚIEI COMPLEXE

Lăsa y = f(u), A u= u(X). Obținem funcția y in functie de argument X: y = f(u(x)). Ultima funcție se numește funcție a unei funcții sau functie complexa.

Domeniul de definire a funcției y = f(u(x)) este fie întregul domeniu de definire al funcției u=u(X) sau acea parte în care sunt determinate valorile u, fără a părăsi domeniul de definire a funcției y= f(u).

Operația „funcție din funcție” poate fi efectuată nu o singură dată, ci de orice număr de ori.

Să stabilim o regulă pentru diferențierea unei funcții complexe.

Teorema. Dacă funcţia u= u(X) are la un moment dat x 0 derivată și ia valoarea în acest moment tu 0 = u(x 0), și funcția y=f(u) are la un moment dat tu 0 derivat y"u = f "(tu 0), apoi o funcție complexă y = f(u(x))în punctul specificat x 0 are și o derivată, care este egală cu y" x = f "(tu 0)· u "(x 0), unde în loc de u expresia trebuie substituită u= u(X).

Astfel, derivata unei funcții complexe este egală cu produsul derivatei unei funcții date în raport cu argumentul intermediar u la derivata argumentului intermediar cu privire la X.

Dovada. Pentru o valoare fixă X 0 vom avea u 0 =u(X 0), la 0 =f(u 0 ). Pentru o nouă valoare a argumentului x 0+Δ X:

Δ u= u(x 0 + Δ X) – u(X 0), Δ y=f(tu 0+Δ u) – f(tu 0).

Deoarece u– diferentiabil la un punct x 0, Acea u– este continuă în acest moment. Prin urmare, la Δ X→0 Δ u→0. În mod similar pentru Δ u→0 Δ y→0.

După condiție . Din această relație, folosind definiția limitei, obținem (la Δ u→0)

unde α→0 la Δ u→0 și, în consecință, la Δ X→0.

Să rescriem această egalitate ca:

Δ y=y„uΔ u+α·Δ u.

Egalitatea rezultată este valabilă și pentru Δ u=0 pentru α arbitrar, deoarece se transformă în identitatea 0=0. La Δ u=0 vom presupune α=0. Să împărțim toți termenii egalității rezultate la Δ X

.

După condiție . Prin urmare, trecând la limita la Δ X→0, obținem y" x = y„u·u” x. Teorema a fost demonstrată.

Deci, să se diferențieze functie complexa y = f(u(x)), trebuie să luați derivata funcției „externe”. f, tratând argumentul său pur și simplu ca o variabilă și înmulțiți cu derivata funcției „interne” în raport cu variabila independentă.

Dacă funcţia y=f(x) poate fi reprezentat sub formă y=f(u), u=u(v), v=v(x), atunci găsirea derivatei y " x se realizează prin aplicarea secvenţială a teoremei anterioare.

Conform regulii dovedite, avem y" x = y"u u„x. Aplicând aceeași teoremă pentru u„x obținem, adică

y" x = y" X u„v v" x = f"u( u)· u" v ( v)· v" X ( X).

Exemple.

CONCEPTUL DE FUNCȚIE INVERSA

Să începem cu un exemplu. Luați în considerare funcția y= x 3. Vom lua în considerare egalitatea y= x 3 ca o ecuație relativă X. Aceasta este ecuația pentru fiecare valoare la definește o singură valoare X: . Geometric, asta înseamnă că fiecare linie dreaptă paralel cu axa Bou intersectează graficul unei funcții y= x 3 doar la un moment dat. Prin urmare, putem lua în considerare X ca o funcție a y. O funcție se numește inversul unei funcții y= x 3.

Înainte de a trece la cazul general, introducem definiții.

Funcţie y = f(x) numit crescând pe un anumit segment, dacă valoarea mai mare a argumentului X din acest segment corespunde unei valori mai mari a functiei, i.e. Dacă X 2 >X 1, atunci f(x 2 ) > f(x 1 ).

Funcția este numită în mod similar in scadere, dacă o valoare mai mică a argumentului corespunde unei valori mai mari a funcției, i.e. Dacă X 2 < X 1, atunci f(x 2 ) > f(x 1 ).

Deci, să ni se dea o funcție crescătoare sau descrescătoare y=f(x), definit pe un anumit interval [ A; b]. Pentru certitudine, vom lua în considerare o funcție crescătoare (pentru una descrescătoare totul este similar).

