Rotacijska funkcija. Tema ii. sile inercije. Moment sile koji djeluje na i-tu materijalnu tačku

Osnovni koncepti.

Trenutak snage u odnosu na os rotacije - ovo je vektorski proizvod radijus vektora i sile.

(1.14)

Moment sile je vektor , čiji je smjer određen pravilom gimleta (desni vijak) ovisno o smjeru sile koja djeluje na tijelo. Moment sile je usmjeren duž ose rotacije i nema određenu tačku primjene.

Numerička vrijednost ovog vektora određena je formulom:

M=r F grijeh (1.15),

gdje je  - ugao između radijus vektora i smjera sile.

Ako =0 ili  , trenutak moći M=0, tj. sila koja prolazi kroz os rotacije ili se poklapa s njom ne uzrokuje rotaciju.

Najveći moment modula nastaje ako sila djeluje pod uglom  =  /2 (M 0) ili  =3  /2 (M 0).

Korištenje koncepta poluge d- ovo je okomica spuštena iz središta rotacije na liniju djelovanja sile), formula za moment sile ima oblik:

, Gdje
(1.16)

Pravilo momenata sila(uslov ravnoteže tijela koje ima fiksnu os rotacije):

Da bi tijelo sa fiksnom osom rotacije bilo u ravnoteži, potrebno je da algebarski zbir momenata sila koje djeluju na ovo tijelo bude jednak nuli.

 M i =0 (1.17)

SI jedinica za moment sile je [Nm]

Prilikom rotacionog kretanja, inercija tijela ne ovisi samo o njegovoj masi, već i o njegovoj distribuciji u prostoru u odnosu na os rotacije.

Inerciju tokom rotacije karakteriše moment inercije tela u odnosu na osu rotacije J.

Moment inercije materijalne tačke u odnosu na os rotacije je vrednost jednaka umnošku mase tačke na kvadrat njene udaljenosti od ose rotacije:

J  =m   r  2 (1.18)

Moment inercije tijela u odnosu na osu je zbir momenata inercije materijalnih tačaka koje čine tijelo:

J= m   r  2 (1.19)

Moment inercije tijela zavisi od njegove mase i oblika, kao i od izbora ose rotacije. Za određivanje momenta inercije tijela u odnosu na određenu osu koristi se Steiner-Huygensova teorema:

J=J 0 +m d 2 (1.20),

Gdje J 0 – moment inercije oko paralelne ose koja prolazi kroz centar mase tela, d – rastojanje između dve paralelne ose . Moment inercije u SI mjeri se u [kgm 2 ]

Moment inercije pri rotacijskom kretanju ljudskog tijela se eksperimentalno određuje i izračunava približno pomoću formula za cilindar, okruglu šipku ili loptu.

Moment inercije osobe u odnosu na vertikalnu os rotacije, koja prolazi kroz centar mase (centar mase ljudskog tijela nalazi se u sagitalnoj ravni malo ispred drugog sakralnog pršljena), u zavisnosti od položaj osobe, ima sledeće vrednosti: kada stoji u pažnji - 1,2 kg m 2; sa pozom „arabeska“ – 8 kgm 2; u horizontalnom položaju – 17 kg  m 2.

Radite u rotacionom kretanju nastaje kada se tijelo rotira pod utjecajem vanjskih sila.

Elementarni rad sile pri rotacionom kretanju jednak je umnošku momenta sile i elementarnog ugla rotacije tela:

dA  =M   d (1.21)

Ako na tijelo djeluje nekoliko sila, tada se elementarni rad rezultante svih primijenjenih sila određuje formulom:

dA=M d (1.22),

Gdje M– ukupan moment svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo.

Kinetička energija rotirajućeg tijelaW To zavisi od momenta inercije tela i ugaone brzine njegove rotacije:

(1.23)

Ugao impulsa (ugaoni moment) – količina koja je brojčano jednaka proizvodu impulsa tijela i polumjera rotacije.

L=p r=m V r (1.24).

Nakon odgovarajućih transformacija, možete napisati formulu za određivanje ugaonog momenta u obliku:

(1.25).

Momentum – vektor čiji je smjer određen pravilom desnog zavrtnja. SI jedinica za ugaoni moment je kgm 2 /s

Osnovni zakoni dinamike rotacionog kretanja.

