Uslovi zavisnosti sistema vektora. Linearna zavisnost i linearna nezavisnost vektora. Osnova vektora. Afini koordinatni sistem. Primjeri problema za proučavanje kolinearnosti vektora

U nastavku je dato nekoliko kriterijuma za linearnu zavisnost i, shodno tome, linearnu nezavisnost vektorskih sistema.

Teorema. (Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost vektora.)

Sistem vektora je zavisan ako i samo ako je jedan od vektora sistema linearno izražen kroz ostale u ovom sistemu.

Dokaz. Nužnost. Neka je sistem linearno zavisan. Tada, po definiciji, predstavlja nulti vektor netrivijalno, tj. postoji netrivijalna kombinacija ovog sistema vektora jednaka nultom vektoru:

pri čemu barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka , .

Podijelimo obje strane prethodne jednakosti ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnožimo sa:

Označimo: , gdje .

one. jedan od vektora sistema se linearno izražava kroz ostale ovog sistema itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sistema linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema:

Pomaknimo vektor desno od ove jednakosti:

Pošto je koeficijent vektora jednak , onda imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sistemom vektora, što znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1. Vektorski sistem vektorski prostor je linearno nezavisna ako i samo ako nijedan od vektora sistema nije linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

2. Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Dokaz.

1) Nužnost. Neka je sistem linearno nezavisan. Pretpostavimo suprotno i postoji vektor sistema koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema. Tada je, prema teoremi, sistem linearno zavisan i dolazimo do kontradikcije.

Adekvatnost. Neka nijedan od vektora sistema ne bude izražen u terminima ostalih. Pretpostavimo suprotno. Neka je sistem linearno zavisan, ali onda iz teoreme proizilazi da postoji vektor sistema koji je linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema i opet dolazimo do kontradikcije.

2a) Neka sistem sadrži nulti vektor. Pretpostavimo radi određenosti da je vektor :. Tada je jednakost očigledna

one. jedan od vektora sistema je linearno izražen kroz ostale vektore ovog sistema. Iz teoreme slijedi da je takav sistem vektora linearno zavisan, itd.

Imajte na umu da se ova činjenica može dokazati direktno iz linearno zavisnog sistema vektora.

Budući da , sljedeća jednakost je očigledna

Ovo je netrivijalan prikaz nultog vektora, što znači da je sistem linearno zavisan.

2b) Neka sistem ima dva jednaka vektora. Neka za . Tada je jednakost očigledna

One. prvi vektor je linearno izražen kroz preostale vektore istog sistema. Iz teoreme slijedi da ovaj sistem linearno zavisna, itd.

Slično kao i prethodni, ova tvrdnja se može dokazati direktno definicijom linearno zavisnog sistema.Tada ovaj sistem netrivijalno predstavlja nulti vektor

odakle sledi linearna zavisnost sistema.

Teorema je dokazana.

Posljedica. Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je ovaj vektor različit od nule.

Vektorski prostor. Primjeri i najjednostavnija svojstva vektorskih prostora. Linearna zavisnost i nezavisnost sistema vektora Osnova i rang konačnog sistema vektora.

Linearni ili vektorski prostor L(P) nad poljem P je neprazan skup L na kojem su uvedene sljedeće operacije:

1. sabiranje, to jest, svaki par elemenata skupa je pridružen elementu istog skupa, označen kao x + yϵL

2. množenje skalarom (tj. elementom polja P), to jest, bilo koji element λ ϵ P i bilo koji element x ϵ L je povezan sa jednim elementom iz L(P), označenim λx ϵ L(P ).

U ovom slučaju, za operacije se nameću sljedeći uslovi:

1. x+ y= y+ x, za bilo koje x,y ϵ L. (komutativnost kontrakcije)

2.x+ (y+ z) = (x+ y) + z, x,y,z ϵ L. (asocijativnost kontrakcije)

3. postoji takva stvar θ ϵ L, koji x+ θ =x Za anyx ϵ L (postojanje neutralnog elementa u odnosu na sabiranje), posebno, nije prazan;

4.za bilo koje x ϵ L postoji element -x ϵ L takav da x+(-x)= θ (postojanje suprotnog elementa u odnosu na sabiranje).

5.(αβ)h=α(βh), (asocijativnost množenja skalarom)

6.1*x=x (jedinstvenost: množenje neutralnim (množenjem) elementom polja P čuva vektor).

7.(α+ β)* x= α* x+ β*x, (distributivnost množenja vektorom u odnosu na sabiranje skalara);

8. α * (x+y) = α *x+ α *y, (distributivnost množenja skalarom u odnosu na sabiranje vektora).

Elementi skupa L nazivaju se vektori, a elementi polja P nazivaju se skalari. Svojstva 1-4 poklapaju se sa aksiomima Abelove grupe.

Najjednostavniji sveci:

1. Vektorski prostor je Abelova grupa pod sabiranjem.

2. Za bilo koji x ϵ L suprotni element -x ϵ L je jedinstven

3. 0*X=θ, za bilo koje x ϵ L

4. 1*(-x)=-x za bilo koga x ϵ L

5.α * θ = θ ,za bilo koje αϵ L

Primjer VP su m\in matrice sa realnim komponentama istog reda sa prirodnom definicijom operacija sabiranja i množenja. Matrice za brojeve tvari

Linearna zavisnost\(ne) sistem vektora (definicija, svojstva)

Teorema. (Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost sistema vektora.)

Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno zavisan ako i samo ako je jedan od vektora sistema linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

Dokaz. Nužnost. Neka je sistem e 1 ..e n linearno zavisan. Tada, po definiciji, predstavlja nulti vektor netrivijalno, tj. postoji netrivijalna linearna kombinacija ovog sistema vektora jednaka nultom vektoru:

α 1 e 1 +..+ α n e n =0, pri čemu barem jedan od koeficijenata ove linearne kombinacije nije jednak nuli. Neka α k ≠0 ,kϵ 1.2…n Podijeli obje strane prethodne jednakosti ovim koeficijentom koji nije nula (tj. pomnoži sa α k -1 *(α 1 e 1 +..+ αa n e n) =0

Označimo: α k -1 α m =β m gdje je mϵ 1,2…,k-1,k+1,..,n Tada je β 1 e 1+ … +β 1 e n =0, tj. jedan od vektora sistema se linearno izražava kroz druge vektore ovog sistema itd.

Adekvatnost. Neka je jedan od vektora sistema linearno izražen kroz druge vektore ovog sistema: e k =γ 1 e 1+..+ γ n e n , Pomerimo vektor e k na desnu stranu ove jednakosti: 0=γ 1 e 1+..+ γ n e n

Pošto je koeficijent vektora e k jednak -1≠0, onda imamo netrivijalnu reprezentaciju nule sistemom vektora e 1 ..e n što znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan, itd.

Teorema je dokazana.

Posljedica.

1. Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno nezavisan ako i samo ako nijedan od vektora sistema nije linearno izražen u terminima drugih vektora ovog sistema.

2. Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Posljedica.

Sistem koji se sastoji od jednog vektora je linearno nezavisan ako i samo ako je ovaj vektor različit od nule.

Baza je skup vektora u vektorskom prostoru tako da se bilo koji vektor u ovom prostoru može jedinstveno predstaviti kao linearna kombinacija vektora iz ovog skupa - bazni vektori.

Broj vektora uključenih u bilo koji maksimalni linearno nezavisni podsistem datog sistema vektora se naziva rang sistemima.

Teorema. Neka su data dva sistema P- dimenzionalni vektori:

a 1 ,a 2 ¼, a r (9)

b 1 ,b 2 ¼, bs, (10)

nije nužno linearno nezavisan, a rang sistema (9) jednak broju k, sistemski rang (10) – broj l. Ako je prvi sistem linearno izražen kroz drugi, onda k £ l. Ako ovi sistemi su ekvivalentni, To k = l.

