Kako pronaći vektor normale koristeći jednadžbu prave linije. Vektor normalne ravni, koordinate vektora normalne ravni. Koordinate vektora normale ravni - pronalaženje koordinata vektora normale ravni iz jednačine ravnine

Metode za definisanje ravni.

Međusobni raspored aviona.

Dvije ravni u prostoru mogu se poklopiti. U ovom slučaju imaju najmanje tri zajedničke tačke.

Dvije ravni u svemiru se mogu ukrštati. Presek dviju ravni je prava linija, koja se utvrđuje aksiomom: ako dvije ravni imaju zajedničku tačku, onda imaju zajedničku pravu liniju na kojoj leže sve zajedničke tačke ovih ravni.

U ovom slučaju nastaje koncept ugla između ravnina koje se sijeku. Posebno je zanimljiv slučaj kada je ugao između ravnina devedeset stepeni. Takve ravni se nazivaju okomite.

Konačno, dvije ravni u prostoru mogu biti paralelne, odnosno nemaju zajedničkih tačaka.

Zanimljivi su i slučajevi kada se više ravni seku duž jedne prave, a više ravni se seku u jednoj tački.

Nabrojimo glavne načine definiranja određene ravni u prostoru.

Prvo, ravan se može definisati fiksiranjem tri tačke u prostoru koje ne leže na istoj pravoj liniji. Ova metoda se zasniva na aksiomu: kroz bilo koje tri tačke koje ne leže na istoj pravoj, postoji jedna ravan.

Ako je pravougaoni koordinatni sistem fiksiran u trodimenzionalnom prostoru i ravan je određena specificiranjem koordinata njegove tri različite tačke koje ne leže na istoj pravoj liniji, tada možemo napisati jednačinu ravnine koja prolazi kroz tri date bodova.

Sljedeće dvije metode definiranja ravni su posljedica prethodne. Oni se zasnivaju na posledicama aksioma o ravni koja prolazi kroz tri tačke:

· ravan, i to samo jedna, prolazi kroz pravu i tačku koja ne leži na njoj;

Jedna ravan prolazi kroz dve prave koje se seku.

Četvrti metod definisanja ravni u prostoru zasniva se na definisanju paralelnih pravih. Podsjetimo da se dvije prave u prostoru nazivaju paralelnim ako leže u istoj ravni i ne sijeku se. Dakle, označavanjem dvije paralelne prave u prostoru odredit ćemo jedinu ravan u kojoj te prave leže.

Ako u trodimenzionalnom prostoru relativno pravougaoni sistem koordinate, ravan je data na naznačen način, tada možemo napraviti jednačinu ravni koja prolazi kroz dvije paralelne prave.

Znak paralelizma dvije ravni nam daje drugi način da definiramo ravan. Prisjetimo se formulacije ove osobine: ako su dvije linije koje se sijeku jedne ravni paralelne s dvije prave druge ravni, tada su takve ravni paralelne. Stoga možemo specificirati određenu ravan ako navedemo tačku kroz koju ona prolazi i ravan s kojom je paralelna.

Na časovima geometrije u srednjoj školi dokazuje se sljedeća teorema: kroz fiksnu tačku u prostoru prolazi jedna ravan okomita na datu pravu. Dakle, ravan možemo definirati ako navedemo tačku kroz koju ona prolazi i pravu okomitu na nju.

Ako je pravougaoni koordinatni sistem fiksiran u trodimenzionalnom prostoru i ravan je specificirana na naznačen način, tada je moguće konstruisati jednačinu za ravan koja prolazi kroz datu tačku okomito na datu pravu liniju.

Umjesto prave okomite na ravan, možete odrediti jedan od normalnih vektora ove ravni. U ovom slučaju moguće je napisati opštu jednačinu ravni.

Dobro razumijevanje prave linije počinje od trenutka kada se, uz njenu sliku, istovremeno pojavljuju slike njenog vodiča i vektora normale. Isto tako, kada se govori o ravni u prostoru, ona mora biti predstavljena zajedno sa svojim normalnim vektorom. Žašto je to? Da, jer je u mnogim slučajevima zgodnije koristiti normalni vektor ravni nego samu ravan.

