Ortogonalni vektorski sistem. Pogledajte stranice na kojima se pominje pojam ortogonalni sistem Ortogonalni sistem

Ako odaberemo bilo koja dva međusobno okomita vektora jedinične dužine na ravni (slika 7), onda se proizvoljni vektor u istoj ravni može proširiti u smjerovima ova dva vektora, tj. predstaviti u obliku

gdje su brojevi jednaki projekcijama vektora na smjerove osa Pošto je projekcija na os jednaka proizvodu dužine i kosinusa ugla sa osom, onda, podsjećajući na definiciju skalarnog proizvoda. , možemo pisati

Slično, ako u trodimenzionalnom prostoru izaberemo bilo koja tri međusobno okomita vektora jedinične dužine, onda se proizvoljni vektor u ovom prostoru može predstaviti kao

U Hilbertovom prostoru se mogu razmatrati i sistemi parno ortogonalnih vektora ovog prostora, tj. funkcije

Takvi sistemi funkcija nazivaju se ortogonalnim sistemima funkcija i igraju važnu ulogu u analizi. Oni se nalaze u širokom spektru pitanja matematičke fizike, integralnih jednačina, približnih proračuna, teorije funkcija realne varijable, itd. Uređenje i objedinjavanje koncepata vezanih za takve sisteme bio je jedan od poticaja koji je na početku 20. vek. do stvaranja opšti koncept Hilbertov prostor.

Hajde da damo precizne definicije. Funkcijski sistem

naziva se ortogonalnim ako su bilo koje dvije funkcije ovog sistema ortogonalne jedna prema drugoj, tj.

U trodimenzionalnom prostoru, tražili smo da dužine vektora sistema budu jednake jedan. Podsjećajući na definiciju vektorske dužine, vidimo da je u slučaju Hilbertovog prostora ovaj zahtjev zapisan na sljedeći način:

Sistem funkcija koji zadovoljava zahtjeve (13) i (14) naziva se ortogonalnim i normaliziranim.

Navedimo primjere takvih sistema funkcija.

1. Na intervalu razmotrite slijed funkcija

Sve dvije funkcije iz ovog niza su ortogonalne jedna prema drugoj. Ovo se može potvrditi jednostavnim izračunavanjem odgovarajućih integrala. Kvadrat dužine vektora u Hilbertovom prostoru je integral kvadrata funkcije. Dakle, kvadrat dužine vektora sekvence

suštinu integrala

tj. redoslijed naših vektora je ortogonan, ali nije normaliziran. Dužina prvog vektora niza je jednaka

ostali imaju dužinu. Deljenjem svakog vektora njegovom dužinom dobijamo ortogonalni i normalizovani sistem trigonometrijske funkcije

Ovaj sistem je istorijski jedan od prvih i najvažnijih primera ortogonalnih sistema. Nastala je u radovima Eulera, D. Bernoullija i d'Alemberta u vezi s problemom vibracija struna. Njena studija odigrala je značajnu ulogu u razvoju cjelokupne analize.

Pojava ortogonalnog sistema trigonometrijskih funkcija u vezi sa problemom vibracija struna nije slučajna. Svaki problem o malim oscilacijama sredine vodi do određenog sistema ortogonalnih funkcija koje opisuju takozvane prirodne oscilacije datog sistema (vidi § 4). Na primjer, u vezi s problemom oscilacija sfere pojavljuju se tzv. sferne funkcije, u vezi s problemom oscilacija okrugle membrane ili cilindra pojavljuju se tzv. cilindrične funkcije itd.

2. Možete dati primjer ortogonalnog sistema funkcija, čija je svaka funkcija polinom. Takav primjer je niz Legendreovih polinoma

tj. postoji (do konstantnog faktora) izvod reda od . Zapišimo prvih nekoliko polinoma ovog niza:

Očigledno je da generalno postoji polinom stepena. Ostavljamo čitaocu da se sam uvjeri da ovi polinomi predstavljaju ortogonalni niz na intervalu

Opća teorija Ortogonalne polinome (tzv. ortogonalne polinome sa težinom) razvio je izvanredni ruski matematičar P. L. Čebišev u drugoj polovini 19. veka.

Ekspanzija u ortogonalnim sistemima funkcija. Baš kao što se u trodimenzionalnom prostoru svaki vektor može predstaviti

kao linearna kombinacija tri uparna ortogonalna vektora jedinične dužine

u funkcijskom prostoru nastaje problem proširenja proizvoljne funkcije u niz u ortogonalnom i normaliziranom sistemu funkcija, tj. predstavljanja funkcije u obliku

U ovom slučaju, konvergencija niza (15) funkciji se razumijeva u smislu udaljenosti između elemenata u Hilbertovom prostoru. To znači da srednja kvadratna devijacija parcijalne sume serije od funkcije teži nuli kao , tj.

Ova konvergencija se obično naziva "konvergencija u prosjeku".

Proširenja u smislu određenih sistema ortogonalnih funkcija često se nalaze u analizi i važna su metoda za rješavanje problema matematičke fizike. Tako, na primjer, ako je ortogonalni sistem sistem trigonometrijskih funkcija na intervalu

onda je takvo proširenje klasično proširenje funkcije u trigonometrijskom nizu

Pretpostavimo da je proširenje (15) moguće za bilo koju funkciju iz Hilbertovog prostora i pronađite koeficijente takvog proširenja. Da bismo to učinili, pomnožimo obje strane jednakosti skalarno istom funkcijom našeg sistema. Dobićemo jednakost

od čega zbog činjenice da kada se odredi vrijednost koeficijenta

Vidimo da su, kao iu običnom trodimenzionalnom prostoru (vidi početak ovog odjeljka), koeficijenti jednaki projekcijama vektora na smjerove vektora.

Podsjećajući na definiciju skalarnog proizvoda, nalazimo da su koeficijenti proširenja funkcije u ortogonalnom i normaliziranom sistemu funkcija

određena formulama

Kao primjer, razmotrite ortogonalni normalizirani trigonometrijski sistem funkcija dat gore:

Dobili smo formulu za izračunavanje koeficijenata proširenja funkcije u trigonometrijski niz, pod pretpostavkom, naravno, da je to proširenje moguće.

Ustanovili smo oblik koeficijenata proširenja (18) funkcije u ortogonalnom sistemu funkcija pod pretpostavkom da se takva ekspanzija odvija. Međutim, beskonačan ortogonalni sistem funkcija možda neće biti dovoljan da bi bilo moguće proširiti bilo koju funkciju iz Hilbertovog prostora. Da bi takvo proširenje bilo moguće, sistem ortogonalnih funkcija mora zadovoljiti dodatni uslov- takozvani uslov potpunosti.

Ortogonalni sistem funkcije se naziva kompletnom ako joj je nemoguće dodati jednu neidentično nultu funkciju ortogonalnu svim funkcijama sistema.

Lako je dati primjer nekompletnog ortogonalnog sistema. Da bismo to učinili, uzmimo neki ortogonalni sistem, na primjer isti

sistem trigonometrijskih funkcija i eliminiše jednu od funkcija ovog sistema, na primjer, preostali beskonačan sistem funkcija

će i dalje biti ortogonalna, naravno, neće biti potpuna, budući da je funkcija koju smo isključili ortogonalna na sve funkcije sistema.

Ako sistem funkcija nije potpun, onda se svaka funkcija iz Hilbertovog prostora ne može proširiti preko njega. Zaista, ako pokušamo da proširimo u takav sistem nultu funkciju ortogonalnu na sve funkcije sistema, tada će, na osnovu formule (18), svi koeficijenti biti jednaki nuli, dok funkcija nije jednaka nuli.

Vrijedi sljedeća teorema: ako je dat kompletan ortogonalni i normalizirani sistem funkcija u Hilbertovom prostoru, onda se svaka funkcija može proširiti u niz u smislu funkcija ovog sistema

U ovom slučaju, koeficijenti proširenja jednaki su projekcijama vektora na elemente ortogonalnog normaliziranog sistema

Pitagorina teorema u § 2 u Hilbertovom prostoru omogućava nam da pronađemo zanimljiv odnos između koeficijenata i funkcije Označimo sa razlikom između i zbirom prvih članova njenog niza, tj.

Dizajn PLM-a je LSI, napravljen u obliku sistema ortogonalnih sabirnica, u čijim se čvorovima nalaze osnovni poluvodički elementi - tranzistori ili diode. Podešavanje PLM-a za potrebnu logičku transformaciju (PLM programiranje) sastoji se u odgovarajućoj organizaciji veza između osnovnih logičkih elemenata. Programiranje PLM-a se vrši ili tokom njegove proizvodnje, ili od strane korisnika pomoću uređaja za programiranje. Zahvaljujući osobinama PLM-a kao što su jednostavnost strukturne organizacije i velika brzina Izvođenje logičkih transformacija, kao i relativno niska cijena, određena proizvodnošću i masovnom proizvodnjom, PLM-ovi se široko koriste kao elementarna baza u dizajnu računarskih sistema i sistema za automatizaciju proizvodnje.

Ne postoje dobri "mehanički sistemi" koje treba pratiti čak ni na ovom nivou. Po mom mišljenju, nikada nije postojao uspješan “mehanički” sistem koji bi se mogao opisati linearnim modelom. Ne postoji sada i, po svoj prilici, nikada neće postojati, čak ni uz korištenje umjetne inteligencije, analognih procesora, genetskih algoritama, ortogonalnih regresija i neuronskih mreža.

Objasnimo značenje norme - G. U (n+1)-dimenzionalni prostor uvodi se kosi koordinatni sistem čija je jedna os prava linija Xe, a druga os je n-dimenzionalna hiperravan G , ortogonalno na g. Bilo koji vektor x može se predstaviti u obliku

Parabolična regresija i sistem ortogonala

Radi određenosti, ograničimo se na slučaj m = 2 (prijelaz na opći slučaj m > 2 se vrši na očigledan način bez ikakvih poteškoća) i predstavimo funkciju regresije u sistemu baznih funkcija ako je >0 (n ), (x), ip2 to) koji su ortogonalni (na ukupnost posmatranog

Međusobna ortogonalnost polinoma (7-(JK) (na posmatračkom sistemu xlt k..., xn) znači da

Sa takvim planiranjem, koje se naziva ortogonalno, X X matrica će postati dijagonalna, tj. sistem normalnih jednačina se deli na k+l nezavisnih jednačina

Sistem tačaka koji zadovoljava uslov ortogonalnosti (plan 1. reda)

Očigledno je da tenzor deformacije pri krutom kretanju nestaje. Može se pokazati da je i obrnuto: ako je u svim tačkama sredine tenzor deformacije jednak nuli, tada zakon kretanja u nekom pravougaonom koordinatnom sistemu posmatrača ima oblik (3.31) sa ortogonalnom matricom a a. dakle, solidno kretanje može se definisati kao kretanje neprekidne sredine u kojoj se rastojanje između bilo koje dve tačke medija ne menja tokom kretanja.

Za dva vektora se kaže da su ortogonalna ako je njihov skalarni proizvod nula. Sistem vektora se naziva ortogonalnim ako su vektori ovog sistema po paru ortogonalni.

O Primjer. Sistem vektora = (, O,..., 0), e% = = (O, 1,..., 0), . .., e = (0, 0,..., 1) je ortogonalno.

Fredholmov operator sa kernelom k (do - TI, 4 - 12) ima kompletan ortogonalni sistem sopstvenih vektora u Hilbertovom prostoru (prema Hilbertovoj teoremi). To znači da φ(t) čini potpunu bazu u Lz(to, T). Stoga sam sa I.

Ortogonalni sistem od n-nula vektora je linearno nezavisan.

Dati metod za konstruisanje ortogonalnog sistema vektora t/i, yb,. ..> ym+t za datu linearno nezavisnu

Za biotehnički sistem bušenja bunara, gdje je količina fizičkog rada i dalje značajna, od posebnog su interesa studije biomehaničke i motoričke snage aktivnosti. Sastav i strukturu radnih pokreta, količinu, dinamička i statička opterećenja i razvijene sile proučavali smo na bušaćim postrojenjima Uralmash-ZD koristeći stereoskopsko snimanje (sa dvije sinhrono djelujuće kamere posebnom tehnikom na frekvenciji od 24 kadra u 1 s) i ganiografska metoda pomoću trokanalnog medicinskog osciloskopa. Čvrsta fiksacija optičkih osa, paralelnih jedna s drugom i okomita na osnovnu liniju (objekt snimanja), omogućila je kvantitativno proučavanje (na osnovu perspektivno-ortogonalnih konjugiranih projekcija na okvirima filma, kao što je prikazano na slici 48) radnih poza, trajektorije kretanja centara gravitacije radnika pri izvođenju pojedinih operacija, tehnika, radnji i utvrđivanja napora, troškova energije itd.

Pristup koji obećava identifikaciji nezavisnih alternativa mora biti identifikacija indikatora nezavisnih sintetičkih faktora. Originalni sistem faktorskih indikatora Xi transformisan je u sistem novih sintetičkih nezavisnih faktorskih indikatora FJ, koji su ortogonalne komponente sistema indikatora Xg. Transformacija se vrši metodom komponentne analize 1. Matematički

Jedan od komponente ADAD je modul za 3D dizajn složeni sistemi cjevovodi. Grafička baza podataka modula sadrži volumetrijske elemente cjevovoda (priključci, slavine, prirubnice, cijevi). Element odabran iz biblioteke automatski se prilagođava karakteristikama cevovodnog sistema modela koji se projektuje. Modul obrađuje crteže i kreira dvodimenzionalne i trodimenzionalne slike, uključujući konstrukciju izometrijskih modela i ortogonalnih projekcija objekata. Postoji izbor dijelova za cjevovode, vrste premaza i vrste izolacije prema datoj specifikaciji.

Iz relacija (2.49) jasno je kako treba konstruisati rješenje jednačina (2.47). Prvo se konstruiše polarna dekompozicija tenzora od i određuju se tenzori p"b. Pošto su tenzori a"b i pI jednaki, matrica s ima oblik (2.44), (2.45) u glavnom koordinatnom sistemu od tenzor str. Popravljamo matricu Su. Tada je aad = lp labsd. Prema aad, au se računa iz jednačine aad = = biljd x ad. “Ortogonalni dio” distorzije se nalazi iz (2.49) id = nib sd.

Preostale grane ne zadovoljavaju uslov (2,5 1). Dokažimo ovu tvrdnju. Matrica x = A 5, f = X Mfs je ortogonalna. Označimo sa X j matricu koja odgovara prvoj matrici s" (2.44), a sa X j matricu koja odgovara bilo kojem drugom izboru matrice sa (2.44). Zbir "a + Aza po konstrukciji s" jednak je bilo dvostruku vrijednost jedne od dijagonala

Definicija. Vektoria Ib nazivaju se ortogonalnim (okomitim) jedni prema drugima ako su skalarni proizvod jednako nuli, tj.a × b = 0.

Za vektore koji nisu nula a I b jednakost skalarnog proizvoda nuli znači da je cos j= 0, tj. . Nulti vektor je ortogonan na bilo koji vektor, jer a × 0 = 0.

Vježbajte. Neka i biti ortogonalni vektori. Tada je prirodno uzeti u obzir dijagonalu pravokutnika sa stranama i . Dokaži to

one. kvadrat dužine dijagonale pravokutnika jednak je zbroju kvadrata dužina njegove dvije neparalelne stranice(Pitagorina teorema).

Definicija. Vektorski sistema 1 ,…, a m se naziva ortogonalnim ako su bilo koja dva vektora ovog sistema ortogonalna.

Dakle, za ortogonalni sistem vektora a 1 ,…,a m jednakost je tačna: a i × a j= 0 at i¹ j, i= 1,…, m; j= 1,…,m.

Teorema 1.5. Ortogonalni sistem koji se sastoji od vektora koji nisu nula je linearno nezavisan. .

□ Dokaz izvodimo kontradiktorno. Pretpostavimo da je ortogonalni sistem vektora koji nisu nula a 1 , …, a m linearno zavisna. Onda

l 1 a 1 + …+ l ma m= 0 , pri čemu . (1.15)

Neka je, na primjer, l 1 ¹ 0. Pomnožite sa a 1 obje strane jednakosti (1.15):

l 1 a 1× a 1 + …+ l m a m × a 1 = 0.

Svi članovi osim prvog jednaki su nuli zbog ortogonalnosti sistema a 1 , …, a m. Onda l 1 a 1× a 1 =0, što slijedi a 1 = 0 , što je u suprotnosti sa uslovom. Naša pretpostavka se pokazala pogrešnom. To znači da je ortogonalni sistem vektora različitih od nule linearno nezavisan. ■

Vrijedi sljedeća teorema.

Teorema 1.6. U prostoru Rn uvijek postoji baza koja se sastoji od ortogonalnih vektora (ortogonalna baza)
(bez dokaza).

Ortogonalne baze su pogodne prvenstveno zato što se koeficijenti proširenja proizvoljnog vektora preko takvih baza jednostavno određuju.

Pretpostavimo da trebamo pronaći dekompoziciju proizvoljnog vektora b na ortogonalnoj osnovi e 1 ,…,e n. Napravimo ekspanziju ovog vektora sa još nepoznatim koeficijentima proširenja za ovu osnovu:

Pomnožimo obje strane ove jednakosti skalarno vektorom e 1 . Na osnovu aksioma 2° i 3° skalarnog proizvoda vektora, dobijamo

Pošto su bazni vektori e 1 ,…,e n su međusobno ortogonalni, tada su svi skalarni produkti baznih vektora, sa izuzetkom prvog, jednaki nuli, tj. koeficijent je određen formulom

Množenjem jednakosti (1.16) jednu po jednu s drugim baznim vektorima, dobijamo jednostavne formule za izračunavanje koeficijenata ekspanzije vektora b :

Formule (1.17) imaju smisla jer .

Definicija. Vectora naziva se normaliziranim (ili jediničnim) ako je njegova dužina jednaka 1, tj. (a , a )= 1.

Bilo koji vektor različit od nule može se normalizovati. Neka a ¹ 0 . Zatim , i vektor je normalizirani vektor.

Definicija. Vektorski sistem e 1 ,…,e n se naziva ortonormalno ako je ortogonalno i dužina svakog vektora sistema jednaka 1, tj.

Pošto uvijek postoji ortogonalna baza u prostoru Rn i vektori te baze se mogu normalizirati, onda uvijek postoji ortonormalna baza u Rn.

Primjer ortonormirane baze prostora Rn je sistem vektora e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) sa skalarnim proizvodom definisanim jednakošću (1.9). U ortonormalnoj osnovi e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1) formula (1.17) za određivanje koordinata vektorske dekompozicije b imaju najjednostavniji oblik:

Neka a I b – dva proizvoljna vektora prostora R n sa ortonormalnom osnovom e 1 ,=(1,0,…,0),…, e n=(0,0,…,1). Označimo koordinate vektora a I b u osnovi e 1 ,…,e n shodno tome kroz a 1 ,…,a n I b 1 ,…, b n i pronađite izraz za skalarni proizvod ovih vektora kroz njihove koordinate u po ovoj osnovi, tj. Hajde da se pretvaramo

Iz posljednje jednakosti, na osnovu aksioma i relacija skalarnog proizvoda (1.18), dobijamo

Konačno imamo

dakle, u ortonormalnoj bazi, skalarni proizvod bilo koja dva vektora jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata ovih vektora.

Razmotrimo sada potpuno proizvoljnu (općenito govoreći, ne ortonormalnu) bazu u n-dimenzionalnom euklidskom prostoru R n i pronađemo izraz za skalarni proizvod dva proizvoljna vektora a I b kroz koordinate ovih vektora u specificiranoj osnovi. f 1 ,…,f n Euklidski prostor R n skalarni proizvod bilo koja dva vektora jednak je zbroju proizvoda odgovarajućih koordinata ovih vektora, potrebno je i dovoljno da osnova f 1 ,…,f n bio ortonormalan.

U stvari, izraz (1.20) ide u (1.19) ako i samo ako su zadovoljeni odnosi koji uspostavljaju ortonormalnost baze f 1 ,…,f n.

Jednako nuli:

Ortogonalni sistem, ako je kompletan, može se koristiti kao osnova za prostor. U ovom slučaju, dekompozicija bilo kojeg elementa može se izračunati pomoću formula: , gdje je .

Slučaj kada se norma svih elemenata naziva ortonormalnim sistemom.

Ortogonalizacija

Svaki potpuni linearno nezavisan sistem u konačnodimenzionalnom prostoru je osnova. Od jednostavne baze, dakle, može se ići na ortonormalnu bazu.

Ortogonalna dekompozicija

Prilikom dekompozicije vektora vektorskog prostora prema ortonormalnoj bazi, proračun skalarnog proizvoda je pojednostavljen: , gdje i .

vidi takođe

Wikimedia Foundation. 2010.

Pogledajte šta je „Ortogonalni sistem“ u drugim rečnicima:

1) Oh... Mathematical Encyclopedia

- (grč. orthogonios pravougaonik) konačan ili prebrojiv sistem funkcija koji pripadaju (odvojivom) Hilbertovom prostoru L2(a,b) (kvadratično integrabilne funkcije) i zadovoljavaju uslove F tion g(x) tzv. težine O. s. f.,* znači ... ... Fizička enciklopedija

Sistem funkcija??n(x)?, n=1, 2,..., specificiran na segmentu ORTOGONALNA TRANSFORMACIJA linearna Euklidova transformacija vektorski prostor, zadržavajući dužine ili (ekvivalentno) skalarne proizvode vektora nepromijenjenim... Veliki enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija (φn(x)), n = 1, 2, ..., definisan na intervalu [a, b] i koji zadovoljava sljedeći uvjet ortogonalnosti: za k≠l, gdje je ρ(x) neka funkcija zove težina. Na primjer, trigonometrijski sistem je 1, sin x, cos x, sin 2x, ... ... enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija ((fn(h)), n=1, 2, ..., definisan na intervalu [a, b] i koji zadovoljava uslov traga, ortogonalnosti za k nije jednak l, gde je p(x ) je određena funkcija, nazvana težina Na primjer, trigonometrijski sistem 1, cosh, sin 2x,... O.s.f. Prirodna nauka. enciklopedijski rječnik

Sistem funkcija ((φn (x)), n = 1, 2,..., ortogonalni sa težinom ρ (x) na segmentu [a, b], tj. takav da Primjeri. Trigonometrijski sistem 1, cos nx , sin nx n = 1, 2,..., O. f sa težinom 1 na segmentu [π, π]. Velika sovjetska enciklopedija

Ortogonalne koordinate su one u kojima metrički tenzor ima dijagonalni oblik. gdje je d U ortogonalnim koordinatnim sistemima q = (q1, q², …, qd) koordinatne površine su ortogonalne jedna na drugu. Konkretno, u Kartezijanski sistem koordinate... ...Wikipedia

ortogonalni višekanalni sistem- - [L.G. Englesko-ruski rječnik informacionih tehnologija. M.: Državno preduzeće TsNIIS, 2003.] Teme informacione tehnologije generalno EN ortogonalni multipleks...

koordinatni sistem (fotogrametrijske) slike- Desni ortogonalni prostorni koordinatni sistem, fiksiran na fotogrametrijskoj slici slikama fiducijalnih oznaka. [GOST R 51833 2001] Teme: fotogrametrija... Vodič za tehnički prevodilac

sistem- 4.48 sistem: Kombinacija međusobno povezanih elemenata organiziranih za postizanje jednog ili više određenih ciljeva. Napomena 1 Sistem se može smatrati proizvodom ili uslugama koje pruža. Napomena 2 U praksi ... ... Rječnik-priručnik pojmova normativne i tehničke dokumentacije

Takav podskup vektora $\levo$ \varphi_i \desno$\podskup H$ da su bilo koja različita dva od njih ortogonalna, odnosno da je njihov skalarni proizvod jednak nuli:

$(\varphi_i, \varphi_j) = 0$ .

Ortogonalni sistem, ako je kompletan, može se koristiti kao osnova za prostor. Štaviše, razlaganje bilo kojeg elementa $\vec a$ može se izračunati pomoću formula: $\vec a = \sum_(k) \alpha_i \varphi_i$ , Gdje $\alpha_i = \frac((\vec a, \varphi_i))((\varphi_i, \varphi_i))$ .

Slučaj kada je norma svih elemenata $||\varphi_i||=1$ , naziva se ortonormalnim sistemom.

Ortogonalizacija

Svaki potpuni linearno nezavisan sistem u konačnodimenzionalnom prostoru je osnova. Od jednostavne baze, dakle, može se ići na ortonormalnu bazu.

Ortogonalna dekompozicija

Prilikom dekompozicije vektora vektorskog prostora prema ortonormalnoj bazi, izračun skalarnog proizvoda je pojednostavljen: $(\vec a, \vec b) = \sum_(k) \alpha_k\beta_k$ , Gdje $\vec a = \sum_(k) \alpha_k \varphi_k$ I $\vec b = \sum_(k) \beta_k \varphi_k$ .

vidi takođe

Napišite recenziju o članku "Ortogonalni sistem"

Izvod koji karakteriše ortogonalni sistem

- Pa, šta hoćeš? Svi ste zaljubljeni ovih dana. Pa, ti si zaljubljena, pa se udaj za njega! – rekla je grofica ljutito se smejući. - Sa Božjim blagoslovom!
- Ne, mama, nisam zaljubljena u njega, ne smem da budem zaljubljena u njega.
- Pa, reci mu.
- Mama, jesi li ljuta? Nisi ljuta, draga moja, šta sam ja kriv?
- Ne, šta s tim, prijatelju? Ako hoćeš, otići ću i reći mu”, rekla je grofica smješkajući se.
- Ne, uradiću to sam, samo me nauči. Sve ti je lako”, dodala je, odgovarajući na njen osmeh. - Da samo vidiš kako mi je ovo rekao! Uostalom, znam da to nije htio reći, ali je to rekao slučajno.
- Pa, ipak moraš da odbiješ.
- Ne, nemoj. Tako mi ga je žao! On je tako sladak.
- Pa, onda prihvati ponudu. „A onda je vreme za udaju“, rekla je majka ljutito i podrugljivo.
- Ne, mama, tako mi ga je žao. Ne znam kako ću to reći.
„Nemaš šta da kažeš, ja ću sama reći“, rekla je grofica, ogorčena što su se usudili da ovu malu Natašu gledaju kao da je velika.
„Ne, nema šanse, ja sam, a ti slušaj na vratima“, a Nataša je otrčala kroz dnevnu sobu u hodnik, gde je Denisov sedeo na istoj stolici, kraj klavikorda, pokrivajući lice rukama. Poskočio je na zvuk njenih laganih koraka.
"Natalie", rekao je, prilazeći joj brzim koracima, "odluči o mojoj sudbini." U vašim je rukama!
- Vasilije Dmitriču, tako mi te je žao!... Ne, ali ti si tako fin... ali nemoj... ovo... inače ću te uvek voleti.