Simpsonova metoda numeričke integracije. Kako izračunati definitivni integral koristeći Simpsonovu formulu? Primjeri približnog izračunavanja određenih integrala metodom parabole

Suština Simpsonove metode je da se aproksimira integrand na segmentu interpolirajućim polinomom drugog stepena p2(x), tj. aproksimacija grafa funkcije na segmentu parabolom. Tri tačke se koriste za interpolaciju integrala.

Razmotrimo proizvoljan integral. Upotrijebimo promjenu varijable tako da granice segmenta integracije postanu [-1,1]. Da biste to učinili, uvedite varijablu z:

Razmotrimo problem interpolacije integranda koristeći tri ekvidistantne čvorne tačke z = -1, z = 0, z = +1 kao čvorove (korak je 1, dužina segmenta integracije je 2). Označimo odgovarajuće vrijednosti integranda na interpolacijskim čvorovima:

Sistem jednadžbi za pronalaženje koeficijenata polinoma koji prolazi kroz tri tačke (-1, f-1), (0, f0) i (1, f-+1) imaće oblik:

Koeficijenti se mogu lako dobiti:

Izračunajmo sada vrijednost integrala interpolacionog polinoma:

Inverznom promjenom varijable vraćamo se na originalni integral. Uzmimo u obzir da:

odgovara

odgovara

odgovara

Dobijamo Simpsonovu formulu za proizvoljni interval integracije:

Rezultirajuća vrijednost poklapa se s površinom krivolinijskog trapeza omeđenog osom x, pravim linijama x = x0, x = x2 i parabolom koja prolazi kroz tačke

Ako je potrebno, originalni segment integracije se može podijeliti na N dvostrukih segmenata, na svaki od kojih se primjenjuje Simpsonova formula. Korak interpolacije će biti:

Za prvi segment integracije interpolacijski čvorovi će biti tačke a, a+h, a+2h, za drugi a+2h, a+3h, a+4h, za treći a+4h, a+5h, a +6h itd. Približna vrijednost integrala se dobija zbrajanjem N površina:

integraciona numerička metoda simpson

Ovaj zbir uključuje identične termine (za interne čvorove sa parnom vrijednošću indeksa - 2i). Stoga možemo preurediti članove u ovom zbiru na sljedeći način:

Uzimajući u obzir šta dobijamo:

Procijenimo sada grešku integracije koristeći Simpsonovu formulu. Pretpostavit ćemo da funkcija na intervalu ima kontinuirane izvode. Hajde da napravimo razliku:

Sukcesivnom primjenom teoreme srednje vrijednosti na ovu razliku i diferenciranjem R(h), dobijamo grešku Simpsonove metode:

Greška metode se smanjuje proporcionalno dužini koraka integracije na četvrti stepen, tj. Kada se broj intervala udvostruči, greška se smanjuje za 16 puta.

Prednosti i nedostaci

Simpsonove i Newton-Cotesove formule su dobar alat za izračunavanje određenog integrala dovoljan broj puta za kontinuirano diferencijabilnu funkciju. Dakle, pod uslovom da četvrti izvod nije prevelik, Simpsonova metoda omogućava da se dobije prilično visoka tačnost. Istovremeno, njegov algebarski red tačnosti je 3, a Simpsonova formula je tačna za polinome stepena ne višeg od tri.

Takođe, Newton-Cotes metode, a posebno Simpsonova metoda će biti najefikasnije u slučajevima kada nema apriorne informacije o glatkoći integranda, tj. kada je integrand dat u tabeli.

Tekst rada je objavljen bez slika i formula.
Puna verzija rad je dostupan na kartici "Radni fajlovi" u PDF formatu

Uvod

Već u 10. razredu sam počeo da razmišljam da li ću morati da polažem profil Jedinstveni državni ispit matematike. Odlučivanje Zadaci objedinjenog državnog ispita, naišao sam na zadatke nalaženja zapremine poliedara i tela rotacije, iako su to zadaci iz programa za 11. razred. Zainteresovavši se za ovo pitanje, saznao sam da zbog raznolikosti geometrijskih oblika tijela postoji ogroman broj formula za pronalaženje površina i volumena (svaka figura i svako tijelo imaju svoju formulu). Gledajući formule u geometriji, uvjerio sam se da je ogroman broj formula vezan za površine i zapremine figura. Postoji više od dvanaest takvih formula za površine ravnih figura i više od deset za volumene prostornih tijela.

I pitao sam se pitanje: Postoji li tako univerzalna formula za pronalaženje površine i zapremine geometrijskih oblika i tijela?

Mislim da je tema ovog projekta relevantan ne samo među studentima, već i među odraslima, jer Školski program se vremenom zaboravlja, a malo ljudi zna da postoji takva formula koja objedinjuje sve ostale brojne i teško pamtljive formule za pronalaženje volumena.

Problem

U nastavu geometrije potrebno je uvesti univerzalnu formulu koja omogućava zamjenu velikog broja formula za površine ravnih figura i zapremine prostornih tijela.

Hipoteza

U 18. veku, engleski matematičar Tomas Simpson izveo je formulu za pronalaženje određenih površina ravnih figura i zapremina prostornih tela računajući površine donje, gornje i srednje baze.

Pretpostavljam da će ova univerzalna formula zamijeniti sve navedene formule i učiniti ih lakšim za pamćenje.

Cilj rada: dokazati da Simpsonova univerzalna formula može zamijeniti sve formule površine i zapremine koje se izučavaju u školskom kursu geometrije i da se može koristiti ne samo u praksi, već i na ispitima, uključujući Jedinstveni državni ispit.

Ciljevi posla:

Proučavati glavne karakteristike geometrijskih tijela: prizma, piramida, konus, cilindar, lopta;

Proučite dostupnu literaturu o ovoj temi.

Koristeći univerzalnu formulu, izvedite formule za površine i zapremine za sve figure i tijela.

Uporedite dobijene formule sa formulama predloženim u udžbeniku.

Upoznajte srednjoškolce sa ovom formulom i putem upitnika saznajte da li je zgodno koristiti je prilikom priprema za ispite.

Praktični značaj mog rada: Rezultati ovog rada mogu se koristiti u školskoj praksi, odnosno u nastavi geometrije i algebre , prilikom pripreme i polaganja Jedinstvenog državnog ispita.

Poglavlje 1 Kratke karakteristike svojstva geometrijskih tijela

Školski predmet geometrije je podijeljen na planimetriju i stereometriju. Od 7. do 9. razreda proučavao sam svojstva figura na ravni, uključujući formule za pronalaženje njihovih površina (Dodatak 1-2).

U kursu 10. razreda počeo sam da učim deo geometrija-stereometrija koji proučava svojstva figura u prostoru. Prilikom pisanja rada uzeo sam u obzir geometrijska tijela i njihove površine. Volumetrijska geometrijska tijela dijele se na poliedre i tijela rotacije.

Poliedar- površina sastavljena od poligona i koja omeđuje određeno geometrijsko tijelo.

Tijela rotacije- geometrijska tijela dobijena rotacijom oko svoje ose. Tijela okretanja: cilindar, konus, lopta.

Poliedri mogu biti konveksni ili nekonveksni. Konveksni poliedri - nalaze se na jednoj strani ravni svakog lica. Nekonveksni poliedri - nalaze se na obje strane ravnine barem jednog lica.

Piramida

Paralelepiped

Poglavlje 2. Simpsonova formula

Thomas Simpson(20. avgust 1710 - 14. maj 1761) - engleski matematičar. Godine 1746. Simpson je izabran za člana Kraljevskog društva u Londonu, a ranije - za člana Matematičkog društva, osnovanog 1717. godine u Londonu. Godine 1758. izabran je za stranog člana Kraljevske švedske akademije nauka. Postavljen za profesora na Kraljevskoj vojnoj akademiji u Woolwichu, Simpson je sastavio udžbenike iz osnovne matematike. U posebnim odeljenjima geometrije razmatraju se zadaci o najvećim i najmanjim veličinama, rešeni elementarnom geometrijom, pravilnim poliedrima, merenjem površina, zapreminama tela i, konačno, mešoviti zadaci.

Postoji divna formula; Štaviše: pogodan je ne samo za izračunavanje zapremine cilindra, punog stošca i krnjeg stošca, već i za sve vrste prizmi, pune i krnje piramide, pa čak i za kuglu, kao i za izračunavanje površina avionske figure. Evo ove formule, poznate u matematici kao Simpsonova formula:

gdje je b 1 površina (dužina) donje baze

b 2 - površina (dužina) srednje baze

b 3 - površina (dužina) gornje osnove

2.1 Primjena Simpsonove formule za izvođenje formula za površine ravnih figura.

Naša univerzalna formula je b 1 = b 2 = b 3, tada dobijamo:

Odgovor: S= hb 1

Zaključak. Zaista, površina paralelograma jednaka je umnošku baze i visine.

Univerzalna formula.

Pošto je ABCD trapez, onda je b 2 njegova srednja linija, što znači

Tada dobijamo:

Zaključak. Zaista, površina trapeza jednaka je polovini umnoška dviju baza i visine.

Provodeći slične dokaze (Dodatak 3-4) za formule za površine trokuta, pravougaonika, kvadrata i romba, došao sam do zaključka da je Simpsonova univerzalna formula prikladna za izračunavanje površina ravnih figura kao što su: paralelogram, trapez, trokut, kvadrat, romb, pravougaonik.

2.2. Primjena Simpsonove formule za izvođenje formula za zapremine prostornih tijela.

Pošto je b 1 =b 2 =b 3, dobijamo:

Odgovor: V=b 1 h

Dokaz predložen u udžbeniku geometrije autora. L.S. Atanasyan u Dodatku 6.

Zaključak. Zaista, volumen prizme je jednak proizvodu površine baze i visine. Dokaz izvođenja formule za zapreminu cilindra izvodi se na sličan način (Prilog 5)

Rješenje: Kako je b 1 =0, a, onda dobijamo:

Dokaz predložen u udžbeniku geometrije autora. L.S. Atanasyan u Dodatku 9.

Zaključak. Zaista, zapremina stošca je jednaka jednoj trećini umnožaka površine osnove i visine. Dokaz izvođenja formule za zapreminu piramide izvodi se na sličan način (Dodatak 5 )

Tada dobijamo:

Zaključak. Izvedena formula se u potpunosti poklapa sa formulom predloženom u udžbeniku

Problem 6. Volumen lopte.

Dato: lopta

b 3 - površina gornje baze

Nađi: Vball.

(Sl. 11. Lopta)

Pošto je b 1 =b 3 =0, h=2R

Tada dobijamo:

Dokaz predložen u udžbeniku geometrije autora. L.S.Atanasyan u Dodatku 10

Zaključak: Formule za zapremine svih prostornih tijela proučavanih u 11. razredu se takođe lako izvode korištenjem Simpsonove univerzalne formule.

2.3 Praktična primjena formule

Sljedeća faza mog istraživanja je praktična upotreba(vidi Dodatak 11-12)

Zaključak. Ispostavilo se da su zapremine za svaki model geometrijskih tijela, pronađene na dva načina, jednake. Simpsonova formula je univerzalna za tijela kao što su piramida, cilindar, sfera, kocka i konus.

Imam formulu po kojoj možete približno izračunati zapreminu debla, a da se ne zapitate kakvo geometrijsko tijelo izgleda: cilindar, pun konus ili krnji konus. Poznavajući gustinu različitih vrsta drveta, možete izračunati stajaću težinu drveta. Rešio sam ovaj problem izračunavanjem zapremine debla kao zapremine cilindra, čiji je prečnik osnove jednak prečniku debla na sredini njegove dužine: u ovom slučaju rezultat je, međutim, potcijenjen, ponekad i za 12%. Bez velike greške, možete uzeti zapreminu stojećeg drveta kao polovinu zapremine cilindra iste visine prečnika jednakog prečniku drveta u visini prsa.

Napravivši proračune koristeći prethodno poznate formule, izračunao sam zapreminu stabla stojećeg drveta (vidi Dodatak 13)

Zaključak. Iz cjelokupne studije možemo zaključiti da imam formulu po kojoj možete približno izračunati zapreminu stabla i, poznavajući gustinu raznih vrsta drveta, odrediti stajaću težinu drveta.

Poglavlje 3. Ispitivanje studenata

3.1 Istraživanje i anketa

Sproveo sam istraživanje među učenicima 11. razreda (vidi Dodatak 13).

Svrha rada: utvrditi broj formula koje učenici mogu reproducirati bez ponavljanja za 10 minuta, tj. volumen „zaostalih“ formula.

Rezultati su bili sljedeći (vidi Dodatak 14):

Najveći broj reprodukovanih formula je 41, najmanji je 5. S obzirom na to da bi broj formula mogao da dostigne 500 u neograničenom vremenu, došao sam do zaključka da učenici ne pamte ogroman broj formula izučenih u školi. Reproducirane formule čine samo 8,2% od ukupnog broja proučavanih formula. Učenici su najčešće reproducirali formule iz algebre (trigonometrijske formule, logaritamske formule, formule za skraćeno množenje, formule za korijene kvadratne jednačine, izvode); u geometriji (formule za površine ravnih figura, neki volumeni prostornih tijela); nekoliko formula u fizici (formula kinetičke energije, gravitacije, sile trenja i MKT); u informatici () Bilo je prirodno, jer U matematici ima više formula nego u bilo kojoj drugoj nauci.

Nakon što sam vidio dobivene rezultate, odlučio sam utvrditi razloge ovako niskog rezultata. Napravila sam anketu (vidi Dodatak 14-15) među učenicima 11. razreda, u kojoj je traženo da odgovore na sljedeća pitanja:

Anketna pitanja.

Šta mislite, koliko formula treba da zna maturant?

A) pamćenje

B) razumijevanje

B) metoda asocijacije

D) ostalo

Rezultati su bili sljedeći (vidi Dodatak 15).

Pitanje 1. Od 60 do 250 formula

Pitanje 2. Iz dobijenih odgovora možemo zaključiti da učenici 11. razreda, prilikom pamćenja formula, pokušavaju da ih razumiju ili koriste učenje napamet.

Pitanje 3. Mišljenja učenika o ovaj problem nisu se složili, iako dijagram pokazuje da su uglavnom odgovorili sa „da“, tj. studenti vjeruju da broj formula koje treba zapamtiti odgovara nivou pamćenja prosječnog učenika.

Pitanje 4.Skoro svi učenici 11. razreda vole da koriste samo jednu - univerzalnu - umesto mnogo formula.

3.2 Testiranje

Sada znam da je Simpsonova formula zaista univerzalna i da se može primijeniti u životu. Ali da li je to zaista neophodno? Da bih odgovorio na ovo pitanje, predstavio sam formulu na času do 11. razreda, nakon čega sam izvršio testiranje (vidi Dodatak 16-17), i dobio sljedeće rezultate:

Test br. 1

23% je priznalo da im je teško pamtiti sve formule.

17% je reklo da im nije bilo teško naučiti sve formule, uključujući i Simpsonovu formulu.

60% učenika primijenilo je Simpsonovu formulu na neka geometrijska tijela i ona im je pomogla u rješavanju zadataka.

Test br. 2

100% tvrdi da im je Simpsonova formula laka za pamćenje.

0% je priznalo da ima nekih poteškoća da to zapamti.

Test br. 3

76% će koristiti ovu formulu u budućnosti.

24% je priznalo da im vjerovatno neće trebati.

Test br. 4

82% smatra da bi Simpsonova formula trebala biti uključena u školski program.

0% smatra da formula ne bi trebala biti uključena u školski program.

18% kaže da formulu treba uvrstiti u školski program, ali samo u specijalizovanim odjeljenjima.

Test br. 5

35% vjeruje da je zapamtiti jednu formulu za određivanje volumena nekoliko geometrijskih tijela odjednom mnogo lakše.

59% smatra da treba zapamtiti sve formule, uključujući i Simpsonovu formulu, jer se nikad ne zna koji će uslovi biti dati.

6% smatra da je dovoljno zapamtiti samo formule koje su uključene u školski program.

Ova formula se također može koristiti u rješavanju problema, uključujući i na Jedinstvenom državnom ispitu. . Navest ću primjere zadataka koji su davani u 11. razredu, a koje su učenici bez poteškoća rješavali:

Problem 1 Pravilna šesterokutna prizma visine 18 cm upisana je u cilindar polumjera osnove 4 cm. Odrediti zapreminu prizme.

Problem 2 U cilindar je upisana pravilna četvorougaona piramida, visine 24 cm i stranice osnove 5 cm. Pronađite zapreminu cilindra.

zaključak:

Zaključak

Tokom školovanja, učenici moraju znati veliki broj formula iz različitih predmeta. Anketa koju sam provela pokazala je da ne mogu svi učenici zapamtiti sve ove formule. Suočio sam se s problemom: potrebno je u nastavu geometrije uvesti univerzalnu formulu koja nam omogućava da zamijenimo veliki broj formula za površine ravnih figura i volumena prostornih tijela, odnosno formulu pogodnu za mnoge namjene i obavljanje raznih funkcija.

Predložio sam formulu engleskog matematičara Thomasa Simpsona

će vam omogućiti da zamijenite formule za površine figura i zapremine tijela jednom formulom.

Postavio sam sebi cilj: dokazati da Simpsonova univerzalna formula može zamijeniti sve proučavane formule za površine i volumene u školskom kursu geometrije. Ovaj cilj sam otkrio u nekoliko zadataka.

Kao rezultat mog rada, uvjerio sam se da mi Simpsonova formula omogućava da lako i brzo dokažem teoreme o zapremini tijela bez korištenja određenog integrala.

Kako bi se olakšao rad pamćenja i izvođenja formula, predlažem da prije proučavanja teme „Oblast figura“ nastavnik upozna učenike sa Simpsonovom formulom i pozove ih da samostalno izvedu formule koje se proučavaju. Dokaz predložen u udžbeniku nastavnik može koristiti kao dodatni materijal za čas ili kao domaći zadatak.

Sada, šetajući šumom, vjerovatno ćete biti zainteresirani za određivanje volumena bilo kojeg drveta. Izračunajte koliko kubnih metara drva sadrži, a istovremeno ga izvažite - saznajte da li bi bilo moguće, na primjer, prevesti takav prtljažnik na jednoj kolicima.

Imam formulu po kojoj možete približno izračunati zapreminu debla, a da se ne zapitate kakvo geometrijsko tijelo izgleda: cilindar, pun konus ili krnji konus.

Svoj rad smatram korisnim, jer... Izveo sam sve formule za oblasti i obimne koji se proučavaju u školi.

Iz rezultata ankete sam se uvjerio da je Simpsonova formula prilično jednostavna za pamćenje i da bi je trebalo uključiti u školski program.

Ova formula se može koristiti i na ispitima, uključujući Jedinstveni državni ispit.

Spisak korišćene literature:

Ya.I.Perelman. Zabavna algebra. Zanimljiva geometrija. - M., “AST”, 1999.

CD ROM. Odlična enciklopedijaĆirilo i Metodije, 2002.

L.S. Atanasyan i dr. Geometrija 10-11. Udžbenik za opšteobrazovne ustanove, - M., “Prosvjeta”, 2002.

https://ru.wikipedia.org/wiki

https://studfiles.net/preview/5433881/page:10/

https://studopedia.ru/6_126004_formula-simpsona.html

https://vuzlit.ru/940376/vyvod_formuly_simpsona

Aneks 1

Kratke karakteristike svojstava geometrijskih tijela

Trougao

Dodatak 2

Pravougaonik

Dodatak 3

b 3 =0, pošto je gornja baza tačka.

Kako je b 2 srednja linija u trokutu, onda dobijamo:

Zaključak. Zaista, površina trokuta je jednaka polovini umnoška baze i visine.

Rješenje: - univerzalna formula.

Pošto je ABCD kvadrat, onda je b 1 =b 2 =b 3 =h, onda dobijamo

Dodatak 4

Zaključak. Zaista, površina kvadrata jednaka je kvadratu njegove stranice.

Rješenje: - univerzalna formula.

Pošto je ABCD pravougaonik, onda je b 1 =b 2 =b 3, onda dobijamo:

Odgovor: S=hb 1.

Zaključak. Zaista, površina pravokutnika jednaka je dvjema susjednim stranicama.

Rješenje: - univerzalna formula.

b 1 =b 2 =b 3, onda dobijamo:

Dodatak 5

Problem 2. Zapremina cilindra.

Dato: Cilindar

b 1 - površina donje baze:

b 2 - područje srednjeg dijela:

b 3 - površina gornje baze.

Pronađite: Vcylinder

(Sl. 22. Cilindar)

Jer b 1 =b 2 =b 3, onda dobijamo:

Odgovor: V=b 1 h

Dokaz predložen u udžbeniku geometrije autora. L.S. Atanasyan u Dodatku 7.

Zaključak. Zaista, volumen cilindra jednak je proizvodu površine baze i visine.

Rješenje: Kako je b 3 =0, a, onda dobijamo:

odgovor: Dokaz predložen u udžbeniku geometrije autora. L.S. Atanasyan u Dodatku 8.

Dodatak 6

Dodatak 7.

Dodatak 8

Dodatak 9.

Dodatak 10

Dodatak 11

Zadatak br. 1. Izračunavamo volumen modela kocke koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo ivicu modela kocke: a = 10,5 cm V = a 3 = 1157,625 cm 3

Zadatak br. 2. Izračunavamo volumen modela pravilne šesterokutne piramide koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo visinu modela h = 17,2 cm i stranu osnove a = 6,5 cm.

Zadatak br. 3. Izračunavamo volumen modela cilindra koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo visinu modela h = 20,4 cm i polumjer baze R = 14 cm.

Dodatak 12

	Računamo S = π *R 2 = 3,14* 14 2 cm 2, V =S*h = 3,14*196*20,4 = 12554,976 cm 3 Izračunavamo volumen modela koristeći Simpsonovu formulu V = h/6 (S donja baza + S gornja baza + 4S srednji dio):
Površine gornje, donje osnove i srednjeg presjeka jednake su jedna drugoj S = π *R 2 = 3,14 * 14 2 = 615,44 cm 2, h = 20,4 cm. V =20,4/6*(20,4+20,4)=12554,976 cm 3
Zadatak br. 4. Izračunavamo volumen modela konusa koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo visinu modela h = 21 cm i polumjer baze R = 6 cm.
Zadatak br. 5. Izračunavamo volumen modela kugle koristeći uobičajenu formulu. Da bismo to učinili, mjerimo polumjer lopte R = 7 cm.

Dodatak 13

Obračun za brezu:

Obračun za aspen.

Obračun za bor.

Dodatak 14

Rezultati studije "Određivanje zapremine "rezidualnih" formula"

Dijagram 1. Određivanje broja “rezidualnih” formula.

Dijagram 2. Subjekti za koje su naznačene formule.

Dodatak 15

Koju metodu koristite za pamćenje formula?

A) pamćenje

B) razumijevanje

B) metoda asocijacije

D) ostalo

Dijagram 3. Metode pamćenja formula

Mislite li da broj formula koje treba zapamtiti odgovara nivou pamćenja prosječnog učenika?

Dijagram 4. Podudarnost broja formula sa nivoom pamćenja prosječnog učenika

Mislite li da za bolje pamćenje mnogih formula morate koristiti jednu univerzalnu formulu?

Dijagram 5. Potreba za korištenjem univerzalne formule

Dodatak 16

Dodatak 17

Problem nastaje oko numerički proračun definitivni integral, riješen korištenjem formula koje se nazivaju kvadratura.

Prisjetimo se najjednostavnijih formula za numeričku integraciju.

Izračunajmo približnu brojčanu vrijednost. Integracijski interval [a, b] dijelimo na n jednakih dijelova dijeljenjem tačaka
, koji se nazivaju čvorovi kvadraturne formule. Neka su poznate vrijednosti u čvorovima
:

Magnituda

naziva se integracijski interval ili korak. Imajte na umu da se u praksi - proračunima, broj i bira mali, obično nije veći od 10-20. U parcijalnom intervalu

integrand je zamijenjen interpolacijskim polinomom

što približno predstavlja funkciju f (x) na intervalu koji se razmatra.

a) Zadržimo onda samo jedan prvi član u interpolacionom polinomu

Rezultirajuća kvadratna formula

zove se formula pravougaonika.

b) Zadržimo onda prva dva člana u interpolacionom polinomu

(2)

Formula (2) se naziva trapezoidna formula.

c) Interval integracije
podijelit ćemo ga na paran broj od 2n jednakih dijelova, a korak integracije h će biti jednak . Na intervalu
dužine 2h, zamjenjujemo integrand interpolacijskim polinomom drugog stepena, tj. zadržavamo prva tri člana u polinomu:

Dobivena kvadraturna formula naziva se Simpsonova formula

(3)

Formule (1), (2) i (3) imaju jednostavno geometrijsko značenje. U formuli pravougaonika, funkcija integranda f(x) na intervalu
zamjenjuje se pravim segmentom y = yk, paralelnim sa apscisom, au trapezoidnoj formuli - pravim segmentom
i izračunava se površina pravokutnika i pravolinijskog trapeza, koji se zatim zbrajaju. U Simpsonovoj formuli, funkcija f(x) na intervalu
dužina 2h je zamijenjena kvadratnim trinomom - parabolom
Izračunava se površina krivolinijskog paraboličnog trapeza, a zatim se površine zbrajaju.

ZAKLJUČAK

Na kraju rada, želio bih napomenuti niz karakteristika primjene gore navedenih metoda. Svaka metoda približnog rješenja određenog integrala ima svoje prednosti i nedostatke; ovisno o zadatku treba koristiti posebne metode.

Varijabilna metoda zamjene je jedna od glavnih metoda za izračunavanje ne određeni integrali. Čak i u slučajevima kada integrišemo nekom drugom metodom, često moramo da pribegnemo promjeni varijabli u srednjim proračunima. Uspjeh integracije u velikoj mjeri ovisi o tome da li smo u stanju odabrati tako uspješnu promjenu varijabli koja bi pojednostavila dati integral.

U suštini, proučavanje integracijskih metoda svodi se na otkrivanje kakvu vrstu zamjene varijable treba napraviti za ovaj ili onaj tip integranda.

dakle, integracija bilo kojeg racionalnog razlomka svodi na integraciju polinoma i nekoliko prostih razlomaka.

Integral bilo koje racionalne funkcije može se izraziti kroz elementarne funkcije u konačnom obliku, i to:

kroz logaritme - u slučajevima prostih razlomaka tipa 1;

kroz racionalne funkcije - u slučaju prostih razlomaka tipa 2

kroz logaritme i arktangente - u slučaju prostih razlomaka tipa 3

preko racionalnih funkcija i arktangensa - u slučaju prostih razlomaka tipa 4. Univerzalna trigonometrijska zamjena uvijek racionalizira integrand, ali često dovodi do vrlo glomaznih racionalnih razlomaka, za koje je, posebno, gotovo nemoguće pronaći korijene nazivnika. Stoga se, kad god je to moguće, koriste parcijalne zamjene, koje također racionaliziraju integrand i dovode do manje složenih razlomaka.

Newton–Leibnizova formula je opšti pristup pronalaženju određenih integrala.

Što se tiče tehnika izračunavanja definitivnih integrala, one se praktično ne razlikuju od svih tih tehnika i metoda.

Nanesite na potpuno isti način metode zamjene(promjena varijable), metoda integracije po dijelovima, iste tehnike za pronalaženje antiderivata za trigonometrijske, iracionalne i transcendentalne funkcije. Jedina posebnost je da je pri korištenju ovih tehnika potrebno proširiti transformaciju ne samo na funkciju integranda, već i na granice integracije. Prilikom zamjene integracijske varijable, ne zaboravite promijeniti granice integracije u skladu s tim.

Pravilno iz teoreme, uslov za kontinuitet funkcije je dovoljan uslov za integrabilnost funkcije. Ali to ne znači da određeni integral postoji samo za kontinuirane funkcije. Klasa integrabilnih funkcija je mnogo šira. Na primjer, postoji definitivan integral funkcija koje imaju konačan broj točaka diskontinuiteta.

Izračunavanje određenog integrala neprekidne funkcije pomoću Newton-Leibnizove formule svodi se na pronalaženje antiderivata, koji uvijek postoji, ali nije uvijek elementarna funkcija ili funkcija za koju su sastavljene tablice koje omogućavaju dobivanje vrijednosti integral. U brojnim aplikacijama, integrabilna funkcija je navedena u tabeli i Newton-Leibniz formula nije direktno primjenjiva.

Ako želite da dobijete što precizniji rezultat, to je idealno Simpsonova metoda.

Iz onoga što je prethodno proučeno, možemo izvući sljedeći zaključak da se integral koristi u naukama kao što su fizika, geometrija, matematika i druge nauke. Pomoću integrala izračunava se rad sile, pronalaze koordinate centra mase i putanja koju pređe materijalna tačka. U geometriji se koristi za izračunavanje volumena tijela, pronalaženje dužine luka krive itd.

Odsjek za višu matematiku

Završio: Matveev F.I.

Provjerio: Burlova L.V.

Ulan-Ude.2002

1.Numeričke metode integracije

2. Izvođenje Simpsonove formule

3.Geometrijska ilustracija

4.Odabir koraka integracije

5.Primjeri

1. Numeričke metode integracije

Problem numeričke integracije je izračunavanje integrala

kroz niz vrijednosti integranda.

Problemi numeričke integracije moraju se riješiti za funkcije navedene u tabelama, funkcije čiji se integrali ne uzimaju elementarne funkcije, itd. Razmotrimo samo funkcije jedne varijable.

Umjesto funkcije koju treba integrirati, integriramo interpolacijski polinom. Metode zasnovane na zamjeni integrala interpolacijskim polinomom omogućavaju procjenu tačnosti rezultata pomoću parametara polinoma ili odabir ovih parametara na osnovu date tačnosti.

Numeričke metode se mogu uslovno grupirati prema metodi aproksimacije integranda.

Newton-Cotes metode se zasnivaju na aproksimaciji funkcije

stepen polinom. Algoritam ove klase razlikuje se samo po stepenu polinoma. Po pravilu, čvorovi aproksimirajućeg polinoma su ekvirelirani.

Spline metode integracije su zasnovane na aproksimaciji funkcije

spline-piecewise polinom.

Metode najveće algebarske tačnosti (Gaussova metoda) koriste posebno odabrane nejednake čvorove koji daju minimalnu grešku integracije za dati (odabrani) broj čvorova.

Monte Carlo metode se najčešće koriste prilikom izračunavanja više integrala; čvorovi se biraju nasumično, a odgovor je vjerovatnoća.

ukupna greška skraćivanja greške

greška zaokruživanja

Bez obzira na odabranu metodu, u procesu numeričke integracije potrebno je izračunati približnu vrijednost integrala i procijeniti grešku. Greška se smanjuje kako se n-broj povećava

segmentne particije

. Međutim, ovo povećava grešku zaokruživanja

zbrajanjem vrijednosti integrala izračunatih na parcijalnim segmentima.

Greška skraćivanja zavisi od svojstava integrala i dužine

parcijalni segment.

2. Izvođenje Simpsonove formule

Ako za svaki par segmenata

konstruišemo polinom drugog stepena, a zatim ga integrišemo i koristimo svojstvo aditivnosti integrala, dobijamo Simpsonovu formulu. Razmotrimo integrand na segmentu . Zamenimo ovaj integrand sa Lagranžeovim interpolacionim polinomom drugog stepena, koji se poklapa sa u tačkama:

Hajde da se integrišemo

:

i zove se Simpsonova formula.

Dobiveni rezultat za integral

vrijednost se poklapa s površinom krivolinijskog trapeza omeđenog osom, ravnim linijama i parabolom koja prolazi kroz tačke

Procijenimo sada grešku integracije koristeći Simpsonovu formulu. Pretpostavićemo to

postoje kontinuirani derivati ​​na segmentu. Hajde da nadoknadimo razliku

Teorema srednje vrijednosti se već može primijeniti na svaki od ova dva integrala, jer

je kontinuirana i funkcija je nenegativna na prvom intervalu integracije i nepozitivna na drugom (tj. ne mijenja predznak na svakom od ovih intervala). Zbog toga:

(koristili smo teoremu srednje vrijednosti jer

- kontinuirana funkcija; ).

Diferenciranje

dva puta, a zatim primjenom teoreme srednje vrijednosti, dobijamo još jedan izraz za: , gdje

Iz obje procjene za

slijedi da je Simpsonova formula egzaktna za polinome stepena ne višeg od tri. Napišimo Simpsonovu formulu, na primjer, u obliku: , .

Ako segment

integracija prevelika, onda se dijeli na jednake dijelove (pod pretpostavkom ), nakon čega se Simpsonova formula primjenjuje na svaki par susjednih segmenata , ,..., i to:

Zapišimo Simpsonovu formulu u opštem obliku.

Ova metoda predlaže aproksimaciju integranda na parcijalnom segmentu parabolom koja prolazi kroz tačke
(x j , f(x j)), Gdje j = i-1; i-0.5; i, odnosno aproksimiramo funkciju integranda Lagrangeovim interpolacijskim polinomom drugog stepena:

Nakon izvođenja integracije dobijamo:

To je ono što je Simpsonova formula ili paraboličnu formulu. Na segmentu
[a, b] Simpsonova formula poprima oblik

Grafički prikaz Simpsonove metode prikazan je na Sl. 2.4.

Rice. 10.4. Simpsonova metoda

Riješimo se frakcijskih indeksa u izrazu (2.16) redesignacijom varijabli:

Tada Simpsonova formula poprima oblik

Greška formule (2.18) se procjenjuje sljedećim izrazom:

Gdje h·n = b-a, . Dakle, greška Simpsonove formule je proporcionalna O(h 4).

Komentar. Treba napomenuti da je u Simpsonovoj formuli segment integracije nužno podijeljen čak broj intervala.

10.5. Izračunavanje određenih integrala metodama
Monte Carlo

Metode o kojima smo ranije govorili nazivaju se deterministički , odnosno lišen elementa slučajnosti.

Monte Carlo metode(MMK) su numeričke metode za rješavanje matematičkih problema korištenjem modeliranja slučajne varijable. MMC-ovi omogućavaju uspješno rješavanje matematičkih problema uzrokovanih probabilističkim procesima. Štaviše, kada rješavate probleme koji nisu povezani ni sa kakvim vjerovatnoćama, možete umjetno osmisliti vjerojatnosni model (pa čak i više od jednog) koji vam omogućava da riješite ove probleme. Razmotrimo izračunavanje određenog integrala

Kada se ovaj integral izračunava pomoću formule pravokutnika, interval [ a, b] podijeliti na N identični intervali, u čijoj sredini su izračunate vrijednosti integranda. Izračunavanjem vrijednosti funkcije na slučajnim čvorovima, možete dobiti precizniji rezultat:

Ovdje je γ i slučajni broj ravnomjerno raspoređen u intervalu
. Greška u izračunavanju MMC integrala je ~ , što je znatno veće od one kod prethodno proučavanih determinističkih metoda.

Na sl. Na slici 2.5 prikazana je grafička implementacija Monte Carlo metode za izračunavanje jednog integrala sa slučajnim čvorovima (2.21) i (2.22).

(2.23)

Rice. 10.6. Integracija metodom Monte Carlo (2. slučaj)

Kao što se može videti na sl. 2.6, integralna kriva leži u jediničnom kvadratu, i ako možemo dobiti parove slučajnih brojeva ravnomjerno raspoređenih po intervalu, tada se rezultirajuće vrijednosti (γ 1, γ 2) mogu tumačiti kao koordinate tačke u jediničnom kvadratu. Zatim, ako se dobije dosta ovih parova brojeva, to možemo približno pretpostaviti
. Evo S je broj parova tačaka koji padaju ispod krive, i N– ukupan broj parova brojeva.

Primjer 2.1. Izračunajte sljedeći integral:

Problem je riješen raznim metodama. Dobijeni rezultati su sažeti u tabeli. 2.1.

Tabela 2.1

Komentar. Izbor integrala tabele omogućio nam je da uporedimo grešku svake metode i saznamo uticaj broja particija na tačnost proračuna.

11 PRIBLIŽNO RJEŠENJE NELINEARNOG
I TRANSCENDENTNE JEDNAČINE