Razmotrimo sistem od tri linearne jednačine sa tri nepoznate

a 11, a 12, …, a 33– koeficijenti za nepoznate,

b 1 , b 2 , b 3- besplatni članovi.

Sistem rješavanja (2.4) znači pronalaženje tako uređene trojke brojeva x 1 =c 1, x 2 =c 2, x 3 =c 3, kada ih se zameni u jednačine sistema, ove se pretvaraju u identitete.

Sistem jednačina koji ima rješenja (jedno ili beskonačno mnogo) naziva se joint, sistem jednačina koji nema rješenja – non-joint.

Predstavimo tri metode za rješavanje sistema (2.4).

Cramerovo pravilo

Sastavimo determinantu sistema od koeficijenata nepoznatih

(2.5)

Ako je , tada sistem (2.4) ima jedinstveno rješenje, koje se nalazi pomoću Cramerovih formula:

gdje se , , dobijaju iz determinante zamjenom prvog, drugog, trećeg stupca, redom, kolonom slobodnih članova sistema (2.4).

(2.7)

Primjer 7. Riješite sistem

Izračunavamo determinantu sistema (2.5) i determinante , , (2.6).

stoga sistem ima jedinstveno rješenje.

Koristeći Cramerove formule (2.6) nalazimo:

Možete provjeriti zamjenom vrijednosti nepoznatih u sistemske jednačine.

dakle, x 1 =x 2 =x 3 =1– rješenje sistema.

Gaussova metoda

Razmotrimo sistem (2.4):

Gaussova metoda, inače metoda sekvencijalne eliminacije nepoznanica, je sljedeća. Isključimo iz 2. i 3. jednačine sistema x 1. Dobijamo sistem:

Dobijamo trouglasti sistem. Iz 3. jednačine nalazimo x 3, zamjenjujući ga u 2. jednačinu, nalazimo x 2, onda iz 1. jednačine nalazimo x 1, zamjenjujući u njega x 2 I x 3.

Primjer 8. Riješite sistem

Preuredimo 3. i 1. jednadžbinu tako da u 1. jednačini koeficijent na x 1 bila jednaka 1.

Isključimo x 1 iz 2. i 3. jednačine. Da biste to učinili, pomnožite prvu jednačinu sa (-4) i dodajte je drugoj jednačini; zatim pomnožite prvu jednačinu sa (-6) i dodajte je trećoj jednačini. Dobijamo sistem:

Isključimo x 2 iz 3. jednačine. Da biste to učinili, pomnožite 2. jednačinu sa (-13/10) i dodajte je trećoj jednačini. Dobijamo sistem:

Iz posljednje jednačine nalazimo x 3= -1, zamijenite u 2. jednačinu:

10x 2 - 13(-1) = -7, -10x 2 = - 20, x 2 = 2.

Zamena x 2 I x 3 u 1. jednacinu, dobijamo

Dakle, rešenje sistema: x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = -1.

Rješavanje sistema korištenjem inverzna matrica

Dati sistem: (2.8)

Kreirajmo matricu A iz koeficijenata nepoznatih, matrica stupaca X– od nepoznatih, matrica-kolona IN– od besplatnih članova.

,

Sistem (2.8) se može zapisati u matričnom obliku na sljedeći način:

Matrično rješenje X nalazi se po formuli:

A -1– inverzna matrica za matricu A, sastoji se od algebarskih sabiranja matričnih elemenata A prema formuli (2.3):

– determinanta ili determinanta matrice A, .

Primjer 9. Riješite sistem:

Hajde da predstavimo matrice: ,

Inverzna matrica je izračunata u primjeru 6. Koristeći formulu (2.9) nalazimo rješenje sistema

dakle, x 1=1, x 2=1, x 3=1.

Elementi vektorske algebre

Vector– usmjereni segment; označeno sa ili. A– početak vektora, IN- kraj.

Dužina ili modul vektor je označen sa .

Rice. 21.

U koordinatnom prostoru 0xyz, vektor se može predstaviti kao

(3.1)

Ova formula daje proširenje vektora u bazu vektori , , ; , , - pravougaona Kartezijanske koordinate vektor (inače projekcija vektora na koordinatne ose).

Formula (3.1) se može napisati na sljedeći način:

– vektor ima koordinate , , .

