Rok akademicki 2013_2014 II semestr Wykład nr 2.6 strona 12

Odkształcenie belek podczas zginania. Równanie różniczkowe dla zakrzywionej osi belki. Metoda parametrów początkowych. Równanie uniwersalne linii sprężystej.

6. Odkształcenia belek podczas zginania płaskiego

6.1. Podstawowe pojęcia i definicje

Rozważmy odkształcenie belki podczas zginania płaskiego. Oś belki pod wpływem obciążenia wygina się w płaszczyźnie działania sił (płaszczyzna X 0y), natomiast przekroje są obracane i przesuwane o określoną wartość. Nazywa się zakrzywioną oś belki podczas zginania zakrzywiona oś Lub linia elastyczna.

Odkształcenie belek podczas zginania opiszemy dwoma parametrami:

ugięcie(y) – przemieszczenie środka ciężkości przekroju belki w kierunku prostopadłym do

Ryż. 6.1 do swojej osi.

Nie myl ugięcia y ze współrzędną y punkty przekroju belki!

Największe ugięcie belki nazywa się strzałką ugięcia ( F= y maks);

2) kąt obrotu sekcji() – kąt, o który obróci się przekrój względem jego pierwotnego położenia (lub kąt pomiędzy styczną do linii sprężystej a pierwotną osią belki).

Ogólnie rzecz biorąc, wielkość ugięcia belki w danym punkcie jest funkcją współrzędnej z i można zapisać jako następujące równanie:

Następnie kąt między styczną do zakrzywionej osi belki a osią X zostanie określona na podstawie następującego wyrażenia:

.

Ze względu na małe kąty i przemieszczenia możemy to założyć

kąt obrotu przekroju jest pierwszą pochodną ugięcia belki wzdłuż odciętej przekroju.

6.2. Równanie różniczkowe zakrzywionej osi belki

Bazując na fizycznej naturze zjawiska zginania, można stwierdzić, że zakrzywiona oś belki ciągłej musi być krzywą ciągłą i gładką (bez załamań). W tym przypadku o odkształceniu konkretnego odcinka belki decyduje krzywizna jej linii sprężystej, czyli krzywizna osi belki.

Wcześniej otrzymaliśmy wzór na określenie krzywizny belki (1/ρ) podczas zginania

.

Natomiast z kursu wyższej matematyki wiadomo, że równanie krzywizny krzywej płaskiej wygląda następująco:

.

Zrównując prawe strony tych wyrażeń, otrzymujemy równanie różniczkowe dla zakrzywionej osi belki, które nazywa się dokładnym równaniem dla zakrzywionej osi belki

W układzie współrzędnych ugięcia z0 y gdy oś y jest skierowany w górę, znak chwili wyznacza znak drugiej pochodnej y Przez z.

Całkowanie tego równania nastręcza oczywiście pewne trudności. Dlatego zwykle zapisuje się go w formie uproszczonej, zaniedbując wartość w nawiasach w porównaniu z jednością.

Następnie równanie różniczkowe linii sprężystej belki rozważymy to w postaci:

(6.1)

Rozwiązanie równania różniczkowego (6.1) znajdujemy całkując obie jego części po zmiennej z:

(6.2)

(6.3)

Stałe całkowania C 1 , D 1 wynika z warunków brzegowych - warunków zabezpieczenia belki i dla każdego odcinka belki zostaną wyznaczone jej własne stałe.

Rozważmy procedurę rozwiązywania tych równań na konkretnym przykładzie.

D nie:

Długość belki wspornikowej l obciążony siłą ścinającą F. Materiał belki ( mi), kształt i wymiary jego przekroju ( I X) również uważamy za znane.

O limit prawo zmiany kąta obrotu ( z) i ugięcie y(z) belki na długości i ich wartości w charakterystycznych przekrojach.

Rozwiązanie

a) określić reakcje podczas uszczelniania

b) metodą przekrojów wyznaczamy wewnętrzny moment zginający:

c) określić kąt obrotu odcinków belek

Stały C 1 z warunków mocowania dowiadujemy się, a mianowicie, że w sztywnym osadzeniu kąt obrotu jest równy zeru, wówczas


(0) = 0  C 1 =0.

Znajdźmy kąt obrotu wolnego końca belki ( z = l) :

Znak minus wskazuje, że sekcja została obrócona w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

d) określić ugięcia belki:

Stały D 1 z warunków mocowania dowiadujemy się, że w sztywnym osadzeniu ugięcie jest równe zeru, wówczas

y(0) = 0 + D 1  D 1 = 0

Znajdźmy ugięcie wolnego końca belki ( X= l)

.

Znak minus wskazuje, że przekrój poprzeczny przesunął się w dół.

Analityczne wyznaczanie przemieszczeń belek

Przykład 1

Zadanie

Dla belki pokazanej na rys. 4.20, A, musisz znaleźć ugięcie w przekroju Z, kąt obrotu w przekroju W analitycznie i sprawdzić stan sztywności, czy dopuszczalne ugięcie jest równe l/100. Belka jest wykonana z drewna i ma przekrój trzech bali o promieniu 12 cm (Dobór przekroju tej belki znajduje się w rozdziale 4.1.2, przykład 1).

