Cum se face translația și rotația paralelă. Rotație și transfer paralel. Exemple de probleme care implică translația și rotația paralelă

Rotația este un caz special de mișcare în care cel puțin un punct al planului (spațiul) rămâne nemișcat. Când un plan se rotește, punctul fix se numește centru de rotație când spațiul se rotește, linia dreaptă fixă se numește axa de rotație; O rotație a unui plan (spațiu) se numește propriu-zis (rotație de primul fel) sau improprie (rotație de al doilea fel), în funcție de păstrarea sau nu orientarea planului (spațiului).

Pe un plan în coordonate carteziene dreptunghiulare, rotația corespunzătoare este exprimată prin formule

x" = x cos? - y sin?, y" = x sin? + ycos?,

unde este unghiul de rotație, iar centrul de rotație este ales la origine. În aceleași condiții, rotația necorespunzătoare a planului este exprimată prin formula

x" = xcos? + y sin?, y" = x sin? - y cos?.

O rotație a planului în jurul unui punct S cu un unghi direcționat ѓї este o mapare a planului pe sine care transformă fiecare punct M al planului într-un punct M` astfel încât SM = SM` și unghiul direcționat ЃЪMSM` este egal cu ѓї.

Punctul S se numește centru de rotație, iar unghiul de direcție ѓї se numește unghi de rotație. Amintiți-vă că un unghi se numește direcționat dacă este indicat care dintre laturile sale este considerată prima și care este considerată a doua.

Vom folosi un simbol pentru a indica o viraj.

În primul rând, demonstrăm că rotirea planului păstrează distanța dintre puncte. Pentru a face acest lucru, luăm două puncte diferite M și N din plan Să notăm cu M` și N` imaginile lor când sunt rotite în jurul punctului S cu un unghi direcționat ѓї. Luați în considerare triunghiurile SMN și SM`N`. În aceste triunghiuri, laturile SM și SM`, respectiv SN și SN` sunt egale.

De asemenea, este ușor să verificați că unghiurile MSN și M`SN` ale acestor triunghiuri sunt de asemenea egale. Aceasta înseamnă că triunghiurile MSN și M`SN` sunt egale. Egalitatea acestor triunghiuri implică egalitatea segmentelor MN și M`N`. Astfel, rotația planului în jurul unui punct dat cu un unghi de direcție dat este mișcare.

Pe plan, luați în considerare o rotație cu centrul în punctul S și unghiul ѓї. Să setăm PDSC astfel încât punctul S să servească drept început și vectori de coordonate i, j au fost singulari și reciproc perpendiculari. Luăm în mod arbitrar un punct M (x, y) pe planul cu coordonatele x și y relativ la PDCS Sxy. Sub influența rotației, acest punct va merge într-un punct M`(x`, y`). Să exprimăm coordonatele punctului M` prin coordonatele imaginii sale inverse, unghiul ѓї și coordonatele centrului de rotație. În triunghiul SM`Mx` lungimea catetei SMx` este egală cu |x`|, iar lungimea catetei М`Мх` este egală cu |y`|, iar în triunghiul SMMx - SMx = |x |, MMx = |y|. Să notăm cu GA unghiul de direcție pe care îl formează raza SM cu direcția pozitivă a axei absciselor (Fig. 2.2). Apoi în orientat triunghi dreptunghic Unghiul direcționat Mx`SM` ЃЪ Mx`SM` este egal cu suma unghiurilor direcționate ѓї și ѓА, iar lungimea ipotenuzei SM` este egală. Ținând cont de aceste relații, obținem că

Aceste formule sunt formule pentru rotirea planului în jurul originii cu un unghi direcționat ѓї. Folosind aceste formule, se poate arăta că rotația unui plan în jurul unui punct cu un unghi de direcție dat are următoarele proprietăți.

Proprietățile de rotație ale unui plan în jurul unui punct

1. Când un plan este rotit în jurul unui punct dat cu un unghi de direcție dat, linia dreaptă se transformă într-o linie dreaptă care formează un unghi direcționat cu linia dreaptă dată egală cu unghiul de rotație.

Dovada. Fie, raportat la sistemul de coordonate Oxy, dreapta d definită prin ecuația ax + by + c = 0, unde. Să stabilim rotația planului în jurul punctului O printr-un unghi direcționat ѓї folosind formulele (2.1.). Să găsim ecuația pentru imaginea dreptei d sub această rotație. Pentru a face acest lucru, din formulele (2.1.) exprimăm x și y prin xЃЊ și yЃЊ obținem formule de forma,

Pentru a obține ecuația imaginii dreptei d din ecuația ax + by + c = 0, înlocuim x și y cu expresiile (xЃЊ cosѓї + yЃЊ sinѓї) și (? xЃЊ sinѓї + yЃЊ cosѓї) . Ca rezultat, obținem o ecuație de formă. În partea stângă a acestei ecuații, să deschidem parantezele și să o aducem în formă

Deoarece

atunci ecuația (acosѓї ? bsinѓї)xЃЊ + (asinѓї + bcosѓї) yЃЊ + c = 0 definește o dreaptă pe plan.

2. Când se rotește în jurul unui punct dat cu un unghi de direcție dat, liniile paralele se transformă în linii paralele.
3. Rotirea planului în jurul unui punct dat cu un unghi de direcție dat păstrează relația simplă a celor trei puncte.

Dovada. În avion vom pune PDSC Ox. Să luăm în mod arbitrar două puncte și. Fie punctul M(x, y) împarte segmentul M 1 M 2 în relația ѓИ Ѓ‚ ?1. Să considerăm rotația planului în jurul punctului O cu un unghi direcționat ѓї folosind formulele (2.1.). Să notăm cu și MЃЊ (xЃЊ, yЃЊ) imaginile punctelor, iar M (x, y) sub această rotație. Să arătăm că rotația păstrează relația simplă a celor trei puncte și M (x, y) . Deoarece coordonatele punctelor și M (x, y) satisfac următoarele relații:

atunci pentru a demonstra faptul că punctul MЃЊ(xЃЊ, yЃЊ) împarte segmentul în aceeaşi relaţie ГЃЃ‚ ?1 este suficient să arătăm că

Pentru a face acest lucru, în formule

Să înlocuim cu, cu, cu, cu, cu, cu. Ca urmare, obținem relațiile

Să-l înmulțim pe primul cu cos? , iar al doilea - pe? păcat? și adună. Drept urmare, obținem egalitate. Acum să înmulțim ambele părți ale primei relații cu păcat? , iar al doilea - pe cos? și adună. Obținem egalitate.

Deci, am arătat acel punct M? (x?, y?) împarte segmentul în același raport? ? ?1, deoarece punctul împarte segmentul M 1 M 2 . Aceasta înseamnă că rotirea unui plan în jurul unui punct la un unghi dat păstrează relația simplă a trei puncte.

4. Când un plan este rotit în jurul unui punct dat cu un unghi de direcție dat, un segment trece într-un segment egal, o rază într-o rază, un semiplan într-un semiplan.
5. Când planul este rotit în jurul unui punct dat cu un unghi de direcție dat, cadrul ortonormal R se transformă în cadrul ortonormal R`.

În acest caz, punctul M cu coordonatele x și y relativ la punctul de referință R merge la punctul M` cu aceleași coordonate x și y, dar relativ la punctul de referință R`.

6. Compoziția a două rotații în jurul punctului O este o rotație cu centrul în punctul O.

7. Compoziția a două rotații ale unui plan este o rotație printr-un unghi direcționat cu centru în punctul C astfel încât, .

8. Alcătuirea a două simetrii axiale ale unui plan cu axele neparalele m1 și m2 care se intersectează în punctul O și formează un unghi direcționat este o rotație a planului în jurul punctului O.
9. Orice rotație a planului în jurul punctului O poate fi reprezentată ca o compoziție a două simetrii axiale, axa uneia dintre ele va fi dreapta p care trece prin centrul O, iar axa celeilalte va fi dreapta. linia q conţinând bisectoarea unghiului format de imaginea m' a razei m în timpul rotaţiei în jurul punctului O la un unghi dat şi în imaginea m`` a razei m` cu simetrie axială cu axa p.

La rezolvarea problemelor legate de găsirea de imagini și prototipuri forme geometrice, specificate prin condițiile lor analitice raportate la dreptunghiular Sistemul cartezian coordonate Oxy, la rotirea planului în jurul unui punct la un unghi de direcție dat, este indicat să folosiți formule care să precizeze rotația cu centrul într-un punct arbitrar S(x0, y0), diferit de originea coordonatelor. Pentru a deriva aceste formule, profităm de faptul că rotația planului transformă cadrul ortonormal R în cadrul ortonormal R`, iar orice punct M cu coordonatele (x, y) relativ la cadrul R în punctul M` cu aceleași coordonate, dar relativ rapper R`.

Pe de altă parte, punctul M` relativ la punctul de referință R` are și unele coordonate. Să le notăm cu x` și y`. Astfel, pe plan avem două sisteme de coordonate: unul dintre ele este determinat de punctul de referință R, iar celălalt de punctul de referință R`.

Pe primul îl vom numi „vechi”, iar pe al doilea „nou”. În conformitate cu aceasta, coordonatele „vechi” ale punctului M` vor fi o pereche ordonată de numere (x`, y`), iar coordonatele „noile” vor fi o pereche ordonată de numere (x, y). Folosind formule care exprimă coordonatele „vechi” ale unui punct prin cele „noile” sale atunci când trecem de la un sistem de coordonate la altul, obținem formulele:

Deoarece punctul este un punct de cotitură invariant, coordonatele sale îndeplinesc următoarele condiții:

Scăzând din ambele părți ale egalităților (2.2.) părțile corespunzătoare ale egalităților corespunzătoare (2.3.), obținem formule care exprimă coordonatele imaginii M` a punctului M prin coordonatele punctului M însuși:

Formulele (2.4) sunt formule pentru rotirea unui plan în jurul unui punct cu un unghi de direcție dat.

Rotație (rotație) - o mișcare în care cel puțin un punct
planul (spațiul) rămâne nemișcat.
În fizică, o rotație este adesea numită rotație incompletă sau, dimpotrivă,
rotația este considerată un tip special de rotație. Ultima definiție
mai strict, întrucât conceptul de rotație acoperă o zonă mult mai largă
categorie de mișcări, inclusiv cele în care traiectoria deplasării
corpul din sistemul de referință ales este o curbă deschisă.

Rotirea planului în jurul punctului O cu un unghi
numit
este mapat la un punct M1 astfel încât OM = OM1 și unghiul MOM1 este egal cu
M1
M
O

110
100
120
60
70
100
80
40
30
140
30
150
160
20
170
170
10
180
50
110
130
40
160
M160
120
50
150
70
90
130
140
80
180
0
DESPRE
M
20
10
0

A1
ÎN 1
A
DESPRE
ÎN

Rotiți un segment.
O
O

Centrul de rotație al formei
poate în interior
zonele figurii și
extern...
O

La întoarcere
este nevoie de poligon
rotiți fiecare
top.
O

10.

Transferul paralel este un caz special de mișcare în care totul
punctele din spațiu se mișcă în aceeași direcție
aceeasi distanta. În caz contrar, dacă M este inițial și M" este
poziția deplasată a punctului, atunci vectorul MM" este același pentru toți
perechi de puncte corespunzând între ele într-o transformare dată.
Translația paralelă mută fiecare punct al unei figuri sau
spatiu la aceeasi distanta in acelasi
direcţie.

11.

A
Transfer paralel la vector
numit
maparea planului pe el însuși, în care fiecare punct M
este mapat la un punct M1 astfel încât vectorul MM1 este egal cu vectorul
M

Să introducem definiția translației paralele la un vector. Să ni se dă un vector $\overrightarrow(a)$.

Definiția 1

Translația paralelă la vectorul $\overrightarrow(a)$ este o mapare a planului pe el însuși, în care orice punct $M$ este mapat la un punct $M_1$ astfel încât $\overrightarrow((MM)_1)=\overrightarrow (a)$ ( Fig. 1).

Figura 1. Migrație paralelă

Să introducem următoarea teoremă.

Teorema 1

Transferul paralel este o mișcare.

Dovada.

Să ni se acorde punctele $M\ și\ N$. Să fie transferate paralel la vectorul $\overrightarrow(a)$ și aceste puncte sunt mapate la punctele $M_1$ și, respectiv, $N_1$ (Fig. 2).

Figura 2. Ilustrarea teoremei 1

Deoarece, după definiția 1, $\overrightarrow((MM)_1)=\overrightarrow(a)$ și $\overrightarrow((NN)_1)=\overrightarrow(a)$, atunci, $\overrightarrow((MM) _1 )=\overrightarrow((NN)_1)$, prin urmare, din definiția vectorilor egali obținem

Aceasta înseamnă că patrulaterul $(MM)_1N_1N$ este un paralelogram și, prin urmare, $MN=M_1N_1$. Adică, translația paralelă păstrează distanța dintre puncte. Prin urmare, traducerea paralelă este o mișcare.

Teorema este demonstrată.

Să introducem definiția rotației în jurul unui punct $O$ printr-un unghi $\alpha $.

Definiția 2

O rotație în jurul unui punct $O$ cu un unghi $\alpha $ este o mapare a planului pe el însuși, în care orice punct $M$ este mapat la un punct $M_1$ astfel încât $(OM)_1=OM,\ \angle M(OM)_1 =\angle \alpha $ (Fig. 3).

Figura 3. Rotație

Să introducem următoarea teoremă.

Teorema 2

Întoarcerea este mișcare.

Dovada.

Să ni se acorde punctele $M\ și\ N$. Lăsați-le să fie rotite în jurul punctului $O$ cu un unghi $\alpha $ și sunt mapate la punctele $M_1$ și, respectiv, $N_1$ (Fig. 4).

Figura 4. Ilustrarea teoremei 2

Deoarece, prin definiția 2, $(OM)_1=OM,\ (ON)_1=ON$ și $\overrightarrow((NN)_1)=\overrightarrow(a)$ și,$\angle MON=\angle M_1ON_1 $, atunci

Prin urmare, $MN=M_1N_1$. Adică, rotația păstrează distanța dintre puncte. Prin urmare, întoarcerea este o mișcare.

Teorema este demonstrată.

Exemple de probleme care implică translația și rotația paralelă

Exemplul 1

Construiți un triunghi $A_1B_1C_1$ format prin rotirea unui triunghi dreptunghiular isoscel $ABC$ în jurul punctului $B$ cu unghiul $(45)^0$.

Soluţie.

Evident, punctul $B$ se va transforma în sine, adică $B_1=B$. Deoarece rotația se face printr-un unghi egal cu $(45)^0$, iar triunghiul $ABC$ este isoscel, atunci dreapta $BA_1$ trece prin punctul $L$ - mijlocul laturii $AC$ . A-priorie,

Inapoi inainte

Atenţie! Previzualizările diapozitivelor au doar scop informativ și este posibil să nu reprezinte toate caracteristicile prezentării. Dacă sunteți interesat de această lucrare, vă rugăm să descărcați versiunea completă.

Obiectivele lecției:

Educational

introduceți conceptul de rotație și demonstrați că rotația este mișcare;
luați în considerare rotația segmentului, în funcție de centrul de rotație (centrul de rotație se află în afara segmentului, pe segment și este unul dintre capetele segmentului);
învață cum să construiești un segment atunci când îl rotești cu un unghi dat;
verificați înțelegerea materialului studiat în lecțiile anterioare și a materialului tratat în această lecție.

De dezvoltare

dezvolta capacitatea de a analiza condițiile unei probleme, de a construi un lanț logic atunci când rezolvi probleme și de a trage concluzii în mod rezonabil;
dezvolta procesul de gândire, interesul cognitiv și vorbirea matematică a elevilor;

Educational

cultivați atenția, observația și o atitudine pozitivă față de învățare.

Tipul de lecție: o lecție de învățare a materialelor noi și controlul intermediar al asimilării de către elevi a materialului abordat în această lecție și studiat anterior.

Forme organizatorice de comunicare: colectiv, individual, frontal, în perechi.

Structura lecției:

Conversație motivațională cu elevii urmată de stabilirea de obiective;
Examinare teme pentru acasă;
Actualizarea cunoștințelor de bază;
Îmbogățirea cunoștințelor;
Consolidarea materialului studiat;
Verificarea asimilării materialului studiat (testare urmată de testare reciprocă);
Rezumarea lecției (reflecție);
Teme pentru acasă.

Decor: proiector multimedia, ecran, laptop, prezentare computer, carduri de semnal.

Conversație motivațională.

Fără mișcare, viața este doar un somn letargic.
Jean Jacques Rousseau

I. Comunicarea temei, obiectivelor și progresului lecției.(DIAPOSITIVA 2)

Băieți, știți ce rol important joacă mișcarea în viața umană, societate și știință. Mișcarea joacă, de asemenea, un rol important în matematică: transformarea graficelor, afișarea punctelor, figurilor, planurilor - toate acestea sunt mișcare. În lecțiile anterioare ne-am uitat la mai multe tipuri de mișcare. Astăzi ne vom familiariza cu un alt tip de mișcare: întoarcerea. Subiectul lecției: întoarcerea.

Și lecția noastră este și un exemplu de mișcare, doar mișcarea nu din punct de vedere fizic, ci mișcarea în dezvoltarea mentală, învățarea lucrurilor noi și dobândirea de cunoștințe noi. Pe parcursul lecției veți efectua diverse sarcini și teste. Prin urmare, fii activ, avansează în cunoștințele tale pe parcursul lecției și îmbunătățește-ți rezultatele de la o etapă la alta!

Pe parcursul lecției, atât discursul meu, cât și al dumneavoastră vor fi însoțiți de o prezentare care vă va ajuta să vă verificați corectitudinea temelor, a testelor propuse și a problemelor rezolvate independent.

II. Verificarea temelor.

Folosiți DIAPOSITIVALE 3-5 pentru a verifica soluția nr. 1165.

III. Actualizarea cunoștințelor de bază.

Testul nr. 1. (DIAPOZIUNILE 6-13)

Anexa 1

După finalizarea testului, băieții fac schimb de caiete și efectuează teste reciproce.

IV. Învățarea de materiale noi.(imbogatirea cunostintelor)

(DIAPOSITIVA 14) Marcați punctul O (punct fix) pe plan și setați unghiul A-unghiul de rotatie. Rotirea planului în jurul punctului O cu un unghi A numită mapare a planului pe el însuși, în care fiecare punct M este mapat la un punct M 1 astfel încât OM = OM 1 și unghiul MOM 1 = A.

(DIAPOSITIVA 15) În acest caz, punctul O rămâne pe loc, adică. este mapat pe el însuși și toate celelalte puncte sunt rotite în jurul punctului O în aceeași direcție cu un unghi Aîn sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic.

(DIAPOSITIVA 16) Punctul O se numește centru de rotație, A-unghiul de rotatie. Notat cu P o A .

(DIAPOSITIVA 17) Dacă rotirea este efectuată în sensul acelor de ceasornic, atunci unghiul de rotație A este considerat negativ. Dacă rotația este efectuată în sens invers acelor de ceasornic, atunci unghiul de rotație este pozitiv.

Băieți, să ne amintim conceptul de mișcare. Crezi că întoarcerea este o mișcare? (faceți presupuneri)

Rotirea este o mișcare, adică. cartografierea avionului pe sine. Să demonstrăm.

(DIAPOSITIVA 18 sau DIAPOSITIVA 19)

(Dovada poate fi completată de un elev puternic pe DIAPOSITIVA 18. În acest caz, puteți trece imediat la DIAPOZIALA 20 după demonstrație. Profesorul poate completa proba împreună cu clasa de pe DIAPOZIALA 19, care afișează etapele probei. .)

V. Consolidarea materialului studiat.

Exercițiu. Construiți punctul M 1, care se obține din punctul M prin rotirea printr-un unghi de 60 o. Folosind slide-ul 20, construcția punctului M 1 este elaborată pas cu pas.

De ce instrumente avem nevoie pentru a face virajul? (riglă, busolă, raportor)

Băieți, ce trebuie remarcat mai întâi? (punctul M și centrul de rotație - punctul O)

Cum setăm centrul de rotație? Sărbătorim într-un anumit loc? (nu, arbitrar)

Cum ne rotim în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic? De ce? (împotrivă, deoarece unghiul este pozitiv)

Ce trebuie construit pentru a crea un unghi de 60 o? (Fascicul OM)

Cum să găsesc punctul M 1 de pe a doua parte a unghiului? (utilizați o busolă pentru a lăsa deoparte segmentul OM 1 =OM)

Să ne uităm la modul în care un segment este rotit în funcție de locația centrului de rotație.

Să luăm în considerare cazul când centrul de rotație se află în afara segmentului. Să rezolvăm nr. 1166 (a). (Dacă clasa este puternică, atunci împreună cu copiii puteți întocmi un plan de rezolvare a problemei, dați sarcina nr. 1166 (a) pentru a o rezolva independent. Verificați soluția folosind DIAPOSITIVA 21. Dacă copiilor le este dificil de finalizat sarcina, apoi rezolvați-o colectiv, pe baza SLIDE 21)

Lucrați în perechi.

Exercițiu. Construiți figura care va fi obținută atunci când segmentul AB este rotit cu un unghi de 100 o în jurul punctului A.

(intrebari sugestive)

Care punct este centrul de rotație? Ce poți spune despre ea? (acesta este unul dintre capetele segmentului - punctul A, va fi nemișcat, rămâne pe loc)

Cum ne rotim în sensul acelor de ceasornic sau în sens invers acelor de ceasornic? (în sensul acelor de ceasornic, deoarece unghiul este negativ)

Faceți un plan pentru a rezolva problema.

Sarcina se desfășoară în perechi. Verificați soluția folosind SLIDE 22.

Munca individuala.

Exercițiu. Construiți o figură în care se rotește segmentul AB când este rotit cu un unghi de 100 o în jurul punctului O, mijlocul segmentului AB.

Faceți un plan pentru a rezolva problema. Sarcina este finalizată independent, soluția este verificată folosind SLIDE 23.

Astăzi, în lecție, ne-am uitat la rotația unui segment în funcție de locația centrului de rotație. În lecțiile viitoare ne vom uita la rotațiile altor forme. (afișați diapozitivele 24-25)

VI. Verificarea asimilării materialului studiat.

Testul nr. 2. (DIAPOZIVELE 26-30)

Anexa 2

Autotestare.

VII. Rezumând lecția. (reflecţie)

Băieți, să îi scoatem în evidență pe cei care au fost cei mai buni la fiecare etapă. (rezumă, se acordă note)

Ridicați mâinile dacă v-a plăcut lecția. Vă rugăm să rețineți ce a fost interesant în lecție?

VII. Teme pentru acasă.

Nr. 1166 (b), Nr. 1167 - pentru cei care au primit un rating „3”.
Nr. 1167 (luați în considerare trei cazuri de locație a centrului de rotație: centrul este vârful A, centrul este situat în afara triunghiului, centrul se află pe latura AB a triunghiului) - pentru cei care au primit note „4” și „5”.

„Rotație în geometrie” - Desenați un triunghi obținut din triunghiul OAB prin rotirea lui în jurul punctului O la un unghi de 60° în sens invers acelor de ceasornic. Desenați triunghiul A’B’C’ obținut din triunghiul ABC prin rotirea lui în jurul punctului O la un unghi de 90° în sens invers acelor de ceasornic. Triunghiul A'B'C' se obține prin rotirea triunghiului ABC în sensul acelor de ceasornic în jurul punctului O. Aflați unghiul de rotație.

„Tipuri de mișcare” - Simetrie centrală în sistemul de coordonate. Cartografiarea avionului pe sine. Când avionul se mișcă, punctul A merge în punctul M. Construcție. Transfer paralel. Translația paralelă pe un plan într-un sistem de coordonate. Sarcină. Construiți o imagine a acestui trapez. Construcția de puncte și segmente simetrice. Transformarea figurii F.

„Mișcarea și tipurile sale” - Vederi despre Londra. Puncte. Definiție. Muncă independentă. Funcţie. Simetrie vie. Axa de simetrie. Întoarce-te. Începutul mișcării. Regatul de gheata. Ceasul Big Ben din Londra. Figura. Cartografiarea avionului pe sine. Circulaţie. Școlari din Moscova. Transfer paralel. Informații generale. Procesul de mișcare. Triunghi.

„Tipuri de mișcare a corpurilor” - Octaedrul. Tetraedru regulat. Simetria oglinzii. Margine. Centrul marginii umbrite. Simetria centrală. Simetria axială. Câte mișcări diferite există? Vârfurile. Denumiți mișcarea. Circulaţie. O față a cubului a fost pictată.

„Tipuri de bază de mișcări” - figuri care conțin o axă de simetrie. Figuri cu două axe de simetrie. Simetrie axială. Cifre cu simetria centrală. Transfer paralel. Simetria oglinzii. Maparea spațiului pe sine. Mișcări în spațiu. Figuri cu mai mult de două axe de simetrie. Figuri cu simetrie centrală.

„Conceptul de mișcare în geometrie” - Tema de cercetare. Simetria este relativ dreaptă. Cursul de mișcare în algebră. Simetria în arhitectură. Se disting următoarele proprietăți ale mișcării. Frumusețea și armonia sunt strâns legate de simetrie. Rotație și transfer paralel. Simetrie. Mișcarea în geometrie, algebră și lumea din jurul nostru. Majoritatea plantelor și animalelor sunt simetrice.

Sunt 19 prezentări în total