Kompleksni brojevi

Imaginarno I kompleksni brojevi. Apscisa i ordinata

kompleksni broj. Konjugirajte kompleksne brojeve.

Operacije sa kompleksnim brojevima. Geometrijski

predstavljanje kompleksnih brojeva. Kompleksna ravan.

Modul i argument kompleksnog broja. Trigonometrijski

oblik kompleksnog broja. Operacije sa kompleksom

brojevi u trigonometrijskom obliku. Moivreova formula.

Osnovne informacije o imaginarni I kompleksni brojevi date su u odjeljku “Zamišljeni i kompleksni brojevi”. Potreba za ovim brojevima novog tipa pojavila se prilikom rješavanja kvadratnih jednadžbi za slučajD< 0 (здесь D– diskriminanta kvadratne jednačine). Za dugo vremena ovi brojevi nisu imali fizičku primenu, zbog čega su nazvani „imaginarni“ brojevi. Međutim, sada se vrlo široko koriste u različitim poljima fizike.

i tehnologija: elektrotehnika, hidro- i aerodinamika, teorija elastičnosti itd.

Kompleksni brojevi su napisane u obliku:a+bi. Evo a I b – realni brojevi , A i – imaginarna jedinica, tj. e. i 2 = –1. Broj a pozvao apscisa, a b – ordinatakompleksni broja + bi.Dva kompleksna brojaa+bi I a–bi su pozvani konjugirati kompleksni brojevi.

Glavni dogovori:

1. Realni brojAtakođe može biti napisan u formikompleksni broj:a + 0 i ili a – 0 i. Na primjer, zapisi 5 + 0i i 5 – 0 iznači isti broj 5 .

2. Kompleksni broj 0 + bipozvao čisto imaginarno broj. Zapisbiznači isto što i 0 + bi.

3. Dva kompleksna brojaa+bi Ic + dismatraju se jednakim akoa = c I b = d. Inače kompleksni brojevi nisu jednaki.

Dodatak. Zbir kompleksnih brojevaa+bi I c + dinaziva se kompleksnim brojem (a+c ) + (b+d ) i.dakle, prilikom dodavanja kompleksni brojevi, njihove apscise i ordinate se dodaju posebno.

Ova definicija odgovara pravilima za operacije sa običnim polinomima.

Oduzimanje. Razlika dva kompleksna brojaa+bi(smanjen) i c + di(subtrahend) se naziva kompleksnim brojem (a–c ) + (b–d ) i.

dakle, Prilikom oduzimanja dva kompleksna broja, njihove apscise i ordinate se oduzimaju odvojeno.

Množenje. Proizvod kompleksnih brojevaa+bi I c + di naziva se kompleksnim brojem:

(ac–bd ) + (ad+bc ) i.Ova definicija proizilazi iz dva zahtjeva:

1) brojevi a+bi I c + dimora se množiti kao algebarski binomi,

2) broj iima glavno svojstvo:i 2 = – 1.

PRIMJER ( a+ bi )(a–bi) = a 2 +b 2 . dakle, rad

dva konjugirana kompleksna broja jednaka je realnom

pozitivan broj.

Division. Podijelite kompleksan broja+bi (djeljivo) drugimc + di(razdjelnik) - znači pronaći treći broje + f i(chat), koji kada se pomnoži sa djeliteljemc + di, rezultira dividendoma + bi.

Ako djelitelj nije nula, dijeljenje je uvijek moguće.

PRIMJER Pronađite (8 +i ) : (2 – 3 i) .

Rješenje. Prepišimo ovaj omjer kao razlomak:

Množenjem brojioca i imenioca sa 2 + 3i

I Nakon što smo izvršili sve transformacije, dobijamo:

Geometrijski prikaz kompleksnih brojeva. Realni brojevi su predstavljeni tačkama na brojevnoj pravoj:

Ovdje je poenta Aznači broj –3, tačkaB– broj 2, i O- nula. Nasuprot tome, kompleksni brojevi su predstavljeni tačkama na koordinatnoj ravni. U tu svrhu biramo pravokutne (kartezijanske) koordinate sa istim razmjerima na obje ose. Zatim kompleksni broja+bi će biti predstavljena tačkom P sa apscisom a i ordinata b (vidi sliku). Ovaj koordinatni sistem se zove složena ravan .

Modul kompleksni broj je dužina vektoraOP, koji predstavlja kompleksan broj na koordinati ( sveobuhvatan) avion. Modul kompleksnog brojaa+bi označeno | a+bi| ili pismo r

Koji predstavlja dati kompleksni broj $z=a+bi$ naziva se modul datog kompleksnog broja.

Modul datog kompleksnog broja izračunava se pomoću sljedeće formule:

Primjer 1

Izračunajte modul datih kompleksnih brojeva $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Izračunavamo modul kompleksnog broja $z=a+bi$ koristeći formulu: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Za originalni kompleksni broj $z_(1) =13$ dobijamo $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Za originalni kompleksni broj $\, z_(2) =4i$ dobijamo $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Za originalni kompleksni broj $\, z_(3) =4+3i$ dobijamo $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definicija 2

Ugao $\varphi $ formiran pozitivnim smjerom realne ose i vektorom radijusa $\overrightarrow(OM) $, koji odgovara datom kompleksnom broju $z=a+bi$, naziva se argumentom ovog broja i je označen sa $\arg z$.

Napomena 1

Modul i argument datog kompleksnog broja se eksplicitno koriste kada se kompleksni broj predstavlja u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrijski oblik;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponencijalni oblik.

Primjer 2

Napišite kompleksni broj u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku, dat sljedećim podacima: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Zamijenite podatke $r=3;\varphi =\pi $ u odgovarajuće formule i dobijete:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrijski oblik

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponencijalni oblik.

2) Zamijenite podatke $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ u odgovarajuće formule i dobijete:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrijski oblik

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponencijalni oblik.

Primjer 3

Odredite modul i argument datih kompleksnih brojeva:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi)(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Modul i argument ćemo pronaći koristeći formule za pisanje datog kompleksnog broja u trigonometrijskom, odnosno eksponencijalnom obliku

\ \

1) Za originalni kompleksni broj $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ dobijamo $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Za početni kompleksni broj $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ mi dobiti $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Za početni kompleksni broj $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ dobijamo $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Za originalni kompleksni broj $z=13\cdot e^(i\pi ) $ dobijamo $r=13;\varphi =\pi $.

Argument $\varphi $ datog kompleksnog broja $z=a+bi$ može se izračunati korištenjem slijedeće formule:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

U praksi, za izračunavanje vrijednosti argumenta datog kompleksnog broja $z=a+bi$, obično se koristi formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

ili riješiti sistem jednačina

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Primjer 4

Izračunajte argument datih kompleksnih brojeva: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Pošto je $z=3$, onda je $a=3,b=0$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Pošto je $z=4i$, onda je $a=0,b=4$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Pošto je $z=1+i$, onda je $a=1,b=1$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja rješavanjem sistema (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(niz)\desno. .\]

Iz kursa trigonometrije je poznato da je $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ za ugao koji odgovara prvoj koordinatnoj četvrtini i jednak je $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Pošto je $z=-5$, onda je $a=-5,b=0$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Pošto je $z=-2i$, onda je $a=0,b=-2$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Napomena 2

Broj $z_(3)$ je predstavljen tačkom $(0;1)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(\pi )(2) $ prema napomeni 3.

Broj $z_(4)$ je predstavljen tačkom $(0;-1)$, dakle, dužina odgovarajućeg radijus vektora je 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ prema napomeni 3.

Broj $z_(5) $ predstavljen je tačkom $(2;2)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, tj. $r=2\sqrt(2) $, a argument $\varphi =\frac(\pi )(4) $ svojstvom pravouglog trougla.

Koji predstavlja dati kompleksni broj $z=a+bi$ naziva se modul datog kompleksnog broja.

Modul datog kompleksnog broja izračunava se pomoću sljedeće formule:

Primjer 1

Izračunajte modul datih kompleksnih brojeva $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Izračunavamo modul kompleksnog broja $z=a+bi$ koristeći formulu: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Za originalni kompleksni broj $z_(1) =13$ dobijamo $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Za originalni kompleksni broj $\, z_(2) =4i$ dobijamo $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Za originalni kompleksni broj $\, z_(3) =4+3i$ dobijamo $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definicija 2

Ugao $\varphi $ formiran pozitivnim smjerom realne ose i vektorom radijusa $\overrightarrow(OM) $, koji odgovara datom kompleksnom broju $z=a+bi$, naziva se argumentom ovog broja i je označen sa $\arg z$.

Napomena 1

Modul i argument datog kompleksnog broja se eksplicitno koriste kada se kompleksni broj predstavlja u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrijski oblik;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponencijalni oblik.

Primjer 2

Napišite kompleksni broj u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku, dat sljedećim podacima: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Zamijenite podatke $r=3;\varphi =\pi $ u odgovarajuće formule i dobijete:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrijski oblik

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponencijalni oblik.

2) Zamijenite podatke $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ u odgovarajuće formule i dobijete:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrijski oblik

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponencijalni oblik.

Primjer 3

Odredite modul i argument datih kompleksnih brojeva:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi)(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Modul i argument ćemo pronaći koristeći formule za pisanje datog kompleksnog broja u trigonometrijskom, odnosno eksponencijalnom obliku

\ \

1) Za originalni kompleksni broj $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ dobijamo $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Za početni kompleksni broj $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ mi dobiti $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Za početni kompleksni broj $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ dobijamo $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Za originalni kompleksni broj $z=13\cdot e^(i\pi ) $ dobijamo $r=13;\varphi =\pi $.

Argument $\varphi $ datog kompleksnog broja $z=a+bi$ može se izračunati korištenjem sljedećih formula:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

U praksi, za izračunavanje vrijednosti argumenta datog kompleksnog broja $z=a+bi$, obično se koristi formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

ili riješiti sistem jednačina

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Primjer 4

Izračunajte argument datih kompleksnih brojeva: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Pošto je $z=3$, onda je $a=3,b=0$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Pošto je $z=4i$, onda je $a=0,b=4$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Pošto je $z=1+i$, onda je $a=1,b=1$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja rješavanjem sistema (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(niz)\desno. .\]

Iz kursa trigonometrije je poznato da je $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ za ugao koji odgovara prvoj koordinatnoj četvrtini i jednak je $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Pošto je $z=-5$, onda je $a=-5,b=0$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Pošto je $z=-2i$, onda je $a=0,b=-2$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Napomena 2

Broj $z_(3)$ je predstavljen tačkom $(0;1)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(\pi )(2) $ prema napomeni 3.

Broj $z_(4)$ je predstavljen tačkom $(0;-1)$, dakle, dužina odgovarajućeg radijus vektora je 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ prema napomeni 3.

Broj $z_(5) $ predstavljen je tačkom $(2;2)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, tj. $r=2\sqrt(2) $, a argument $\varphi =\frac(\pi )(4) $ svojstvom pravouglog trougla.

Odgovara ovom broju: .
Modul kompleksnog broja z obično se označava sa | z| ili r.

Neka su i realni brojevi takvi da je kompleksan broj (uobičajena notacija). Onda

Wikimedia fondacija. 2010.

Pogledajte šta je "Modulus kompleksnog broja" u drugim rječnicima:

modul kompleksnog broja- kompleksinio skaičiaus modulis statusas T sritis fizika atitikmenys: engl. modul kompleksnog broja vok. Betrag der komplexen Zahl, m rus. modul kompleksnog broja, m pranc. module du nombre complexe, m … Fizikos terminų žodynas

- (modulus) Veličina broja u smislu njegove udaljenosti od 0. Modul, ili apsolutna vrijednost realnog broja x (označenog sa |x|), je razlika između x i 0, bez obzira na predznak. Dakle, ako je x0, onda |x|=x i ako je x 0, onda |x|=–x... Ekonomski rječnik

Za kompleksni broj pogledajte Apsolutna vrijednost. Modul prelaska iz sistema logaritama sa bazom a u sistem sa bazom b je broj 1/logab... Veliki enciklopedijski rječnik

Apsolutna vrijednost ili modul realnog ili kompleksnog broja x je udaljenost od x do početka. Tačnije: apsolutna vrijednost realnog broja x je nenegativan broj, označen sa |x| i definisan na sljedeći način: ... ... Wikipedia

Modul iz matematike, 1) M. (or apsolutna vrijednost) kompleksnog broja z = x + iy je broj ═ (koren se uzima sa znakom plus). Prilikom predstavljanja kompleksnog broja z u trigonometrijskom obliku z = r(cos j + i sin j) pravi broj r jednako......

- (u matematici) mjera za poređenje homogenih veličina i za izražavanje jedne od njih pomoću druge; m. je izražen kao broj. Rječnik strane reči, uključeno u ruski jezik. Pavlenkov F., 1907. MODUL (lat.). 1) broj koji se množi ... ... Rečnik stranih reči ruskog jezika

MODUL kompleksnog broja, vidi Apsolutna vrijednost (vidi APSOLUTNA VRIJEDNOST). Modul prelaska iz sistema logaritama sa bazom a u sistem sa bazom b je broj 1/logab... enciklopedijski rječnik

I Modul (od latinskog modulus mjera) u arhitekturi, konvencionalna jedinica usvojena za koordinaciju veličina dijelova zgrade ili kompleksa. U arhitekturi različitih naroda, u zavisnosti od karakteristika građevinske tehnologije i sastava građevina iza M...... Velika sovjetska enciklopedija

I; m. [od lat. mjera modula] 1. čega. Specijalista. Količina koja karakteriše l. imovine solidan. M. kompresija. M. elastičnost. 2. Math. Realni broj, apsolutna vrijednost negativnog ili pozitivnog broja. M. kompleksni broj. M... enciklopedijski rječnik

Numeričke karakteristike bilo koje matematike objekt. Obično je vrijednost M nenegativan realan broj, element koji ima određene karakteristike. svojstva određena svojstvima skupa objekata koji se razmatraju. Koncept M....... Mathematical Encyclopedia

Koji predstavlja dati kompleksni broj $z=a+bi$ naziva se modul datog kompleksnog broja.

Modul datog kompleksnog broja izračunava se pomoću sljedeće formule:

Primjer 1

Izračunajte modul datih kompleksnih brojeva $z_(1) =13,\, \, z_(2) =4i,\, \, \, z_(3) =4+3i$.

Izračunavamo modul kompleksnog broja $z=a+bi$ koristeći formulu: $r=\sqrt(a^(2) +b^(2) ) $.

Za originalni kompleksni broj $z_(1) =13$ dobijamo $r_(1) =|z_(1) |=|13+0i|=\sqrt(13^(2) +0^(2) ) = \sqrt (169) =13$

Za originalni kompleksni broj $\, z_(2) =4i$ dobijamo $r_(2) =|z_(2) |=|0+4i|=\sqrt(0^(2) +4^(2) ) = \sqrt(16) =4$

Za originalni kompleksni broj $\, z_(3) =4+3i$ dobijamo $r_(3) =|z_(3) |=|4+3i|=\sqrt(4^(2) +3^( 2) ) =\sqrt(16+9) =\sqrt(25) =5$

Definicija 2

Ugao $\varphi $ formiran pozitivnim smjerom realne ose i vektorom radijusa $\overrightarrow(OM) $, koji odgovara datom kompleksnom broju $z=a+bi$, naziva se argumentom ovog broja i je označen sa $\arg z$.

Napomena 1

Modul i argument datog kompleksnog broja se eksplicitno koriste kada se kompleksni broj predstavlja u trigonometrijskom ili eksponencijalnom obliku:

• $z=r\cdot (\cos \varphi +i\sin \varphi)$ - trigonometrijski oblik;
• $z=r\cdot e^(i\varphi ) $ - eksponencijalni oblik.

Primjer 2

Napišite kompleksni broj u trigonometrijskom i eksponencijalnom obliku, dat sljedećim podacima: 1) $r=3;\varphi =\pi $; 2) $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $.

1) Zamijenite podatke $r=3;\varphi =\pi $ u odgovarajuće formule i dobijete:

$z=3\cdot (\cos \pi +i\sin \pi)$ - trigonometrijski oblik

$z=3\cdot e^(i\pi ) $ - eksponencijalni oblik.

2) Zamijenite podatke $r=13;\varphi =\frac(3\pi )(4) $ u odgovarajuće formule i dobijete:

$z=13\cdot (\cos \frac(3\pi )(4) +i\sin \frac(3\pi )(4))$ - trigonometrijski oblik

$z=13\cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ - eksponencijalni oblik.

Primjer 3

Odredite modul i argument datih kompleksnih brojeva:

1) $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$; 2) $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$; 3) $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi)(4) ) $; 4) $z=13\cdot e^(i\pi ) $.

Modul i argument ćemo pronaći koristeći formule za pisanje datog kompleksnog broja u trigonometrijskom, odnosno eksponencijalnom obliku

\ \

1) Za originalni kompleksni broj $z=\sqrt(2) \cdot (\cos 2\pi +i\sin 2\pi)$ dobijamo $r=\sqrt(2) ;\varphi =2\pi $ .

2) Za početni kompleksni broj $z=\frac(5)(3) \cdot (\cos \frac(2\pi )(3) +i\sin \frac(2\pi )(3))$ mi dobiti $ r=\frac(5)(3) ;\varphi =\frac(2\pi )(3) $.

3) Za početni kompleksni broj $z=\sqrt(13) \cdot e^(i\frac(3\pi )(4) ) $ dobijamo $r=\sqrt(13) ;\varphi =\frac( 3\ pi )(4) $.

4) Za originalni kompleksni broj $z=13\cdot e^(i\pi ) $ dobijamo $r=13;\varphi =\pi $.

Argument $\varphi $ datog kompleksnog broja $z=a+bi$ može se izračunati korištenjem sljedećih formula:

\[\varphi =tg\frac(b)(a) ;\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ;\sin \varphi =\frac (b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) .\]

U praksi, za izračunavanje vrijednosti argumenta datog kompleksnog broja $z=a+bi$, obično se koristi formula:

$\varphi =\arg z=\left\(\begin(array)(c) (arctg\frac(b)(a) ,a\ge 0) \\ (arctg\frac(b)(a) +\ pi ,a

ili riješiti sistem jednačina

$\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(a)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) ) \\ (\sin \varphi = \frac(b)(\sqrt(a^(2) +b^(2) ) ) \end(array)\right. $. (**)

Primjer 4

Izračunajte argument datih kompleksnih brojeva: 1) $z=3$; 2) $z=4i$; 3) $z=1+i$; 4) $z=-5$; 5) $z=-2i$.

Pošto je $z=3$, onda je $a=3,b=0$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(3) =arctg0=0.\]

Pošto je $z=4i$, onda je $a=0,b=4$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(4)(0) =arctg(\infty)=\frac(\pi )(2).\]

Pošto je $z=1+i$, onda je $a=1,b=1$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja rješavanjem sistema (**):

\[\left\(\begin(array)(c) (\cos \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) =\frac(1)(\ sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \\ (\sin \varphi =\frac(1)(\sqrt(1^(2) +1^(2) ) ) = \frac(1)(\sqrt(2) ) =\frac(\sqrt(2) )(2) ) \end(niz)\desno. .\]

Iz kursa trigonometrije je poznato da je $\cos \varphi =\sin \varphi =\frac(\sqrt(2) )(2) $ za ugao koji odgovara prvoj koordinatnoj četvrtini i jednak je $\varphi =\frac (\pi )( 4) $.

Pošto je $z=-5$, onda je $a=-5,b=0$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(0)(-5) +\pi =arctg0+\pi =0+\pi =\pi .\]

Pošto je $z=-2i$, onda je $a=0,b=-2$. Izračunajmo argument originalnog kompleksnog broja koristeći formulu (*):

\[\varphi =\arg z=arctg\frac(-2)(0) =arctg(-\infty)=\frac(3\pi )(2) .\]

Napomena 2

Broj $z_(3)$ je predstavljen tačkom $(0;1)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(\pi )(2) $ prema napomeni 3.

Broj $z_(4)$ je predstavljen tačkom $(0;-1)$, dakle, dužina odgovarajućeg radijus vektora je 1, tj. $r=1$, a argument $\varphi =\frac(3\pi )(2) $ prema napomeni 3.

Broj $z_(5) $ predstavljen je tačkom $(2;2)$, stoga je dužina odgovarajućeg radijus vektora jednaka $\sqrt(2^(2) +2^(2) ) = \sqrt(4+4) = \sqrt(8) =2\sqrt(2) $, tj. $r=2\sqrt(2) $, a argument $\varphi =\frac(\pi )(4) $ svojstvom pravouglog trougla.