Sekwencja numerów.
Jak ?

Na tej lekcji dowiemy się wielu ciekawych rzeczy z życia członków dużej społeczności zwanej Vkontakte ciągi liczbowe. Rozważana tematyka dotyczy nie tylko przebiegu analizy matematycznej, ale dotyka także podstaw Matematyka dyskretna. Ponadto materiał będzie wymagany do opanowania innych sekcji wieży, w szczególności podczas studiów seria liczb I seria funkcjonalna. Można banalnie powiedzieć, że to ważne, można powiedzieć zachęcająco, że to proste, można powiedzieć o wiele więcej rutynowych zwrotów, ale dziś pierwszy, wyjątkowo leniwy tydzień w szkole, więc strasznie mnie łamie pisanie pierwszego akapitu =) Ja zapisałem już plik w sercu i szykowałem się do snu, gdy nagle... w głowie rozjaśniła mi się myśl o szczerej spowiedzi, która niesamowicie rozjaśniła moją duszę i popchnęła mnie do dalszego stukania palcami w klawiaturę .

Zróbmy sobie przerwę od letnich wspomnień i przyjrzyjmy się temu fascynującemu i pozytywnemu światu nowej sieci społecznościowej:

Pojęcie ciągu liczbowego

Najpierw pomyślmy o samym słowie: czym jest sekwencja? Sekwencja ma miejsce wtedy, gdy coś następuje po czymś. Na przykład sekwencja działań, sekwencja pór roku. Lub gdy ktoś znajduje się za kimś. Na przykład sekwencja ludzi w kolejce, sekwencja słoni na ścieżce do wodopoju.

Wyjaśnijmy od razu charakterystyczne cechy ciągu. Po pierwsze, członkowie sekwencji są położone ściśle w określonej kolejności. Jeśli więc dwie osoby w kolejce zostaną zamienione, to już tak będzie Inny podsekwencja. Po drugie, wszyscy członek sekwencji Możesz przypisać numer seryjny:

Podobnie jest z liczbami. Pozwalać do każdego wartość przyrodnicza według jakiejś zasady zgodny prawdziwy numer. Mówią wtedy, że podany jest ciąg liczbowy.

Tak, w problemach matematycznych, w przeciwieństwie do sytuacje życiowe sekwencja prawie zawsze zawiera nieskończenie wiele liczby.

W której:
zwany pierwszy członek sekwencje;
– drugi członek sekwencje;
– trzeci członek sekwencje;
…
– n-ty Lub wspólny członek sekwencje;
…

W praktyce zwykle podaje się kolejność wspólna formuła terminów, Na przykład:
– ciąg liczb parzystych dodatnich:

Tym samym zapis jednoznacznie określa wszystkich członków ciągu – jest to reguła (wzór), według której ustalane są wartości przyrodnicze numery są umieszczane w korespondencji. Dlatego ciąg często jest krótko oznaczony wspólnym terminem, a zamiast „x” można użyć innych liter łacińskich, na przykład:

Sekwencja dodatnich liczb nieparzystych:

Inna częsta sekwencja:

Jak wielu zapewne zauważyło, zmienna „en” pełni rolę swego rodzaju licznika.

Tak naprawdę ciągami liczbowymi zajmowaliśmy się już w gimnazjum. Zapamiętajmy postęp arytmetyczny. Nie będę przepisywać definicji, przejdźmy do istoty konkretny przykład. Niech będzie pierwszym terminem i – krok postęp arytmetyczny. Następnie:
– drugi termin tej progresji;
– trzeci termin tej progresji;
- czwarty;
- piąty;
…
I oczywiście podany jest n-ty wyraz nawracający formuła

Notatka : w formule powtarzalnej każdy kolejny wyraz wyraża się w kategoriach poprzedniego członu lub nawet w kategoriach całego zestawu poprzednich terminów.

Powstała formuła jest mało przydatna w praktyce - aby uzyskać, powiedzmy, , musisz przejść przez wszystkie poprzednie warunki. Natomiast w matematyce wyprowadzono wygodniejsze wyrażenie na n-ty wyraz ciągu arytmetycznego: . W naszym przypadku:

Podstaw do wzoru liczby naturalne i sprawdź poprawność skonstruowanego powyżej wzoru sekwencja liczb.

Podobne obliczenia można wykonać dla postęp geometryczny, którego n-ty wyraz jest określony wzorem , gdzie jest pierwszym wyrazem, oraz – mianownik postęp. W zadaniach matematycznych pierwszy wyraz jest często równy jeden.

progresja ustala kolejność ;
postęp ustawia sekwencję;
postęp ustala kolejność ;
postęp ustala kolejność .

Mam nadzieję, że wszyscy wiedzą, że –1 do potęgi nieparzystej równa się –1, a do potęgi parzystej – jeden.

Nazywa się postęp nieskończenie maleje, if (dwa ostatnie przypadki).

Dodajmy do naszej listy dwóch nowych znajomych, z których jeden właśnie zapukał w matrycę monitora:

Sekwencja w żargonie matematycznym nazywa się „migaczem”:

Zatem, elementy sekwencji mogą się powtarzać. Zatem w rozważanym przykładzie sekwencja składa się z dwóch nieskończenie naprzemiennych liczb.

Czy zdarza się, że ciąg składa się z identycznych liczb? Z pewnością. Na przykład ustawia nieskończoną liczbę „trójek”. Dla estetów zdarza się, że we wzorze nadal formalnie pojawia się „en”:

Zaprośmy do tańca prostego przyjaciela:

Co się stanie, gdy „en” wzrośnie do nieskończoności? Oczywiście, członkowie sekwencji będą nieskończenie blisko zbliżać się do zera. Jest to granica tego ciągu, która jest zapisana w następujący sposób:

Jeśli granica ciągu wynosi zero, wówczas jest on wywoływany nieskończenie mały.

W teorii analizy matematycznej jest to dane ścisła definicja granicy ciągu poprzez tak zwane sąsiedztwo epsilon. Następny artykuł będzie poświęcony tej definicji, ale na razie spójrzmy na jej znaczenie:

Przedstawmy na osi liczbowej wyrazy ciągu i sąsiedztwo symetryczne względem zera (granica):


Teraz ściśnij niebieski obszar krawędziami dłoni i zacznij go zmniejszać, pociągając go w stronę granicy (czerwony punkt). Liczba jest granicą sekwencji, jeśli DLA DOWOLNEGO wcześniej wybranego sąsiedztwa (tak mały, jak chcesz) będzie w nim nieskończenie wiele członkowie sekwencji, a POZA nią - tylko finał liczba członków (lub wcale). Oznacza to, że sąsiedztwo epsilon może być mikroskopijne, a nawet mniejsze, ale „nieskończony ogon” sekwencji prędzej czy później musi w pełni wejdź na ten obszar.

Sekwencja jest również nieskończenie mała: z tą różnicą, że jej elementy nie skaczą tam i z powrotem, ale zbliżają się do granicy wyłącznie z prawej strony.

Naturalnie granica może być równa dowolnej innej liczbie skończonej, elementarny przykład:

Tutaj ułamek zmierza do zera, a zatem granica jest równa „dwa”.

Jeżeli sekwencja istnieje skończona granica, wtedy to się nazywa zbieżny(w szczególności, nieskończenie mały Na ). W przeciwnym razie - rozbieżny, w tym przypadku możliwe są dwie opcje: albo granica w ogóle nie istnieje, albo jest nieskończona. W tym drugim przypadku sekwencja jest wywoływana nieskończenie duży. Przejdźmy przez przykłady z pierwszego akapitu:

Sekwencje Czy nieskończenie duży, gdy ich członkowie pewnie zmierzają w stronę „plus nieskończoności”:

Postęp arytmetyczny z pierwszym wyrazem i krokiem jest również nieskończenie duży:

Nawiasem mówiąc, każdy postęp arytmetyczny również jest rozbieżny, z wyjątkiem przypadku z krokiem zerowym - kiedy . Granica takiego ciągu istnieje i pokrywa się z pierwszym wyrazem.

Sekwencje mają podobny los:

Dowolny nieskończenie malejący postęp geometryczny, jak wynika z nazwy, nieskończenie mały:

Jeśli mianownikiem postępu geometrycznego jest , to ciąg jest nieskończenie duży:

Jeśli na przykład granica w ogóle nie istnieje, ponieważ członkowie niestrudzenie skaczą albo do „plus nieskończoności”, albo do „minus nieskończoności”. A zdrowy rozsądek i twierdzenia Matana podpowiadają, że jeśli coś gdzieś dąży, to jest to jedyne cenione miejsce.

Po małej rewelacji staje się jasne, że „migające światło” jest winne niekontrolowanego rzucania, które, nawiasem mówiąc, samo w sobie się różni.
Rzeczywiście, dla sekwencji łatwo jest wybrać otoczenie, które, powiedzmy, ogranicza tylko liczbę –1. W rezultacie nieskończona liczba członków sekwencji („plus”) pozostanie poza tym sąsiedztwem. Ale z definicji „nieskończony ogon” ciągu od pewnego momentu (liczba naturalna) musi w pełni wejdź w DOWOLNE okolice swojego limitu. Wniosek: niebo jest granicą.

Silnia jest nieskończenie duży sekwencja:

Co więcej, rośnie ona skokowo, więc jest to liczba, która ma więcej niż 100 cyfr (cyfr)! Dlaczego dokładnie 70? Na nim mój mikrokalkulator inżynieryjny błaga o litość.

Przy strzale kontrolnym wszystko jest trochę bardziej skomplikowane i właśnie doszliśmy do praktycznej części wykładu, w której przeanalizujemy przykłady walki:

Ale teraz musisz umieć rozwiązać granice funkcji, przynajmniej na poziomie dwóch podstawowych lekcji: Limity. Przykłady rozwiązań I Cudowne Granice. Ponieważ wiele metod rozwiązania będzie podobnych. Ale przede wszystkim przeanalizujmy podstawowe różnice między granicą ciągu a granicą funkcji:

W granicy ciągu zmienna „dynamiczna” „en” może dążyć tylko do „plus nieskończoności”– w kierunku zwiększania liczb naturalnych .
W granicy funkcji „x” można skierować w dowolne miejsce – na „plus/minus nieskończoność” lub na dowolną liczbę rzeczywistą.

Podciąg oddzielny(nieciągły), to znaczy składa się z pojedynczych izolowanych elementów. Raz, dwa, trzy, cztery, pięć, króliczek wyszedł na spacer. Argument funkcji charakteryzuje się ciągłością, to znaczy „X” płynnie, bez incydentów, dąży do tej lub innej wartości. W związku z tym wartości funkcji będą również stale zbliżać się do swojego limitu.

Z powodu dyskrecja w obrębie sekwencji znajdują się charakterystyczne dla nich elementy, takie jak silnia, „migające światła”, progresje itp. A teraz spróbuję przeanalizować granice specyficzne dla ciągów.

Zacznijmy od progresji:

Przykład 1

Znajdź granicę ciągu

Rozwiązanie: coś w rodzaju nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, ale czy na pewno tak jest? Dla jasności zapiszmy kilka pierwszych terminów:

Od tego czasu mówimy kwota w kategoriach nieskończenie malejącego postępu geometrycznego, który oblicza się ze wzoru.

Podejmijmy decyzję:

Korzystamy ze wzoru na sumę nieskończenie malejącego postępu geometrycznego: . W tym przypadku: – pierwszy wyraz, – mianownik progresji.

Przykład 2

Zapisz pierwsze cztery wyrazy ciągu i znajdź jego granicę

To jest przykład dla niezależna decyzja. Aby wyeliminować niepewność licznika, należy zastosować wzór na sumę pierwszych wyrazów ciągu arytmetycznego:
, gdzie jest pierwszym, a a jest n-tym wyrazem progresji.

Ponieważ w ciągach „en” zawsze dąży do „plus nieskończoności”, nie jest zaskakujące, że niepewność jest jedną z najpopularniejszych.
Wiele przykładów rozwiązuje się dokładnie w taki sam sposób, jak granice funkcji!

A może coś bardziej skomplikowanego, np ? Sprawdź przykład nr 3 artykułu Metody rozwiązywania granic.

Z formalnego punktu widzenia różnica będzie dotyczyć tylko jednej litery – „x” tutaj i „en” tutaj.
Technika jest ta sama - licznik i mianownik należy podzielić przez „en” w najwyższym stopniu.

Również niepewność w ciągu jest dość powszechna. Możesz dowiedzieć się, jak rozwiązywać limity z przykładów nr 11-13 tego samego artykułu.

Aby zrozumieć granicę, zapoznaj się z przykładem nr 7 z lekcji Cudowne Granice(druga niezwykła granica obowiązuje również w przypadku dyskretnym). Rozwiązanie będzie znowu jak kopia z różnicą jednej litery.

Kolejne cztery przykłady (nr 3-6) również są „dwulicowe”, ale w praktyce z jakiegoś powodu są bardziej charakterystyczne dla granic sekwencji niż granic funkcji:

Przykład 3

Znajdź granicę ciągu

Rozwiązanie: najpierw kompletne rozwiązanie, potem komentarze krok po kroku:

(1) W liczniku używamy wzoru dwukrotnie.

(2) Podobne wyrazy przedstawiamy w liczniku.

(3) Aby wyeliminować niepewność, podziel licznik i mianownik przez („en” w najwyższym stopniu).

Jak widać nic skomplikowanego.

Przykład 4

Znajdź granicę ciągu

To jest przykład do samodzielnego rozwiązania, skrócone wzory na mnożenie pomóc.

W ciągu s orientacyjny W ciągach stosuje się podobną metodę dzielenia licznika i mianownika:

Przykład 5

Znajdź granicę ciągu

Rozwiązanie Uporządkujmy to według tego samego schematu:

Nawiasem mówiąc, podobne twierdzenie dotyczy funkcji: iloczynu ograniczona funkcja do funkcji nieskończenie małej - istnieje funkcja nieskończenie mała.

Przykład 9

Znajdź granicę ciągu

Dziś na zajęciach przyjrzymy się temu ścisła sekwencja I ścisła definicja granicy funkcji, a także nauczyć się rozwiązywać istotne problemy o charakterze teoretycznym. Artykuł przeznaczony jest przede wszystkim dla studentów pierwszego roku kierunków przyrodniczych i inżynierskich, którzy rozpoczęli studiowanie teorii analizy matematycznej i napotkali trudności w zrozumieniu tego działu matematyki wyższej. Ponadto materiał jest dość przystępny dla uczniów szkół średnich.

Przez lata istnienia serwisu otrzymałem kilkanaście listów o mniej więcej następującej treści: „Nie rozumiem dobrze analizy matematycznej, co mam zrobić?”, „W ogóle nie rozumiem matematyki, jestem myślę o rzuceniu studiów” itp. I rzeczywiście, to właśnie matan często przerzedza grupę studencką już po pierwszej sesji. Dlaczego tak się dzieje? Ponieważ temat jest niewyobrażalnie skomplikowany? Zupełnie nie! Teoria analizy matematycznej jest nie tyle trudna, co osobliwa. I musisz zaakceptować i pokochać ją taką, jaka jest =)

Zacznijmy od najtrudniejszego przypadku. Pierwszą i najważniejszą rzeczą jest to, że nie musisz rezygnować ze studiów. Dobrze zrozumiałeś, zawsze możesz zrezygnować ;-) Oczywiście, jeśli po roku, dwóch poczujesz się niedobrze od wybranej specjalizacji, to tak, powinieneś o tym pomyśleć (i nie złościj się!) o zmianie działalności. Ale na razie warto to kontynuować. I proszę zapomnieć o wyrażeniu „nic nie rozumiem” – nie zdarza się, że W ogóle nic nie rozumiesz.

Co zrobić, jeśli teoria jest zła? Nawiasem mówiąc, dotyczy to nie tylko analizy matematycznej. Jeśli teoria jest zła, najpierw musisz POWAŻNIE skupić się na praktyce. W takim przypadku dwa strategiczne zadania są rozwiązywane jednocześnie:

– Po pierwsze, znaczna część wiedzy teoretycznej wyłoniła się poprzez praktykę. I dlatego wiele osób rozumie teorię poprzez… – to prawda! Nie, nie, nie myślisz o tym =)

– A po drugie, umiejętności praktyczne najprawdopodobniej „przeciągną” Cię przez egzamin, nawet jeśli… ale nie ekscytujmy się tak! Wszystko jest realne i wszystko można „podnieść” w dość krótkim czasie. Analiza matematyczna to moja ulubiona część matematyki wyższej, dlatego po prostu nie mogłem powstrzymać się od podania Ci pomocnej dłoni:

Na początku pierwszego semestru zwykle omawiane są granice sekwencji i granice funkcji. Nie rozumiesz, co to jest i nie wiesz, jak je rozwiązać? Zacznij od artykułu Granice funkcji, w którym samą koncepcję bada się „na palcach” i analizuje najprostsze przykłady. Następnie przeanalizuj inne lekcje na ten temat, w tym lekcję nt w ramach sekwencji, na temat którego właściwie sformułowałem już ścisłą definicję.

Jakie znasz symbole oprócz znaków nierówności i modułu?

– długi pionowy drążek brzmi tak: „takie, że”, „takie, że”, „takie, że” lub „takie, że”, w naszym przypadku oczywiście mówimy o liczbie - zatem „takiej, że”;

– dla wszystkich „en” większych niż ;

– znak modułu oznacza odległość, tj. ten wpis mówi nam, że odległość między wartościami jest mniejsza niż epsilon.

Czy jest to śmiertelnie trudne? =)

Po opanowaniu praktyki z niecierpliwością czekam na kolejny akapit:

A właściwie zastanówmy się trochę - jak sformułować ścisłą definicję sekwencji? …Pierwsza rzecz, która przychodzi na myśl na świecie lekcja praktyczna: „granica ciągu to liczba, do której elementy ciągu zbliżają się nieskończenie blisko.”

OK, napiszmy to podsekwencja :

Nie jest trudno to zrozumieć podsekwencja zbliżać się nieskończenie blisko liczby –1 i terminów parzystych - do jednego".

A może są dwie granice? Ale dlaczego w takim razie żadna sekwencja nie może mieć ich dziesięciu lub dwudziestu? Tą drogą możesz zajść daleko. W tym kontekście logiczne jest założenie, że jeśli ciąg ma granicę, to jest unikalny.

Notatka : ciąg nie ma granicy, ale można z niego rozróżnić dwa podciągi (patrz wyżej), z których każdy ma swoją granicę.

Powyższa definicja okazuje się zatem nie do utrzymania. Tak, to działa w takich przypadkach jak (którego nie całkiem poprawnie użyłem w uproszczonych wyjaśnieniach praktycznych przykładów), ale teraz musimy znaleźć ścisłą definicję.

Próba druga: „granica ciągu to liczba, do której zbliżają się WSZYSCY członkowie ciągu, być może z wyjątkiem ich finał wielkie ilości." Jest to bliższe prawdy, ale wciąż nie do końca dokładne. Na przykład kolejność połowa terminów w ogóle nie zbliża się do zera - jest po prostu równa =) Nawiasem mówiąc, „migające światło” z reguły przyjmuje dwie stałe wartości.

Sformułowanie nie jest trudne do wyjaśnienia, ale pojawia się kolejne pytanie: jak zapisać definicję w symbolach matematycznych? Świat naukowy zmagał się z tym problemem przez długi czas, aż do rozwiązania sytuacji słynny mistrz, co w istocie sformalizowało klasyczną analizę matematyczną w całej jej rygorze. Cauchy zasugerował operację okolica , co znacząco rozwinęło teorię.

Rozważ pewien punkt i tyle arbitralny-okolica:

Wartość „epsilon” jest zawsze dodatnia, a ponadto mamy prawo sami to wybrać. Załóżmy, że w tej okolicy jest wielu członków (niekoniecznie wszystkie) jakaś sekwencja. Jak zapisać fakt, że w sąsiedztwie jest np. dziesiąty termin? Niech będzie po prawej stronie. Wtedy odległość między punktami i powinna być mniejsza niż „epsilon”: . Jeśli jednak „x dziesiąta” znajduje się na lewo od punktu „a”, wówczas różnica będzie ujemna i dlatego należy do niej dodać znak moduł: .

Definicja: liczba nazywana jest granicą ciągu jeśli dla każdego jego otoczenie (wstępnie wybrane) istnieje liczba naturalna TAKA WSZYSTKO członkowie ciągu o wyższych numerach będą znajdować się w sąsiedztwie:

Lub w skrócie: jeśli

Innymi słowy, niezależnie od tego, jak małą wartość „epsilon” przyjmiemy, prędzej czy później „nieskończony ogon” sekwencji CAŁKOWICIE znajdzie się w tym sąsiedztwie.

Na przykład „nieskończony ogon” sekwencji CAŁKOWICIE wejdzie w dowolne małe sąsiedztwo punktu. Zatem ta wartość jest z definicji granicą ciągu. Przypomnę, że nazywa się ciąg, którego granica wynosi zero nieskończenie mały.

Należy zauważyć, że w przypadku sekwencji nie można już powiedzieć „nieskończony ogon” wejdzie„- członkowie o liczbach nieparzystych są w rzeczywistości równy zeru i „nigdzie nie odchodzą” =) Dlatego w definicji użyto czasownika „pojawi się”. I oczywiście członkowie takiej sekwencji również „idą donikąd”. Przy okazji sprawdź, czy liczba jest jej limitem.

Pokażemy teraz, że ciąg nie ma granicy. Rozważmy na przykład sąsiedztwo punktu. Jest całkowicie jasne, że nie ma takiej liczby, po której WSZYSTKIE terminy znajdą się w danym sąsiedztwie - terminy nieparzyste zawsze „wyskoczą” na „minus jeden”. Z podobnego powodu w tym miejscu nie ma ograniczenia.

Skonsolidujmy materiał z praktyką:

Przykład 1

Udowodnić, że granica ciągu wynosi zero. Określ liczbę, po przekroczeniu której wszyscy członkowie ciągu będą znajdować się w dowolnie małym sąsiedztwie punktu.

Notatka : Dla wielu ciągów wymagana liczba naturalna zależy od wartości - stąd zapis .

Rozwiązanie: rozważać arbitralny czy jest jakiś liczba – tak, że WSZYSCY członkowie z wyższymi numerami znajdą się w tej okolicy:

Aby pokazać istnienie wymaganej liczby, wyrażamy ją poprzez .

Ponieważ dla dowolnej wartości „en” znak modułu można usunąć:

Stosujemy działania „szkolne” z nierównościami, które powtarzałem na zajęciach Nierówności liniowe I Dziedzina funkcji. W tym przypadku ważną okolicznością jest to, że „epsilon” i „en” są dodatnie:

Ponieważ mówimy o liczbach naturalnych po lewej stronie, a prawa strona jest generalnie ułamkowa, należy ją zaokrąglić:

Notatka : czasami jednostka jest dodawana po prawej stronie, aby być po bezpiecznej stronie, ale w rzeczywistości jest to przesada. Relatywnie rzecz biorąc, jeśli osłabimy wynik zaokrąglając w dół, to najbliższa odpowiednia liczba („trzy”) nadal będzie spełniać pierwotną nierówność.

Teraz patrzymy na nierówność i pamiętamy, co początkowo rozważaliśmy arbitralny-sąsiedztwo, tj. „epsilon” może być równe ktokolwiek liczba dodatnia.

Wniosek: dla dowolnego dowolnie małego sąsiedztwa punktu znaleziono wartość . Zatem liczba jest z definicji granicą ciągu. CO BYŁO DO OKAZANIA.

Nawiasem mówiąc, z uzyskanego wyniku wyraźnie widać naturalny wzór: im mniejsze sąsiedztwo, tym większa liczba, po czym WSZYSCY członkowie ciągu znajdą się w tym sąsiedztwie. Ale niezależnie od tego, jak mały jest „epsilon”, zawsze będzie „nieskończony ogon” zarówno w środku, jak i na zewnątrz – nawet jeśli jest duży finał Liczba członków.

Jakie są Twoje wrażenia? =) Zgadzam się, że to trochę dziwne. Ale ściśle! Przeczytaj jeszcze raz i przemyśl wszystko jeszcze raz.

Spójrzmy na podobny przykład i zapoznajmy się z innymi technikami technicznymi:

Przykład 2

Rozwiązanie: z definicji ciągu należy to udowodnić (Powiedz to głośno!!!).

Rozważmy arbitralny-sąsiedztwo punktu i kontroli, czy to istnieje liczba naturalna – taka, że ​​dla wszystkich większych liczb zachodzi nierówność:

Aby wykazać istnienie takiego , należy wyrazić „en” poprzez „epsilon”. Upraszczamy wyrażenie pod znakiem modułu:

Moduł niszczy znak minus:

Mianownik jest dodatni dla dowolnego „en”, dlatego patyki można usunąć:

Człapać:

Teraz musimy wyodrębnić Pierwiastek kwadratowy, ale haczyk jest taki, że dla pewnego „epsilon” prawa strona będzie ujemna. Aby uniknąć tego problemu wzmocnijmy się nierówność według modułu:

Dlaczego można to zrobić? Jeżeli relatywnie rzecz biorąc okaże się, że , to warunek również będzie spełniony. Moduł może po prostu zwiększ poszukiwany numer i to też będzie nam odpowiadać! Z grubsza rzecz biorąc, jeśli setny jest odpowiedni, to dwusetny też będzie odpowiedni! Zgodnie z definicją trzeba pokazać sam fakt istnienia tej liczby(przynajmniej niektórzy), po czym wszyscy członkowie sekwencji znajdą się w sąsiedztwie. Swoją drogą właśnie dlatego nie boimy się końcowego zaokrąglenia prawej strony w górę.

Wyodrębnianie korzenia:

I zaokrąglij wynik:

Wniosek: ponieważ wartość „epsilon” została wybrana arbitralnie, następnie dla dowolnego dowolnie małego sąsiedztwa punktu została znaleziona wartość , tak że dla wszystkich większych liczb nierówność zachodzi . Zatem, a-przeorat. CO BYŁO DO OKAZANIA.

radzę zwłaszcza zrozumienie wzmacniania i osłabiania nierówności jest typową i bardzo powszechną techniką analizy matematycznej. Jedyne, co musisz monitorować, to poprawność tego lub innego działania. Na przykład nierówność w żadnym wypadku nie jest to możliwe poluzować, odejmując, powiedzmy, jeden:

Ponownie warunkowo: jeśli numer pasuje dokładnie, poprzedni może już nie pasować.

Poniższy przykład niezależnego rozwiązania:

Przykład 3

Korzystając z definicji ciągu, udowodnij to

Krótkie rozwiązanie i odpowiedź na końcu lekcji.

Jeżeli sekwencja nieskończenie duży, wówczas definicja granicy formułowana jest w podobny sposób: punkt nazywamy granicą ciągu, jeżeli jest on dowolny, tak duży, jak chcesz istnieje taka liczba, że ​​dla wszystkich większych liczb nierówność będzie spełniona. Numer jest wywoływany bliskość punktu „plus nieskończoność”:

Inaczej mówiąc, cokolwiek bardzo ważne Bez względu na wszystko, „nieskończony ogon” ciągu z pewnością przejdzie do -sąsiedztwa punktu, pozostawiając po lewej stronie tylko skończoną liczbę wyrazów.

Standardowy przykład:

Oraz skrócony zapis: , if

W takim przypadku zapisz definicję samodzielnie. Poprawna wersja znajduje się na końcu lekcji.

Kiedy już zapoznasz się z praktycznymi przykładami i ustalisz definicję granicy ciągu, możesz sięgnąć do literatury dotyczącej rachunku różniczkowego i/lub swojego notesu z wykładami. Polecam pobrać tom 1 Bohana (prościej - dla studentów korespondencyjnych) i Fichtenholtza (bardziej szczegółowo i szczegółowo). Spośród innych autorów polecam Piskunova, którego kurs skierowany jest do uczelni technicznych.

Staraj się sumiennie studiować twierdzenia dotyczące granicy ciągu, ich dowodów, konsekwencji. Na początku teoria może wydawać się „mętna”, ale jest to normalne - wystarczy się do tego przyzwyczaić. I wielu nawet tego posmakuje!

Rygorystyczne określenie granicy funkcji

Zacznijmy od tego samego – jak sformułować tę koncepcję? Słowna definicja granicy funkcji jest sformułowana znacznie prościej: „liczba jest granicą funkcji, jeśli przy „x” zmierza do (zarówno lewy, jak i prawy), odpowiednie wartości funkcji mają tendencję do » (Zobacz rysunek). Wszystko wydaje się normalne, ale słowa to słowa, znaczenie to znaczenie, ikona to ikona i nie ma wystarczającej liczby ścisłych zapisów matematycznych. W drugim akapicie zapoznamy się z dwoma podejściami do rozwiązania tego problemu.

Niech funkcja będzie zdefiniowana w pewnym przedziale, z możliwym wyjątkiem punktu. W literaturze pedagogicznej ogólnie przyjmuje się, że funkcję tam pełnią Nie zdefiniowane:

Ten wybór podkreśla istota granicy funkcji: "X" nieskończenie blisko podejścia , a odpowiednie wartości funkcji to nieskończenie blisko Do . Innymi słowy, pojęcie granicy nie oznacza „dokładnego podejścia” do punktów, ale mianowicie nieskończenie bliskie przybliżenie, nie ma znaczenia, czy funkcja jest zdefiniowana w punkcie, czy nie.

Nic dziwnego, że pierwsza definicja granicy funkcji jest sformułowana przy użyciu dwóch ciągów. Po pierwsze, pojęcia są ze sobą powiązane, a po drugie, granice funkcji bada się zwykle po granicach ciągów.

Rozważ kolejność zwrotnica (nie na rysunku), należący do przedziału i różny od, Który zbiega się Do . Następnie odpowiednie wartości funkcji tworzą również ciąg liczbowy, którego elementy znajdują się na osi współrzędnych.

Granica funkcji według Heinego dla każdego ciągi punktów (należący do i różny od), który zbiega się do punktu , odpowiedni ciąg wartości funkcji zbiega się do .

Eduard Heine jest niemieckim matematykiem. ...I nie ma co tak myśleć, w Europie jest tylko jeden gej - Gay-Lussac =)

Powstała druga definicja limitu... tak, tak, masz rację. Ale najpierw zrozummy jego projekt. Rozważmy dowolne sąsiedztwo punktu („czarna” dzielnica). Bazując na poprzednim akapicie, wpis ten oznacza, że jakąś wartość funkcja znajduje się w sąsiedztwie „epsilon”.

Teraz znajdujemy -sąsiedztwo, które odpowiada danemu -sąsiedztwu (w myślach narysuj czarne przerywane linie od lewej do prawej, a następnie od góry do dołu). Należy pamiętać, że wartość została wybrana wzdłuż mniejszego odcinka, w tym przypadku - wzdłuż krótszego lewego odcinka. Co więcej, „malinowe” sąsiedztwo punktu można nawet zmniejszyć, ponieważ w poniższej definicji ważny jest sam fakt istnienia ta okolica. I podobnie zapis oznacza, że ​​pewna wartość mieści się w sąsiedztwie „delta”.

Granica funkcji Cauchy'ego: liczba nazywana jest granicą funkcji w punkcie jeśli dla każdego wstępnie wybrane sąsiedztwo (tak mały, jak chcesz), istnieje-sąsiedztwo punktu, TAKI, że: JAKO TYLKO wartości (należeć do) zawarte w tym obszarze: (Czerwone strzały)– WIĘC NATYCHMIAST odpowiednie wartości funkcji mają gwarancję wejścia do sąsiedztwa: (niebieskie strzałki).

Muszę Cię ostrzec, że dla przejrzystości trochę improwizowałem, więc nie przesadzaj =)

Krótki wpis: , jeśli

Jaka jest istota definicji? Mówiąc obrazowo, zmniejszając w nieskończoność sąsiedztwo, „towarzyszymy” wartościom funkcji do ich granic, nie pozostawiając im alternatywy dla zbliżenia się gdzie indziej. Dość niezwykłe, ale znowu surowe! Aby w pełni zrozumieć ideę, przeczytaj jeszcze raz sformułowanie.

! Uwaga: jeśli potrzebujesz tylko sformułować Definicja Heinego Lub tylko Definicja Cauchy’ego proszę, nie zapomnij o istotne wstępne uwagi: „Rozważ funkcję zdefiniowaną w pewnym przedziale, z możliwym wyjątkiem punktu”. Powiedziałem to raz na samym początku i nie powtarzałem tego za każdym razem.

Zgodnie z odpowiednim twierdzeniem analizy matematycznej definicje Heinego i Cauchy'ego są równoważne, ale najbardziej znana jest druga opcja (wciąż tak!), zwany także „limitem języka”:

Przykład 4

Korzystając z definicji granicy, udowodnij to

Rozwiązanie: funkcja jest zdefiniowana na całej osi liczbowej z wyjątkiem punktu. Korzystając z definicji, udowadniamy istnienie granicy w danym punkcie.

Notatka : wartość sąsiedztwa „delta” zależy od „epsilon”, stąd oznaczenie

Rozważmy arbitralny-okolica. Zadanie polega na wykorzystaniu tej wartości do sprawdzenia, czy czy to istnieje-okolica, TAKI, co z nierówności następuje nierówność .

Zakładając, że , przekształcamy ostatnią nierówność:
(rozwinął trójmian kwadratowy)

Limit sekwencji numerów jest granicą ciągu elementów przestrzeni liczbowej. Przestrzeń liczbowa to przestrzeń metryczna, w której odległość definiuje się jako moduł różnicy między elementami. Dlatego numer jest wywoływany granica ciągu, jeśli dla dowolnego istnieje liczba zależna od takiej, że dla dowolnej nierówności .

Pojęcie granicy ciągu liczb rzeczywistych jest sformułowane po prostu i w konkretnym przypadku Liczby zespolone istnienie granicy ciągu jest równoznaczne z istnieniem granic odpowiednich ciągów części rzeczywistych i urojonych liczb zespolonych.

Granica (ciągu liczbowego) jest jednym z podstawowych pojęć analizy matematycznej. Każdą liczbę rzeczywistą można przedstawić jako granicę ciągu przybliżeń do pożądanej wartości. System liczbowy zapewnia taką sekwencję udoskonaleń. Liczby całkowite iracjonalne opisywane są okresowymi ciągami przybliżeń, natomiast liczby niewymierne opisywane są nieokresowymi ciągami przybliżeń.

W metody numeryczne, gdzie stosuje się reprezentację liczb o skończonej liczbie znaków, szczególną rolę odgrywa wybór systemu aproksymacji. Kryterium jakości systemu aproksymacji jest szybkość zbieżności. Pod tym względem skuteczne okazuje się przedstawianie liczb w postaci ułamków ciągłych.

Definicja

Numer jest wywoływany granica ciągu liczbowego, jeśli ciąg jest nieskończenie mały, tj. wszystkie jego elementy, zaczynając od pewnego, są mniejsze od dowolnej z góry określonej liczby dodatniej w wartości bezwzględnej.

Jeśli ciąg liczb ma granicę w postaci liczby rzeczywistej, nazywa się go zbieżny do tego numeru. W przeciwnym razie wywoływana jest sekwencja rozbieżny . Jeżeli ponadto jest nieograniczona, to przyjmuje się, że jej granica jest równa nieskończoności.

Ponadto, jeśli wszystkie elementy ciągu nieograniczonego, zaczynając od określonej liczby, mają znak dodatni, to mówimy, że granica takiego ciągu wynosi plus nieskończoność .

Jeżeli elementy ciągu nieograniczonego, zaczynając od określonej liczby, mają znak ujemny, to mówią, że granica takiego ciągu jest równa minus nieskończoność .

Definicja ta ma fatalną wadę: wyjaśnia, czym jest limit, ale nie podaje ani metody jego obliczania, ani informacji o jego istnieniu. Wszystko to wynika z właściwości granicy pokazanych poniżej.

Podano sformułowania głównych twierdzeń i własności ciągów liczbowych mających granicę. Zawiera definicję ciągu i jego granicy. Rozważane są operacje arytmetyczne na ciągach, własności związane z nierównościami, kryteria zbieżności, własności ciągów nieskończenie małych i nieskończenie dużych.

Treść

Własności skończonych granic ciągów

Podstawowe właściwości

Punkt a jest granicą ciągu wtedy i tylko wtedy, gdy znajduje się poza jakimkolwiek otoczeniem tego punktu skończona liczba elementów sekwencje lub zbiór pusty.

Jeśli liczba a nie jest granicą ciągu, to istnieje otoczenie punktu a, poza którym jest nieskończona liczba elementów sekwencji.

Twierdzenie o niepowtarzalności granicy ciągu liczbowego. Jeśli ciąg ma granicę, to jest unikalny.

Jeśli ciąg ma skończoną granicę, to tak ograniczony.

Jeżeli każdy element ciągu równa tej samej liczbie C: wtedy ciąg ten ma granicę, równa liczbie C.

Jeżeli sekwencja dodaj, odrzuć lub zmień pierwsze m elementów, to nie będzie to miało wpływu na jego zbieżność.

Dowody podstawowych własności podane są na stronie
Podstawowe własności skończonych granic ciągów >>>.

Działania arytmetyczne na granicach

Niech istnieją skończone granice obu ciągów i . I niech C będzie stałą, czyli daną liczbą. Następnie
;
;
;
, Jeśli .
W przypadku ilorazu zakłada się, że dla wszystkich n.

Jeśli następnie.

Dowody własności arytmetycznych podane są na stronie
Własności arytmetyczne skończonych granic ciągów >>>.

Właściwości związane z nierównościami

Jeżeli elementy ciągu począwszy od określonej liczby spełniają nierówność , to granica a tego ciągu również spełnia tę nierówność .

Jeżeli elementy ciągu, począwszy od określonej liczby, należą do zamkniętego przedziału (odcinka), to granica a również należy do tego przedziału: .

Jeżeli i i elementy ciągów, począwszy od określonej liczby, spełniają nierówność , to .

Jeśli i, zaczynając od jakiejś liczby, , to .
W szczególności, jeśli zaczynając od pewnej liczby, , to
Jeśli następnie ;
Jeśli następnie .

Jeśli i wtedy.

Niech będzie. Jeśli < b , wtedy jest coś takiego Liczba naturalna N, co dla wszystkich n > N nierówność zachodzi.

Dowody własności związanych z nierównościami podane są na stronie
Własności granic ciągu związanych z nierównościami >>>.

Nieskończenie duże i nieskończenie małe ciągi

Nieskończenie mała sekwencja

Ciąg nieskończenie mały to ciąg, którego granica wynosi zero:
.

Suma i różnica skończonej liczby nieskończenie małych ciągów jest ciągiem nieskończenie małym.

Iloczyn ciągu ograniczonego do nieskończenie małego jest ciągiem nieskończenie małym.

Iloczyn liczby skończonej nieskończenie małe sekwencje to nieskończenie małe sekwencje.

Aby ciąg miał granicę a, konieczne i wystarczające jest, że , gdzie jest ciągiem nieskończenie małym.

Dowody własności ciągów nieskończenie małych podane są na stronie
Ciągi nieskończenie małe - definicja i właściwości >>>.

Nieskończenie duża sekwencja

Nieskończenie duży ciąg to ciąg, który ma nieskończenie dużą granicę. To znaczy, jeśli dla dowolnej liczby dodatniej istnieje liczba naturalna N zależna od takiej, że dla wszystkich liczb naturalnych zachodzi nierówność
.
W tym przypadku piszą
.
Lub o godz.
Mówią, że dąży do nieskończoności.

Jeśli zaczynając od jakiejś liczby N, to
.
Jeśli następnie
.

Jeśli ciąg jest nieskończenie duży, to zaczynając od pewnej liczby N, definiuje się ciąg nieskończenie mały. Jeśli jest to nieskończenie mała sekwencja z elementami niezerowymi, to sekwencja jest nieskończenie duża.

Jeśli ciąg jest nieskończenie duży i jest ograniczony, to
.

Jeżeli wartości bezwzględne elementów ciągu są ograniczone od dołu liczbą dodatnią () i są nieskończenie małe z elementami nierównymi zero, to
.

W szczegółach definicja nieskończenie dużego ciągu z przykładami jest podany na stronie
Definicja nieskończenie dużego ciągu >>>.
Dowody własności ciągów nieskończenie dużych podane są na stronie
Własności nieskończenie dużych ciągów >>> .

Kryteria zbieżności sekwencji

Monotonne sekwencje

Ciąg ściśle rosnący to taki ciąg, którego wszystkie elementy spełniają nierówności:
.

Podobne nierówności definiują inne ciągi monotoniczne.

Sekwencja ściśle malejąca:
.
Sekwencja niemalejąca:
.
Ciąg nierosnący:
.

Wynika z tego, że ciąg ściśle rosnący jest również niemalejący. Ciąg ściśle malejący jest również nierosnący.

Ciąg monotoniczny to ciąg niemalejący i nierosnący.

Sekwencja monotoniczna jest ograniczona co najmniej z jednej strony wartością . Ciąg niemalejący jest ograniczony poniżej: . Ciąg nierosnący jest ograniczony z góry: .

Twierdzenie Weierstrassa. Aby ciąg nie malejący (nie rosnący) miał skończoną granicę, konieczne i wystarczające jest, aby był on ograniczony od góry (od dołu). Tutaj M jest pewną liczbą.

Ponieważ każdy nie malejący (nie rosnący) ciąg jest ograniczony od dołu (od góry), twierdzenie Weierstrassa można sformułować w następujący sposób:

Aby ciąg monotoniczny miał skończoną granicę, konieczne i wystarczające jest, aby był on ograniczony: .

Monotoniczny ciąg nieograniczony ma nieskończoną granicę, równą dla ciągu niemalejącego i nierosnącego.

Dowód twierdzenia Weierstrassa podane na stronie
Twierdzenie Weierstrassa o granicy ciągu monotonicznego >>>.

Kryterium Cauchy'ego zbieżności sekwencji

Stan Cauchy’ego
Spójność zadowala Stan Cauchy’ego, jeśli dla dowolnej istnieje taka liczba naturalna, że ​​dla wszystkich liczb naturalnych n i m spełniających warunek nierówność zachodzi
.

Ciąg podstawowy to ciąg, który spełnia Stan Cauchy’ego.

Kryterium Cauchy'ego zbieżności sekwencji. Aby ciąg miał skończoną granicę, konieczne i wystarczające jest, aby spełniał warunek Cauchy'ego.

Dowód kryterium zbieżności Cauchy'ego podane na stronie
Kryterium Cauchy'ego zbieżności ciągu >>>.

Podciągi

Twierdzenie Bolzano-Weierstrassa. Z dowolnego ciągu ograniczonego można wybrać podciąg zbieżny. A z dowolnej sekwencji nieograniczonej - nieskończenie duży podciąg zbieżny do lub do .

Dowód twierdzenia Bolzano-Weierstrassa podane na stronie
Twierdzenie Bolzano–Weierstrassa >>> .

Na stronie omówione są definicje, twierdzenia i własności podciągów oraz granic cząstkowych
Podciągi i granice cząstkowe ciągów >>>.

Bibliografia:
CM. Nikolski. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003.
VA Zorich. Analiza matematyczna. Część 1. Moskwa, 1997.
VA Ilyin, E.G. Poznyak. Podstawy analizy matematycznej. Część 1. Moskwa, 2005.

Zobacz też:

Podano definicję skończonej granicy ciągu. Omówiono powiązane właściwości i równoważne definicje. Podana jest definicja, że ​​punkt a nie jest granicą ciągu. Rozważane są przykłady, w których istnienie granicy udowadnia się za pomocą definicji.

Treść

Zobacz też: Granica ciągu – podstawowe twierdzenia i własności
Główne typy nierówności i ich własności

Tutaj przyjrzymy się definicji skończonej granicy ciągu. Przypadek ciągu zbieżnego do nieskończoności omówiony jest na stronie „Definicja ciągu nieskończenie dużego”.

Granicą ciągu jest liczba a jeśli dla dowolnej liczby dodatniej ε > 0 istnieje liczba naturalna N ε zależna od ε taka, że ​​dla wszystkich liczb naturalnych n > N ε nierówność
| x n - a|< ε .
Tutaj x n jest elementem ciągu o numerze n. Limit sekwencji oznaczone w następujący sposób:
.
Lub o godz.

Przekształćmy nierówność:
;
;
.

ε - otoczenie punktu a - jest przedziałem otwartym (a - ε, a + ε). Ciąg zbieżny to taki, który ma granicę. Mówi się również, że sekwencja zbiega się do Ciąg rozbieżny to ciąg, który nie ma granicy.

Z definicji wynika, że ​​jeśli ciąg ma granicę a, to niezależnie od tego, jakie ε-sąsiedztwo punktu a wybierzemy, poza jego granicami może znajdować się tylko skończona liczba elementów ciągu albo nie może być ich wcale (puste ustawić). A każde sąsiedztwo ε zawiera nieskończoną liczbę elementów. W rzeczywistości, podając pewną liczbę ε, mamy w ten sposób liczbę . Zatem wszystkie elementy ciągu o liczbach z definicji znajdują się w ε - sąsiedztwie punktu a . Pierwsze elementy można umieścić w dowolnym miejscu. Oznacza to, że poza sąsiedztwem ε nie może znajdować się więcej niż elementy - czyli liczba skończona.

Zauważamy też, że różnica nie musi monotonicznie dążyć do zera, czyli cały czas maleć. Może dążyć do zera w sposób niemonotoniczny: może rosnąć lub maleć, mając lokalne maksima. Jednakże te maksima, w miarę wzrostu n, powinny dążyć do zera (być może również nie monotonicznie).

Używając logicznych symboli istnienia i powszechności, definicję granicy można zapisać w następujący sposób:
(1) .

Ustalenie, że a nie jest granicą

Rozważmy teraz odwrotne stwierdzenie, że liczba a nie jest granicą ciągu.

Numer a nie jest granicą ciągu, jeśli istnieje takie, że dla dowolnej liczby naturalnej n istnieje takie naturalne m > rz, Co
.

Zapiszmy to stwierdzenie za pomocą symboli logicznych.
(2) .

Stwierdzenie, że liczba a nie jest granicą ciągu, Oznacza to, że
możesz wybrać takie ε - sąsiedztwo punktu a, poza którym będzie znajdować się nieskończona liczba elementów ciągu.

Spójrzmy na przykład. Niech będzie dany ciąg ze wspólnym elementem
(3)
Każde otoczenie punktu zawiera nieskończoną liczbę elementów. Jednak ten punkt nie jest granicą ciągu, ponieważ w dowolnym sąsiedztwie punktu znajduje się również nieskończona liczba elementów. Weźmy ε - sąsiedztwo punktu z ε = 1 . To będzie przerwa (-1, +1) . Wszystkie elementy z wyjątkiem pierwszego z parzystym n należą do tego przedziału. Ale wszystkie elementy z nieparzystym n znajdują się poza tym przedziałem, ponieważ spełniają nierówność x n > 2 . Ponieważ liczba elementów nieparzystych jest nieskończona, poza wybranym otoczeniem będzie nieskończona liczba elementów. Zatem punkt nie jest granicą ciągu.

Teraz to pokażemy, trzymając się ściśle twierdzenia (2). Punkt nie jest granicą ciągu (3), gdyż istnieje taki, że dla każdego naturalnego n istnieje nieparzyste, dla którego zachodzi nierówność
.

Można także wykazać, że dowolny punkt a nie może być granicą tego ciągu. Zawsze możemy wybrać ε - otoczenie punktu a, które nie zawiera ani punktu 0, ani punktu 2. Wtedy poza wybranym otoczeniem będzie nieskończona liczba elementów ciągu.

Równoważna definicja granicy sekwencji

Równoważną definicję granicy ciągu możemy podać rozszerzając pojęcie ε - sąsiedztwa. Równoważną definicję otrzymamy, jeśli zamiast ε-sąsiedztwa będzie zawierało dowolne otoczenie punktu a. Otoczenie punktu to dowolny przedział otwarty zawierający ten punkt. Matematycznie sąsiedztwo punktu definiuje się następująco: , gdzie ε 1 i ε 2 - dowolne liczby dodatnie.

Wówczas równoważna definicja granicy jest następująca.

Granicą ciągu jest liczba a, jeśli dla dowolnego jej otoczenia istnieje liczba naturalna N taka, że ​​wszystkie elementy ciągu o liczbach należą do tego sąsiedztwa.

Definicję tę można przedstawić także w formie rozszerzonej.

Granicą ciągu jest liczba a jeśli dla dowolnych liczb dodatnich oraz istnieje liczba naturalna N zależna od i taka, że ​​nierówności zachodzą dla wszystkich liczb naturalnych
.

Dowód równoważności definicji

Udowodnijmy, że przedstawione powyżej dwie definicje granicy ciągu są równoważne.

Niech liczba a będzie granicą ciągu według pierwszej definicji. Oznacza to, że istnieje taka funkcja, że ​​dla dowolnej liczby dodatniej ε spełnione są nierówności:
(4) Na .

Pokażemy, że liczba a jest granicą ciągu według drugiej definicji. Oznacza to, że musimy pokazać, że istnieje taka funkcja, że ​​dla dowolnych liczb dodatnich ε 1 i ε 2 spełnione są następujące nierówności:
(5) Na .

Miejmy dwie liczby dodatnie: ε 1 i ε 2 . I niech ε będzie najmniejszym z nich: . Następnie ; ; . Użyjmy tego w (5):
.
Ale nierówności są spełnione dla . Wtedy nierówności (5) są również spełnione dla .

Oznacza to, że znaleźliśmy funkcję, dla której nierówności (5) są spełnione dla dowolnych liczb dodatnich ε 1 i ε 2 .
Pierwsza część została udowodniona.

Niech teraz liczba a będzie granicą ciągu według drugiej definicji. Oznacza to, że istnieje taka funkcja, że ​​dla dowolnych liczb dodatnich ε 1 i ε 2 spełnione są następujące nierówności:
(5) Na .

Pokażemy, że liczba a jest granicą ciągu z pierwszej definicji. Aby to zrobić, musisz umieścić . Wtedy, gdy zachodzą następujące nierówności:
.
Odpowiada to pierwszej definicji z .
Udowodniono równoważność definicji.

Przykłady

Przykład 1

Udowodnij to .

(1) .
W naszym przypadku ;
.

.
Skorzystajmy z własności nierówności. Wtedy jeśli i , to
.

.
Następnie
Na .
Oznacza to, że liczba jest granicą danego ciągu:
.

Przykład 2

Korzystając z definicji granicy ciągu, udowodnij to
.

Zapiszmy definicję granicy ciągu:
(1) .
W naszym przypadku , ;
.

Wpisz liczby dodatnie i:
.
Skorzystajmy z własności nierówności. Wtedy jeśli i , to
.

Oznacza to, że dla dowolnej liczby dodatniej możemy przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą:
.
Następnie
Na .
.

Przykład 3

.

Wprowadzamy oznaczenie , .
Przekształćmy różnicę:
.
Dla naturalnego n = 1, 2, 3, ... mamy:
.

Zapiszmy definicję granicy ciągu:
(1) .
Wpisz liczby dodatnie i:
.
Wtedy jeśli i , to
.

Oznacza to, że dla dowolnej liczby dodatniej możemy przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą:
.
W której
Na .
Oznacza to, że liczba jest granicą ciągu:
.

Przykład 4

Korzystając z definicji granicy ciągu, udowodnij to
.

Zapiszmy definicję granicy ciągu:
(1) .
W naszym przypadku , ;
.

Wpisz liczby dodatnie i:
.
Wtedy jeśli i , to
.

Oznacza to, że dla dowolnej liczby dodatniej możemy przyjąć dowolną liczbę naturalną większą lub równą:
.
Następnie
Na .
Oznacza to, że liczba jest granicą ciągu:
.

Bibliografia:
L.D. Kudryavtsev. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 2003.
CM. Nikolski. Kurs analizy matematycznej. Tom 1. Moskwa, 1983.

Zobacz też: