Funcții trigonometrice inverse. Grafice funcție Arcsin x 2 grafic

Definiție și notare

Arcsin (y = arcsin x) este funcția inversă a sinusului (x = siny -1 ≤ x ≤ 1și setul de valori -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(arcsin x) = x ;
arcsin(sin x) = x .

Arcsinul este uneori notat după cum urmează:
.

Graficul funcției arcsinus

Graficul funcției y = arcsin x

Graficul arcsinus se obține din graficul sinus dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arcsinusului.

Arccosine, arccos

Definiție și notare

Arccosinus (y = arccos x) este funcția inversă a cosinusului (x = ca si). Are un domeniu de aplicare -1 ≤ x ≤ 1și multe sensuri 0 ≤ y ≤ π.
cos(arccos x) = x ;
arccos(cos x) = x .

Arccosinul este uneori notat după cum urmează:
.

Graficul funcției arc cosinus

Graficul funcției y = arccos x

Graficul arc-cosinus este obținut din graficul cosinus dacă axele absciselor și ordonatelor sunt schimbate. Pentru a elimina ambiguitatea, intervalul de valori este limitat la intervalul în care funcția este monotonă. Această definiție se numește valoarea principală a arcului cosinus.

Paritate

Funcția arcsinus este impară:
arcsin(- x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Funcția arc cosinus nu este pară sau impară:
arccos(- x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Proprietăți - extreme, creștere, scădere

Funcțiile arcsinus și arccosinus sunt continue în domeniul lor de definiție (vezi dovada continuității). Principalele proprietăți ale arcsinusului și arccosinului sunt prezentate în tabel.

	y= arcsin x	y= arccos x
Domeniul de aplicare și continuitatea	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Gama de valori
Urcând, coborând	crește monoton	scade monoton
Înalte
Minime
Zerouri, y = 0	x = 0	x = 1
Interceptarea punctelor cu axa ordonatelor, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabel de arcsinus și arccosinus

Acest tabel prezintă valorile arcsinusurilor și arccosinusului, în grade și radiani, pentru anumite valori ale argumentului.

X	arcsin x		arccos x
	grindină	bucuros.	grindină	bucuros.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formule

Vezi si: Derivarea formulelor pentru funcții trigonometrice inverse

Formule de sumă și diferență

la sau

la şi

la şi

la sau

la şi

la şi

la

la

la

la

Expresii prin logaritmi, numere complexe

Vezi si: Formule derivate

Expresii prin funcții hiperbolice

Derivate

;
.
Vezi Derivarea derivaților arcsinus și arccosinus > > >

Derivate de ordin superior:
,
unde este un polinom de grad . Acesta este determinat de formulele:
;
;
.

Vezi Derivarea derivatelor de ordin superior ale arcsinusului și arccosinului > > >

Integrale

Facem substituția x = sin t. Integram pe parti, tinand cont ca -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, cos t ≥ 0:
.

Să exprimăm arc cosinus prin arc sinus:
.

Extinderea seriei

Când |x|< 1 are loc următoarea descompunere:
;
.

Funcții inverse

Inversurile arcsinusului și arccosinusului sunt sinus și, respectiv, cosinus.

Următoarele formule valabil pe întregul domeniu al definiției:
sin(arcsin x) = x
cos(arccos x) = x .

Următoarele formule sunt valabile numai pentru setul de valori arcsinus și arccosinus:
arcsin(sin x) = x la
arccos(cos x) = x la .

Referinte:
ÎN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Manual de matematică pentru ingineri și studenți, „Lan”, 2009.

Vezi si:

GRAFICA FUNCȚIILOR

Funcția sinusoidală

- o multime de R toate numerele reale.

Valori cu funcții multiple— segmentul [-1; 1], adică functie sinus - limitat.

Funcție impară: sin(−x)=−sin x pentru tot x ∈ R.

Funcția este periodică

sin(x+2π k) = sin x, unde k ∈ Z pentru toate x ∈ R.

sin x = 0 pentru x = π k , k ∈ Z.

sin x > 0(pozitiv) pentru toate x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

sin x< 0 (negativ) pentru toate x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Funcția cosinus

Domeniul funcției- o multime de R toate numerele reale.

Valori cu funcții multiple— segmentul [-1; 1], adică funcția cosinus - limitat.

Funcție uniformă: cos(−x)=cos x pentru tot x ∈ R.

Funcția este periodică cu cea mai mică perioadă pozitivă 2π:

cos(x+2π k) = cos x, unde k ∈ Z pentru toate x ∈ R.

cos x = 0 la
cos x > 0 pentru toți
cos x< 0 pentru toți
Funcția crește de la -1 la 1 la intervale:
Funcția este în scădere de la -1 la 1 la intervale:
Cea mai mare valoare a funcției sin x = 1 la punctele:
Cea mai mică valoare a funcției sin x = −1 la punctele:

Funcția tangentă

Valori cu funcții multiple— întreaga linie numerică, adică tangentă - funcție nelimitat.

Funcție impară: tg(−x)=−tg x
Graficul funcției este simetric față de axa OY.

Funcția este periodică cu cea mai mică perioadă pozitivă π, adică tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z pentru toți x din domeniul definiției.

Funcția cotangentă

Valori cu funcții multiple— întreaga linie numerică, adică cotangent - funcție nelimitat.

Funcție impară: ctg(−x)=−ctg x pentru toți x din domeniul definiției.
Graficul funcției este simetric față de axa OY.

Funcția este periodică cu cea mai mică perioadă pozitivă π, adică cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z pentru toți x din domeniul definiției.

Funcția arcsinus

Domeniul funcției— segmentul [-1; 1]

Valori cu funcții multiple- segment -π /2 arcsin x π /2, i.e. arcsinus - funcție limitat.

Funcție impară: arcsin(−x)=−arcsin x pentru tot x ∈ R.
Graficul funcției este simetric față de origine.

De-a lungul întregii zone de definire.

Funcția arc cosinus

Domeniul funcției— segmentul [-1; 1]

Valori cu funcții multiple— segmentul 0 arccos x π, i.e. arccosin - funcție limitat.

Funcția este în creștere pe întreaga zonă de definire.

Funcția arctangentă

Domeniul funcției- o multime de R toate numerele reale.

Valori cu funcții multiple— segmentul 0 π, i.e. arctangent - funcție limitat.

Funcție impară: arctg(−x)=−arctg x pentru tot x ∈ R.
Graficul funcției este simetric față de origine.

Funcția este în creștere pe întreaga zonă de definire.

Funcția arc tangentă

Domeniul funcției- o multime de R toate numerele reale.

Valori cu funcții multiple— segmentul 0 π, i.e. arccotangent - funcție limitat.

Funcția nu este nici pară, nici impară.
Graficul funcției nu este asimetric nici față de origine, nici față de axa Oy.

Funcția este în scădere pe întreaga zonă de definire.

Probleme legate de funcțiile trigonometrice inverse sunt adesea oferite la examenele finale școlare și la examenele de admitere la unele universități. Un studiu detaliat al acestui subiect poate fi realizat numai în cursuri opționale sau cursuri opționale. Cursul propus este conceput pentru a dezvolta abilitățile fiecărui student cât mai deplin posibil și pentru a-și îmbunătăți pregătirea matematică.

Cursul durează 10 ore:

1.Funcțiile arcsin x, arccos x, arctg x, arcctg x (4 ore).

2.Operatii pe functii trigonometrice inverse (4 ore).

3. Operații trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice (2 ore).

Lecția 1 (2 ore) Subiect: Funcții y = arcsin x, y = arccos x, y = arctan x, y = arcctg x.

Scop: acoperire completă a acestei probleme.

1.Funcția y = arcsin x.

a) Pentru funcția y = sin x pe segment există o funcție inversă (cu o singură valoare), pe care am convenit să o numim arcsinus și să o notăm astfel: y = arcsin x. Graficul funcției inverse este simetric cu graficul funcției principale în raport cu bisectoarea unghiurilor de coordonate I - III.

Proprietățile funcției y = arcsin x.

1) Domeniu de definire: segment [-1; 1];

2)Zona de schimbare: segment;

3)Funcția y = arcsin x impar: arcsin (-x) = - arcsin x;

4) Funcția y = arcsin x este monoton crescător;

5) Graficul intersectează axele Ox, Oy la origine.

Exemplul 1. Găsiți a = arcsin. Acest exemplu poate fi formulat în detaliu după cum urmează: găsiți un argument a, situat în intervalul de la până la, al cărui sinus este egal cu.

Soluţie. Există nenumărate argumente al căror sinus este egal cu , de exemplu: etc. Dar ne interesează doar argumentul care este pe segment. Acesta ar fi argumentul. Asa de, .

Exemplul 2. Găsiți .Soluţie. Argumentând în același mod ca în exemplul 1, obținem .

b) exerciții orale. Găsiți: arcsin 1, arcsin (-1), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin, arcsin(), arcsin 0. Exemplu de răspuns: , deoarece . Au sens expresiile: ; arcsin 1,5; ?

c) Aranjați în ordine crescătoare: arcsin, arcsin (-0,3), arcsin 0,9.

II. Funcții y = arccos x, y = arctg x, y = arcctg x (similar).

Lecția 2 (2 ore) Tema: Funcții trigonometrice inverse, graficele lor.

Scop: în această lecție este necesară dezvoltarea abilităților în determinarea valorilor funcțiilor trigonometrice, în construirea graficelor de funcții trigonometrice inverse folosind D (y), E (y) și transformările necesare.

În această lecție, finalizați exerciții care includ găsirea domeniului definiției, domeniul valorii funcțiilor de tip: y = arcsin, y = arccos (x-2), y = arctg (tg x), y = arccos.

Ar trebui să construiți grafice ale funcțiilor: a) y = arcsin 2x; b) y = 2 arcsin 2x; c) y = arcsin;

d) y = arcsin; e) y = arcsin; e) y = arcsin; g) y = | arcsin | .

Exemplu. Să diagramăm y = arccos

Puteți include următoarele exerciții în teme: construiți grafice ale funcțiilor: y = arccos, y = 2 arcctg x, y = arccos | x | .

Grafice ale funcțiilor inverse

Lecția nr. 3 (2 ore) Subiect:

Operații pe funcții trigonometrice inverse.

Scop: extinderea cunoștințelor matematice (acest lucru este important pentru cei care intră în specialități cu cerințe crescute pentru pregătirea matematică) prin introducerea relațiilor de bază pentru funcțiile trigonometrice inverse.

Material pentru lecție.

Câteva operații trigonometrice simple pe funcții trigonometrice inverse: sin (arcsin x) = x , i xi ? 1; cos (arсcos x) = x, i xi? 1; tg (arctg x)= x , x I R; ctg (arcctg x) = x , x I R.

Exerciții.

a) tg (1,5 + arctg 5) = - ctg (arctg 5) = .

ctg (arctg x) = ; tg (arcctg x) = .

b) cos ( + arcsin 0,6) = - cos (arcsin 0,6). Fie arcsin 0,6 = a, sin a = 0,6;

cos (arcsin x) = ; sin (arccos x) = .

Notă: luăm semnul „+” în fața rădăcinii deoarece a = arcsin x satisface .

c) sin (1,5 + arcsin) Răspuns: ;

d) ctg ( + arctg 3).

e) tg ( – arcctg 4 Răspuns: .

e) cos (0,5 + arccos). Răspuns: .

Calculati:

a) sin (2 arctan 5) .

Fie arctan 5 = a, apoi sin 2 a = sau sin (2 arctan 5) = ;

b) cos ( + 2 arcsin 0,8 Răspuns: 0,28).

c) arctg + arctg.

Fie a = arctan, b = arctan,

atunci tg(a + b) = .

d) sin (arcsin + arcsin).

e) Demonstrați că pentru toate x I [-1; 1] adevărat arcsin x + arccos x = .

Dovada:

arcsin x = – arccos x

sin (arcsin x) = sin ( – arccos x)

x = cos (arccos x)

Pentru a o rezolva singur: sin (arccos), cos (arcsin), cos (arcsin ()), sin (arctg (- 3)), tg (arccos), ctg (arccos).

Pentru o soluție acasă: 1) sin (arcsin 0,6 + arctan 0); 2) arcsin + arcsin ; 3) ctg ( – arccos 0,6); 4) cos (2 arcctg 5) ; 5) sin (1,5 – arcsin 0,8); 6) arctg 0,5 – arctg 3.

Lecția nr. 4 (2 ore) Tema: Operații asupra funcțiilor trigonometrice inverse.

Scop: În această lecție, demonstrați utilizarea rapoartelor în transformarea expresiilor mai complexe.

Material pentru lecție.

ORAL:

a) sin (arccos 0,6), cos (arcsin 0,8);

b) tg (arcсtg 5), ctg (arctg 5);

c) sin (arctg -3), cos (arcсtg());

d) tg (arccos), ctg (arccos()).

ÎN SCRIS:

1) cos (arcsin + arcsin + arcsin).

2) cos (arctg 5–arccos 0.8) = cos (arctg 5) cos (arccos 0.8) + sin (arctg 5) sin (arccos 0.8) =

3) tg ( - arcsin 0,6) = - tg (arcsin 0,6) =

4)

Munca independentă va ajuta la identificarea nivelului de stăpânire a materialului.

1) tg (arctg 2 – arctg) 2) cos( - arctan2) 3) arcsin + arccos	1) cos (arcsin + arcsin) 2) sin (1,5 - arctan 3) 3) arcctg3 – arctg 2

Pentru teme pentru acasă putem sugera:

1) ctg (arctg + arctg + arctg); 2) sin 2 (arctg 2 – arcctg ()); 3) sin (2 arctg + tan ( arcsin )); 4) sin(2 arctan); 5) tg ( ( arcsin ))

Lecția nr. 5 (2 ore) Tema: Operații trigonometrice inverse pe funcții trigonometrice.

Scop: formarea înțelegerii de către elevi a operațiilor trigonometrice inverse asupra funcțiilor trigonometrice, concentrându-se pe creșterea înțelegerii teoriei studiate.

La studierea acestei teme, se presupune că volumul de material teoretic de memorat este limitat.

Material pentru lecție:

Puteți începe să învățați material nou studiind funcția y = arcsin (sin x) și trasând-o.

3. Fiecare x I R este asociat cu y I, i.e.<= y <= такое, что sin y = sin x.

4. Funcția este impară: sin(-x) = - sin x; arcsin(sin(-x)) = - arcsin(sin x).

6. Graficul y = arcsin (sin x) pe:

a) 0<= x <= имеем y = arcsin(sin x) = x, ибо sin y = sin x и <= y <= .

b)<= x <= получим y = arcsin (sin x) = arcsin ( - x) = - x, ибо

sin y = sin ( – x) = sin x , 0<= - x <= .

Asa de,

După ce am construit y = arcsin (sin x) pe , continuăm simetric față de originea coordonatelor pe [- ; 0], având în vedere ciudatenia acestei funcții. Folosind periodicitatea, continuăm de-a lungul întregii drepte numerice.

Apoi notează câteva relații: arcsin (sin a) = a if<= a <= ; arccos (cos A ) = a dacă 0<= a <= ; arctg (tg a) = a if< a < ; arcctg (ctg a) = a , если 0 < a < .

Și faceți următoarele exerciții:a) arccos(sin 2).Răspuns: 2 - ; b) arcsin (cos 0,6 Răspuns: - 0,1); c) arctg (tg 2) Răspuns: 2 - ;

d) arcctg(tg 0,6).Raspuns: 0,9; e) arccos (cos ( - 2)). e) arcsin (sin ( - 0,6)). Răspuns: - 0,6; g) arctg (tg 2) = arctg (tg (2 - )). Raspuns: 2 - ; h) аrcctg (tg 0,6). Răspuns: - 0,6; - arctan x; e) arccos + arccos