Rozwiązanie

Aby w sposób analityczny wyznaczyć przemieszczenia belki, ułożymy równanie różniczkowe osi zakrzywionej (4.16), korzystając z reguł Clebscha rejestrujących wyrażenie na moment zginający. W rozważanym problemie bardziej racjonalne jest wybranie początku współrzędnych po prawej stronie (w zbliżeniu). Rozłożone obciążenie, które nie sięga lewego końca belki, zostanie rozciągnięte na sekcję Z(ryc. 4.20, V). Wyrażenie momentu zginającego będzie wyglądać następująco:

.

Podstawmy to wyrażenie do równania różniczkowego (4.16) i całkujmy je dwukrotnie:

;

;

.

Aby wyznaczyć stałe Z I D Zapiszmy warunki brzegowe: w osadzeniu (w przekroju A, gdzie znajduje się początek współrzędnych), kąty obrotu i odchylenia belki są równe zeru, tj.

I .

Podstawiając te warunki do wyrażeń kąta obrotu i odchylenia z pierwszej części, znajdujemy to

Teraz możesz zdefiniować określone ruchy. Aby określić kąt obrotu w przekroju W Podstawmy do wyrażenia na kąt obrotu w pierwszej części (tylko do linii o numerze I) wartość:

Zgodnie z zasadą znaku, znak ujemny kąta obrotu dla wybranego początku X po prawej stronie oznacza, że ​​sekcja jest obracana w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara.

W przekroju Z, gdzie chcesz znaleźć ugięcie, współrzędne X jest równa , a sekcja ta znajduje się w trzeciej części belki, więc podstawiamy X= 4 m w wyrażeniu na ugięcie, używając terminów we wszystkich trzech sekcjach:

kNm3.

Znak minus dla znalezionego ugięcia wskazuje, że przekrój Z przesuwa się w górę. Pokażmy znalezione przemieszczenia na zakrzywionej osi belki. Aby narysować oś belki po odkształceniu, konstruujemy wykres momentów zginających (ryc. 4.20, B). Pozytywny znak diagramu M na przekroju pokazuje, że wiązka na tym odcinku zagina się wypukłie w dół, ze znakiem ujemnym M zakrzywiona oś jest wypukła w górę. Ponadto odkształcona oś belki musi spełniać warunki mocowania: w naszym przypadku belka jest sztywno ściśnięta na prawym końcu i, jak już wspomniano przy pisaniu warunków brzegowych, ugięcie i kąt obrotu w ściskaniu musi być równe zeru. Na ryc. 4.20, G oś rozpatrywanej belki pokazano po odkształceniu spełniającym te warunki. Zakrzywiona oś pokazuje znalezione ugięcia w przekroju Z i kąt obrotu sekcji W biorąc pod uwagę ich znaki.

Podsumowując, obliczmy ugięcie belki w centymetrach, kąt obrotu w radianach i sprawdźmy warunek sztywności. Znajdźmy sztywność EI rozważana drewniana belka z trzech kłód o promieniu 12 cm Moment bezwładności przekroju poprzecznego

cm 4.

Moduł sprężystości drewna mi= 10 4 MPa = 10 3 kN / cm 2. Następnie

Ugięcie belki w przekroju Z

cm,

i kąt obrotu przekroju W

zadowolony.

Oczywiście (patrz ryc. 4.20, G), że stwierdzone ugięcie belki w przekroju Z jest maksymalna, dlatego aby sprawdzić stan sztywności, porównujemy go z dopuszczalnym ugięciem. Dla długości belki m dopuszczalne ugięcie w zależności od warunku cm Zatem maksymalne ugięcie wynosi cm jest mniejsza niż dopuszczalna, a warunek sztywności jest spełniony.

Przykład 2

Zadanie

W belce z dwoma wspornikami pokazanej na rys. 4.21, A musimy znaleźć kąt obrotu przekroju A i ugięcie przekroju D przy użyciu metody analitycznej. Przekrój belki to dwuteownik nr 24.

Rozwiązanie

Wybierzmy początek współrzędnej X na lewym końcu belki w punkcie A i zapisz wyrażenie na moment zginający we wszystkich przekrojach, biorąc pod uwagę reguły Clebscha:

Podstawmy to wyrażenie do równania różniczkowego zakrzywionej osi (4.16) i całkujmy je dwukrotnie:

Znajdźmy dowolne stałe Z I D od warunków brzegowych. W punktach W I Z tam, gdzie znajdują się podpory, ugięcia nie są możliwe. Dlatego

Otrzymaliśmy układ dwóch równań z dwiema niewiadomymi Z I D. Znajdujemy rozwiązanie tego układu Z= 40 kNm2, D= – 40 kN·m 3. Przeanalizujmy wynik, wykorzystując geometryczne znaczenie dowolnych stałych Z I D. Na ryc. 4.21, V pokazano zakrzywioną oś belki, odpowiadającą wykresowi momentów zginających i warunków mocowania. Kropka A, znajdujący się w początku, przesuwa się w górę i dlatego powinniśmy się tego spodziewać będzie miał znak ujemny zgodnie z zasadą znaku. Sekcja w punkcie A obraca się zgodnie z ruchem wskazówek zegara, więc stała musi być pozytywny. Otrzymane znaki Z I D nie zaprzeczają przeprowadzonej analizie.

TEMAT 6

OKREŚLENIE RUCHÓW PODCZAS ZGINANIA. OBLICZANIE BELKI NA SZTYWNOŚĆ

6.1. Pojęcie linii elastycznej. Kąt odchylenia i obrotu. Równanie różniczkowe linii sprężystej. Warunek sztywności zginania

Aby ocenić zachowanie belek zginanych, nie wystarczy znać tylko naprężeń, jakie powstają w przekrojach belki pod danym obciążeniem. Obliczone naprężenia pozwalają sprawdzić wytrzymałość układu. Jednakże bardzo mocne belki mogą nie nadawać się do użytku ze względu na niewystarczającą sztywność. Jeżeli belka podczas obciążenia mocno się ugnie, wówczas pojawią się trudności w eksploatacji konstrukcji z belkami podatnymi, a ponadto mogą wystąpić drgania belki o dużych amplitudach i jednocześnie znaczne naprężenia dodatkowe.

Pod sztywność należy rozumieć zdolność elementów konstrukcyjnych i części maszyn do wytrzymywania obciążeń zewnętrznych bez widocznych odkształceń. Obliczanie sztywności polega na ocenie podatności sprężystej belki pod wpływem przyłożonych obciążeń i dobraniu takich wymiarów przekroju poprzecznego, przy których przemieszczenia nie przekroczą wartości granicznych określonych normami. Aby wykonać takie obliczenia, należy nauczyć się obliczać przemieszczenia odcinków belek pod wpływem dowolnego obciążenia zewnętrznego.

Rozważmy odkształcenie belki podczas prostego zginania. Oś belki (ryc. 6.1, a) pod wpływem obciążenia umieszczonego w jednej z głównych płaszczyzn bezwładności (w płaszczyźnie DIV_ADBLOCK65">

Punkt https://pandia.ru/text/79/355/images/image003_20.gif" szerokość="13" wysokość="15">.gif" szerokość="24" wysokość="19 src=">.gif "width="13" height="15">. Jeśli w punkcie narysujemy styczną do osi belki zakrzywionej, to względem początkowego położenia osi zostanie ona obrócona o kąt. Jednocześnie czasie przekrój w punkcie zostanie obrócony o ten sam kąt, a więc trzy wielkości- , i są składowymi przemieszczenia dowolnego przekroju poprzecznego belki. Nazywa się ruch środka ciężkości przekroju w kierunku prostopadłym do osi belki ugięcie. Największe ugięcie nazywa się wysięgnik odchylający i jest oznaczony literą .

Kąt https://pandia.ru/text/79/355/images/image010_4.gif" szerokość="24" wysokość="19 src=">.

Grubość czcionki: normalna"> Ryc.6.1

Sprawdzenie sztywności belek sprowadza się do wymogu, aby największe ugięcie miało wartość Font-weight:normal"> .

Liczbę https://pandia.ru/text/79/355/images/image014_4.gif" szerokość="17" wysokość="15 src="> przyjmuje się jako równą 1000.

Pokazuje to, że ugięcie przy zginaniu jest zwykle małe w porównaniu z rozpiętością belki. Pozwala to na pewne uproszczenia. Po pierwsze, przy małych ugięciach waga czcionki:normalna">waga-czcionki:normalna">Po drugie, ruchy poziome można pominąć, ponieważ są one znacznie mniejsze https://pandia.ru/text/79/355/images /image016_5. gif" szerokość="45" wysokość="15 src=">). W związku z tym w obliczeniach skorzystamy ze schematu ruchu warunkowego pokazanego na ryc. 6.1, b. Zgodnie z tym schematem każdy punkt porusza się prostopadle do podłużna oś belki.

Aby określić pełny obraz odkształceń, konieczne jest uzyskanie równania linii sprężystości

Na podstawie natura fizyczna zakrzywiona oś belki, możemy stwierdzić, że linia sprężystości musi być krzywą ciągłą i gładką, zatem na całej osi belki funkcja i jej pierwsza pochodna muszą być ciągłe. Ugięcia i kąty obrotu to przemieszczenia odcinków belek podczas zginania. Odkształcenie konkretnego odcinka belki zależy od jej krzywizny.

Wyprowadzając wzór na normalne naprężenia zginające, otrzymaliśmy zależność pomiędzy krzywizną a momentem zginającym:

Font-weight:normal">Z kursu wyższej matematyki znane jest następujące równanie krzywizny krzywej płaskiej:

Font-weight:normal">Podstawiając wartość krzywizny do równości (6.2) i zastępując współrzędną ugięciem, otrzymujemy dokładne równanie różniczkowe linii sprężystości belki:

Font-weight:normal">Całkowanie tego nieliniowego równania różniczkowego wiąże się z dużymi trudnościami. Biorąc pod uwagę, że w praktyce mamy do czynienia z małymi ugięciami i że styczne kątów nachylenia stycznej do osi będą małe, kwadrat pierwszej pochodnej https://pandia.ru/text/79/355/images/image024_4.gif" szerokość="101 wysokość=48" wysokość="48"> (6,5)

W równaniu (6.5) podano dwa znaki, ponieważ znak krzywizny może nie pokrywać się ze znakiem momentu zginającego. Znak krzywizny zależy od kierunku osi współrzędnych. Znak momentu zginającego dobierano w zależności od umiejscowienia włókien rozciąganych. Na przykład w przypadku, gdy oś jest skierowana w górę, punkt pozytywny(Rys. 6.2, a) odpowiada krzywiźnie dodatniej, a ujemnej – krzywiźnie ujemnej.

