Površina zakrivljenog trapeza y e x. Pronalaženje površine zakrivljenog sektora. Dužina luka ravne krive

U odjeljku 4.3 to je već primećeno određeni integral () od

nenegativna funkcija je numerički jednaka površini krivolinijskog trapeza ograničenog grafikom funkcije = (), ravnim linijama = , = i = 0.

Primjer 4.24. Izračunajte površinu figure zatvorene između ose i sinusoide = sin (slika 4.6).

		sin = − cos 0		= −(cos − cos 0) = 2.

Ako figura nije krivolinijski trapez, onda pokušavaju prikazati njenu površinu kao zbir ili razliku površina figura koje su krivolinijski trapezi. Konkretno, teorema je tačna.

Teorema 4.13. Ako je figura odozdo i odozgo ograničena grafovima kontinuiranih funkcija = 1 (), = 2 () (ne nužno nenegativno, ( Slika 4.7 ), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule

2 () − 1 () .

Primjer 4.25. Izračunajte površinu figure ograničenu krivom = 4 i linijama = i = 4.

				y = f2(x)
				y = f2(x)


				y = f1(x)
				y = f1(x)



	Slika 4.6			Slika 4.7
Rješenje. Hajde da gradimo			avion	(Slika 4.8). Očigledno,
1 () = 4 , 2 () = ,
= ∫		2 − 4 ln	2 = 8 − 4 ln 4 − (2 − 4 ln 2) = 2(3 − 2 ln 2).
= ∫		2 − 4 ln	2 = 8 − 4 ln 4 − (2 − 4 ln 2) = 2(3 − 2 ln 2).

Dio I. Teorija

Poglavlje 4. Teorija integracije 4.4. Integralne aplikacije. Nepravilni integrali











	Slika 4.8

4.4.2. Dužina luka krive

Izračunavanje dužina krivih takođe dovodi do integrala. Neka je funkcija = () kontinuirana na intervalu [ ; ] i diferencibilan je na intervalu (;). Njegov graf predstavlja određenu krivu, (; ()), (; ()) (Slika 4.9). Krivu dijelimo sa tačkama 0 = , 1 , 2 , . . . , = proizvoljni dijelovi. Povežimo dvije susjedne tačke −1 i tetive = 1, 2, . . . , . Dobijamo -link izlomljenu liniju upisanu u krivu. Neka

je dužina tetive −1, = 1, 2, . . . , = max16 6 . Dužina isprekidane linije biće izražena formulom

Prirodno je da se dužina krive definiše kao granična vrednost dužina izlomljenih linija kada je → 0, tj.





Neka postoje apscise tačaka, = 1, 2, . . . ,
						< < . . . < = .

Tada su koordinate tačaka (; ()), i, koristeći formula za rastojanje između dve tačke, naći ćemo


			Cn−1
		C k 1C k
		C k 1C k

Prema tome, postoji integralni zbir za funkciju √ 1 + (′ ())2 na intervalu [ ; ]. Tada, na osnovu jednakosti (4.31), imamo:


= ∫
= ∫	1 + (′ ())2

Primjer 4.26. Pronađite dužinu grafa = 2		između = 0 i = 3.
Primjer 4.26. Pronađite dužinu grafa = 2		između = 0 i = 3.

Rješenje. Napravimo graf navedene funkcije (slika 4.10).



	y=2	√x 3

Slika 4.10

Koristeći formulu (4.33) nalazimo:

= ∫ 3

= ∫ 3 √

1 + (2 1 )2

1 + (′ ())2

(+ 1)2

3 (+ 1)2 0 = 3 (8 − 1) = 3 .

Problem 1(o izračunavanju površine zakrivljenog trapeza).

U kartezijanskom pravougaonom koordinatnom sistemu xOy data je figura (vidi sliku) ograničena osom x, pravim linijama x = a, x = b (a krivolinijskim trapezom. Potrebno je izračunati površinu krivolinijskog trapezoid.
Rješenje. Geometrija nam daje recepte za izračunavanje površina poligona i nekih dijelova kruga (sektora, segmenta). Koristeći geometrijska razmatranja, možemo pronaći samo približnu vrijednost tražene površine, rezonirajući na sljedeći način.

Podijelimo segment [a; b] (osnova zakrivljenog trapeza) na n jednakih dijelova; ova particija se izvodi pomoću tačaka x 1, x 2, ... x k, ... x n-1. Nacrtajmo prave linije kroz ove tačke paralelne sa y-osi. Tada će dati krivolinijski trapez biti podijeljen na n dijelova, na n uskih stupaca. Površina cijelog trapeza jednaka je zbiru površina stupova.

Razmotrimo k-tu kolonu posebno, tj. zakrivljeni trapez čija je osnova segment. Zamenimo ga pravougaonikom sa istom osnovom i visinom jednakom f(x k) (vidi sliku). Površina pravougaonika jednaka je $f(x_k) \cdot \Delta x_k $, gdje je $\Delta x_k $ dužina segmenta; Prirodno je uzeti u obzir dobiveni proizvod kao približnu vrijednost površine k-te kolone.

Ako sada učinimo isto sa svim ostalim stupcima, doći ćemo do sljedećeg rezultata: površina S datog krivolinijskog trapeza je približno jednaka površini S n stepenastog lika sastavljenog od n pravokutnika (vidi sliku):
$S_n = f(x_0)\Delta x_0 + \dots + f(x_k)\Delta x_k + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $
Ovdje, radi uniformnosti notacije, pretpostavljamo da je a = x 0, b = x n; $\Delta x_0 $ - dužina segmenta, $\Delta x_1 $ - dužina segmenta, itd.; u ovom slučaju, kao što smo se prethodno dogovorili, $\Delta x_0 = \dots = \Delta x_(n-1) $

Dakle, $S \približno S_n $, a ova približna jednakost je tačnija, što je n veće.
Po definiciji, vjeruje se da je potrebna površina krivolinijskog trapeza jednaka granici niza (S n):
$$ S = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Problem 2(o pomicanju tačke)
Materijalna tačka se kreće pravolinijski. Ovisnost brzine o vremenu izražava se formulom v = v(t). Pronađite kretanje tačke tokom vremenskog perioda [a; b].
Rješenje. Kada bi kretanje bilo ravnomjerno, onda bi problem bio riješen vrlo jednostavno: s = vt, tj. s = v(b-a). Za neravnomjerno kretanje morate koristiti iste ideje na kojima je zasnovano rješenje prethodnog problema.
1) Podijelite vremenski interval [a; b] na n jednakih dijelova.
2) Razmotrite vremenski period i pretpostavite da je tokom tog vremenskog perioda brzina bila konstantna, ista kao u trenutku t k. Dakle, pretpostavljamo da je v = v(t k).
3) Nađimo približnu vrijednost kretanja tačke u određenom vremenskom periodu, označićemo ovu približnu vrijednost kao s k
$s_k = v(t_k) \Delta t_k $
4) Pronađite približnu vrijednost pomaka s:
$s \približno S_n $ gdje
$S_n = s_0 + \dots + s_(n-1) = v(t_0)\Delta t_0 + \dots + v(t_(n-1)) \Delta t_(n-1) $
5) Traženi pomak je jednak granici niza (S n):
$$ s = \lim_(n \to \infty) S_n $$

Hajde da sumiramo. Rješenja raznih problema svedena su na isti matematički model. Mnogi problemi iz različitih oblasti nauke i tehnologije vode ka istom modelu u procesu rešavanja. To znači da se ovaj matematički model mora posebno proučavati.

Koncept određenog integrala

Dajemo matematički opis modela koji je izgrađen u tri razmatrana problema za funkciju y = f(x), kontinuiranu (ali ne nužno nenegativnu, kao što se pretpostavljalo u razmatranim problemima) na intervalu [a; b]:
1) podijeliti segment [a; b] na n jednakih dijelova;
2) čine zbir $$ S_n = f(x_0)\Delta x_0 + f(x_1)\Delta x_1 + \dots + f(x_(n-1))\Delta x_(n-1) $$
3) izračunajte $$ \lim_(n \to \infty) S_n $$

U toku matematičke analize dokazano je da ova granica postoji u slučaju kontinuirane (ili komadno kontinuirane) funkcije. On je zvao određeni integral funkcije y = f(x) nad segmentom [a; b] i označena na sljedeći način:
$\int\limits_a^b f(x) dx $
Brojevi a i b nazivaju se granicama integracije (donja i gornja, respektivno).