Osnovna jednadžba za dinamiku rotacionog kretanja:

Ugaona akceleracija tijela koje je podvrgnuta rotacionom kretanju direktno je proporcionalna ukupnom momentu svih vanjskih sila i obrnuto proporcionalna momentu inercije tijela.

(1.26).

Ova jednadžba igra istu ulogu u opisivanju rotacijskog kretanja kao i drugi Newtonov zakon za translacijsko kretanje. Iz jednačine je jasno da pod dejstvom spoljašnjih sila, što je veće ugaono ubrzanje, to je manji moment inercije tela.

Drugi Newtonov zakon za dinamiku rotacionog kretanja može se napisati u drugom obliku:

(1.27),

one. prvi izvod ugaonog momenta tijela u odnosu na vrijeme jednak je ukupnom momentu svih vanjskih sila koje djeluju na dato tijelo.

Zakon održanja ugaonog momenta tijela:

Ako je ukupni moment svih vanjskih sila koje djeluju na tijelo jednak nuli, tj.

 M  =0 , Onda dL/dt=0 (1.28).

Stoga
ili
(1.29).

Ova izjava čini suštinu zakona održanja ugaonog momenta tijela, koji je formuliran na sljedeći način:

Ugaoni moment tijela ostaje konstantan ako je ukupni moment vanjskih sila koje djeluju na rotirajuće tijelo jednak nuli.

Ovaj zakon vrijedi ne samo za apsolutno kruto tijelo. Primjer je umjetnički klizač koji izvodi rotaciju oko vertikalne ose. Pritiskom na ruke klizač smanjuje moment inercije i povećava kutnu brzinu. Da bi usporio rotaciju, on, naprotiv, široko širi ruke; Kao rezultat toga, moment inercije se povećava, a kutna brzina rotacije se smanjuje.

U zaključku, predstavljamo uporednu tabelu glavnih veličina i zakona koji karakterišu dinamiku translacionih i rotacionih kretanja.

Tabela 1.4.

Kretanje naprijed		Rotacijski pokret
Fizička količina	Formula	Fizička količina	Formula
		Moment inercije	J=m r 2
		Trenutak snage	M=F r, ako
Tjelesni impuls (količina pokreta)	p=m V	Zamah tijela	L=m V r; L=J
Kinetička energija		Kinetička energija
Mehanički rad		Mehanički rad	dA=Md
Osnovna jednadžba dinamike translacijskog kretanja		Osnovna jednadžba za dinamiku rotacijskog kretanja	,
Zakon održanja impulsa tijela	ili Ako	Zakon održanja ugaone količine gibanja tijela	ili  J    =const, Ako

Neka određeno tijelo pod uticajem sile F primijenjene u tački A dođe u rotaciju oko ose OO" (sl. 1.14).

Sila djeluje u ravni okomitoj na osu. Okomita p ispuštena iz tačke O (koja leži na osi) na smjer sile naziva se rame snage. Proizvod sile na kraku određuje modul momenta sile u odnosu na tačku O:

M = Fp=Frsinα.

Trenutak snage je vektor određen vektorskim proizvodom radijus vektora tačke primjene sile i vektora sile:

(3.1) Jedinica momenta sile je njutnmetar (N m).

Smjer M se može pronaći pomoću pravila desnog zavrtnja.

moment impulsa čestica je vektorski proizvod radijus vektora čestice i njenog impulsa:

ili u skalarnom obliku L = rPsinα

Ova veličina je vektorska i poklapa se u pravcu sa vektorima ω.

§ 3.2 Moment inercije. Steinerova teorema

Mjera inercije tijela tokom translatornog kretanja je masa. Inercija tijela pri rotacionom kretanju ne zavisi samo od mase, već i od njene distribucije u prostoru u odnosu na os rotacije. Mjera inercije tokom rotacionog kretanja je veličina koja se nazivamoment inercije tela u odnosu na os rotacije.

