Aksjomat zupełności (ciągłości). Aksjomaty liczb rzeczywistych Aksjomaty zbioru liczb rzeczywistych

15. Jeżeli niepuste zbiory A i B liczb rzeczywistych są takie, że dla dowolnej i nierówności a< b, то найдется такое действительное число с, что a < с < b.

Aksjomat zupełności obowiązuje tylko w R.

Można udowodnić, że pomiędzy dowolne nierówne liczby wymierne zawsze można wstawić nierówną liczbę wymierną.

Z podanych powyżej aksjomatów można wywnioskować niepowtarzalność zera i jedynki, istnienie i jedyność różnicy oraz iloraz. Zwróćmy jeszcze uwagę na właściwości nierówności, które są szeroko stosowane w różnych przekształceniach:

1. Jeśli< b, с < d , то a+c < b+d.

2. Jeśli< b, то –a >-B .

3. Jeśli a > 0, b< 0, то ab < 0, а если a < 0, b < 0, то ab >0. (To drugie jest również prawdziwe dla a > 0, b > 0.)

4. Jeśli 0< a < b, 0 < c < d, то 0 < ac < bd .

5. Jeśli< b, c >0, następnie ac< bc , а если a < b, c < 0, то bc < ac .

6. Jeśli 0< a < b, то .

7. 0 < 1, то – 1 < 0.

8. Dla dowolnych liczb dodatnich aib istnieje liczba nО N taka, że na > b (aksjomat Archimedes, dla odcinków o długości a, b, na).

Stosowane są następujące oznaczenia zbiorów liczbowych:

N – zbiór liczb naturalnych;

Z – zbiór liczb całkowitych;

Q – pęczek liczby wymierne;

I – zbiór liczb niewymiernych;

R – zbiór liczb rzeczywistych;

R + – zbiór liczb rzeczywistych dodatnich;

R_ – zbiór rzeczywistych liczb ujemnych;

R 0 – zbiór liczb rzeczywistych nieujemnych;

C jest zbiorem liczb zespolonych (definicję i właściwości tego zbioru omówiono w podrozdziale 1.1).

Wprowadźmy pojęcie ograniczenia na zbiorze liczb rzeczywistych. Będzie ono aktywnie wykorzystywane w dalszych dyskusjach.

Zbiór nazwiemy OGRANICZONY POWYŻEJ (DÓŁ), jeśli istnieje taka liczba rzeczywista M ( M ) że dowolny element spełnia nierówność:

Liczbę M nazywamy GÓRNĄ GRANICĄ ZBIORU A, a liczbę m – DOLNA GRANICA tego zestawu.

Zbiór ograniczony powyżej i poniżej nazywa się ograniczonym.

Pęczek N Liczby naturalne są ograniczone od dołu, ale nie ograniczone od góry. Zbiór liczb całkowitych Z nie jest ograniczona ani poniżej, ani powyżej.

Jeśli weźmiemy pod uwagę zbiór obszarów dowolnych trójkątów wpisanych w okrąg o średnicy D , to jest ona ograniczona od dołu przez zero i od góry – obszar dowolnego wielokąta zawierającego okrąg (w szczególności obszar opisanego kwadratu równy D 2 ).

Każdy zbiór ograniczony powyżej (poniżej) ma nieskończenie wiele górnych (dolnych) ścian. Czy zatem istnieje najmniejsza ze wszystkich górnych granic i największa ze wszystkich dolnych granic?

Zadzwonimy pod numer supremum zbioru ograniczonego powyżej AÌ R , Jeśli:

1. jest jedną z górnych granic zbioru A ;

2. jest najmniejszą z górnych granic zbioru A . Innymi słowy, liczba rzeczywista jest supremum zbioru AÌ R , Jeśli:

Zaakceptowane oznaczenie

Wprowadź w ten sam sposób: – infimum zbioru ograniczonego poniżej A i odpowiednie oznaczenia

Po łacinie: supremum – najwyższy, infimum – najniższy.

Dokładne twarze zestawu mogą, ale nie muszą, należeć do niego.

TWIERDZENIE. Niepusty zbiór liczb rzeczywistych ograniczony powyżej (poniżej) ma górną (dolną) granicę.

Przyjmiemy to twierdzenie bez dowodu. Przykładowo, jeśli , to za górną granicę można uznać liczbę 100, za dolną – 10, a . Jeśli następnie. W drugim przykładzie dokładne granice nie należą do tego zbioru.

Na zbiorze liczb rzeczywistych można wyróżnić dwa rozłączne podzbiory liczb algebraicznych i przestępnych.

LICZBY ALGEBRAICZNE to liczby będące pierwiastkami wielomianu

którego współczynniki – wszystkie liczby.

W wyższej algebrze udowodniono, że zbiór pierwiastków zespolonych wielomianu jest skończony i równy n. ( Liczby zespolone są uogólnieniem rzeczywistych). Zbiór liczb algebraicznych jest przeliczalny . Obejmuje wszystkie liczby wymierne, ponieważ liczby mają postać

spełniają równanie

Udowodniono również, że istnieją liczby algebraiczne, które nie są pierwiastkami liczb wymiernych. Ten bardzo ważny wynik powstrzymał bezowocne próby znalezienia rozwiązań równań o stopniu większym niż cztery w pierwiastkach. Wielowiekowe poszukiwania algebraistów zajmujących się tym problemem podsumował francuski matematyk E. Galois, który absurdalnie zmarł w wieku 21 lat. Jego prace naukowe mają zaledwie 60 stron, ale wniosły znakomity wkład w rozwój matematyki.

Młody człowiek, który namiętnie i niekontrolowanie kochał tę naukę, dwukrotnie próbował dostać się do najbardziej prestiżowego instytucja edukacyjna Francja w tamtym czasie – Szkoła politechniczna – bezskutecznie. Rozpoczął naukę w uprzywilejowanej Liceum – wydalony z powodu konfliktu z dyrektorem. Będąc więźniem politycznym po wystąpieniu przeciwko Ludwikowi Filipowi, przekazał z więzienia do Paryskiej Akademii Nauk rękopis zawierający studium rozwiązania równania w pierwiastkach. Akademia odrzuciła tę pracę. Absurdalna śmierć w pojedynku zakończyła życie tego niezwykłego człowieka.

Zbiór będący różnicą między zbiorami liczb rzeczywistych i algebraicznych nazywa się zbiorem LICZB TRANSCENDENTNYCH . Oczywiście każda liczba przestępna nie może być pierwiastkiem wielomianu o współczynnikach całkowitych.

Jednocześnie udowodnienie transcendencji poszczególnych liczb nastręczało ogromne trudności.

Dopiero w 1882 roku profesorowi uniwersytetu w Królewcu F. Lindemannowi udało się wykazać transcendencję liczby, z czego wynikało, że nie da się rozwiązać problemu kwadratury koła (zbudować kwadratu z obszar danego koła za pomocą kompasu i linijki). Widzimy, że idee algebry, analizy i geometrii przenikają się wzajemnie.

Aksjomatyczne wprowadzenie liczb rzeczywistych nie jest jedyne. Liczby te można wprowadzić, łącząc zbiór liczb wymiernych i niewymiernych, lub jako nieskończone ułamki dziesiętne, albo przecinając zbiór liczb wymiernych.

*1) Ten materiał pochodzi z 7. rozdziału książki:

LI Lurie PODSTAWY MATEMATYKI WYŻSZEJ / Instruktaż/ M.: Korporacja wydawniczo-handlowa „Dashkov and Co”, - 2003, - 517 P.

Na szkolnych zajęciach z matematyki liczby rzeczywiste definiowano w sposób konstruktywny, bazując na konieczności dokonywania pomiarów. Definicja ta nie była ścisła i często prowadziła badaczy w ślepe zaułki. Np. kwestia ciągłości liczb rzeczywistych, czyli czy w tym zbiorze są puste przestrzenie. Dlatego prowadząc badania matematyczne konieczne jest posiadanie ścisłej definicji badanych pojęć, przynajmniej w ramach pewnych intuicyjnych założeń (aksjomatów), zgodnych z praktyką.

Definicja: Zbiór elementów x, y, z, …, składające się z więcej niż jednego elementu, zwany zestawem R liczb rzeczywistych, jeżeli dla tych obiektów zostaną ustalone następujące operacje i zależności:

I grupa aksjomatów– aksjomaty działania dodawania.

W obfitości R wprowadzono operację dodawania, czyli dla dowolnej pary elementów A I B kwota i wyznaczone A + B
ja 1. A+B=B+A, a, b R .

ja 2. A+(b+c)=(a+b)+C,A, B, C R .

I 3. Jest taki element, tzw zero i oznaczone przez 0, co dla dowolnego A R warunek jest spełniony A+0=A.

ja 4. Dla dowolnego elementu A R istnieje element, który to nazywa naprzeciwko i oznaczone przez - A, dla którego A+(-A)=0. Element A+(-B), A, B R , zwany różnica elementy A I B i jest wyznaczony A - B.

II – grupa aksjomatów - aksjomaty mnożenia. W obfitości R wprowadzono operację mnożenie, czyli dla dowolnej pary elementów A I B zdefiniowany jest pojedynczy element, zwany nimi praca i wyznaczone a b, tak aby spełnione były następujące warunki:
II 1. ok=ba, a, B R .

II 2 A(pne)=(ok)C, A, B, C R .

II 3. Istnieje element tzw jednostka i oznaczone przez 1, co dla dowolnego A R warunek jest spełniony A 1=A.

II 4. Dla kazdego A 0 istnieje element o nazwie to odwracać i oznaczone przez lub 1/ A, dla którego A=1. Element A , B 0, tzw prywatny z podziału A NA B i jest wyznaczony A:B albo albo A/B.

II 5. Związek między dodawaniem i mnożeniem: dla dowolnego A, B, C R warunek jest spełniony ( ac + b)c=ac+bc.

Zbiór obiektów spełniający aksjomaty grup I i II nazywany jest polem liczbowym lub po prostu polem. Odpowiednie aksjomaty nazywane są aksjomatami pola.

III – trzecia grupa aksjomatów – aksjomaty porządku. Dla elementów R zdefiniowano relację porządku. Jest następująco. Dla dowolnych dwóch różnych elementów A I B zachodzi jedna z dwóch relacji: albo A B(czyta „ A mniejszy lub równy B"), Lub A B(czyta „ A więcej lub równe B Przyjmuje się, że spełnione są następujące warunki:

1. A A dla każdego A. Z A b, b powinien a=b.

2. Przechodniość. Jeśli A B I B C, To A C.

III 3. Jeśli A B, a następnie dla dowolnego elementu C występuje A+C B+C.

III 4. Jeśli A 0, b 0, To ok 0 .

Grupa IV aksjomatów składa się z jednego aksjomatu – aksjomatu ciągłości. Dla dowolnych niepustych zbiorów X I Y z R tak, że dla każdej pary elementów X X I y Y nierówność zachodzi X < y, jest element A R, spełniający warunek

Ryż. 2

X < A < y, X X, y Y(ryc. 2). Wymienione właściwości całkowicie definiują zbiór liczb rzeczywistych w tym sensie, że wszystkie inne jego właściwości wynikają z tych właściwości. Ta definicja jednoznacznie definiuje zbiór liczb rzeczywistych aż do specyfiki jego elementów. Zastrzeżenie, że zbiór zawiera więcej niż jeden element, jest konieczne, ponieważ zbiór składający się tylko z zera oczywiście spełnia wszystkie aksjomaty. W dalszej części będziemy nazywać elementy zbioru liczbami R.

Zdefiniujmy teraz znane pojęcia liczb naturalnych, wymiernych i niewymiernych. Liczby 1, 2 1+1, 3 2+1, ... nazywane są liczby naturalne, a ich zbiór jest oznaczony N . Z definicji zbioru liczb naturalnych wynika, że ma on następującą charakterystyczną własność: Jeśli

1) A N ,

3) dla każdego elementu x A włączenie x+ 1 A, następnie=N .

Rzeczywiście, zgodnie z warunkiem 2) mamy 1 A, zatem według własności 3) i 2 A, a następnie zgodnie z tą samą właściwością otrzymujemy 3 A. Od dowolnego Liczba naturalna N otrzymuje się z 1 przez kolejne dodanie do niej tej samej 1 N A, tj. N A, a ponieważ zgodnie z warunkiem 1 włączenie A N , To A=N .

Zasada dowodu opiera się na tej własności liczb naturalnych poprzez indukcję matematyczną. Jeśli istnieje wiele stwierdzeń, z których każdemu przypisana jest liczba naturalna (jej numer) N=1, 2, ... i jeśli zostanie udowodnione, że:

1) stwierdzenie nr 1 jest prawdziwe;

2) od ważności oświadczenia o dowolnym numerze N N wynika z ważności oświadczenia z numerem N+1;

wówczas zostaje w ten sposób udowodniona ważność wszystkich twierdzeń, tj. dowolne oświadczenie z dowolną liczbą N N .

Liczby 0, + 1, + 2, ... nazywa się liczby całkowite, ich zbiór jest oznaczony Z .

Numery formularza m/n, Gdzie M I N całość i N 0, są tzw liczby wymierne. Zbiór wszystkich liczb wymiernych jest oznaczony przez Q .

Nazywa się liczby rzeczywiste, które nie są wymierne irracjonalny, ich zbiór jest oznaczony I .

Powstaje pytanie, czy być może liczby wymierne wyczerpują wszystkie elementy zbioru R? Odpowiedź na to pytanie daje aksjomat ciągłości. Rzeczywiście, ten aksjomat nie dotyczy liczb wymiernych. Rozważmy na przykład dwa zestawy:

Łatwo to zobaczyć dla dowolnych elementów i nierówności. Jednakże racjonalny nie ma liczby oddzielającej te dwa zbiory. W rzeczywistości liczba ta może wynosić tylko , ale nie jest ona wymierna. Fakt ten wskazuje, że w zbiorze znajdują się liczby niewymierne R.

Z wyjątkiem czterech działania arytmetyczne Za pomocą liczb można wykonywać operacje potęgowania i ekstrakcji pierwiastkowej. Na dowolny numer A R i naturalne N stopień jakiś definiuje się jako produkt N czynniki równe A:

A-przeorat A 0 1, A>0, A- n 1/ A N, A 0, N- Liczba naturalna.

Przykład. Nierówność Bernoulliego: ( 1+x)n> 1+nx Udowodnić przez indukcję.

Pozwalać A>0, N- Liczba naturalna. Numer B zwany korzeń r stopień spośród A, Jeśli b n = a. W tym przypadku jest napisane. Istnienie i wyjątkowość pierwiastka dodatniego dowolnego stopnia N z dowolnej liczby dodatniej zostanie udowodnione poniżej w sekcji 7.3.
Nawet korzeń, A 0 ma dwa znaczenia: jeśli B = , k N , Następnie -B= . Rzeczywiście, od b 2 tys = A wynika z tego

(-B)2 tys = ((-B) 2 )k = (b 2)k = b 2 tys

Wartość nieujemna nazywana jest jej wartość arytmetyczna.
Jeśli R = p/k, Gdzie P I Q cały, Q 0, tj. R jest liczbą wymierną, to dla A > 0

(2.1)

Zatem stopień r zdefiniowane dla dowolnej liczby wymiernej R. Z definicji wynika, że dla każdego racjonalnego R jest równość

a -r = 1/r.

Stopień x(numer X zwany wykładnik potęgowy) dla dowolnej liczby rzeczywistej X uzyskuje się poprzez ciągłe propagowanie stopnia z wykładnikiem wymiernym (więcej informacji można znaleźć w rozdziale 8.2). Na dowolny numer A R liczba nieujemna

to jest nazwane całkowita wartość Lub moduł. Dla Wartości bezwzględne dla liczb nierówności są prawdziwe

|A + B| < |A| + |B|,
||A - B|| < |A - B|, A, B R

Dowodzi się ich za pomocą właściwości I-IV liczb rzeczywistych.

Rola aksjomatu ciągłości w konstrukcji analizy matematycznej

Znaczenie aksjomatu ciągłości jest takie, że bez niego rygorystyczna konstrukcja analizy matematycznej jest niemożliwa. [ źródło nieokreślone 1351 dni] Dla ilustracji przedstawiamy kilka podstawowych twierdzeń analizy, których dowód opiera się na ciągłości liczb rzeczywistych:

· (Twierdzenie Weierstrassa). Każdy ograniczony, monotonicznie rosnący ciąg jest zbieżny

· (Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego). Funkcja ciągła na segmencie, która przyjmuje wartości na końcach inny znak, znika w pewnym wewnętrznym punkcie segmentu

· (Istnienie potęgi wykładniczej, logarytmicznej i tak dalej funkcje trygonometryczne w całej „naturalnej” domenie definicji). Udowodniono na przykład, że dla każdego i całości istnieje , czyli rozwiązanie równania. Pozwala to określić wartość wyrażenia dla wszystkich wymiernych:

Wreszcie, ponownie dzięki ciągłości osi liczbowej, możliwe jest określenie wartości wyrażenia dla dowolnego. Podobnie, korzystając z własności ciągłości, udowadnia się istnienie liczby dla dowolnego .

Przez długi okres historyczny matematycy dowodzili twierdzeń na podstawie analizy, w „subtelnych miejscach” odwołując się do uzasadnienia geometrycznego, a częściej – całkowicie je pomijając, bo było to oczywiste. Niezwykle ważne pojęcie ciągłości zostało użyte bez jasnej definicji. Dopiero w ostatniej tercji XIX wieku niemiecki matematyk Karl Weierstrass dokonał analizy arytmetycznej, konstruując pierwszą rygorystyczną teorię liczb rzeczywistych jako nieskończonych ułamków dziesiętnych. Zaproponował klasyczną definicję granicy w języku, udowodnił szereg twierdzeń, które przed nim uważano za „oczywiste”, i tym samym dokończył budowę podstaw analizy matematycznej.

Później zaproponowano inne podejścia do wyznaczania liczby rzeczywistej. W podejściu aksjomatycznym ciągłość liczb rzeczywistych jest wyraźnie podkreślana jako odrębny aksjomat. W konstruktywnych podejściach do teorii liczb rzeczywistych, na przykład podczas konstruowania liczb rzeczywistych za pomocą odcinków Dedekinda, właściwość ciągłości (w takiej czy innej formie) jest udowadniana jako twierdzenie.

Inne sformułowania własności ciągłości i zdań równoważnych edytuj tekst wiki]

Istnieje kilka różnych stwierdzeń wyrażających właściwość ciągłości liczb rzeczywistych. Każdą z tych zasad można wykorzystać jako podstawę do zbudowania teorii liczby rzeczywistej jako aksjomatu ciągłości, a wszystkie pozostałe można z niej wyprowadzić. Zagadnienie to zostało omówione bardziej szczegółowo w następnej sekcji.

Ciągłość według Dedekinda[edytuj | edytuj tekst wiki]

Główny artykuł:Teoria cięć w zakresie liczb wymiernych

Dedekind rozważa kwestię ciągłości liczb rzeczywistych w swoim dziele „Ciągłość i liczby niewymierne”. Porównuje w nim liczby wymierne z punktami na linii prostej. Jak wiadomo, zgodność między liczbami wymiernymi a punktami na linii można ustalić, gdy na linii zostanie wybrany punkt początkowy i jednostka miary odcinków. Za pomocą tego ostatniego można zbudować odpowiedni odcinek dla każdej liczby wymiernej, a odkładając go w prawo lub w lewo, w zależności od tego, czy jest to liczba dodatnia, czy ujemna, można uzyskać punkt odpowiadający tej liczbie. Zatem każdej liczbie wymiernej odpowiada jeden i tylko jeden punkt na prostej.

Okazuje się, że na prostej jest nieskończenie wiele punktów, które nie odpowiadają żadnej liczbie wymiernej. Na przykład punkt uzyskany poprzez wykreślenie długości przekątnej kwadratu zbudowanego na odcinku jednostkowym. Zatem obszar liczb wymiernych tego nie ma kompletność, Lub ciągłość, co jest nieodłączną cechą linii prostej.

Aby dowiedzieć się, na czym polega ta ciągłość, Dedekind czyni następującą uwagę. Jeśli na linii znajduje się określony punkt, wówczas wszystkie punkty na linii dzielą się na dwie klasy: punkty położone po lewej stronie i punkty położone po prawej stronie. Sam punkt można dowolnie przypisać do klasy niższej lub wyższej. Dedekind istotę ciągłości widzi w zasadzie odwrotnej:

Geometrycznie zasada ta wydaje się oczywista, jednak nie jesteśmy w stanie jej udowodnić. Dedekind podkreśla, że w istocie zasada ta jest postulatem wyrażającym istotę tej właściwości przypisywanej bezpośredniości, którą nazywamy ciągłością.

Aby lepiej zrozumieć istotę ciągłości osi liczbowej w sensie Dedekinda, rozważmy dowolny odcinek zbioru liczb rzeczywistych, czyli podział wszystkich liczb rzeczywistych na dwie niepuste klasy, tak aby wszystkie liczby jednej klasy leżą na osi liczbowej na lewo od wszystkich liczb drugiej klasy. Klasy te zostały odpowiednio nazwane niżej I wyższe klasy Sekcje. Teoretycznie są 4 możliwości:

1. Klasa niższa ma element maksymalny, klasa wyższa nie ma minimum

2. Klasa niższa nie ma elementu maksymalnego, ale klasa wyższa ma minimum

3. Klasa niższa ma maksimum, a klasa wyższa minimum elementów

4. W klasie niższej nie ma elementu maksymalnego, a w klasie wyższej nie ma elementu minimalnego

W pierwszym i drugim przypadku odpowiednio maksymalny element dna lub minimalny element góry tworzy tę sekcję. W trzecim przypadku mamy skok, a w czwartym - przestrzeń. Zatem ciągłość osi liczbowej oznacza, że w zbiorze liczb rzeczywistych nie ma skoków ani przerw, czyli mówiąc obrazowo, nie ma pustek.

Jeżeli wprowadzimy pojęcie odcinka zbioru liczb rzeczywistych, to zasadę ciągłości Dedekinda można sformułować następująco.

Zasada ciągłości (zupełności) Dedekinda. Dla każdej sekcji zbioru liczb rzeczywistych istnieje liczba, która tworzy tę sekcję.

Komentarz. Sformułowanie Aksjomatu Ciągłości o istnieniu punktu oddzielającego dwa zbiory bardzo przypomina sformułowanie zasady ciągłości Dedekinda. W rzeczywistości stwierdzenia te są równoważne i stanowią zasadniczo różne sformułowania tej samej rzeczy. Dlatego oba te stwierdzenia są nazywane Zasada ciągłości liczb rzeczywistych Dedekinda.

Lemat o segmentach zagnieżdżonych (zasada Cauchy'ego-Cantora)[edytuj | edytuj tekst wiki]

Główny artykuł:Lemat o zagnieżdżonych segmentach

Lemat o zagnieżdżonych segmentach (Cauchy-Kantor). Dowolny układ zagnieżdżonych segmentów

ma niepuste przecięcie, to znaczy istnieje co najmniej jedna liczba należąca do wszystkich segmentów danego układu.

Jeżeli dodatkowo długość odcinków danego układu dąży do zera, tj

wówczas przecięcie odcinków tego układu składa się z jednego punktu.

Ta właściwość nazywa się ciągłość zbioru liczb rzeczywistych w sensie Cantora. Poniżej pokażemy, że dla pól uporządkowanych Archimedesa ciągłość Cantora jest równoważna ciągłości Dedekinda.

Zasada najwyższa[edytuj | edytuj tekst wiki]

Zasada najwyższa. Każdy niepusty zbiór liczb rzeczywistych ograniczony powyżej ma supremum.

Na kursach rachunku różniczkowego twierdzenie to jest zwykle twierdzeniem, a jego dowód zasadniczo wykorzystuje w jakiejś formie ciągłość zbioru liczb rzeczywistych. Jednocześnie można wręcz przeciwnie postulować istnienie supremum dla dowolnego niepustego zbioru ograniczonego powyżej i na tej podstawie udowodnić np. zasadę ciągłości według Dedekinda. Zatem twierdzenie supremum jest jednym z równoważnych sformułowań właściwości ciągłości liczb rzeczywistych.

Komentarz. Zamiast supremum można zastosować podwójną koncepcję infimum.

Zasada infimumu. Każdy niepusty zbiór liczb rzeczywistych ograniczony od dołu ma dolną część.

Propozycja ta jest również równoważna zasadzie ciągłości Dedekinda. Ponadto można wykazać, że stwierdzenie twierdzenia o supremum wynika bezpośrednio ze stwierdzenia twierdzenia o infimum i odwrotnie (patrz poniżej).

Skończony lemat pokrywający (zasada Heinego-Borela)[edytuj | edytuj tekst wiki]

Główny artykuł:Lemat Heinego-Borela

Lemat o skończonym pokryciu (Heine – Borel). W każdym układzie przedziałów obejmującym odcinek istnieje skończony podsystem obejmujący ten odcinek.

Lemat o punkcie granicznym (zasada Bolzano-Weierstrassa)[edytuj | edytuj tekst wiki]

Główny artykuł:Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa

Lemat o punkcie granicznym (Bolzano – Weierstrass). Każdy nieskończenie ograniczony zbiór liczb ma co najmniej jeden punkt graniczny.

Równoważność zdań wyrażających ciągłość zbioru liczb rzeczywistych edytuj tekst wiki]

Poczynimy kilka uwag wstępnych. Zgodnie z aksjomatyczną definicją liczby rzeczywistej zbiór liczb rzeczywistych spełnia trzy grupy aksjomatów. Pierwsza grupa to aksjomaty pola. Druga grupa wyraża fakt, że zbiór liczb rzeczywistych jest zbiorem uporządkowanym liniowo, a relacja porządku jest zgodna z podstawowymi działaniami pola. Zatem pierwsza i druga grupa aksjomatów oznaczają, że zbiór liczb rzeczywistych reprezentuje ciało uporządkowane. Trzecia grupa aksjomatów składa się z jednego aksjomatu - aksjomatu ciągłości (lub kompletności).

Aby wykazać równoważność różnych sformułowań ciągłości liczb rzeczywistych, należy wykazać, że jeśli jedno z tych twierdzeń zachodzi dla ciała uporządkowanego, to z tego wynika ważność wszystkich pozostałych.

Twierdzenie. Niech będzie dowolnym zbiorem liniowo uporządkowanym. Poniższe stwierdzenia są równoważne:

1. Niezależnie od zbiorów niepustych i takich, że dla dowolnych dwóch elementów zachodzi nierówność, istnieje element taki, że dla wszystkich i relacja zachodzi

2. Dla każdej sekcji istnieje element tworzący tę sekcję

3. Każdy niepusty zbiór ograniczony powyżej ma supremum

4. Każdy niepusty zbiór ograniczony od dołu ma dolną część

Jak widać z tego twierdzenia, w tych czterech zdaniach wykorzystano jedynie fakt wprowadzenia liniowej zależności porządku, a nie strukturę pola. Zatem każdy z nich wyraża własność bycia zbiorem liniowo uporządkowanym. Ta właściwość (dowolnego, liniowo uporządkowanego zbioru, niekoniecznie zbioru liczb rzeczywistych) nazywa się według Dedekinda ciągłość lub kompletność.

Dowodzenie równoważności innych zdań wymaga już obecności struktury polowej.

Twierdzenie. Niech będzie dowolnie uporządkowanym polem. Następujące zdania są równoważne:

1. (jako zbiór liniowo uporządkowany) jest Dedekindem zupełnym

2. Aby spełnić zasadę Archimedesa I zasada segmentów zagnieżdżonych

3. Spełniona jest bowiem zasada Heinego-Borela

4. Zasada Bolzano-Weierstrassa jest spełniona

Komentarz. Jak widać z twierdzenia, sama zasada zagnieżdżonych segmentów nie równoważne Zasada ciągłości Dedekinda. Z zasady ciągłości Dedekinda wynika zasada segmentów zagnieżdżonych, ale w odwrotnym przypadku konieczne jest dodatkowo wymaganie, aby pole uporządkowane spełniało aksjomat Archimedesa

Dowód powyższych twierdzeń można znaleźć w książkach z poniższej listy referencyjnej.

· Kudryavtsev, L. D. Kurs analizy matematycznej. - 5. wyd. - M.: „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1.

· Fikhtengolts, G. M. Podstawy analizy matematycznej. - 7. wyd. - M.: „FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 s. - ISBN 5-9221-0196-X.

· Dedekind, R. Ciągłość i liczby niewymierne = Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4. wydanie poprawione. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.

· Zorich, V.A. Analiza matematyczna. Część I. – wyd. 4. poprawione - M.: "MCNMO", 2002. - 657 s. - ISBN 5-94057-056-9.

· Ciągłość funkcji i dziedzin liczbowych: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - wyd. 3. - Nowosybirsk: ANT, 2005. - 64 s.

4,5. Aksjomat ciągłości

Jakiekolwiek są dwa niepuste zbiory liczb rzeczywistych A i

B , dla którego dla dowolnych elementów a ∈ A i b ∈ B nierówność

a ≤ b, istnieje liczba λ taka, że dla wszystkich a ∈ A, b ∈ B zachodzi:

równość a ≤ λ ≤ b.

Właściwość ciągłości liczb rzeczywistych oznacza, że na rzeczywistym

w linii żył nie ma „pustek”, czyli punktów reprezentujących liczby wypełniają się

całą oś rzeczywistą.

Podajmy inne sformułowanie aksjomatu ciągłości. Aby to zrobić, przedstawiamy

Definicja 1.4.5. Dwa zbiory A i B nazwiemy sekcją

zbiór liczb rzeczywistych, jeśli

1) zbiory A i B nie są puste;

2) suma zbiorów A i B stanowi zbiór wszystkich rzeczywistych

liczby;

3) każda liczba ze zbioru A jest mniejsza od liczby ze zbioru B.

Oznacza to, że każdy zestaw tworzący sekcję zawiera co najmniej jeden

element, zbiory te nie zawierają wspólnych elementów i jeśli a ∈ A i b ∈ B, to

Zbiór A nazwiemy klasą niższą, a zbiór B klasą wyższą.

klasa sekcji. Sekcję będziemy oznaczać przez A B.

Najprostszymi przykładami sekcji są sekcje uzyskane poniżej

dmuchanie. Weźmy jakąś liczbę α i postawmy

A = ( x x< α } , B = { x x ≥ α } . Легко видеть, что эти множества не пусты, не пере-

są przecięte i jeśli a ∈ A i b ∈ B, to a< b , поэтому множества A и B образуют

Sekcja. Podobnie możesz utworzyć sekcję według zestawów

ZA =(x x ≤ α) , B =(x x > α) .

Takie sekcje będziemy nazywać sekcjami generowanymi przez liczbę α lub

powiemy, że liczba α tworzy tę sekcję. Można to zapisać jako

Sekcje generowane przez dowolny numer mają dwie interesujące

nieruchomości:

Właściwość 1. Albo górna klasa zawiera najmniejszą liczbę, albo dolna

klasa nie ma największej liczby lub niższa klasa zawiera największą liczbę

lo, a w klasie wyższej nie ma najmniejszego.

Właściwość 2. Numer generujący daną sekcję jest unikalny.

Okazuje się, że sformułowany powyżej aksjomat ciągłości jest równoważny

jest zgodne ze stwierdzeniem zwanym zasadą Dedekinda:

Zasada Dedekinda. Dla każdej sekcji generowany jest numer

to jest sekcja.

Udowodnimy równoważność tych stwierdzeń.

Niech prawdziwy będzie aksjomat ciągłości, a niektóre

czytanie A B. Następnie, ponieważ klasy A i B spełniają warunki, wzór

zgodnie z aksjomatem istnieje liczba λ taka, że a ≤ λ ≤ b dla dowolnych liczb

a ∈ A i b ∈ B. Ale liczba λ musi należeć do jednego i tylko jednego z

klasy A lub B, zatem spełniona będzie jedna z nierówności a ≤ λ< b или

A< λ ≤ b . Таким образом, число λ либо является наибольшим в нижнем классе,

lub najmniejszy w wyższej klasie i generuje zadaną sekcję.

I odwrotnie, niech zasada Dedekinda będzie spełniona i dwie niepuste

ustawia A i B w taki sposób, że dla wszystkich a ∈ A i b ∈ B jest nierówność

a ≤ b. Oznaczmy przez B zbiór liczb b taki, że a ≤ b dla dowolnego

b ∈ B i wszystkie a ∈ A. Następnie B ⊂ B. Za zbiór A bierzemy zbiór wszystkich liczb

wsie nieuwzględnione w B.

Udowodnijmy, że zbiory A i B tworzą przekrój.

Rzeczywiście jest oczywiste, że zbiór B nie jest pusty, gdyż zawiera

zbiór niepusty B. Zbiór A również nie jest pusty, gdyż jeśli liczba a ∈ A,

wówczas liczba a - 1∉ B, ponieważ dowolna liczba zawarta w B musi wynosić co najmniej

liczby a zatem a - 1∈ A.

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych, ze względu na wybór zbiorów.

I wreszcie, jeśli a ∈ A i b ∈ B, to a ≤ b. Rzeczywiście, jeśli w ogóle

liczba c spełni nierówność c > b, gdzie b ∈ B, to niepoprawna

równość c > a (a jest dowolnym elementem zbioru A) i c ∈ B.

Zatem A i B tworzą przekrój i zgodnie z zasadą Dedekinda istnieje liczba

lo λ generujący tę sekcję, to znaczy będący albo największym w klasie

Udowodnijmy, że liczba ta nie może należeć do klasy A. Ważny

ale jeśli λ ∈ A, to istnieje liczba a* ∈ A taka, że λ< a* . Тогда существует

liczba a′ leżąca pomiędzy liczbami λ i a*. Z nierówności a′< a* следует, что

a′ ∈ A , to z nierówności λ< a′ следует, что λ не является наибольшим в

klasa A, co jest sprzeczne z zasadą Dedekinda. Dlatego liczba λ będzie

jest najmniejszy w klasie B i dla wszystkich a ∈ A i nierówność będzie zachowana

a ≤ λ ≤ b, czyli to, co należało udowodnić.◄

Zatem własność sformułowana w aksjomacie i własność

sformułowane w zasadzie Dedekinda są równoważne. W przyszłości te

własności zbioru liczb rzeczywistych będziemy nazywać ciągłością

zdaniem Dedekinda.

Z ciągłości zbioru liczb rzeczywistych według Dedekinda wynika

dwa ważne twierdzenia.

Twierdzenie 1.4.3. (Prawo Archimedesa) Jakakolwiek jest liczba rzeczywista

a, istnieje liczba naturalna n taka, że a< n .

Załóżmy, że stwierdzenie twierdzenia jest fałszywe, to znaczy istnieje takie

pewna liczba b0 taka, że nierówność n ≤ b0 zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych

N. Podzielmy zbiór liczb rzeczywistych na dwie klasy: do klasy B zaliczamy

wszystkie liczby b spełniające nierówność n ≤ b dla dowolnego naturalnego n.

Klasa ta nie jest pusta, ponieważ zawiera liczbę b0. Wszystko umieścimy w klasie A

pozostałe liczby. Ta klasa również nie jest pusta, ponieważ jest to dowolna liczba naturalna

zawarte w A Klasy A i B nie przecinają się, a ich suma tak

zbiór wszystkich liczb rzeczywistych.

Jeśli weźmiemy dowolne liczby a ∈ A i b ∈ B, to istnieje liczba naturalna

liczba n0 taka, że a< n0 ≤ b , откуда следует, что a < b . Следовательно, классы

A i B spełniają zasadę Dedekinda i istnieje liczba α, która

generuje sekcję A B, to znaczy α jest albo największa w klasie A, albo

lub najmniejszy w klasie B. Jeśli założymy, że α należy do klasy A, to

można znaleźć liczbę naturalną n1, dla której nierówność α< n1 .

Ponieważ n1 jest również zawarte w A, liczba α nie będzie największa w tej klasie,

dlatego nasze założenie jest błędne i α jest najmniejsze

klasa B.

Z drugiej strony weźmy liczbę α - 1, która zalicza się do klasy A. Sledova-

Istnieje zatem liczba naturalna n2 taka, że α – 1< n2 , откуда получим

α < n2 + 1 . Так как n2 + 1 - натуральное число, то из последнего неравенства

wynika z tego, że α ∈ A. Powstała sprzeczność dowodzi twierdzenia.◄

Konsekwencja. Jakiekolwiek liczby a i b są takie, że 0< a < b , существует

liczba naturalna n, dla której zachodzi nierówność na > b.

Aby to udowodnić, wystarczy zastosować do liczby prawo Archimedesa

i skorzystaj z własności nierówności.◄

Następstwo ma proste znaczenie geometryczne: jedno i drugie

segmentować, jeśli jest na większym z nich, kolejno od jednego z jego końców

umieść mniejszy, a następnie w skończonej liczbie kroków możesz wyjść dalej

większy odcinek.

Przykład 1. Udowodnij, że dla każdej liczby nieujemnej istnieje a

jedyna nieujemna liczba rzeczywista t taka, że

t n = za, n ∈, n ≥ 2 .

To twierdzenie o istnieniu pierwiastek arytmetyczny n-ty stopień

z liczby nieujemnej na szkolnym kursie algebry jest akceptowane bez dowodu

czyny.

☺Jeśli a = 0, to x = 0, zatem dowód istnienia arytmetyki

Prawdziwy pierwiastek z a jest wymagany tylko dla a > 0.

Załóżmy, że a > 0 i podzielmy zbiór wszystkich liczb rzeczywistych

na dwie klasy. Do klasy B zaliczamy wszystkie liczby dodatnie x, które spełniają

utwórz nierówność x n > a, w klasie A wszyscy pozostali.

Według aksjomatu Archimedesa istnieją liczby naturalne k i m takie, że

< a < k . Тогда k 2 ≥ k >a i 2 ≤< a , т.е. оба класса непусты, причем класс

A zawiera liczby dodatnie.

Oczywiście A ∪ B = i jeśli x1 ∈ A i x2 ∈ B, to x1< x2 .

Zatem klasy A i B tworzą przekrój. Liczba, która się na to składa

sekcja oznaczona jako t. Wtedy t jest największą liczbą w klasie

ce A, czyli najmniejszy w klasie B.

Załóżmy, że t ∈ A i t n< a . Возьмем число h , удовлетворяющее нера-

suwerenność 0< h < 1 . Тогда

(t + h)n = t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h2 + ... + Cnn hn< t n + Cnt n−1h + Cn t n−2h + ... + Cn h =

T n + godz (Cnt n−1 + Cn t n−2 + ... + Cn + Cn t n) − hCn t n = t n + godz (t + 1) − ht n =

T n + godz (t + 1) - t n

Wtedy otrzymujemy (t + h)< a . Это означает,

Zatem, jeśli weźmiemy h<

że t + h ∈ A, co przeczy faktowi, że t jest największym elementem klasy A.

Podobnie, jeśli założymy, że t jest najmniejszym elementem klasy B,

następnie przyjmujemy liczbę h spełniającą nierówności 0< h < 1 и h < ,

otrzymujemy (t − h) = t n − Cnt n−1h + Cn t n−2 godz 2 − ... + (−1) Cn godz n >

> t n - Cnt n-1h + Cn t n-2h + ... + Cn godz = t n - godz (t + 1) - t n > za .

Oznacza to, że t − h ∈ B i t nie może być najmniejszym elementem

klasa B. Dlatego t n = a.

Unikalność wynika z faktu, że jeśli t1< t2 , то t1n < t2 .☻ n

Przykład 2. Udowodnij, że jeśli a< b , то всегда найдется рациональное число r

takie, że A< r < b .

☺Jeśli liczby a i b są wymierne, to liczba jest wymierna i zadowalająca

spełnia wymagane warunki. Załóżmy, że co najmniej jedna z liczb a lub b

irracjonalna, na przykład, powiedzmy, że liczba b jest niewymierna. Prawdopodobnie

Zakładamy również, że a ≥ 0, wówczas b > 0. Zapiszmy reprezentacje liczb a i b w postaci

ułamki dziesiętne: a = α 0,α1α 2α 3.... i b = β 0, β1β 2 β3..., gdzie drugi ułamek jest nieskończony

przerywane i nieokresowe. Jeśli chodzi o reprezentację liczby a, rozważymy

Należy zauważyć, że jeśli liczba a jest wymierna, to jej zapis jest albo skończony, albo nie

ułamek okresowy, którego okres nie jest równy 9.

Ponieważ b > a, to β 0 ≥ α 0; jeśli β 0 = α 0, to β1 ≥ α1; jeśli β1 = α1, to β 2 ≥ α 2

itd., i istnieje wartość i, przy której po raz pierwszy będzie

ścisła nierówność βi > α i jest spełniona. Wtedy liczba β 0, β1β 2 ...βi będzie wymierna

nal i będzie znajdować się pomiędzy liczbami a i b.

Jeśli< 0 , то приведенное рассуждение надо применить к числам a + n и

b + n, gdzie n jest liczbą naturalną taką, że n ≥ a. Istnienie takiej liczby

wynika z aksjomatu Archimedesa. ☻

Definicja 1.4.6. Niech będzie podany ciąg odcinków osi liczbowej

([ an ; bn ]), an< bn . Эту последовательность будем называть системой вло-

segmentów, jeśli dla dowolnego n nierówności an ≤ an+1 i

Dla takiego systemu dokonuje się wtrąceń

[a1; b1 ] ⊃ [ a2 ; b2 ] ⊃ [ a3 ; b3 ] ⊃ ... ⊃ [ an ; bn ] ⊃ ... ,

to znaczy, że każdy kolejny segment jest zawarty w poprzednim.

Twierdzenie 1.4.4. Dla każdego systemu zagnieżdżonych segmentów istnieje

co najmniej jeden punkt zawarty w każdym z tych segmentów.

Weźmy dwa zbiory A = (an) i B = (bn). Nie są puste i dla nikogo

n i m nierówność an< bm . Докажем это.

Jeśli n ≥ m, to an< bn ≤ bm . Если n < m , то an ≤ am < bm .

Zatem klasy A i B spełniają aksjomat ciągłości i,

dlatego istnieje liczba λ taka, że an ≤ λ ≤ bn dla dowolnego n, tj. Ten

liczba należy do dowolnego segmentu [ an ; bn] .◄

W dalszej części (Twierdzenie 2.1.8) udoskonalimy to twierdzenie.

Twierdzenie sformułowane w Twierdzeniu 1.4.4 nazywane jest zasadą

Cantora, a zbiór spełniający ten warunek będziemy nazywać nie-

według Cantora jest nieciągły.

Udowodniliśmy, że jeśli zbiór uporządkowany jest Dede-ciągły

kindu, to jest w nim spełniona zasada Archimedesa i według Cantora jest ciągła.

Można udowodnić, że jest to zbiór uporządkowany, w którym zasady są spełnione

twierdzenia Archimedesa i Kantora, będą według Dedekinda ciągłe. Dowód

Fakt ten zawarty jest m.in.

Zasada Archimedesa pozwala każdemu segmentowi linii porównywać nie-

która jest jedyną liczbą dodatnią spełniającą warunki:

1. odpowiadają równe segmenty równe liczby;

2. Jeżeli punkt B odcinka AC oraz odcinki AB i BC odpowiadają liczbom a i

b, wówczas odcinek AC odpowiada liczbie a + b;

3. Liczba 1 odpowiada określonemu segmentowi.

Liczba odpowiadająca każdemu segmentowi i spełniająca warunki 1-3 na-

nazywa się długością tego odcinka.

Zasada Cantora pozwala nam to udowodnić dla każdego dodatniego

liczbę, możesz znaleźć odcinek, którego długość jest równa tej liczbie. Zatem,

między zbiorem dodatnich liczb rzeczywistych a zbiorem segmentów

kovs, które są odkładane od pewnego punktu na linii prostej wzdłuż danego boku

od tego momentu można nawiązać korespondencję jeden do jednego.

Dzięki temu możemy zdefiniować oś liczbową i wprowadzić korespondencję pomiędzy

Czekam na liczby rzeczywiste i punkty na prostej. Aby to zrobić, weźmy trochę

pierwszą linię i wybierz na niej punkt O, który podzieli tę linię na dwie

Belka. Jeden z tych promieni nazwiemy dodatnim, a drugi ujemnym.

nie m. Powiemy wtedy, że wybraliśmy kierunek na tej prostej.

Definicja 1.4.7. Nazwiemy oś liczbową linią prostą, na której

a) punkt O, zwany początkiem lub początkiem współrzędnych;

b) kierunek;

c) odcinek o długości jednostkowej.

Teraz dla każdej liczby rzeczywistej a kojarzymy punkt M z liczbą

wyć prosto, żeby tak było

a) liczba 0 odpowiadała początkowi współrzędnych;

b) OM = a - długość odcinka od początku do punktu M była równa

liczba modulo;

c) jeśli a jest dodatnie, wówczas punkt jest brany na promieniu dodatnim i, jeśli

Jeśli jest negatywny, to jest negatywny.

Zasada ta ustanawia korespondencję jeden do jednego pomiędzy

zbiór liczb rzeczywistych i zbiór punktów na prostej.

Oś liczbową będziemy także nazywać linią rzeczywistą

Oznacza to również geometryczne znaczenie modułu liczby rzeczywistej.

la: moduł liczby jest równy odległości od początku do przedstawionego punktu

naciśnięcie tej liczby na osi liczbowej.

Teraz możemy podać geometryczną interpretację właściwości 6 i 7

moduł liczby rzeczywistej. Dla dodatniego C liczby x spełniam

spełniając właściwość 6, wypełnij przedział (-C, C), a liczby x spełniają

własność 7, leżą na promieniach (−∞,C) lub (C, +∞).

Zwróćmy uwagę na jeszcze jedną niezwykłą właściwość geometryczną modułu materii:

prawdziwy numer.

Moduł różnicy między dwiema liczbami jest równy odległości między punktami, odpowiadającej

odpowiadające tym liczbom na osi rzeczywistej.

standardowe zestawy liczbowe.

Zbiór liczb naturalnych;

Zbiór liczb całkowitych;

Zbiór liczb wymiernych;

Zbiór liczb rzeczywistych;

Zbiory odpowiednio liczb całkowitych, wymiernych i rzeczywistych

liczby rzeczywiste nieujemne;

Zbiór liczb zespolonych.

Ponadto zbiór liczb rzeczywistych jest oznaczany jako (−∞, +∞) .

Podzbiory tego zbioru:

(a, b) = ( x | x ∈ R, a< x < b} - интервал;

[ a, b] = ( x | x ∈ R, a ≤ x ≤ b) - odcinek;

(a, b] = ( x | x ∈ R, a< x ≤ b} или [ a, b) = { x | x ∈ R, a ≤ x < b} - полуинтерва-

ly lub półsegmenty;

(a, +∞) = ( x | x ∈ R, za< x} или (−∞, b) = { x | x ∈ R, x < b} - открытые лучи;

[ a, +∞) = ( x | x ∈ R, a ≤ x) lub (−∞, b] = ( x | x ∈ R, x ≤ b) - promienie zamknięte.

Wreszcie czasami będziemy potrzebować luk, którymi nie będziemy się przejmować

czy jego końce należą do tego przedziału, czy nie. Będziemy mieli taki okres

oznaczają a, b.

§ 5 Ograniczenie zbiorów liczbowych

Definicja 1.5.1. Zbiór liczbowy X nazywany jest ograniczonym

z góry, jeśli istnieje liczba M taka, że x ≤ M dla każdego elementu x z

ustaw X.

Definicja 1.5.2. Zbiór liczbowy X nazywany jest ograniczonym

poniżej, jeśli istnieje liczba m taka, że x ≥ m dla każdego elementu x z

ustaw X.

Definicja 1.5.3. Zbiór liczbowy X nazywany jest ograniczonym,

jeśli jest ograniczony od góry i od dołu.

W zapisie symbolicznym definicje te wyglądałyby następująco:

zbiór X jest ograniczony z góry jeśli ∃M ∀x ∈ X: x ≤ M,

jest ograniczona poniżej, jeśli ∃m ∀x ∈ X: x ≥ m i

jest ograniczone, jeśli ∃m, M ∀x ∈ X: m ≤ x ≤ M .

Twierdzenie 1.5.1. Zbiór liczbowy X jest ograniczony wtedy i tylko wtedy, gdy

gdy istnieje liczba C taka, że dla wszystkich elementów x z tego zbioru

Zachodzi nierówność x ≤ C.

Niech zbiór X będzie ograniczony. Załóżmy, że C = max (m, M) - najwięcej

większa z liczb m i M. Następnie korzystając z właściwości modułu reals

liczb, otrzymujemy nierówności x ≤ M ≤ M ≤ C i x ≥ m ≥ − m ≥ −C , z czego wynika

Prawdą jest, że x ≤ C.

I odwrotnie, jeśli spełniona jest nierówność x ≤ C, to −C ≤ x ≤ C. To jest trzy-

można się spodziewać, jeśli umieścimy M = C i m = −C .◄

Liczba M, która ogranicza zbiór X z góry, nazywana jest górną

granica zbioru. Jeśli M jest górną granicą zbioru X, to dowolną

liczba M ′ większa niż M będzie również górną granicą tego zbioru.

Można zatem mówić o zbiorze górnych granic zbioru

X. Oznaczmy zbiór górnych granic przez M. Następnie ∀x ∈ X i ∀M ∈ M

nierówność x ≤ M będzie więc spełniona zgodnie z aksjomatem w sposób ciągły

Istnieje liczba M 0 taka, że x ≤ M 0 ≤ M . Liczba ta nazywana jest dokładną

brak górnej granicy zbioru liczbowego X lub jego górnej granicy

zbiór lub supremum zbioru X i jest oznaczony przez M 0 = sup X .

W ten sposób udowodniliśmy, że każdy niepusty zbiór liczbowy,

ograniczona powyżej zawsze ma dokładną górną granicę.

Jest oczywiste, że równość M 0 = sup X jest równoważna dwóm warunkom:

1) ∀x ∈ X nierówność x ≤ M 0 zachodzi, tj. M 0 - górna granica krotności

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X tak, że zachodzi nierówność xε > M 0 − ε, tj. ta gra

Ceny nie można poprawić (obniżyć).

Przykład 1. Rozważmy zbiór X = ⎨1 − ⎬ . Udowodnimy, że sup X = 1.

☺Rzeczywiście, po pierwsze, nierówność 1 −< 1 выполняется для любого

n ∈ ; po drugie, jeśli weźmiemy dowolną liczbę dodatnią ε, to według

Korzystając z prawa Archimedesa, można znaleźć liczbę naturalną nε taką, że nε > . To-

gdzie spełniona jest nierówność 1 − > 1 − ε, tj. znaleziony element xnε multi-

X, większa niż 1 - ε, co oznacza, że 1 jest najmniejszą górną granicą

Podobnie można udowodnić, że jeśli zbiór jest ograniczony poniżej, to

ma dokładną dolną granicę, zwaną również dolną granicą

new lub infimum zbioru X i jest oznaczony przez inf X.

Równość m0 = inf X jest równoważna warunkom:

1) ∀x ∈ X zachodzi nierówność x ≥ m0;

2) ∀ε > 0 ∃xε ∈ X tak, że zachodzi nierówność xε< m0 + ε .

Jeżeli zbiór X ma największy element x0, to go nazwiemy

maksymalny element zbioru X i oznacz x0 = max X . Następnie

sup X = x0 . Podobnie, jeśli w zbiorze jest najmniejszy element, to

nazwiemy to minimalnym, oznaczmy min X i będzie to in-

fimum zbioru X.

Na przykład zbiór liczb naturalnych ma najmniejszy element -

jednostka, która jest jednocześnie dolną częścią zbioru. Najwyższy-

Zbiór ten nie ma mumy, ponieważ nie jest ograniczony z góry.

Definicje dokładnych górnych i dolnych granic można rozszerzyć do

zbiory nieograniczone powyżej lub poniżej, zakładając sup X = +∞ lub odpowiednio

Odpowiednio inf X = −∞ .

Podsumowując, formułujemy kilka właściwości górnej i dolnej granicy.

Właściwość 1. Niech X będzie jakimś zbiorem liczbowym. Oznaczmy przez

− X zbiór (− x | x ∈ X ) . Następnie sup (− X) = − inf X i inf (− X) = − sup X .

Właściwość 2. Niech X będzie jakimś zbiorem liczbowym, a λ będzie rzeczywisty

numer. Oznaczmy przez λ X zbiór (λ x | x ∈ X ) . Wtedy jeśli λ ≥ 0, to

sup (λ X) = λ sup X , inf (λ X) = λ inf X i, jeśli λ< 0, то

sup (λ X) = λ inf X , inf (λ X) = λ sup X .

Właściwość 3. Niech X1 i X2 będą zbiorami liczbowymi. Oznaczmy przez

X1 + X 2 to zbiór ( x1 + x2 | x1 ∈ X 1, x2 ∈ X 2 ) i przez X1 − X 2 zbiór

( x1 - x2 | x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2) . Następnie sup (X 1 + X 2) = sup X 1 + sup X 2 ,

inf (X1 + X 2) = inf X1 + inf X 2 , sup (X 1 - X 2) = sup X 1 - inf X 2 i

inf (X1 – X 2) = inf X1 – sup X 2 .

Właściwość 4. Niech X1 i X2 będą zbiorami liczbowymi, których wszystkie elementy

ryh nie są ujemne. Następnie

sup (X1 X 2) = sup X1 ⋅ sup X 2 , inf (X1 X 2) = inf X 1 ⋅ inf X 2 .

Udowodnimy na przykład pierwszą równość we własności 3.

Niech x1 ∈ X1, x2 ∈ X 2 i x = x1 + x2. Następnie x1 ≤ sup X1, x2 ≤ sup X 2 i

x ≤ sup X1 + sup X 2 , skąd sup (X1 + X 2) ≤ sup X1 + sup X 2 .

Aby udowodnić przeciwną nierówność, weź liczbę

y< sup X 1 + sup X 2 . Тогда можно найти элементы x1 ∈ X1 и x2 ∈ X 2 такие,

to x1< sup X1 и x2 < sup X 2 , и выполняется неравенство

y< x1 + x2 < sup X1 + sup X 2 . Это означает, что существует элемент

x = +x1 x2 ∈ X1+ X2, która jest większa niż liczba y i

sup X1 + sup X 2 = sup (X1 + X 2) .◄

Dowody pozostałych właściwości przeprowadza się podobnie i dostarczają

zostają ujawnione czytelnikowi.

§ 6 Zbiory przeliczalne i nieprzeliczalne

Definicja 1.6.1. Rozważmy zbiór pierwszych n liczb naturalnych

n = (1,2,..., n) i jakiś zbiór A. Jeżeli istnieje możliwość ustalenia wzajemnego

korespondencja jeden do jednego między A i n, wówczas zostanie wywołany zbiór A

finał.

Definicja 1.6.2. Niech będzie dany jakiś zbiór A. Jeśli mogę

ustalić zgodność jeden do jednego między zbiorem A i

zbiór liczb naturalnych, wówczas zbiór A nazwiemy zbiorem liczącym

Definicja 1.6.3. Jeśli zbiór A jest skończony lub przeliczalny, to tak się stanie

wierzyć, że jest to nic więcej niż policzalne.

Zatem zbiór będzie przeliczalny, jeśli można policzyć jego elementy

ułożyć w sekwencję.

Przykład 1. Zbiór liczb parzystych jest przeliczalny, ponieważ odwzorowanie n ↔ 2n

jest korespondencją jeden do jednego między zbiorem naturalnym

liczby i wiele liczb parzystych.

Oczywiście taką korespondencję można nawiązać nie tylko w

zom. Na przykład można ustalić powiązanie między zestawem a wieloma

gest (liczb całkowitych), ustanawiając w ten sposób korespondencję

Definicja 2. Mówi się, że zbiór jest ograniczony powyżej (poniżej), jeśli istnieje taka liczba, że c (odpowiednio ) dla dowolnego .

Liczbę c w tym przypadku nazywa się górną (odpowiednio dolną) granicą zbioru X lub też większą (minorantą) zbioru X.

Definicja 3. Zbiór ograniczony zarówno od góry, jak i od dołu nazywa się ograniczonym.

Definicja 4. Element a nazywa się największym lub maksymalnym (najmniejszym lub minimalnym) elementem zbioru, jeśli (odpowiednio) dla dowolnego elementu .

Wprowadźmy pewną notację i jednocześnie podajmy formalną notację dla definicji odpowiednio elementów maksymalnych i minimalnych:

Wraz z oznaczeniami (czytaj „maksimum” (czytaj „minimum” w tym samym znaczeniu, symbole są używane odpowiednio

Z aksjomatu pierwszego rzędu wynika od razu, że jeśli w zbiorze liczbowym istnieje element maksymalny (minimalny), to jest go tylko jeden.

Jednak nie każdy zbiór, nawet ograniczony, ma element maksymalny (minimalny).

Na przykład zbiór ma element minimalny, ale jak można łatwo sprawdzić, nie ma elementu maksymalnego.

Definicja 5. Najmniejsza liczba ograniczająca zbiór od góry nazywana jest górną granicą (lub dokładną górną granicą) zbioru X i jest oznaczana (czytaj „supremum lub

To jest podstawowa definicja tego akapitu. Więc,

W nawiasie pierwszym, na prawo od definiowanego pojęcia, jest napisane, że ogranicza ono X od góry; drugi nawias mówi, że jest to minimalna liczba posiadająca tę właściwość. Dokładniej, drugi nawias stwierdza, że jakakolwiek mniejsza liczba nie jest już górną granicą X.

Podobnie, pojęcie dolnej granicy (dokładnej dolnej granicy) zbioru X zostaje wprowadzone jako największa z dolnych granic zbioru X.

Definicja 6.

Wraz z oznaczeniem (czytaj „infimum dla dolnej powierzchni X” używane jest również oznaczenie

W związku z tym podaje się następujące definicje:

Ale powyżej powiedzieliśmy, że nie każdy zbiór ma element minimalny lub maksymalny, dlatego przyjęte definicje górnej i dolnej granicy zbioru liczbowego wymagają argumentacji, której dostarcza następujący

Lemat (zasada górnego ograniczenia). Każdy niepusty podzbiór zbioru liczb rzeczywistych ograniczonych powyżej ma unikalną supremum.

Ponieważ znamy już niepowtarzalność minimalnego elementu zbioru liczbowego, pozostaje nam jedynie sprawdzić istnienie górnej granicy.

Niech ten podzbiór będzie zbiorem górnych granic X. Zgodnie z warunkiem, wówczas, na mocy aksjomatu zupełności, istnieje taka liczba, że Liczba c jest zatem większą i mniejszą z X. Jako większa z X, liczba c jest elementem Y, ale jako minorant Y, liczba c jest minimalnym elementem zbioru Y. Zatem,

Oczywiście istnienie i jednoznaczność dolnej granicy ograniczonego poniżej zbioru liczbowego udowadnia się w podobny sposób, tj.

Definicja segmentów zagnieżdżonych. Dowód lematu Cauchy'ego-Cantora na segmenty zagnieżdżone.

Treść

Definiowanie linii zagnieżdżonych

Niech a i b będą dwiema liczbami rzeczywistymi (). Odpuść sobie . Zbiór liczb x spełniających nierówności nazywa się segmentem o punktach końcowych a i b. Segment jest oznaczony następująco: .

Sekwencja segmentów liczbowych

zwany sekwencją zagnieżdżone segmenty, jeśli każdy kolejny segment zawiera się w poprzednim:
.
Oznacza to, że końce odcinków są połączone nierównościami:
.

Lemat o segmentach zagnieżdżonych (zasada Cauchy'ego-Cantora)

Dla dowolnego ciągu zagnieżdżonych segmentów istnieje punkt należący do wszystkich tych segmentów.
Jeżeli długości odcinków dążą do zera:
,
wtedy taki punkt jest jedyny.

Ten lemat jest również nazywany twierdzenie o zagnieżdżonym segmencie Lub Zasada Cauchy'ego-Cantora.

Dowód

Na dowód pierwsza część lematu, skorzystajmy z aksjomatu zupełności liczb rzeczywistych.

Aksjomat zupełności liczb rzeczywistych następująco. Niech zbiory A i B będą dwoma podzbiorami liczb rzeczywistych takimi, że dla dowolnych dwóch elementów i tych zbiorów zachodzi nierówność. Następnie istnieje liczba rzeczywista c taka, że nierówności obowiązują dla wszystkich:
.

Zastosujmy ten aksjomat. Niech zbiór A będzie zbiorem lewych punktów końcowych segmentów i niech zbiór B będzie zbiorem prawych punktów końcowych. Wtedy nierówność zachodzi pomiędzy dowolnymi dwoma elementami tych zbiorów. Wtedy z aksjomatu zupełności liczb rzeczywistych wynika, że istnieje liczba c taka, że dla wszystkich n zachodzą następujące nierówności:
.
Oznacza to, że punkt c należy do wszystkich odcinków.

Udowodnijmy druga część lematu.

Pozwalać . Zgodnie z definicją granicy ciągu oznacza to, że dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba naturalna N zależna od ε taka, że dla wszystkich liczb naturalnych n > N zachodzi nierówność
(1) .

Załóżmy odwrotnie. Niech będą dwa różne punkty c 1 i C 2 , C 1 ≠ do 2, należące do wszystkich segmentów. Oznacza to, że dla wszystkich n zachodzą nierówności:
;
.
Stąd
.
Stosując (1) mamy:
.
Nierówność ta musi zachodzić dla wszelkich dodatnich wartości ε. Wynika, że
C 1 = do 2.

Lemat został udowodniony.

Komentarz

Istnienie punktu należącego do wszystkich odcinków wynika z aksjomatu zupełności, który obowiązuje dla liczb rzeczywistych. Aksjomat ten nie ma zastosowania do liczb wymiernych. Dlatego lemat o zagnieżdżonym segmencie nie ma zastosowania również do zbioru liczb wymiernych.

Na przykład moglibyśmy wybrać segmenty tak, aby zarówno lewy, jak i prawy koniec zbiegały się w liczbę niewymierną. Wtedy każda liczba wymierna w miarę wzrostu n zawsze wypadałaby z układu segmentów. Pojedynczy należąca do całego odcinka jest liczbą niewymierną.

Bibliografia:
O.V. Besow. Wykłady z analizy matematycznej. Część 1. Moskwa, 2004.

Aksjomat ciągłości (kompletności). $A\podzbiór\mathbb(R)$ I $B\podzbiór\mathbb(R)$ $a\w A$ I $b \ w B$ nierówność zachodzi $a\leqslant b$ , istnieje taka liczba rzeczywista $\xi$ to dla wszystkich $a\w A$ I $b \ w B$ istnieje związek

$a \leqslant \xi \leqslant b$

Z geometrycznego punktu widzenia, jeśli liczby rzeczywiste potraktujemy jako punkty na prostej, stwierdzenie to wydaje się oczywiste. Jeśli dwa zestawy $A$ I $B$ są takie, że na osi liczbowej wszystkie elementy jednego z nich leżą na lewo od wszystkich elementów drugiego, to jest liczba $\xi$ , działowy te dwa zbiory, to znaczy leżące po prawej stronie wszystkich elementów $A$ (może z wyjątkiem samego $\xi$ ) i na lewo od wszystkich elementów $B$ (to samo zastrzeżenie).

Należy tu zaznaczyć, że pomimo „oczywistości” tej własności, nie zawsze jest ona prawdziwa dla liczb wymiernych. Rozważmy na przykład dwa zestawy:

A = $x \in \mathbb(Q): x > 0, \; x^2< 2\}, \quad B = \{x \in \mathbb{Q}: x >0,\; x^2 > 2$

Łatwo to zauważyć dla dowolnych elementów $a\w A$ I $b \ w B$ nierówność zachodzi $A< b$ . Jednakże racjonalny liczby $\xi$ , oddzielająca te dwa zbiory, nie istnieje. W rzeczywistości liczba ta może być tylko $\sqrt(2)$ , ale to nie jest racjonalne.

Rola aksjomatu ciągłości w konstrukcji analizy matematycznej

Znaczenie aksjomatu ciągłości jest takie, że bez niego rygorystyczna konstrukcja analizy matematycznej nie jest możliwa. Dla ilustracji przedstawiamy kilka podstawowych twierdzeń analizy, których dowód opiera się na ciągłości liczb rzeczywistych:

(Twierdzenie Weierstrassa). Każdy ograniczony, monotonicznie rosnący ciąg jest zbieżny
(Twierdzenie Bolzano-Cauchy’ego). Funkcja ciągła na odcinku, przyjmująca na końcach wartości różnych znaków, zanika w pewnym wewnętrznym punkcie odcinka
(Istnienie funkcji potęgowych, wykładniczych, logarytmicznych i wszystkich funkcji trygonometrycznych w „naturalnym” obszarze definicji). Udowodniono na przykład, że dla każdego $a > 0$ i całość $n\geqslant 1$ istnieje $\sqrt[n](a)$ , czyli rozwiązanie równania $x^n=a, x>0$ . Pozwala to określić wartość wyrażenia $a^x$ dla wszystkich racjonalnych $X$ :

$a^(m/n) = \left(\sqrt[n](a)\right)^m$

Wreszcie, ponownie dzięki ciągłości osi liczbowej, możemy określić wartość wyrażenia $a^x$ już na dowolność $x\in\R$ . Podobnie, korzystając z własności ciągłości, udowadnia się istnienie liczby $\log_(a)(b)$ dla każdego $a,b >0 , a\neq 1$ .

Przez długi okres historyczny matematycy dowodzili twierdzeń na podstawie analizy, w „miejscach subtelnych” odwołując się do uzasadnienia geometrycznego, a częściej całkowicie je pomijając, bo było to oczywiste. Niezwykle ważne pojęcie ciągłości zostało użyte bez jasnej definicji. Dopiero w ostatniej tercji XIX wieku niemiecki matematyk Karl Weierstrass dokonał analizy arytmetycznej, konstruując pierwszą rygorystyczną teorię liczb rzeczywistych jako nieskończonych ułamków dziesiętnych. Zaproponował klasyczną w języku definicję granicy $\varepsilon - \delta$ , udowodnił szereg twierdzeń, które przed nim uważano za „oczywiste”, i tym samym zakończył budowę podstaw analizy matematycznej.

Później zaproponowano inne podejścia do wyznaczania liczby rzeczywistej. W podejściu aksjomatycznym ciągłość liczb rzeczywistych jest wyraźnie podkreślana jako odrębny aksjomat. W konstruktywnych podejściach do teorii liczb rzeczywistych, na przykład podczas konstruowania liczb rzeczywistych za pomocą odcinków Dedekinda, właściwość ciągłości (w takim czy innym sformułowaniu) jest udowadniana jako twierdzenie.

Inne sformułowania własności ciągłości i zdania równoważne

Ciągłość według Dedekinda

Dedekind rozważa kwestię ciągłości liczb rzeczywistych w swoim dziele „Ciągłość i liczby niewymierne”. Porównuje w nim liczby wymierne z punktami na linii prostej. Jak wiadomo, zgodność między liczbami wymiernymi a punktami na linii można ustalić, gdy na linii zostanie wybrany punkt początkowy i jednostka miary odcinków. Używając tego ostatniego, dla każdej liczby wymiernej $A$ skonstruuj odpowiedni segment i przesuń go w prawo lub w lewo, w zależności od tego, czy istnieje $A$ liczba dodatnia lub ujemna, zdobądź punkt $P$ , odpowiadający liczbie $A$ . Zatem dla każdej liczby wymiernej $A$ pasuje tylko jeden punkt $P$ na linii prostej.

Aby dowiedzieć się, na czym polega ta ciągłość, Dedekind czyni następującą uwagę. Jeśli $P$ istnieje pewien punkt na linii, wówczas wszystkie punkty na linii dzielą się na dwie klasy: punkty położone po lewej stronie $P$ i punkty znajdujące się po prawej stronie $P$ . Ten sam punkt $P$ można dowolnie przypisać do klasy niższej lub wyższej. Dedekind istotę ciągłości widzi w zasadzie odwrotnej:

Geometrycznie zasada ta wydaje się oczywista, jednak nie jesteśmy w stanie jej udowodnić. Dedekind podkreśla, że w istocie zasada ta jest postulatem, wyrażającym istotę tej przypisanej własności bezpośredniej, którą nazywamy ciągłością.

Skończony lemat pokrywający (zasada Heinego-Borela)

Lemat o skończonym pokryciu (Heine – Borel). W każdym układzie przedziałów obejmującym odcinek istnieje skończony podsystem obejmujący ten odcinek.

Lemat o punkcie granicznym (zasada Bolzano-Weierstrassa)

Lemat o punkcie granicznym (Bolzano – Weierstrass). Każdy nieskończenie ograniczony zbiór liczb ma co najmniej jeden punkt graniczny.

Równoważność zdań wyrażających ciągłość zbioru liczb rzeczywistych

Twierdzenie. Pozwalać $\mathsf(R)$ - dowolny zbiór liniowo uporządkowany. Poniższe stwierdzenia są równoważne:

Jakiekolwiek istnieją niepuste zbiory $A\podzbiór\mathsf(R)$ I $B\podzbiór\mathsf(R)$ , tak że dla dowolnych dwóch elementów $a\w A$ I $b \ w B$ nierówność zachodzi $a\leqslant b$ , jest taki element $\xi \in \mathsf(R)$ to dla wszystkich $a\w A$ I $b \ w B$ istnieje związek $a \leqslant \xi \leqslant b$
Dla dowolnej sekcji w $\mathsf(R)$ istnieje element tworzący tę sekcję
Dowolny niepusty zbiór ograniczony powyżej $A\podzbiór\mathsf(R)$ ma supremum
Dowolny niepusty zbiór ograniczony od dołu $A\podzbiór\mathsf(R)$ ma dolną część

Jak widać z tego twierdzenia, te cztery zdania używają tylko tego, co jest $\mathsf(R)$ wprowadza się liniową relację porządku i nie wykorzystuje się struktury pola. Zatem każdy z nich wyraża własność $\mathsf(R)$ jako zbiór liniowo uporządkowany. Ta właściwość (dowolnego, liniowo uporządkowanego zbioru, niekoniecznie zbioru liczb rzeczywistych) nazywa się według Dedekinda ciągłość lub kompletność.

Dowodzenie równoważności innych zdań wymaga już obecności struktury polowej.

Twierdzenie. Pozwalać $\mathsf(R)$ - dowolnie uporządkowane pole. Następujące zdania są równoważne:

$\mathsf(R)$ (jako zbiór liniowo uporządkowany) jest Dedekindem zupełnym
Dla $\mathsf(R)$ spełnił prawo Archimedesa I zasada segmentów zagnieżdżonych
Dla $\mathsf(R)$ spełniona jest zasada Heinego-Borela
Dla $\mathsf(R)$ spełniona jest zasada Bolzano-Weierstrassa

Dowód powyższych twierdzeń można znaleźć w książkach z poniższej listy referencyjnej.

Napisz recenzję o artykule "Ciągłość zbioru liczb rzeczywistych"

Notatki

Literatura

Kudryavtsev, L. D. Kurs analizy matematycznej. - 5. wyd. - M.: „Drofa”, 2003. - T. 1. - 704 s. - ISBN 5-7107-4119-1.
Fikhtengolts, G. M. Podstawy analizy matematycznej. - 7. wyd. - M.: „FIZMATLIT”, 2002. - T. 1. - 416 s. - ISBN 5-9221-0196-X.
Dedekind, R.= Stetigkeit und irrationale Zahlen. - 4. wydanie poprawione. - Odessa: Mathesis, 1923. - 44 s.
Zorich, V.A. Analiza matematyczna. Część I. – wyd. 4. poprawione - M.: "MCNMO", 2002. - 657 s. - ISBN 5-94057-056-9.
Ciągłość funkcji i dziedziny numeryczne: B. Bolzano, L. O. Cauchy, R. Dedekind, G. Cantor. - wyd. 3. - Nowosybirsk: ANT, 2005. - 64 s.

Wyciąg charakteryzujący ciągłość zbioru liczb rzeczywistych

- A więc tego mi szkoda - ludzkiej godności, spokoju sumienia, czystości, a nie ich pleców i czoła, które niezależnie od tego, jak bardzo się ogolisz, nieważne, jak bardzo się ogolisz, plecy i czoło nadal pozostaną takie same .
„Nie, nie i po tysiąckroć nie, nigdy się z tobą nie zgodzę” - powiedział Pierre.

Wieczorem książę Andriej i Pierre wsiedli do powozu i pojechali w Góry Łyse. Książę Andriej, spoglądając na Pierre'a, od czasu do czasu przerywał ciszę przemówieniami świadczącymi o tym, że jest w dobrym nastroju.
Opowiedział mu, wskazując na pola, o swoich postępach ekonomicznych.
Pierre milczał ponuro, odpowiadał monosylabami i wydawał się pogrążony w myślach.
Pierre myślał, że książę Andriej jest nieszczęśliwy, że się myli, że nie zna prawdziwego światła i że Pierre powinien przyjść mu z pomocą, oświecić go i podnieść. Ale gdy tylko Pierre zorientował się, jak i co powie, miał przeczucie, że książę Andriej jednym słowem, jednym argumentem zniszczy wszystko w jego nauczaniu, i bał się zacząć, bojąc się narazić swoją ukochaną świątynię na możliwość ośmieszenia.
„Nie, jak myślisz, dlaczego” – zaczął nagle Pierre, opuszczając głowę i przybierając wygląd byka, dlaczego tak myślisz? Nie powinieneś tak myśleć.
- O czym myślę? – zapytał zdziwiony książę Andriej.
– O życiu, o celu człowieka. To nie może być. Pomyślałem to samo i to mnie uratowało, wiesz co? masoneria Nie, nie uśmiechaj się. Masoneria nie jest sektą religijną ani rytualną, jak myślałem, ale masoneria jest najlepszym, jedynym wyrazem najlepszych, wiecznych stron człowieczeństwa. - I zaczął wyjaśniać masonerię księciu Andriejowi, tak jak ją rozumiał.
Powiedział, że masoneria jest nauką chrześcijaństwa wyzwoloną z okowów państwowych i religijnych; nauki o równości, braterstwie i miłości.
– Tylko nasze święte braterstwo ma prawdziwy sens życia; „Wszystko inne jest snem” – powiedział Pierre. „Rozumiesz, przyjacielu, że poza tym związkiem wszystko jest pełne kłamstw i nieprawdy, i zgadzam się z tobą, że inteligentna i miła osoba nie ma innego wyjścia, jak tylko żyć tak jak ty, starając się jedynie nie wtrącać inni." Ale przyswojcie nasze podstawowe przekonania, dołączcie do naszego braterstwa, oddajcie się nam, pozwólcie nam się prowadzić, a teraz poczujecie, tak jak ja, część tego ogromnego, niewidzialnego łańcucha, którego początek ukryty jest w niebiosach” – powiedziała. Pierre.
Książę Andriej w milczeniu, patrząc przed siebie, słuchał przemówienia Pierre'a. Kilkakrotnie, nie mogąc usłyszeć hałasu wózka, powtórzył niesłyszane słowa Pierre'a. Po szczególnym blasku, jaki zabłysnął w oczach księcia Andrieja, i po jego milczeniu, Pierre zobaczył, że jego słowa nie poszły na marne, że książę Andriej nie będzie mu przeszkadzał i nie będzie się śmiał z jego słów.
Dotarli do zalanej rzeki, którą musieli przeprawić promem. Podczas instalowania powozu i koni udali się na prom.
Książę Andriej, oparty o balustradę, w milczeniu patrzył na powódź błyszczącą od zachodzącego słońca.
- No i co o tym myślisz? – zapytał Pierre, – dlaczego milczysz?
- Co myślę? Słuchałem cię. „To wszystko prawda” – powiedział książę Andriej. „Ale ty mówisz: dołącz do naszego bractwa, a my pokażemy ci cel życia i cel człowieka, i prawa rządzące światem”. Kim jesteśmy, ludzie? Dlaczego wiesz wszystko? Dlaczego tylko ja nie widzę tego, co ty? Ty widzisz na ziemi królestwo dobra i prawdy, ja go nie widzę.
Pierre mu przerwał. – Czy wierzysz w przyszłe życie? - on zapytał.
- Do przyszłego życia? – powtórzył książę Andriej, ale Pierre nie dał mu czasu na odpowiedź i potraktował to powtórzenie jako zaprzeczenie, zwłaszcza że znał wcześniejsze ateistyczne przekonania księcia Andrieja.
– Mówisz, że nie widzisz na ziemi królestwa dobra i prawdy. I nie widziałem go i nie można go zobaczyć, jeśli spojrzymy na nasze życie jako na koniec wszystkiego. Na ziemi, właśnie na tej ziemi (Pierre wskazał na pole) nie ma prawdy – wszystko jest kłamstwem i złem; ale na świecie, na całym świecie, istnieje królestwo prawdy, a my jesteśmy teraz dziećmi ziemi i na zawsze dziećmi całego świata. Czyż nie czuję w duszy, że jestem częścią tej ogromnej, harmonijnej całości. Czy nie czuję, że jestem w tej ogromnej, niezliczonej liczbie istot, w których objawia się Boskość – najwyższa moc, jak kto lubi – że stanowię jedno ogniwo, jeden stopień od istot niższych do istot wyższych? Jeśli widzę, wyraźnie widzę te schody prowadzące od rośliny do człowieka, to dlaczego miałbym zakładać, że te schody zrywają ze mną i nie prowadzą dalej i dalej. Czuję, że nie tylko nie mogę zniknąć, tak jak nic nie znika na świecie, ale że zawsze będę i zawsze byłem. Czuję, że oprócz mnie żyją nade mną duchy i że na tym świecie jest prawda.
„Tak, to jest nauka Herdera” – powiedział książę Andriej – „ale to, moja duszo, nie jest tym, co mnie przekonuje, ale życiem i śmiercią, to mnie przekonuje”. Przekonujące jest to, że widzisz bliską ci istotę, która jest z tobą powiązana, przed którą byłeś winny i miałeś nadzieję się usprawiedliwić (głos księcia Andrieja drżał i odwrócił się) i nagle ta istota cierpi, dręczona i przestaje być ... Dlaczego? Nie może być tak, że nie ma odpowiedzi! I wierzę, że on jest... To mnie przekonuje, to mnie przekonało” – powiedział książę Andriej.
„No cóż, tak, cóż” - powiedział Pierre - „czy nie to właśnie mówię!”
- NIE. Mówię tylko, że to nie argumenty przekonują Cię o potrzebie przyszłego życia, ale kiedy idziesz przez życie ramię w ramię z jakąś osobą i nagle ta osoba znika gdzieś gdzieś, a ty sam zatrzymujesz się przed tę otchłań i zajrzyj w nią. I spojrzałem...
- No więc! Czy wiesz co tam jest i że ktoś tam jest? Tam jest przyszłe życie. Ktoś jest Bogiem.
Książę Andriej nie odpowiedział. Powóz i konie już dawno przewieziono na drugą stronę i już położono, a słońce już w połowie zniknęło, a wieczorny szron pokrył gwiazdami kałuże w pobliżu promu, a Pierre i Andrey, ku zaskoczeniu lokaje, woźnicy i przewoźnicy nadal stali na promie i rozmawiali.
– Jeśli jest Bóg i jest życie przyszłe, to jest prawda, jest cnota; a najwyższe szczęście człowieka polega na dążeniu do ich osiągnięcia. Musimy żyć, musimy kochać, musimy wierzyć – powiedział Pierre – że nie żyjemy teraz tylko na tym kawałku ziemi, ale żyliśmy i będziemy tam żyć na zawsze we wszystkim (wskazał na niebo). Książę Andriej stał z łokciami opartymi o poręcz promu i słuchając Pierre'a, nie odrywając wzroku, patrzył na czerwone odbicie słońca w błękitnej powodzi. Pierre zamilkł. Było zupełnie cicho. Prom wylądował dawno temu i tylko fale prądu uderzały o dno promu, wydając słaby dźwięk. Księciu Andriejowi wydawało się, że to płukanie fal mówi słowom Pierre'a: „to prawda, uwierz w to”.
Książę Andriej westchnął i promiennym, dziecinnym, czułym spojrzeniem spojrzał na zarumienioną, entuzjastyczną, ale coraz bardziej nieśmiałą twarz Pierre'a przed swoim przełożonym przyjacielem.
- Tak, gdyby tak było! - powiedział. „Jednakże usiądźmy” – dodał książę Andriej i wysiadając z promu, spojrzał na niebo, które wskazał mu Pierre, i po raz pierwszy po Austerlitz ujrzał to wysokie, wieczne niebo, które widział leżącego na polu Austerlitz i coś, co od dawna zasypiało, coś, co było w nim najlepsze, nagle obudziło się w jego duszy radośnie i młodo. To uczucie zniknęło, gdy tylko książę Andriej wrócił do zwykłych warunków życia, ale wiedział, że to uczucie, którego nie wiedział, jak rozwinąć, żyje w nim. Spotkanie z Pierrem było dla księcia Andrieja erą, od której, choć z wyglądu taki sam, ale w świecie wewnętrznym, rozpoczęło się jego nowe życie.

Było już ciemno, kiedy książę Andriej i Pierre przybyli do głównego wejścia domu Łysogorska. Gdy się zbliżali, książę Andriej z uśmiechem zwrócił uwagę Pierre'a na zamieszanie, jakie miało miejsce na tylnej werandzie. Pochylona staruszka z plecakiem na plecach i niski mężczyzna w czarnej szacie z długimi włosami, widząc wjeżdżający powóz, rzucili się do ucieczki przez bramę. Dwie kobiety wybiegły za nimi, a cała czwórka, oglądając się na wózek, wbiegła ze strachem na tylną werandę.
„To są Maszyny Boga” – powiedział książę Andriej. „Wzięli nas za ojca”. I to jest jedyna rzecz, w której ona mu nie jest posłuszna: każe wypędzić tych wędrowców, a ona ich przyjmuje.
- Kim są ludzie Boży? zapytał Pierre'a.
Książę Andriej nie miał czasu, aby mu odpowiedzieć. Słudzy wyszli mu na spotkanie, a on zapytał, gdzie jest stary książę i czy wkrótce się go spodziewają.
Stary książę był jeszcze w mieście i czekali na niego co minutę.
Książę Andriej zaprowadził Pierre'a do swojej połowy, która zawsze czekała na niego w idealnym porządku w domu ojca, a on sam poszedł do pokoju dziecinnego.
„Chodźmy do mojej siostry” - powiedział książę Andriej, wracając do Pierre'a; - Jeszcze jej nie widziałem, teraz ukrywa się i siedzi ze swoim ludem Bożym. Słusznie jej służy, będzie zawstydzona, a zobaczysz lud Boży. C "est curieux, ma parole. [Szczerze mówiąc, to interesujące.]
– Qu"est ce que c"est que [Kim jest] lud Boży? - zapytał Pierre'a
- Ale zobaczysz.
Księżniczka Marya była naprawdę zawstydzona i zaczerwieniła się na miejscu, kiedy do niej podeszli. W jej przytulnym pokoju z lampami przed gablotami z ikonami, na sofie, przy samowarze, siedział obok niej młody chłopak z długim nosem i długimi włosami, w klasztornej szacie.
Na pobliskim krześle siedziała pomarszczona, chuda starsza kobieta z łagodnym wyrazem dziecięcej twarzy.
„Andre, pourquoi ne pas m”avoir prevenu? [Andrei, dlaczego mnie nie ostrzegłeś?] – powiedziała z łagodnym wyrzutem, stojąc przed swoimi wędrowcami jak kura przed swoimi kurczakami.
– Charmee de vous voir. Je suis tres contente de vous voir, [Bardzo się cieszę, że cię widzę. „Tak się cieszę, że cię widzę” – powiedziała do Pierre'a, gdy ten całował ją w rękę. Znała go jako dziecko, a teraz jego przyjaźń z Andriejem, nieszczęścia z żoną i, co najważniejsze, jego życzliwa, prosta twarz, wzbudziły w nim sympatię. Spojrzała na niego swoimi pięknymi, promiennymi oczami i zdawała się mówić: „Bardzo cię kocham, ale proszę, nie śmiej się z moich”. Po wymianie pierwszych zdań powitania, usiedli.
„Och, i Iwanuszka tu jest” – powiedział książę Andriej, wskazując z uśmiechem na młodego wędrowca.
– Andre! – powiedziała błagalnie księżniczka Marya.
„Il faut que vous sachiez que c”est une femme [wiedz, że to jest kobieta” – powiedział Andrei do Pierre’a.
– Andre, au nom de Dieu! [Andrzej, na litość boską!] – powtórzyła księżna Marya.
Było jasne, że kpiąca postawa księcia Andrieja wobec wędrowców i bezużyteczne wstawiennictwo księżnej Marii w ich imieniu były między nimi znajomym, ustalonym stosunkiem.
„Mais, ma bonne amie” – powiedział książę Andriej – „vous devriez au contraire m”etre reconissante de ce que j”explique a Pierre votre intymny avec ce jeune homme… [Ale, mój przyjacielu, powinieneś być mi wdzięczny że wyjaśnię Pierre'owi twoją bliskość z tym młodym mężczyzną.]
- Vraiment? [Naprawdę?] - powiedział Pierre z ciekawością i powagą (za co księżna Marya była mu szczególnie wdzięczna) wpatrując się przez okulary w twarz Iwanuszki, który zdając sobie sprawę, że o nim mowa, patrzył na wszystkich przebiegłym wzrokiem.
Księżniczka Marya zupełnie na próżno wstydziła się za swój lud. Wcale nie byli nieśmiali. Stara kobieta, spuszczając oczy, ale patrząc bokiem na wchodzących, postawiła filiżankę do góry dnem na spodku, a obok niej położyła nadgryzioną kostkę cukru, spokojnie i nieruchomo siedziała na krześle, czekając, aż zaproponuje jej kolejną herbatę . Iwanuszka, pijąc ze spodka, spoglądała na młodych ludzi spod brwi chytrym, kobiecym wzrokiem.
– Gdzie byłeś w Kijowie? – zapytał staruszkę książę Andrzej.
„To było, ojcze” – odpowiedziała gadatliwie stara kobieta – „w same Boże Narodzenie miałam zaszczyt wraz ze świętymi przekazywać święte, niebiańskie tajemnice”. A teraz od Kolazina, ojcze, otworzyła się wielka łaska...
- Cóż, Iwanuszka jest z tobą?
„Idę sam, żywicielu rodziny” – powiedziała Iwanuszka, próbując mówić głębokim głosem. - Tylko w Juchnowie dogadywaliśmy się z Pelageyushką...
Pelagia przerwała towarzyszce; Najwyraźniej chciała opowiedzieć, co widziała.
- W Kolazinie, ojcze, objawiła się wielka łaska.
- No cóż, czy relikty są nowe? - zapytał książę Andriej.
„Wystarczy, Andrieju” – powiedziała księżniczka Marya. - Nie mów mi, Pelageyushka.
„Nie... co mówisz, mamo, dlaczego mi nie powiesz?” Kocham go. Jest miły, ma łaskę Bożą, jako dobroczyńca dał mi ruble, pamiętam. Jak byłem w Kijowie i powiedział mi święty głupiec Kiriusza – prawdziwy mąż Boży, chodzi boso zimą i latem. Dlaczego idziesz, mówi, nie na swoim miejscu, idź do Kolazina, tam jest cudowna ikona, objawiła się Matka Najświętszej Bogurodzicy. Po tych słowach pożegnałem świętych i odszedłem...
Wszyscy milczeli, jeden z wędrowców przemówił miarowym głosem, wciągając powietrze.
- Przyszedł mój ojciec, ludzie przyszli do mnie i powiedzieli: Wielka łaska została objawiona matce Święta Matka Boża mirra kapie z policzka...
„Dobrze, dobrze, powiesz mi później” – powiedziała księżniczka Marya, rumieniąc się.
„Pozwól, że ją zapytam” - powiedział Pierre. -Widziałeś to sam? - on zapytał.
- Ojcze, ty sam zostałeś zaszczycony. Na twarzy jest taki blask, jak światło niebiańskie, a z policzka mojej mamy kapie i kapie...
„Ale to oszustwo” – powiedział naiwnie Pierre, który uważnie słuchał wędrowca.
- Och, ojcze, co ty mówisz! - powiedziała z przerażeniem Pelageyushka, zwracając się do księżniczki Marii o ochronę.
„Oszukują naród” – powtarzał.
- Panie Jezu Chryste! – powiedziała wędrowczyni, żegnając się. - Och, nie mów mi, ojcze. Dlatego jeden z analistów w to nie uwierzył i powiedział: „mnisi oszukują” i jak powiedział, oślepł. I śniło mu się, że przyszła do niego Matka Peczerska i powiedziała: „Zaufaj mi, uzdrowię cię”. Zaczął więc prosić: zabierz mnie i zabierz mnie do niej. Mówię prawdę, sam to widziałem. Przyprowadzili go niewidomego prosto do niej, podszedł, upadł i powiedział: „Uzdrów! „Dam ci” – mówi – „to, co dał ci król”. Sam to widziałem, ojcze, gwiazda była w nim osadzona. Cóż, odzyskałem wzrok! To grzech tak mówić. „Bóg ukarze” – pouczająco zwróciła się do Pierre’a.
- Jak gwiazda znalazła się na zdjęciu? zapytał Pierre'a.
- Zrobiłeś swoją matkę generałem? - powiedział uśmiechając się książę Andriej.
Pelagia nagle zbladła i splotła dłonie.
- Ojcze, ojcze, to dla ciebie grzech, masz syna! - przemówiła, nagle zmieniając kolor z bladego na jasny.
- Ojcze, co powiedziałeś? Bóg ci przebacza. - Przeżegnała się. - Panie, przebacz mu. Mamo, co to jest?…” – zwróciła się do księżniczki Marii. Wstała i niemal płacząc zaczęła pakować torebkę. Najwyraźniej była jednocześnie przestraszona i zawstydzona, że cieszyła się dobrodziejstwami domu, w którym mogli to powiedzieć, i szkoda, że teraz musiała zostać pozbawiona dobrodziejstw tego domu.
- No cóż, jakiego rodzaju polowania chcesz? - powiedziała księżniczka Marya. -Dlaczego do mnie przyszedłeś?...
„Nie, żartuję, Pelageyushka” - powiedział Pierre. - Princesse, ma parole, je n"ai pas voulu l"offenser, [Księżniczka, mam rację, nie chciałem jej urazić,] Po prostu to zrobiłem. Nie myśl, że żartowałem – powiedział, uśmiechając się nieśmiało i chcąc zadośćuczynić. - W końcu to ja, a on tylko żartował.
Pelageyushka zatrzymała się z niedowierzaniem, ale twarz Pierre'a wyrażała taką szczerość skruchy, a książę Andriej spojrzał tak pokornie najpierw na Pelageyushkę, potem na Pierre'a, że stopniowo się uspokoiła.

Wędrówka uspokoiła się i wciągnięta w rozmowę, długo opowiadała o ojcu Amfilochiuszu, który był takim świętym życia, że jego dłoń pachniała palmą i o tym, jak mnisi, których poznała podczas ostatniej podróży do Kijowa, dali jej klucze do jaskiń i jak ona, zabierając ze sobą krakersy, spędziła dwa dni w jaskiniach ze świętymi. „Będę się modlił do jednego, czytam, idę do innego. Wezmę sosnę, pójdę i znowu się pocałuję; i taka cisza, matko, taka łaska, że nawet nie chcesz wyjść do światła Bożego.
Pierre słuchał jej uważnie i poważnie. Książę Andriej opuścił pokój. A po nim, zostawiając lud Boży, aby dokończył herbatę, księżniczka Marya zaprowadziła Pierre'a do salonu.
„Jesteś bardzo miły” – powiedziała mu.
- Och, naprawdę nie myślałem, żeby ją urazić, rozumiem i bardzo cenię te uczucia!
Księżniczka Marya w milczeniu spojrzała na niego i uśmiechnęła się czule. „W końcu znam cię od dawna i kocham cię jak brata” – powiedziała. – Jak znalazłeś Andreya? – zapytała pospiesznie, nie dając mu czasu na odpowiedź słodkie słowa. - Bardzo mnie martwi. Zimą jego stan zdrowia jest lepszy, ale wiosną ubiegłego roku rana się otworzyła i lekarz stwierdził, że powinien udać się na leczenie. I moralnie bardzo się o niego boję. On nie jest typem charakteru, który my, kobiety, mamy cierpieć i wykrzykiwać swój smutek. Nosi to w sobie. Dziś jest wesoły i żywy; ale to twoje przybycie wywarło na nim taki wpływ: rzadko się taki zachowuje. Gdybyś tylko mógł go przekonać do wyjazdu za granicę! Potrzebuje aktywności, a to gładkie, spokojne życie go rujnuje. Inni nie zauważają, ale ja widzę.
O godzinie 10.00 kelnerzy wybiegli na ganek, słysząc dzwonki zbliżającego się powozu starego księcia. Książę Andriej i Pierre również wyszli na ganek.
- Kto to jest? - zapytał stary książę, wysiadając z powozu i zgadując Pierre'a.
– AI jest bardzo szczęśliwa! „pocałuj” – powiedział, dowiedziawszy się, kim był nieznany młody człowiek.
Stary książę był w dobrym nastroju i traktował Pierre'a życzliwie.
Przed obiadem książę Andriej, wracając do biura ojca, zastał starego księcia pogrążonego w gorącej kłótni z Pierrem.
Pierre to argumentował Nadejdzie czas kiedy nie będzie już wojny. Stary książę, żartując, ale nie zły, rzucił mu wyzwanie.
- Wypuść krew z żył, nalej trochę wody, wtedy nie będzie wojny. „Kobiece bzdury, kobiece bzdury” - powiedział, ale nadal czule poklepał Pierre'a po ramieniu i podszedł do stołu, przy którym książę Andriej, najwyraźniej nie chcąc angażować się w rozmowę, przeglądał papiery, które książę przyniósł z miasto. Stary książę podszedł do niego i zaczął rozmawiać o interesach.
- Przywódca, hrabia Rostow, nie dostarczył połowy ludzi. Przyjechałem do miasta, postanowiłem zaprosić go na obiad, - Dałem mu taki obiad... Ale spójrz na to... No, bracie, - Książę Mikołaj Andreich zwrócił się do syna, klepiąc Pierre'a po ramieniu, - dobra robota, twój przyjaciel, kochałem go! Rozpala mnie. Ten drugi mówi mądre rzeczy, ale ja nie chcę słuchać, ale okłamuje i rozwściecza mnie, starca. No cóż, idź, idź – powiedział – może przyjdę i usiądę do twojego obiadu. Znów będę się kłócić. „Kochaj mojego głupca, księżniczkę Marię” – krzyknął do Pierre'a od drzwi.
Pierre dopiero teraz, podczas swojej wizyty w Górach Łysych, docenił całą siłę i urok swojej przyjaźni z księciem Andriejem. Urok ten wyrażał się nie tyle w jego relacjach z samym sobą, ile w jego relacjach ze wszystkimi krewnymi i przyjaciółmi. Pierre, ze starym, surowym księciem oraz z łagodną i nieśmiałą księżniczką Marią, mimo że prawie ich nie znał, od razu poczuł się jak stary przyjaciel. Wszyscy już go pokochali. Nie tylko księżna Marya, przekupiona jego pokornym podejściem do obcych, patrzyła na niego najjaśniejszym spojrzeniem; ale mały, roczny książę Mikołaj, jak go nazywał dziadek, uśmiechnął się do Pierre'a i poszedł mu w ramiona. Michaił Iwanowicz, mille Bourienne, rozmawiając ze starym księciem, spoglądał na niego z radosnymi uśmiechami.