Dužina(modul) vektora se nalazi po formuli:

. (3.2)

Ako je vektor zadan koordinatama ishodišta A(x 1 ,y 1,z 1) i kraj B(x 2 ,y 2 ,z 2), tada se koordinate pronalaze pomoću formula:

Ako su proširenja vektora duž koordinatnih osa poznata, tada se prilikom sabiranja (oduzimanja) vektora sabiraju (oduzimaju) njihove istoimene koordinate, pri množenju vektora brojem, koordinate vektora se množe ovim brojem , tj.

(3.4)

Dot product vektori i , označen sa , je broj jednak proizvodu dužina ovih vektora i kosinusa kuta između njih

. (3.5)

Ako onda

. (3.6)

Ako vektori i kolinearno(paralelno), onda

. (3.7)

Ako vektori i ortogonalno(okomito), onda

Or (3.8)

Primjer 10. Poeni dati A 1(1,0,-1), A 2(2,-1,1), A 3(0,1,-2). Koristeći vektorsku algebru, s obzirom na to što pronaći:

1) koordinate vektora i .

Koristimo formulu (3.3):

2) Vektorske koordinate

Koristeći formule (3.4) i (3.5), dobijamo

Or 1.2. Prema pravilu trokuta: , i dužine vektora . odgovor:

3. Zadate bodove A(0,-2,3), B(2,1,4), C(3,4,5). Pronađite:

a) koordinate (projekcije) vektora i

b) vektorske koordinate

c) dužina vektora

4. Zadani vektori Find skalarni proizvod vektori

5. Dokazati da su vektori i kolinearni.

6. Dokazati da su vektori ortogonalni.

Sastavljamo glavnu odrednicu za sistem

i izračunaj.

Zatim sastavljamo dodatne determinante

i izračunaj ih.

Prema Cramerovom pravilu, rješenje sistema se nalazi pomoću formula

;
;
,Ako

1)

Izračunajmo:

Koristeći Cramerove formule nalazimo:

Odgovor: (1; 2; 3)

2)

Izračunajmo:

Pošto je glavna odrednica
, a barem jedna dodatna jedinica nije jednaka nuli (u našem slučaju
), tada sistem nema rješenja.

3)

Izračunajmo:

Pošto su sve determinante jednake nuli, sistem ima beskonačan broj rješenja, koja se mogu naći na sljedeći način:

Sami riješite sisteme:

A)
b)

Odgovor: a) (1; 2; 5) b) ;;

Praktična lekcija br. 3 na temu:

Tačkasti proizvod dva vektora i njegova primjena

1. Ako je dato
I
, tada nalazimo skalarni proizvod koristeći formulu:

∙

2.Ako, onda se skalarni proizvod ova dva vektora nalazi po formuli

1. Zadana su dva vektora
I

Njihov skalarni proizvod nalazimo na sljedeći način:

.

2. Data su dva vektora:

={2;3;–4}
={1; –5; 6}

Skalarni proizvod se nalazi ovako:

3.
,

3.1 Pronalaženje rada konstantne sile na ravnom dijelu puta

1) Pod dejstvom sile od 15 N, telo se kretalo pravolinijski 2 metra. Ugao između sile i pravca kretanja =60 0. Izračunajte rad sile da pomeri telo.

Dato:

Rješenje:

2) Dato:

Rješenje:

3) Telo se pomerilo iz tačke M(1; 2; 3) u tačku N(5; 4; 6) pod dejstvom sile od 60 N. Ugao između smjera sile i vektora pomaka =45 0. Izračunajte rad ove sile.

Rješenje: pronađite vektor pomaka

Pronalaženje modula vektora pomaka:

Prema formuli
nađi posao:

3.2 Određivanje ortogonalnosti dva vektora

Dva vektora su ortogonalna ako
, to je

jer

1)

– nije ortogonalno

2)

–ortogonalno

3) Odrediti pri čemu su  vektori
I
međusobno ortogonalne.

Jer
, To
, znači

Odlučite sami:

A)

. Pronađite njihov skalarni proizvod.

b) Izračunajte koliki rad proizvodi sila
, ako se tačka njegove primene, krećući se pravolinijski, pomerila iz tačke M (5; -6; 1) u tačku N (1; -2; 3)

c) Odrediti da li su vektori ortogonalni
I

Odgovori: a) 1 b) 16 c) da

3.3 Pronalaženje ugla između vektora

1)

. Nađi .

Mi nalazimo

zamijeniti u formulu:

.

1). Dati su vrhovi trougla A(3; 2; –3), B(5; 1; –1), C(1; –2; 1). Nađite ugao na vrhu A.

Stavimo to u formulu:

Odlučite sami:

Dati su vrhovi trougla A(3; 5; -2), B(5; 7; -1), C(4; 3; 0). Odredite unutrašnji ugao u vrhu A.

Odgovor: 90 o

Praktična lekcija br. 4 na temu:

VEKTORSKI PROIZVOD DVA VEKTORA I NJEGOVA PRIMJENA.

Formula za pronalaženje unakrsnog proizvoda dva vektora:

	izgleda kao

1) Pronađite modul vektorskog proizvoda:

Sastavimo determinantu i izračunajmo je (koristeći Sarrusovo pravilo ili teoremu o proširenju determinante u elemente prvog reda).

1. metod: prema Sarrusovom pravilu

Metoda 2: proširiti determinantu na elemente prvog reda.

2) Pronađite modul vektorskog proizvoda:

4.1. PRORAČUN POVRŠINE PALELOGRAMA IZGRAĐENOG NA DVA VEKTORA.

1) Izračunajte površinu paralelograma izgrađenog na vektorima

2). Pronađite vektorski proizvod i njegov modul

4.2. IZRAČUNAVANJE POVRŠINE TROUGLA

Primjer: dati su vrhovi trougla A(1; 0; -1), B(1; 2; 0), C(3; -1; 1). Izračunajte površinu trokuta.

Prvo, pronađimo koordinate dva vektora koji izlaze iz istog vrha.

Nađimo njihov vektorski proizvod

4.3. ODREĐIVANJE KOLINEARNOSTI DVA VEKTORA

Ako je vektor
I
su onda kolinearni

, tj. koordinate vektora moraju biti proporcionalne.

a) Zadati vektori::
,
.

Oni su kolinearni jer
I

nakon smanjenja svakog razlomka dobijamo omjer

b) Zadati vektori:

.

Oni nisu kolinearni jer
ili

Odlučite sami:

a) Na kojim vrijednostima m i n vektora
kolinearno?

odgovor:
;

b) Pronađite vektorski proizvod i njegov modul
,
.

odgovor:
,
.

Praktična lekcija br. 5 na temu:

PRAVA LINIJA U RAVNI

Zadatak br. 1. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku A(-2; 3) paralelno sa pravom

1. Pronađite nagib linije
.

je jednadžba prave linije sa ugaonim koeficijentom i početnom ordinatom (
). Zbog toga
.

2. Kako su prave MN i AC paralelne, njihovi ugaoni koeficijenti su jednaki, tj.
.

3. Da bismo pronašli jednačinu prave AC, koristimo jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku sa datim ugaonim koeficijentom:

. Umjesto toga u ovoj formuli I umjesto toga zamijenite koordinate tačke A(-2; 3). Zamijenimo – 3. Kao rezultat zamjene dobijamo:

odgovor:

Zadatak br. 2. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku K(1; –2) paralelno sa pravom.

1. Nađimo nagib linije.

Ovo opšta jednačina prava linija, koja je opšti pogled je data formulom. Upoređujući jednačine, nalazimo da je A = 2, B = –3. Nagib ravne linije dat jednadžbom nalazi se po formuli
. Zamjenom A = 2 i B = –3 u ovu formulu dobijamo nagib prave MN. dakle,
.

2. Kako su prave MN i KS paralelne, njihovi ugaoni koeficijenti su jednaki:
.

3. Da bismo pronašli jednačinu prave KS, koristimo formulu za jednačinu prave koja prolazi kroz tačku sa datim ugaonim koeficijentom
. Umjesto toga u ovoj formuli I zamijenimo koordinate tačke K(–2; 3), umjesto

Zadatak br. 3. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku K(–1; –3) okomito na pravu.

1. je opšta jednačina prave linije, koja je u opštem obliku data formulom.

i nalazimo da je A = 3, B = 4.

Nagib ravne linije dat jednadžbom nalazi se po formuli:
. Zamjenom A = 3 i B = 4 u ovu formulu, dobivamo nagib prave MN:
.

2. Kako su prave MN i KD okomite, njihovi ugaoni koeficijenti su obrnuto proporcionalni i suprotnog predznaka:

.