Prvo dajemo definiciju normalnog vektora ravnine, dajemo primjere normalnih vektora i potrebne grafičke ilustracije. Zatim ćemo ravan postaviti u pravougaoni koordinatni sistem u trodimenzionalnom prostoru i naučiti da odredimo koordinate vektora normale ravnine iz njegove jednačine.

2.1. Vektor normalne ravni - definicija, primjeri, ilustracije.

Definicija. Vektor normalne ravni je bilo koji vektor različit od nule koji leži na pravoj okomitoj na datu ravan.

Iz definicije slijedi da postoji beskonačan broj normalnih vektora date ravni.

Pošto svi normalni vektori date ravni leže na paralelnim linijama, onda su svi normalni vektori ravni kolinearni. Drugim riječima, ako je normalan vektor ravni, onda je vektor za neku realnu vrijednost t nenultu također normalni vektor ravni.

Također treba napomenuti da se svaki normalni vektor ravni može smatrati vektorom smjera prave okomite na ovu ravan.

Skupovi normalnih vektora paralelnih ravni se poklapaju, jer je prava okomita na jednu od paralelnih ravni također okomita na drugu ravan.

Iz definicije okomitih ravni i definicije vektora normale ravni proizilazi da su normalni vektori okomitih ravni okomiti.

Primjer vektora normalne ravni. Neka je pravougaoni koordinatni sistem Oxyz fiksiran u trodimenzionalnom prostoru. Koordinatni vektori su normalni vektori ravni Oyz, Oxz i Oxy. Ovo je tačno jer su vektori različiti od nule i leže na koordinatnim linijama Ox, Oy i Oz, respektivno, koje su okomite na koordinatne ravni Oyz, Oxz i Oxy, respektivno.

2.2. Koordinate vektora normale ravni - pronalaženje koordinata vektora normale ravni pomoću jednačine ravnine.

Nađimo koordinate vektora normale ravni ako znamo jednačinu ravnine u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz.

Opšta jednačina ravni forme definiše u pravougaonom koordinatnom sistemu Oxyz ravan čiji je vektor normale vektor . Dakle, da bismo pronašli koordinate vektora normale ravni, dovoljno nam je da imamo pred očima opštu jednačinu ove ravni.

Primjer. Pronađite koordinate bilo kojeg vektora normale ravnine.

Rješenje. Zadata nam je opšta jednačina ravni, koeficijenti varijabli x, y i z predstavljaju odgovarajuće koordinate vektora normale ove ravni. Dakle, je jedan od normalnih vektora date ravni. Skup svih normalnih vektora ove ravni može se specificirati kao , gdje je t proizvoljan realni broj različit od nule.

Primjer. Ravan je data jednačinom. Odredite koordinate njegovih vektora smjera.

Rješenje. Data nam je nepotpuna jednačina ravnine. Da bismo učinili vidljivim koordinate njegovog vektora smjera, prepisujemo jednačinu u obliku . Dakle, vektor normale ove ravni ima koordinate , a skup svih normalnih vektora će biti zapisan kao .

Jednačina ravnine u segmentima oblika, poput opće jednačine ravnine, omogućava vam da odmah zapišete jedan od normalnih vektora ove ravni - on ima koordinate.

U zaključku ćemo reći da se pomoću vektora normale ravni mogu riješiti različiti problemi. Najčešći su zadaci za dokazivanje paralelnosti ili okomitosti ravni, zadaci za sastavljanje jednadžbe ravni, kao i zadaci za nalaženje ugla između ravni i nalaženje ugla između prave i ravni.

Normalni vektori nisu oni vektori koji su u redu ili se dobro osjećaju. Po definiciji, normalni vektor (normal) na ravan je vektor okomit na datu ravan.

Drugim riječima, normala je vektor okomit na bilo koji vektor u datoj ravni. Vjerovatno ste naišli na ovu definiciju – međutim, umjesto vektora govorili smo o pravim linijama. Međutim, malo iznad je pokazano da u zadatku C2 možete raditi sa bilo kojim pogodnim objektom - bilo da je to prava linija ili vektor.

Da vas još jednom podsjetim da je svaka ravan definirana u prostoru jednačinom Ax + By + Cz + D = 0, gdje su A, B, C i D neki koeficijenti. Bez gubljenja općenitosti rješenja, možemo pretpostaviti da je D = 1 ako ravan ne prolazi kroz početak, ili D = 0 ako prolazi. U svakom slučaju, koordinate vektora normale na ovu ravan su n = (A; B; C).

Dakle, ravan se također može uspješno zamijeniti vektorom - istom normalom. Svaka ravan je u prostoru definisana sa tri tačke. Već smo raspravljali o tome kako pronaći jednadžbu ravnine (a time i normale) na samom početku članka. Međutim, ovaj proces mnogima stvara probleme, pa ću navesti još nekoliko primjera:

· Zadatak . U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nacrtan je presjek A 1 BC 1. Pronađite vektor normale za ravan ovog preseka ako je ishodište koordinata u tački A, a ose x, y i z poklapaju sa ivicama AB, AD i AA 1, respektivno.

Rješenje. Kako ravan ne prolazi kroz nultu tačku, njena jednačina izgleda ovako: Ax + By + Cz + 1 = 0, tj. koeficijent D = 1. Pošto ova ravan prolazi kroz tačke A 1, B i C 1, koordinate ovih tačaka pretvaraju jednačinu ravni u tačnu numeričku jednakost.

A 0 + B 0 + C 1 + 1 = 0 ⇒ C + 1 = 0 ⇒ C = − 1;

Slično, za tačke B = (1; 0; 0) i C 1 = (1; 1; 1) dobijamo sledeće jednačine:
A 1 + B 0 + C 0 + 1 = 0 ⇒ A + 1 = 0 ⇒ A = − 1;
A 1 + B 1 + C 1 + 1 = 0 ⇒ A + B + C + 1 = 0;

Ali već znamo koeficijente A = − 1 i C = − 1, tako da ostaje da pronađemo koeficijent B:
B = − 1 − A − B = − 1 + 1 + 1 = 1.

Dobijamo jednačinu ravni: − A + B − C + 1 = 0. Dakle, koordinate vektora normale su jednake n = (− 1; 1; − 1).

Odgovori: n = (− 1; 1; − 1)

· Zadatak . U kocki ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 nalazi se presjek AA 1 C 1 C. Nađite vektor normale za ravan ovog presjeka ako je ishodište koordinata u tački A i ose x, y i z poklapaju sa ivice AB, AD i AA 1 respektivno.

Rješenje. U ovom slučaju ravan prolazi kroz ishodište, pa je koeficijent D = 0, a jednačina ravni izgleda ovako: Ax + By + Cz = 0. Kako ravan prolazi kroz tačke A 1 i C, koordinate ove tačke pretvaraju jednačinu ravni u tačnu numeričku jednakost.

Zamijenimo koordinate tačke A 1 = (0; 0; 1) umjesto x, y i z. Imamo:
A 0 + B 0 + C 1 = 0 ⇒ C = 0;

Slično, za tačku C = (1; 1; 0) dobijamo jednačinu:
A 1 + B 1 + C 0 = 0 ⇒ A + B = 0 ⇒ A = − B;

Postavimo B = 1. Tada je A = − B = − 1, a jednačina cijele ravni ima oblik: − A + B = 0. Prema tome, koordinate vektora normale su jednake n = (− 1 ; 1; 0).

Odgovori: n = (− 1; 1; 0)

Uopšteno govoreći, u gornjim problemima potrebno je kreirati sistem jednačina i riješiti ga. Dobićete tri jednačine i tri varijable, ali će u drugom slučaju jedna od njih biti slobodna, tj. uzimaju proizvoljne vrijednosti. Zato imamo pravo da postavimo B = 1 - ne dovodeći u pitanje opštost rešenja i tačnost odgovora.

U analitičkoj geometriji često je potrebno konstruisati opštu jednačinu prave date tački koja joj pripada i vektor normale na pravu.

Napomena 1

Normalno je sinonim za riječ okomito.

Opšta jednačina prave linije na ravni izgleda kao $Ax + By + C = 0$. Zamjenom u njega različitih vrijednosti $A$, $B$ i $C$, uključujući nulte, možete odrediti sve ravne linije.

Jednačinu prave linije možete izraziti na drugi način:

Ovo je jednadžba prave linije sa nagibom. U njemu, geometrijsko značenje koeficijenta $k$ leži u kutu nagiba prave linije u odnosu na osu apscise, a nezavisni pojam $b$ je u udaljenosti na kojoj je prava linija odvojena od centra koordinatnu ravan, tj. bodova $O(0; 0)$.

Slika 1. Opcije za lokaciju pravih linija na koordinatnoj ravni. Author24 - online razmjena studentskih radova

Normalna jednačina prave se takođe može izraziti u trigonometrijskom obliku:

$x \cdot \cos(\alpha) + y \cdot \sin(\alpha) - p = 0$

gdje je $\alpha$ ugao između prave i apscisne ose, a $p$ je rastojanje od početka do dotične prave linije.

Postoje četiri moguće opcije za ovisnost nagiba linije od veličine nagiba:

kada je nagib pozitivan, vektor smjera prave linije ide odozdo prema gore;
kada je nagib negativan, vektor smjera prave linije ide odozgo prema dolje;
kada je nagib nula, prava linija koju opisuje je paralelna sa x-osom;
za prave linije paralelne sa ordinatnom osom ne postoji koeficijent nagiba, jer je tangenta od 90 stepeni neodređena (beskonačna) vrednost.

Što je veća apsolutna vrijednost nagiba, to je strmiji nagib linijskog grafikona.

Poznavajući nagib, lako je napraviti jednačinu za graf prave ako je dodatno poznata tačka koja pripada željenoj liniji:

$y - y_0 = k \cdot (x - x_0)$

Dakle, geometrijski, prava linija na koordinatnoj liniji uvijek se može izraziti korištenjem ugla i udaljenosti od početka. Ovo je značenje vektora normale na pravu - najkompaktniji način snimanja njenog položaja ako su poznate koordinate barem jedne tačke koja pripada ovoj pravoj.

Definicija 1

Vektor normale na pravu, drugim riječima, vektor normale prave, obično se naziva vektorom koji nije nula okomito na liniju koja se razmatra.

Za svaku pravu liniju možete pronaći beskonačan broj vektora normale, kao i vektora smjera, tj. one koje su paralelne sa ovom pravom. U ovom slučaju, svi normalni vektori na njega će biti kolinearni, iako ne nužno kosmjerni.

Označavajući normalni vektor prave kao $\vec(n)(n_1; n_2)$, a koordinate tačke kao $x_0$ i $y_0$, možemo predstaviti opštu jednačinu prave na ravni datoj tačka i vektor normale na pravu kao

$n_1 \cdot (x - x_n) + n_2 \cdot (y - y_0) = 0$

Dakle, koordinate vektora normale na pravu su proporcionalne brojevima $A$ i $B$ prisutnim u opštoj jednačini prave na ravni. Prema tome, ako je poznata opšta jednačina prave na ravni, onda se vektor normale na pravu može lako izvesti. Ako je ravna linija data jednačinom u pravougaonom koordinatnom sistemu

$Ax + By + C = 0$,

tada je normalni vektor opisan formulom:

$\bar(n)(A; B)$.

U ovom slučaju kažu da su koordinate vektora normale „uklonjene“ iz jednačine prave linije.

Vektor normalan na pravu i njegov vektor pravca uvijek su ortogonalni jedan prema drugom, tj. njihov tačkasti proizvodi jednake su nuli, što je lako provjeriti prizivanjem formule za vektor smjera $\bar(p)(-B; A)$, kao i opće jednadžbe prave linije za vektor smjera $\bar( p)(p_1; p_2)$ i tačka $M_0 (x_0; y_0)$:

$\frac(x - x_0)(p_1) = \frac(y - y_0)(p_2)$

Činjenica da je vektor normale na pravu uvijek ortogonalan na vektor smjera prema njoj može se provjeriti korištenjem skalarnog proizvoda:

$\bar(p) \cdot \bar(n) = -B \cdot A + A \cdot B = 0 \implicira \bar(p) \perp \bar(n)$

Uvijek je moguće konstruirati jednačinu prave linije, znajući koordinate tačke koja joj pripada i vektor normale, budući da smjer prave slijedi iz njenog smjera. Nakon što smo tačku opisali kao $M(x_0; y_0)$, a vektor kao $\bar(n)(A; B)$, možemo izraziti jednačinu prave u sljedećem obliku:

$A(x - x_0) + B(y - y_0) = 0$

Primjer 1

Napišite jednadžbu ravne za datu tačku $M(-1; -3)$ i vektor normale $\bar(3; -1)$. Izvedite jednadžbu vektora smjera.

Za rješavanje koristimo formulu $A \cdot (x - x_0) + B \cdot (y - y_0) = 0$

Zamjenom vrijednosti dobijamo:

$3 \cdot (x - (-1)) - (-1) \cdot (y - (-3)) = 0$ $3 \cdot (x + 1) - (y + 3) = 0$ $3x + 3 - y - 3 = 0$ 3x - y = 0$

Provjerite ispravnost opšta jednačina iz njega možete "ukloniti" koordinate za normalni vektor:

$3x - y = 0 \implicira A = 3; B = -1 \implicira \bar(n)(A; B) = \bar(n)(3; -1),$

Što odgovara brojevima originalnih podataka.

Zamena stvarne vrednosti, provjerimo da li tačka $M(-1; -3)$ zadovoljava jednačinu $3x - y = 0$:

$3 \cdot (-1) - (-3) = 0$

Jednakost je istinita. Sve što ostaje je pronaći formulu za vektor smjera:

$\bar(p)(-B; A) \implicira \bar(p)(1; 3)$

odgovor:$3x - y = 0; \bar(p)(1; 3).$

Pravo u avion.

Opšta jednačina prave linije.

Pre nego što uvedemo opštu jednačinu prave na ravni, uvedemo opštu definiciju prave.

Definicija. Jednačina oblika

F (x,y )=0 (1)

nazvana jednačina linije L u datom koordinatnom sistemu, ako koordinate to zadovoljavaju X I at bilo koja tačka koja leži na liniji L, i ne zadovoljavaju koordinate bilo koje tačke koja ne leži na ovoj pravoj.

Stepen jednačine (1) određuje redosled. Reći ćemo da jednačina (1) definira (postavlja) pravu L.

Definicija. Jednačina oblika

Ah+Bu+C=0 (2)

za proizvoljne koeficijente A, IN, WITH (A I IN nisu u isto vrijeme jednake nuli) definiraju određenu pravu liniju u pravokutnom koordinatnom sistemu. Ova jednačina se zove opšta jednačina prave.

Jednačina (2) je jednačina prvog stepena, tako da je svaka prava linija prvog reda i, obrnuto, svaka linija prvog reda je prava.

Razmotrimo tri posebna slučaja kada je jednadžba (2) nepotpuna, tj. neki od koeficijenata je nula.

1)Ako S=0, tada jednačina ima oblik Ah+Wu=0 i definira pravu liniju koja prolazi kroz ishodište koordinata jer koordinate (0,0) zadovoljiti ovu jednačinu.

2)Ako B=0 (A≠0), tada jednačina ima oblik Ax+C=0 i definiše pravu liniju paralelno sa osom ordinate Rješavanje ove jednadžbe za varijablu X dobijamo jednačinu oblika x=a, Gdje a=-C/A, A- veličina segmenta koji je odsječen ravnom linijom na osi apscise. Ako a=0 (S=0 OU(Sl. 1a). Dakle, ravno x=0 definira os ordinate.

3)Ako A=0 (B≠0), tada jednačina ima oblik Wu+C=0 i definiše pravu liniju paralelnu sa x-osi. Rješavanje ove jednadžbe za varijablu at dobijamo jednačinu oblika y=b, Gdje b = -S/V, b- veličina segmenta koji odsijeca ravnu liniju na osi ordinate. Ako b =0 (S=0), tada se prava poklapa sa osom Oh(Sl. 1b). Dakle, ravno y=0 definira x-osu.

A) b)

Jednačina prave u segmentima.

Neka je data jednadžba Ah+Bu+C=0 pod uslovom da nijedan od koeficijenata nije nula. Prenesimo koeficijent WITH na desnu stranu i podijelite sa -WITH oba dijela.

Koristeći notaciju uvedenu u prvom paragrafu, dobijamo jednačinu prave linije " u segmentima»:

Ovo ime ima zbog brojeva A I b su vrijednosti segmenata koje prava linija odsijeca na koordinatnim osama.

Primjer 2x-3y+6=0. Sastavite jednačinu "u segmentima" za ovu liniju i konstruirajte ovu liniju.

Rješenje

Da bismo konstruirali ovu pravu liniju, nacrtajmo na osi Oh linijski segment a=-3, i na osi OU linijski segment b =2. Kroz dobijene tačke povlačimo pravu liniju (slika 2).

Jednačina prave linije sa ugaonim koeficijentom.

Neka je data jednadžba Ah+Bu+C=0 pod uslovom da je koeficijent IN nije jednako nuli. Izvršimo sljedeće transformacije

Jednačina (4), gdje je k =-A/B, naziva se jednadžba prave linije sa nagibom k.

Definicija. Ugao nagiba dato ravno do ose Oh nazovimo ugao α , na koju osovinu treba rotirati Oh tako da se njegov pozitivni pravac poklapa sa jednim od pravaca prave.

Tangenta ugla nagiba prave linije prema osi Oh jednak nagibu, tj. k =tgα. Dokažimo to –A/B zaista jednaka k. Od pravougaonog trougla ΔOAV(slika 3) izražavamo tgα, Izvršimo potrebne transformacije i dobijemo:

Q.E.D.

Ako k =0, tada je prava paralelna sa osom Oh, a njegova jednadžba ima oblik y=b.

Primjer. Prava linija je data opštom jednačinom 4x+2y-2=0. Napišite jednačinu sa nagibom za ovu pravu.

Rješenje. Izvršimo transformacije slične onima opisanim gore, dobićemo:

Gdje k=-2, b=1.

Jednačina prave koja prolazi kroz datu tačku sa datim nagibom.

Neka se da poen M 0 (x 0,y 0) prava linija i njen nagib k. Zapišimo jednačinu prave u obliku (4), gdje je b— još nepoznat broj. Od tačke M 0 pripada datoj liniji, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačinu (4): . Zamjena izraza za b u (4) dobijamo traženu jednačinu prave:

Primjer. Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačku M(1,2) i nagnuta je prema osi Oh pod uglom od 450.

Rješenje. k =tgα =tg 45 0 =1. Odavde: .

Jednačina prave koja prolazi kroz dvije date tačke.

Neka su data dva boda M 1 (x 1,y 1) I M 2 (x 2,y 2). Zapišimo jednačinu prave u obliku (5), gdje je k još nepoznati koeficijent:

Od tačke M 2 pripada datoj liniji, tada njene koordinate zadovoljavaju jednačinu (5): . Izražavajući odavde i zamenjujući je u jednačinu (5), dobijamo traženu jednačinu:

Ako se ova jednačina može prepisati u obliku koji je pogodniji za pamćenje:

Primjer. Zapišite jednačinu prave koja prolazi kroz tačke M 1 (1,2) i M 2 (-2,3)

Rješenje. . Koristeći svojstvo proporcije i izvodeći potrebne transformacije, dobijamo opštu jednačinu prave linije:

Ugao između dvije prave linije

Razmotrite dvije ravne linije l 1 I l 2:

l 1: , , I

l 2: , ,

φ je ugao između njih (). Sa slike 4 je jasno: .

Odavde, ili

l 2 su, dakle, paralelne φ=0 I tgφ =0. iz formule (7) slijedi da , odakle k 2 =k 1. Dakle, uvjet za paralelnost dvije prave je jednakost njihovih ugaonih koeficijenata.

Ako je ravno l 1 I l 2 su onda okomite φ=π/2, α 2 = π/2+ α 1 .. Dakle, uslov za okomitost dvije prave je da su njihovi ugaoni koeficijenti inverzni po veličini i suprotni po predznaku.

Linearnost jednačine pravolinijske i njena obrnuto.

Direktni i normalni vektori.

Vektor normalne linijeje bilo koji vektor različit od nule koji leži na bilo kojoj pravoj okomitoj na datu jedinicu.

Direktan vektorje bilo koji vektor različit od nule koji leži na datoj pravoj ili na pravoj paralelnoj s njom.

Postoji niz zadataka koji zahtijevaju da se riješi normalan vektor na ravni nego sama ravan. Stoga ćemo u ovom članku dobiti odgovor na pitanje određivanja normalnog vektora s primjerima i vizualnim crtežima. Odredimo vektore trodimenzionalnog prostora i ravni pomoću jednačina.

Da bi se materijal lako apsorbirao, potrebno je prvo proučiti teoriju prave linije u prostoru i njenu reprezentaciju na ravnima i vektorima.

Definicija 1

Normalni vektor ravni Razmatra se svaki vektor različit od nule koji leži na pravoj okomitoj na datu ravan.

Iz toga slijedi da postoji veliki broj normalnih vektora u datoj ravni. Pogledajmo sliku ispod.

Normalni vektori leže na paralelnim linijama, tako da su svi kolinearni. To jest, sa normalnim vektorom n → lociranim u γ ravni, vektor t · n →, koji ima vrijednost različitu od nule parametra t, također je normalni vektor γ ravni. Svaki vektor se može smatrati vektorom pravca prave koja je okomita na ovu ravan.

Postoje slučajevi koincidencije normalnih vektora ravnina zbog okomitosti jedne od paralelnih ravnina, jer je i prava okomita na drugu ravan. Iz toga slijedi da normalni vektori okomitih ravni moraju biti okomiti.

Pogledajmo primjer normalnog vektora na ravni.

Naveden je pravougaoni koordinatni sistem O x y z u trodimenzionalnom prostoru. Koordinatni vektori i →, j →, k → smatraju se normalnim vektorima ravni O y z, O x z i O x y. Ovaj sud je tačan, jer su i → , j → , k → različiti od nule i nalaze se na koordinatnim linijama O x , O y i O z . Ove linije su okomite na koordinatne ravni O y z, O x z i O x y.

Koordinate vektora normale ravni - pronalaženje koordinata vektora normale ravni iz jednačine ravnine

Svrha članka je da nauči kako pronaći koordinate vektora normale ravni sa poznatom jednadžbom ravnine pravokutnog koordinatnog sistema O x y z. Da bi se odredio vektor normale n → = (A, B, C) u ravni, potrebno je imati opštu jednačinu ravni, koja ima oblik A x + B y + C z + D = 0. Odnosno, dovoljno je imati jednadžbu ravnine, tada će biti moguće pronaći koordinate vektora normale.

Primjer 1

Pronađite koordinate vektora normale koji pripada ravni 2 x - 3 y + 7 z - 11 = 0.

Rješenje

Po uslovu imamo jednačinu ravni. Potrebno je obratiti pažnju na koeficijente, jer su oni koordinate vektora normale date ravni. Odavde dobijamo da je n → = (2, - 3, 7) vektor normale ravni. Svi ravni vektori su specificirani pomoću formule t n → = 2 t, - 3 t, 7 t, t je bilo koji pravi broj nije jednako nuli.

Odgovor: n → = (2, - 3, 7) .

Primjer 2

Odredite koordinate vektora pravca date ravni x + 2 z - 7 = 0.

Rješenje

Pod uslovom imamo da je data nepotpuna jednačina ravni. Da biste vidjeli koordinate, trebate pretvoriti jednačinu x + 2 z - 7 = 0 u 1 x + 0 y + 2 z - 7 = 0. Odavde dobijamo da su koordinate vektora normale ove ravni jednake (1, 0, 2). Tada će skup vektora imati sljedeći oblik (t, 0, 2 · t), t ∈ R, t ≠ 0.

Odgovor: (t, 0, 2 · t), t ∈ R, t ≠ 0.

Koristeći jednadžbu ravnine u segmentima, koja ima oblik x a + y b + z c = 1, i opštu jednačinu ravni, moguće je napisati vektor normale ove ravni, gdje su koordinate 1 a, 1 b , grad.

Poznavanje vektora normale omogućava vam da s lakoćom rješavate probleme. Najčešći problemi su zadaci sa dokazom paralelizma ili okomitosti ravnina. Rješavanje problema koji uključuju sastavljanje jednačina za datu ravan je značajno pojednostavljeno. Ako postoji pitanje o pronalaženju ugla između ravnina ili između prave i ravnine, onda će formule za normalni vektor i pronalaženje njegovih koordinata pomoći u tome.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter