Dodanie obrotów wokół dwóch równoległych osi. Dodawanie ruchów obrotowych ciała sztywnego Dodawanie obrotów ciała sztywnego wokół osi równoległych

Na ryc. 54 przedstawia ciało wykonujące złożony ruch - obrót wokół osi, która z kolei obraca się wokół innej, ustalonej osi. Oczywiście pierwszy obrót należy nazwać względnym ruchem ciała, drugi - przenośnym, a odpowiednie osie należy oznaczyć i .

Ryc.54

Ruchem bezwzględnym będzie obrót wokół punktu przecięcia osi O. (Jeśli ciało jest większe, to jego punkt pokrywa się z O, pozostanie cały czas w bezruchu). Prędkości kątowe obrotu przenośnego i obrotu względnego są przedstawione przez wektory i wykreślone od stałego punktu O, punkty przecięcia osi, wzdłuż odpowiednich osi.

Znajdźmy prędkość bezwzględną pewnego punktu M ciało, którego położenie określa wektor promienia (ryc. 54).

Jak wiadomo, składa się z dwóch prędkości, względnej i przenośnej: . Natomiast ruch względny punktu (zgodnie z zasadą zatrzymania), czyli obrót z prędkością kątową wokół osi, wyznaczany jest przez wektor promienia. Dlatego, .

Ryc. 11.1.

Przenośny ruch punktu w danym momencie, ponownie stosując zasadę zatrzymania, jest również obrotem, ale wokół osi z prędkością kątową i będzie wyznaczany przez ten sam wektor promienia. Dlatego prędkość transferu wynosi .

Prędkość bezwzględna, prędkość przy obrocie wokół stałego punktu O, w ruchu sferycznym, wyznacza się analogicznie do , gdzie jest bezwzględną prędkością kątową skierowaną wzdłuż chwilowej osi obrotu R.

Korzystając ze wzoru na dodawanie prędkości, otrzymujemy: lub .

Oznacza to, że chwilowa prędkość kątowa, prędkość kątowa ruchu absolutnego, jest sumą wektorową prędkości kątowych ruchu przenośnego i względnego. I chwilowa oś obrotu P, skierowany wzdłuż wektora, pokrywa się z przekątną równoległoboku zbudowanego na wektorach i (ryc. 54).

Specjalne przypadki:

1. Osie obrotu i są równoległe, kierunki obrotu są takie same (ryc. 55).

Ryc.55

Ponieważ wektory są równoległe i skierowane w tym samym kierunku, bezwzględna prędkość kątowa jest co do wielkości równa sumie ich modułów, a jej wektor jest skierowany w tym samym kierunku. Chwilowa oś obrotu R dzieli odległość między osiami na części odwrotnie proporcjonalne do i:

. (Podobnie jak wypadkowa sił równoległych).

W tym konkretnym przypadku ciało A wykonuje ruch płasko-równoległy. Chwilowy środek prędkości znajduje się na osi R.

2.Osie obrotu są równoległe, kierunki obrotu są przeciwne (ryc. 56).

Ryc.56

W tym przypadku (w ). Chwilowa oś obrotu i chwilowy środek prędkości znajdują się za wektorem większej prędkości kątowej w takich odległościach, że (znowu przez analogię do definicji wypadkowej sił równoległych).

3.Osie obrotu są równoległe, kierunki obrotu przeciwne, a prędkości kątowe równe.

Prędkość kątowa ruchu absolutnego, a co za tym idzie, ciało wykonuje ruch translacyjny. Ten przypadek nazywa się kilka obrotów, analogicznie do pary sił.

Przykład 16. Promień dysku R obraca się wokół osi poziomej z prędkością kątową, przy czym oś ta wraz z ramą obraca się wokół pionowej osi stałej z prędkością kątową (ryc. 57).

Ryc.57

Oś pozioma jest osią względnego obrotu; oś pionowa – oś obrotu przenośnego. Odpowiednio, ich wektory prędkości kątowej są skierowane wzdłuż osi i .

Bezwzględna prędkość kątowa i jej wielkość, ponieważ

Prędkość punktowa A, na przykład, można znaleźć lub jako sumę prędkości przenośnych i względnych: , gdzie

lub jak w przypadku ruchu absolutnego, z obrotem wokół chwilowej osi R, .

Wektor prędkości będzie położony w płaszczyźnie prostopadłej do wektora i osi R.

Przykład 17. Przewoźnik OA z zamontowanymi na nim dwoma kołami 2 i 3, obraca się wokół osi O z prędkością kątową. W tym przypadku koło 2 przetoczy się po nieruchomym kole 1 i spowoduje obrót koła 3. Znajdźmy prędkość kątową tego koła. Promienie kół (ryc. 58).

Ryc.58

Koło 3 wykonuje dwa ruchy. Obróć z nośnikiem wokół osi O i względem osi. Oś O będzie osią przenośną, oś będzie względna. Przenośna prędkość kątowa koła 3 jest prędkością kątową nośnika skierowaną w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara, np.

Aby wyznaczyć prędkość kątową ruchu względnego, obserwator musi znajdować się na nośniku. Zobaczy, że nośnik jest nieruchomy, koło 1 obraca się w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara z dużą prędkością (ryc. 59), a koło 3 obraca się ze względną prędkością kątową , w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Od tego czasu. Osie obrotu są równoległe, kierunki obrotu są przeciwne. Dlatego jest skierowany w taki sam sposób, jak w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. W szczególności, jeśli , to .Koło 3 przesunie się do przodu.

Ryc.59

Badanie ruchu innych podobnych konstrukcji (przekładnie planetarne i różnicowe, koła zębate) przeprowadza się w podobny sposób.

Przenośna prędkość kątowa to prędkość kątowa nośnika (ramy, krzyżaki itp.) i aby wyznaczyć prędkość względną dowolnego koła, należy zatrzymać nośnik i zmusić nieruchome koło do obrotu z prędkością kątową nośnika, ale w przeciwnym kierunku.

Przyspieszenia kątowe ciała w ruchu bezwzględnym można obliczyć jako pochodną, gdzie . Pokażmy (Rys. 60) wektory jednostkowe i (lub wektory osi i ), a wektory prędkości kątowej napiszemy następująco: , . i , jako prędkość końca wektora. Moduł dodatkowego przyspieszenia kątowego, gdzie jest kątem pomiędzy osiami.

Oczywiście, jeśli osie obrotu są równoległe, to przyspieszenie kątowe będzie wynosić zero, ponieważ .

Należy rozważyć trzy przypadki.

1) Obroty mają te same kierunki. Ciało uczestniczy w dwóch obrotach: przenośnym z prędkością kątową i względnym z prędkością kątową (ryc. 71). Takim ciałem jest dysk pokazany na ryc. 72. Przetnijmy osie obrotu prostopadłe do prostej. Otrzymujemy punkty przecięcia, do których można przenieść wektory prędkości kątowej i. Na rozpatrywanym odcinku ciała znajduje się punkt, którego prędkość wynosi zero. Rzeczywiście, na podstawie twierdzenia o dodawaniu prędkości dla punktu mamy

Punkty ciała, dla których prędkości przenoszenia i względne są równoległe i przeciwne, można zlokalizować jedynie na odcinku pomiędzy punktami i . Prędkość punktu wynosi zero, jeśli Ale , . Stąd,

Linię prostą prostopadłą do osi obrotu można narysować w dowolnej odległości. W związku z tym do ciała przymocowana jest oś równoległa do osi obrotu, której prędkości w punktach są w danym momencie równe zeru. Tak się składa, że jest chwilowa oś obrotu w danym momencie.

Aby wyznaczyć prędkość kątową obrotu ciała wokół chwilowej osi, obliczamy prędkość punktu, biorąc pod uwagę jego kompleks ruchu. Otrzymujemy:

Stąd,

Dla prędkości punktu, w którym ciało obraca się wokół chwilowej osi, mamy

Porównując prędkości punktowe uzyskane na dwa sposoby, mamy

Według (138)

Wzór (138) można przedstawić jako:

Tworząc proporcję pochodną i korzystając ze wzoru (139) otrzymujemy

Zatem, podczas dodawania dwóch obrotów ciała wokół osie równoległe w tych samych kierunkach obrót wokół osi równoległej w tym samym kierunku uzyskuje się z prędkością kątową równą sumie prędkości kątowych obrotów elementów. Chwilowa oś wynikowego obrotu dzieli odcinek pomiędzy osiami składowych obrotów na części odwrotnie proporcjonalne do prędkości kątowych obrotów, wewnętrznie. Punkt z tym podziałem znajduje się pomiędzy punktami i.

Przeciwieństwo jest prawdą. Obrót wokół osi z prędkością kątową można rozłożyć na dwa obroty wokół dwóch równoległych osi z prędkościami kątowymi i .

Ciało uczestniczące w dwóch obrotach wokół równoległych osi wykonuje ruch płaski. Płaski ruch solidny można przedstawić jako dwa obroty, przenośny i względny, wokół równoległych osi. Płaski ruch koła satelitarnego 2 na nieruchomym kole 1 (ryc. 73) jest przykładem ruchu, który można zastąpić dwoma obrotami wokół równoległych osi w tym samym kierunku, na przykład w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Koło satelitarne wraz z korbą wykonuje obrót postępowy wokół osi przechodzącej przez punkt z prędkością kątową oraz obrót względny wokół osi przechodzącej przez punkt z prędkością kątową. Obydwa obroty mają ten sam kierunek. Rotacja bezwzględna następuje wokół osi przechodzącej przez punkt będący obecnie MCS. Znajduje się w miejscu styku kół, jeżeli poruszające się koło toczy się bez poślizgu na nieruchomym. Prędkość kątowa obrotu bezwzględnego

Obrót bezwzględny przy tej prędkości kątowej następuje w tym samym kierunku, co składowe ruchu.

2) Obroty mają przeciwne kierunki. Rozważmy przypadek, gdy (ryc. 74). Dostajemy następujące formuły:

Aby wyprowadzić te wzory, rozkładamy obrót z prędkością kątową na dwa obroty w tym samym kierunku wokół dwóch równoległych osi z prędkościami kątowymi i . Weźmy oś jednego z obrotów z prędkością kątową przechodzącą przez punkt i wybierzmy . Przez punkt przejdzie kolejny obrót z prędkością kątową (ryc. 75). Bazując na (139) i (140) mamy

Udowodniono słuszność wzorów (141) i (142). Zatem, dodając dwa obroty bryły sztywnej wokół osi równoległych w przeciwnych kierunkach, otrzymujemy obrót wokół osi równoległej z prędkością kątową równą różnicy prędkości kątowych obrotów elementu w kierunku obrotu z większą prędkością kątową . Oś obrotu bezwzględnego dzieli odcinek pomiędzy osiami obrotu składowych na części, które są wewnętrznie odwrotnie proporcjonalne do prędkości kątowych tych obrotów. Punkt z tym podziałem znajduje się na odcinku za punktem, przez który oś obrotu przechodzi z większą prędkością kątową.

Można również rozłożyć jeden obrót na dwa wokół równoległych osi o przeciwnych kierunkach obrotu. Przykładem ruchu płaskiego ciała sztywnego, który można przedstawić za pomocą dwóch obrotów wokół równoległych osi w przeciwnych kierunkach, jest ruch koła satelitarnego toczącego się wewnątrz koła nieruchomego bez poślizgu (rys. 76). W tym przypadku przenośny jest obrót koła 2 wraz z korbą z prędkością kątową wokół osi przechodzącej przez punkt . Obrót względny koła 2 będzie odbywał się wokół osi przechodzącej przez punkt z prędkością kątową, natomiast obrót bezwzględny tego koła wokół osi przechodzącej przez punkt MCS z prędkością kątową. W tym przypadku i dlatego prędkość kątowa obrotu bezwzględnego wynosi . Ten obrót w kierunku pokrywa się z kierunkiem obrotu, który ma dużą prędkość kątową. Oś obrotu bezwzględnego znajduje się poza odcinkiem za osią obrotu z większą prędkością kątową.

3) Kilka obrotów. Kilka obrotów jest połączeniem dwóch obrotów sztywnego korpusu, przenośnego i względnego, wokół równoległych osi z jednakowymi prędkościami kątowymi w przeciwnych kierunkach (ryc. 77). W tym przypadku . Rozważając ruch ciała jako złożony, zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prędkości dla punktu mamy

Składowymi ruchu są obroty z prędkościami kątowymi i . Stosując dla nich wzór Eulera otrzymujemy

Potem dla prędkości absolutnej, jaką mamy

ponieważ . Biorąc to pod uwagę, otrzymujemy

Ponieważ iloczyn wektorowy można nazwać momentem prędkości kątowej względem punktu, zatem

Jest on równy wektorowi pędu pary obrotów, który można również wyrazić jako wektor pędu jednej z prędkości kątowych względem dowolnego punktu znajdującego się na osi obrotu ciała z inną prędkością kątową wchodzącą w skład pary obroty. Prędkość ruchu postępowego ciała uczestniczącego w parze obrotów zależy wyłącznie od charakterystyki pary obrotów. Jest prostopadły do osi pary obrotów. Jego wartość liczbową można wyrazić jako

Gdzie - najkrótsza odległość pomiędzy osiami pary lub ramieniem pary.

Para obrotów jest analogiczna do pary sił działających na ciało sztywne. Prędkości kątowe obrotu ciała, podobnie jak siły, są wektorami ślizgowymi. Moment wektorowy pary sił jest wektorem swobodnym. Podobną właściwość ma wektor pędu pary obrotów.

Jeśli przymocujesz prosty segment do koła zębatego 2, pozostanie on równoległy do swojego pierwotnego położenia, gdy mechanizm się poruszy. Jeśli połączymy ten poziomy segment z dnem kubka z wodą, mocując kubek do ruchomej przekładni, wówczas woda nie będzie się wylewać z kubka, gdy mechanizm będzie poruszał się w płaszczyźnie pionowej.

Podczas ruchu translacyjnego trajektorie wszystkich punktów ciała są identyczne. Punkt opisuje okrąg o promieniu . Trajektorie wszystkich pozostałych punktów poruszającego się koła zębatego również będą okręgami o tym samym promieniu. Ciało biorące udział w parze obrotów wykonuje płaski ruch postępowy.

Jeżeli ruchy względne i translacyjne ciała mają charakter obrotowy wokół osi równoległych (rys. 133), to rozkład prędkości bezwzględnych w ciele w danym momencie jest taki sam, jak podczas ruchu obrotowego wokół osi chwilowej, która jest równoległa do osi obrotu elementu i dzieli odległość między nimi wewnętrznie (jeżeli kierunki obrotów przenośnych i względnych pokrywają się) lub zewnętrznie (jeżeli kierunki tych obrotów są odwrotne) na części odwrotnie proporcjonalne do względnych i przenośnych prędkości kątowych, tj.

gdzie są odpowiednio przenośną, względną i bezwzględną prędkością kątową.

Jeżeli kierunki prędkości kątowych pokrywają się (ryc. 133, a), wówczas bezwzględna prędkość kątowa jest skierowana w tym samym kierunku i ma moduł równy sumie ich modułów:

Jeżeli wektory są skierowane w przeciwnych kierunkach (ryc. 133, b), wówczas bezwzględna prędkość kątowa jest skierowana w stronę większego z nich, a moduł jest równy różnicy ich modułów, tj.

Jeżeli względne i przenośne prędkości kątowe tworzą parę prędkości kątowych, tj. (ryc. 133, c), wówczas rozkład prędkości bezwzględnych w ciele jest taki sam jak podczas ruchu translacyjnego, a prędkość bezwzględna dowolnego punktu ciała w danym momencie jest równy wektorowi – momentowi wskazanych par:

Przy rozwiązywaniu problemów polegających na dodawaniu obrotów wokół osi równoległych często operuje się nie wartościami bezwzględnymi prędkości kątowych, ale ich wielkościami algebraicznymi, które są rzutami prędkości kątowych na oś równoległą do osi rozpatrywanych obrotów . Wybór dodatniego kierunku określonej osi jest dowolny.

W tym przypadku prędkości kątowe w jednym kierunku są dodatnie, a w przeciwnym kierunku są ujemne, a bezwzględną prędkość kątową wyraża się jako sumę algebraiczną składowych prędkości kątowych.

Przykład 94. W mechanizmie różnicowym (ryc. 134, aib) ogniwami napędowymi są koło 1 i nośnik H, który niesie oś podwójnego satelity. Znając prędkości kątowe koła 1 i nośnika H oraz liczbę zębów wszystkich kół, znajdź prędkość kątową koła 3.

Rozwiązanie. metoda (metoda Willisa). Istota metody polega na sprowadzeniu problemu analizy mechanizmów planetarnych i różnicowych do analizy zwykłych mechanizmów przekładniowych poprzez przejście od ruchu bezwzględnego rozważanych ogniw mechanizmu planetarnego do ich ruchu względnego względem nośnika.

Załóżmy, że mamy mechanizm planetarny, którego osie kół są równoległe. Oznaczmy wartościami algebraicznymi bezwzględne prędkości kątowe odpowiednio ogniw i nośnika H.

Aby przejść do ruchu względem nośnika, zakomunikujmy w myślach całemu układowi obrót wokół osi nośnika z prędkością kątową (tj. równą prędkości kątowej nośnika, ale skierowaną dokładnie w przeciwnym kierunku). Wtedy nośnik się zatrzyma, a ogniwa, bazując na twierdzeniu o dodawaniu obrotów, otrzymają prędkości kątowe. Ponieważ przy wózku stacjonarnym otrzymujemy zwykły mechanizm przekładniowy, którego ogniwa obracają się wokół nieruchomych osi, to do tego mechanizmu można zastosować wzór (97) na przełożenia przekładni, co prowadzi nas do tzw. wzoru Willisa:

gdzie jest przełożeniem pomiędzy ogniwami i ich ruchem względem nośnika H (jak wskazano indeksem górnym). To przełożenie, jak już wskazano, można wyrazić poprzez konstrukcję i parametry geometryczne mechanizmu (liczba zębów lub promienie początkowych okręgów w zazębieniu kół).

W naszym zadaniu stosujemy wzór Willisa do ogniw 1 i 3:

(przełożenie między kołami 5 i 2 jest dodatnie, ponieważ koła mają uzębienie wewnętrzne);

(tutaj przełożenie jest ujemne, ponieważ kół jest 2 i mają przekładnię zewnętrzną).

Zatem,

Niech np. dodatkowo koło i nośnik H obracają się w jednym kierunku z prędkościami kątowymi i . W tym przypadku . Gdyby koło i nośnik H obracały się w przeciwnych kierunkach, wówczas prędkość kątową jednego z tych ogniw należałoby uznać za dodatnią, a drugiego za ujemną.

W tym przypadku przy tych samych wartościach bezwzględnych prędkości kątowych ogniw i H mielibyśmy:

tj. koło 3 obracałoby się w tym samym kierunku co kierowca, ponieważ znaki ich prędkości kątowych są zbieżne.

Jeśli naprawimy koło, otrzymamy prosty mechanizm planetarny. Wzór Willisa w tym przypadku pozostaje w mocy, wystarczy wstawić ten wzór, który daje:

Metoda 2 (metoda chwilowych środków prędkości). Ponieważ ogniwa mechanizmu planetarnego lub różnicowego o osiach równoległych wykonują ruch płasko-równoległy, analizując taki mechanizm można zastosować teorię ruchu płasko-równoległego, a w szczególności zastosować metodę chwilowych środków prędkości. Przy rozwiązaniu problemu przydatne jest konstruowanie trójkątów prędkości, które zwykle są wyjmowane na zewnątrz mechanizmu (ryc. 134, c). Oznaczamy promienie kół rozważanego mechanizmu przez . Następnie mamy.

Ryc.44

Załóżmy, że ciało sztywne obraca się wokół określonej osi, która z kolei obraca się wokół innej, stałej osi, równoległej do niej. Znając prędkość kątową obrotu ciała wokół poruszającej się osi oraz prędkość kątową obrotu samej osi wokół ustalonej osi, wyznaczamy ruch bezwzględny ciała. Ruch względny w tym przypadku to obrót ciała sztywnego wokół osi względem układu współrzędnych

z kolei obraca się wokół osi Oz stały (absolutny) układ współrzędnych Oksyz; wektor prędkości kątowej obrotu ciała wokół osi”, skierowany wzdłuż tej osi, zostanie oznaczony i nazwany względną prędkością kątową. Obrót samego układu współrzędnych

w odniesieniu do systemu Oksyz będzie ruchem przenośnym; wektor prędkości kątowej tego obrotu, skierowany wzdłuż osi Oz, oznaczamy i nazywamy przenośną prędkość kątową. Zauważmy przede wszystkim, że z warunku równoległości wektorów wszystkie punkty ciała, zarówno w ruchu względnym, jak i postępowym, pozostają w płaszczyznach prostopadłych do tych wektorów, zatem ruch bezwzględny ciała będzie płaski. Kropka M ta płaska figura mająca wektor promienia względem O" i wektor promienia względem O, będzie się poruszał z prędkością bezwzględną równą

Natomiast rozpatrywany ruch płaski można przedstawić jako chwilowy obrót wokół osi przechodzącej przez chwilowy środek i prostopadłej do płaszczyzny ruchu. Aby znaleźć położenie tej osi, oznaczamy promień wektora chwilowego środka R przez i piszemy warunek, że prędkość bezwzględna punktu na płaszczyźnie R równy zeru. Zakładając równość (2.41) I dostajemy

Ryc.45.

Pomnóżmy wektorowo obie strony tej równości przez wektor osi jednostkowej Oz; następnie rozwijając iloczyn podwójnego wektora, a ponieważ wektory i są prostopadłe do wektora jednostkowego, otrzymujemy: , gdzie i zgodnie z przyjętą notacją reprezentują wartości algebraiczne prędkości kątowych (znak plus, jeśli obrót jest dodatni dla obserwatora patrzącego od osi Oz lub znak minus w przeciwnym przypadku). Więc kiedy

(2.43)

Z ostatniej równości wynika, że dla dowolnych zależności pomiędzy i chwilowym centrum R jest online 00" .Aby znaleźć prędkość kątową obrotu wokół chwilowego środka, odejmij (2.42) od (2.41); otrzymujemy:

To jest wzór na prędkość obrotową wokół punktu R, z bezwzględną prędkością kątową równą

Zatem ruch bezwzględny rozpatrywanego ciała sztywnego jest równoważny obrotowi wokół chwilowej osi przechodzącej przez chwilowy środek R, z bezwzględną prędkością kątową równą geometrycznej sumie przenośnej i względnej prędkości kątowej. Zwróćmy uwagę na możliwe przypadki położenia osi chwilowej.

Ryc.46.

ten sam znak, na przykład dodatni. W tym przypadku z równań (2.43) wynika, że punkt leży pomiędzy środkami O oraz w odległościach odwrotnie proporcjonalnych do wartości prędkości kątowych (ryc. 46). Bezwzględna prędkość kątowa obrotu wokół osi przechodzącej przez punkt R, zgodnie z (63) jest równa sumie prędkości kątowych.

2. Kierunek obrotu jest inny, tj. i ma różne znaki, np. > 0, a< 0, причем положим для определенности, что >. W tym przypadku ze wzoru (62) wynika: .Kropka R zatem leży za sednem O.

Jako wniosek rozważmy kwestię wyznaczania prędkości kątowych w epicyklicznym zazębieniu kół zębatych (ryc. 47).Zwykle mechanizm obiegowy lub planetarny nazywany jest sprzęgłem dwóch lub więcej kół, z których jedno obraca się wokół ustalonej osi, pozostałe - o osiach zamontowanych na ruchomym uchwycie. Ponadto sprzęganie może być zarówno zewnętrzne, jak i wewnętrzne. Koła połączone z obrotowym uchwytem nazywane są satelitami.

Ryż. 47.

Wyprowadźmy ogólną zależność pomiędzy prędkościami kątowymi kół i rączki względem podstawy mechanizmu w przypadku zazębienia zewnętrznego i wewnętrznego. Na rysunku wszystkie prędkości kątowe pokazano w kierunku zgodnym z ruchem wskazówek zegara; znak pokaże później prawdziwy kierunek obrotu. Prędkość kątową rączki oznaczamy przez . Przyjmijmy mechanizm jako cały obrót z prędkością kątową (-) równą co do prędkości kątowej rączki, ale w kierunku przeciwnym do niej. Następnie, zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prędkości kątowych, podstawa mechanizmu stanie się ruchomym ogniwem mającym prędkość kątową (-), a uchwyt, przeciwnie, stanie się nieruchomy i będzie pełnił rolę podstawy mechanizmu. Mechanizm z ruchomymi osiami zamieni się w układ kół zębatych o stałych osiach, ale prędkości kątowe kół będą odpowiednio równe I . Następnie, korzystając ze znanej zależności między prędkościami kątowymi i promieniami, znajdujemy:

tutaj znakiem jest „-” dla uzębienia zewnętrznego i „+” dla uzębienia wewnętrznego.

3. Kierunki obrotu są różne, ale ich prędkości kątowe są równe pod względem wielkości ( = -) W tym przypadku występuje pewna osobliwość, ponieważ wektory i tworzą parę wektorów. W tym przypadku następuje natychmiastowy ruch postępowy ciała.

Łącząc wszystkie trzy przypadki, otrzymujemy następujący wynik: dodając obroty wokół równoległych osi, prędkości kątowe sumują się w taki sam sposób, jak siły równoległe w statyce. Wykonując tę analogię, przenośną i względną prędkość kątową uważa się za składowe siły, a bezwzględna prędkość kątowa odpowiada sile wypadkowej.

2. Twierdzenie o dodawaniu obrotów wokół przecinających się osi.

Ryc.48.

Niech względny obrót ciała ze względną prędkością kątową następuje wokół osi Oz”, a ruch przenoszący jest obrotem układu Wół"y"z" z przenośną prędkością kątową wokół stałej osi Oz przecinającą oś Oz” w tym punkcie O. Ruchem bezwzględnym będzie ruch ciała względem układu współrzędnych Oksyz. Rozważany ruch bezwzględny ciała to obrót wokół ustalonego środka O. Każdy obrót ciała wokół stałego środka można przedstawić jako obrót wokół jakiejś chwilowej osi. Wyznaczmy kierunek chwilowej osi i znajdźmy wektor bezwzględnej prędkości kątowej obrotu ciała. Aby to zrobić, weźmy pewien punkt M ciała o promieniu wektorowym i zapisz zgodnie z twierdzeniem o dodawaniu prędkości: w tym przypadku

Rozważmy przypadek, gdy ruch względny ciała jest obrotem z prędkością kątową wokół osi, zamontowanej na korbie wokół osi z prędkością kątową.

Jeżeli są one równoległe, to ruch ciała będzie płaszczyznowo-równoległy względem płaszczyzny prostopadłej do osi.

Rozpatrzmy osobno przypadki, gdy obroty są skierowane w jednym kierunku i w różnych kierunkach.

6.2.1. Obroty skierowane są w jednym kierunku.

Przedstawmy przekrój (S) ciała płaszczyzną prostopadłą do osi. Ślady osi na przekroju (S) oznaczono literami A i B. Łatwo zauważyć, że punkt A, leżąc na osi Aa /, uzyskuje zatem prędkość jedynie z obrotu wokół osi Bb /. Podobny . W tym przypadku wektory są do siebie równoległe (oba prostopadłe do AB) i skierowane w różnych kierunkach. Wtedy punkt C to MCS (), a zatem oś Cs / jest równoległa do osi Aa / i Bb / chwilowa oś obrotu ciała.

Aby wyznaczyć prędkość kątową bezwzględnego obrotu ciała wokół osi Сс/ i położenie samej osi, tj. punkty C, korzystamy z równości

Z właściwości proporcji otrzymujemy

Podstawiając i , otrzymujemy:

Jeśli więc ciało uczestniczy jednocześnie w dwóch obrotach skierowanych w tym samym kierunku wokół osi równoległych, to wynikowym jego ruchem będzie chwilowy obrót z bezwzględną prędkością kątową wokół chwilowej osi równoległej do zadanej.

Z biegiem czasu chwilowa oś obrotu Сс/ zmieni swoje położenie, opisując powierzchnię cylindryczną.

6.2.2. Obroty kierowane są w różnych kierunkach.

Dopuszczone do definicji. Rozumowanie jak w poprzednim przypadku

Jednocześnie są skierowane w jednym kierunku.

Następnie chwilowa oś obrotu przechodzi przez punkt C i

lub właściwości proporcji

Zastępując wartości i , otrzymujemy

Zatem w tym przypadku wynikowy ruch jest także chwilowym obrotem z bezwzględną prędkością kątową wokół osi Сс/, którego położenie wyznacza proporcja

Koniec pracy -

Ten temat należy do działu:

Sekcja mechaniki teoretycznej

Mechanika techniczna.. dział mechanika teoretyczna.. Tver..

Jeśli potrzebujesz dodatkowych materiałów na ten temat lub nie znalazłeś tego czego szukałeś, polecamy skorzystać z wyszukiwarki w naszej bazie dzieł:

Co zrobimy z otrzymanym materiałem:

Jeśli ten materiał był dla Ciebie przydatny, możesz zapisać go na swojej stronie w sieciach społecznościowych:

Wszystkie tematy w tym dziale:

Aksjomaty statyki
Aksjomaty te formułowane są na podstawie obserwacji i badania zjawisk otaczającego nas świata rzeczywistego. Niektóre podstawowe prawa mechaniki Galileo-Newtona są jednocześnie

Układ zbiegających się sił
2.1.1 Równowaga ciała sztywnego, do którego przyłożony jest układ zbieżnych sił. Siły i linie, których działania przecinają się w jednym punkcie, nazywane są zbieżnymi. Twierdzenie. Siostra

Dowolny płaski układ sił
2.2.1 Równowaga ciała sztywnego w obecności płaskiego układu sił. Przypadek sił równoległych. Wypadkowa dwóch równoległych sił skierowanych w jednym kierunku jest równa mod

Zbieżne układy sił
Wypadkową przestrzennego układu sił można wyznaczyć konstruując wielokąt przestrzenny

Dowolny przestrzenny układ sił
3.2.1. Moment siły względem punktu. Moment siły względem osi. Teoria par w przestrzeni. W przypadku płaskiego układu sił moment siły względem punktu definiuje się jako siłę algebraiczną

Środek ciężkości
Siła grawitacji jest wypadkową sił przyciągania Ziemi i jest rozłożona na całą objętość ciała. Siły przyciągające przyłożone do cząstek ciała stałego tworzą układ sił,

Kinematyka
1. WSTĘP Kinematyka to dział mechaniki zajmujący się badaniem ruchu punktów i ciał materialnych w przestrzeni z punktu geometrycznego

Ruch ciała do przodu
Ruch postępowy ciała sztywnego to ruch, w którym dowolna linia prosta

Ruch obrotowy ciała sztywnego
Ruch obrotowy to ruch ciała sztywnego, w którym punkty ciała poruszają się w płaszczyznach prostopadłych do ustalonej linii prostej, zwanej osią obrotu ciała, i opisuje okręgi, których środek

Równania ruchu jednostajnego ciała
Obrót ciała ze stałą prędkością kątową nazywa się jednostajną prointegracją

Równania ruchu jednostajnego ciała
Obrót ciała, w którym przyspieszenie kątowe jest stałe, nazywamy obrotem jednostajnym. Jeśli wartość

Dodawanie prędkości
Rozważmy punkt M wykonujący złożony ruch. Niech ten punkt, poruszając się po swojej względnej trajektorii AB, zajmie pewien okres czasu

Dodawanie przyspieszeń. Twierdzenie Coriolisa
Znajdźmy związek między wartością absolutną i względną

Środek prędkości chwilowej (IVC)
MCS to punkt płaskiej figury, której prędkość w danym momencie wynosi zero. Twierdzenie. Jeśli prędkość kątowa płaskiej figury nie wynosi zero, wówczas MCS istnieje. Zanim

Wyznaczanie prędkości punktu na płaszczyźnie za pomocą MDS
Jako biegun wybierzmy punkt P. Następnie prędkość dowolnego punktu A, ponieważ

Przyspieszenia punktów podczas ruchu płaskiego
Pokażmy, że na przyspieszenie dowolnego punktu M ciała w ruchu płaskim lub równoległym (a także na prędkość) składają się przyspieszenia, jakie otrzymuje ono w ruchu postępowym i obrotowym

Centrum Natychmiastowego Przyspieszenia (IAC)
MCU to punkt figury płaskiej, której przyspieszenie wynosi zero. Jeżeli w danym momencie czasu określone jest przyspieszenie jakiegoś punktu A -

Szczególne przypadki wyznaczania MCU
1. Znany jest punkt, którego przyspieszenie wynosi zero. Tym punktem jest MCU. Na przykład do

Podstawowe metody obliczania przyspieszenia kątowego w ruchu płaskim
1. Jeżeli znane jest prawo zmiany kąta obrotu lub prędkości kątowej w czasie, to przyspieszenie kątowe

Dodanie ruchów translacyjnych
Niech ciało sztywne porusza się translacyjnie z prędkością

Kilka obrotów
Rozważmy szczególny przypadek, gdy obroty wokół osi równoległych są skierowane w różnych kierunkach, ale modulo

Dodawanie obrotów wokół przecinających się osi
Rozważmy przypadek dodania obrotu wokół dwóch przecinających się osi. Kiedy ok

Dodawanie ruchów translacyjnych i obrotowych
6.5.1. Prędkość postępowa prostopadła do osi obrotu (┴

Prawa dynamiki
Dynamika opiera się na prawach ustalonych poprzez podsumowanie wyników szeregu eksperymentów i obserwacji. Prawa te zostały po raz pierwszy systematycznie określone przez I. Newtona w jego klasycznym dziele „Matematyka

Zagadnienia dynamiki dla swobodnego i nieswobodnego punktu materialnego
Dla swobodnego punktu materialnego zagadnienia dynamiki są następujące: 1. Znając prawo ruchu wyznacz działającą na niego siłę (pierwsze zadanie dynamiki) 2. Znając działającą siłę wyznacz

Ruch prostoliniowy punktu
Z kinematyki wiadomo, że kiedy prosty ruch prędkość i przyspieszenie punktu są zawsze skierowane wzdłuż tej samej linii prostej. Ponieważ kierunek przyspieszenia pokrywa się z kierunkiem działania

Ruch krzywoliniowy punktu
Rozważmy swobodny punkt materialny poruszający się pod wpływem sił

Pęd i energia kinetyczna punktu
Są to główne cechy dynamiczne ruchu. Wielkość ruchu punktu nazywa się wielkością wektorową

Siła impulsu
Aby scharakteryzować działanie wywierane na ciało przez siłę w pewnym okresie czasu, wprowadzamy pojęcie impulsu siły. Elementarny impuls siły nazywany jest wielkością wektorową

Twierdzenie o zmianie pędu punktu
Ponieważ masa punktu jest stała i jego przyspieszenie, to równanie (3) (

Praca siły. Moc
Aby scharakteryzować działanie wywierane przez siłę na ciało podczas pewnego ruchu, wprowadzamy

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej punktu
Rozważmy punkt o masie m poruszający się pod działaniem przyłożonych do niego sił z położenia M0, w którym miał prędkość V0, do położenia M1,

Twierdzenie o zmianie momentu pędu
(twierdzenie o momentach). Czasami, badając ruch punktu, zamiast zmieniać sam wektor (m

Drgania proste punktu
4.1. Drgania swobodne bez uwzględnienia sił oporu. Rozważmy punkt M poruszający się pod wpływem tylko jednej siły przywracającej F skierowanej w przeciwnym kierunku.

Oscylacje swobodne z oporem proporcjonalnym do prędkości (oscylacje tłumione)
Zastanówmy się, jaki to ma wpływ darmowe wibracje opór ośrodka, biorąc pod uwagę, że siła oporu jest proporcjonalna do pierwszej potęgi prędkości:

Wymuszone wibracje. Rezonans
Rozważmy przypadek oscylacji, gdy na punkt oprócz siły przywracającej F działa także siła zmieniająca się okresowo w czasie

Układ mechaniczny
Układ mechaniczny punkty lub ciała materialne to ich zbiór, w którym położenie lub ruch każdego punktu zależy od położenia i ruchu wszystkich pozostałych. Kumpel

Masa układu. Środek masy
Ruch układu, oprócz działających sił, zależy od jego masy całkowitej i rozkładu mas. Masa układu jest równa sumie arytmetycznej mas wszystkich punktów lub ciał, arr.

Równania różniczkowe ruchu układu
Rozważmy system składający się z „n” punktów materialnych. Wybierzmy jakiś punkt układu o masie mk. Oznaczmy wypadkowe wszystkich zastosowanych do punktu

Twierdzenie o ruchu środka masy
Dodajmy lewą i prawą stronę równania (3) wyraz po wyrazie. (4) Przekształćmy plik

Prawo zachowania ruchu środka masy
Z twierdzenia o ruchu środka masy można wyciągnąć ważne wnioski. 1). Niech suma sił zewnętrznych działających na układ będzie wynosić zero

Ilość ruchu systemu
Wielkość ruchu układu będzie nazywana wielkością wektorową równą geometrowi

Twierdzenie o zmianie pędu
Rozważmy układ składający się z „n” punktów materialnych, ułóżmy różniczkowe równania ruchu (2) dla tego układu i dodajmy je wyraz po wyrazie

Prawo zachowania pędu
Z twierdzenia o zmianie pędu układu można wyciągnąć istotne konsekwencje. 1). Niech suma wszystkich sił zewnętrznych działających na układ będzie równa zero:

Moment bezwładności ciała względem osi
Położenie środka masy nie charakteryzuje w pełni rozkładu masy układu.

Główny moment pędu układu
Główny moment pędu (lub moment kinematyczny) układu względem danego środka O nazywany jest wartością K0, równą geometrycznej sumie momentów ilościowych

Twierdzenie o zmianie głównego momentu pędu układu (twierdzenie o momentach)
Twierdzenie o momentach udowodnione dla jednego punktu materialnego będzie obowiązywać dla każdego z punktów układu. Zatem jeśli weźmiemy pod uwagę punkt układu o masie mk, posiadający prędkość

Prawo zachowania głównego momentu pędu
Z twierdzenia o momentach można wyciągnąć następujące ważne wnioski. 1). Niech suma momentów względem środka O wszystkich sił zewnętrznych działających na układ będzie równa zeru:

Energia kinetyczna układu
Energia kinetyczna układu jest wielkością skalarną T równą sumie arytmetycznej energii kinetycznych wszystkich punktów układu.

Niektóre przypadki obliczania pracy
Rozważmy następujące przypadki. 1). Praca sił grawitacyjnych działających na układ. Praca grawitacji działająca na cząstkę o masie Pk będzie równa

Twierdzenie o zmianie energii kinetycznej układu
Pokazano w paragrafie 3.5. twierdzenie jest ważne dla dowolnego punktu układu. Zatem jeśli weźmiemy pod uwagę dowolny punkt układu o masie mk i prędkości Vk, to

Potencjalne pole siłowe i funkcja siły
Pracuj, aby przesunąć siłę F przyłożoną w punkcie

Energia potencjalna
W przypadku sił potencjalnych możemy wyprowadzić pojęcie energii potencjalnej jako wielkości, która „charakteryzuje ilość pracy”, jaką wykonuje punkt materialny w danym punkcie pola siłowego