3. Da bismo pronašli jednačinu prave KD, koristimo formulu za jednačinu prave linije koja prolazi kroz tačku sa datim ugaonim koeficijentom

. Umjesto toga u ovoj formuli I umjesto toga zamijenite koordinate tačke K(–1;–3). hajde da zamenimo Kao rezultat zamjene dobijamo:

Odlučite sami:

1. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku K(–4; 1) paralelno s pravom
.

odgovor:
.

2. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku K(5; –2) paralelno sa pravom
.

3. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku K(–2, –6) okomito na pravu
.

4. Naći jednačinu prave koja prolazi kroz tačku K(7; –2) okomitu na pravu
.

odgovor:
.

5. Naći jednadžbu okomice spuštene iz tačke K(–6; 7) na pravu liniju
.

Problem 1

Riješite sistem linearnih jednadžbi na dva načina: korištenjem Cramerovih formula i Gaussove metode

1) riješiti nehomogeni sistem linearnih algebarskih jednadžbi Ax = B koristeći Cramerovu metodu

Determinanta sistema D nije jednaka nuli. Nađimo pomoćne determinante D 1, D 2, D 3, ako nisu jednake nuli, onda nema rješenja, ako su jednake, onda postoji beskonačan broj rješenja

Sistem od 3 linearne jednadžbe sa 3 nepoznate, čija je determinanta različita od nule, uvijek je konzistentan i ima jedinstveno rješenje, izračunato po formulama:

Odgovor: dobili smo rješenje:

2) riješiti nehomogeni sistem linearnih algebarskih jednadžbi Ax = B Gaussovom metodom

Kreirajmo proširenu matricu sistema

Uzmimo prvu liniju kao vodič, a element a 11 = 1 kao vodič. Koristeći vodeću liniju dobijamo nule u prvoj koloni.

odgovara skupu rješenja sistema linearnih jednačina

Odgovor: dobili smo rješenje:

Problem 2

Date koordinate vrhova trougla ABC

Pronađite:

1) dužina stranice AB;

4) jednačina medijane AE;

Konstruišite dati trougao i sve prave u koordinatnom sistemu.

A(1; -1), B(4; 3). C(5; 1).

1) Udaljenost između tačaka A( x 1; u 1) i B( x 2; u 2) određuje se formulom

pomoću koje nalazimo dužinu stranice AB;

2) jednačine stranica AB i BC i njihovi ugaoni koeficijenti;

Jednadžba prave koja prolazi kroz dvije date tačke ravni A( x 1; u 1) i B( x 2; u 2) ima oblik

Zamjenom koordinata tačaka A i B u (2) dobijamo jednačinu stranice AB:

Koeficijent ugla k AB prave AB pronalazimo transformacijom rezultirajuće jednačine u oblik jednačine prave sa ugaonim koeficijentom y =kx - b.

, odnosno odakle

Slično, dobijamo jednačinu prave BC i nalazimo njen ugaoni koeficijent.

Zamjenom koordinata tačaka B i C u (2) dobijamo jednačinu za stranu BC:

Koeficijent ugla k BC prave BC pronalazimo transformacijom rezultirajuće jednačine u oblik jednačine prave linije sa ugaonim koeficijentom y =kx - b.

, to je

3) unutrašnji ugao na vrhu B u radijanima sa tačnošću od 0,01

Da bismo pronašli unutrašnji ugao našeg trokuta, koristimo formulu:

Imajte na umu da postupak za izračunavanje razlike ugaonih koeficijenata u brojiocu ovog razlomka zavisi od relativnog položaja pravih AB i BC.

Zamjenom prethodno izračunatih vrijednosti k BC i k AB u (3), nalazimo:

Sada, koristeći tabele sa inženjerskim mikrokalkulatorom, dobijamo B » 1,11 rad.

4) jednačina medijane AE;

Da bismo sastavili jednadžbu medijane AE, prvo ćemo pronaći koordinate tačke E, koja leži u sredini segmenta BC

Zamjenom koordinata tačaka A i E u jednačinu (2) dobijamo jednačinu medijana:

5) jednačina i dužina visine CD;

Za sastavljanje jednačine za visinu CD koristimo jednačinu prave koja prolazi kroz datu tačku M( x 0 ; y 0) sa datim nagibom k, koji ima oblik

i uslov okomitosti pravih AB i CD, koji se izražava relacijom k AB k CD = -1, odakle je k CD = -1/k AB = - 3/4

Zamjenom u (4) umjesto k vrijednosti k C D = -3/4, i umjesto x 0 , y 0 odgovarajućim koordinatama tačke C, dobijamo jednačinu za visinu CD