Vratimo se zadacima o kojima smo gore govorili. Definicija površine data u Zadatku 1 sada se može prepisati na sljedeći način:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx $
ovdje je S površina krivolinijskog trapeza prikazanog na gornjoj slici. Ovo je geometrijsko značenje određenog integrala.

Definicija pomaka s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b, data u zadatku 2, može se prepisati na sljedeći način:

Newton-Leibnizova formula

Prvo, odgovorimo na pitanje: kakva je veza između određenog integrala i antiderivata?

Odgovor se može naći u zadatku 2. S jedne strane, pomak s tačke koja se kreće pravolinijski brzinom v = v(t) tokom vremenskog perioda od t = a do t = b izračunava se po formula
$S = \int\limits_a^b v(t) dt $

S druge strane, koordinata pokretne tačke je antiderivat za brzinu – označimo je s(t); To znači da je pomak s izražen formulom s = s(b) - s(a). Kao rezultat dobijamo:
$S = \int\limits_a^b v(t) dt = s(b)-s(a) $
gdje je s(t) antiderivat od v(t).

Sljedeća teorema je dokazana tokom matematičke analize.
Teorema. Ako je funkcija y = f(x) kontinuirana na intervalu [a; b], onda je formula važeća
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = F(b)-F(a) $
gdje je F(x) antiderivat od f(x).

Zadata formula se obično naziva Newton-Leibnizova formula u čast engleskog fizičara Isaaca Newtona (1643-1727) i njemačkog filozofa Gottfried Leibniza (1646-1716), koji su ga primili nezavisno jedan od drugog i gotovo istovremeno.

U praksi, umjesto pisanja F(b) - F(a), oni koriste notaciju $\left. F(x)\right|_a^b $ (ponekad se naziva dvostruka zamjena) i, shodno tome, prepišite Newton-Leibniz formulu u ovom obliku:
$S = \int\limits_a^b f(x) dx = \lijevo. F(x)\desno|_a^b $

Prilikom izračunavanja određenog integrala, prvo pronađite antiderivat, a zatim izvršite dvostruku zamjenu.

Na osnovu Newton-Leibnizove formule možemo dobiti dva svojstva određenog integrala.

Nekretnina 1. Integral zbira funkcija jednak je zbiru integrala:
$\int\limits_a^b (f(x) + g(x))dx = \int\limits_a^b f(x)dx + \int\limits_a^b g(x)dx $

Nekretnina 2. Konstantni faktor se može izvaditi iz predznaka integrala:
$\int\limits_a^b kf(x)dx = k \int\limits_a^b f(x)dx $

Izračunavanje površina ravnih figura pomoću određenog integrala

Koristeći integral, možete izračunati površine ne samo zakrivljenih trapeza, već i ravnih figura složenijeg tipa, na primjer, one prikazane na slici. Slika P je ograničena pravim linijama x = a, x = b i grafovima kontinuiranih funkcija y = f(x), y = g(x), a na segmentu [a; b] vrijedi nejednakost $g(x) \leq f(x) $. Da bismo izračunali površinu S takve figure, postupit ćemo na sljedeći način:
$S = S_(ABCD) = S_(aDCb) - S_(aABb) = \int\limits_a^b f(x) dx - \int\limits_a^b g(x) dx = $
$= \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Dakle, površina S figure ograničene pravim linijama x = a, x = b i grafovima funkcija y = f(x), y = g(x), kontinuiranim na segmentu i takvim da za bilo koje x iz segmenta [a; b] nejednakost $g(x) \leq f(x) $ je zadovoljena, izračunata po formuli
$S = \int\limits_a^b (f(x)-g(x))dx $

Tablica neodređenih integrala (antideriva) nekih funkcija

$$ \int 0 \cdot dx = C $$ $$ \int 1 \cdot dx = x+C $$ $$ \int x^n dx = \frac(x^(n+1))(n+1 ) +C \;\; (n \neq -1) $$ $$ \int \frac(1)(x) dx = \ln |x| +C $$ $$ \int e^x dx = e^x +C $$ $$ \int a^x dx = \frac(a^x)(\ln a) +C \;\; (a>0, \;\; a \neq 1) $$ $$ \int \cos x dx = \sin x +C $$ $$ \int \sin x dx = -\cos x +C $$ $ $ \int \frac(dx)(\cos^2 x) = \text(tg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sin^2 x) = -\text(ctg) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(\sqrt(1-x^2)) = \text(arcsin) x +C $$ $$ \int \frac(dx)(1+x^2) ) = \text(arctg) x +C $$ $$ \int \text(ch) x dx = \text(sh) x +C $$ $$ \int \text(sh) x dx = \text(ch ) x +C $$

Nazad napred

Pažnja! Pregledi slajdova služe samo u informativne svrhe i možda ne predstavljaju sve karakteristike prezentacije. Ako ste zainteresovani za ovaj rad, preuzmite punu verziju.

Ključne riječi: integralni, krivolinijski trapez, površina figura omeđena ljiljanima

Oprema Enterijer: marker, računar, multimedijalni projektor

Vrsta lekcije: lekcija-predavanje

Ciljevi lekcije:

edukativni: stvoriti kulturu mentalnog rada, stvoriti situaciju uspjeha za svakog učenika i stvoriti pozitivnu motivaciju za učenje; razviti sposobnost govora i slušanja drugih.
razvijanje: formiranje samostalnog mišljenja učenika u primjeni znanja u različitim situacijama, sposobnost analize i izvođenja zaključaka, razvoj logike, razvoj sposobnosti pravilnog postavljanja pitanja i pronalaženja odgovora na njih. Unapređenje formiranja računskih i računskih vještina, razvijanje mišljenja učenika u toku izvršavanja predloženih zadataka, razvijanje algoritamske kulture.
obrazovni: formirati pojmove o krivolinijskom trapezu, o integralu, savladati vještine izračunavanja površina ravnih figura

Metoda nastave: objašnjavajuće i ilustrativno.

Tokom nastave

U prethodnim razredima smo učili da izračunamo površine figura čije su granice poligonalne linije. U matematici postoje metode koje vam omogućavaju da izračunate površine figura ograničenih krivuljama. Takve figure se nazivaju krivolinijski trapezi, a njihova površina se izračunava pomoću antiderivata.

Krivolinijski trapez ( slajd 1)

Zakrivljeni trapez je lik omeđen grafom funkcije, ( sh.m.), ravno x = a I x = b i x-osa

Različite vrste zakrivljenih trapeza ( slajd 2)

Razmatramo različite vrste krivolinijskih trapeza i primjećujemo: jedna od pravih je degenerirana u tačku, ulogu granične funkcije igra prava linija

Površina zakrivljenog trapeza (slajd 3)

Popravite lijevi kraj intervala A, i onu pravu X promijenit ćemo se, tj. pomjerimo desni zid krivolinijskog trapeza i dobijemo promjenjivu figuru. Područje promjenljivog krivolinijskog trapeza ograničenog grafom funkcije je antiderivat F za funkciju f

I na segmentu [ a; b] područje krivolinijskog trapeza formiranog funkcijom f, jednak je prirastu antiderivata ove funkcije:

Vježba 1:

Pronađite površinu krivolinijskog trapeza ograničenog grafom funkcije: f(x) = x 2 i ravno y = 0, x = 1, x = 2.

Rješenje: ( prema algoritmu slajd 3)

Nacrtajmo graf funkcije i linije

Nađimo jedan od antiderivata funkcije f(x) = x 2 :

Samotestiranje na slajdu

Integral

Razmotrimo krivolinijski trapez definiran funkcijom f na segmentu [ a; b]. Podijelimo ovaj segment na nekoliko dijelova. Površina cijelog trapeza podijelit će se na zbir površina manjih zakrivljenih trapeza. ( slajd 5). Svaki takav trapez se približno može smatrati pravokutnikom. Zbir površina ovih pravokutnika daje približnu predstavu o cijeloj površini zakrivljenog trapeza. Što manji dijelimo segment [ a; b], to preciznije izračunavamo površinu.

Zapišimo ove argumente u obliku formula.

Podijelite segment [ a; b] na n dijelova po tačkama x 0 = a, x1,…, xn = b. Dužina k- th označiti sa xk = xk – xk-1. Hajde da napravimo sumu

Geometrijski, ovaj zbir predstavlja površinu figure zasjenjenu na slici ( sh.m.)

Zbroji oblika nazivaju se integralni zbroji za funkciju f. (š.m.)

Integralni zbroji daju približnu vrijednost površine. Tačna vrijednost se dobija prelaskom do granice. Zamislimo da rafiniramo particiju segmenta [ a; b] tako da dužine svih malih segmenata teže nuli. Tada će se površina sastavljene figure približiti području zakrivljenog trapeza. Možemo reći da je površina zakrivljenog trapeza jednaka granici integralnih suma, Sc.t. (š.m.) ili integralni, tj.

definicija:

Integral funkcije f(x) od a prije b naziva se granica integralnih suma

= (š.m.)

Newton-Leibniz formula.

Sjećamo se da je granica integralnih suma jednaka površini krivolinijskog trapeza, što znači da možemo napisati:

Sc.t. = (š.m.)

S druge strane, površina zakrivljenog trapeza izračunava se po formuli

S k.t. (š.m.)

Upoređujući ove formule, dobijamo:

= (š.m.)

Ova jednakost se zove Newton-Leibnizova formula.

Radi lakšeg izračuna, formula se piše kao:

= = (š.m.)

Zadaci: (š.m.)

1. Izračunajte integral koristeći Newton-Leibniz formulu: ( provjeri na slajdu 5)

2. Sastaviti integrale prema crtežu ( provjeri na slajdu 6)

3. Pronađite površinu figure ograničene linijama: y = x 3, y = 0, x = 1, x = 2. ( Slajd 7)

Pronalaženje površina ravnih figura ( slajd 8)

Kako pronaći površinu figura koje nisu zakrivljeni trapezi?

Neka su date dvije funkcije, čije grafike vidite na slajdu . (š.m.) Pronađite površinu zasjenjene figure . (š.m.). Da li je dotična figura zakrivljeni trapez? Kako možete pronaći njegovu površinu koristeći svojstvo aditivnosti površine? Razmotrite dva zakrivljena trapeza i oduzmite površinu drugog od površine jednog od njih ( sh.m.)

Kreirajmo algoritam za pronalaženje područja pomoću animacije na slajdu:

Grafičke funkcije
Projektujte presečne tačke grafova na x-osu
Obojite figuru dobijenu kada se grafovi ukrste
Nađi krivolinijske trapeze čiji je presjek ili sjedinjenje zadana figura.
Izračunajte površinu svakog od njih
Pronađite razliku ili zbir površina

Usmeni zadatak: Kako dobiti površinu zasjenjene figure (prikazati pomoću animacije, slajd 8 i 9)

Zadaća: Proradite bilješke, br. 353 (a), br. 364 (a).

Bibliografija

Algebra i počeci analize: udžbenik za 9-11 razred večernje (smjenske) škole / ur. G.D. Glaser. - M: Prosvetljenje, 1983.
Bašmakov M.I. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred srednje škole / Bašmakov M.I. - M: Prosvjeta, 1991.
Bašmakov M.I. Matematika: udžbenik za ustanove poč. i srijeda prof. obrazovanje / M.I. Bashmakov. - M: Akademija, 2010.
Kolmogorov A.N. Algebra i počeci analize: udžbenik za 10-11 razred. obrazovne institucije / A.N. Kolmogorov. - M: Obrazovanje, 2010.
Ostrovsky S.L. Kako napraviti prezentaciju za čas?/ S.L. Ostrovsky. – M.: Prvi septembar 2010.

Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na času sam rekao da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral. Integrand definira određenu krivu na ravni (uvijek se može nacrtati po želji), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prva i najvažnija tačka u odluci je izrada crteža. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.

Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Završimo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):

Neću zasjeniti zakrivljeni trapez; ovdje je očito o kojem području je riječ. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad ose, Zbog toga:

odgovor:

Ko ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , pogledajte predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Nakon što je zadatak završen, uvijek je korisno pogledati crtež i shvatiti da li je odgovor stvaran. U ovom slučaju broj ćelija na crtežu brojimo "na oko" - pa, bit će ih oko 9, čini se da je istina. Apsolutno je jasno da ako dobijemo, recimo, odgovor: 20 kvadratnih jedinica, onda je očito da je negdje napravljena greška - 20 ćelija očigledno ne staje u dotičnu cifru, najviše desetak. Ako je odgovor negativan, onda je i zadatak riješen pogrešno.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure ograničene linijama, , i osi

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako je zakrivljeni trapez potpuno smješten ispod ose, tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:

Pažnja! Ne treba brkati dvije vrste zadataka:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama , .

Rješenje: Prvo morate napraviti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. To se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:

To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Bolje je ne koristiti ovu metodu, ako je moguće.

Mnogo je isplativije i brže graditi linije tačku po tačku, a granice integracije postaju jasne „sama po sebi“. Tehnika građenja tačku po tačku za različite grafove detaljno je razmotrena u pomoći Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Ipak, analitička metoda pronalaženja granica se ponekad mora koristiti ako je, na primjer, graf dovoljno velik, ili detaljna konstrukcija nije otkrila granice integracije (mogu biti frakcijske ili iracionalne). I mi ćemo također razmotriti takav primjer.

Vratimo se našem zadatku: racionalnije je prvo konstruirati pravu liniju pa tek onda parabolu. Napravimo crtež:

Ponavljam da se pri konstruisanju po tačkama najčešće „automatski“ otkrivaju granice integracije.

A sada radna formula: Ako na segmentu postoji neka kontinuirana funkcija veće ili jednako neke kontinuirane funkcije, tada se površina odgovarajuće figure može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo govoreći, bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od

Završeno rješenje može izgledati ovako:

Željena figura je ograničena parabolom iznad i ravnom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi jednostavan primjer br. 3) je poseban slučaj formule . Budući da je os određena jednadžbom, a graf funkcije se nalazi ispod ose, tada

A sada par primjera za vlastito rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure ograničenu linijama , .

Prilikom rješavanja problema koji uključuju izračunavanje površine pomoću određenog integrala, ponekad se dogodi smiješan incident. Crtež je urađen korektno, proračuni su bili tačni, ali zbog nepažnje... pronađena je površina pogrešne figure, upravo ovako je nekoliko puta zeznuo tvoj ponizni sluga. Evo slučaja iz stvarnog života:

Primjer 7

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .

Prvo napravimo crtež:

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se pojavi da morate pronaći površinu figure koja je zasjenjena zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan jer izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala. stvarno:

1) Na segmentu iznad ose nalazi se grafik prave linije;

2) Na segmentu iznad ose nalazi se graf hiperbole.

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

odgovor:

Primjer 8

Izračunajte površinu figure ograničene linijama,
Hajde da predstavimo jednačine u "školskom" obliku i napravimo crtež tačku po tačku:

Iz crteža je jasno da je naša gornja granica „dobra“: .
Ali koja je donja granica?! Jasno je da ovo nije ceo broj, ali šta je to? Možda ? Ali gde je garancija da je crtež napravljen sa savršenom tačnošću, može se ispostaviti da... Ili korijen. Šta ako smo pogrešno napravili graf?

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.

Nađimo tačke preseka prave i parabole.
Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:

Dakle, .

Dalje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima, proračuni ovdje nisu najjednostavniji.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Pa, da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teška zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , ,

Rješenje: Hajde da prikažemo ovu figuru na crtežu.

Da biste napravili crtež tačku po tačku, morate znati izgled sinusoida (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se naći u trigonometrijska tabela. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) moguće je konstruirati šematski crtež, na kojem bi grafovi i granice integracije trebali biti fundamentalno korektno prikazani.

Ovdje nema problema sa granicama integracije, one slijede direktno iz uslova: - “x” se mijenja sa nule na “pi”. Hajde da donesemo dalju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad ose, dakle:

(1) Možete vidjeti kako su sinusi i kosinusi integrirani u neparne potencije u lekciji Integrali trigonometrijskih funkcija. Ovo je tipična tehnika, štipamo jedan sinus.

(2) Koristimo glavni trigonometrijski identitet u obliku

(3) Promijenimo varijablu , tada:

Nove oblasti integracije:

Svi koji su stvarno loši sa zamjenama, neka izvuku lekciju. Metoda zamjene u neodređenom integralu. Za one koji ne razumiju algoritam zamjene u određenom integralu, posjetite stranicu Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Definitivni integral. Kako izračunati površinu figure

Idemo dalje na razmatranje primjene integralnog računa. U ovoj lekciji analiziraćemo tipičan i najčešći zadatak – kako koristiti određeni integral za izračunavanje površine ravne figure. Konačno, oni koji traže smisao u višoj matematici – neka ga nađu. Nikad ne znaš. U stvarnom životu, morat ćete aproksimirati dacha parcelu pomoću elementarnih funkcija i pronaći njeno područje pomoću određenog integrala.

Da biste uspješno savladali gradivo, morate:

1) Razumjeti neodređeni integral barem na srednjem nivou. Stoga, lutke prvo treba da pročitaju lekciju Ne.

2) Biti u stanju primijeniti Newton-Leibniz formulu i izračunati definitivni integral. Na stranici možete uspostaviti tople prijateljske odnose sa određenim integralima Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Zapravo, da biste pronašli površinu figure, nije vam potrebno toliko znanja o neodređenom i određenom integralu. Zadatak „izračunaj površinu pomoću određenog integrala“ uvijek uključuje izradu crteža, tako da će vaše znanje i vještine crtanja biti mnogo hitniji problem. U tom smislu, korisno je osvježiti pamćenje grafova osnovnih elementarnih funkcija i, u najmanju ruku, moći konstruirati pravu liniju, parabolu i hiperbolu. To se može učiniti (za mnoge je neophodno) uz pomoć metodološkog materijala i članka o geometrijskim transformacijama grafova.

Zapravo, svima je još od škole poznat zadatak pronalaženja područja pomoću određenog integrala i nećemo ići mnogo dalje od školskog programa. Ovaj članak možda uopće nije postojao, ali činjenica je da se problem javlja u 99 slučajeva od 100, kada učenik pati od omražene škole i sa entuzijazmom savlada predmet više matematike.

Materijali ove radionice predstavljeni su jednostavno, detaljno i sa minimumom teorije.

Počnimo sa zakrivljenim trapezom.

Krivolinijski trapez je ravna figura omeđena osom, pravim linijama i grafom funkcije kontinuirane na intervalu koji ne mijenja predznak na ovom intervalu. Neka se ova figura nalazi ne manje x-osa:

Onda površina krivolinijskog trapeza numerički je jednaka određenom integralu. Svaki određeni integral (koji postoji) ima vrlo dobro geometrijsko značenje. Na lekciji Definitivni integral. Primjeri rješenja Rekao sam da je određeni integral broj. A sada je vrijeme da navedemo još jednu korisnu činjenicu. Sa stanovišta geometrije, definitivni integral je POVRŠINA.

To je, određeni integral (ako postoji) geometrijski odgovara površini određene figure. Na primjer, razmotrite definitivni integral. Integrand definira krivulju na ravni koja se nalazi iznad ose (oni koji žele mogu napraviti crtež), a sam definitivni integral je numerički jednak površini odgovarajućeg krivolinijskog trapeza.

Primjer 1

Ovo je tipična izjava o dodjeli. Prva i najvažnija tačka u odluci je izrada crteža. Štaviše, crtež mora biti konstruisan PRAVO.

Prilikom izrade crteža preporučujem sljedeći redoslijed: kao prvo bolje je konstruisati sve prave (ako postoje) i samo Onda– parabole, hiperbole, grafovi drugih funkcija. Isplativije je graditi grafove funkcija tačku po tačku, tehnika konstrukcije točka po tačku može se naći u referentnom materijalu Grafovi i svojstva elementarnih funkcija. Tamo možete pronaći i vrlo koristan materijal za našu lekciju - kako brzo izgraditi parabolu.

U ovom problemu rješenje bi moglo izgledati ovako.
Završimo crtež (imajte na umu da jednačina definira os):

Neću zasjeniti zakrivljeni trapez; ovdje je očito o kojem području je riječ. Rješenje se nastavlja ovako:

Na segmentu se nalazi graf funkcije iznad ose, Zbog toga:

odgovor:

Ko ima poteškoća s izračunavanjem definitivnog integrala i primjenom Newton-Leibnizove formule , pogledajte predavanje Definitivni integral. Primjeri rješenja.

Primjer 2

Izračunajte površinu figure ograničene linijama, , i osi

Ovo je primjer koji možete sami riješiti. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Šta učiniti ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine?

Primjer 3

Izračunajte površinu figure ograničenu linijama i koordinatnim osa.

Rješenje: Napravimo crtež:

Ako se nalazi zakrivljeni trapez ispod osovine(ili barem ne viši datu os), tada se njegova površina može pronaći pomoću formule:
U ovom slučaju:

Pažnja! Ove dvije vrste zadataka ne treba miješati:

1) Ako se od vas traži da jednostavno riješite određeni integral bez ikakvog geometrijskog značenja, onda on može biti negativan.