Rozmiar czcionki: 14,0pt"> Ryc. 6.2

Zatem w przypadku, gdy oś jest skierowana w górę, znaki krzywizny i momentu zginającego pokrywają się. Dlatego w równaniu różniczkowym przyjmuje się znak“ + ” . Jeśli oś to EN-US" style="font-size: 14.0pt">"- ” .

6.2. Metoda bezpośredniego całkowania przybliżonego (głównego) równania różniczkowego linii sprężystej

Rozwiązanie problemu Metoda analityczna, kąty obrotu i ugięcia oblicza się poprzez sekwencyjne całkowanie przybliżonego równania różniczkowego (6.5). Całkując po raz pierwszy równanie (6.5) otrzymujemy wyrażenie na kąt obrotu:

https://pandia.ru/text/79/355/images/image030_3.gif" szerokość="12" wysokość="23">

gdzie rodzina czcionek:Symbol">- stała integracji.

Całkując po raz drugi, otrzymujemy wyrażenie na ugięcie:

rozmiar czcionki:14.0pt">.gif" szerokość="17" wysokość="17 src=">- ciągłe integracje.

Aby obliczyć całki zawarte w (6.6) i (6.7), należy najpierw zapisać wyrażenia analityczne na moment zginający i sztywność. Stałe całkowania można znaleźć w warunkach brzegowych, które zależą od warunkówprzesuwanie granic przekrojów belek.

Rozważmy kilka przykładów zastosowania metody bezpośredniego całkowania przybliżonego równania linii sprężystej belki.

Przykład 6.1.Wyznacz ugięcie i kąt obrotu przekroju B belki pokazanej na ryc. 6.3.

Rozmiar czcionki: 14,0pt"> Ryc.6.3

Rozwiązanie:

; .

- w prawo.

.

znak „+”.

5. Całkujmy równanie po raz pierwszy. Otrzymujemy:

EN-US" style="font-size: 14,0pt">.(A)

EN-US" style="font-size: 14,0pt">.(B)

Ponieważ kąty ugięcia i obrotu w osadzeniu wynoszą zero, do wyznaczenia stałych całkowania warunki brzegowe mają postać:

Kiedy https://pandia.ru/text/79/355/images/image042_3.gif" szerokość="37" height="19 src=">font-size:14.0pt">Z równania (a) jest jasne że stała reprezentuje kąt obrotu w punkcie początkowym (sekcja A). Ustawiając równanie (a), znajdujemy . Z równania (b) wynika, że ​​stały rozmiar czcionki: 14,0pt; rodzina czcionek:Symbol">-ugięcie na początku..gif" szerokość="43" wysokość="19 src=">.

W ten sposób otrzymujemy następujące wyrażenia na ugięcie i kąt obrotu:

,

.

Podstawiając do pierwszego równania, znajdujemy strzałkę ugięcia:

.

Podstawiając do drugiego równania, znajdujemy maksymalny kąt obrotu

Podpisać " - " przy ugięciu wskazuje, że jego kierunek nie pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi. Podpisać“ - ” w wyrażeniu na kąt obrotu pokazuje, że sekcja B obróciła się w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, a nie przeciwnie do ruchu wskazówek zegara.

Przykład 6.2.Wyznaczyć ugięcie belki dwupodporowej oraz kąty obrotu sekcji podporowych A i B (ryc. 6.4).

Rozmiar czcionki: 14,0pt"> Ryc.6.4

Rozwiązanie:

1. Z warunków równowagi wyznaczamy reakcje podporowe:

2. Wybierz początek współrzędnych na lewym końcu belki, łącząc go z punktem A. Oś skierowana jest w górę, oś- w prawo.

3. Tworzymy równanie na moment zginający w przekroju:

.

4. Zakładając, że sztywność belki jest stała, zapisujemy przybliżone równanie różniczkowe linii sprężystości belki:

.

znak „+”. w równaniu przyjęto linię sprężystą, ponieważ oś jest skierowana w górę.

5. Całkujmy równanie po raz pierwszy. Otrzymujemy:

EN-US" style="font-size: 14,0pt">.(W)

Całkując ponownie, otrzymujemy równanie na ugięcie w przekroju:

EN-US" style="font-size: 14,0pt">.(G)

Stałe całkowania znajdujemy z warunków brzegowych:

Kiedy https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" szerokość="35" height="19 src=">font-size:14.0pt">Podstawienie do równania (d) i zrównanie odchylenie do zera, otrzymujemy ; podstawiając https://pandia.ru/text/79/355/images/image031_4.gif" szerokość="16" wysokość="19"> do tego samego równania:

Podstawiamy znalezione wartości stałych całkowania do równań (c) i (d) i otrzymujemy równania dla kątów obrotu i ugięcia:

;

.

Podstawiając https://pandia.ru/text/79/355/images/image049_2.gif" szerokość="35" wysokość="19 src="> do pierwszego równania otrzymujemy kąty obrotu odcinków A i B odpowiednio:

; .

Ze względu na symetrię obciążenia maksymalne ugięcie będzie w środku belki. Podstawiając rozmiar czcionki:14,0pt"> do drugiego równania .

Podobnie jak w poprzednim przykładzie, znak“ - ” przy ugięciu wskazuje, że jego kierunek nie pokrywa się z dodatnim kierunkiem osi EN-US style="font-size:14.0pt"">"- ” w wyrażeniu na kąt obrotu wskazuje, że sekcja A obróciła się w prawo, a nie w lewo, znak“ + ” w wyrażeniu kąta obrotu czcionka:14.0pt">Przykład 6.3. Ile razy ugięcie w przekroju B na końcu belki pokazane na ryc. 6.5 jest większe niż ugięcie w przekroju C w środku belki??

PL-US" style="font-size:14.0pt"> Rys.6.5

Rozwiązanie:

Wykorzystajmy wyniki uzyskane w przykładzie 6.1. Zapiszmy końcowe wyrażenie na ugięcie:

i podstawiamy do tego równania współrzędne punktów C i B. Otrzymujemy:

Kiedy https://pandia.ru/text/79/355/images/image070_2.gif" szerokość="264" wysokość="101 src=">;

Hipotezy dotyczące zginania. Warstwa neutralna, promień krzywizny, krzywizna, rozkład odkształceń i naprężeń normalnych na wysokości przekroju poprzecznego pręta. Naprężenia styczne podczas płaskiego zginania poprzecznego prętów. Obliczanie belek pod kątem wytrzymałości na zginanie. Ruchy zginające.

Normalne napięcia z czystym prostym zginaniem. Ponieważ naprężenia normalne zależą tylko od momentów zginających, wzór obliczeniowy można wyprowadzić w odniesieniu do czystego zginania. Należy zauważyć, że stosując metody teorii sprężystości można uzyskać dokładną zależność naprężeń normalnych podczas czystego zginania, jednak jeśli problem ten zostanie rozwiązany metodami wytrzymałości materiału, konieczne jest wprowadzenie pewnych założeń.

Istnieją trzy takie hipotezy dotyczące zginania:

1) hipoteza przekrojów płaskich (hipoteza Bernoulliego) - przekroje płaskie przed odkształceniem pozostają płaskie po odkształceniu, ale obracają się jedynie względem określonej linii, która nazywa się osią obojętną przekroju belki. W takim przypadku włókna belki leżącej po jednej stronie osi neutralnej rozciągają się, a po drugiej ściskają; włókna leżące na osi neutralnej nie zmieniają swojej długości;

2) hipoteza stałości naprężeń normalnych – naprężenia działające w tej samej odległości y od osi neutralnej są stałe na całej szerokości belki;

3) hipoteza braku nacisków bocznych - sąsiednie włókna podłużne nie naciskają na siebie.

Ryż. 28. Hipoteza Bernoulliego

Problem zginania płaszczyzny statycznej. Moment zginający w przekroju jest sumą momentów wszystkich elementarnych wewnętrznych sił normalnych σ.dA powstających na elementarnych obszarach przekroju belki (rys. 29), względem osi obojętnej: .

To wyrażenie reprezentuje statyczną stronę problemu zginania płaszczyzny. Nie można go jednak wykorzystać do określenia naprężeń normalnych, ponieważ prawo rozkładu naprężeń w przekroju jest nieznane.

Ryż. 29. Statyczna strona problemu

Geometryczna strona zagadnienia zginania płaszczyzny. Wybierzmy element belkowy o długości dz jako dwa przekroje. Pod obciążeniem oś neutralna wygina się (promień krzywizny ρ), a sekcje obracają się względem swoich linii neutralnych o kąt dθ. Długość segmentu włókna warstwy neutralnej pozostaje niezmieniona (ryc. 30, b):

Ryż. 30. Geometryczna strona problemu:
a - element belkowy; b - krzywizna osi neutralnej; c - wykres σ.dA; d - wykres ε

Wyznaczmy długość odcinka włókna znajdującego się w odległości y od warstwy neutralnej

dz 1 = (ρ + y)dθ .

Wydłużenie względne w tym przypadku będzie wynosić

Zależność odzwierciedla geometryczną stronę problemu zginania płaskiego, z której jasno wynika, że ​​odkształcenia włókien podłużnych zmieniają się wzdłuż wysokości przekroju zgodnie z prawem liniowym.

Zbiór włókien, które nie zmieniają swojej długości pod wpływem zginania belki, nazywa się warstwą neutralną.

Linię, w której przekrój poprzeczny belki przecina się z warstwą neutralną belki, nazywa się linią przekroju neutralnego.

Fizyczna strona problemu zginania płaszczyzny. Korzystając z prawa Hooke'a dla naprężenia osiowego, otrzymujemy

Podstawiając wartość σ do wyrażenia odzwierciedlającego statyczną stronę problemu zginania płaszczyzny, otrzymujemy

Podstawiając wartość do pierwotnego wzoru, otrzymujemy

(13)

Wyrażenie to odzwierciedla fizyczną stronę problemu zginania płaszczyzny, co umożliwia obliczenie naprężeń normalnych wzdłuż wysokości przekroju.

Chociaż wyrażenie to uzyskano dla przypadku czystego zginania, jak pokazują badania teoretyczne i eksperymentalne, można je zastosować również w przypadku płaskiego zginania poprzecznego.

Linia neutralna. Położenie linii neutralnej wyznacza się na podstawie warunku, że siła normalna w przekrojach belki jest równa zeru przy czystym zginaniu

Ponieważ M x ≠ 0 i I x ≠ 0, konieczne jest, aby całka była równa zeru. Całka ta reprezentuje moment statyczny przekroju wokół osi neutralnej. Ponieważ moment statyczny przekroju wynosi zero tylko w stosunku do osi środkowej, zatem linia neutralna w zginaniu w płaszczyźnie pokrywa się z główną środkową osią bezwładności przekroju.

Naprężenie ścinające. Naprężenia styczne powstające w przekrojach belek podczas płaskiego zginania poprzecznego są określone przez zależność:

(14)

gdzie Q jest siłą tnącą w rozpatrywanym przekroju belki; S xo - moment statyczny obszaru odciętej części przekroju względem neutralnej osi belki; b jest szerokością przekroju w rozpatrywanej warstwie; Ix to moment bezwładności przekroju względem osi neutralnej.

Naprężenia ścinające wynoszą zero w najbardziej zewnętrznych włóknach przekroju i są maksymalne we włóknach warstwy neutralnej.

Obliczanie belek pod kątem wytrzymałości na zginanie. Wytrzymałość belki zostanie zapewniona, jeśli zostaną spełnione następujące warunki:

(15)

Maksymalne naprężenia normalne podczas zginania występują w przekrojach, w których działa maksymalny moment zginający, w punktach przekroju najbardziej oddalonych od osi neutralnej

Maksymalne naprężenia ścinające występują w przekrojach belek, w których działa maksymalna siła ścinająca

Naprężenia styczne τmax są zwykle małe w porównaniu do σmax i z reguły nie są uwzględniane w obliczeniach. Badanie naprężenia ścinającego przeprowadza się tylko dla krótkich belek.

Ruchy zginające. Obliczenia sztywności oznaczają ocenę podatności sprężystej belki pod wpływem przyłożonych obciążeń i dobór wymiarów przekroju poprzecznego tak, aby przemieszczenia nie przekroczyły wartości granicznych określonych normami.

Warunek sztywności zginania

Ruch środka ciężkości przekroju w kierunku prostopadłym do osi belki nazywa się ugięciem. Ugięcie jest oznaczone literą W.

Największe ugięcie przęsła lub wspornika belki nazywane jest strzałką ugięcia i jest oznaczone literą ƒ.

Narożnik Q, o który każda sekcja obraca się względem swojego pierwotnego położenia i jest kątem obrotu.

Kąt obrotu uważa się za dodatni, gdy sekcja jest obracana w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara

Kąt obrotu przekroju jest równy wartości pochodnej ugięcia wzdłuż współrzędnej Z w tym samym przekroju, czyli:

Równanie linii sprężystej belki

(16)

Istnieją trzy metody rozwiązywania równania różniczkowego linii sprężystości belki. Są to metoda całkowania bezpośredniego, metoda Clebscha i metoda parametrów początkowych.

Metoda integracji bezpośredniej. Całkując po raz pierwszy równanie linii sprężystości belki, otrzymujemy wyrażenie na określenie kątów obrotu:

Całkując po raz drugi, znajdują się wyrażenia umożliwiające określenie ugięcia:

Wartości stałych całkowania C i D wyznaczane są z warunków początkowych panujących na podporach belki

Metoda Clebscha. Aby zestawić równania, muszą zostać spełnione następujące podstawowe warunki:

• początek współrzędnych dla wszystkich przekrojów musi znajdować się na skrajnym lewym końcu belki;
• przeprowadzić całkowanie równania różniczkowego linii sprężystej belki bez otwierania wsporników;
• włączając do równania zewnętrzny moment skupiony M, należy go pomnożyć przez (Z - a), gdzie a jest współrzędną przekroju, w którym moment jest przyłożony;
• w przypadku przerwania obciążenia rozłożonego zostaje ono przedłużone do końca belki, a dla przywrócenia rzeczywistych warunków obciążenia wprowadzane jest obciążenie „kompensacyjne” w przeciwnym kierunku

Metoda parametrów początkowych

Do kątów obrotu

(17)

Dla ugięć:

(18)

gdzie θ jest kątem obrotu przekroju; w - ugięcie; θo - kąt obrotu na początku; w0 - ugięcie na początku; dі - odległość od początku do i-te wsparcie belki; ai jest odległością od początku do punktu przyłożenia momentu skupionego Mi; bi jest odległością od początku do punktu przyłożenia siły skupionej Fi; сi - odległość od początku do początku odcinka obciążenia rozłożonego qi; Ri i Мрi - reakcja i moment reakcji w podporach belki.

Wyznaczanie strzałek ugięcia dla prostych przypadków

Ryż. 31. Przykłady obciążeń belek

Obliczanie przemieszczeń metodą Mohra

Jeżeli nie jest wymagana znajomość równania linii krzywej belki, a jedynie wyznaczyć przemieszczenia liniowe lub kątowe pojedynczego przekroju, najwygodniej jest zastosować metodę Mohra.W przypadku belek i ram płaskich całka Mohra ma postać formularz:

gdzie δ jest pożądanym przemieszczeniem (liniowym lub kątowym); M p, M i - analityczne wyrażenia momentów zginających odpowiednio z danej i jednostkowej siły; EJ x jest sztywnością przekroju belki w płaszczyźnie zginania. Przy wyznaczaniu przemieszczeń należy uwzględnić dwa stany układu: 1 - stan rzeczywisty, przy przyłożonym obciążeniu zewnętrznym; 2 - stan pomocniczy, w którym belka zostaje zwolniona od obciążenia zewnętrznego, a na przekrój przykładana jest jednostkowa siła, której określa się przemieszczenie, jeśli wyznacza się przemieszczenie liniowe, lub pojedynczy moment, jeśli określa się przemieszczenie kątowe ( Ryc. 32).

Ryż. 32. Określenie ruchów:
a - stan faktyczny; b, c - stany pomocnicze

Można na przykład otrzymać wzór Mohra. stosując zasadę możliwych ruchów.

Ryż. 33. Schemat ramy:
a - pod wpływem siły; b - wysiłki wewnętrzne

Rozważmy wykres (ryc. 33a), gdy w punkcie A w kierunku pożądanego przemieszczenia ΔA przykładana jest siła jednostkowa, powodując wewnętrzne współczynniki siły w przekroju układu (ryc. 33, b). Zgodnie z zasadą możliwych przemieszczeń praca tych współczynników siły wewnętrznej na ewentualne przemieszczenia powinna być równa pracy jednostkowej siły na możliwe przemieszczenie δΔA:

Wybierać możliwe ruchy proporcjonalne do rzeczywistych:

A po podstawieniu otrzymujemy:

Biorąc to pod uwagę

dochodzimy do wzoru Mohra

(19)

który służy do określenia wszelkich uogólnionych przemieszczeń w układach prętowych.

W przypadku, gdy belka pracuje tylko przy zginaniu (Mx ≠ 0, Nz = Mz = My = Qx = Qy = 0), wyrażenie (1) przyjmuje postać:

(20)

Reguła Wierieszczagina pozwala na zastąpienie bezpośredniego całkowania we wzorach Mohra tzw. mnożeniem diagramów. Metoda obliczania całki Mohra poprzez zastąpienie całkowania bezpośredniego mnożeniem odpowiednich diagramów nazywa się metodą (lub regułą) Vereshchagina, która składa się z następujących elementów: aby pomnożyć dwa diagramy, z których co najmniej jeden jest prostoliniowy, należy pomnóż pole jednego diagramu przez rzędną drugiego diagramu znajdującego się najpierw pod środkiem ciężkości (rzędne stosuje się tylko w przypadku diagramów prostych). Diagramy o skomplikowanym kształcie można podzielić na kilka prostych: prostokąt, trójkąt, parabola kwadratowa itp. (ryc. 34).

Ryż. 34. Najprostsze diagramy

Ważność reguły Wierieszczagina.

Ryż. 35. Schemat mnożenia diagramów:
a - dowolny schemat; b - prosto

Zaprezentowano dwa wykresy momentów zginających, z czego jeden Mk ma dowolny zarys, a drugi Mi jest prostoliniowy (rys. 35). Przekrój pręta uważa się za stały. W tym przypadku

Wartość Mkdz reprezentuje elementarny obszar dω diagramu Mk (zacieniony). Dostajemy

Ale Mi = ztg α, zatem

Wyrażenie przedstawia moment statyczny obszaru wykresu Mk względem osi y przechodzącej przez punkt O, równy ωkΖc, gdzie ωk jest polem wykresu momentu; Ζс - odległość od osi y do środka ciężkości diagramu M k. Z obrazka widać wyraźnie:

Ζ c = М i /tg α,

gdzie Mi jest rzędną wykresu Mi, znajdującą się pod środkiem ciężkości wykresu Mk (pod punktem C).

(21)

Wzór (21) przedstawia zasadę obliczania całki Mohra: całka jest równa iloczynowi powierzchni diagramu krzywoliniowego i rzędnej pobranej ze diagramu prostoliniowego i znajdującej się pod środkiem ciężkości diagramu krzywoliniowego.

Wykresy krzywoliniowe spotykane w praktyce można podzielić na kilka prostych: prostokąt, trójkąt, symetryczna parabola kwadratowa itp.

Dzieląc diagramy na części, można zapewnić, że po pomnożeniu wszystkie diagramy będą miały prostą strukturę.

Przykład obliczenia przemieszczenia. Wymagane jest określenie ugięcia w środku przęsła i kąta obrotu lewego odcinka nośnego belki obciążonego równomiernie rozłożonym obciążeniem (ryc. 36, a) metodą Mohra-Vereshchagina.

Rozważmy 3 stany belki: stan obciążenia (pod działaniem rozłożonego obciążenia q;) odpowiada wykresowi Mq (ryc. 36, b) oraz dwa pojedyncze: pod działaniem siły przyłożonej w punkcie C (wykres, rys. 36, c) i moment przyłożony w punkcie B (wykres, rys. 36, d).

Ugięcie belki w środku przęsła:

Należy pamiętać, że mnożenie wykresów odbywa się dla połowy belki, a następnie ze względu na symetrię uzyskany wynik jest podwajany. Obliczając kąt obrotu przekroju w punkcie B, pole diagramu Mq mnoży się przez rzędną diagramu znajdującą się pod jego środkiem ciężkości (1/2, ryc. 9, d), ponieważ wykres zmienia się wzdłuż linii prostej:

Ryż. 36. Przykład obliczeń:
a jest danym schematem wiązki; b - wykres obciążenia momentów;
c - diagram jednostkowy siły jednostkowej; g - od jednej chwili

Linia elastyczna belki - oś belki po odkształceniu.

Ugięcie belki $y$ - ruch translacyjny środka ciężkości w kierunku poprzecznym belki. Odchylenie w górę uważa się za dodatnie, w dół- pojemny.

Równanie linii sprężystej - matematyczne przedstawienie zależności $y(x)$ (ugięcie wzdłuż długości belki).

Strzałka odchylenia $f = (y_(\max ))$ - maksymalna wartość ugięcia belki na jej długości.

Kąt obrotu przekroju $\varphi $ - kąt, o który obraca się sekcja podczas odkształcania belki. Kąt obrotu uważa się za dodatni, jeśli sekcja obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara i odwrotnie.

Kąt obrotu przekroju jest równy kątowi nachylenia linii sprężystej. Zatem funkcja zmiany kąta obrotu wzdłuż belki jest równa pierwszej pochodnej funkcji ugięcia $\varphi (x) = y"(x)$.

Zatem podczas zginania bierzemy pod uwagędwa rodzaje ruchów- ugięcie i kąt obrotu przekroju.

Cel określenia przemieszczenia

Ruchy w układach prętowych (w szczególności w belkach) są określane w celu zapewnienia warunków sztywności (ugięcia są ograniczone przepisami budowlanymi).

Dodatkowo wyznaczenie przemieszczeń jest niezbędne do obliczenia wytrzymałości układów statycznie niewystających.

Równanie różniczkowe linii sprężystej (oś zakrzywiona) belki

Na tym etapie należy ustalić zależność przemieszczeń belki od obciążeń zewnętrznych, sposobu mocowania, wymiarów belki i materiału. Aby całkowicie rozwiązać problem, należy otrzymać funkcję ugięcia $y(x)$ na całej długości belki. Jest oczywiste, że przemieszczenia belki zależą od odkształceń poszczególnych sekcji. Poprzednio otrzymaliśmy zależność krzywizny przekroju belki od momentu zginającego działającego w tym przekroju.

$\frac(1)(\rho ) = \frac(M)((EI))$.

Krzywiznę linii wyznacza się za pomocą równania $y(x)$ w następujący sposób

$\frac(1)(\rho ) = \frac((y))((((\left((1 + ((\left((y") \right))^2)) \right))^ (3/2))))$ ,

gdzie $y"$ i $y$ - odpowiednio pierwszą i drugą pochodną funkcji ugięcia ze współrzędną X.

Z praktycznego punktu widzenia zapis ten można uprościć. Właściwie $y" = \varphi $- Kąt obrotu przekroju w rzeczywistych konstrukcjach nie może być duży, z reguły nie większy niż 1 stopień= 0,017 rad . Wtedy $1 + (\left((y") \right)^2) = 1 + (0,017^2) = 1,000289 \około 1$, czyli możemy założyć, że $\frac(1)(\rho ) = y " = \frac(((d^2)y))((d(x^2)))$. Więc mamyrównanie linii sprężystej belki(równanie różniczkowe zakrzywionej osi belki). Równanie to zostało po raz pierwszy uzyskane przez Eulera.

$\frac(((d^2)y))((d(x^2))) = \frac((M(x)))((EI)).$

Powstała zależność różnicowa pokazuje zależnościpomiędzy przemieszczeniami a siłami wewnętrznymi w belkach. Uwzględniając różnicową zależność pomiędzy siłą ścinającą, momentem zginającym i obciążeniem ścinającym, pokażemy zawartość pochodnych funkcji ugięcia.

$y(x)$ - funkcja odchylenia;

$y"(x) = \varphi (x)$ - funkcja kąta obrotu;

$EI \cdot y"(x) = M(x)$ - funkcja zmiany momentu zginającego;

$EI \cdot y""(x) = M"(x) = Q(x)$- funkcja zmiany siły ścinającej;

$EI \cdot (y^(IV))(x) = M"(x) = q(x)$- funkcja zmiany obciążenia bocznego.