Redoslijed brojeva.
Kako ?

U ovoj lekciji naučit ćemo mnogo zanimljivih stvari iz života članova velike zajednice koja se zove Vkontakte numeričke sekvence. Tema koja se razmatra ne odnosi se samo na tok matematičke analize, već se dotiče i osnova diskretna matematika. Osim toga, materijal će biti potreban za savladavanje drugih dijelova tornja, posebno tokom studija numeričke serije I funkcionalne serije. Možete otrcano reći da je ovo važno, možete ohrabrujuće reći da je jednostavno, možete reći još mnogo rutinskih fraza, ali danas je prva, neobično lijena sedmica škole, pa me užasno lomi da napišem prvi pasus =) Već sam sačuvao fajl u svojim srcima i spremio se za spavanje, kada mi je odjednom... glavu obasjala ideja o iskrenoj ispovesti, što mi je neverovatno razvedrilo dušu i nagnalo me da nastavim da lupkam prstima po tastaturi .

Odmorimo se od ljetnih uspomena i zavirimo u ovaj fascinantan i pozitivan svijet novog socijalna mreža:

Koncept niza brojeva

Prvo, razmislimo o samoj riječi: šta je sekvenca? Slijed je kada nešto slijedi nešto. Na primjer, niz radnji, niz godišnjih doba. Ili kada se neko nalazi iza nekoga. Na primjer, niz ljudi u redu, niz slonova na putu do pojila.

Odmah razjasnimo karakteristične karakteristike niza. prvo, članovi niza se nalaze striktno određenim redosledom. Dakle, ako su dvije osobe u redu zamijenjene, onda će to već biti ostalo podsekvenca. Drugo, svi član sekvence Možete dodijeliti serijski broj:

Isto je i sa brojevima. Neka svakome prirodna vrijednost po nekom pravilu usklađen pravi broj. Zatim kažu da je zadan numerički niz.

Da, u matematičkim problemima, za razliku od životne situacije sekvenca skoro uvek sadrži beskonačno mnogo brojevi.

pri čemu:
pozvao prvi član sekvence;
– drugi član sekvence;
– treći član sekvence;
…
– nth ili zajednički član sekvence;
…

U praksi se obično daje redoslijed formula uobičajenog pojma, Na primjer:
– niz pozitivnih parnih brojeva:

Dakle, zapis jedinstveno određuje sve članove niza - ovo je pravilo (formula) prema kojem prirodne vrijednosti brojevi se stavljaju u korespondenciju. Stoga se niz često ukratko označava uobičajenim terminom, a umjesto "x" mogu se koristiti druga latinična slova, na primjer:

Niz pozitivnih neparnih brojeva:

Još jedan uobičajeni niz:

Kao što su mnogi vjerovatno primijetili, varijabla “en” igra ulogu svojevrsnog brojača.

U stvari, bavili smo se nizovima brojeva još u srednjoj školi. Podsjetimo se aritmetička progresija. Neću ponovo pisati definiciju, hajde da se dotaknemo suštine na konkretan primjer. Neka je prvi član, i – korak aritmetička progresija. onda:
– drugi mandat ove progresije;
– treći mandat ove progresije;
- četvrti;
- peti;
…
I, očigledno, dat je n-ti član ponavljajuća formula

Bilješka : u rekurentnoj formuli, svaki naredni termin je izražen u terminima prethodnog pojma ili čak u terminima čitavog skupa prethodnih pojmova.

Dobijena formula je od male koristi u praksi - da biste dobili, recimo, do , morate proći kroz sve prethodne pojmove. A u matematici je izveden prikladniji izraz za n-ti član aritmetičke progresije: . u našem slučaju:

Zamijenite prirodne brojeve u formulu i provjerite ispravnost prethodnog konstruiranog numerički niz.

Slični proračuni se mogu napraviti za geometrijska progresija, čiji je n-ti član dan formulom , gdje je prvi član, i – imenilac progresija. U matematičkim zadacima, prvi član je često jednak jedan.

progresija postavlja sekvencu ;
progresija postavlja sekvencu;
progresija postavlja sekvencu ;
progresija postavlja sekvencu .

Nadam se da svi znaju da je –1 na neparan stepen jednako –1, a na paran stepen – jedan.

Progresija se zove beskonačno opadajuća, ako (poslednja dva slučaja).

Dodajmo dva nova prijatelja na našu listu, od kojih je jedan upravo pokucao na matricu monitora:

Niz u matematičkom žargonu naziva se "blinka":

dakle, članovi sekvence se mogu ponavljati. Dakle, u razmatranom primjeru, niz se sastoji od dva beskonačno naizmjenična broja.

Da li se dešava da se niz sastoji od identičnih brojeva? Svakako. Na primjer, postavlja beskonačan broj "trojki". Za estete postoji slučaj kada se "en" još uvijek formalno pojavljuje u formuli:

Pozovimo jednostavnog prijatelja na ples:

Šta se dešava kada se "en" poveća do beskonačnosti? Očigledno, članovi niza će biti beskonačno blizu pristup nuli. Ovo je granica ovog niza, koja se piše na sljedeći način:

Ako je granica niza nula, onda se on poziva infinitezimal.

U teoriji matematičke analize dat je stroga definicija granice sekvence kroz takozvano naselje ipsilon. Sljedeći članak će biti posvećen ovoj definiciji, ali za sada pogledajmo njeno značenje:

Opišimo na brojevnoj pravoj članove niza i susjedstvo simetrično u odnosu na nulu (limit):


Sada stisnite plavo područje ivicama dlanova i počnite ga smanjivati, povlačeći ga prema granici (crvena tačka). Broj je granica niza ako ZA BILO KOJI unaprijed odabrano susjedstvo (koliko god želite)će biti unutar njega beskonačno mnogočlanovi niza, a VAN nje - samo final broj članova (ili nijedan). To jest, susjedstvo ipsilona može biti mikroskopsko, pa čak i manje, ali "beskonačni rep" niza prije ili kasnije mora u potpunosti uđite u područje.

Niz je također beskonačno mali: s tom razlikom što njegovi članovi ne skaču naprijed-nazad, već se granici približavaju isključivo s desne strane.

Naravno, granica može biti jednaka bilo kojem drugom konačnom broju, elementarni primjer:

Ovdje razlomak teži nuli, i prema tome, granica je jednaka "dva".

Ako sekvenca postoji konačna granica, onda se zove konvergentan(posebno, infinitezimal na ). inače - divergentan, u ovom slučaju su moguće dvije opcije: ili granica uopće ne postoji, ili je beskonačna. U potonjem slučaju, sekvenca se zove beskonačno velika. Hajdemo galopirati kroz primjere iz prvog pasusa:

Sekvence su beskonačno velika, dok se njihovi članovi samouvjereno kreću ka "plus beskonačnosti":

Aritmetička progresija s prvim članom i korakom je također beskonačno velika:

Usput, svaka aritmetička progresija također se divergira, s izuzetkom slučaja s nultim korakom - kada . Granica takvog niza postoji i poklapa se sa prvim članom.

Sekvence imaju sličnu sudbinu:

Svaka beskonačno opadajuća geometrijska progresija, kao što je jasno iz naziva, beskrajno mali:

Ako je nazivnik geometrijske progresije , tada je niz beskonačno velik:

Ako, na primjer, onda granica uopće ne postoji, jer članovi neumorno skaču ili na “plus beskonačnost” ili na “minus beskonačnost”. A zdrav razum i Matanove teoreme sugeriraju da ako nešto teži negdje, onda je ovo jedino cijenjeno mjesto.

Nakon malog otkrića postaje jasno da je za nekontrolisano bacanje krivo "bljeskavo svjetlo", koje se, usput rečeno, samo po sebi razilazi.
Zaista, za sekvencu je lako izabrati -komšiluk koje, recimo, spaja samo broj –1. Kao rezultat toga, beskonačan broj članova niza (“plus jedan”) će ostati izvan ovog susjedstva. Ali po definiciji, "beskonačni rep" niza od određenog trenutka (prirodni broj) mora u potpunosti idite u BILO KOJU blizinu svoje granice. Zaključak: nebo je granica.

Faktorski je beskonačno velika redoslijed:

Štaviše, raste naglo, pa se radi o broju koji ima više od 100 cifara (cifara)! Zašto baš 70? Na njemu moj inženjerski mikrokalkulator moli za milost.

S kontrolnim udarcem sve je malo složenije, a tek smo došli do praktičnog dijela predavanja u kojem ćemo analizirati borbene primjere:

Ali sada morate biti u stanju riješiti granice funkcija, barem na nivou dvije osnovne lekcije: Ograničenja. Primjeri rješenja I Wonderful Limits. Zato što će mnoge metode rješenja biti slične. Ali, prije svega, analizirajmo fundamentalne razlike između granice niza i granice funkcije:

U granici niza, “dinamička” varijabla “en” može težiti samo do "plus beskonačnosti"– ka povećanju prirodnih brojeva .
U granicama funkcije, “x” se može usmjeriti bilo gdje – na “plus/minus beskonačnost” ili na proizvoljan realan broj.

Subsequence diskretno(diskontinuirano), odnosno sastoji se od pojedinačnih izolovanih članova. Jedan, dva, tri, četiri, pet, zeko je izašao u šetnju. Argument funkcije karakterizira kontinuitet, odnosno "X" glatko, bez incidenta, teži jednoj ili drugoj vrijednosti. I, shodno tome, vrijednosti funkcije će se također kontinuirano približavati svojoj granici.

Zbog diskretnost unutar sekvenci postoje njihove vlastite prepoznatljive stvari, kao što su faktorijali, “bljeskajuća svjetla”, progresije, itd. A sada ću pokušati analizirati granice koje su specifične za sekvence.

Počnimo s progresijama:

Primjer 1

Pronađite granicu niza

Rješenje: nešto slično beskonačno opadajućoj geometrijskoj progresiji, ali da li je to zaista to? Radi jasnoće, zapišimo prvih nekoliko pojmova:

Od tada govorimo o iznos pojmovi beskonačno opadajuće geometrijske progresije, koja se izračunava po formuli.

Donosimo odluku:

Koristimo formulu za sumu beskonačno opadajuće geometrijske progresije: . U ovom slučaju: – prvi član, – imenilac progresije.

Primjer 2

Napišite prva četiri člana niza i pronađite njegovu granicu

Ovo je primjer za nezavisna odluka. Da biste uklonili nesigurnost u brojiocu, morat ćete primijeniti formulu za zbir prvih članova aritmetičke progresije:
, gdje je prvi, a a n-ti član progresije.

Budući da unutar sekvenci "en" uvijek teži "plus beskonačnosti", nije iznenađujuće da je neizvjesnost jedna od najpopularnijih.
I mnogi primjeri su riješeni na potpuno isti način kao i ograničenja funkcije!

Ili možda nešto komplikovanije ? Pogledajte primjer br. 3 članka Metode rješavanja granica.

Sa formalne tačke gledišta, razlika će biti samo u jednom slovu - ovdje "x", a ovdje "en".
Tehnika je ista - brojilac i imenilac moraju biti podijeljeni sa "en" do najvišeg stepena.

Takođe, nesigurnost unutar sekvenci je prilično česta. Možete naučiti kako riješiti ograničenja iz primjera br. 11-13 istog članka.

Da biste razumjeli ograničenje, pogledajte primjer br. 7 lekcije Wonderful Limits(druga izuzetna granica vrijedi i za diskretni slučaj). Rješenje će opet biti kao kopija s razlikom od jednog slova.

Sljedeća četiri primjera (br. 3-6) su također „dvoslojni“, ali su u praksi iz nekog razloga više karakteristični za ograničenja sekvence nego za ograničenja funkcije:

Primjer 3

Pronađite granicu niza

Rješenje: prvo kompletno rješenje, a zatim komentari korak po korak:

(1) U brojiocu koristimo formulu dva puta.

(2) Slične članove predstavljamo u brojniku.

(3) Da biste uklonili nesigurnost, podijelite brojilac i imenilac sa (“en” do najvišeg stepena).

Kao što vidite, ništa komplikovano.

Primjer 4

Pronađite granicu niza

Ovo je primjer koji možete sami riješiti, skraćene formule za množenje pomoći.

Unutar s indikativno Nizovi koriste sličnu metodu dijeljenja brojnika i nazivnika:

Primjer 5

Pronađite granicu niza

Rješenje Uredimo ga po istoj shemi:

Usput rečeno, sličan teorem vrijedi za funkcije: proizvod ograničena funkcija na infinitezimalnu funkciju - postoji infinitezimalna funkcija.

Primjer 9

Pronađite granicu niza

Danas ćemo na času pogledati striktno sekvenciranje I stroga definicija granice funkcije, te također naučiti rješavati relevantne probleme teorijske prirode. Članak je prvenstveno namijenjen studentima prve godine prirodnih nauka i inženjerskih specijalnosti koji su započeli proučavanje teorije matematičke analize i naišli na poteškoće u razumijevanju ovog odsjeka više matematike. Osim toga, materijal je prilično dostupan srednjoškolcima.

Tokom godina postojanja sajta dobio sam desetak pisama otprilike sledećeg sadržaja: „Ne razumem dobro matematičku analizu, šta da radim?“, „Uopšte se ne razumem u matematiku, ja sam razmišljam o prekidu studija” itd. I zaista, matan je taj koji često proređuje studentsku grupu nakon prve sesije. Zašto je to slučaj? Zato što je tema nezamislivo složena? Ne sve! Teorija matematičke analize nije toliko teška koliko je neobična. I treba da je prihvatite i volite takvu kakva jeste =)

Počnimo s najtežim slučajem. Prva i najvažnija stvar je da ne morate odustati od studija. Shvatite ispravno, uvijek možete odustati ;-) Naravno, ako vam nakon godinu-dvije bude muka od izabrane specijalnosti, onda da, razmislite o tome (i ne ljuti se!) o promjeni djelatnosti. Ali za sada vrijedi nastaviti. I, molim vas, zaboravite frazu "Ja ništa ne razumijem" - ne dešava se da UOPŠTE ništa ne razumijete.

Šta učiniti ako je teorija loša? Ovo se, inače, ne odnosi samo na matematičku analizu. Ako je teorija loša, prvo se morate OZBILJNO fokusirati na praksu. U ovom slučaju se rješavaju dva strateška zadatka odjednom:

– Prvo, značajan udio teorijskog znanja nastao je kroz praksu. I zato mnogi ljudi razumiju teoriju kroz... – tako je! Ne, ne, ne razmišljaš o tome =)

– I, drugo, praktične vještine će vas najvjerovatnije „provući“ kroz ispit, čak i ako... ali nemojmo se toliko uzbuđivati! Sve je realno i sve se može „podići“ u prilično kratkom vremenu. Matematička analiza je moj omiljeni dio više matematike, i stoga jednostavno nisam mogao a da vam ne pružim ruku pomoći:

Na početku 1. semestra obično se pokrivaju granice sekvence i funkcije. Ne razumete šta je to i ne znate kako da ih rešite? Počnite sa člankom Ograničenja funkcija, u kojem se „na prste“ ispituje sam koncept i analiziraju najjednostavniji primjeri. Zatim proradite druge lekcije na tu temu, uključujući lekciju o unutar sekvenci, na kojoj sam zapravo već formulisao strogu definiciju.

Koje simbole osim znakova nejednakosti i modula poznajete?

– dugačak okomit štap glasi ovako: “tako da”, “takvo da”, “takvo da” ili “takvo da”, u našem slučaju, očigledno, govorimo o broju – dakle „takvom“;

– za sve “en” veće od ;

– znak modula znači udaljenost, tj. ovaj unos nam govori da je udaljenost između vrijednosti manja od epsilona.

Pa, da li je smrtno teško? =)

Nakon savladavanja prakse, radujem se što ću vas vidjeti u sljedećem pasusu:

I zapravo, razmislimo malo - kako formulirati strogu definiciju sekvence? ...Prva stvar koja mi pada na pamet na svijetu praktična lekcija: "Granica niza je broj kojem se članovi niza približavaju beskonačno blizu."

U redu, hajde da to zapišemo podsekvenca :

To nije teško razumjeti podsekvenca pristup beskonačno blizak broju –1 i parnim terminima – na „jedan“.

Ili možda postoje dvije granice? Ali zašto ih onda nijedan niz ne može imati deset ili dvadeset? Možeš ići daleko ovim putem. S tim u vezi, logično je pretpostaviti da ako niz ima ograničenje, onda je jedinstven.

Bilješka : niz nema ograničenja, ali se od njega mogu razlikovati dva podniza (vidi gore), od kojih svaka ima svoju granicu.

Stoga se gornja definicija ispostavlja neodrživom. Da, radi za slučajeve kao što su (što nisam sasvim ispravno koristio u pojednostavljenim objašnjenjima praktičnih primjera), ali sada moramo pronaći striktnu definiciju.

Pokušaj drugi: „ograničenje niza je broj kojem se SVI članovi niza približavaju, osim možda njihovog final količine." Ovo je bliže istini, ali još uvijek nije sasvim tačno. Tako, na primjer, sekvenca polovina pojmova se uopće ne približava nuli - jednostavno su joj jednaki =) Usput, "bljeskalo svjetlo" općenito uzima dvije fiksne vrijednosti.

Formulaciju nije teško razjasniti, ali onda se postavlja drugo pitanje: kako napisati definiciju matematičkim simbolima? Naučni svijet se dugo borio s ovim problemom dok se situacija nije riješila poznati maestro, koji je, u suštini, formalizirao klasičnu matematičku analizu u svoj njenoj strogosti. Cauchy je predložio operaciju okolina , što je značajno unapredilo teoriju.

Razmotrite neku tačku i njenu proizvoljno-okolina:

Vrijednost "epsilona" je uvijek pozitivna, i, štaviše, imamo pravo da to sami izaberemo. Pretpostavimo da u ovom naselju ima mnogo članova (ne nužno sve) neki niz. Kako zapisati da je, na primjer, deseti rok u komšiluku? Neka bude na desnoj strani. Tada bi razmak između tačaka i trebao biti manji od “epsilona”: . Međutim, ako se "x deseti" nalazi lijevo od tačke "a", razlika će biti negativna, pa joj se mora dodati znak modul: .

Definicija: broj se zove granica niza ako za bilo koji njegovu okolinu (prethodno odabrano) postoji prirodan broj TAKAV da SVEčlanovi niza s većim brojevima će biti unutar susjedstva:

Ili ukratko: ako

Drugim riječima, bez obzira koliko malu vrijednost “epsilon” uzmemo, prije ili kasnije “beskonačni rep” niza će POTPUNO biti u ovom susjedstvu.

Na primjer, "beskonačni rep" niza će POTPUNO ući u bilo koju proizvoljno malu okolinu točke . Dakle, ova vrijednost je granica niza po definiciji. Da vas podsjetim da se zove niz čija je granica nula infinitezimal.

Treba napomenuti da za sekvencu više nije moguće reći "beskrajni rep" ući će“- članovi s neparnim brojevima su zapravo jednaki nuli i “ne idi nikuda” =) Zato se u definiciji koristi glagol “pojaviće se”. I, naravno, članovi ovakve sekvence takođe „nigde ne idu“. Usput, provjerite da li je broj njegov limit.

Sada ćemo pokazati da niz nema ograničenja. Razmotrimo, na primjer, susjedstvo tačke . Apsolutno je jasno da ne postoji takav broj nakon kojeg će SVI pojmovi završiti u datom susjedstvu – neparni pojmovi će uvijek “iskočiti” na “minus jedan”. Iz sličnog razloga, nema ograničenja u točki.

Konsolidirajmo gradivo vježbom:

Primjer 1

Dokažite da je granica niza nula. Navedite broj nakon kojeg se garantuje da će svi članovi niza biti unutar bilo kojeg proizvoljno malog susjedstva tačke.

Bilješka : Za mnoge nizove, traženi prirodni broj ovisi o vrijednosti - otuda i notacija .

Rješenje: razmotriti proizvoljno je li bilo broj – tako da će SVI članovi sa većim brojevima biti unutar ovog susjedstva:

Da bismo pokazali postojanje traženog broja, izražavamo ga kroz .

Budući da za bilo koju vrijednost "en", znak modula se može ukloniti:

Koristimo „školske“ akcije sa nejednakostima koje sam ponavljala na času Linearne nejednakosti I Funkcija domena. U ovom slučaju, važna okolnost je da su "epsilon" i "en" pozitivni:

Budući da je riječ o prirodnim brojevima na lijevoj strani, a desna strana je uglavnom razlomka, potrebno ga je zaokružiti:

Bilješka : ponekad se jedinica dodaje sa desne strane da bude na sigurnoj strani, ali u stvarnosti je to previše. Relativno govoreći, ako oslabimo rezultat zaokruživanjem naniže, tada će najbliži odgovarajući broj („tri“) i dalje zadovoljiti prvobitnu nejednakost.

Sada gledamo na nejednakost i prisjećamo se onoga što smo u početku razmatrali proizvoljno-komšiluk, tj. "epsilon" može biti jednako bilo koga pozitivan broj.

Zaključak: za bilo koje proizvoljno malo susjedstvo tačke, vrijednost je pronađena . Dakle, broj je granica niza po definiciji. Q.E.D.

Usput, iz dobivenog rezultata prirodni obrazac je jasno vidljiv: što je susjedstvo manje, to je veći broj, nakon čega će SVI članovi niza biti u ovom susjedstvu. Ali bez obzira na to koliko je „epsilon“ mali, uvijek će postojati „beskonačan rep“ iznutra i izvana – čak i ako je velik, međutim final broj članova.

Kakvi su vaši utisci? =) Slažem se da je malo čudno. Ali strogo! Molimo vas da ponovo pročitate i razmislite o svemu.

Pogledajmo sličan primjer i upoznajmo se s drugim tehničkim tehnikama:

Primjer 2

Rješenje: po definiciji niza potrebno je to dokazati (recite to naglas!!!).

Hajde da razmotrimo proizvoljno- komšiluk tačke i provere, da li postoji prirodan broj – takav da za sve veće brojeve vrijedi sljedeća nejednakost:

Da biste pokazali postojanje takvog , trebate izraziti "en" kroz "epsilon". Pojednostavljujemo izraz pod znakom modula:

Modul uništava znak minus:

Imenilac je pozitivan za bilo koji "en", stoga se štapići mogu ukloniti:

nasumično:

Sada treba da izvučemo Kvadratni korijen, ali kvaka je u tome što će za neki “epsilon” desna strana biti negativna. Da biste izbjegli ovu nevolju ojačajmo nejednakost po modulu:

Zašto se to može uraditi? Ako se, relativno govoreći, pokaže da , onda će i uslov biti zadovoljen. Modul može samo povećati traženi broj, i to će nam odgovarati! Grubo govoreći, ako je stoti prikladan, onda je prikladan i dvjestoti! Prema definiciji, morate pokazati sama činjenica postojanja broja(barem neki), nakon čega će svi članovi niza biti u susjedstvu. Uzgred, zato se ne bojimo konačnog zaokruživanja desne strane prema gore.

Ekstrahiranje korijena:

I zaokružite rezultat:

Zaključak: jer vrijednost “epsilon” je odabrana proizvoljno, tada je za bilo koju proizvoljno malu okolinu tačke pronađena vrijednost , tako da za sve veće brojeve vrijedi nejednakost . dakle, a-priorat. Q.E.D.

savjetujem posebno razumijevanje jačanja i slabljenja nejednakosti je tipična i vrlo česta tehnika u matematičkoj analizi. Jedina stvar koju trebate pratiti je ispravnost ove ili one akcije. Tako, na primjer, nejednakost ni pod kojim okolnostima nije moguće olabaviti, oduzimajući, recimo, jedan:

Opet, uslovno: ako se broj tačno uklapa, onda se prethodni možda više ne uklapa.

Sljedeći primjer za nezavisno rješenje:

Primjer 3

Dokažite to koristeći definiciju niza

Kratko rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Ako sekvenca beskonačno velika, tada se definicija granice formulira na sličan način: tačka se naziva granica niza ako za bilo koji, koliko god želite broj, postoji broj takav da će za sve veće brojeve nejednakost biti zadovoljena. Broj je pozvan blizina tačke "plus beskonačnost":

Drugim riječima, kako god veliki značaj Bez obzira na sve, „beskonačni rep“ niza će definitivno ići u -susedstvo tačke, ostavljajući samo konačan broj članova sa leve strane.

Standardni primjer:

I skraćena notacija: , ako

Za slučaj, sami zapišite definiciju. Ispravna verzija je na kraju lekcije.

Nakon što ste shvatili praktične primjere i shvatili definiciju granice niza, možete se obratiti literaturi o računima i/ili svojoj bilježnici za predavanja. Preporučujem preuzimanje prve knjige Bohana (jednostavnije - za dopisne studente) i Fichtenholtz (detaljnije i detaljnije). Od ostalih autora preporučujem Piskunova, čiji je kurs namijenjen tehničkim univerzitetima.

Pokušajte savjesno proučiti teoreme koje se tiču ​​granice niza, njihove dokaze, posljedice. U početku, teorija može izgledati "mutna", ali to je normalno - samo se trebate naviknuti na to. A mnogi će ga čak i iskusiti!

Rigorozna definicija granice funkcije

Počnimo od iste stvari - kako formulirati ovaj koncept? Verbalna definicija granice funkcije je formulisana mnogo jednostavnije: „broj je granica funkcije ako sa „x“ teži ka (i lijevo i desno), odgovarajuće vrijednosti funkcije teže » (vidi crtež). Čini se da je sve normalno, ali riječi su riječi, značenje je značenje, ikona je ikona, a nema dovoljno strogih matematičkih zapisa. A u drugom paragrafu ćemo se upoznati sa dva pristupa rješavanju ovog pitanja.

Neka je funkcija definirana na određenom intervalu, s mogućim izuzetkom točke. U obrazovnoj literaturi općenito je prihvaćeno da funkcija postoji Ne definirano:

Ovaj izbor naglašava suštinu granice funkcije: "x" beskonačno blizu pristupi , a odgovarajuće vrijednosti funkcije su beskonačno blizu To . Drugim riječima, koncept granice ne podrazumijeva „tačan pristup“ tačkama, već naime beskonačno bliska aproksimacija, nije bitno da li je funkcija definirana u tački ili ne.

Prva definicija granice funkcije, što nije iznenađujuće, formulirana je korištenjem dvije sekvence. Prvo, koncepti su povezani, i, drugo, granice funkcija se obično proučavaju nakon granica nizova.

Razmotrite sekvencu bodova (nije na crtežu), koji pripada intervalu i razlicito od, koji konvergira To . Tada odgovarajuće vrijednosti funkcije također formiraju numerički niz, čiji se članovi nalaze na osi ordinata.

Granica funkcije prema Heineu za bilo koji nizovi tačaka (koji pripadaju i različiti od), koji konvergira u točku , odgovarajući niz vrijednosti funkcije konvergira u .

Eduard Heine je njemački matematičar. ...I nema potrebe da se tako misli, samo je jedan gej u Evropi - Gay-Lussac =)

Druga definicija granice je stvorena... da, da, u pravu ste. Ali prvo, hajde da razumemo njegov dizajn. Razmislite o proizvoljnom susjedstvu tačke („crni“ komšiluk). Na osnovu prethodnog stava, unos znači da neku vrijednost funkcija se nalazi unutar "epsilon" susjedstva.

Sada nalazimo -neighborhood koji odgovara datom -neighborhood (mentalno nacrtajte crne isprekidane linije s lijeva na desno, a zatim odozgo prema dolje). Imajte na umu da je vrijednost odabrana po dužini manjeg segmenta, u ovom slučaju - po dužini kraćeg lijevog segmenta. Štaviše, "malina" -susjedstvo tačke može se čak i smanjiti, jer u sljedećoj definiciji važna je sama činjenica postojanja ovom naselju. I, na sličan način, notacija znači da je neka vrijednost unutar "delta" susjedstva.

Granica Cauchy funkcije: broj se zove granica funkcije u tački if za bilo koji unaprijed odabrano susjedstvo (koliko god želite), postoji- susjedstvo tačke, TAKAV, to: SAMO vrijednosti (pripada) uključeno u ovu oblast: (crvene strelice)– TAKO ODMAH će odgovarajuće vrijednosti funkcije zajamčeno ući u -neighborhood: (plave strelice).

Moram da vas upozorim da sam, radi jasnoće, malo improvizovao, pa nemojte preterati =)

Kratak unos: , ako

Šta je suština definicije? Slikovito rečeno, beskonačnim smanjenjem -neighborhood, mi "pratimo" vrijednosti funkcije do njihove granice, ne ostavljajući im alternativu za približavanje negdje drugdje. Prilično neobično, ali opet strogo! Da biste u potpunosti razumjeli ideju, ponovo pročitajte tekst.

! Pažnja: ako samo trebate formulisati Heineova definicija ili samo Cauchy definicija molim te ne zaboravi značajan preliminarni komentari: "Razmotrite funkciju koja je definirana na određenom intervalu, s mogućim izuzetkom točke". To sam jednom rekao na samom početku i nisam to ponavljao svaki put.

Prema odgovarajućoj teoremi matematičke analize, Heineove i Cauchyjeve definicije su ekvivalentne, ali je druga opcija najpoznatija (još uvijek bi!), koji se još naziva i "jezična granica":

Primjer 4

Dokažite to koristeći definiciju granice

Rješenje: funkcija je definirana na cijeloj brojevnoj liniji osim točke. Koristeći definiciju, dokazujemo postojanje granice u datoj tački.

Bilješka : vrijednost "delta" susjedstva ovisi o "epsilon", otuda i oznaka

Hajde da razmotrimo proizvoljno-okolina. Zadatak je koristiti ovu vrijednost za provjeru da li da li postoji-okolina, TAKAV, što iz nejednakosti slijedi nejednakost .

Uz pretpostavku da , transformiramo posljednju nejednakost:
(proširio kvadratni trinom)

Ograničenje redosleda brojeva je granica niza elemenata brojevnog prostora. Prostor brojeva je metrički prostor u kojem je udaljenost definirana kao modul razlike između elemenata. Dakle, broj se zove granica niza, ako za bilo koji postoji broj ovisno o takvom da je za bilo koje nejednakost .

Koncept granice niza realnih brojeva formuliran je prilično jednostavno iu slučaju kompleksni brojevi postojanje granice niza je ekvivalentno postojanju granica odgovarajućih nizova realnih i imaginarnih dijelova kompleksnih brojeva.

Granica (brojanog niza) je jedan od osnovnih pojmova matematičke analize. Svaki realni broj može se predstaviti kao granica niza aproksimacija željenoj vrijednosti. Brojevni sistem obezbjeđuje takav slijed preciziranja. Iracionalni cijeli brojevi su opisani periodičnim nizovima aproksimacija, dok su iracionalni brojevi opisani neperiodičnim nizovima aproksimacija.

IN numeričke metode, gde se koristi reprezentacija brojeva sa konačnim brojem predznaka, izbor aproksimacionog sistema igra posebnu ulogu. Kriterijum za kvalitet aproksimacionog sistema je brzina konvergencije. U tom smislu, predstavljanje brojeva u obliku kontinuiranih razlomaka pokazuje se efikasnim.

Definicija

Broj je pozvan granica niza brojeva, ako je niz beskonačno mali, tj. svi njegovi elementi, počevši od određenog, imaju manju apsolutnu vrijednost od bilo kojeg unaprijed određenog pozitivnog broja.

Ako brojčani niz ima ograničenje u obliku realnog broja, on se zove konvergentan na ovaj broj. U suprotnom, sekvenca se poziva divergentan . Ako je, osim toga, neograničen, onda se pretpostavlja da je njegova granica jednaka beskonačnosti.

Osim toga, ako svi elementi neograničenog niza, počevši od određenog broja, imaju pozitivan predznak, tada se kaže da je granica takvog niza plus beskonačnost .

Ako elementi neograničenog niza, počevši od određenog broja, imaju negativan predznak, onda kažu da je granica takvog niza jednaka minus beskonačnost .

Ova definicija ima fatalnu manu: objašnjava šta je granica, ali ne daje ni metod za njeno izračunavanje niti informacije o njenom postojanju. Sve se ovo izvodi iz svojstava dolje dokazane granice.

Date su formulacije glavnih teorema i svojstva numeričkih nizova koji imaju ograničenje. Sadrži definiciju niza i njegove granice. Razmatraju se aritmetičke operacije sa nizovima, svojstva vezana za nejednakosti, kriterijumi konvergencije, svojstva beskonačno malih i beskonačno velikih nizova.

Sadržaj

Svojstva konačnih granica nizova

Osnovna svojstva

Tačka a je granica niza ako i samo ako postoji izvan bilo koje okoline ove tačke konačan broj elemenata sekvence ili prazan skup.

Ako broj a nije granica niza, tada postoji susjedstvo tačke a iza koje postoji beskonačan broj elemenata niza.

Teorem jedinstvenosti za ograničenje niza brojeva. Ako niz ima ograničenje, onda je jedinstven.

Ako niz ima konačan limit, onda ga ograničeno.

Ako svaki element niza jednak istom broju C : onda ovaj niz ima ograničenje, jednak broju C.

Ako sekvenca dodati, odbaciti ili promijeniti prvih m elemenata, onda to neće uticati na njegovu konvergenciju.

Dokazi osnovnih svojstava date su na stranici
Osnovna svojstva konačnih granica nizova >>>.

Aritmetičke operacije s ograničenjima

Neka postoje konačne granice oba niza i . I neka je C konstanta, odnosno dati broj. Onda
;
;
;
, Ako .
U slučaju količnika, pretpostavlja se da za sve n.

Ako onda.

Dokazi aritmetičkih svojstava date su na stranici
Aritmetička svojstva konačnih granica nizova >>>.

Svojstva vezana za nejednakosti

Ako elementi niza, počevši od određenog broja, zadovoljavaju nejednakost , tada granica a ovog niza također zadovoljava nejednakost .

Ako elementi niza, počevši od određenog broja, pripadaju zatvorenom intervalu (segmentu), tada ovom intervalu pripada i granica a: .

Ako i i elementi nizova, počevši od određenog broja, zadovoljavaju nejednakost , tada .

Ako i, počevši od nekog broja, , onda .
Konkretno, ako, počevši od nekog broja, , Onda
ako onda ;
ako onda .

Ako i, onda.

Neka bude. Ako a < b , onda postoji nešto ovako prirodni broj N, što za sve n > N važi nejednakost.

Dokazi svojstava vezanih za nejednakosti date su na stranici
Svojstva granica niza povezanih s nejednakostima >>>.

Beskonačno veliki i beskonačno mali nizovi

Infinitezimalni niz

Infinitezimalni niz je niz čija je granica nula:
.

Zbir i razlika konačnog broja infinitezimalnih nizova je infinitezimalni niz.

Proizvod ograničenog niza do infinitezimalni je infinitezimalni niz.

Proizvod konačnog broja infinitezimalni nizovi je infinitezimalni niz.

Da bi niz imao granicu a, potrebno je i dovoljno da je , gdje je infinitezimalni niz.

Dokaz svojstava infinitezimalnih nizova date su na stranici
Infinitezimalni nizovi - definicija i svojstva >>>.

Beskonačno veliki niz

Beskonačno veliki niz je niz koji ima beskonačno veliku granicu. To jest, ako za bilo koji pozitivan broj postoji prirodan broj N koji ovisi o takvom da za sve prirodne brojeve vrijedi nejednakost
.
U ovom slučaju pišu
.
Ili u .
Kažu da teži beskonačnosti.

Ako, počevši od nekog broja N, onda
.
Ako onda
.

Ako je niz beskonačno velik, onda, počevši od nekog broja N, definira se niz koji je beskonačno mali. Ako je beskonačno mali niz sa elementima koji nisu nula, onda je niz beskonačno velik.

Ako je niz beskonačno velik i niz je ograničen, onda
.

Ako su apsolutne vrijednosti elemenata niza ograničene odozdo pozitivnim brojem (), i beskonačno je mala s elementima nejednakim nuli, tada
.

U detaljima definicija beskonačno velikog niza s primjerima je dato na stranici
Definicija beskonačno velikog niza >>>.
Dokaz svojstava beskonačno velikih nizova date su na stranici
Svojstva beskonačno velikih nizova >>> .

Kriterijumi konvergencije sekvenci

Monotone sekvence

Strogo rastući niz je niz za koji svi elementi zadovoljavaju sljedeće nejednakosti:
.

Slične nejednakosti definiraju i druge monotone nizove.

Strogo opadajući niz:
.
Neopadajući niz:
.
Redoslijed bez povećanja:
.

Iz toga slijedi da je striktno rastući niz također neopadajući. Strogo opadajuća sekvenca također nije rastuća.

Monotoni niz je neopadajući ili nerastući niz.

Monotoni niz je ograničen na barem jednoj strani vrijednošću . Neopadajući niz je ograničen ispod: . Nerastući niz je ograničen odozgo: .

Weierstrassova teorema. Da bi neopadajući (nerastući) niz imao konačnu granicu, potrebno je i dovoljno da bude ograničen odozgo (odozdo). Ovdje je M neki broj.

Budući da je svaki neopadajući (nerastući) niz ograničen odozdo (od gore), Weierstrassova teorema se može preformulirati na sljedeći način:

Da bi monotoni niz imao konačan limit, potrebno je i dovoljno da bude ograničen: .

Monotoni neograničeni niz ima beskonačnu granicu, jednaku za neopadajuću i nerastuću sekvencu.

Dokaz Weierstrassove teoreme dato na stranici
Weierstrassova teorema o granici monotonog niza >>>.

Cauchyjev kriterij za konvergenciju niza

Cauchy stanje
Konzistentnost zadovoljava Cauchy stanje, ako za bilo koji postoji prirodan broj takav da za sve prirodne brojeve n i m koji zadovoljavaju uvjet, vrijedi nejednakost
.

Osnovni niz je niz koji zadovoljava Cauchy stanje.

Cauchyjev kriterij za konvergenciju niza. Da bi niz imao konačan limit, potrebno je i dovoljno da zadovolji Cauchyjev uslov.

Dokaz Cauchyjevog kriterija konvergencije dato na stranici
Cauchyjev kriterij za konvergenciju niza >>>.

Podsekvence

Bolzano-Weierstrassova teorema. Iz bilo kojeg ograničenog niza može se izdvojiti konvergentni podniz. I iz bilo kojeg neograničenog niza - beskonačno veliki podniz koji konvergira na ili na .

Dokaz Bolzano-Weierstrassove teoreme dato na stranici
Bolzano–Weierstrassova teorema >>> .

Definicije, teoreme i svojstva podnizova i parcijalnih ograničenja razmatraju se na stranici
Podsekvence i parcijalne granice sekvenci >>>.

Reference:
CM. Nikolsky. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 1983.
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.
V.A. Zorich. Matematička analiza. Dio 1. Moskva, 1997.
V.A. Iljin, E.G. Poznyak. Osnove matematičke analize. Dio 1. Moskva, 2005.

Vidi također:

Dana je definicija konačne granice niza. Razmatrana su srodna svojstva i ekvivalentne definicije. Daje se definicija da tačka a nije granica niza. Razmatraju se primjeri u kojima se postojanje granice dokazuje korištenjem definicije.

Sadržaj

Vidi također: Granica sekvence – osnovne teoreme i svojstva
Glavne vrste nejednakosti i njihova svojstva

Ovdje ćemo pogledati definiciju konačne granice niza. Slučaj niza koji konvergira u beskonačnost razmatra se na stranici “Definicija beskonačno velikog niza”.

Granica niza je broj a if, za bilo koji pozitivan broj ε > 0 postoji prirodan broj N ε koji zavisi od ε takav da je za sve prirodne brojeve n > N ε nejednakost
| x n - a|< ε .
Ovdje je x n element niza sa brojem n. Granica sekvence označeno kako slijedi:
.
Ili u .

Transformirajmo nejednakost:
;
;
.

ε - susjedstvo tačke a - je otvoreni interval (a - ε, a + ε). Konvergentni niz je niz koji ima ograničenje. Takođe se kaže da je sekvenca konvergira do a. Divergentni niz je niz koji nema ograničenja.

Iz definicije proizilazi da ako niz ima granicu a, onda bez obzira koju ε-susjedstvo tačke a izaberemo, izvan njenih granica može postojati samo konačan broj elemenata niza, ili nijedan (prazan set). I bilo koje ε-susjedstvo sadrži beskonačan broj elemenata. U stvari, dajući određeni broj ε, time imamo broj . Dakle, svi elementi niza sa brojevima, po definiciji, se nalaze u ε - susjedstvu tačke a. Prvi elementi mogu se nalaziti bilo gdje. Odnosno, izvan ε-susjedstva ne može biti više od elemenata - to jest, konačan broj.

Također napominjemo da razlika ne mora monotono težiti nuli, odnosno stalno se smanjivati. Može težiti nuli nemonotono: može se ili povećati ili smanjiti, imajući lokalne maksimume. Međutim, ovi maksimumi, kako n raste, trebaju težiti nuli (moguće također ne monotono).

Koristeći logičke simbole postojanja i univerzalnosti, definicija granice se može napisati na sljedeći način:
(1) .

Određivanje da a nije granica

Sada razmotrite suprotnu izjavu da broj a nije granica niza.

Broj a nije granica niza, ako postoji takav da za bilo koji prirodan broj n postoji takav prirodni m > n, Šta
.

Napišimo ovu izjavu koristeći logičke simbole.
(2) .

Izjava to broj a nije granica niza, znači da
možete izabrati takvo ε - susjedstvo tačke a, izvan koje će postojati beskonačan broj elemenata niza.

Pogledajmo primjer. Neka je zadan niz sa zajedničkim elementom
(3)
Bilo koja okolina tačke sadrži beskonačan broj elemenata. Međutim, ova tačka nije granica niza, jer bilo koja okolina tačke takođe sadrži beskonačan broj elemenata. Uzmimo ε - susjedstvo tačke sa ε = 1 . Ovo će biti interval (-1, +1) . Svi elementi osim prvog sa parnim n pripadaju ovom intervalu. Ali svi elementi sa neparnim n su izvan ovog intervala, jer zadovoljavaju nejednakost x n > 2 . Pošto je broj neparnih elemenata beskonačan, postojaće beskonačan broj elemenata izvan izabranog okruženja. Dakle, tačka nije granica niza.

Sada ćemo to pokazati, striktno pridržavajući se tvrdnje (2). Tačka nije granica niza (3), jer postoji takav da, za bilo koje prirodno n, postoji neparan za koji vrijedi nejednakost
.

Takođe se može pokazati da bilo koja tačka a ne može biti granica ovog niza. Uvijek možemo izabrati ε - susjedstvo tačke a koje ne sadrži ni tačku 0 ni tačku 2. I tada će izvan izabranog susjedstva postojati beskonačan broj elemenata niza.

Ekvivalentna definicija granice sekvence

Možemo dati ekvivalentnu definiciju granice niza ako proširimo koncept ε - susjedstva. Ekvivalentnu definiciju dobićemo ako, umjesto ε-susjedstva, sadrži bilo koju okolinu tačke a. Okruženje tačke je svaki otvoreni interval koji sadrži tu tačku. Matematički susjedstvo tačke definira se na sljedeći način: , gdje je ε 1 i ε 2 - proizvoljni pozitivni brojevi.

Tada je ekvivalentna definicija granice sljedeća.

Granica niza je broj a ako za bilo koju njegovu okolinu postoji prirodan broj N takav da svi elementi niza s brojevima pripadaju ovoj okolini.

Ova definicija se takođe može predstaviti u proširenom obliku.

Granica niza je broj a ako za bilo koje pozitivne brojeve i postoji prirodan broj N koji zavisi od i takav da nejednakosti vrijede za sve prirodne brojeve
.

Dokaz ekvivalencije definicija

Dokažimo da su dvije gore navedene definicije granice niza ekvivalentne.

Neka je broj a granica niza prema prvoj definiciji. To znači da postoji funkcija, tako da su za bilo koji pozitivan broj ε zadovoljene sljedeće nejednakosti:
(4) u .

Pokažimo da je broj a granica niza po drugoj definiciji. Odnosno, moramo pokazati da postoji takva funkcija da je za bilo koje pozitivne brojeve ε 1 i ε 2 sledeće nejednakosti su zadovoljene:
(5) u .

Neka imamo dva pozitivna broja: ε 1 i ε 2 . I neka je ε najmanji od njih: . Onda ; ; . Koristimo ovo u (5):
.
Ali nejednakosti su zadovoljene za . Tada su nejednakosti (5) također zadovoljene za .

To jest, pronašli smo funkciju za koju su nejednakosti (5) zadovoljene za bilo koje pozitivne brojeve ε 1 i ε 2 .
Prvi dio je dokazan.

Sada neka broj a bude granica niza prema drugoj definiciji. To znači da postoji funkcija takva da je za bilo koje pozitivne brojeve ε 1 i ε 2 sledeće nejednakosti su zadovoljene:
(5) u .

Pokažimo da je broj a granica niza prema prvoj definiciji. Da biste to uradili morate staviti . Tada kada vrijede sljedeće nejednakosti:
.
Ovo odgovara prvoj definiciji sa .
Ekvivalentnost definicija je dokazana.

Primjeri

Primjer 1

Dokaži to.

(1) .
U našem slučaju;
.

.
Koristimo svojstva nejednakosti. Onda ako i , onda
.

.
Onda
u .
To znači da je broj granica datog niza:
.

Primjer 2

Dokažite to koristeći definiciju granice niza
.

Zapišimo definiciju granice niza:
(1) .
U našem slučaju, ;
.

Unesite pozitivne brojeve i :
.
Koristimo svojstva nejednakosti. Onda ako i , onda
.

To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
Onda
u .
.

Primjer 3

.

Uvodimo notaciju , .
Hajde da transformišemo razliku:
.
Za prirodni n = 1, 2, 3, ... imamo:
.

Zapišimo definiciju granice niza:
(1) .
Unesite pozitivne brojeve i :
.
Onda ako i , onda
.

To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
Gde
u .
To znači da je broj granica niza:
.

Primjer 4

Dokažite to koristeći definiciju granice niza
.

Zapišimo definiciju granice niza:
(1) .
U našem slučaju, ;
.

Unesite pozitivne brojeve i :
.
Onda ako i , onda
.

To jest, za bilo koji pozitivan, možemo uzeti bilo koji prirodni broj veći ili jednak:
.
Onda
u .
To znači da je broj granica niza:
.

Reference:
L.D. Kudryavtsev. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 2003.
CM. Nikolsky. Kurs matematičke analize. Tom 1. Moskva, 1983.

Vidi također: