Zamknięcie zbioru liczb rzeczywistych. Dużo liczb. Prawa działania na różnych liczbach. Własności operacji binarnych

Niech dane będą dwa zbiory X i Y, niezależnie od tego, czy pokrywają się, czy nie.

Definicja. Zbiór uporządkowanych par elementów, z których pierwsza należy do X, a druga do Y, nazywa się Iloczyn kartezjański zbiorów i jest wyznaczony.

Przykład. Pozwalać
,
, Następnie

Jeśli
,
, Następnie
.

Przykład. Pozwalać
, gdzie R jest zbiorem wszystkich liczb rzeczywistych. Następnie
jest zbiorem wszystkich współrzędnych kartezjańskich punktów na płaszczyźnie.

Przykład. Pozwalać
jest pewną rodziną zbiorów, to iloczyn kartezjański tych zbiorów jest zbiorem wszystkich uporządkowanych ciągów o długości n:

Jeśli następnie. Elementy z
są wektorami wierszowymi o długości n.

Struktury algebraiczne z jedną operacją binarną

1 Binarne operacje algebraiczne

Pozwalać
– dowolny zbiór skończony lub nieskończony.

Definicja. Dwójkowy algebraiczny operacja ( wewnętrzne prawo składu) NA
jest dowolnym, ale ustalonym odwzorowaniem kwadratu kartezjańskiego
V
, tj.

(1)

(2)

Zatem dowolna uporządkowana para

. Fakt, że
, zapisuje się symbolicznie w postaci
.

Zazwyczaj operacje binarne są oznaczone symbolami
itp. Jak poprzednio, operacja
oznacza „dodawanie”, a operacja „” oznacza „mnożenie”. Różnią się formą zapisu i ewentualnie aksjomatami, co będzie jasne z kontekstu. Wyrażenie
nazwiemy to produktem i
– suma elementów I .

Definicja. Pęczek
nazywa się zamkniętym w ramach operacji  if for any .

Przykład. Rozważmy zbiór nieujemnych liczb całkowitych
. Ponieważ operacje binarne są włączone
rozważymy zwykłe operacje dodawania
i mnożenie. Potem zestawy
,
będzie zamknięta w zakresie tych operacji.

Komentarz. Jak wynika z definicji, określenie operacji algebraicznej * na
, jest równoważne domknięciu zbioru
odnośnie tej operacji. Jeśli okaże się, że to dużo
nie jest zamknięta w ramach danej operacji *, to w tym przypadku mówi się, że operacja * nie jest algebraiczna. Na przykład operacja odejmowania na zbiorze liczb naturalnych nie jest algebraiczna.

Pozwalać
I
dwa zestawy.

Definicja. Przez prawo zewnętrzne kompozycje na zestawie zwane mapowaniem

, (3)

te. prawo, według którego dowolny element
i dowolny element
element jest dopasowany
. Fakt, że
, oznaczony symbolem
Lub
.

Przykład. Mnożenie macierzy
na numer
jest zewnętrznym prawem kompozycji na planie
. Mnożenie liczb w
można traktować zarówno jako wewnętrzne prawo kompozycji, jak i zewnętrzne.

dystrybucyjny dotyczące wewnętrznego prawa składu * w
, Jeśli

Zewnętrzne prawo kompozycji nazywa się dystrybucyjny w stosunku do wewnętrznego prawa składu * w Y, jeśli

Przykład. Mnożenie macierzy
na numer
rozdzielny zarówno w odniesieniu do dodawania macierzy, jak i dodawania liczb, ponieważ,.

Własności operacji binarnych

Binarna operacja algebraiczna  na zbiorze
zwany:

Komentarz. Właściwości przemienności i łączności są niezależne.

Przykład. Rozważ zbiór liczb całkowitych. Operacja  włączona zostanie ustalona zgodnie z przepisami
. Wybierzmy liczby
i wykonaj operację na tych liczbach:

te. operacja  jest przemienna, ale nie łączna.

Przykład. Rozważ zestaw
– kwadratowe macierze wymiarów
z rzeczywistymi współczynnikami. Jako operacja binarna * on
Rozważymy operacje mnożenia macierzy. Pozwalać
, Następnie
, Jednakże
, tj. operacja mnożenia na zbiorze macierzy kwadratowych jest asocjacyjna, ale nie przemienna.

Definicja. Element
zwany pojedynczy Lub neutralny dotyczące danej operacji  w dniu
, Jeśli

Lemat. Jeśli – element jednostkowy zbioru
, zamknięty pod operacją *, to jest unikalny.

Dowód . Pozwalać – element jednostkowy zbioru
, zamknięty w ramach operacji *. Załóżmy, że w
jest jeszcze jeden element jednostkowy
, Następnie
, ponieważ jest pojedynczym elementem i
, ponieważ – pojedynczy element. Stąd,
– jedyny element jednostkowy zestawu
.

Definicja. Element
zwany odwracać Lub symetryczny do elementu
, Jeśli

Przykład. Rozważ zbiór liczb całkowitych z operacją dodawania
. Element
, a następnie element symetryczny
będzie element
. Naprawdę,.

Wynik operacji „*” wyznacza się jak w tabeli pitagorejskiej. Na przykład „iloczyn” 3 * 4 jest równy liczbie na przecięciu wiersza nr 3 i kolumny nr 4. W naszym przypadku liczba ta wynosi 2. Zatem 3 * 4 = 2. Jak myślisz, jaka zasada został użyty do wypełnienia tej tabeli?

Należy pamiętać, że wynikiem wykonania operacji „*” na liczbach ze zbioru (0, 1, 2, ..., 9) jest liczba z tego samego zbioru. W takich przypadkach się tak mówi zestaw jest zamknięty pod operacją, i operacja nazywa się algebraiczny.

Pewnie już zauważyłeś, że stół jest symetryczny względem przekątnej
(0, 1, 4, 9, 6, 5, 6,...). Oznacza to, że operacja „*” ma tę właściwość przemienność, czyli dla dowolnych liczb A I B ze zbioru (0, 1, 2, ..., 9) zachodzi równość: A * B = B * A.

Korzystając z tabeli, możesz sprawdzić, czy równość (2 * 3) * 4 = 2 * (3 * 4) jest prawdziwa. Bądź cierpliwy i wypróbuj wszystkie uporządkowane trójki liczb, przekonasz się, że nowa operacja ma tę właściwość skojarzenie, czyli dla dowolnych liczb A, B, C ze zbioru (0, 1, 2, ..., 9) zachodzi równość: ( A * B) * C= A * (B * C).

Sprawdź, czy zbiór (0, 1, 2, ..., 9) jest domknięty pod mnożeniem podanym w tablicy Pitagorasa.

R Powyższe przykłady mogą sprawiać wrażenie, że niezależnie od tego, jak wprowadzisz operację na liczbach, zawsze będzie ona przemienna i łączna. Nie spieszmy się z wnioskami.

Rozważmy jeszcze jedną operację. Oznaczmy to przez „o” i nazwijmy to operacją „Okrąg”. Określa to tabela:

Spróbuj znaleźć wzór, według którego zbudowana jest ta tabela. Na podstawie tego wzorca wpisz brakujące wyniki do tabeli. Czy operacja „o” będzie algebraiczna? Udowodnić, że operacja „o” przemienne. Jednak ta operacja nie asocjacyjne! Aby to sprawdzić, wybierz trzy liczby M, N I k, dla którego M o ( N o k) ¹ ( M o N) o k.

P Przedstawiamy Państwu kolejną operację: -.

Wprowadźmy go na zbiór liczb naturalnych w następujący sposób: M - N = M N .

Na przykład 2 - 3 = 2 3 = 8; 3 - 2 = 3 2 = 9.

Czy operacja „-” będzie algebraiczna? Powyższy przykład wystarczy, aby upewnić się, że nowa operacja nie przemienne.

Oblicz wynik operacji
2 - (1 - 3), a następnie sprawdź równość 2 - (1 - 3) =
= (2 - 1) - 3. Jeśli wszystko wykonasz poprawnie, możesz powiedzieć, że operacja jest „-” nie asocjacyjne.

1. Czy operacje dodawania i mnożenia na zbiorze algebraicznym:

a) liczby parzyste; b) liczby nieparzyste?

2. Czy operacja odejmowania na zbiorze jest algebraiczna?

a) liczby naturalne; b) liczby całkowite?

3. Czy operacja dzielenia na zbiorze jest algebraiczna?

a) niezerowe liczby całkowite;

b) niezerowe liczby wymierne?

4. Pokaż tę operację

X D y = X + y – 3

5. Pokaż tę operację

X Ñ y = X + y – xy

jest algebraiczna na zbiorze wszystkich liczb całkowitych. Czy ta operacja będzie asocjacyjna i/lub przemienna?

6. Analogicznie do tabeli pitagorejskiej utwórz własną tabelę określającą operację „à” na liczbach (0, 1, 2, 3, 4). Wynik M à N operacje na liczbach M I N w tej tabeli powinna być równa pozostałej części zwykłego iloczynu podzielonej przez 5 mn.

Czy operacja „a” będzie algebraiczna? Jeśli tak, czy będzie to asocjacyjne i/lub przemienne?

7. Wymyśl kilka własnych przykładów operacji na liczbach.

Które z nich będą algebraiczne? Które z Twoich operacji algebraicznych będą łączne i/lub przemienne?

Dla tych, którzy chcą prowadzić tajną korespondencję ze znajomymi

O Pewnego dnia Foma otrzymał telegram od jednego ze swoich przyjaciół.

Kim jest Tomasz? O! Ten bardzo niezwykła osobowość. Nie wierzy niczyim słowom, stara się robić wszystko po swojemu. Lubi z jednej strony znajdować nowe rozwiązania starych problemów, a z drugiej strony wykorzystywać starą wiedzę do pokonywania nowych trudności. Lubi czytać różnorodne książki matematyczne, szukać w nich niestandardowych sytuacji i znajdować wyjście z nich. A przede wszystkim sam lubi stwarzać takie sytuacje.

Zatem telegram był w jakiś sposób dziwny. Oto co napisano:

„yajzeirponchorsmedj.”

Czy potrafisz „przeczytać” ten tekst? Foma po chwili namysłu zrozumiał tajemnicę tego telegramu. Zawierało zaproszenie do odwiedzenia. Postanowił odpowiedzieć w tym samym duchu. Utworzyłem telegram zwrotny i zaszyfrowałem go w ten sam sposób. W rezultacie powstał zapis składający się z dwóch linijek: „Przyjadę do ciebie w sobotę”, „hetyachertsvutobbusvudeirp”.

Jednak Foma chciał wymyślić ciekawsze szyfrowanie. Tekst swojego telegramu podzielił na dwie równe części i każdą z nich zaszyfrował starą metodą:

„Przyjadę w sobotę

„obbuswoodeirp

spotkać Cię",

To jest diabeł.”

P Po zakończeniu szyfrowania Foma chciał prowadzić całą korespondencję ze swoim przyjacielem wyłącznie w zaszyfrowanych tekstach, co jakiś czas zmieniając metodę szyfrowania. Dlatego gorliwie zabrał się za opracowanie szyfru.

Postanowił zastąpić litery tekstu źródłowego numerami pozycji, jakie te litery zajmują. Oto lista numerów, które Foma otrzymał w telegramie swojego przyjaciela: (1, 2, 3, ..., 18).

Następnie zauważył, że zaszyfrowany tekst różnił się od oryginału jedynie zmienioną kolejnością liter. Jak zmienia się kolejność liter, można łatwo zobaczyć, używając tych samych numerów pozycji. Na przykład Foma mógł teraz przedstawić zaszyfrowany tekst telegramu znajomego w formie listy: (18, 17, 16, ..., 3, 2, 1).

Porównanie tych dwóch list daje klucz do szyfrowania tekstu:
.

Symboliczny zapis brzmi następująco: „1 oznacza 18”. (Zamiast tego często używa się innego zapisu: 1 ® 18.)

Kierunek strzałek określa kolejność szyfrowanie tekst. Na przykład litera pojawiająca się na pierwszej pozycji w zaszyfrowanym tekście powinna zajmować 18. pozycję w zaszyfrowanym tekście.

Jeśli kierunek strzałek zostanie zmieniony na przeciwny, kolejność będzie ustalana przez tę samą dwuwierszową tabelę transkrypcje tekst. Na przykład litera pojawiająca się w zaszyfrowanym tekście na 18. pozycji musi zajmować pierwszą pozycję w odszyfrowanym tekście.

Wreszcie, jeśli pierwsza linia jest zawsze powiązana z tekstem źródłowym, nie ma potrzeby używania strzałek. (Podczas szyfrowania tekstem oryginalnym jest tekst zaszyfrowany, a podczas odszyfrowywania tekst zaszyfrowany jest tekstem zaszyfrowanym.)

Zrozumiewszy to wszystko, Foma szybko zapisał klucz do drugiego szyfrowania swojego telegramu:

Pozostaje tylko to jakoś zgłosić
ten klucz znajomemu - a tajemnica korespondencji będzie gwarantowana!

Jeśli rozumiesz idee Thomasa, oto jego motto w zaszyfrowanej formie:

„pióro wodne”

Jest szyfrowany kluczem:

Prawdopodobnie już się domyślasz, że możesz wymyślić wiele kluczy szyfrujących tego typu. Każdy z nich można przedstawić jako dwuwierszową tabelę:

Tutaj górna linia zawiera wszystkie liczby naturalne od 1 do N w kolejności rosnącej. Wynik końcowy uzyskuje się poprzez pewne przegrupowanie liczb z górnej linii. Nazywa się cały stół zamiana zamówieniaN .

W Wróćmy do Thomasa. Korzystanie z podstawienia klucza

zaszyfrował jednowyrazową wiadomość i wysłał ją znajomemu. Zaszyfrował niezaszyfrowaną wiadomość ponownie, ale używając innego klucza:

Otrzymaną w ten sposób podwójnie zaszyfrowaną wiadomość zaadresował do Ciebie:

„snoas”.

Odszyfruj tę wiadomość.

Możesz zakończyć proces deszyfrowania znacznie szybciej, jeśli wiesz, jak wykonywana jest jedna operacja algebraiczna na podstawieniach. Ta operacja nazywa się mnożenie podstawień. (Możesz to nazwać inaczej, jeśli chcesz, ponieważ nie ma to nic wspólnego ze zwykłym mnożeniem liczb.)

Spójrzmy na przykład, jak to się robi. Pomnóżmy podstawienia użyte do zaszyfrowania wiadomości do Fomy:

Procedura mnożenia sprowadza się do kolejnych podstawień.

W pierwszym podstawieniu ( A) 1® 5;

w drugim podstawieniu ( W) 5 ® 1.

W rezultacie otrzymujemy: 1 ® 1.

Podobnie z „2 ® 2” i „2 ® 3” wynika: „2 ® 3”. Wykonując jeszcze trzy argumenty tego typu, otrzymujemy podstawienie iloczynu

Należy pamiętać, że produkt jest zdefiniowany tylko dla podstawień o tej samej liczbie kolumn.

Korzystanie z podstawienia AB jako program szyfrujący, możesz teraz za jednym razem odszyfrować Wiadomość Thomasa „snoas”. Jednocześnie kontroluj się.

Jeśli jesteś zainteresowany, możesz wymyślić własne zamienniki koderów wiadomości i prowadzić tajną korespondencję ze znajomymi.

Podczas dekodowania wiadomości zapoznałeś się z operacjami algebraicznymi na nowych obiektach - podstawieniami.

mi Jeśli ktoś z Was interesuje się nie tylko szyfrowaniem, ale także samymi podstawieniami, to może lepiej się z nimi zapoznać, wykonując poniższe zadania.

1. Znajdź produkty podstawień:

2. Znajdź kawałek VA podstawienia A I W omówione powyżej. Korzystanie z podstawienia VA jak koder, odszyfrować ponownie komunikat „snoas”. Porównaj odszyfrowany tekst z wynikiem poprzedniego odszyfrowania.

Jeśli wykonasz zadanie 2, będziesz w stanie stwierdzić, czy mnożenie przez podstawienie ma tę właściwość przemienność.

Można wykazać, że mnożenie podstawień ma tę właściwość skojarzenie.

Zanim przejdziemy do następnego zadania, przyjrzyjmy się kilku ogólnym właściwościom podstawień.

Podstawienie

zwany identyczny. Jest oznaczony przez mi.

Jak łatwo można się przekonać, identyczne podstawienie nie powoduje zmiany treści komunikatu. W tym przypadku mówi się, że wiadomość jest w postaci zwykłego tekstu.

Zbiór przeliczalny to zbiór nieskończony, którego elementy można ponumerować liczbami naturalnymi, lub jest to zbiór równoważny zbiorowi liczb naturalnych.

Czasami zbiory o równej liczności w stosunku do dowolnego podzbioru zbioru liczb naturalnych nazywane są policzalnymi, to znaczy wszystkie zbiory skończone są również uważane za przeliczalne.

Zbiór przeliczalny to „najmniejszy” zbiór nieskończony, to znaczy, że w każdym zbiorze nieskończonym istnieje przeliczalny podzbiór.

Nieruchomości:

1. Każdy podzbiór zbioru przeliczalnego jest co najwyżej przeliczalny.

2. Suma skończonej lub przeliczalnej liczby zbiorów przeliczalnych jest policzalna.

3. Iloczyn bezpośredni skończonej liczby zbiorów przeliczalnych jest policzalny.

4. Zbiór wszystkich skończonych podzbiorów zbioru przeliczalnego jest przeliczalny.

5. Zbiór wszystkich podzbiorów zbioru przeliczalnego jest ciągły i w szczególności nie jest przeliczalny.

Przykłady zbiorów przeliczalnych:

liczby pierwsze Liczby całkowite, Wszystkie liczby, Liczby wymierne, Liczby algebraiczne, Pierścień okresowy, Liczby obliczalne, Liczby arytmetyczne.

Teoria liczb rzeczywistych.

(Prawdziwy = prawdziwy – przypomnienie dla nas, chłopaków.)

Zbiór R zawiera liczby wymierne i niewymierne.

Liczby rzeczywiste, które nie są wymierne, nazywane są liczbami niewymiernymi

Twierdzenie: Nie ma liczby wymiernej, której kwadrat równa liczbie 2

Liczby wymierne: ½, 1/3, 0,5, 0,333.

Liczby niewymierne: pierwiastek z 2=1,4142356…, π=3,1415926…

Ustaw R liczby rzeczywiste ma następujące właściwości:

1. Jest uporządkowane: dla dowolnych dwóch różnych liczb a i b zachodzi jedna z dwóch relacji A Lub a>b

2. Zbiór R jest gęsty: pomiędzy dwiema różnymi liczbami a i b zawiera nieskończoną liczbę liczb rzeczywistych X, czyli liczby spełniające nierówność a

Jest też trzecia nieruchomość, ale jest ogromna, przepraszam

Zbiory ograniczone. Właściwości granic górnych i dolnych.

Limitowany zestaw- zbiór, który w pewnym sensie ma skończoną wielkość.

ograniczony powyżej jeśli istnieje taka liczba, że wszystkie elementy nie przekraczają:

Zbiór liczb rzeczywistych nazywa się ograniczony poniżej, jeśli istnieje liczba,

tak, aby wszystkie elementy były co najmniej:

Zbiór ograniczony od góry i od dołu nazywa się ograniczony.

Zbiór, który nie jest ograniczony, nazywa się Nieograniczony. Jak wynika z definicji, zbiór jest nieograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy jest nie ograniczone z góry Lub nie ograniczone poniżej.

Sekwencja numerów. Granica spójności. Lemat o dwóch policjantach.

Sekwencja numerów jest ciągiem elementów przestrzeni liczbowej.

Niech będzie albo zbiorem liczb rzeczywistych, albo zbiorem liczb zespolonych. Następnie wywoływany jest ciąg elementów zbioru sekwencja numeryczna.

Przykład.

Funkcja to nieskończony ciąg liczb wymiernych. Elementy tego ciągu, zaczynając od pierwszego, mają postać .

Limit sekwencji- jest to obiekt, do którego zbliżają się członkowie ciągu w miarę wzrostu liczby. W szczególności w przypadku ciągów liczbowych granicą jest liczba, w której sąsiedztwie znajdują się wszystkie wyrazy ciągu rozpoczynającego się od określonego punktu.

Twierdzenie o dwóch policjantach...

Jeżeli funkcja jest taka, że dla wszystkich w pewnym sąsiedztwie punktu , a funkcje i mają tę samą granicę w , to istnieje granica funkcji na poziomie równym tej samej wartości, czyli

Definicja: Pęczek A zwany Zamknięte względem operacji *, jeśli jest to wynik zastosowania tej operacji do dowolnych elementów zbioru A jest również elementem zestawu A. (Jeśli w jakimkolwiek a, bÎ A, A*BÎ A, a następnie zestaw A zamknięte w ramach operacji *)

Aby udowodnić, że zbiór jest domknięty ze względu na operację, należy albo sprawdzić to bezpośrednio, wyliczając wszystkie przypadki (przykład 1b), albo przeprowadzić wnioskowanie w formie ogólnej (przykład 2). Aby obalić zamkniętość, wystarczy podać jeden przykład wykazujący naruszenie domknięcia (przykład 1a).

Przykład 1.

Pozwalać A = {0;1}.

a) Za operację * bierzemy arytmetyczną operację dodawania (+). Zbadajmy zestaw A dla zamknięcia w odniesieniu do operacji dodawania (+):

0 + 1 = 1 O A; 0 + 0 = 0 O A; 1 + 0 = 1О A; 1 + 1 = 2 Ï A.

Mamy, że w jednym przypadku (1+1) wynik zastosowania operacji (+) do elementów zbioru A nie należy do zestawu A. Na tej podstawie wnioskujemy, że zestaw A nie jest zamykana pod działaniem dodawania.

b) Teraz jako operację * przyjmij operację mnożenia (×).

0×1 = 0 O A; 0×0 = 0 О A; 1×0 = 0 О A; 1×1 = 1 O A.

Na dowolne elementy zestawu A wynik zastosowania operacji mnożenia jest również elementem zbioru A. Stąd, A zamknięte w ramach operacji mnożenia.

Przykład 2.

Zbadaj domkliwość zbioru liczb całkowitych będących wielokrotnościami 7 w odniesieniu do czterech operacji arytmetycznych.

Z 7 = {7N, NÎ Z ) – zbiór liczb będących wielokrotnością siedmiu.

To oczywiste Z 7 – niezamknięte w zakresie operacji podziału, gdyż np.

7 Î Z 7, 14 O Z 7, ale 7: 14 = ½ Ï Z 7 .

Udowodnimy domkniętość zbioru Z 7 odnośnie operacji dodawania. Pozwalać M, k– dowolne liczby całkowite, następnie 7 MÎ Z 7 i 7 kÎ Z 7. Rozważ sumę 7 M+ 7 k= 7∙(M+ k).

Mamy MÎ Z , kÎ Z . Z – zamknięte na dodatek Þ M+ k = ja – liczba całkowita, tj lÎ Z Þ 7 lÎ Z 7 .

Zatem dla dowolnych liczb całkowitych M I k udowodnił, że (7 M+ 7 k) Î Z 7. Dlatego zestaw Z 7 jest zamknięty pod dodawaniem. Zamknięcia w odniesieniu do operacji odejmowania i mnożenia dowodzimy w podobny sposób (zrób to sam).

1.

a) zbiór liczb parzystych (inaczej: zbiór liczb całkowitych podzielnych przez 2( Z 2));

b) zbiór ujemnych liczb całkowitych ( Z –);

V) A = {0;1};

G) C= {–1;0;1}.

2. Zbadaj następujące zbiory pod kątem domknięcia w odniesieniu do operacji arytmetycznych dodawania, odejmowania, mnożenia i dzielenia:

a) zbiór liczb nieparzystych;

b) zbiór liczb naturalnych, których ostatnią cyfrą jest zero;

V) B = {1};

G) D = {–1;1}.

3.

a) wiele N liczby naturalne;

b) wiele Q liczby wymierne;

V) D = {–1;1};

d) zbiór liczb nieparzystych.

4. Zbadaj następujące zbiory pod kątem domknięcia ze względu na działanie potęgowania:

a) wiele Z liczby całkowite;

b) wiele R liczby rzeczywiste;

c) zbiór liczb parzystych;

G) C = {–1; 0; 1}.

5. Niech zestaw G, składający się wyłącznie z liczb wymiernych, jest zamknięty na dodawanie.

a) Wskaż trzy dowolne liczby zawarte w zbiorze G, jeśli wiadomo, że zawiera on liczbę 4.

b) Udowodnij, że zbiór G zawiera cyfrę 2, jeśli zawiera cyfry 5 i 12.

6. Niech zestaw K, składający się wyłącznie z liczb całkowitych, jest zamykany przez odejmowanie.

a) Wskaż trzy dowolne liczby zawarte w zbiorze K, jeżeli wiadomo, że zawiera liczbę 5.

b) Udowodnij, że zbiór K zawiera cyfrę 6, jeśli zawiera cyfry 7 i 3.

7. Podaj przykład zbioru składającego się z liczb naturalnych, który nie jest domknięty działaniem:

a) dodatek;

b) mnożenie.

8. Podaj przykład zbioru zawierającego liczbę 4 i zamkniętego pod operacjami:

a) dodawanie i odejmowanie;

ZAMKNIĘTY ZESTAW
w przestrzeni topologicznej - zawierającej wszystkie jej punkty graniczne. Zatem wszystkie punkty dopełnienia 3 m. są wewnętrzne i dlatego 3. m. można określić jako otwarte. Pojęcie 3 m leży u podstaw definicji topologicznej. przestrzeń jako niepusty zbiór X z danym systemem zbiorów (zwanym domkniętym) spełniającym aksjomaty: wszystkie X i są domknięte; dowolny numer 3 m. jest zamknięty; skończona liczba 3. m jest zamknięta.

Oświetlony: Kuratovsky K., Topologia, [tłum. z języka angielskiego], t. 1, M., 1966.

A. A. Maltsev.

Encyklopedia matematyczna. - M .: Encyklopedia radziecka. I. M. Winogradow. 1977-1985.

Zobacz, co oznacza „ZESTAW ZAMKNIĘTY” w innych słownikach:

zestaw zamknięty- - [L.G. Sumenko. Słownik angielsko-rosyjski dotyczący technologii informatycznych. M.: Przedsiębiorstwo Państwowe TsNIIS, 2003.] Tematy technologia informacyjna ogólnie EN zbiór zamknięty ... Przewodnik tłumacza technicznego

Dla terminu „zamkniętość” zobacz inne znaczenia. Zbiór domknięty jest podzbiorem przestrzeni, której dopełnienie jest otwarte. Spis treści 1 Definicja 2 Zamknięcie 3 Właściwości... Wikipedia

Zbiór otwarty (zamknięty) względem pewnego zbioru E, zbioru Mtopologicznego. odstęp X w taki sposób, że (nadwyżka oznacza operację zamknięcia). Aby pewien zbiór był otwarty (zamknięty) względem E, konieczne jest i... ... Encyklopedia matematyczna

Podzbiór topologiczny przestrzeń jednocześnie otwarta i zamknięta. Topologiczne przestrzeń X jest rozłączona wtedy i tylko wtedy, gdy zawiera spację różną od X i od O.Z. m. Jeśli rodzina wszystkich O. z. m. topologiczny przestrzeń jest... ... Encyklopedia matematyczna

Lub catlocus punktu w rozmaitości Riemanna jest podzbiorem punktów, przez które nie przechodzi żadna najkrótsza droga. Spis treści 1 Przykłady… Wikipedia

Aby zapoznać się z koncepcją matematyczną o tej samej nazwie, zobacz zbiór zamknięty i przestrzeń (matematyka) Kanał burzowy ... Wikipedia

Książki

Twierdzenia graniczne dla skojarzonych pól losowych i układów pokrewnych, Alexander Bulinsky. Monografia poświęcona jest badaniu właściwości asymptotycznych szerokiej klasy modeli stochastycznych powstających w statystyce matematycznej, teorii perkolacji, fizyce statystycznej i teorii...