Broj elemenata (kardinalnost) maksimalnog linearno nezavisnog podskupa prostora ne zavisi od izbora ovog podskupa i naziva se rang ili dimenzija prostora, a sam ovaj podskup naziva se baza

U ovom članku ćemo pokriti:

šta su kolinearni vektori;
koji su uslovi kolinearnosti vektora;
koja svojstva kolinearnih vektora postoje;
kolika je linearna zavisnost kolinearnih vektora.

Definicija 1

Kolinearni vektori su vektori koji su paralelni jednoj pravoj ili leže na jednoj pravoj.

Primjer 1

Uvjeti kolinearnosti vektora

Dva vektora su kolinearna ako je tačan bilo koji od sljedećih uslova:

stanje 1 . Vektori a i b su kolinearni ako postoji broj λ takav da je a = λ b;
stanje 2 . Vektori a i b su kolinearni sa jednakim koordinatnim omjerima:

a = (a 1 ; a 2) , b = (b 1 ; b 2) ⇒ a ∥ b ⇔ a 1 b 1 = a 2 b 2

stanje 3 . Vektori a i b su kolinearni pod uslovom da su unakrsni proizvod i nulti vektor jednaki:

a ∥ b ⇔ a, b = 0

Napomena 1

Stanje 2 nije primjenjivo ako je jedna od vektorskih koordinata nula.

Napomena 2

Stanje 3 odnosi se samo na one vektore koji su specificirani u prostoru.

Primjeri problema za proučavanje kolinearnosti vektora

Primjer 1

Ispitujemo kolinearnost vektora a = (1; 3) i b = (2; 1).

Kako riješiti?

U ovom slučaju potrebno je koristiti 2. uslov kolinearnosti. Za date vektore to izgleda ovako:

Jednakost je lažna. Iz ovoga možemo zaključiti da su vektori a i b nekolinearni.

Odgovori : a | | b

Primjer 2

Koja je vrijednost m vektora a = (1; 2) i b = (- 1; m) neophodna da bi vektori bili kolinearni?

Kako riješiti?

Koristeći drugi uslov kolinearnosti, vektori će biti kolinearni ako su njihove koordinate proporcionalne:

Ovo pokazuje da je m = - 2.

odgovor: m = - 2 .

Kriterijumi za linearnu zavisnost i linearnu nezavisnost vektorskih sistema

Teorema

Sistem vektora u vektorskom prostoru je linearno zavisan samo ako se jedan od vektora sistema može izraziti u terminima preostalih vektora ovog sistema.

Dokaz

Neka je sistem e 1 , e 2 , . . . , e n je linearno zavisan. Napišimo linearnu kombinaciju ovog sistema jednaku nultom vektoru:

a 1 e 1 + a 2 e 2 + . . . + a n e n = 0

u kojoj barem jedan od koeficijenata kombinacije nije jednak nuli.

Neka je a k ≠ 0 k ∈ 1 , 2 , . . . , n.

Obje strane jednakosti dijelimo nenultim koeficijentom:

a k - 1 (a k - 1 a 1) e 1 + (a k - 1 a k) e k + . . . + (a k - 1 a n) e n = 0

Označimo:

A k - 1 a m , gdje je m ∈ 1 , 2 , . . . , k - 1 , k + 1 , n

U ovom slučaju:

β 1 e 1 + . . . + β k - 1 e k - 1 + β k + 1 e k + 1 + . . . + β n e n = 0

ili e k = (- β 1) e 1 + . . . + (- β k - 1) e k - 1 + (- β k + 1) e k + 1 + . . . + (- β n) e n

Iz toga slijedi da je jedan od vektora sistema izražen kroz sve ostale vektore sistema. Što je trebalo dokazati (itd.).

Adekvatnost

Neka je jedan od vektora linearno izražen kroz sve ostale vektore sistema:

e k = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Vektor e k pomjerimo na desnu stranu ove jednakosti:

0 = γ 1 e 1 + . . . + γ k - 1 e k - 1 - e k + γ k + 1 e k + 1 + . . . + γ n e n

Pošto je koeficijent vektora e k jednak - 1 ≠ 0, dobijamo netrivijalnu predstavu nule sistemom vektora e 1, e 2, . . . , e n , a to zauzvrat znači da je ovaj sistem vektora linearno zavisan. Što je trebalo dokazati (itd.).

Posljedica:

Sistem vektora je linearno nezavisan kada se nijedan od njegovih vektora ne može izraziti u terminima svih drugih vektora sistema.
Sistem vektora koji sadrži nulti vektor ili dva jednaka vektora je linearno zavisan.

Svojstva linearno zavisnih vektora

Za 2- i 3-dimenzionalne vektore ispunjen je sljedeći uvjet: dva linearno zavisna vektora su kolinearna. Dva kolinearna vektora su linearno zavisna.
Za 3-dimenzionalne vektore, ispunjen je sljedeći uvjet: tri linearno zavisna vektora su komplanarna. (3 koplanarna vektora su linearno zavisna).
Za n-dimenzionalne vektore, ispunjen je sljedeći uvjet: n + 1 vektora je uvijek linearno zavisno.

Primjeri rješavanja problema koji uključuju linearnu ovisnost ili linearnu neovisnost vektora

Primjer 3

Provjerimo linearnu nezavisnost vektora a = 3, 4, 5, b = - 3, 0, 5, c = 4, 4, 4, d = 3, 4, 0.

Rješenje. Vektori su linearno zavisni jer je dimenzija vektora manja od broja vektora.

Primjer 4

Provjerimo linearnu nezavisnost vektora a = 1, 1, 1, b = 1, 2, 0, c = 0, - 1, 1.

Rješenje. Pronalazimo vrijednosti koeficijenata pri kojima će linearna kombinacija biti jednaka nultom vektoru:

x 1 a + x 2 b + x 3 c 1 = 0

Zapisujemo vektorsku jednačinu u linearnom obliku:

x 1 + x 2 = 0 x 1 + 2 x 2 - x 3 = 0 x 1 + x 3 = 0

Ovaj sistem rješavamo Gaussovom metodom:

1 1 0 | 0 1 2 - 1 | 0 1 0 1 | 0 ~

Od 2. reda oduzimamo 1., od 3. - 1.:

~ 1 1 0 | 0 1 - 1 2 - 1 - 1 - 0 | 0 - 0 1 - 1 0 - 1 1 - 0 | 0 - 0 ~ 1 1 0 | 0 0 1 - 1 | 0 0 - 1 1 | 0 ~

Od 1. reda oduzimamo 2., u 3. dodajemo 2.:

~ 1 - 0 1 - 1 0 - (- 1) | 0 - 0 0 1 - 1 | 0 0 + 0 - 1 + 1 1 + (- 1) | 0 + 0 ~ 0 1 0 | 1 0 1 - 1 | 0 0 0 0 | 0

Iz rješenja proizilazi da sistem ima mnogo rješenja. To znači da postoji različita od nule kombinacija vrijednosti takvih brojeva x 1, x 2, x 3 za koje je linearna kombinacija a, b, c jednaka nultom vektoru. Dakle, vektori a, b, c su linearno zavisna.

Ako primijetite grešku u tekstu, označite je i pritisnite Ctrl+Enter

Neka funkcije imaju izvode granice (n-1).

Uzmite u obzir odrednicu: (1)

W(x) se naziva determinanta Wronskog za funkcije.

Teorema 1. Ako su funkcije linearno zavisne u intervalu (a, b), onda je njihov Wronskian W(x) identično jednak nuli u ovom intervalu.

Dokaz. Prema uslovima teoreme, relacija je zadovoljena

, (2) gdje nisu svi jednaki nuli. Neka . Onda

(3). Ovaj identitet razlikujemo n-1 puta i,

Zamjenjujući umjesto toga njihove dobivene vrijednosti u Wronskyjevu determinantu,

dobijamo:

(4).

U determinanti Wronskog, posljednja kolona je linearna kombinacija prethodnih n-1 kolona i stoga je jednaka nuli u svim tačkama intervala (a, b).

Teorema 2. Ako su funkcije y1,…, yn linearno nezavisna rješenja jednadžbe L[y] = 0, čiji su svi koeficijenti kontinuirani u intervalu (a, b), onda je Wronskian ovih rješenja različit od nule u svakoj tački interval (a, b).

Dokaz. Pretpostavimo suprotno. Postoji X0, gdje je W(X0)=0. Kreirajmo sistem od n jednačina

(5).

Očigledno, sistem (5) ima rješenje različito od nule. Neka (6).

Napravimo linearnu kombinaciju rješenja y1,…, yn.

Y(x) je rješenje jednadžbe L[y] = 0. Osim toga, . Na osnovu teoreme jedinstvenosti, rješenje jednačine L[y] = 0 sa nultim početnim uslovima može biti samo nula, tj.

Dobijamo identitet gdje nisu svi jednaki nuli, što znači da su y1,..., yn linearno zavisne, što je u suprotnosti sa uslovima teoreme. Prema tome, ne postoji takva tačka u kojoj je W(X0)=0.

Na osnovu teoreme 1 i teoreme 2, može se formulisati sljedeća tvrdnja. Da bi n rješenja jednačine L[y] = 0 bila linearno neovisna u intervalu (a, b), potrebno je i dovoljno da njihov Wronskian ne nestane ni u jednoj tački ovog intervala.

Sljedeća očigledna svojstva Wronskiana također slijede iz dokazanih teorema.

Ako je Wronskian od n rješenja jednačine L[y] = 0 jednak nuli u jednoj tački x = x0 iz intervala (a, b), u kojem su svi koeficijenti pi(x) kontinuirani, tada je jednak nula u svim tačkama ovog intervala.
Ako je Wronskian od n rješenja jednačine L[y] = 0 različit od nule u jednoj tački x = x0 iz intervala (a, b), onda je različit od nule u svim tačkama ovog intervala.

Dakle, za linearnost n nezavisnih rješenja jednačine L[y] = 0 u intervalu (a, b), u kojem su koeficijenti jednačine ri(x) kontinuirani, potrebno je i dovoljno da njihov Wronskian bude različit od nule barem u jednoj tački ovog intervala.

Linearni (vektorski) prostori.

definicija: Gomila L pozvao linearni (vektorski) prostor , ako su na njemu unesene dvije operacije:

1) dodatak: za bilo koji x, y Ê L suma ( x + y) Ê L,

2) množenje brojem: za bilo koji x Ê L i bilo koji broj λ proizvod

λh Ê L,

koji zadovoljavaju 8 aksioma:

1) x + y = y + x, Gdje x,y Ê L;

2) (x + y)+z = x+(y + z), Gdje x,y,z Ê L;

3) postoji nulti element Ө takav da Ө + x = x, Gdje x Ê L;

4) za bilo koga x Ê L postoji samo jedan suprotan element

(-X) takav da x + (-x)= ɨ;

5) 1 x = x, Gdje x Ê L;

6) α(βh) = (αβ)h, Gdje x Ê L, α i β-brojevi;

7) α(x + y) = αx + αy, Gdje x,y Ê L, α-broj;

8) (α + β) x = αx + βx, Gdje x Ê L, α i β-brojevi.

Komentar: Pozivaju se elementi linearnog (vektorskog) prostora vektori .

primjeri:

Gomila realni brojevi je linearni prostor.

Skupovi svih vektora na ravni i u prostoru su linearni prostor.

Skup svih matrica iste veličine je linearni prostor.

Dat sistem vektora u linearnom prostoru a 1, a 2, a 3, ... a n Ê L.

definicija: Vector α 1 a 1 + α 2 a 2 +…+ α n a n Ê L, Gdje α i(i = 1,…,n) - brojevi, zv linearna kombinacija (LC) vektori a 1, a 2, a 3, ... a n.

definicija: Sistem linearnog vektorskog prostora a 1, a 2, a 3, ... a n Ê L pozvao linearno nezavisna (LNI) , ako je linearna kombinacija

α 1 a 1 + α 2 a 2 +α 3 a 3 +…+ α n a n =0 ako i samo ako su koeficijenti

α 1 =α 2 =α 3 =…=α n =0.

definicija: Vektorski sistem a 1, a 2, a 3, ... a n Ê L pozvao linearno zavisna (LZ) , ako postoji skup brojeva α 1, α 2 ,α 3 … α n, od kojih nisu svi jednaki 0, tako da je linearna kombinacija α 1 a 1 + α 2 a 2 +…+ α n a n = 0.

primjeri:

Dva vektora se nazivaju kolinearno, ako su paralelni s jednom pravom ili leže na jednoj pravoj.

1) Razmotrimo dva ne-nula, nekolinearna vektora na ravni. Dijagonala =0.

a 2

Linearna kombinacija je jednaka nuli, postoji koeficijent različit od nule, dakle, dva kolinearna vektora na ravni su linearno zavisna.

Teorema 1. Neophodan i dovoljan uslov za linearnu zavisnost.

Da bi sistem vektora u linearnom prostoru bio linearno zavisan, neophodno je i dovoljno da neki vektor ovog sistema bude linearna kombinacija svih ostalih.

dokument: Nužnost ().

S obzirom na LZ sistem. Potrebno je dokazati da je jedan vektor LC svih ostalih.

a 1, a 2, a 3, ... a n– LZ sistem vektora, tj. među α 1, α 2,α 3 … α n postoji broj različit od nule takav da je LC α 1 a 1 + α 2 a 2 +α 3 a 3 +…+ α n a n = 0.

Da bismo to odredili, pretpostavimo da je koeficijent α 1 ≠ 0. Podijelimo obje strane posljednje jednakosti sa α 1 ≠ 0:

Iz toga slijedi a 1- LC preostalih vektora.

Potreba je dokazana.

Adekvatnost ().

Neka je jedan vektor linearna kombinacija ostalih. Potrebno je dokazati da je sistem vektora LZ.

Neka α n = α 1 a 1 + α 2 a 2 +α 3 a 3 +…+ α n -1 a n -1.

α 1 a 1 + α 2 a 2 +α 3 a 3 +…+ α n -1 a n -1 - 1α n = 0.

Pošto postoji koeficijent različit od nule, sistem vektora a 1, a 2, a 3, ... a n- linearno zavisna.

Teorema 2. Sistem koji sadrži nulti vektor je linearno zavisan.

dokument: Razmotrimo sistem vektora koji sadrži nulti vektor. a 1, a 2, a 3, … a n ,ɨ, Gdje Ө - nulti vektor. Očigledno vrijedi sljedeća jednakost 0 a 1 + 0 a 2 +0 a 3 +…+ 5 Ө = 0.

Postoji koeficijent različit od nule jednak 5, a linearna kombinacija jednaka 0, iz toga slijedi da je sistem vektora LZ.

Teorema 3. Sistem koji sadrži linearno ovisan podsistem će također biti linearno ovisan.

dokument: Razmotrimo sistem vektora a 1, a 2, ..., a k, a k+1 ... a n, Gdje a 1, a 2,…, a k- linearno zavisan komad. α 1 a 1 + α 2 a 2 + … +α k a k = 0. Postoji koeficijent različit od nule.

Očigledno je da će sa ovim istim koeficijentima jednakost biti zadovoljena

α 1 a 1 + α 2 a 2 +…+α k a k +…+0· a k+1 +…+ 0·α n = 0.

Iz toga slijedi da je sistem vektora LZ.