Moment inercije materijalne tačke u odnosu na os rotacije, proizvod mase ove tačke i kvadrata njene udaljenosti od ose naziva se:

I i =m i r i 2 (3.2)

Moment inercije tijela u odnosu na os rotacije nazovimo zbir momenata inercije materijalnih tačaka koje čine ovo tijelo:

(3.3)

U opštem slučaju, ako je telo čvrsto i predstavlja skup tačaka sa malim masama dm, moment inercije je određen integracijom:

(3.4)

Ako je tijelo homogeno i njegova gustina
, zatim moment inercije tijela

(3.5)

Moment inercije tijela ovisi o tome oko koje osi rotira i kako je masa tijela raspoređena po volumenu.

Najlakše je odrediti moment inercije tijela koja imaju pravilan geometrijski oblik i jednoliku raspodjelu mase po zapremini.

Moment inercije homogenog štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz centar inercije i okomita na štap

(3.6)

Moment inercije homogenog cilindra u odnosu na osu okomitu na njegovu osnovu i koja prolazi kroz centar inercije,

(3.7)

Moment inercije tankozidnog cilindra ili obruč u odnosu na osu okomitu na ravan njegove baze i koja prolazi kroz njegovo središte,

(3.8)

Moment inercije lopta u odnosu na prečnik

(3.9)

Pogledajmo primjer . Odredimo moment inercije diska u odnosu na osu koja prolazi kroz centar inercije i okomita na ravan rotacije. Masa diska - m, radijus - R.

Područje prstena (slika 3.2) zatvoreno između

r i r + dr, jednako je dS = 2πr·dr. Područje diska S = πR 2.

dakle,
. Onda

ili

Prema

Date formule za momente inercije tijela date su pod uvjetom da osa rotacije prolazi kroz centar inercije. Da biste odredili momente inercije tijela u odnosu na proizvoljnu osu, trebali biste koristiti Steinerova teorema : moment inercije tijela u odnosu na proizvoljnu os rotacije jednak je zbiru momenta inercije tijela u odnosu na osu paralelnu datoj i koja prolazi kroz centar mase tijela, a proizvod tjelesne mase na kvadrat udaljenosti između osa:

(3.11)

Jedinica momenta inercije je kilogram metar na kvadrat (kg m 2).

Dakle, moment inercije homogenog štapa u odnosu na osu koja prolazi kroz njegov kraj, prema Steinerovoj teoremi, jednak je

(3.12)

« Fizika - 10. razred"

Kutno ubrzanje.

Prethodno smo dobili formulu koja povezuje linearnu brzinu υ, ugaonu brzinu ω i poluprečnik R kružnice po kojoj se kreće odabrani element (materijalna tačka) apsolutno krutog tela, koji rotira oko fiksne ose:

Znamo to linearno brzine i ubrzanja tačaka krutog tijela su različite. U isto vrijeme ugaona brzina ista je za sve tačke krutog tijela.

Ugaona brzina je vektorska veličina. Smjer ugaone brzine određen je pravilom gimleta. Ako se smjer rotacije ručke gimleta poklapa sa smjerom rotacije tijela, tada translacijsko pomicanje gimleta ukazuje na smjer vektora kutne brzine (slika 6.1).

Međutim, ujednačeno rotacijsko kretanje je prilično rijetko. Mnogo češće imamo posla s kretanjem u kojem se mijenja kutna brzina, očito se to dešava na početku i na kraju kretanja.

Razlog za promjenu ugaone brzine rotacije je djelovanje sila na tijelo. Promjena ugaone brzine tokom vremena određuje ugaono ubrzanje.

Vektor ugaone brzine je klizni vektor. Bez obzira na točku primjene, njegov smjer označava smjer rotacije tijela, a modul određuje brzinu rotacije,

Prosječno ugaono ubrzanje jednako je omjeru promjene ugaone brzine i vremenskog perioda tokom kojeg se ta promjena dogodila:

Kod ravnomjerno ubrzanog kretanja, kutno ubrzanje je konstantno, a kod stacionarne ose rotacije karakterizira promjenu ugaone brzine u apsolutnoj vrijednosti. Kada se kutna brzina rotacije tijela povećava, ugaona ubrzanja je usmjerena u istom smjeru kao i ugaona brzina (sl. 6.2, a), a kada se smanjuje, u suprotnom smjeru (sl. 6.2, b).

Pošto je ugaona brzina povezana sa linearnom brzinom relacijom υ = ωR, promena linearne brzine tokom određenog vremenskog perioda Δt jednaka je Δυ =ΔωR. Ako podijelimo lijevu i desnu stranu jednačine sa Δt, imamo ili a = εR, gdje je a - tangenta(linearni) ubrzanje, usmjeren tangencijalno na putanju kretanja (krug).

Ako se vrijeme mjeri u sekundama, a ugaona brzina u radijanima po sekundi, tada je jedna jedinica ugaonog ubrzanja jednaka 1 rad/s 2 , tj. ugaono ubrzanje se izražava u radijanima po sekundi na kvadrat.

Bilo koja rotirajuća tijela, na primjer, rotor u elektromotoru, disk tokarilice, točak automobila pri ubrzanju, itd., kreću se neravnomjerno prilikom pokretanja i zaustavljanja.

Trenutak snage.

Za stvaranje rotacijskog kretanja važna je ne samo veličina sile, već i točka njene primjene. Vrlo je teško otvoriti vrata pritiskom u blizini šarki, ali u isto vrijeme možete ih jednostavno otvoriti pritiskom na vrata što je dalje moguće od ose rotacije, na primjer na ručku. Shodno tome, za rotaciono kretanje nije važna samo vrednost sile, već i rastojanje od ose rotacije do tačke primene sile. Osim toga, važan je i smjer primijenjene sile. Možete povući točak sa veoma velikom silom, ali i dalje ne uzrokovati da se okreće.

Moment sile je fizička veličina jednaka proizvodu sile po ruci:

M = Fd,
gdje je d krak sile jednak najkraćoj udaljenosti od ose rotacije do linije djelovanja sile (slika 6.3).

Očigledno, moment sile je maksimalan ako je sila okomita na vektor radijusa povučen od ose rotacije do tačke primene ove sile.

Ako na tijelo djeluje više sila, tada je ukupni moment jednak algebarskom zbiru momenata svake sile u odnosu na datu os rotacije.

U tom slučaju će se uzeti u obzir momenti sila koje uzrokuju rotaciju tijela u smjeru suprotnom od kazaljke na satu pozitivno(sila 2), a momenti sila koje uzrokuju rotaciju u smjeru kazaljke na satu su negativan(sile 1 i 3) (sl. 6.4).

Osnovna jednadžba za dinamiku rotacionog kretanja. Kao što je eksperimentalno pokazano da je ubrzanje tijela direktno proporcionalno sili koja na njega djeluje, utvrđeno je da je kutno ubrzanje direktno proporcionalno momentu sile:

Neka sila djeluje na materijalnu tačku koja se kreće u krug (slika 6.5). Prema drugom Newtonovom zakonu, u projekciji na smjer tangente imamo ma k = F k Množenjem lijeve i desne strane jednačine sa r, dobivamo ma k r = F k r, ili.

mr 2 ε = M. (6.1)

Imajte na umu da je u ovom slučaju r najkraća udaljenost od ose rotacije do materijalne tačke i, shodno tome, tačke primene sile.

Zove se proizvod mase materijalne tačke na kvadrat udaljenosti do ose rotacije moment inercije materijalne tačke i označen je slovom I.

Dakle, jednačina (6.1) se može napisati u obliku I ε = M, odakle

Jednačina (6.2) se zove osnovna jednačina dinamike rotacionog kretanja.

Jednačina (6.2) vrijedi i za rotacijsko kretanje solidan, koji ima fiksnu os rotacije, gdje je I moment inercije čvrstog tijela, a M ukupan moment sila koje djeluju na tijelo. U ovom poglavlju, prilikom izračunavanja ukupnog momenta sila, razmatramo samo sile ili njihove projekcije koje pripadaju ravni okomitoj na os rotacije.

Ugaona akceleracija s kojom se tijelo rotira direktno je proporcionalna zbroju momenata sila koje na njega djeluju, a obrnuto proporcionalna momentu inercije tijela u odnosu na datu os rotacije.

Ako se sistem sastoji od skupa materijalnih tačaka (slika 6.6), tada je moment inercije ovog sistema u odnosu na datu osu rotacije OO" jednak zbiru momenata inercije svake materijalne tačke u odnosu na ovu osa rotacije: I = m 1 r 2 1 + m 2 r 2 2 + ... .

Moment inercije krutog tijela može se izračunati podjelom tijela na male zapremine, koje se mogu smatrati materijalnim tačkama, i zbrajanjem njihovih momenata inercije u odnosu na os rotacije. Očigledno, moment inercije zavisi od položaja ose rotacije.

Iz definicije momenta inercije slijedi da moment inercije karakterizira raspodjelu mase u odnosu na os rotacije.

Predstavimo vrijednosti momenata inercije za neka apsolutno kruta homogena tijela mase m.

1. Moment inercije tanke ravni štap dužina l u odnosu na osu okomitu na štap i koja prolazi kroz njegovu sredinu (slika 6.7) jednaka je:

2. Moment inercije pravi cilindar(Sl. 6.8), ili disk u odnosu na osu OO", koja se poklapa sa geometrijskom osom cilindra ili diska:

3. Moment inercije lopta

4. Moment inercije tanak obruč poluprečnik R u odnosu na osu koja prolazi kroz njen centar:

U svom fizičkom smislu, moment inercije pri rotacionom kretanju igra ulogu mase, odnosno karakteriše inerciju tela u odnosu na rotaciono kretanje. Što je veći moment inercije, teže je navesti tijelo da rotira ili, obrnuto, zaustaviti tijelo koje rotira.

Sila trenja je uvijek usmjerena duž kontaktne površine u smjeru suprotnom od kretanja. Ona je uvijek manja od sile normalnog pritiska.

ovdje:
F- gravitaciona sila kojom se dva tijela privlače (Newton),
m 1- masa prvog tijela (kg),
m 2- masa drugog tijela (kg),
r- udaljenost između centara mase tijela (metar),
γ - gravitaciona konstanta 6,67 10 -11 (m 3 /(kg sec 2)),

Jačina gravitacionog polja- vektorska veličina koja karakteriše gravitaciono polje u datoj tački i numerički jednaka odnosu gravitacione sile koja deluje na telo postavljeno u datoj tački polja i gravitacione mase ovog tela:

12. Prilikom proučavanja mehanike krutog tijela koristili smo koncept apsolutno krutog tijela. Ali u prirodi ne postoje apsolutno čvrsta tijela, jer... sva stvarna tela pod uticajem sila menjaju svoj oblik i veličinu, tj. deformisan.
Deformacija pozvao elastična, ako nakon što su vanjske sile prestale djelovati na tijelo, tijelo vraća svoju prvobitnu veličinu i oblik. Deformacije koje ostaju u tijelu nakon prestanka djelovanja vanjskih sila nazivaju se plastika(ili rezidualni)

RAD I SNAGA

Rad sile.
Rad koji vrši stalna sila koja djeluje na pravolinijsko tijelo
, gdje je pomak tijela, je sila koja djeluje na tijelo.

Općenito, rad koji vrši promjenjiva sila koja djeluje na tijelo koje se kreće duž zakrivljene putanje . Rad se mjeri u džulima [J].

Rad momenta sile koji djeluje na tijelo koje rotira oko fiksne ose, gdje je moment sile i ugao rotacije.
Uglavnom .
Rad koji izvrši tijelo pretvara se u njegovu kinetičku energiju.
Snaga- ovo je rad u jedinici vremena (1 s): . Snaga se mjeri u vatima [W].

14.Kinetička energija- energija mehaničkog sistema u zavisnosti od brzine kretanja njegovih tačaka. Kinetička energija translacionog i rotacionog kretanja se često oslobađa.

Razmotrimo sistem koji se sastoji od jedne čestice i napišemo Njutnov drugi zakon:

Postoji rezultanta svih sila koje djeluju na tijelo. Hajde da skalarno pomnožimo jednačinu sa pomakom čestice. S obzirom na to, dobijamo:

Ako je sistem zatvoren, tj , i vrijednost

ostaje konstantan. Ova količina se zove kinetička energijačestice. Ako je sistem izolovan, tada je kinetička energija integral kretanja.

Za apsolutno kruto tijelo, ukupna kinetička energija se može napisati kao zbir kinetičke energije translacijskog i rotacijskog kretanja:

Telesna masa

Brzina centra mase tijela

Moment inercije tijela

Ugaona brzina tijela.

15.Potencijalna energija- skalarna fizička veličina koja karakteriše sposobnost određenog tijela (ili materijalne tačke) da izvrši rad zbog njegovog prisustva u polju djelovanja sila.