2) Ako se od vas traži da pronađete površinu figure pomoću određenog integrala, tada je površina uvijek pozitivna! Zato se minus pojavljuje u formuli o kojoj smo upravo govorili.

U praksi se najčešće figura nalazi i u gornjoj i u donjoj poluravni, te stoga od najjednostavnijih školskih zadataka prelazimo na sadržajnije primjere.

Primjer 4

Pronađite površinu ravne figure ograničene linijama , .

Rješenje: Prvo morate završiti crtež. Uopšteno govoreći, kada konstruišemo crtež u problemima oblasti, najviše nas zanimaju tačke preseka linija. Nađimo tačke preseka parabole i prave. To se može uraditi na dva načina. Prva metoda je analitička. Rješavamo jednačinu:

To znači da je donja granica integracije , a gornja granica integracije .
Ako je moguće, bolje je ne koristiti ovu metodu..

A sada radna formula: Ako postoji neka kontinuirana funkcija na segmentu veće ili jednako neke kontinuirane funkcije , tada se površina figure ograničena grafovima ovih funkcija i linijama , , može pronaći pomoću formule:

Ovdje više ne morate razmišljati o tome gdje se figura nalazi - iznad ose ili ispod ose, i, grubo govoreći, bitno je koji je graf VEĆI(u odnosu na drugi grafikon), a koji je ISPOD.

U primjeru koji se razmatra, očito je da se na segmentu parabola nalazi iznad prave linije, te je stoga potrebno oduzeti od

Završeno rješenje može izgledati ovako:

Željena figura je ograničena parabolom iznad i ravnom linijom ispod.
Na segmentu, prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Zapravo, školska formula za površinu krivolinijskog trapeza u donjoj poluravni (vidi jednostavan primjer br. 3) je poseban slučaj formule . Pošto je os zadana jednadžbom i graf funkcije je lociran ne viši sjekire, dakle

A sada par primjera za vlastito rješenje

Primjer 5

Primjer 6

Pronađite površinu figure ograničenu linijama , .

Primjer 7

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , , , .

Rješenje: Prvo, napravimo crtež:

...Eh, crtez je ispao sranje, ali sve izgleda citljivo.

Figura čiju oblast treba da pronađemo je zasenčena plavom bojom(pogledajte pažljivo stanje - koliko je broj ograničen!). Ali u praksi, zbog nepažnje, često se javlja "kvar" da morate pronaći površinu figure koja je zasjenjena zelenom bojom!

Ovaj primjer je također koristan po tome što izračunava površinu figure koristeći dva određena integrala. stvarno:

1) Na segmentu iznad ose nalazi se grafik prave linije;

2) Na segmentu iznad ose nalazi se graf hiperbole.

Sasvim je očigledno da se područja mogu (i trebaju) dodati, dakle:

odgovor:

Pređimo na još jedan značajan zadatak.

Primjer 8

U takvim slučajevima morate potrošiti dodatno vrijeme i analitički razjasniti granice integracije.

Nađimo tačke preseka prave i parabole.
Da bismo to uradili, rešavamo jednačinu:

,

Zaista, .

Dalje rješenje je trivijalno, glavna stvar je da se ne zbunite u zamjenama i znakovima, proračuni ovdje nisu najjednostavniji.

Na segmentu , prema odgovarajućoj formuli:

odgovor:

Pa, da zaključimo lekciju, pogledajmo još dva teška zadatka.

Primjer 9

Izračunajte površinu figure ograničene linijama , ,

Rješenje: Hajde da prikažemo ovu figuru na crtežu.

Prokletstvo, zaboravio sam da potpišem raspored i, izvini, nisam htio da ponavljam sliku. Nije dan za crtanje, ukratko, danas je dan =)

Za konstrukciju tačku po tačku potrebno je poznavati izgled sinusoida (i općenito je korisno znati grafovi svih elementarnih funkcija), kao i neke sinusne vrijednosti, mogu se naći u trigonometrijska tabela. U nekim slučajevima (kao u ovom slučaju) moguće je konstruirati šematski crtež, na kojem bi grafovi i granice integracije trebali biti fundamentalno korektno prikazani.

Ovdje nema problema sa granicama integracije, one slijede direktno iz uslova: - “x” se mijenja sa nule na “pi”. Hajde da donesemo dalju odluku:

Na segmentu se graf funkcije nalazi iznad ose, dakle: