U članku o n-dimenzionalnim vektorima došli smo do koncepta linearnog prostora generiranog skupom n-dimenzionalnih vektora. Sada moramo razmotriti jednako važne koncepte, kao što su dimenzija i osnova vektorskog prostora. Oni su direktno povezani sa konceptom linearno nezavisnog sistema vektora, pa se dodatno preporučuje da se podsetite osnova ove teme.

Hajde da uvedemo neke definicije.

Definicija 1

Dimenzija vektorskog prostora– odgovarajući broj maksimalan broj linearno nezavisni vektori u ovom prostoru.

Definicija 2

Vektorska prostorna osnova– skup linearno nezavisnih vektora, uređenih i jednakih po broju dimenziji prostora.

Razmotrimo određeni prostor od n -vektora. Njegova dimenzija je shodno tome jednaka n. Uzmimo sistem n-jediničnih vektora:

e (1) = (1, 0, . . . 0) e (2) = (0, 1, . . , 0) e (n) = (0, 0, . . , 1)

Koristimo ove vektore kao komponente matrice A: to će biti jedinična matrica dimenzija n sa n. Rang ove matrice je n. Dakle, vektorski sistem e (1) , e (2) , . . . , e(n) je linearno nezavisna. U ovom slučaju, nemoguće je dodati jedan vektor sistemu a da se ne naruši njegova linearna nezavisnost.

Pošto je broj vektora u sistemu n, onda je dimenzija prostora n-dimenzionalnih vektora n, a jedinični vektori su e (1), e (2), . . . , e (n) su osnova specificiranog prostora.

Iz rezultirajuće definicije možemo zaključiti: bilo koji sistem n-dimenzionalnih vektora u kojem je broj vektora manji od n nije baza prostora.

Ako zamijenimo prvi i drugi vektor, dobićemo sistem vektora e (2) , e (1) , . . . , e (n) . To će također biti osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Kreirajmo matricu uzimajući vektore rezultirajućeg sistema kao njegove redove. Matrica se može dobiti iz matrice identiteta zamjenom prva dva reda, njen rang će biti n. Sistem e (2) , e (1) , . . . , e(n) je linearno nezavisna i osnova je n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Preuređivanjem drugih vektora u originalnom sistemu dobijamo drugu osnovu.

Možemo uzeti linearno nezavisan sistem vektora koji nisu jedinični, a on će takođe predstavljati osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora.

Definicija 3

Vektorski prostor sa dimenzijom n ima onoliko baza koliko ima linearno nezavisnih sistema n-dimenzionalnih vektora broja n.

Ravan je dvodimenzionalni prostor - njena osnova će biti bilo koja dva nekolinearna vektora. Osnova trodimenzionalnog prostora će biti bilo koja tri nekoplanarna vektora.

Razmotrimo primjenu ove teorije na konkretnim primjerima.

Primjer 1

Početni podaci: vektori

a = (3 , - 2 , 1) b = (2 , 1 , 2) c = (3 , - 1 , - 2)

Potrebno je utvrditi da li su navedeni vektori osnova trodimenzionalnog vektorskog prostora.

Rješenje

Da bismo riješili problem, proučavamo dati sistem vektora za linearnu zavisnost. Kreirajmo matricu u kojoj su redovi koordinate vektora. Odredimo rang matrice.

A = 3 2 3 - 2 1 - 1 1 2 - 2 A = 3 - 2 1 2 1 2 3 - 1 - 2 = 3 1 (- 2) + (- 2) 2 3 + 1 2 · (- 1) - 1 · 1 · 3 - (- 2) · 2 · (- 2) - 3 · 2 · (- 1) = = - 25 ≠ 0 ⇒ R a n k (A) = 3

Prema tome, vektori specificirani uslovom problema su linearno nezavisni, a njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova vektorskog prostora.

odgovor: naznačeni vektori su osnova vektorskog prostora.

Primjer 2

Početni podaci: vektori

a = (3, - 2, 1) b = (2, 1, 2) c = (3, - 1, - 2) d = (0, 1, 2)

Potrebno je utvrditi da li navedeni sistem vektora može biti osnova trodimenzionalnog prostora.

Rješenje

Sistem vektora specificiran u iskazu problema je linearno zavisan, jer maksimalni broj linearno nezavisnih vektora je 3. Dakle, navedeni sistem vektora ne može poslužiti kao osnova za trodimenzionalni vektorski prostor. Ali vrijedi napomenuti da je podsistem originalnog sistema a = (3, - 2, 1), b = (2, 1, 2), c = (3, - 1, - 2) osnova.

odgovor: naznačeni sistem vektora nije osnova.

Primjer 3

Početni podaci: vektori

a = (1, 2, 3, 3) b = (2, 5, 6, 8) c = (1, 3, 2, 4) d = (2, 5, 4, 7)

Mogu li oni biti osnova četverodimenzionalnog prostora?

Rješenje

Kreirajmo matricu koristeći koordinate datih vektora kao redove

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7

Koristeći Gaussovu metodu, određujemo rang matrice:

A = 1 2 3 3 2 5 6 8 1 3 2 4 2 5 4 7 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 1 - 1 1 0 1 - 2 1 ~ ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 - 2 - 1 ~ 1 2 3 3 0 1 0 2 0 0 - 1 - 1 0 0 0 1 ⇒ ⇒ R a n k (A) = 4

Shodno tome, sistem datih vektora je linearno nezavisan i njihov broj je jednak dimenziji vektorskog prostora – oni su osnova četvorodimenzionalnog vektorskog prostora.

odgovor: dati vektori su osnova četverodimenzionalnog prostora.

Primjer 4

Početni podaci: vektori

a (1) = (1 , 2 , - 1 , - 2) a (2) = (0 , 2 , 1 , - 3) a (3) = (1 , 0 , 0 , 5)

Da li oni čine osnovu prostora dimenzije 4?

Rješenje

Originalni sistem vektora je linearno nezavisan, ali broj vektora u njemu nije dovoljan da postane osnova četvorodimenzionalnog prostora.

odgovor: ne, nemaju.

Dekompozicija vektora u bazu

Pretpostavimo da su proizvoljni vektori e (1) , e (2) , . . . , e (n) su osnova n-dimenzionalnog vektorskog prostora. Dodajmo im određeni n-dimenzionalni vektor x →: rezultujući sistem vektora će postati linearno zavisan. Svojstva linearne zavisnosti govore da se barem jedan od vektora takvog sistema može linearno izraziti kroz ostale. Reformulišući ovu tvrdnju, možemo reći da se barem jedan od vektora linearno zavisnog sistema može proširiti na preostale vektore.

Tako smo došli do formulacije najvažnije teoreme:

Definicija 4

Bilo koji vektor n-dimenzionalnog vektorskog prostora može se jedinstveno razložiti u bazu.

Dokazi 1

Dokažimo ovu teoremu:

postavimo osnovu n-dimenzionalnog vektorskog prostora - e (1) , e (2) , . . . , e (n) . Učinimo sistem linearno zavisnim dodavanjem n-dimenzionalnog vektora x → na njega. Ovaj vektor se može linearno izraziti u terminima originalnih vektora e:

x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) , gdje je x 1 , x 2 , . . . , x n - neki brojevi.

Sada dokazujemo da je takva dekompozicija jedinstvena. Pretpostavimo da to nije slučaj i postoji još jedna slična dekompozicija:

x = x ~ 1 e (1) + x 2 ~ e (2) + . . . + x ~ n e (n) , gdje je x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n - neki brojevi.

Oduzmimo od lijeve i desne strane ove jednakosti, redom, lijevu i desnu stranu jednakosti x = x 1 · e (1) + x 2 · e (2) + . . . + x n · e (n) . Dobijamo:

0 = (x ~ 1 - x 1) · e (1) + (x ~ 2 - x 2) · e (2) + . . . (x ~ n - x n) e (2)

Sistem baznih vektora e (1) , e (2) , . . . , e(n) je linearno nezavisna; po definiciji linearne nezavisnosti sistema vektora, gornja jednakost je moguća samo kada su svi koeficijenti (x ~ 1 - x 1) , (x ~ 2 - x 2) , . . . , (x ~ n - x n) će biti jednako nuli. Od čega će biti pravedno: x 1 = x ~ 1, x 2 = x ~ 2, . . . , x n = x ~ n . I ovo dokazuje jedinu opciju za dekomponovanje vektora u bazu.

U ovom slučaju, koeficijenti x 1, x 2, . . . , x n nazivaju se koordinate vektora x → u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (n) .

Dokazana teorija jasno daje izraz „dat je n-dimenzionalni vektor x = (x 1, x 2, . . . , x n)”: razmatra se vektorski x → n-dimenzionalni vektorski prostor, a njegove koordinate su specificirane u određenu osnovu. Također je jasno da će isti vektor u drugoj bazi n-dimenzionalnog prostora imati različite koordinate.

Razmotrimo sljedeći primjer: pretpostavimo da je u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora dan sistem od n linearno nezavisnih vektora

a takođe je dat vektor x = (x 1 , x 2 , . . , x n).

Vektori e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) u ovom slučaju su također osnova ovog vektorskog prostora.

Pretpostavimo da je potrebno odrediti koordinate vektora x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) , označeno kao x ~ 1 , x ~ 2 , . . . , x ~ n.

Vektor x → će biti predstavljen na sljedeći način:

x = x ~ 1 e (1) + x ~ 2 e (2) + . . . + x ~ n e (n)

Zapišimo ovaj izraz u koordinatnom obliku:

(x 1 , x 2 , . . . , x n) = x ~ 1 (e (1) 1 , e (1) 2 , . . , e (1) n) + x ~ 2 (e (2 ) 1 , e (2) 2 , . . . , e (2) n) + . . . + + x ~ n · (e (n) 1 , e (n) 2 , . . , e (n) n) = = (x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + . . . + x ~ n e 1 (n) , x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + + . . . + x ~ n e 2 (n) , . . , x ~ 1 e n (1) + x ~ 2 e n (2) + ... + x ~ n e n (n))

Rezultirajuća jednakost je ekvivalentna sistemu od n linearnih algebarskih izraza sa n nepoznatih linearnih varijabli x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n:

x 1 = x ~ 1 e 1 1 + x ~ 2 e 1 2 + . . . + x ~ n e 1 n x 2 = x ~ 1 e 2 1 + x ~ 2 e 2 2 + . . . + x ~ n e 2 n ⋮ x n = x ~ 1 e n 1 + x ~ 2 e n 2 + . . . + x ~ n e n n

Matrica ovog sistema će imati sledeći oblik:

e 1 (1) e 1 (2) ⋯ e 1 (n) e 2 (1) e 2 (2) ⋯ e 2 (n) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e n (1) e n (2) ⋯ e n (n)

Neka je ovo matrica A, a njeni stupci su vektori linearno nezavisnog sistema vektora e 1 (1), e 2 (2), . . . , e n (n) . Rang matrice je n, a njena determinanta je različita od nule. To ukazuje da sistem jednačina ima jedinstveno rješenje, određeno bilo kojom prikladnom metodom: na primjer, Cramerovom metodom ili matričnom metodom. Na ovaj način možemo odrediti koordinate x ~ 1, x ~ 2, . . . , x ~ n vektor x → u bazi e 1 (1) , e 2 (2) , . . . , e n (n) .

Primijenimo razmatranu teoriju na konkretan primjer.

Primjer 6

Početni podaci: vektori su specificirani u bazi trodimenzionalnog prostora

e (1) = (1 , - 1 , 1) e (2) = (3 , 2 , - 5) e (3) = (2 , 1 , - 3) x = (6 , 2 , - 7)

Potrebno je potvrditi činjenicu da sistem vektora e (1), e (2), e (3) takođe služi kao osnova datog prostora, te odrediti koordinate vektora x u skladu sa po ovoj osnovi.

Rješenje

Sistem vektora e (1), e (2), e (3) biće osnova trodimenzionalnog prostora ako je linearno nezavisan. Otkrijmo ovu mogućnost određivanjem ranga matrice A čiji su redovi dati vektori e (1), e (2), e (3).

Koristimo Gaussovu metodu:

A = 1 - 1 1 3 2 - 5 2 1 - 3 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 3 - 5 ~ 1 - 1 1 0 5 - 8 0 0 - 1 5

R a n k (A) = 3 . Dakle, sistem vektora e (1), e (2), e (3) je linearno nezavisan i baza je.

Neka vektor x → ima koordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3 u bazi. Odnos između ovih koordinata određen je jednadžbom:

x 1 = x ~ 1 e 1 (1) + x ~ 2 e 1 (2) + x ~ 3 e 1 (3) x 2 = x ~ 1 e 2 (1) + x ~ 2 e 2 (2) + x ~ 3 e 2 (3) x 3 = x ~ 1 e 3 (1) + x ~ 2 e 3 (2) + x ~ 3 e 3 (3)

Primijenimo vrijednosti prema uslovima problema:

x ~ 1 + 3 x ~ 2 + 2 x ~ 3 = 6 - x ~ 1 + 2 x ~ 2 + x ~ 3 = 2 x ~ 1 - 5 x ~ 2 - 3 x 3 = - 7

Rešimo sistem jednačina koristeći Cramerovu metodu:

∆ = 1 3 2 - 1 2 1 1 - 5 - 3 = - 1 ∆ x ~ 1 = 6 3 2 2 2 1 - 7 - 5 - 3 = - 1 , x ~ 1 = ∆ x ~ 1 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 2 = 1 6 2 - 1 2 1 1 - 7 - 3 = - 1 , x ~ 2 = ∆ x ~ 2 ∆ = - 1 - 1 = 1 ∆ x ~ 3 = 1 3 6 - 1 2 2 1 - 5 - 7 = - 1 , x ~ 3 = ∆ x ~ 3 ∆ = - 1 - 1 = 1

Dakle, vektor x → u bazi e (1), e (2), e (3) ima koordinate x ~ 1 = 1, x ~ 2 = 1, x ~ 3 = 1.

odgovor: x = (1, 1, 1)

Odnos između baza

Pretpostavimo da su u nekoj bazi n-dimenzionalnog vektorskog prostora data dva linearno nezavisna sistema vektora:

c (1) = (c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) c (2) = (c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) ⋮ c (n) = (c 1 (n) , e 2 (n) , . . , c n (n))

e (1) = (e 1 (1) , e 2 (1) , . . , e n (1)) e (2) = (e 1 (2) , e 2 (2) , . . , e n (2)) ⋮ e (n) = (e 1 (n) , e 2 (n) , . . , e n (n))

Ovi sistemi su takođe baze datog prostora.