Luați în considerare două valori diferite X 1 și X 2. Lăsa y 1 =f(x 1 ), y 2 =f(x 2 ). Din definiţia unei funcţii crescătoare rezultă că dacă X 1 <X 2, atunci la 1 <la 2. Prin urmare, două valori diferite X 1 și X 2 corespunde la două valori diferite ale funcției la 1 și la 2. Este adevărat și contrariul, adică. Dacă la 1 <la 2, apoi din definiția unei funcții crescătoare rezultă că X 1 <X 2. Acestea. din nou două valori diferite la 1 și la 2 corespunde la două valori diferite X 1 și X 2. Astfel, între valori Xși valorile corespunzătoare acestora y se stabilește o corespondență unu-la-unu, adică ecuația y=f(x) pentru fiecare y(luat din intervalul funcției y=f(x)) definește o singură valoare X, și putem spune asta X există o funcție de argument y: x= g(y).

Această funcție este numită verso pentru functie y=f(x). Evident, funcția y=f(x) este inversul funcției x=g(y).

Rețineți că funcția inversă x=g(y) găsit prin rezolvarea ecuației y=f(x) relativ X.

Exemplu. Să fie dată funcția y= e x . Această funcție crește la –∞< X <+∞. Она имеет обратную функцию X= jurnal y. Domeniul funcției inverse 0< y < + ∞.

Să facem câteva comentarii.

Nota 1. Dacă o funcţie crescătoare (sau descrescătoare). y=f(x) este continuă pe intervalul [ A; b], și f(a)=c, f(b)=d, atunci funcția inversă este definită și continuă pe intervalul [ c; d].

Nota 2. Dacă funcţia y=f(x) nu este nici crescător, nici descrescător pe un anumit interval, atunci poate avea mai multe funcții inverse.

Exemplu. Funcţie y=x2 definit la –∞<X<+∞. Она не является ни возрастающей, ни убывающей и не имеет обратной функции. Однако, если мы рассмотриминтервал 0≤X<+∞, то здесь функция является возрастающей и обратной для нее будет . На интервале – ∞ <X Funcția ≤ 0 – scade și inversul acesteia.

Nota 3. Dacă funcţiile y=f(x)Și x=g(y) sunt reciproc inverse, atunci ele exprimă aceeași relație între variabile XȘi y. Prin urmare, graficul ambelor este aceeași curbă. Dar dacă notăm din nou argumentul funcției inverse cu X, iar funcția prin yși trasați-le în același sistem de coordonate, vom obține două grafice diferite. Este ușor de observat că graficele vor fi simetrice față de bisectoarea primului unghi de coordonate.

TEOREMA PRIVIND FUNCȚIA DERIVATĂ INVERSĂ

Să demonstrăm o teoremă care ne permite să aflăm derivata funcției y=f(x), cunoscând derivata funcției inverse.

Teorema. Daca pentru functie y=f(x) există o funcție inversă x=g(y), care la un moment dat la 0 are o derivată g "(v 0), diferit de zero, apoi în punctul corespunzător x 0=g(x 0) funcție y=f(x) are un derivat f "(x 0), egal cu , i.e. formula este corecta.

Dovada. Deoarece x=g(y) diferentiabil la punct y 0, Acea x=g(y) este continuă în acest punct, deci funcția y=f(x) continuu la un punct x 0=g(y 0). Prin urmare, la Δ X→0 Δ y→0.

Să arătăm asta .

Lăsa . Apoi, prin proprietatea limitei . Să trecem în această egalitate la limita la Δ y→0. Apoi Δ X→0 și α(Δx)→0, adică. .

Prin urmare,

,

Q.E.D.

Această formulă poate fi scrisă sub forma .

Să ne uităm la aplicarea acestei teoreme folosind exemple.

Calculul derivatului se găsește adesea în sarcinile de examinare unificată de stat. Această pagină conține o listă de formule pentru găsirea derivatelor.

Reguli de diferențiere

1. (k⋅ f(x))′=k⋅ f ′(x).
2. (f(x)+g(x))′=f′(x)+g′(x).
3. (f(x)⋅ g(x))′=f′(x)⋅ g(x)+f(x)⋅ g′(x).
4. Derivată a unei funcții complexe. Dacă y=F(u) și u=u(x), atunci funcția y=f(x)=F(u(x)) se numește o funcție complexă a lui x. Egal cu y′(x)=Fu′⋅ ux′.
5. Derivată a unei funcții implicite. Funcția y=f(x) se numește o funcție implicită definită prin relația F(x,y)=0 dacă F(x,f(x))≡0.
6. Derivată a funcției inverse. Dacă g(f(x))=x, atunci funcția g(x) se numește funcția inversă a funcției y=f(x).
7. Derivată a unei funcții definite parametric. Fie x și y specificate ca funcții ale variabilei t: x=x(t), y=y(t). Ei spun că y=y(x) este o funcție definită parametric pe intervalul x∈ (a;b), dacă pe acest interval ecuația x=x(t) poate fi exprimată ca t=t(x) și funcția y=y(t(x))=y(x).
8. Derivată a unei funcții putere-exponențială. Găsit luând logaritmi la baza logaritmului natural.

Vă sfătuim să salvați linkul, deoarece acest tabel poate fi necesar de mai multe ori.