Găsirea proiecției unui vector pe o axă. Proiectii ale vectorilor pe axe de coordonate. Tipuri de proiectii prin definitie proiectie vectoriala

Fie dată axa l în spațiu, adică o dreaptă direcționată.

Proiecția punctului M pe axa l este baza M 1 a perpendicularei MM 1 coborâtă din punct spre axă.

Punctul M 1 este punctul de intersecție al axei l cu un plan care trece prin punctul M perpendicular pe axă (vezi Fig. 7).

Dacă punctul M se află pe axa l, atunci proiecția punctului M pe axă coincide cu M1.

Fie AB un vector arbitrar (AB¹ 0). Să notăm cu A 1 și b 1 proiecțiile pe axa l, respectiv, a începutului A și a sfârșitului B a vectorului AB și să considerăm vectorul A 1 B 1

Proiecția vectorului AB pe axa l este numărul pozitiv |A 1 B 1 | , dacă vectorul A 1 B 1 și axa l sunt egal direcționate și numărul negativ este |A 1 B 1 | , dacă vectorul A 1 B 1 și axa l sunt direcționate opus (vezi Fig. 8). Dacă punctele a 1 și b 1 coincid (A 1 B 1 = 0), atunci proiecția vectorului AB este egală cu 0.

Proiecția vectorului AB pe axa l se notează astfel: pr l AB. Dacă AB=0 sau AB^l, atunci pr l AB=0.

Unghiul j dintre vectorul a și axa l (sau unghiul dintre doi vectori) este prezentat în figura 9. Evident, 0£j£p

Să ne uităm la câteva proprietăți de bază ale proiecțiilor.

Proprietatea 1. Proiecția vectorului a pe axa l este egală cu produsul dintre modulul vectorului a și cosinusul unghiului j dintre vector și axă, adică pr l a =|a | cos j .

Corolarul 5.1. Proiecția vectorului pe axă este pozitivă (negativă) dacă vectorul formează un unghi ascuțit (obtuz) cu axa și este egală cu zero dacă acest unghi este drept.

Corolarul 5.2. Proiecțiile vectorilor egali pe aceeași axă sunt egale între ele.

Proprietatea 2. Proiecția sumei mai multor vectori pe aceeași axă este egală cu suma proiecțiilor lor pe această axă

Proprietatea 3. Când un vector a este înmulțit cu un număr A, proiecția lui pe axă se înmulțește și cu acest număr, adică.

Astfel, operațiile liniare pe vectori conduc la operații liniare corespunzătoare asupra proiecțiilor acestor vectori.

5.4. Descompunerea unui vector în vectori unitari ai axelor de coordonate.
Modul vectorial. Cosinusuri de direcție.

Să luăm în considerare în spațiu sistem dreptunghiular Coordonatele Oxyz. Să selectăm vectori unitari (orturi) pe axele de coordonate Ox, Oy și Oz, notate i, j, k, respectiv (vezi Fig. 12).

Să alegem un vector arbitrar a de spațiu și să potrivim originea acestuia cu originea coordonatelor: a = OM.

Să găsim proiecțiile vectorului a pe axele de coordonate. Să desenăm plane paralele cu planurile de coordonate până la sfârșitul vectorului OM. Notăm punctele de intersecție ale acestor plane cu axele prin M 1, M 2 și respectiv M3 Obținem un paralelipiped dreptunghiular, una din diagonalele căruia este vectorul OM. Atunci pr x a=|OM 1 |, np y a = |OM 2 |, pr z a=|OM3|. Prin definirea sumei mai multor vectori, găsim a = OM 1 + M 1 N + NM.

Și întrucât M 1 N=OM 2, NM = OM3, atunci

a=OM 1 + OM 2 + OM 3 (5.1)

Să notăm proiecțiile vectorului a=OM pe axele Ox, Oy și, respectiv, Oz cu a x, a y și a z, i.e. |OM 1 | = a x,|OM 2 | = a y, |OM 3 | = a z . Apoi din egalitățile (5.1) și (5.2) obținem

a=a x i+a y j+a z k (5.3)

Această formulă este de bază în calculul vectorial și se numește descompunerea unui vector în vectori unitari ai axelor de coordonate. Numerele a x, a y, a z se numesc coordonatele vectorului a, adică coordonatele vectorului sunt proiecțiile sale pe axele de coordonate corespunzătoare.

Egalitatea vectorială (5.3) este adesea scrisă sub formă simbolică: a = (a x ;a y ;a z).

Egalitatea b = (b x; b y; b z) înseamnă că b = b x i + b y j + b z k. Cunoscând proiecțiile vectorului a, puteți găsi cu ușurință o expresie pentru modulul vectorului. Pe baza teoremei lungimii diagonalei unui paralelipiped dreptunghic, putem scrie

adică modulul vectorului este egal rădăcină pătrată din suma pătratelor proiecțiilor sale pe axele de coordonate.

Fie unghiurile vectorului a cu axele Ox, Oy și Oz egale cu a, b, g, respectiv. Prin proprietatea proiecției vectoriale pe axă, avem

Sau, ce este la fel,

Numerele se numesc cosinus de direcție ale vectorului a.

Înlocuind expresiile (5.5) în egalitatea (5.4), obținem

Reducând prin obținem relația

adică suma pătratelor cosinusurilor direcției unui vector diferit de zero este egală cu unu.

Este ușor de observat că coordonatele vectorului unitar e sunt numerele

Deci, specificând coordonatele unui vector, puteți determina oricând mărimea și direcția acestuia, adică. vectorul în sine.

Definiție 1. Pe un plan, o proiecție paralelă a punctului A pe axa l este un punct - punctul de intersecție al axei l cu o dreaptă trasă prin punctul A paralel cu vectorul care specifică direcția de proiectare.

Definiție 2. Proiecția paralelă a unui vector pe axa l (față de vector) este coordonata vectorului relativ la bază axa l, unde punctele și sunt proiecții paralele ale punctelor A și B pe axa l, respectiv (Fig. 1).

Conform definiţiei pe care o avem

Definiţia 3. dacă și pe baza axei l Carteziană, adică proiecția vectorului pe axa l numite ortogonale (Fig. 2).

În spațiu, definiția 2 a proiecției vectoriale pe axă rămâne în vigoare, doar direcția de proiecție este specificată de doi vectori necoliniari (Fig. 3).

Din definiția proiecției unui vector pe o axă rezultă că fiecare coordonată a unui vector este o proiecție a acestui vector pe axa definită de vectorul de bază corespunzător. În acest caz, direcția de proiectare este specificată de alți doi vectori de bază dacă proiectul este realizat (considerat) în spațiu, sau de un alt vector de bază dacă proiectul este considerat pe un plan (Fig. 4).

Teorema 1. Proiecția ortogonală a unui vector pe axa l este egală cu produsul dintre modulul vectorului și cosinusul unghiului dintre direcția pozitivă a axei l și, i.e.

Pe cealaltă parte

Din noi găsim

Înlocuind AC în egalitatea (2), obținem

Din moment ce numerele Xși același semn în ambele cazuri luate în considerare ((Fig. 5, a) ; (Fig. 5, b), apoi din egalitate (4) rezultă

Cometariu. În cele ce urmează, vom lua în considerare doar proiecția ortogonală a vectorului pe axă și, prin urmare, cuvântul „ort” (ortogonal) va fi omis din notație.

Să prezentăm o serie de formule care sunt folosite mai târziu în rezolvarea problemelor.

a) Proiecția vectorului pe axă.

Dacă, atunci proiecția ortogonală pe vector conform formulei (5) are forma

c) Distanța de la un punct la un plan.

Fie b un plan dat cu un vector normal, M un punct dat,

d este distanța de la punctul M la planul b (fig. 6).

Dacă N este un punct arbitrar al planului b și și sunt proiecții ale punctelor M și N pe axă, atunci

• G) Distanța dintre liniile care se intersectează.

Fie a și b drepte care se încrucișează, fie un vector perpendicular pe ele, A și B fie puncte arbitrare ale dreptelor a și, respectiv, b (Fig. 7), și și proiecții ale punctelor A și B pe, atunci

e) Distanța de la un punct la o dreaptă.

Lăsa l- o linie dreaptă dată cu un vector de direcție, M - un punct dat,

N - proiecția sa pe linie l, apoi - distanța necesară (Fig. 8).

Dacă A este un punct arbitrar pe o dreaptă l, apoi în triunghi dreptunghic Se pot găsi MNA, ipotenuza MA și catete. Mijloace,

e) Unghiul dintre o dreaptă și un plan.

Fie vectorul de direcție al acestei linii l, - vector normal a unui plan dat b, - proiecția unei drepte l la planul b (Fig. 9).

După cum se știe, unghiul μ dintre o linie dreaptă l iar proiecția sa pe planul b se numește unghiul dintre linie și plan. Avem

Să dăm exemple de rezolvare a problemelor metrice folosind metoda coordonatelor vectoriale.

Fie doi vectori și să fie dat în spațiu. Să amânăm dintr-un punct arbitrar O vectori și . Unghi dintre vectori se numește cel mai mic dintre unghiuri. Desemnat .

Luați în considerare axa lși trasează pe el un vector unitar (adică un vector a cărui lungime este egală cu unu).

La un unghi între vector și axă lînțelegeți unghiul dintre vectori și .

Asa ca lasa l este o axă și este un vector.

Să notăm prin A 1Și B 1 proiecții pe axă l respectiv puncte AȘi B. Să ne prefacem că A 1 are o coordonată x 1, A B 1– coordonate x 2 pe axa l.

Apoi proiecție vector pe axă l numită diferență x 1 – x 2între coordonatele proiecțiilor capătului și începutului vectorului pe această axă.

Proiecția vectorului pe axă l vom nota .

Este clar că dacă unghiul dintre vector și axă l picant atunci x 2> x 1, și proiecție x 2 – x 1> 0; dacă acest unghi este obtuz, atunci x 2< x 1și proiecție x 2 – x 1< 0. Наконец, если вектор перпендикулярен оси l, Acea x 2= x 1Și x 2– x 1=0.

Astfel, proiecția vectorului pe axă l este lungimea segmentului A 1 B 1, luat cu un anumit semn. Prin urmare, proiecția vectorului pe axă este un număr sau un scalar.

Proiecția unui vector pe altul este determinată în mod similar. În acest caz, se găsesc proiecțiile capetelor acestui vector pe linia pe care se află al 2-lea vector.

Să ne uităm la câteva elemente de bază proprietăţile proiecţiilor.

SISTEME VECTORIALE LINEAR DEPENDENTE ȘI LINEAR INDEPENDENTE

Să luăm în considerare mai mulți vectori.

Combinație liniară dintre acești vectori este orice vector de forma , unde sunt unele numere. Numerele se numesc coeficienți de combinație liniară. Ei mai spun că în acest caz este exprimat liniar prin acești vectori, adică. se obţine din ele folosind acţiuni liniare.

De exemplu, dacă sunt dați trei vectori, atunci următorii vectori pot fi considerați combinația lor liniară:

Dacă un vector este reprezentat ca o combinație liniară a unor vectori, atunci se spune că este culcat de-a lungul acestor vectori.

Vectorii sunt numiți dependent liniar, dacă există numere, nu toate egale cu zero, astfel încât . Este clar că vectorii dați vor fi dependenți liniar dacă oricare dintre acești vectori este exprimat liniar prin ceilalți.

Altfel, i.e. când raportul efectuat numai atunci când , acești vectori sunt numiți liniar independent.

Teorema 1. Oricare doi vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coliniari.

Dovada:

Următoarea teoremă poate fi demonstrată în mod similar.

Teorema 2. Trei vectori sunt dependenți liniar dacă și numai dacă sunt coplanari.

Dovada.

BAZĂ

Bază este o colecție de vectori independenți liniar diferit de zero. Vom nota elementele bazei prin .

În paragraful anterior, am văzut că doi vectori necoliniari pe un plan sunt liniar independenți. Prin urmare, conform teoremei 1 din paragraful anterior, o bază pe un plan este oricare doi vectori necoliniari pe acest plan.

În mod similar, oricare trei vectori necoplanari sunt liniar independenți în spațiu. În consecință, numim trei vectori necoplanari o bază în spațiu.

Următoarea afirmație este adevărată.

Teorema. Să se dea o bază în spațiu. Atunci orice vector poate fi reprezentat ca o combinație liniară , Unde X, y, z- unele numere. Aceasta este singura descompunere.

Dovada.

Astfel, baza permite fiecărui vector să fie asociat în mod unic cu un triplu de numere - coeficienții de expansiune a acestui vector în vectorii de bază: . Este adevărat și invers, pentru fiecare trei numere x, y, z folosind baza, puteți compara vectorul dacă faceți o combinație liniară .

Dacă baza și , apoi numerele x, y, z sunt numite coordonate vector într-o bază dată. Coordonatele vectoriale sunt notate cu .

SISTEMUL DE COORDONATE CARTESIAN

Să fie dat un punct în spațiu Oși trei vectori necoplanari.

Sistemul de coordonate cartezieneîn spațiu (pe plan) este colecția unui punct și a unei baze, i.e. o colecție de un punct și trei vectori necoplanari (2 vectori necoliniari) care emană din acest punct.

Punct O numită origine; liniile drepte care trec prin originea coordonatelor în direcția vectorilor de bază se numesc axe de coordonate - axa abscisă, ordonată și aplicată. Planurile care trec prin axele de coordonate se numesc planuri de coordonate.

Luați în considerare un punct arbitrar în sistemul de coordonate selectat M. Să introducem conceptul de coordonate punct M. Vector care leagă originea la un punct M. numit vector rază puncte M.

Un vector din baza selectată poate fi asociat cu un triplu de numere – coordonatele sale: .

Coordonatele vectorului raza punctului M. sunt numite coordonatele punctului M. în sistemul de coordonate luat în considerare. M(x,y,z). Prima coordonată se numește abscisă, a doua este ordonată, iar a treia este aplicată.

Coordonatele carteziene de pe plan sunt determinate în mod similar. Aici punctul are doar două coordonate - abscisă și ordonată.

Este ușor de observat că pentru un anumit sistem de coordonate, fiecare punct are anumite coordonate. Pe de altă parte, pentru fiecare triplu de numere există un punct unic care are aceste numere drept coordonate.

Dacă vectorii luați ca bază în sistemul de coordonate selectat au lungimea unitară și sunt perpendiculari pe perechi, atunci sistemul de coordonate se numește dreptunghiular cartezian.

Este ușor să arăți că.

Cosinusurile direcției unui vector determină complet direcția acestuia, dar nu spun nimic despre lungimea sa.

O descriere vectorială a mișcării este utilă, deoarece într-un desen puteți descrie întotdeauna mulți vectori diferiți și puteți obține o „imagine” vizuală a mișcării în fața ochilor dumneavoastră. Cu toate acestea, folosirea unei rigle și a unui raportor de fiecare dată pentru a efectua operații cu vectori este foarte laborioasă. Prin urmare, aceste acțiuni sunt reduse la acțiuni cu numere pozitive și negative - proiecții de vectori.

Proiecția vectorului pe axă numită mărime scalară egală cu produsul dintre modulul vectorului proiectat și cosinusul unghiului dintre direcțiile vectorului și axa de coordonate selectată.

Desenul din stânga prezintă un vector de deplasare, al cărui modul este de 50 km, și direcția lui formează unghi obtuz 150° cu direcția axei X Utilizând definiția, găsim proiecția deplasării pe axa X:

sx = s cos(α) = 50 km cos(150°) = –43 km

Deoarece unghiul dintre axe este de 90°, este ușor de calculat că direcția de mișcare formează un unghi ascuțit de 60° cu direcția axei Y. Folosind definiția, găsim proiecția deplasării pe axa Y:

sy = s cos(β) = 50 km cos(60°) = +25 km

După cum puteți vedea, dacă direcția vectorului formează un unghi ascuțit cu direcția axei, proiecția este pozitivă; dacă direcția vectorului formează un unghi obtuz cu direcția axei, proiecția este negativă.

Desenul din dreapta arată un vector de viteză, al cărui modul este de 5 m/s, iar direcția formează un unghi de 30° cu direcția axei X Să găsim proiecțiile:

υx = υ cos(α) = 5 m/s cos( 30°) = +4,3 m/s
υy = υ · cos(β) = 5 m/s · cos( 120°) = –2,5 m/s

Este mult mai ușor să găsiți proiecții ale vectorilor pe axe dacă vectorii proiectați sunt paraleli sau perpendiculari pe axele selectate. Vă rugăm să rețineți că în cazul paralelismului sunt posibile două opțiuni: vectorul este co-direcțional față de axă și vectorul este opus axei, iar pentru cazul perpendicularității există o singură opțiune.

Proiecția unui vector perpendicular pe axă este întotdeauna zero (vezi sy și ay în desenul din stânga și sx și υx în desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector perpendicular pe axă, unghiul dintre acesta și axă este de 90°, deci cosinusul este zero, ceea ce înseamnă că proiecția este zero.

Proiecția unui vector codirecțional cu axa este pozitivă și egală cu valoarea sa absolută, de exemplu, sx = +s (vezi desenul din stânga). Într-adevăr, pentru un vector codirecțional cu axă, unghiul dintre acesta și axă este zero, iar cosinusul său este „+1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului: sx = x – xo = + s .

Proiecția vectorului opus axei este negativă și egală cu modulul său luat cu semnul minus, de exemplu, sy = –s (vezi desenul din dreapta). Într-adevăr, pentru un vector opus axei, unghiul dintre acesta și axă este de 180°, iar cosinusul său este „–1”, adică proiecția este egală cu lungimea vectorului luat cu semn negativ: sy = y – yo = –s .

Partea dreaptă a ambelor desene arată alte cazuri în care vectorii sunt paraleli cu una dintre axele de coordonate și perpendiculari pe cealaltă. Vă invităm să vă asigurați că și în aceste cazuri sunt respectate regulile formulate în paragrafele precedente.

Rezolvarea problemelor de echilibru al forțelor convergente prin construirea de poligoane de forțe închise implică construcții greoaie. O metodă universală pentru rezolvarea unor astfel de probleme este de a trece la determinarea proiecțiilor forțelor date pe axele de coordonate și de a opera cu aceste proiecții. O axă este o linie dreaptă căreia i se atribuie o direcție specifică.

Proiecția unui vector pe o axă este o mărime scalară, care este determinată de segmentul axei tăiat de perpendicularele căzute pe acesta de la începutul și sfârșitul vectorului.

O proiecție vectorială este considerată pozitivă dacă direcția de la începutul proiecției până la sfârșitul acesteia coincide cu direcția pozitivă a axei. O proiecție vectorială este considerată negativă dacă direcția de la începutul proiecției până la sfârșitul acesteia este opusă direcției pozitive a axei.

Astfel, proiecția forței pe axa de coordonate este egală cu produsul dintre modulul forței și cosinusul unghiului dintre vectorul forță și direcția pozitivă a axei.

Să luăm în considerare o serie de cazuri de proiectare a forțelor pe o axă:

Vector de forță F(Fig. 15) formează un unghi ascuțit cu direcția pozitivă a axei x.

Pentru a găsi proiecția, de la începutul și sfârșitul vectorului forță coborâm perpendiculare pe axă Oh; primim

1. Fx = F cos α

Proiecția vectorului în acest caz este pozitivă

Forta F(Fig. 16) este cu direcția pozitivă a axei X unghi obtuz α.

Apoi F x = F cos α, dar deoarece α = 180 0 - φ,

F x = F cos α = F cos180 0 - φ =- F cos φ.

Proiecția forței F pe axă Oh in acest caz este negativ.

Forta F(Fig. 17) perpendicular pe ax Oh.

Proiecția forței F pe axă X egal cu zero

F x = F cos 90° = 0.

Forță situată în avion cum(Fig. 18), poate fi proiectat pe două axe de coordonate OhȘi OU.

Putere F poate fi împărțit în componente: F x și F y. Modul vectorial F x este egal cu proiecția vectorului F pe axă bou, și modulul vectorial F y este egal cu proiecția vectorului F pe axă Oh.

Din Δ OAV: F x = F cos α, F x = F sin α.

Din Δ OAS: F x = F cos φ, F x = F sin φ.

Mărimea forței poate fi găsită folosind teorema lui Pitagora:

Proiecția unei sume vectoriale sau a unei rezultante pe orice axă este egală cu suma algebrică a proiecțiilor sumelor vectorilor pe aceeași axă.

Să luăm în considerare forțele convergente F 1 , F 2 , F 3, și F 4, (Fig. 19, a). Suma geometrică, sau rezultanta, a acestor forțe F determinată de latura de închidere a poligonului de forță

Să coborâm de la vârfurile poligonului de forță la axă X perpendiculare.

Având în vedere proiecțiile de forțe obținute direct din construcția finalizată, avem

F= F 1x+ F 2x+ F 3x+ F 4x

unde n este numărul de termeni vectoriali. Proiecțiile lor intră în ecuația de mai sus cu semnul corespunzător.

Într-un plan, suma geometrică a forțelor poate fi proiectată pe două axe de coordonate și, respectiv, în spațiu, pe trei.