16. Istezanje ili sabijanje opruge dovodi do skladištenja njene potencijalne energije elastične deformacije. Povratak opruge u njen ravnotežni položaj rezultira oslobađanjem uskladištene energije elastične deformacije. Veličina ove energije je:

Potencijalna energija elastične deformacije..

- rad elastične sile i promjena potencijalne energije elastične deformacije.

17.konzervativne snage(potencijalne sile) - sile čiji rad ne zavisi od oblika putanje (zavisi samo od početne i krajnje tačke primene sila). To podrazumijeva definiciju: konzervativne sile su one sile čiji je rad duž bilo koje zatvorene putanje jednak 0

Disipativne sile- sile pod čijim se djelovanjem na mehanički sistem njegova ukupna mehanička energija smanjuje (odnosno raspršuje), pretvarajući se u druge, nemehaničke oblike energije, na primjer, u toplinu.

18. Rotacija oko fiksne ose To je kretanje krutog tijela u kojem dvije njegove tačke ostaju nepomične za vrijeme cijelog kretanja. Prava linija koja prolazi kroz ove tačke naziva se osa rotacije. Sve ostale tačke tijela kreću se u ravninama okomitim na os rotacije, po kružnicama čiji centri leže na osi rotacije.

Moment inercije- skalarna fizička veličina, mjera inercije u rotacionom kretanju oko ose, kao što je masa tijela mjera njegove inercije u translatornom kretanju. Karakterizira ga distribucija masa u tijelu: moment inercije jednak je zbroju proizvoda elementarnih masa kvadratom njihovih udaljenosti do osnovnog skupa (tačka, prava ili ravan).

Moment inercije mehaničkog sistema u odnosu na fiksnu osu („aksijalni moment inercije“) je veličina J a, jednako zbroju proizvoda masa svih n materijalne tačke sistema kvadratima njihovih udaljenosti do ose:

,

§ m i- težina i ta tačka,

§ r i- udaljenost od i tačku na osu.

Aksijalni moment inercije tijelo J a je mjera inercije tijela u rotacijskom kretanju oko ose, kao što je masa tijela mjera njegove inercije u translatornom kretanju.

,

§ - masa malog elementa zapremine tela,

Pretpostavimo da se kruto tijelo A (slika 1.19, a) može rotirati oko neke fiksne ose. Da bi se izazvala rotacija tijela (da bi se promijenila njegova ugaona brzina), neophodan je vanjski utjecaj. Međutim, sila čiji smjer prolazi kroz os rotacije, ili sila paralelna s osi, ne može promijeniti kutnu brzinu tijela.

Stoga je od vanjske sile primijenjene na tijelo potrebno izolirati komponente koje ne uzrokuju rotaciju. Rotaciju može izazvati samo sila (rotaciona sila) koja leži u ravni koja je okomita na os rotacije i usmerena tangencijalno na kružnicu opisanu točkom njene primene.

Imajte na umu da kada se tijelo rotira, komponente ne obavljaju rad, jer se tačka primjene ovih sila kreće okomito na njihov smjer. Rad se obavlja samo rotacijskom silom, to je projekcija sile koja djeluje na tijelo na smjer kretanja tačke primjene ove sile.

Odredimo količinu rada koju obavlja rotirajuća sila ako se njena tačka primene kreće duž kruga poluprečnika za (slika 1.19, b). Pretpostavimo da veličina sile ostaje konstantna. Onda

Umnožak rotacione sile i polumjera je moment rotacijske sile, ili moment koji djeluje na dato tijelo, i označen je sa (podsjetimo da je moment date sile u odnosu na bilo koju osu proizvod ove sile sa njegov krak, odnosno po dužini okomice, izveden od navedene

osi prema smjeru sile). Dakle, u formuli (2.8)

dakle, rad koji obavlja obrtni moment jednak je proizvodu ovog momenta i kuta rotacije tijela:

Ako se moment (sila ili njena ruka) mijenja tokom vremena, tada se obavljeni rad određuje kao zbir:

Moment rotacione sile je predstavljen kao vektor koji se poklapa sa osom rotacije; pozitivna orijentacija ovog vektora se bira u smjeru u kojem bi se kretao desni vijak rotiran u ovom trenutku.

Obrtni moment primijenjen na tijelo daje mu određeno ugaono ubrzanje u skladu sa smjerovima vektora koje smo odabrali, oni su orijentirani duž osi rotacije u istom smjeru. Odnos između veličine momenta i veličine ugaonog ubrzanja koje on daje može se uspostaviti na dva načina:

a) možemo iskoristiti činjenicu da je rad pokretačke sile jednak promjeni kinetičke energije tijela na koje je ta sila primijenjena: Za rotirajuće tijelo, prema formulama (2.9) i (2.4), imati

Ovdje pretpostavljamo da se moment inercije tijela ne mijenja tokom rotacije. Podijelimo ovu jednačinu sa i smanjimo za dobivamo

b) možete koristiti činjenicu da je moment rotirajuće sile jednak zbiru momenata sila koje daju tangencijalna ubrzanja pojedinim komponentama tijela, a te sile su jednake;

Zamenimo tangencijalna ubrzanja sa ugaonim ubrzanjem, koje je isto za sve čestice rotirajućeg tela (ako se telo ne deformiše tokom rotacije): Tada

Formula (2.12) izražava osnovni zakon dinamike rotacionog kretanja čvrstih (nedeformabilnih) tijela, za koje

ugaono ubrzanje koje tijelo postigne pod utjecajem datog momenta je direktno proporcionalno veličini ovog momenta i obrnuto proporcionalno momentu inercije tijela u odnosu na os rotacije:

U vektorskom obliku, ovaj zakon je zapisan kao

Ako se tijelo deformira tijekom rotacije, tada će se promijeniti njegov moment inercije u odnosu na os rotacije. Zamislimo mentalno rotirajuće tijelo koje se sastoji od mnogo elementarnih (tačkastih) dijelova; tada će deformacija cijelog tijela značiti promjenu udaljenosti od ovih dijelova tijela do ose rotacije. Međutim, promjena udaljenosti date ugaone brzine rotacije co će biti praćena promjenom linearne brzine kretanja ove čestice, a time i njene kinetičke energije. Dakle, pri konstantnoj ugaonoj brzini rotacije tijela, promjena udaljenosti (dakle i promjena momenta inercije tijela) će biti praćena promjenom kinetičke energije rotacije cijelog tijela.

Iz formule (2.4), ako pretpostavimo varijable, možemo dobiti

Prvi član pokazuje promjenu kinetičke energije rotirajućeg tijela, do koje je došlo samo zbog promjene ugaone brzine rotacije (u datom momentu inercije tijela), a drugi član pokazuje promjenu kinetičke energije , koji je nastao samo zbog promjene momenta inercije tijela (pri datoj ugaonoj brzini rotacije).

Međutim, kada se udaljenost od točkastog tijela do ose rotacije promijeni, unutrašnje sile koje povezuju ovo tijelo sa osom rotacije će obaviti posao: negativne ako se tijelo udalji, a pozitivne ako se tijelo približi osi rotacije; ovaj rad se može izračunati ako pretpostavimo da je sila koja povezuje česticu s osom rotacije numerički jednaka centripetalnoj sili:

Za cijelo tijelo, koje se sastoji od mnogo čestica sa masama, dobijamo

U općenitom slučaju, kada vanjski moment djeluje na tijelo, promjena kinetičke energije mora se izjednačiti sa zbirom dvaju radova: vanjskog momenta i unutrašnjih sila Uz ubrzanu rotaciju, vrijednosti će imati pozitivne predznake, - negativne

znak (pošto se čestice tijela udaljavaju od ose rotacije); Onda

Zamjenom ovdje vrijednosti iz izraza (2.15) i zamjenom sa dobivamo

ili nakon smanjenja

Ovo je opći oblik temeljnog zakona mehanike za tijela koja rotiraju oko fiksne ose, također je primjenjiv i za tijela koja se deformiraju. Kada se formula (2.16) transformiše u formulu (2.14).

Imajte na umu da je za tijela koja se deformiraju, promjena ugaone brzine rotacije moguća čak i u odsustvu vanjskog momenta. Zaista, kada - iz formule (2.16) dobijamo:

U ovom slučaju, kutna brzina rotacije se mijenja samo zbog promjene momenta inercije tijela uzrokovane unutarnjim silama.