Neka je c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . . , c ~ n (1) - koordinate vektora c (1) u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) , tada će koordinatni odnos biti dat sistemom linearnih jednačina:

c 1 (1) = c ~ 1 (1) e 1 (1) + c ~ 2 (1) e 1 (2) + . . . + c ~ n (1) e 1 (n) c 2 (1) = c ~ 1 (1) e 2 (1) + c ~ 2 (1) e 2 (2) + . . . + c ~ n (1) e 2 (n) ⋮ c n (1) = c ~ 1 (1) e n (1) + c ~ 2 (1) e n (2) + . . . + c ~ n (1) e n (n)

Sistem se može predstaviti kao matrica na sljedeći način:

(c 1 (1) , c 2 (1) , . . , c n (1)) = (c ~ 1 (1) , c ~ 2 (1) , . . , c ~ n (1)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Napravimo isti unos za vektor c (2) po analogiji:

(c 1 (2) , c 2 (2) , . . , c n (2)) = (c ~ 1 (2) , c ~ 2 (2) , . . , c ~ n (2)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

(c 1 (n) , c 2 (n) , . . , c n (n)) = (c ~ 1 (n) , c ~ 2 (n) , . . , c ~ n (n)) e 1 (1) e 2 (1) … e n (1) e 1 (2) e 2 (2) … e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) … e n (n)

Kombinirajmo matrične jednakosti u jedan izraz:

c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n) c 2 (n) ⋯ c n (n) = c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n ) e 2 (n) ⋯ e n (n)

On će odrediti vezu između vektora dvije različite baze.

Koristeći isti princip, moguće je izraziti sve bazne vektore e(1), e(2), . . . , e (3) kroz bazu c (1) , c (2) , . . . , c (n) :

e 1 (1) e 2 (1) ⋯ e n (1) e 1 (2) e 2 (2) ⋯ e n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e 1 (n) e 2 (n) ⋯ e n (n) = e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) c 1 (1) c 2 (1) ⋯ c n (1) c 1 (2) c 2 (2) ⋯ c n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c 1 (n ) c 2 (n) ⋯ c n (n)

Dajemo sljedeće definicije:

Definicija 5

Matrica c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze e (1) , e (2) , . . . , e (3)

bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) .

Definicija 6

Matrica e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) je prijelazna matrica iz baze c (1) , c (2) , . . . , c(n)

bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) .

Iz ovih jednakosti je očigledno da

c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) e ~ 1 (1) e ~ 2 (1) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1 e ~ 1 (1) e (1) e ) ⋯ e ~ n (1) e ~ 1 (2) e ~ 2 (2) ⋯ e ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ e ~ 1 (n) e ~ 2 (n) ⋯ e ~ n (n ) · c ~ 1 (1) c ~ 2 (1) ⋯ c ~ n (1) c ~ 1 (2) c ~ 2 (2) ⋯ c ~ n (2) ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ c ~ 1 (n) c ~ 2 (n) ⋯ c ~ n (n) = 1 0 ⋯ 0 0 1 ⋯ 0 ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ 0 0 ⋯ 1

one. matrice prelaza su recipročne.

Pogledajmo teoriju na konkretnom primjeru.

Primjer 7

Početni podaci: potrebno je pronaći prijelaznu matricu iz baze

c (1) = (1 , 2 , 1) c (2) = (2 , 3 , 3) ​​c (3) = (3 , 7 , 1)

e (1) = (3 , 1 , 4) e (2) = (5 , 2 , 1) e (3) = (1 , 1 , - 6)

Također morate naznačiti odnos između koordinata proizvoljnog vektora x → u datim bazama.

Rješenje

1. Neka je T prijelazna matrica, tada će jednakost biti tačna:

3 1 4 5 2 1 1 1 1 = T 1 2 1 2 3 3 3 7 1

Pomnožite obje strane jednakosti sa

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobijamo:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

2. Definirajte prijelaznu matricu:

T = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 = = 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · - 18 5 3 7 - 2 - 1 5 - 1 - 1 = - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

3. Definirajmo odnos između koordinata vektora x → :

Pretpostavimo da je u bazi c (1) , c (2) , . . . , c (n) vektor x → ima koordinate x 1 , x 2 , x 3 , tada:

x = (x 1 , x 2 , x 3) 1 2 1 2 3 3 3 7 1 ,

a u bazi e (1) , e (2) , . . . , e (3) ima koordinate x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3, tada:

x = (x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Jer Ako su leve strane ovih jednakosti jednake, možemo izjednačiti i desne strane:

(x 1 , x 2 , x 3) · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6

Pomnožite obje strane na desnoj strani

1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1

i dobijamo:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · 3 1 4 5 2 1 1 1 - 6 · 1 2 1 2 3 3 3 7 1 - 1 ⇔ ⇔ ( x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) T ⇔ ⇔ (x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3 ) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Na drugoj strani

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Posljednje jednakosti pokazuju odnos između koordinata vektora x → u obje baze.

odgovor: tranziciona matrica

27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

Koordinate vektora x → u datim bazama povezane su relacijom:

(x 1 , x 2 , x 3) = (x ~ 1 , x ~ 2 , x ~ 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8

(x ~ 1, x ~ 2, x ~ 3) = (x 1, x 2, x 3) · - 27 9 4 - 71 20 12 - 41 9 8 - 1

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Linearna kombinacija vektora je vektor
, gdje su λ 1, ..., λ m proizvoljni koeficijenti.

Vektorski sistem
naziva se linearno zavisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , koji ima najmanje jedan koeficijent različit od nule.

Vektorski sistem
naziva se linearno nezavisnim ako je u bilo kojoj od njegovih linearnih kombinacija jednaka , svi koeficijenti su nula.

Osnova vektorskog sistema
poziva se njegov neprazan linearno nezavisan podsistem kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sistema.

Primjer 2. Naći osnovu sistema vektora = (1, 2, 2, 4),= (2, 3, 5, 1),= (3, 4, 8, -2),= (2, 5, 0, 3) i izraziti preostale vektore kroz bazu.

Rješenje: Gradimo matricu u kojoj su koordinate ovih vektora raspoređene u stupce. Dovodimo ga u postupni oblik.

~
~
~
.

Osnovu ovog sistema čine vektori ,,, koji odgovaraju vodećim elementima linija, istaknutim u krugovima. Da izrazim vektor riješiti jednačinu x 1 +x 2 + x 4 =. On se svodi na sistem linearnih jednadžbi, čija se matrica dobija iz originalne permutacije kolone koja odgovara , umjesto kolone slobodnih članova. Stoga, da bismo riješili sistem, koristimo rezultujuću matricu u postupnom obliku, praveći potrebna preuređivanja u njoj.

Dosljedno nalazimo:

x 1 + 4 = 3, x 1 = -1;

= -+2.

Napomena 1. Ako je potrebno izraziti više vektora kroz bazu, onda se za svaki od njih konstruiše odgovarajući sistem linearnih jednačina. Ovi sistemi će se razlikovati samo u kolonama slobodnih članova. Stoga, da biste ih riješili, možete kreirati jednu matricu, koja će imati nekoliko stupaca slobodnih pojmova. Štaviše, svaki sistem se rešava nezavisno od drugih.

Napomena 2. Za izražavanje bilo kojeg vektora dovoljno je koristiti samo bazne vektore sistema koji mu prethode. U ovom slučaju nema potrebe za preformatiranjem matrice, dovoljno je postaviti vertikalnu liniju na pravo mjesto.

Vježba 2. Pronađite osnovu sistema vektora i izrazite preostale vektore kroz bazu:

A) = (1, 3, 2, 0),= (3, 4, 2, 1),= (1, -2, -2, 1),= (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3),= (1, 2, 2, 3),= (3, -1, 2, 2),= (4, -2, 2, 2);

V) = (1, 2, 3),= (2, 4, 3),= (3, 6, 6),= (4, -2, 1);= (2, -6, -2).

1. 3. Osnovni sistem rješenja

Sistem linearnih jednačina naziva se homogenim ako su svi njegovi slobodni članovi jednaki nuli.

Osnovni sistem rješenja homogenog sistema linearnih jednačina je osnova skupa njegovih rješenja.

Neka nam bude dat nehomogen sistem linearnih jednačina. Homogeni sistem povezan sa datim je sistem dobijen iz datog zamenom svih slobodnih termina nulama.

Ako je nehomogeni sistem konzistentan i neodređen, tada njegovo proizvoljno rješenje ima oblik f n +  1 f o1 + ... +  k f o k, gdje je f n određeno rješenje nehomogenog sistema i f o1, ... , f o k je osnovna sistemska rješenja pridruženog homogenog sistema.

Primjer 3. Pronađite određeno rješenje za nehomogeni sistem iz primjera 1 i osnovni sistem rješenja pridruženog homogenog sistema.

Rješenje Zapišimo rješenje dobiveno u primjeru 1 u vektorskom obliku i razložimo rezultujući vektor u zbir slobodnih parametara prisutnih u njemu i fiksnih numeričkih vrijednosti:

= (x 1 , x 2 , x 3 , x 4) = (–2a + 7b – 2, a, –2b + 1, b) = (–2a, a, 0, 0) + (7b, 0, – 2b, b) + +(– 2, 0, 1, 0) = a(-2, 1, 0, 0) + b(7, 0, -2, 1) + (– 2, 0, 1, 0 ).

Dobijamo f n = (– 2, 0, 1, 0), f o1 = (-2, 1, 0, 0), f o2 = (7, 0, -2, 1).

Komentar. Slično se rješava i problem pronalaženja fundamentalnog sistema rješenja za homogeni sistem.

Vježba 3.1 Pronađite osnovni sistem rješenja homogenog sistema:

A)

b)

c) 2x 1 – x 2 +3x 3 = 0.

Vježba 3.2. Pronađite određeno rješenje za nehomogeni sistem i fundamentalni sistem rješenja pridruženog homogenog sistema:

A)

b)

Linearna zavisnost i linearnu nezavisnost vektora.
Osnova vektora. Afini koordinatni sistem

U gledalištu se nalaze kolica sa čokoladama, a svaki posjetitelj danas će dobiti slatki par - analitičku geometriju sa linearnom algebrom. Ovaj članak će se dotaknuti dva dijela više matematike odjednom, a mi ćemo vidjeti kako oni koegzistiraju u jednom omotu. Odmorite se, pojedite Twix! ...dovraga, kakva gomila gluposti. Mada, dobro, neću bodovati, na kraju treba imati pozitivan stav prema učenju.

Linearna zavisnost vektora, linearna vektorska nezavisnost, osnovu vektora a drugi pojmovi imaju ne samo geometrijsko tumačenje, već, prije svega, algebarsko značenje. Sam koncept "vektora" sa stanovišta linearne algebre nije uvijek "običan" vektor koji možemo prikazati na ravni ili u prostoru. Ne morate daleko tražiti dokaz, pokušajte nacrtati vektor petodimenzionalnog prostora . Ili vremenski vektor, po koji sam upravo otišao u Gismeteo: temperatura i atmosferski pritisak, respektivno. Primjer je, naravno, netačan sa stanovišta svojstava vektorskog prostora, ali, ipak, niko ne zabranjuje formaliziranje ovih parametara kao vektora. Dah jeseni...

Ne, neću da vas zamaram teorijom, linearni vektorski prostori, zadatak je da razumeti definicije i teoreme. Novi pojmovi (linearna zavisnost, nezavisnost, linearna kombinacija, baza, itd.) se odnose na sve vektore sa algebarske tačke gledišta, ali će biti dati geometrijski primeri. Dakle, sve je jednostavno, dostupno i jasno. Pored problema analitičke geometrije, razmotrićemo i neke tipične probleme algebre. Da biste savladali gradivo, preporučljivo je da se upoznate sa lekcijama Vektori za lutke I Kako izračunati determinantu?

Linearna zavisnost i nezavisnost ravnih vektora.
Ravan baza i afini koordinatni sistem

Razmotrimo ravan vašeg kompjuterskog stola (samo sto, noćni ormarić, pod, plafon, šta god želite). Zadatak će se sastojati od sljedećih radnji:

1) Odaberite osnovu ravni. Grubo govoreći, ploča stola ima dužinu i širinu, tako da je intuitivno da će za konstruiranje osnove biti potrebna dva vektora. Jedan vektor očigledno nije dovoljan, tri vektora su previše.

2) Na osnovu odabrane osnove postaviti koordinatni sistem(koordinatna mreža) za dodjelu koordinata svim objektima na stolu.

Nemojte se iznenaditi, u početku će vam objašnjenja biti na prstima. Štaviše, na vašem. Molimo postavite lijevi kažiprst na rubu stola tako da gleda u monitor. Ovo će biti vektor. Sad mjesto desni mali prst na ivici stola na isti način - tako da je usmjeren prema ekranu monitora. Ovo će biti vektor. Nasmiješite se, izgledate sjajno! Šta možemo reći o vektorima? Vektori podataka kolinearno, što znači linearno izraženi jedno kroz drugo:
, pa, ili obrnuto: , gdje je neki broj različit od nule.

Sliku ove akcije možete vidjeti u razredu. Vektori za lutke, gdje sam objasnio pravilo za množenje vektora brojem.

Hoće li vaši prsti postaviti osnovu na ravan kompjuterskog stola? Očigledno ne. Kolinearni vektori putuju naprijed-nazad poprijeko sam smjer, a ravan ima dužinu i širinu.

Takvi vektori se nazivaju linearno zavisna.

referenca: Riječi "linearno", "linearno" označavaju činjenicu da u matematičkim jednačinama i izrazima nema kvadrata, kocke, drugih potencija, logaritma, sinusa itd. Postoje samo linearni (1. stepen) izrazi i zavisnosti.

Dva ravan vektora linearno zavisna ako i samo ako su kolinearni.

Prekrižite prste na stolu tako da između njih postoji bilo koji ugao osim 0 ili 180 stepeni. Dva ravan vektoralinearno Ne zavisne ako i samo ako nisu kolinearne. Dakle, osnova je dobijena. Nema potrebe da se sramite što se osnova pokazalo da je "iskrivljena" neokomitim vektorima različitih dužina. Vrlo brzo ćemo vidjeti da nije samo ugao od 90 stepeni pogodan za njegovu konstrukciju, a ne samo jedinični vektori jednake dužine

Bilo koji ravan vektor jedini način proširuje se prema osnovi:
, gdje su realni brojevi. Zovu se brojevi vektorske koordinate u ovoj osnovi.

Takođe se kaže da vektorpredstavljen kao linearna kombinacija baznih vektora. To jest, izraz se zove vektorska dekompozicijapo osnovu ili linearna kombinacija baznih vektora.

Na primjer, možemo reći da je vektor dekomponovan duž ortonormalne osnove ravni, ili možemo reći da je predstavljen kao linearna kombinacija vektora.

Hajde da formulišemo definicija osnove formalno: Osnova aviona naziva se par linearno nezavisnih (nekolinearnih) vektora, , pri čemu bilo koji ravan vektor je linearna kombinacija baznih vektora.

Bitna tačka definicije je činjenica da su vektori uzeti određenim redosledom. Baze – ovo su dvije potpuno različite baze! Kako kažu, ne možete zamijeniti mali prst lijeve ruke umjesto malog prsta desne ruke.

Shvatili smo osnovu, ali nije dovoljno postaviti koordinatnu mrežu i dodijeliti koordinate svakoj stavci na vašem kompjuterskom stolu. Zašto to nije dovoljno? Vektori su slobodni i lutaju po cijeloj ravni. Kako onda dodijeliti koordinate tim malim prljavim mjestima na stolu zaostalim od divljeg vikenda? Potrebna je polazna tačka. A takav orijentir je svima poznata tačka - ishodište koordinata. Hajde da razumemo koordinatni sistem:

Počeću sa “školskim” sistemom. Već u uvodnoj lekciji Vektori za lutke Naglasio sam neke razlike između pravokutnog koordinatnog sistema i ortonormalne baze. Evo standardne slike:

Kada pričaju o tome pravougaoni koordinatni sistem, tada najčešće označavaju ishodište koordinata, koordinatne ose i skalirati duž osi. Pokušajte da upišete "pravougaoni koordinatni sistem" u pretraživač i videćete da će vam mnogi izvori reći o koordinatnim osama poznatim iz 5.-6. razreda i kako da iscrtate tačke na ravni.

S druge strane, izgleda da pravougaoni sistem koordinate se mogu u potpunosti odrediti putem ortonormalne baze. I to je skoro tačno. Formulacija je sljedeća:

porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni koordinatni sistem . Odnosno, pravougaoni koordinatni sistem definitivno definiran je jednom tačkom i dva jedinična ortogonalna vektora. Zato vidite crtež koji sam dao gore - u geometrijskim problemima često se (ali ne uvijek) crtaju i vektori i koordinatne ose.

Mislim da svi razumiju da se koristi tačka (poreklo) i ortonormalna osnova BILO KOJA TAČKA na ravni i BILO KOJI VEKTOR na ravni koordinate se mogu dodijeliti. Slikovito rečeno, „sve u avionu može biti numerisano“.

Da li je potrebno da koordinatni vektori budu jedinični? Ne, mogu imati proizvoljnu dužinu različitu od nule. Razmotrite tačku i dva ortogonalni vektor proizvoljna dužina različita od nule:

Takva osnova se zove ortogonalno. Porijeklo koordinata sa vektorima definirano je koordinatnom mrežom, a svaka tačka na ravni, svaki vektor ima svoje koordinate u datoj bazi. Na primjer, ili. Očigledna neugodnost je što su koordinatni vektori Uglavnom imaju različite dužine osim jedinice. Ako su dužine jednake jedinici, onda se dobija uobičajena ortonormalna baza.

! Bilješka : u ortogonalnoj bazi, kao i ispod u afinim bazama ravni i prostora, razmatraju se jedinice duž osi CONDITIONAL. Na primjer, jedna jedinica duž x-ose sadrži 4 cm, a jedna jedinica duž ordinatne ose sadrži 2 cm. Ova informacija je dovoljna da, ako je potrebno, pretvorimo „nestandardne“ koordinate u „naše uobičajene centimetre“.

I drugo pitanje, na koje je zapravo već odgovoreno, je da li ugao između baznih vektora mora biti jednak 90 stepeni? Ne! Kao što definicija kaže, osnovni vektori moraju biti samo nekolinearno. Shodno tome, ugao može biti bilo koji osim 0 i 180 stepeni.

Pozvana je tačka na avionu porijeklo, And nekolinearno vektori, , set afine ravni koordinatni sistem :

Ponekad se takav koordinatni sistem naziva koso sistem. Kao primjeri, crtež prikazuje tačke i vektore:

Kao što razumijete, afini koordinatni sistem je još manje zgodan; formule za dužine vektora i segmenata, o kojima smo govorili u drugom dijelu lekcije, ne rade u njemu Vektori za lutke, mnoge ukusne formule vezane za skalarni proizvod vektora. Ali vrijede pravila za sabiranje vektora i množenje vektora brojem, formule za dijeljenje segmenta u ovoj relaciji, kao i neke druge vrste problema koje ćemo uskoro razmotriti.

I zaključak je da je to najpogodniji poseban slučaj afini sistem koordinate su kartezijanski pravougaoni sistem. Zato je najčešće moraš viđati, draga moja. ...Međutim, sve je u ovom životu relativno - postoje mnoge situacije u kojima kosi ugao (ili neki drugi, npr. polar) koordinatni sistem. I humanoidima bi se takvi sistemi mogli svidjeti =)

Pređimo na praktični dio. Svi problemi u ovoj lekciji važe i za pravougaoni koordinatni sistem i za opšti afini slučaj. Ovdje nema ništa komplikovano, sav materijal je dostupan čak i školarcu.

Kako odrediti kolinearnost ravnih vektora?

Tipična stvar. Za dva ravan vektora bile kolinearne, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne U suštini, ovo je koordinata po koordinata detalji očiglednog odnosa.

Primjer 1

a) Provjerite jesu li vektori kolinearni .
b) Da li vektori čine osnovu? ?

Rješenje:
a) Hajde da saznamo da li postoji za vektore koeficijent proporcionalnosti, takav da su jednakosti zadovoljene:

Definitivno ću vam reći o "foppish" verziji primjene ovog pravila, koja prilično dobro funkcionira u praksi. Ideja je da odmah napravite proporciju i vidite da li je tačna:

Napravimo proporciju iz omjera odgovarajućih koordinata vektora:

skratimo:
, tako da su odgovarajuće koordinate proporcionalne, dakle,

Odnos bi se mogao napraviti i obrnuto; ovo je ekvivalentna opcija:

Za samotestiranje možete koristiti činjenicu da su kolinearni vektori linearno izraženi jedan kroz drugi. U ovom slučaju dolazi do jednakosti . Njihova pravednost se lako provjerava osnovne radnje sa vektorima:

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Ispitujemo kolinearnost vektora . Kreirajmo sistem:

Iz prve jednačine slijedi da , iz druge jednačine slijedi da , što znači sistem je nedosledan(nema rješenja). Dakle, odgovarajuće koordinate vektora nisu proporcionalne.

Zaključak: vektori su linearno nezavisni i čine osnovu.

Pojednostavljena verzija rješenja izgleda ovako:

Napravimo proporciju iz odgovarajućih koordinata vektora :
, što znači da su ovi vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

Obično ovu opciju recenzenti ne odbijaju, ali problem nastaje u slučajevima kada su neke koordinate jednake nuli. Volim ovo: . ili ovako: . ili ovako: . Kako ovdje raditi kroz proporciju? (zaista, ne možete dijeliti sa nulom). Iz tog razloga sam pojednostavljeno rješenje nazvao “foppish”.

odgovor: a) , b) oblik.

Mala kreativni primjer Za nezavisna odluka:

Primjer 2

Na kojoj vrijednosti parametra su vektori hoće li biti kolinearni?

U otopini uzorka, parametar se nalazi kroz proporciju.

Postoji elegantan algebarski način za provjeru kolinearnosti vektora. Hajde da sistematizujemo naše znanje i dodamo ga kao petu tačku:

Za dva ravan vektora sljedeće izjave su ekvivalentne:

2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu kolinearni;

+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora nije nula.

odnosno sljedeće suprotne izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno zavisni;
2) vektori ne čine osnovu;
3) vektori su kolinearni;
4) vektori se mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
+ 5) determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka je nuli.

Stvarno se nadam da ste do sada već razumjeli sve pojmove i izjave na koje ste se susreli.

Pogledajmo izbliza novu, petu tačku: dva ravan vektora su kolinearni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli:. Da biste primijenili ovu funkciju, naravno, morate biti u mogućnosti pronađite odrednice.

Hajde da odlučimo Primjer 1 na drugi način:

a) Izračunajmo determinantu koju čine koordinate vektora :
, što znači da su ovi vektori kolinearni.

b) Dva ravan vektora čine osnovu ako nisu kolinearni (linearno nezavisni). Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate :
, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu.

odgovor: a) , b) oblik.

Izgleda mnogo kompaktnije i ljepše od rješenja s proporcijama.

Uz pomoć razmatranog materijala moguće je utvrditi ne samo kolinearnost vektora, već i dokazati paralelizam segmenata i pravih linija. Razmotrimo nekoliko problema s određenim geometrijskim oblicima.

Primjer 3

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao paralelogram.

Dokaz: Nema potrebe praviti crtež u problemu, jer će rješenje biti čisto analitičko. Prisjetimo se definicije paralelograma:
Paralelogram Četvorougao čije su suprotne strane paralelne u parovima naziva se.

Dakle, potrebno je dokazati:
1) paralelizam suprotnih strana i;
2) paralelizam suprotnih strana i.

dokazujemo:

1) Pronađite vektore:

2) Pronađite vektore:

Rezultat je isti vektor („prema školi“ – jednaki vektori). Kolinearnost je prilično očigledna, ali je bolje formalizirati odluku jasno, sa dogovorom. Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate:
, što znači da su ovi vektori kolinearni, i .

Zaključak: Suprotne strane četvorougla su paralelne u parovima, što znači da je po definiciji paralelogram. Q.E.D.

Više dobrih i drugačijih figura:

Primjer 4

Dati su vrhovi četvorougla. Dokazati da je četverougao trapez.

Za rigorozniju formulaciju dokaza bolje je, naravno, dobiti definiciju trapeza, ali dovoljno je samo zapamtiti kako on izgleda.

Ovo je zadatak koji treba da rešite sami. Potpuno rješenje na kraju lekcije.

A sada je vrijeme da se polako krećemo iz aviona u svemir:

Kako odrediti kolinearnost vektora prostora?

Pravilo je vrlo slično. Da bi dva vektora prostora bila kolinearna, potrebno je i dovoljno da im odgovarajuće koordinate budu proporcionalne.

Primjer 5

Saznajte jesu li sljedeći prostorni vektori kolinearni:

A) ;
b)
V)

Rješenje:
a) Provjerimo postoji li koeficijent proporcionalnosti za odgovarajuće koordinate vektora:

Sistem nema rješenja, što znači da vektori nisu kolinearni.

“Pojednostavljeno” se formalizira provjerom proporcije. U ovom slučaju:
– odgovarajuće koordinate nisu proporcionalne, što znači da vektori nisu kolinearni.

odgovor: vektori nisu kolinearni.

b-c) Ovo su bodovi za nezavisnu odluku. Isprobajte na dva načina.

Postoji metoda za provjeru kolinearnosti prostornih vektora putem determinante trećeg reda, ovu metodu obrađeno u članku Vektorski proizvod vektora.

Slično kao u slučaju ravni, razmatrani alati se mogu koristiti za proučavanje paralelizma prostornih segmenata i pravih linija.

Dobrodošli u drugu sekciju:

Linearna zavisnost i nezavisnost vektora u trodimenzionalnom prostoru.
Prostorna osnova i afini koordinatni sistem

Mnogi uzorci koje smo ispitivali u avionu važiće za svemir. Pokušao sam da minimiziram teorijske bilješke, jer je lavovski dio informacija već sažvakan. Ipak, preporučujem da pažljivo pročitate uvodni dio, jer će se pojaviti novi pojmovi i koncepti.

Sada, umjesto ravni kompjuterskog stola, istražujemo trodimenzionalni prostor. Prvo, napravimo njegovu osnovu. Neko je sada unutra, neko napolju, ali u svakom slučaju ne možemo pobeći od tri dimenzije: širine, dužine i visine. Stoga će za konstruiranje osnove biti potrebna tri prostorna vektora. Jedan ili dva vektora nisu dovoljni, četvrti je suvišan.

I opet se grijemo na prstima. Molimo podignite ruku i raširite je u različitim smjerovima palac, kažiprst i srednji prst. To će biti vektori, oni gledaju u različitim smjerovima, imaju različite dužine i imaju različite uglove između sebe. Čestitamo, osnova trodimenzionalnog prostora je spremna! Uzgred, nema potrebe to demonstrirati nastavnicima, ma koliko jako uvijali prste, ali od definicija nema bijega =)

Zatim, postavimo sebi važno pitanje: da li bilo koja tri vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora? Čvrsto pritisnite tri prsta na vrh računarskog stola. Šta se desilo? Tri vektora se nalaze u istoj ravni i, grubo rečeno, izgubili smo jednu od dimenzija - visinu. Takvi vektori su komplanarno i, sasvim je očigledno da osnova trodimenzionalnog prostora nije stvorena.

Treba napomenuti da koplanarni vektori ne moraju ležati u istoj ravni, mogu biti u paralelnim ravnima (samo nemojte to raditi prstima, samo je Salvador Dali to uradio =)).

Definicija: vektori se nazivaju komplanarno, ako postoji ravan s kojom su paralelne. Logično je ovdje dodati da ako takva ravan ne postoji, onda vektori neće biti komplanarni.

Tri koplanarna vektora su uvijek linearno zavisna, odnosno linearno su izražene jedna kroz drugu. Radi jednostavnosti, zamislimo opet da leže u istoj ravni. Prvo, vektori nisu samo koplanarni, oni mogu biti i kolinearni, a zatim se svaki vektor može izraziti kroz bilo koji vektor. U drugom slučaju, ako, na primjer, vektori nisu kolinearni, onda se treći vektor izražava kroz njih na jedinstven način: (a zašto je lako pogoditi iz materijala u prethodnom odeljku).

Vrijedi i obrnuto: tri nekoplanarna vektora su uvijek linearno nezavisna, odnosno ni na koji način se ne izražavaju jedno kroz drugo. I, očigledno, samo takvi vektori mogu činiti osnovu trodimenzionalnog prostora.

Definicija: Osnova trodimenzionalnog prostora naziva se trojka linearno nezavisnih (nekomplanarnih) vektora, uzeti određenim redosledom, i bilo koji vektor prostora jedini način se dekomponuje na datu bazu, gdje su koordinate vektora u ovoj bazi

Da vas podsjetim da možemo reći i da je vektor predstavljen u obliku linearna kombinacija baznih vektora.

Koncept koordinatnog sistema se uvodi na potpuno isti način kao i za ravan; dovoljna je jedna tačka i bilo koja tri linearno nezavisna vektora:

porijeklo, And nekoplanarni vektori, uzeti određenim redosledom, set afini koordinatni sistem trodimenzionalnog prostora :

Naravno, koordinatna mreža je „kosa“ i nezgodna, ali, ipak, konstruisani koordinatni sistem nam omogućava definitivno odrediti koordinate bilo kojeg vektora i koordinate bilo koje tačke u prostoru. Slično ravni, neke formule koje sam već spomenuo neće raditi u afinom koordinatnom sistemu prostora.

Najpoznatiji i najprikladniji specijalni slučaj afinog koordinatnog sistema, kao što svi nagađaju, jeste pravougaoni prostorni koordinatni sistem:

Tačka u prostoru tzv porijeklo, And ortonormalno osnova je postavljena Kartezijanski pravougaoni prostorni koordinatni sistem . Poznata slika:

Prije nego što pređemo na praktične zadatke, ponovo sistematizujmo informacije:

Za tri vektora prostora sljedeće izjave su ekvivalentne:
1) vektori su linearno nezavisni;
2) vektori čine osnovu;
3) vektori nisu komplanarni;
4) vektori se ne mogu linearno izraziti jedan kroz drugi;
5) determinanta, sastavljena od koordinata ovih vektora, je različita od nule.

Mislim da su suprotne izjave razumljive.

Linearna zavisnost/nezavisnost vektora prostora tradicionalno se provjerava pomoću determinante (tačka 5). Preostali praktični zadaci će biti naglašene algebarske prirode. Vrijeme je da okačite geometrijski štap i rukujete bejzbol palicom linearne algebre:

Tri vektora prostora su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata datih vektora jednaka nuli: .

Skrenuo bih vašu pažnju na malu tehničku nijansu: koordinate vektora mogu se pisati ne samo u stupcima, već iu redovima (vrijednost determinante se zbog toga neće promijeniti - pogledajte svojstva determinanti). Ali mnogo je bolji u kolonama, jer je korisniji za rješavanje nekih praktičnih problema.

Za one čitaoce koji su malo zaboravili metode računanja determinanti, ili ih možda uopće slabo razumiju, preporučujem jednu od mojih najstarijih lekcija: Kako izračunati determinantu?

Primjer 6

Provjerite da li sljedeći vektori čine osnovu trodimenzionalnog prostora:

Rješenje: Zapravo, cijelo rješenje se svodi na izračunavanje determinante.

a) Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate (determinanta je otkrivena u prvom redu):

, što znači da su vektori linearno nezavisni (ne komplanarni) i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

Odgovori: ovi vektori čine osnovu

b) Ovo je tačka za nezavisnu odluku. Potpuno rješenje i odgovor na kraju lekcije.

Tu su i kreativni zadaci:

Primjer 7

Pri kojoj vrijednosti parametra će vektori biti komplanarni?

Rješenje: Vektori su komplanarni ako i samo ako je determinanta sastavljena od koordinata ovih vektora jednaka nuli:

U suštini, trebate riješiti jednačinu s determinantom. Spuštamo se na nule kao zmajevi na jerboe - najbolje je otvoriti odrednicu u drugom redu i odmah se riješiti minusa:

Provodimo daljnja pojednostavljenja i stvar svedemo na najjednostavniju linearnu jednačinu:

Odgovori: at

Ovdje je lako provjeriti; da biste to učinili, trebate zamijeniti rezultirajuću vrijednost u originalnu determinantu i osigurati da , otvarajući ga ponovo.

U zaključku ćemo razmotriti još jedan tipičan problem, koji je više algebarske prirode i tradicionalno je uključen u kurs linearne algebre. Toliko je uobičajeno da zaslužuje svoju temu:

Dokazati da 3 vektora čine osnovu trodimenzionalnog prostora
i pronađite koordinate 4. vektora u ovoj bazi

Primjer 8

Dati su vektori. Pokažite da vektori čine osnovu u trodimenzionalnom prostoru i pronađite koordinate vektora u ovoj bazi.

Rješenje: Prvo da se pozabavimo uslovom. Pod uslovom su data četiri vektora i, kao što vidite, već imaju koordinate u nekoj bazi. Šta je to osnova nas ne zanima. I sljedeća stvar je zanimljiva: tri vektora mogu stvoriti novu osnovu. A prva faza se potpuno poklapa sa rješenjem primjera 6; potrebno je provjeriti da li su vektori zaista linearno nezavisni:

Izračunajmo determinantu koju čine vektorske koordinate:

, što znači da su vektori linearno nezavisni i čine osnovu trodimenzionalnog prostora.

! Bitan : vektorske koordinate Neophodno zapiši u kolone determinanta, ne u nizovima. U suprotnom će doći do zabune u daljem algoritmu rješenja.

Definicija osnove. Sistem vektora čini osnovu ako:

1) linearno je nezavisna,

2) bilo koji vektor prostora može se linearno izraziti kroz njega.

Primjer 1. Osnova prostora: .

2. U vektorskom sistemu osnova su vektori: , jer linearno izraženo u terminima vektora.

Komentar. Da biste pronašli osnovu datog sistema vektora potrebno je:

1) upisati koordinate vektora u matricu,

2) koristeći elementarne transformacije, dovesti matricu u trouglasti oblik,

3) različiti od nule redovi matrice će biti osnovu sistema,

4) broj vektora u bazi je jednak rangu matrice.

Kronecker-Capelli teorem

Kronecker-Capelli teorema daje sveobuhvatan odgovor na pitanje kompatibilnosti proizvoljnog sistema linearnih jednadžbi s nepoznatim

Kronecker–Capelli teorem. Sistem linearnih algebarskih jednadžbi je konzistentan ako i samo ako je rang proširene matrice sistema jednak rangu glavne matrice, .

Algoritam za pronalaženje svih rješenja za simultani sistem linearnih jednačina slijedi iz Kronecker–Capelli teoreme i sljedećih teorema.

Teorema. Ako je rang zglobnog sistema jednak broju nepoznanice, onda sistem ima jedinstveno rješenje.

Teorema. Ako je rang zajedničkog sistema manji od broja nepoznatih, onda sistem ima beskonačan broj rješenja.

Algoritam za rješavanje proizvoljnog sistema linearnih jednačina:

1. Pronađite rangove glavne i proširene matrice sistema. Ako nisu jednaki (), onda je sistem nekonzistentan (nema rješenja). Ako su rangovi jednaki ( , onda je sistem konzistentan.

2. Za zajednički sistem nalazimo neki minor, čiji redosled određuje rang matrice (takav minor se naziva osnovnim). Hajde da komponujemo novi sistem Od jednadžbi u kojima su koeficijenti nepoznatih uključeni u osnovni minor (ove nepoznate se nazivaju glavnim nepoznanicama), odbacujemo preostale jednačine. Glavne nepoznanice sa koeficijentima ostavićemo na lijevoj strani, a preostale nepoznanice (one se nazivaju slobodne nepoznanice) premjestit ćemo na desnu stranu jednačine.

3. Nađimo izraze za glavne nepoznanice u terminima slobodnih. Dobijamo opšte rešenje sistema.

4. Davanjem proizvoljnih vrijednosti slobodnim nepoznanicama, dobijamo odgovarajuće vrijednosti glavnih nepoznatih. Na ovaj način nalazimo parcijalna rješenja originalnog sistema jednačina.

Linearno programiranje. Osnovni koncepti

Linearno programiranje je grana matematičkog programiranja koja proučava metode za rješavanje ekstremnih problema koje karakterizira linearni odnos između varijabli i linearnog kriterija.

Neophodan uslov za postavljanje problema linearnog programiranja su ograničenja dostupnosti resursa, količine potražnje, proizvodnog kapaciteta preduzeća i drugih faktora proizvodnje.

Suština linearnog programiranja je pronaći tačke najvećeg ili najniža vrijednost neka funkcija pod određenim skupom ograničenja nametnutih argumentima i formiranju sistem ograničenja , koji po pravilu ima beskonačan broj rješenja. Svaki skup varijabilnih vrijednosti (argumenata funkcije F ) koji zadovoljavaju sistem ograničenja naziva se važeći plan problemi linearnog programiranja. Funkcija F , čiji je maksimum ili minimum određen se zove ciljna funkcija zadataka. Izvodljiv plan u kojem se postiže maksimum ili minimum funkcije F , zvao optimalan plan zadataka.

Sistem ograničenja koji određuje mnoge planove diktiraju proizvodni uslovi. Problem linearnog programiranja ( ZLP ) je izbor najprofitabilnijeg (optimalnog) iz niza izvodljivih planova.

U svojoj opštoj formulaciji, problem linearnog programiranja izgleda ovako:

Postoje li varijable? x = (x 1, x 2, ... x n) i funkcija ovih varijabli f(x) = f (x 1, x 2, ... x n) , koji se zove cilj funkcije. Postavljen je zadatak: pronaći ekstrem (maksimum ili minimum) funkcije cilja f(x) pod uslovom da su varijable x pripadaju nekom području G :

Ovisno o vrsti funkcije f(x) i regionima G i razlikuju sekcije matematičkog programiranja: kvadratno programiranje, konveksno programiranje, cjelobrojno programiranje, itd. Linearno programiranje karakteriše činjenica da
a) funkcija f(x) je linearna funkcija varijabli x 1, x 2, … x n
b) region G određuje sistem linearno jednakosti ili nejednakosti.

U geometriji, vektor se shvata kao usmereni segment, sa vektorima dobijenim jedan od drugog paralelni transfer, smatraju se jednakim. Svi jednaki vektori se tretiraju kao isti vektor. Izvor vektora se može postaviti u bilo koju tačku u prostoru ili ravni.

Ako su koordinate krajeva vektora date u prostoru: A(x 1 , y 1 , z 1), B(x 2 , y 2 , z 2), zatim

= (x 2 – x 1 , y 2 – y 1 , z 2 – z 1). (1)

Slična formula vrijedi i za avion. To znači da se vektor može napisati kao koordinatna linija. Operacije nad vektorima, kao što su sabiranje i množenje brojem, na nizovima se izvode komponentno. Ovo omogućava proširenje koncepta vektora, razumijevajući vektor kao bilo koji niz brojeva. Na primjer, rješavanje sistema linearnih jednačina, kao i bilo kojeg skupa vrijednosti sistemske varijable, može se smatrati vektorom.

Na nizovima iste dužine, operacija sabiranja se izvodi prema pravilu

(a 1, a 2, …, a n) + (b 1 , b 2 , … , b n) = (a 1 + b 1 , a 2 + b 2 , … , a n+b n). (2)

Množenje niza brojem slijedi pravilo

l(a 1 , a 2 , … , a n) = (la 1 , la 2 , … , la n). (3)

Skup vektora reda date dužine n sa naznačenim operacijama sabiranja vektora i množenja brojem formira algebarsku strukturu tzv n-dimenzionalni linearni prostor.

Linearna kombinacija vektora je vektor , gdje je λ 1 , ... , λ m– proizvoljni koeficijenti.

Sistem vektora naziva se linearno zavisnim ako postoji njegova linearna kombinacija jednaka , u kojoj postoji barem jedan koeficijent različit od nule.

Sistem vektora naziva se linearno nezavisnim ako su u bilo kojoj linearnoj kombinaciji jednakoj , svi koeficijenti jednaki nuli.

Dakle, rješavanje pitanja linearne zavisnosti sistema vektora svodi se na rješavanje jednačine

x 1 + x 2 + … + x m = . (4)

Ako ova jednačina ima rješenja različita od nule, tada je sistem vektora linearno zavisan. Ako je nulto rješenje jedinstveno, onda je sistem vektora linearno nezavisan.

Za rješavanje sistema (4), radi jasnoće, vektori se mogu napisati ne kao redovi, već kao stupci.

Zatim, izvršivši transformacije na lijevoj strani, dolazimo do sistema linearnih jednačina ekvivalentnih jednačini (4). Glavna matrica ovog sistema je formirana koordinatama originalnih vektora raspoređenih u kolone. Kolona slobodnih članova ovde nije potrebna, pošto je sistem homogen.

Osnova Sistem vektora (konačan ili beskonačan, posebno ceo linearni prostor) je njegov neprazan linearno nezavisan podsistem, kroz koji se može izraziti bilo koji vektor sistema.

Primjer 1.5.2. Pronađite osnovu sistema vektora = (1, 2, 2, 4), = (2, 3, 5, 1), = (3, 4, 8, –2), = (2, 5, 0, 3) i izraziti preostale vektore kroz bazu.

Rješenje. Gradimo matricu u kojoj su koordinate ovih vektora raspoređene u stupce. Ovo je matrica sistema x 1 + x 2 + x 3 + x 4 =. . Svodimo matricu u postupni oblik:

~ ~ ~

Osnovu ovog sistema vektora čine vektori , , , kojima odgovaraju vodeći elementi redova, označeni kružićima. Da bismo izrazili vektor, rješavamo jednačinu x 1 + x 2 + x 4 = . To se svodi na sistem linearnih jednačina, čija se matrica dobija iz originala preuređivanjem stupca koji odgovara , umjesto stupca slobodnih članova. Stoga, kada se svodi na stepenasti oblik, na matrici će se izvršiti iste transformacije kao gore. To znači da rezultujuću matricu možete koristiti u postupnom obliku, praveći potrebna preuređivanja stupaca u njoj: stupce s krugovima postavljamo lijevo od okomite trake, a stupac koji odgovara vektoru postavlja se desno bara.

Dosljedno nalazimo:

x 4 = 0;

x 2 = 2;

x 1 + 4 = 3, x 1 = –1;

Komentar. Ako je potrebno izraziti više vektora kroz bazu, tada se za svaki od njih konstruiše odgovarajući sistem linearnih jednačina. Ovi sistemi će se razlikovati samo u kolonama slobodnih članova. Štaviše, svaki sistem se rešava nezavisno od drugih.

Vježba 1.4. Pronađite osnovu sistema vektora i izrazite preostale vektore kroz bazu:

a) = (1, 3, 2, 0), = (3, 4, 2, 1), = (1, –2, –2, 1), = (3, 5, 1, 2);

b) = (2, 1, 2, 3), = (1, 2, 2, 3), = (3, –1, 2, 2), = (4, –2, 2, 2);

c) = (1, 2, 3), = (2, 4, 3), = (3, 6, 6), = (4, –2, 1); = (2, –6, –2).

U datom sistemu vektora, baza se obično može identifikovati na različite načine, ali sve baze će imati isti broj vektora. Broj vektora u bazi linearnog prostora naziva se dimenzija prostora. Za n-dimenzionalni linearni prostor n– ovo je dimenzija prostora, jer ovaj prostor ima standardnu ​​osnovu = (1, 0, ... , 0), = (0, 1, ... , 0), ... , = (0, 0 , ... , 1). Kroz ovu bazu bilo koji vektor = (a 1 , a 2 , … , a n) se izražava na sljedeći način:

= (a 1 , 0, … , 0) + (0, a 2 , … , 0) + … + (0, 0, … , a n) =

A 1 (1, 0, … , 0) + a 2 (0, 1, … , 0) + … + a n(0, 0, … ,1) = a 1 + a 2 +… + a n .

Dakle, komponente u redu vektora = (a 1 , a 2 , … , a n) su njegovi koeficijenti u proširenju kroz standardnu ​​osnovu.

Prave linije u ravni

Zadatak analitičke geometrije je primjena metode koordinata na geometrijske probleme. Dakle, problem se prevodi u algebarski oblik i rješava pomoću algebre.