Za izračunavanje dužine visine CD koristimo formulu za nalaženje udaljenosti d od date tačke M( x 0 ; y 0) na datu pravu liniju sa jednadžbom Ax+ By + C = 0, koja ima oblik:

Umjesto toga zamjena u (5). x 0 ; y 0 koordinate tačke C, a umjesto A, B, C koeficijente jednačine prave AB dobijamo

6) jednačina prave koja prolazi kroz tačku E paralelnu sa stranicom AB i tačku M njenog preseka sa visinom CD;

Kako je željena prava EF paralelna pravoj AB, onda je k EF = k AB = 4/3. Umjesto toga zamjena u jednačinu (4). x 0 ; y 0 koordinate tačke E, a umjesto k vrijednosti k EF dobijamo jednačinu prave EF".

Da bismo pronašli koordinate tačke M, zajedno rešavamo jednačine pravih EF i CD.

Dakle, M(5,48, 0,64).

7) jednačina kružnice sa centrom u tački E koja prolazi kroz vrh B

Kako kružnica ima centar u tački E(4.5; 2) i prolazi kroz vrh B(4; 3), tada je njen polumjer

Kanonska jednadžba kružnice poluprečnika R sa centrom u tački M 0 ( x 0 ; y 0) ima oblik

Trougao ABC, visina CD, medijana AE, prava EF, tačka M i kružnica konstruisana u koordinatnom sistemu x0y na slici 1.

Problem 3

Nacrtajte jednačinu prave za svaku tačku čija je udaljenost do tačke A (2; 5) jednaka udaljenosti do prave linije y = 1. Nacrtajte rezultujuću krivu u koordinatnom sistemu

Rješenje

Neka M ( x, y) - trenutna tačka željene krive. Ispustimo okomicu MB iz tačke M na pravu liniju y = 1 (slika 2). Tada je B(x; 1). Pošto je MA = MB, onda

Sistem linearnih jednačina je skup od nekoliko linearnih jednačina koje se razmatraju zajedno.

Sistem može imati bilo koji broj jednačina sa bilo kojim brojem nepoznanica.

Rješenje sistema jednadžbi je skup vrijednosti nepoznanica koji zadovoljava sve jednačine sistema, odnosno pretvara ih u identitete.

Sistem koji ima rješenje naziva se konzistentan; inače se naziva nedosljednim.

Za rješavanje sistema koriste se različite metode.

Neka
(broj jednačina je jednak broju nepoznatih).

Cramer metoda

Razmislite o rješavanju sistema od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate:

(7)

Da pronađem nepoznate
Primijenimo Cramerovu formulu:

(8)

Gdje - determinanta sistema čiji su elementi koeficijenti nepoznanica:

.

dobijeno zamjenom prve kolone determinante kolona slobodnih članova:

.

Isto tako:

;
.

Primjer 1. Riješite sistem koristeći Cramerovu formulu:

.

Rješenje: Koristimo formule (8):

;

;

;

;

odgovor:
.

Za bilo koji sistem linearne jednačine sa nepoznanice se mogu navesti:

Matrično rješenje

Razmotrimo rješavanje sistema (7) od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate pomoću matrične metode.

Koristeći pravila množenja matrice, ovaj sistem jednačina se može napisati kao:
, Gdje

.

Pustite matricu nedegenerisan, tj.
. Množenje obje strane matrične jednadžbe na lijevoj strani matricom
, inverzno od matrice , dobijamo:
.

S obzirom na to
, imamo

(9)

Primjer 2. Riješite sistem matričnim metodom:

.

Rješenje: Hajde da predstavimo matrice:

- iz koeficijenata nepoznatih;

- kolona slobodnih članova.

Tada se sistem može zapisati kao matrična jednačina:
.

Koristimo formulu (9). Nađimo inverznu matricu
prema formuli (6):

;

.

dakle,

dobio:

.

odgovor:
.

Metoda sekvencijalne eliminacije nepoznatih (Gaussova metoda)

Glavna ideja korištene metode je sekvencijalno uklanjanje nepoznatih. Hajde da objasnimo značenje ove metode koristeći sistem od tri jednačine sa tri nepoznanice:

.

Pretpostavimo to
(Ako
, zatim mijenjamo redosljed jednačina, birajući kao prvu jednačinu onu u kojoj je koeficijent na nije jednako nuli).

Prvi korak: a) podijelite jednačinu
on
; b) pomnožite rezultirajuću jednačinu sa
i oduzmite od
; c) zatim pomnožite rezultat sa
i oduzmite od
. Kao rezultat prvog koraka imaćemo sistem:

,

Drugi korak: bavimo se jednačinom
I
potpuno isto kao i sa jednadžbama
.

Kao rezultat toga, originalni sistem se transformiše u takozvani stepenasti oblik:

Iz transformiranog sistema, sve nepoznate se bez poteškoća određuju sekvencijalno.

Komentar. U praksi je zgodnije svesti na postepeni oblik ne sam sistem jednačina, već matricu koeficijenata, nepoznanica i slobodnih članova.

Primjer 3. Riješite sistem koristeći Gaussovu metodu:

.

Zapisaćemo prijelaz iz jedne matrice u drugu koristeći znak ekvivalencije ~.

~
~
~
~

~
.

Koristeći rezultirajuću matricu, ispisujemo transformirani sistem:

.

odgovor:
.

Napomena: Ako sistem ima jedinstveno rješenje, tada se sistem koraka svodi na trouglasti, odnosno na onaj u kojem će posljednja jednačina sadržavati jednu nepoznatu. U slučaju nesigurnog sistema, odnosno onog u kojem je broj nepoznatih veći od broja linearno nezavisnih jednačina, neće postojati trouglasti sistem, jer će posljednja jednačina sadržavati više od jedne nepoznate (sistem ima beskonačan broj rješenja). Kada je sistem nekonzistentan, onda će, nakon što se svede na stepenasti oblik, sadržavati barem jedan vrijednost forme
, odnosno jednačina u kojoj sve nepoznate imaju koeficijente nula, a desna strana je različita od nule (sistem nema rješenja). Gaussova metoda je primjenjiva na proizvoljan sistem linearnih jednačina (za bilo koji
I ).

Teorema postojanja za rješenje sistema linearnih jednačina

Prilikom rješavanja sistema linearnih jednačina Gausovom metodom, odgovor na pitanje je da li ovaj sistem može se dati samo na kraju proračuna. Međutim, često je važno riješiti pitanje kompatibilnosti ili nekompatibilnosti sistema jednačina bez pronalaženja samih rješenja. Odgovor na ovo pitanje daje sljedeća Kronecker-Capellijeva teorema.

Neka sistem bude dat
linearne jednačine sa nepoznato:

(10)

Da bi sistem (10) bio konzistentan, potrebno je i dovoljno da rang matrice sistema

.

bio jednak rangu njegove proširene matrice

.

Štaviše, ako
, tada sistem (10) ima jedinstveno rješenje; ako
, tada sistem ima beskonačan broj rješenja.

Razmotrimo homogeni sistem (svi slobodni članovi su jednaki nuli) linearnih jednačina:

.

Ovaj sistem je uvijek konzistentan jer ima nulto rješenje.

Sljedeća teorema daje uslove pod kojima sistem također ima rješenja različita od nule.

Terema. Da bi homogeni sistem linija jednadžbi imao rješenje nule, potrebno je i dovoljno da njegova determinanta bio jednak nuli:

.

Dakle, ako
, onda je rješenje jedino. Ako
, onda postoji beskonačan broj drugih rješenja koja nisu nula. Naznačimo jedan od načina za pronalaženje rješenja za homogeni sistem od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate u slučaju
.

Može se dokazati da ako
, a prva i druga jednačina su nesrazmjerne (linearno nezavisne), onda je treća jednačina posljedica prve dvije. Rješenje homogenog sistema od tri jednačine sa tri nepoznate svodi se na rješenje dvije jednačine sa tri nepoznate. Pojavljuje se takozvana slobodna nepoznata kojoj se mogu dodijeliti proizvoljne vrijednosti.

Primjer 4. Pronađite sva rješenja sistema:

.

Rješenje. Odrednica ovog sistema

.

Dakle, sistem nema rješenja. Možete primijetiti da prve dvije jednadžbe, na primjer, nisu proporcionalne, dakle, linearno su nezavisne. Treći je posljedica prve dvije (ispada ako prvoj jednačini dvaput dodate drugu). Odbacujući ga, dobijamo sistem od dve jednačine sa tri nepoznanice:

.

Pod pretpostavkom da npr.
, dobijamo

.

Rješavajući sistem od dvije linearne jednačine, izražavamo I kroz :
. Stoga se rješenje sistema može zapisati kao:
, Gdje - proizvoljan broj.

Primjer 5. Pronađite sva rješenja sistema:

.

Rješenje. Lako je vidjeti da u ovom sistemu postoji samo jedna nezavisna jednačina (druge dvije su joj proporcionalne). Sistem od tri jednačine sa tri nepoznate sveden je na jednu jednačinu sa tri nepoznate. Pojavljuju se dvije slobodne nepoznate. Pronalaženje, na primjer, iz prve jednačine
za proizvoljno I , dobijamo rješenja za ovaj sistem. Opšti oblik rješenja može se napisati gdje I - proizvoljni brojevi.

Pitanja za samotestiranje

Formulirajte Cramerovo pravilo za rješavanje sistema linearne jednačine sa nepoznato.

Koja je suština matrične metode rješavanja sistema?

Koja je Gaussova metoda za rješavanje sistema linearnih jednačina?

Navedite Kronecker-Capellijev teorem.

Formulisati neophodan i dovoljan uslov za postojanje nenultih rešenja homogenog sistema linearnih jednačina.

Primjeri za samostalno rješavanje

Pronađite sva rješenja sistema:

1.
; 2.
;

3.
; 4.
;

5.
; 6.
;

7.
; 8.
;

9.
; 10.
;

11.
; 12.
;

13.
; 14.
;

15.
.

Odredite na kojim vrijednostima I sistem jednačina

a) ima jedinstveno rješenje;

b) nema rješenja;

c) ima beskonačno mnogo rješenja.

16.
; 17.
;

Pronađite sva rješenja sljedećih homogenih sistema:

18.
; 19.
;

20.
; 21.
;

22.
; 23.
;

Odgovori na primjere

1.
; 2.
; 3. Ǿ; 4. Ǿ;

5.
- proizvoljan broj.

6.
, Gdje - proizvoljan broj.

7.
; 8.
; 9. Ǿ; 10. Ǿ;

11.
, Gdje - proizvoljan broj.

12. , gdje I - proizvoljni brojevi.

13.
; 14.
Gdje I - proizvoljni brojevi.

15. Ǿ; 16. a)
; b)
; V)
.

17. a)
; b)
; V)
;

18.
; 19.
; 20., gdje - proizvoljan broj.

21. , gdje - proizvoljan broj.

22. , gdje - proizvoljan broj.

23. , gdje I - proizvoljni brojevi.

Sistemi od tri linearne jednadžbe sa tri nepoznate imaju oblik:

Gdje a, b, c, d, e, f, g, h, p, q, r, s – zadati brojevi; x, y, z– nepoznato. Brojevi a, b, c, e, f, g, str, q, r – koeficijenti za nepoznato ; d, h, s – besplatni članovi.

Normalni oblik jednačine prvog stepena sa tri nepoznate .

Ako u jednadžbi1 stepen sa 3 nepoznato x, y I z, izvršimo određene transformacije, tada ćemo jednadžbu dovesti u oblik (koji se naziva normalan), u kojem su samo tri člana na lijevoj strani jednačine: jedan saX, drugi sa at a treći sa z, a na desnoj strani će biti jedan pojam koji ne sadrži nepoznanice.

PRIMJER:

Jednačina:

5X – 3at – 4z = –12.

Njegov opšti izgled je sledeći :

ax + by + cz = d,
Gdjea, b, c Id neke relativne brojke .

Neizvjesnost dvije i jedne jednačine sa tri nepoznanice .

PRIMJER:

Pretpostavimo da nam je dat sistem 2 jednačine sa3 nepoznato:

Dodijelimo, na primjer, jednu nepoznatu z, neki proizvoljan broj, pretpostavimo 1 , i zamijenite ovaj broj na mjestu z:

Ovako smo dobili sistem 2 jednačine sa2 nepoznato. Rešivši to na neki način, naći ćemo :
x = 2, y = 3 ;

To znači da ovaj sistem sa 3 nepoznate su zadovoljne na
x = 2 ; y = 3; z = 1.

Sada dajmo to nepoznatom zneko drugo značenje, na primjer z = 0, i zamenimo ovu vrednost u ovaj sistem jednačina, dobijamo :

Ponovo ćemo dobiti sistem 2 jednačine sa2 nepoznato. Rešivši to na neki način, naći ćemo :

x = 20 / 11 = 1 9 / 11 ;
y = 2 4 / 11 .

To znači da je ovaj sistem zadovoljen kada

x = 1 9 / 11 ;
y = 2 4 / 11 I
z = 0 .

Nakon što je imenovao zaz još neku (treću) vrijednost, opet ćemo dobiti sistem 2 jednačine sa2 nepoznato, iz koje nalazimo nove vrijednosti za X Iat. Od zazmožemo dodijeliti onoliko različitih brojeva koliko želimo, a zatim za X Iat možemo dobiti onoliko vrijednosti koliko želimo (odgovaraju preuzetim vrijednostima z ).znači, 2 jednačine sa3 nepoznanice omogućavaju bezbroj rješenja ;drugim riječima, takav
sistem neizvjesno .

Biće još veća neizvesnost ako postoji1 jednačina c 3 nepoznato. Tada će to nekima biti moguće2 nepoznate dodeljuju proizvoljne brojeve; treća nepoznanica se može naći iz ove jednadžbe ako u nju zamijenimo vrijednosti koje su proizvoljno uzete za dvije nepoznate.
Da bismo mogli pronaći određene numeričke vrijednosti za tri nepoznateX, at I z, potrebno je da sistem bude specificiran3 jednačine. Takav sistem se može riješiti zamjenom, kao i dodavanjem ili oduzimanjem jednačina. Hajde da demonstriramo upotrebu ovih metoda koristeći sledeći primer (svaka jednadžba je prethodno svedena na normalan oblik):

PRIMJER:

Metoda zamjene .

Iz neke jednačine, na primjer iz prve, odredimo jednu nepoznatu, na primjer X, kao funkcija druge dvije nepoznate :

Pošto u svim jednačinama X znači isti broj, onda možemo zamijeniti pronađeni izraz na mjestu X u ostale jednačine :

Tako dolazimo do sistema 2 jednačine sa2 nepoznatoat Iz. Nakon što smo riješili ovaj sistem pomoću jedne od ranije navedenih metoda, nalazimo numeričke vrijednosti za at Iz . U našem primjeru to će biti vrijednosti : y = 3, z = 2;zamjenjujući ove brojeve u izraz za koji smo izveli X, nađimo i ovo nepoznato :

Dakle, predloženi sistem ima rješenje

x =1, y = 3, z = 2

(šta se može provjeriti verifikacijom).

Metoda sabiranja ili oduzimanja .

Od3 od ovih jednačina, uzmimo neke dvije, na primjer. 1 -e i2 -e, i izjednačivši koeficijente u njima ispred jedne nepoznate, na primjer, ispred z, iz njih izuzimamo ovu nepoznatu dodavanjem ili oduzimanjem ;iz ovoga dobijamo jednu jednačinu c 2 nepoznatoX Iat. Zatim, uzmimo još neke dvije jednačine iz 3 podaci, npr.1 -e i3 -e(ili 2 -e i3 -e), a na isti način iz njih isključujemo istu nepoznatu, tj. z;iz ovoga dobijamo još jednu jednačinu sa X Iat:

Rešimo dobijene dve jednačine :

x = 1, y = 3 .

Ubacimo ove brojeve u jednu od tri date jednadžbe, na primjer, u prvu :

3 × 1 – 2 × 3 + 5 z = 7;
5 z = 7 – 3 + 6 = 10;
z = 2.

Komentar.

Na ista dva načina možemo dovesti sistem4 jednačine sa 4 nepoznata sistemu3 jednačine sa 3 nepoznato (a ovaj sistem - sistemu2 jednačine sa 2 nepoznato, itd.). Generalno, sistemm jednačine sa mnepoznanice možemo dovesti do sistemam –1 jednačine sa m –1 nepoznato (i ovaj sistem u sistemm –2 jednačine sa m –2 nepoznato, itd.).

Neki posebni slučajevi sistema jednačina .

Slučaj kada nisu sve nepoznate uključene u svaku od ovih jednačina .

PRIMJER:

U ovom slučaju sistem se rješava brže nego inače, jer su u nekim jednačinama određene nepoznanice već isključene. Samo treba da shvatite koje nepoznanice i iz kojih jednačina treba isključiti da biste što brže došli do jedne jednačine sa jednom nepoznatom. U našem primjeru, isključujući zod1 th and3 te jednačine iv od2 th and1 vau, dobićemo to2 jednačine saX Iat: